01 DE THI MINH HOA KI THI THPTQG 2016 de 2

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐỀ THI MINH HỌA KÌ THI THPTQG 2016 – MOON.VN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO bài giảng và LỜI GIẢI CHI TIẾT các bài tập chỉ có tại website MOON.VN
−x + m
, ( m ≠ −1) , ( Cm )
x +1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =

b) Tìm m để đường thẳng d : x + y − 2 = 0 cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích
tam giác OAB bằng 2 (với O là gốc toạ độ).
Câu 2 (1,0 điểm).

a) Giải phương trình 4sin 3 x − 2 cos x ( sin x − 1) − 4sin x + 1 = 0
b) Tìm các số thực a, b, c sao cho phương trình z 3 + az 2 + bz + c = 0 nhận z = 2 và z = 1 + i là nghiệm.

(

Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình (2 x − 2)2 < (2 x + 2) 1 − 2 x − 1

)

2

 x 4 − x 3 + 3 x 2 − 4 y − 1 = 0,


Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  x 2 + 4 y 2
( x; y ∈ ℝ ) .
x 2 + 2 xy + 4 y 2
+
= x + 2 y.

2
3


π

cos 2  x + 
8

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫
dx.
0 sin 2 x + cos 2 x + 2
π
4

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a; DC =
a; AD = 2a 2 . Gọi I là trung điểm của AD, biết SI = SB = SC =

a 13
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2

và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC theo a.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn ( C ) , từ điểm M ( 5; −6 ) kẻ các tiếp
tuyến MA và MB tới ( C ) (trong đó A,B là tiếp điểm), biết rằng đường tròn nội tiếp tam giác MAB có
phương trình là (T ) : ( x − 2 ) + ( y + 2 ) =
2

2

25
. Viết phương trình đường tròn ( C ) .
4

Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + z 2 = 16 ,
2

2

mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − z + 3 = 0 và điểm A ( 0; −1;2 ) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, song
song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B, C sao cho đoạn BC có độ dài nhỏ nhất.

Câu 9 (0,5 điểm). Một máy bay có 4 bộ phận A, B, C, D đặt liên tiếp nhau. Máy bay rơi khi có 2 viên đạn
trúng vào cùng một bộ phận hoặc 2 bộ phận kề nhau trúng đạn. Tìm xác suất để máy bay rơi trong trường
hợp 4 bộ phận có diện tích bằng nhau và máy bay trúng hai viên đạn.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 .
2
2
2
1 1 1 2(a + b + c )
Chứng minh bất đẳng thức 2 + 2 + 2 +
≥ 5.

a b c
3

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (2,0 điểm).
Phương trình hoành độ giao điểm là:

 x ≠ −1
−x + m
= −x + 2 ⇔ 
2
x +1
 g ( x ) = x − 2 x + m − 2 = 0

Để d cắt ( Cm ) tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
∆ ' = 3 − m > 0
 x1 + x2 = 2
⇔
⇔ 3 > m ≠ −1 . Khi đó gọi A ( x1 ; 2 − x1 ) ; B ( x2 ; 2 − x2 ) theo Viet ta có: 
 g ( −1) = m + 1 ≠ 0
 x1 x2 = m − 2
1
1

2
2
Ta có: SOAB = d ( O; AB ) . AB = . 2. 2 ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 12 − 4m = 2 ⇔ m = 2 ( tm )
2
2
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Câu 2 (1,0 điểm).
a) Ta có 4 sin 3 x − 2 cos x ( sin x − 1) − 4 sin x + 1 = 0 ⇔ 4sin x ( sin 2 x − 1) − 2 cos x.sin x + 2 cos x + 1 = 0

⇔ −4sin x.cos 2 x − 2 cos x.sin x + ( 2 cos x + 1) = 0 ⇔ ( 2 cos x + 1)(1 − 2sin x.cos x ) = 0
1
2π

cos x = − 2 ⇒ x = ± 3 + 2kπ
⇔
(k ∈ Z)
sin 2 x = 1 ⇒ x = π + kπ

4
b) Ta có z = 2; z = 1 + i là nghiệm nên thay z = 1 + i vào phương trình ta có :
 −2 + b + c = 0
PT ⇒ (1 + i )3 + a (1 + i ) 2 + b(1 + i ) + c = 0 ⇔ (−2 + b + c) + (2a + b + 2)i = 0 ⇔ 
(1)
2a + b + 2 = 0
Thay z = 2 vào phương trình ta có : 8 + 4a + 2b + c = 0 (2)

−2 + b + c = 0
a = −4



⇔ b = 6
Từ (1) và (2) ta có hệ ⇔ 2a + b + 2 = 0
8 + 4a + 2b + c = 0
c = −4


Vậy a = −4; b = 6; c = −4 là các giá trị cần tìm.

Câu 3 (0,5 điểm).
Điều kiện 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 .
Đặt t = 2 x − 1 , điều kiện t ≥ 0 , khi đó: 2 x = t 2 + 1 .

(
⇔ ( t − 1) − ( t + 3)( t − 1)

Bất phương trình có dạng: t 2 + 1 − 2
2

2

2

2

2

) < (t
2

2

)

(

) (

)

+ 1 + 2 (1 − t ) ⇔ t 2 − 1 < t 2 + 3 (1 − t )
2

2

2

2
2
2
< 0 ⇔ ( t − 1) ( t + 1) − ( t + 3)  < 0



⇔ ( t − 1) ( 2t − 2 ) < 0 ⇔ ( t − 1) ⇔ t < 1 ⇔ 2 x − 1 < 1 ⇔ 2 x < 2 ⇔ x < 1
2

3

Vậy nghiệm của bất phương trình là S = [ 0;1) .

Câu 4 (1,0 điểm).
Từ phương trình thứ hai ta có x + 2 y ≥ 0 . Chú ý

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

x2 + 4 y2
x 2 + 2 xy + 4 y 2
+
=
2
3

( x + 2y)

( x − 2y) + ( x + 2y)
2

4

Facebook: LyHung95
2

+

( x − 2y)

2

+ 3( x + 2 y )
12

2

3( x + 2 y)
x + 2y x + 2y
≥
+
=
+
= x + 2y = x + 2y
4
12
2
2
Do đó phương trình thứ hai của hệ có nghiệm khi dấu đẳng thức xảy ra, tức là x − 2 y = 0 ⇔ x = 2 y .
Khi đó kết hợp x + 2 y ≥ 0 ⇒ 2 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 . Phương trình thứ nhất trở thành
2

2

x 4 − x 3 + 3 x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x3 + 3 x + 1) = 0

(1) .

 1
Vì x3 + 3 x + 1 > 0, ∀x ≥ 0 nên (1) ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ ( x; y ) = 1;  . Hệ có đúng một nghiệm.

 2

Câu 5 (1,0 điểm).
π

1 + cos  2 x + 
1
π
1
4

Ta có I = ∫
dx . Đặt t = 2 x − ⇒ dx = dt.
π
20
4
2

2 cos  2 x −  + 2
4

π
π
π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = − ; x = ⇒ t = .
4
4
4
π
π

π
 π
π

1 + cos  t + 
4
4
4
4
1
1
1
−
sin
t
1
dt
sin
t


2

 dt =
Khi đó, I = ∫
dt =
− ∫
dt  .
∫
∫


4 π 2 cos t + 2
4 2 π 1 + cos t
4 2  π 1 + cos t π 1 + cos t 
−
−
−
−
4
4
 4
4

π
π
π
t
π
d 
4
4
4
dt
dt
t 4
π
π
2 
 π


= ∫
=  tan  = tan − tan  −  = 2 tan = 2 2 − 1
∫ 1 + cos t = ∫
2  −π
8
8
2 t
2 t

 8
π
π
π
−
− 2 cos
− cos
4
4
4
4
2
2
π
4

(

π
4

π
4

sin t
d (1 + cos t )
∫ 1 + cos t dt = − ∫ 1 + cos t = − ln 1 + cos t
π
π

−

4

−

π
4
−

π
4

)

=0

4

π
1 

π
8 = 2 −1 = 2 − 2 .
Vậy I =
 2 tan  =
8 2 2
4
4 2
2 2
tan

Câu 6 (1,0 điểm).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy ( ABCD ) .
a 13
nên suy ra các tam giác vuông SHI , SBI , SCI bằng nhau.
2
Suy ra HI = HB = HC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC.

Nhận xét: theo đề bài SI = SB = SC =

Mặt khác ta tính được: IB = a 6 ( ∆ v ABI ) , IC = a 3 ( ∆ v CDI ) , BC = AD 2 + CD 2 = 3a
⇒ IB 2 + IC 2 = BC 2 ⇒ ∆IBC là tam giác vuông tại I. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp H của tam giác IBC
chính là trung điểm của BC.

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

• Tính thể tích khối chóp S.ABCD
AB + CD 3a
Ta có: IH =
=
⇒ SH = SI 2 − IH 2 = a
2
2
1
1
AB + CD
⇒ VS . ABCD = .SH .S ABCD = .SH . AD.
= a3 2
3
3
2
• Tính khoảng cách giữa AD và SC.
Dựng Cx / / AD, Cx ∩ AB = E ⇒ AD / / ( SCE )

⇒ d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SCE ) ) = d ( I , ( SCE ) ) = 2d ( H , ( SCE ) )

Gọi M = IH ∩ CE , kẻ HK ⊥ SM .
CE ⊥ ( SHM ) ⇒ CE ⊥ HK
Ta có: 
⇒ HK ⊥ ( SCE )
HK ⊥ SM

Suy ra d ( H , ( SCE ) ) = HK . Xét:

1
1

1
a 
a
=
+
⇒ HK =
 SH = a; HM = 
2
2
2
HK
SH
HM
2
5
2a
⇒ d ( AD, SC ) = 2d ( H , ( SCE ) ) = 2 HK =
5
∆ v SHM :

Đáp số: VS . ABCD = a 3 2; d ( AD, SC ) =

2a
5

Câu 7 (1,0 điểm).
Gọi E ( 2; −2 ) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB .
Ta có: sin AME =

EK

r
1
=
= ⇒ AMI = 300 ⇒ ∆MAB là tam giác
ME ME 2

đều, khi đó ME = 2 EH với H là trung điểm của AB ta có:
−3 = 2 ( xH − 2 )
5 3
1 
⇒ H  ; 0  , khi đó AH = MH tan 300 =

2
2 
4 = 2 ( yH + 2 )

 9
1

15
5
5
 − = 3  xI − 
2
2
2
2
Khi đó HI = ⇒ R = AH + HI = 25 . Lại có MH = ; HI = ⇒ MH = 3HI ⇒  2

2

2
2
6 = 3 ( x − 0 )
I

Khi đó I ( −1; 2 ) ⇒ ( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 25
2

2

Đáp số: Vậy ( C ) ( x + 1) + ( y − 2 ) = 25 là đường tròn cần tìm.
2

2

Câu 8 (1,0 điểm).
+) Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −3;0 ) , bán kính R = 4. Chỉ ra điểm A nằm trong mặt cầu.
+) Gọi H là trung điểm của BC. Ta có BC = 2 BH = 2 R 2 − IH 2 = 2 16 − IH 2 .
BC nhỏ nhất khi IH lớn nhất. Mà IH ≤ IA = const ⇒ BC lớn nhất khi ∆ qua A và vuông góc IA.
+) IA = ( −1; 2; 2 ) ; nP = ( 2; −1; −1) là véc tơ pháp tuyến của (P).
u∆ =  IA, nP  = ( 0;3; −3) ⇒ véc tơ chỉ phương của ∆ là u∆ = ( 0;1; −1) .

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x = 0


Suy ra, phương trình của ∆ là  y = −1 + t
z = 2 − t

Câu 9 (0,5 điểm).

Đánh số 4 bộ phận A,B,C,D là 1,2,3,4
Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’
Không gian mẫu: Ω = 4.4 = 16 phần tử
Xét biến cố A: máy bay bị rơi.
Gọi tập Ω A các kết quả thuận lợi cho biến cố A :

Ta có: Ω A = {(1;1) ; ( 2; 2 ) ; ( 3;3) ; ( 4; 4 ) ; (1; 2 ) ; ( 2;1) ... ( 3; 4 ) ; ( 4;3)} do đó: Ω A = 10
Xác suất của A: PA =

10 5
= là giá trị cần tìm.
16 8

Câu 10 (1,0 điểm).
Ký hiệu vế trái BĐT là P.
2
( a − 1) ( 2a 2 + 6a + 3)
1 2a 2 7 2a
Ta có
≥
0,
∀
a
>

0
⇒
+
≥ −
.
3a 2
a2
3
3 3
1 2b 2 7 2b 1 2c 2 7 2c
2
Tương tự 2 +
≥ − ; 2+
≥ − ⇒ P ≥ 7 − (a + b + c) = 5 .
b
3
3 3 c
3
3 3
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1.

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016