02 cac van de trong tam ve ham phan thuc BG(2016)

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Các vấn đề trọng tâm về hàm phân thức
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

2x +1
( C ) và đường thẳng d : y = x + m .
x −1
a) Tìm m để d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA2 + OB 2 = 34 .

Ví dụ 1 [Video]: Cho hàm số: y =

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : 3 x + y + 1 = 0
c) Biện luận số nghiệm của PT :

2x +1
= m theo tham số m.
x −1

d) Tìm điểm M thuộc ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ bằng 4.
x−2
( C ) và đường thẳng d : y = −2 x + m .
x +1
a) Tìm m để d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 35
Ví dụ 2 [Video]: Cho hàm số: y =

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm P ( −3;1) .
c) Biện luận số nghiệm của PT :

x−2
= m theo tham số m.
x +1

d) Tìm điểm M thuộc ( C ) biết khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ : x − y = 0 bằng 3 2 .
x +1
(C ) .
x −1
a) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M ( 0;1) đồng thời cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho

Ví dụ 3 [Video]: Cho hàm số: y =

3
.
2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của ( C ) với đường thẳng d : x + y − 5 = 0 .
diện tích tam giác OAB bằng
x +1

= m có 1 nghiệm duy nhất.
x −1
d) Gọi M là điểm thuộc ( C ) và H , K là hình chiếu của M trên các trục toạ độ. Tìm toạ độ điểm M biết
diện tích tứ giác OHMK bằng 6.
1− x
Ví dụ 4 [Tham khảo]: Cho hàm số: y =
( C ) và đường thẳng d : y = x + m .
x+2
a) Tìm m để d cắt ( C ) tại điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M biết rằng khoảng cách từ M đến đường thẳng

10
∆ : y = −3 x + 1 bằng
.
5
c) Tìm điểm M trên ( C ) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang gấp 3 lần khoảng cách từ M
đến tiệm cận đứng.
d) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x 2 + ( 5 − m ) x − 2m + 1 = 0 .

c) Tìm m để PT

Lời giải
 x ≠ −2
1− x
a) PT hoành độ giao điểm là:
.
= x+m⇔ 
2
x+2
 g ( x ) = x + ( m + 3 ) x + 2m − 1 = 0
Để d cắt ( C ) tại điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 < −2 < x2 hay

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

∆ = ( m + 3 )2 − 4 ( 2m − 1) > 0


x1 + 2 < 0 < x2 + 2 ⇔  g ( −2 ) = −3 ≠ 0
( *) .

( x1 + 2 )( x2 + 2 ) < 0
 x1 + x2 = − m − 3
Với x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 thì 
(Viet ) .
 x1 x2 = 2m − 1
m 2 − 2m + 13 > 0
1
⇔ − m − 3 + 2 ( 2m − 1) + 4 < 0 ⇔ 3m − 1 < 0 ⇔ m < .
Khi đó : (*) ⇔ 
3
 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) + 4 < 0
1− a
−1
3a +
10
10
3a 2 + 4a − 1
a+2
 1− a 
d
M
x
y
b) Gọi M  a;
ta
có:
;3

+
−
1
=
⇔
=
⇔
= 2.
(
)

5
5
a+2
10
 a+2
 a = 1; a = −1
3a 2 + 4a − 1 = 2a + 4
3a 2 + 2a − 5 = 0
−3
. Ta có: y ' =
.
⇔ 2
⇔ 2
⇔
5
2
a =
x + 2)
(

3a + 4a − 1 = −2a − 4
3a + 6a + 3 = 0
3

1
( x − 1) .
3
+) Với a = −1 ⇒ M ( −1; 2 ) ⇒ PTTT : y = −3 ( x + 1) + 2 hay y = −3 x − 1 .
+) Với a = 1 ⇒ M (1;0 ) ⇒ PTTT : y = −

5
27 
5 2
 5 −2 
⇒ M  ;  ⇒ PTTT : y = −
x− − .
3
121 
3  11
 3 11 
 1− a 
c) Ta có : TCN : x = −2 . TCĐ: y = −1 . Gọi M  a;
.
 a+2

+) Với a =

Theo giả thiết ta có: d ( M ; TCN ) = 3d ( M ; TCD ) ⇔ a + 2 = 3
Vậy M (1;0 ) ; M ( −5; −2 ) là các điểm cần tìm.

a = 1
1− a
2
+ 1 ⇔ ( a + 2) = 9 ⇔ 
.
a+2
 a = −5

1− x
= −3 x + m .
x+2
Số nghiệm của PT phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = −3 x + m .

d) Do x = −2 không phải nghiệm của PT. Khi đó ta có: PT ⇔

d1 : y = −3 x − 1
Xét các tiếp tuyến của ( C ) có hệ số góc k = −3 ta được 2 tiếp tuyến: 
.
d 2 : y = −3x − 13

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Dựa vào đồ thị bên ta có:
 m > −1
+) Với 

PT đã cho có 2
 m < −13
nghiệm phân biệt.
+) Với m = −1; m = −13 PT đã cho
có 1 nghiệm duy nhất.
+) Với −13 < m < −1 PT đã cho vô
nghiệm

x −3
( C ) và đường thẳng d : y = − x + m .
2x +1
a) Tìm m để d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4 2 .
b) Gọi I là giao 2 tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận của (C) tại A và B
7
sao cho S ∆IAB = .
2
c) Tìm M trên ( C ) có tọa độ nguyên.

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Cho hàm số: y =

d) Tìm M trên ( C ) sao cho khoảng cách IM ngắn nhất, với I là giao 2 tiệm cận.

e) Bằng đồ thị, tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 14 x 2 + 2 ( m + 3) x + m + 3 = 0 .
Lời giải
1

x−3
x ≠ −
2
a) PT hoành độ giao điểm là:

= −x + m ⇔ 
.
2x +1
 g ( x ) = 2 x 2 + 2 (1 − m ) x − 3 − m = 0

∆ ' = ( m − 1)2 + 2 ( m + 3 ) > 0

Để d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân ⇔   1 
( *) .
7
g  −  = − ≠ 0
2
  2
 x1 + x2 = m − 1

Khi đó gọi x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 thì 
−m − 3 .
x
x
=
 1 2
2
Gọi A ( x1 ; − x1 + m ) ; B ( x2 ; − x2 + m ) ta có: AB 2 = 2 ( x1 − x2 ) = 32 ⇔ ( x1 − x2 ) = 16 .
2

2

⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = m2 + 7 = 16 ⇔ m = ±3 ( t / m (*) ) .
2

Vậy m = ±3 là giá trị cần tìm.
5
 1 1
 a −3 
b) Ta có: I  − ;  . Gọi M  a;
.
, y'=
2
 2 2
 2a + 1 
( 2 x + 1)

Khi đó PTTT tại M có dạng: y =

5

( 2a + 1)

2

( x − a) +

a −3
(d ) .
2a + 1

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

 1 2a − 13 
1
1
1 1

Ta có: d ∩ TCD : x = − : tại điểm A  − ;
 và d ∩ TCN : y = tại điểm B  2a + ;  .
2
2
2 2

 2 2 ( 2a + 1) 
1
1 14
7 
1
Khi đó tam giác IAB vuông tại I nên: S IAB = IA.IB =
. 2a + 1 =  ∀a ≠ −  .
2
2 4a + 2
2 
2
1
 a −3  
Vây mọi điểm M  a;
  a ≠ −  đều thoã mãn ĐKBT.
2

 2a + 1  
2a − 6
7
 a −3 
c) Gọi M  a;
= 1−
. Để yM nguyên thì 2 yM cũng nguyên do đó
 . Xét 2 yM =
2a + 1
2a + 1
 2a + 1 
 2a + 1 = ±7
 a = 3; a = −4
7⋮ ( 2a + 1) do vậy 
⇔
.
 2a + 1 = ±1
 a = 0; a = −1
Vậy M ( 0; −3) ; M ( −1; 4 ) ; M ( 3;0 ) ; M ( −4;1) là các điểm cần tìm.

( 2a + 1) + 49 ≤ 2 49 = 7
1
49
 a −3 

2
d) Gọi M  a;
=
 ta có: IM =  a +  +
2

2
2  ( 2a + 1)
4
4
 2a + 1 

( 2a + 1)
2

Dấu bằng xảy ra ⇔

2

 −1 ± 14 2 ∓ 14 
7
2a + 1
−1 ± 14
2
=
⇔ ( 2a + 1) = 14 ⇔ a =
⇒ M 
;
 .
2a + 1
2
2
2
4



1
x −3
không phải nghiệm của PT nên ta có: PT ⇔
= 7x + m .
2
2x +1
Số nghiệm của PT phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = 7 x + m .

e) Do x = −

d1 : y = 7 x − 3
.
Xét các tiếp tuyến của ( C ) có hệ số góc k = 7 ta được 2 tiếp tuyến: 
d 2 : y = 7 x + 11
Dựa vào đồ thị bên ta có:
 m > 11
+) Với 
PT đã cho có 2
 m < −3
nghiệm phân biệt.
+) Với m = 11; m = −3 PT đã cho có 1
nghiệm duy nhất.
+) Với −3 < m < 11 PT đã cho vô
nghiệm.

2 x + 2m
( C ) và đường thẳng d : y = 2 x − 3 .
1− x
a) Tìm m để d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2 + OB 2 = 5 với O là gốc tọa độ.

Ví dụ 6 [Tham khảo]: Cho hàm số y =

b) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của (C) với trục hoành đi qua A ( 2;3) .

c) Gọi M ( 2; yM ) là điểm thuộc ( C ) . Tìm m sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ bằng
2 10 .
d) Tìm m sao cho điểm M ( −1; yM ) trên ( C ) cách đều 2 điểm A ( −2;5 ) và B ( 4;3) .
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Lời giải

2 x + 2m
= 2 x − 3 ⇔ g ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 m + 3 = 0 ( *)
1− x
Để d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

a) Phương trình hoành độ giao điểm

15

∆ > 0
9 − 8 ( 2m + 3) > 0
m < −
⇔

⇔
⇔
16
 g (1) ≠ 0
2m + 2 ≠ 0
m ≠ −1
3

 x1 + x2 = 2
Gọi A ( x1 ; 2 x1 − 3) , B ( x2 ; 2 x2 − 3) là giao điểm của d với ( C ) ⇒ 
 x x = 2m + 3
 1 2
2

Ta có OA2 + OB 2 = 5 ⇔ x12 + ( 2 x1 − 3) + x22 + ( 2 x2 − 3) = 5 ⇔ 5 ( x12 + x22 ) − 12 ( x1 + x2 ) + 13 = 0
2

2

⇔ 5 ( x1 + x2 ) − 10 x1 x2 − 12 ( x1 + x2 ) + 13 = 0 ⇔ m = −
2

7
8

7
là giá trị cần tìm
8
2m + 2
b) Ta có y ' =

2
(1 − x )

Vậy m = −

Gọi M là giao điểm của ( C ) với trục hoành nên tọa độ M ( − m; 0 )
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) qua M là y =
Mà tiếp tuyến đi qua A ( 2;3) ⇒ 3 =

2 ( m + 2)
m +1

2m + 2

(1 + m )

2

( x + m)

hay y =

2 ( x + m)
m +1

⇔ m =1

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
c) Do M ( 2; yM ) là điểm thuộc ( C ) nên tọa độ điểm M ( 2; −2m − 4 )
Khoảng cách từ M đến trục Ox là d1 = −2m − 4

Khoảng cách từ M đến trục Oy là d 2 = 2

 m = 10 − 3
Ta có d1 + d 2 = 2 10 ⇔ 2m + 4 + 2 = 2 10 ⇔ m + 2 = 10 − 1 ⇔ 
 m = − 10 − 1
Vậy m = 10 − 3; m = − 10 − 1 là giá trị cần tìm

d) Do M ( −1; yM ) là điểm thuộc ( C ) nên tọa độ điểm M ( −1; m − 1)

Đường thẳng AB qua A ( −2;5 ) , B ( 4;3) nên phương trình đường thẳng AB : x + 3 y − 13 = 0

Gọi N là trung điểm của AB ⇒ N (1; 4 ) . Đường trung trục của AB qua N (1; 4 ) và vuông góc với

đường thẳng AB nên có phương trình 3 x − y + 1 = 0

Do M cách đều A ( −2;5 ) , B ( 4;3) và nên M thuộc trung trực AB ⇒ 3. ( −1) − ( m − 1) + 1 = 0 ⇔ m = −1
Vậy m = −1 là giá trị cần tìm

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Cho hàm số y =

2mx + 5
1
và đường thẳng d : y = 2 x − . Tìm m để đồ thị cắt
x+m
2

đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ thoả mãn x12 − 9 x1 = 8 x2
2x −1
( C ) . Tìm trên (C) tất cả các điểm M sao cho tiếp tuyến
x−2

của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 10 .

Ví dụ 8 [Tham khảo]: Cho hàm số y =

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Lời giải:
 2a − 1 
Giả sử M  a;
 , ( a ≠ 2 ) thuộc đồ thị (C).
 a−2 

−3
2a − 1
( x − a) +
2
a−2
(a − 2)
6


Gọi A là giao của tiệm cận đứng với (∆) , suy ra A  2;
+ 2
 a−2


B là giao của tiệm cận ngang với (∆) , suy ra B (2a − 2; 2)
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M có dạng (∆) : y =

Khi đó AB = (2a − 4) 2 +

36
, theo bài ra ta có phương trình
(a − 2) 2

a = 1
a = 3
 (a − 2) = 1
36
4
2

4(a − 2) 2 +
=
40
⇔
(
a
−
2)
−
10(
a
−
2)
+

9
=
0
⇔
⇔

2
 a = −1
(a − 2)2
(
a
−
2)
=
9


a = 5
Vậy có 4 điểm M thỏa mãn là (1; −1), (3;5), (−1;1), (5;3) .
2x + 7
Ví dụ 9 [Tham khảo]: Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
2x + 6
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B sao cho
9
khoảng cách giữa 2 điểm A, B bằng
2
Lời giải:
1
1

1 

Gọi điểm M  m;1 +
⇒ y '(m) = −
 ∈ (C ) ; y ' = −
2
2
2m + 6 

( 2 x + 6)
( 2m + 6 )
2

Tiếp tuyến d tại M có phương trình: y = −

1

( 2m + 6 )

2

( x − m) +

2m + 7
2m + 6

4m + 15 

Giao điểm của d với tiệm cận đứng là: A  −3;


4m + 12 

Giao điểm của d với tiệm cận ngang là: B ( 3m + 6;1)
Ta có: AB 2 = 9 ( m + 3) +
2

9
16 ( m + 3)

AM-GM
2

≥ 2 9 ( m + 3) .

9

2

16 ( m + 3 )

2

=

9
2

5

m=−


9
9
2
2
2
Suy ra AB =
⇔ 9 ( m + 3) =
⇔ 4 ( m + 3) = 1 ⇔ 
2
2
16 ( m + 3)
m = − 7

2
1
7
Vậy có 2 đường đường tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: y = − x − ; y = − x −
2
2
2x + m
Ví dụ 10 [Tham khảo]: Cho hàm số y =
( C ) . Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị (C). Tìm m
x −1
để tiếp tuyến tại M của đồ thị cắt các tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 2, với I là giao
điểm của hai tiệm cận.
Lời giải:
−2 − m
−2 − m
 2a + m 

Gọi điểm M  a;
⇒ y '(m) =
 ∈ ( C ) ; I (1; 2 ) , y ' =
2
2
a −1 

( x − 1)
( a − 1)
Tiếp tuyến d tại M có phương trình: y = −

1

( a − 1)

2

( x − m) +

2a + m
a −1

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

 2a + 2 m + 2 

 2m + 4 
Giao điểm của d với tiệm cận đứng là: A 1;
 ⇒ IA  0;

a −1
a −1 



Giao điểm của d với tiệm cận ngang là: B ( 2a − 1; 2 ) ⇒ IB ( 2a − 2; 0 )
1
IA.IB = 2m + 4 = 2 ⇔ m = −1.m = −3
2
x +1
Ví dụ 11 [Tham khảo]: Cho hàm số y =
( C ) . Viết PTTT tại điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp
x −3
tuyến cắt các trục tọa độ tại A, B thỏa mãn
a) OB = 4OA
b) Tam giác OAB vuông cân.
25
c) SOAB =
8
d) Trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d : 4 x − y = 0.
Lời giải:
−4
−4
a +1
a
+

1


Ta có: y ' =
. Gọi M  a;
x − a) +
(d )
 . PT tiếp tuyến tại M là: y =
2
2 (
a −3
 a −3
( x − 3)
( a − 3)

Ta có: S IAB =

 tan ( d ; Ox ) = ±4
( a − 3 ) 2 = 1

a) Do OB = 4OA ⇒
⇔
⇔ [ a = 2, a = 4, a = 7, a = −1
 tan ( d ; Ox ) = ± 1
( a − 3)2 = 16


4
b) ∆OAB vuông cân do đó d tạo với trục Ox góc 450 ⇒ k = ± tan 450 = ±1 ⇒

−4

( a − 3)

2

a = 5
= −1 ⇔ 
a = 1

 a 2 + 2a − 3 
 a 2 + 2a − 3 
 a 2 + 2a − 3 ≠ 0
; 0  , B = d ∩ Oy ⇒ B  0;
c) Gọi A = d ∩ Ox ⇒ A 
2

4
( a − 3) 




(

Ta có: SOAB

)

2

 a 2 + 2a − 3 = 5 ( a − 3)
1
1  a 2 + 2a − 3 
25
= OA.OB = 
⇔ 2
⇔ a = 2, a = −9 ⇒ M
 =
2
8 a −3 
8
 a + 2a − 3 = −5 ( a − 3)

 a 2 + 2a − 3 a 2 + 2a − 3 

d) Gọi G là trọng tâm ∆OAB ta có: G 
;
2


12
3
a
−
3
(
)


Do G ∈ 4 x − y = 0 ⇒ a + 2a − 3 =

2

a 2 + 2a − 3

( a − 3)

2

Ví dụ 12 [Tham khảo]: Cho hàm số y =

⇔ a = 2, a = 4 ⇒ M

x+2
x −1

( C ) . Viết PTTT tại điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp

tuyến cắt các trục tọa độ tại A, B thỏa mãn
2
a) SOAB =
3

b) khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến tiếp tuyến bằng

6
.
10

Lời giải:
−3

a+2
 a+2
Gọi M  a;
x − a) +
(d )
 . PT tiếp tuyến tại M là: y =
2 (
a −1
 a −1 
( a − 1)

 a 2 + 4a − 2 
 a 2 + 4a − 2 

Gọi A = d ∩ Ox ⇒ A 
; 0  , B = d ∩ Oy ⇒ B  0;
2


3
a
−
1
(
)




Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học TỔNG ÔN môn TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

 a 2 + 4a − 2
=2

 a = 0, a = −2
1
1  a 2 + 4a − 2 
2
a
−
1

Ta có: SOAB = OA.OB = 
=
⇔
⇔
⇒M


2
6  a −1 
3
a = −3 ± 13
 a 2 + 4a − 2


= −2
 a −1

3
a+2
6
+
−1
6
2
a −1 a −1
a −1
b) d ( I ; d ) =
=
=
⇒ ( a − 1) = 1 ⇔ a = 0, a = 2
9
9
10
1+
1+
4
4
( a − 1)
( a − 1)
2

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016