Đề và đáp án thi học sinh giỏi toán lớp 7 mới hay

UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 7
Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian
giaođề)

ĐỀ SỐ 1
Bài 1: (1,5 điểm)

1) Rút gọn:  − +
3
2

2
5

1  3 2 1 
: − + 
10   2 3 12 

2) Tìm x biết: x − 1 + x − 4 = 3x
Bài 2: (2,5 điểm)
x y y z
= ; = và x − y + z = 49
2 3 5 4
2016
a c
a 2016 + b 2016  a + b 

2) Chứng minh rằng : Nếu = thì 2016 2016 = 
÷
b d
c +d
c+d 

1) Tìm x biết :

3) Một số A được chia thành 3 phần tỉ lệ nghịch với 5,2,4. Biết tổng lập
phương của 3 số đó là 9512. Tìm A.
Bài 3: (2 điểm)
1)Tính giá trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa mãn:
x − 1 + (y + 2)20 = 0
2)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=

x − 2016 + 2017
x − 2016 + 2018

3) Tìm số nguyên , sao cho: x − 2 xy + y = 0
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC cân ( AB= AC, góc A tù). Trên cạnh BC lấy D, trên tia đối
của CB lấy E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho CI = CA.
1) Chứng minh :
a) ∆ABD = ∆ICE
b) AB+ AC < AD +AE
2) Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB và AI theo
thứ tự tại M và N. Chứng minh BM = CN
3) Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.
Bài 5: (1 điểm)
Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n đều là các số chính

phương
---------- HẾT ---------(Đề thi gồm có 1 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:...................................................; Số báo danh.....................


UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: toán - Lớp 7

Bài 1: (1,5 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
1
 15 4 1   18 8 1 
A =  − + ÷:  − + ÷
 10 10 10   12 12 12 
=

Điểm
0,25

0,25

12 11 6 12 72
. Vậy A = 72 .
:
= . =

10 12 5 11 55
55

2

+

=

(1)

Ta có

0 suy ra

Xét 0

< 1 suy ra (1)

0.25

0
1-

+4-

=
0,25

= (Loại)

Xét 1

< 4 suy ra (1)

-1+4=

Xét 4

suy ra (1)

-1+

=

(Thỏa mãn)
–4 =

= - 5 (Loại)
Vậy

Đáp án

x
y y
z
= ;
=
10 15 15 12
2 3 5 4
x

y
z
x−y+z
−49
=> 10 = 15 = 12 = 10 −15 +12 = 7 = −7

=> x = -70 ; y = -105 ; z = -84
Ta có

0,25

=1

Bài 2: (2,5điểm)
Ý/Phần
x y y z
a)
= ; = =>

b)

0,25

=

a

b

a+b

suy ra c = d = c + d

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25


2016

a b a+b
a 2016  a + b 
= =
⇒ 2016 = 
(1)
÷
c d c+d
c
c+d 
a b
a 2016 b 2016 a 2016 + b 2016
= ⇒ 2016 = 2016 = 2016
(2)
c d
c
d
c + d 2016

Từ 1 và 2 suy ra điều phải chứng minh.
Gọi 3 phần lần lượt là a, b, c.
Vì 3 phần tỉ lệ nghịch với 5,2,4 nên
1 1 1
a b c
: : = 4:10:5 hay =
= =k
5 2 4
4 10 5
a3
b3
c3
a3 + b3 + c3
9512
⇒ k3 =
=
=
=
=
=8
64 1000 125 64 + 1000 + 125 1189

0,25
0,25
0,25
0,25

a:b: c =

c) 0,75

Do đó k = 2.
Vậy

a b c a+b+c
=
= =
= 2 ⇒ a + b + c = 2.19
4 10 5 4 + 10 + 5

Hay A= 38
Bài 3: (2 điểm)

0,25

0,25


Ý/Phần
a)

Đáp án
Điểm
Do x − 1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 ⇒ x − 1 + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi 0,25 đ
x, y.
Kết hợp x − 1 + (y + 2)20 = 0 ⇒ x − 1 = 0 và (y + 2)20 = 0
⇔ x = 1; y = - 2
Giá trị của biểu thức C tại x = 1; y = - 2 là:
C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057
Vậy C=2057

b)

A=

x − 2016 + 2018 − 1

1

= 1 − x − 2016 + 2018

0,5
0,25

x − 2016 + 2018
1
Đặt B= x − 2016 + 2018 do x − 2016 + 2018 ≥ 2018 Với mọi

giá trị của x
Mà tử là một số dương không đổi mẫu số đạt GTNN bằng
2018 dấu “=” xẩy ra khi x − 2016 = 0 ⇒ x = 2016
1
mà 1 là số dương không đổi
2018
1
2017
⇒ A=1-B đạt GTNN ⇒ MinA= =
2018 2018

Vậy B đạt GTLN bằng

–

+

=0

–1–
(
Vì ,
c

– 1) (
Z nên (

+ 2 = –1

0,25

– 2 ) = –1
– 1)

và (

–2 )

Z

TH 1:

( Thỏa mãn )

TH 2:

( Thỏa mãn )

Vậy ( ; ) = ( 1;1), (0;0)

Bài 4: (3 điểm)
Ý/Phần

0,25

0,25

0,25

Đáp án

Điểm


A

M

O

B

C

E

0,5

D
N

I

1

0,5
Câu a: chứng minh ∆ ABD= ∆ ICE (c-g-c)
Câu b: có AB + AC = AI
Vì ∆ ABD= ∆ ICE ⇒ AD=EI (2 cạnh tương ứng)
Áp dụng bất đẳng thức trong ∆AEI có
AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC

2

Chứng minh ∆ BDM = ∆ CEN (gcg) ⇒ BM = CN

0,25

0,25
0,5

Vì BM = CN ⇒ AB + AC = AM + AN (1)

0,25

có BD = CE (gt) ⇒ BC = DE
Gọi giao điểm của MN với BC là O ta có:

0,5

MO > OD 
⇒MO + NO >OD +OE
NO >OE 
⇒MN > DE
⇒MN > BC ( 2 )

Từ (1) và (2) ⇒ chu vi ∆ ABC nhỏ hơn chu vi ∆ AMN.
Bài 5: ( 1 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
n
+ Vì là số có hai chữ số nên 9 < n < 100 ⇒ 18 < 2n < 200

0,25

Điểm

0.25đ
+ Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể 0.25đ
nhận các giá trị: 36; 64; 100; 144; 196.
+ Với 2n = 36 ⇒ n = 18 ⇒ n + 4 = 22 không là số chính
phương

2n = 64 ⇒ n = 32 ⇒ n + 4 = 36 là số chính phương
0.25 đ
2n = 100 ⇒ n = 50 ⇒ n + 4 = 54 không là số chính

phương
phương

2n = 144 ⇒ n = 72 ⇒ n + 4 = 76 không là số chính
2n = 196 ⇒ n = 98 ⇒ n + 4 = 102 không là số chính

phương
+ Vậy số cần tìm là n = 32 .

UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ SỐ 2
Bài 1: (2đ)

0.25đ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán Lớp 7
Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

a. Tìm x biết:

+

= 4x

b. Chứng minh rằng :
A=

+

+ …. +

chia cho 37 dư 1

Bài 2: (2đ)
a) Tìm số tự nhiên x, y biết:

+

=

b) Số A được chia thành 3 số theo tỉ lệ

:

:

. Biết rằng tổng các bình phương

của 3 số đó bằng 24309. Tìm A.
Bài 3: (2đ)

a. So sánh

+

với 16

b.Cho A= 1.2 + 2.3 + … + 199.200
Chứng minh rằng A chia hết cho 67 .
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có

> 90. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của

tia IB
lấy điểm D sao cho IB = ID. Nối C với D.
a. Chứng minh:
b. Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của AD. Chứng minh rằng I là
trung điểm của MN.
c. Chứng minh trong

<

d. Tìm điều kiện của
Bài 5: (2đ)

.
vuông góc với CD

Tìm x, y biết :

---------- Hết ---------(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................;Số báo danh..............

UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Bài 1: (2,0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 7


Ý/Phần
a)

b)

Đáp án
VT luôn

Điểm

x

0,25đ

Khi đó: VT = x+1+x+2+x+3 = 4x

⇒ x = 6 (tm)

0,5đ
0,25đ

A – 1=

+ … +

A

+ …. +

0,25đ
.

A – 1 = (-11).111 + …..+
A – 1= (-11).37.3 + … +

(1)

Ta thấy VP (1) chia hết cho 37
cho 37

VT = A – 1 chia hết

A chia 37 dư 1.

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Bài 2: (2.0 điểm)

Ý/phần
a)

Đáp án
- Điều kiện : x

+

0.25đ

x;y

+

=

Điểm

0.25đ

=

40 + 2xy = 2x
0.25đ

Vậy 40 = (1- 2y).x
Do 1- 2y là số lẻ và là ước của 40
TH1: 1- 2y = 5

1 – 2y = 1 hoặc 5

0.5đ

y = -2 (loại )

TH2: 1 – 2y = 1
Ta có x = 40(tm)
KL: Vậy x = 40 và y = 0
b)

Gọi 3 số được chia là x ,y, z . Vậy:
0.25đ
x:y:z=

: :

=

=

(1)


=

Bình phương (1) ta được

0.25đ

=

=



0.25đ

= 32400.

0.25đ

=

Từ trên 

=

= 32400

 x = 72; y = 135; z = 30
Hoặc x = -72 = -135 = -30
Vậy A = 237 hoặc A = -237
Bài 3: (2 điểm)

Ý/Phần
a.

Đáp án


b.

=11 và

Ta có

Điểm
=5.

+

0,5đ
0,5đ

A= 1.2 + 2.3 + … + 199.200
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + 199.200.3
0,25đ
3A = 1.2.(3 – 0) + 2.3.(4 – 1) + …. + 199.200.(201 198)
0,25đ
3A = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 - ….. – 198.199.200 +
199.200.201
0.25đ
3A = 199.200.201
A = (199.200.201: 3) = 199.200.67  A chia hết cho 67

0,25đ

Bài 4: (2 điểm)
a.

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

C


a)

Vẽ hình đúng và viết GT,KL

A

D

N
I

B

M

0,5đ

C

Chứng minh ∆ AIB = ∆ CID (c.g.c)
IB = ID , ∠ AIB = ∠ CID , IA = IC
0,25đ

b)
c)
d)

∆ AID = ∆ CIB (c.g.c) ⇒ ∠ CBI = ∠ ADI và MB =ND
hay MB = ND ⇒ ∆ BMI = ∆ DNI (c.g.c) ⇒ ∠ BIM = ∠
DIN ⇒ M,I,N thẳng hàng và IM =IN
∆ AIB có : ∠ BAI > 900 ⇒ ∠ AIB < 900 ⇒ ∠ BIC > 900
Nếu AC ⊥ DC ⇒ AB ⊥ AC ⇒ ABC vuông tại A

0,5đ
0,25đ
0,5đ

Bài 5: (2điểm)

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

Ta có
+30.

=

= 121 
0,25đ


- Xét

= 0;1 hoặc 4
=0

Tìm được các cặp (x;y) như sau (11;2015) , (-11,2015)
- Xét (

= 1 Tìm được các cặp (x;y) như sau

0,25đ
0,5đ
0,5đ


(9,2016), (9,2014) ,
(-9;2016) và (-9;2014)
= 4 Tìm được các cặp (x;y) như sau

- Xét

(1;2017) , (1;2013),
(-1;2017), (-1;2013) (2005x 2006):2 = 1003x 2005 =
2011015 giao điểm.

UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

0,5đ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 2
Năm học 2015-2016
Môn thi: Toán- Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút( không kể thời gian giao đề

ĐỀ SỐ 3
Bài 1: (1,5 điểm) Thực hiện phép tính:

A=

212.35 − 46.92

( 2 .3)
2

6

+ 8 .3
4

5

−

510.73 − 255.49 2

( 125.7 )

3

+ 59.143

Bài 2: (2 điểm) Tìm x,y,z biết
a/
c/

x−

1 4
2
+ = ( −3, 2 ) +
3 5
5

b/

2 x + 2.3x +1.5 x = 10800 .

x −1 y + 3 z − 5
=
=

và 5z – 3x – 4y = 50
2
4
6

Bài 3: (1 điểm)
Ba lớp 7A, 7B, 7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng
được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được
5 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều
như nhau.
Bài 4: (3 điểm)
a, Tìm số nguyên , sao cho: –
+ =0
b, Tính giá trị của biểu thức: M = a + 2ab – b với a = 1,5; b = −0,75


c, Cho tỉ lệ thức

=

( giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa)

chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau :
3

=

Bài 5: (2,5 điểm)
Cho ∆ABC . Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao
cho IB = ID. Nối C với D.

a. Chứng minh ∆AIB = ∆CID
b. Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của AD. Chứng minh rằng I
là trung điểm của MN
-----------------------Hết--------------------( Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: …………………………………; Số báo
danh……………………
UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Bài 1: (1,5 điểm)
Ý/
Phần
a/
212.35 − 46.92

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán- Lớp 7
Đáp án

510.73 − 255.492

Điểm
10

212.35 − 212.34 510.7 3 − 5 .7 4
A=
−
= 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3
6

3
9
3
2
4 5
2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7
125.7
+
5
.14
(
)
( 2 .3) + 8 .3

212.34. ( 3 − 1) 510.73. ( 1 − 7 ) 212.34.2 510.73. ( −6 ) 1 −10 7
= 12 5
−
=
− 9 3
= −
=
2 .3 . ( 3 + 1) 59.73. ( 1 + 23 ) 212.35.4
5 .7 .9
6 3
2
Bài 2: ( 2 điểm)
Ý/
Phần

Đáp án

0,5

1

Điểm


a/

x−

1 4
2
1 4 −16 2
+ = ( −3, 2 ) + ⇔ x − + =
+
3 5
5
3 5
5
5

 x −1 = 2
1 4 14
1
⇔ x − + = ⇔ x − = 2 ⇔  13
 x− =−2
3 5 5
3

 3
b/

Ta có

 x = 2+ 1 = 7
3 3
⇔ 
x=−2+ 1= −5
3 3


2 x + 2.3x +1.5x = 10800 ⇔ 2 x.22.3x.3.5 x = 10800

0,25

0,25
0,25

⇔ ( 2.3.5 ) = 900
x

⇔ 30 x = 302 ⇔ x = 2

Vậy

0,25

x = 2 là kết quả cần tìm

c/
Ta có
=
0,5
0,25
0,25

Vậy x = 5; y = 5 và z = 17
Bài 3: (1 điểm)
Ý/
Phần
a/

Đáp án
Gọi số học sinh đi trồng cây của 3 Lớp 7A,7B, 7C theo thứ tự là x, y, z
( điều kiện: x> 0; y >0 ; z >0, x,,z là các số nguyên )
Theo đề ra ta có

{

x + y + z =94(1)
3 x =4 y =5 z (2)

Từ (2) ⇒

3x 4 y 5 z
x
y
z
= =

hay
= =
60 60 60
20 15 12

áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có :

Điểm
0,25

0,25


x
y
z
x+ y+z
94
= =
=
=
=2
20 15 12
20 + 15 + 12 47

)⇒

0,25

x= 40, y=30 và z =24 ( thỏa mãn điều kiện)

Số học sinh đi trồng cây của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 40, 30, 24

cây
Bài 4: (3 điểm)
Ý/
Phần
a/
–
+

Đáp án

+ 2 = –1

– 1) (

Vì ,

Điểm
0,25

=0

–1–
(

0,25

0,25

– 2 ) = –1

Z nên (

– 1) và (

TH 1:

–2 )

Z

( Thỏa mãn )

0,25
0,25
0,25

TH 2:

( Thỏa mãn )

Vậy ( ; ) = ( 1;1), (0;0)
b/

c/

M = a + 2ab – b với a = 1,5; b = −0,75
Ta có a = 1,5 ⇒ a = ±1,5
- Với a = 1,5; b = −0,75 ⇒ M = 1,5 + 2.1,5.(−0,75) − (−0,75) = 0

Với a = −1,5; b = −0,75 ⇒ −1,5 + 2(−1,5)(−0,75) − (−0,75) = 1,5
.Ta có

=

suy ra

=

0,5

=

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
=

=

Vậy

Bài 5: (2,5 điểm)
Ý/

=
3

=

0,25
0,25

0,25

0,5

=

=

Đáp án

Điểm


Phần
a/

Vẽ hình:
GT - KL

0,5
A

N

D

I

B

M

C

a) Xét ∆AIB và ∆CID có:
IB = ID (gt)
IA = IC (gt)
ˆ = CID
ˆ (đối đỉnh)
AIB
=> ∆AIB = ∆CID (c.g.c)
b/

b) Xét ∆AID và ∆CIB có:
ID = IB (gt)
IA = IC (gt)
ˆ = CIB
ˆ (đối đỉnh)
AID
=> ∆AID = ∆CIB (c.g.c)
=>AD = BC
=>AN = MC
Mà ∆AID = ∆CIB
ˆ = MCI
ˆ
=> NAI
Xét ∆AIN và ∆CIM có:
AN = MC (cmt)
IA = IC (gt)
ˆ = MCI

ˆ (cmt)
NAI
=> ∆AIN = ∆CIM (c.g.c)
ˆ = CIM
ˆ mà A, I, C thẳng hàng nên M, I, N thẳng hàng.
=>IN = IM (1). AIN
(2). Từ (1) và (2) => I là trung điểm của MN.

1

0,25

0,25

0,25
0,25


ĐỀ SỐ 4
UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán Lớp 7
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giaođề)

Bài 1: (1,5 điểm)
1,Thực hiện phép tính một cách hợp lí:

8
1
1
1
1
1
1
- 9 72 56 42 30 20 12
1
1
1
1
b, 100.99 -…99.98 98.97
3.2

a,

-

1 1
6 2

-

1
2.1


c, So sánh các số sau: 2 30 +3 30 +4 30 và 3.24 10
Bài 2: (1 điểm) Tìm x ϵ Q, biết:

a, │2x - 3│=5
b, (3x - 2)5= -243
Bài 3: (2,5 điểm)

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và x- 2y + 3z =14
2
3
4
7n − 8
b,Tìm số tự nhiên n để phân số
có giá trị lớn nhất.
2n − 3

a, Tìm các số x, y, z biết:

Bài 4: (2,5 điểm)
a, Chứng minh rằng 76+75-74 chia hết cho 55.
b, Biết a+1 và 2a+1 (aϵ N) đồng thời là hai số chính phương.
Chứng minh rằng a chia hết cho 24.
c, Tìm các số nguyên dương n để : (n3 - 3)⋮(n-3)
Bài 5: ( 3điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB< AC) và các điểm M thuộc cạnh AC, H
thuộc cạnh BC sao cho MH vuông góc với BC và MH= HB. Chứng minh rằng AH
là tia phân giác của góc A.
---------- Hết ---------(Đề thi gồm có 1 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................;Số báo danh..............

UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp7

Bài 1: (1,5 điểm)

Ý/Phần

Đáp án

Điểm


a)

8
1
1
1
1
1
1
1 1
-(
+
+
+ +

+
+ + )
9
72
56
42 30 20
12
6 2
8 1 1 1 1
1 1 1
= -( - + - +…+ - + )
9 8 9 7 8
2 3 2
8 8
= - =0
9 9

=

b,

1
1
1
1
-(
+
+…+
)
100.99 99.98 98.97

2.1
1
98
1
98
−9799
=
- (1 )=
=
100.99
99
100.99 99
9900

0.5 đ

=

c,

Ta có:
4 30 = 2 30 .2 30 = (2 3 ) 10 .(2 2 ) 15 =8 10 .4 15 >8 10 .3 15 >8 10 .3 11
= 8 10 .3 10 .3= 3.24 10
Vậy 2 30 + 3 30 + 4 30 > 3.24 10

0.5 đ

0.5 đ

Bài 2: (1điểm)

Ý/Phần
a)

Đáp án

Điểm

x= 4;
0.25 đ
0.25 đ

x=-1
b)

x=

1
3

0.5 đ

Bài 3: (2,5 điểm)

Ý/Phần

Đáp án

Điểm

a)

x − 1 2.(y− 2) 3.(z − 3)
=
=
2
2.3
3.4
x − 1 2 y − 4 3z − 9
Hay
=
=
2
6
12

0.5 đ

Áp dụng TCDTSBN ta có:

0.5 đ

Suy ra: x=3; y=5; z=7

0.5 đ

x −1
y−2
z −3

x −1 2 y − 4
3z − 9
x − 2 y + 3z − 6
=
=
=
=
=
=
2
3
4
2
6
12
2 − 6 + 12
14 − 6
=
=1
8
2.(7 n − 8)

b)

7(2 n − 3) + 5

Ta có A= 2.(2 n − 3) = 2(2 n − 3)

=

5
7
+ 2(2 n − 3)
2

0.5 đ

5
Đặt B= 2(2 n − 3) thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất.
0.5 đ

GTLN của A= 6 khi và chỉ khi n=2
Bài 4: (2,5 điểm)

Ý/Phần
a)
b)

c)

Bài 5 (3 đ)
Ý

Đáp án
Ta có 7 .(7 +7-1)= 7 .55 chia hết cho 55
4

2

Điểm

4

0.5 đ

Đặt a+1= k2, 2a+1=m2 (k, m ∈ N)
Vì 2a+ 1 là số lẻ nên m2 là số lẻ, do đó m là số lẻ, đặt
m=2t+1(t∈ N), khi đó 2a+1=(2t+1)2, suy ra a= 2t(t+1) là
số chẵn nên a+1 là số lẻ, vì thế k2 là số lẻ.
Mà a=(k-1)(k+1)là tích hai số chẵn liên tiếp nên a chia hết
cho 8 (1)
Mặt khác a+1+2a+1=3a+2=k2+m2 là số chia cho 3 dư 2,
do vậy cả hai số k2 và m2 khi chia cho 3 đều dư 1, khi đó
m2-k2 =2a+1-a-1=a chia hết cho 3 (2)
Từ (1)và (2) suy ra a ⋮ 3.8=24
n3 – 3= n3 -27 +24= (n-3)(n2+3n+9)+24. Để n3-3chia hết
cho n-3 thì n-3 phải là ước của 24 nghĩa là n-3 nhận các
giá trị ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12,±24. Từ đó suy ra các
giá trị n cần tìm.

ĐÁP ÁN
Vẽ hình, ghi GT, KL

ĐIỂM
0.5 điểm

0.5 đ

0.5 đ

0.5 đ
0.5 đ


A
M K
I
B

C
H

Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC. Ta có góc HMK =
góc B(cùng phụ với góc C)
Chứng minh được ∆ vuông HKM= ∆
1 điểm
vuông HIB (cạnh huyền+ góc nhọn) suy ra
HK=HI
Chứng minh được ∆ vuông HIA= ∆
1 điểm
vuông HKA(cạnh huyền + cạnh góc vuông)
suy ra góc HAI= góc KAH.
Do đó Ah là tia phân giác của góc A
0,5 điểm


ĐỀ SỐ5
UBND HUYỆN ...............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN
ĐỢT 2
Năm học 2015 - 2016
Môn thi:Toán Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian
giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính:

1  1 176  12  10

10  26 −
 −  − 1,75 
3  3 7  11  3

A=
5
60
(91 − 0,25). − 1
11

b) Chứng minh rằng: Với mọi sồ nguyên dương n thì:
3n+3 − 2.3n + 2 n+5 − 7.2 n chia hết cho 25
Bài 2: (2 điểm)
Tìm x biết:
a) 4- x +2x =3
b)

x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 349
+
+
+
+
=0
5
327
326 325 324

Bài 3: (2 điểm)
a) Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao tương ứng
ba cạnh đó tỉ lệ với số nào?
3

a
b c
a
a+b+c
= =
b) Cho:
. Chứng minh: 
 = .
b
c d
d
b+c+d 
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC . Đường thẳng
vuông góc với tia phân giác của góc A tại M cắt cạnh AB , AC lần lượt tại E và F .

Chứng minh :


a)
b)

EH = HF
=

-

FE 2
c)
+ AH 2 = AE 2 .
4
b) BE = CF .
Bài 5: (0,5 điểm)

1
. Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.
2( n − 1) + 3
---------- Hết ---------(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................;Số báo danh..............
Cho B =

2


UBND HUYỆN ...............

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
Bài 1: (2 điểm)
Ý/Phần
a)

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 7

Đáp án
1  1 176  12  10

10  26 −
 −  − 1,75 
3  3 7  11  3

A=
5
60
(91 − 0,25). − 1
11
31  183 176  12  10 175  31
12 475
−

−  −

.1 − .
3 7
7  11  3 100  3

11 300
A= 
=
− 71 60
 5 1  60
. −1
 − . − 1
364 11
 91 4  11

31 19
341 − 57
−
284 1001 284284
3 11 =
33
=
.
=
=
1056 1001
55
33 55
1815
−
1001 1001
1001

3 − 2.3 + 2 − 7.2
= 3 .25 + 2 .25

= 25.( 3 + 2 )

b)

n+3

n+5

n

n

0,5

0,5

n

n

n

Điểm

n

0,5
0,5

Bài 2: (2 điểm)

Ý/Phần

Đáp án

Điểm


4-x+2x=3 (1)
* 4-x≥0 => x≤4
(1)<=>4-x+2x=3 => x= -1( thỏa mãn điều kiện)
*4-x<0 => x>4
(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại)

a)

0,5
0,5

x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 349
+
+
+
+
=0
325
5
327
326
324

b)

x+2
x+3
x+4
x+5
x + 349
+1+
+1+
+1+
+1+
− 4 = 00,25
327
326
325
324
5
1
1
1
1
1
⇔ ( x + 329)(
+
+
+
+ )=0
0,5
327 326 325 324 5
⇔ x + 329 = 0 ⇔ x = −329

0,25
⇔

Bài 3: (2 điểm)
Ý/Phần
a)

b)

Đáp án
Gọi độ dài 3 cạnh lần lượt là a, b, c. Chiều cao tương
ứng là x, y, z, diện tích S
2S
2S
2S
b=
a=
c=
y
x
z
a b c
2S 2S 2S
⇒ = = ⇒
=
=
2 3 4
2x 3y 4z
x y z
⇒ 2x = 3y = 4z ⇒ = =

A
6 4 3
Vậy ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó lần lượt tỉ lệ
với 2, 3, 4
a b c a
E
Ta có . . = . (1)
1
b c d d
M

B

a b
c
a+b+c
= =
=
. (2)
Ta lại có
H
b c d
b+c+a
3

a
a+b+c
Từ (1) và(2) => 
 =
d

b+c+d 

C

Điểm
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

D
F

0,5

Bài 4: (3,5 điểm)
Ý/Phần

Đáp án
Vẽ hình và viết GT, KL đúng

Điểm
0,25


a)
b)

C/m được ∆AEH = ∆AFH (g-c-g) Suy ra EH = HF
(đpcm)

0,75

Từ ∆AEH = ∆AFH Suy ra

0,25

Xét ∆CMF có

=

là góc ngoài suy ra
=

Xét ∆BME có

-

là góc ngoài suy ra
0,25
=

vậy

+

hay

c)

=(
=

- )+(
-

-

0,25

)

0,25

(đpcm).

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH :
2

2

ta có HF + HA = AF

2

FE 2
+ AH 2 = AE 2 (đpcm)
hay

4

0,5

=

0,25

C/m ∆AHE = ∆AHF ( g − c − g )

d)

Suy ra AE = AF và

Từ C vẽ CD // AB ( D ∈ EF )
C/m được ∆BME = ∆CMD ( g − c − g ) ⇒ BE = CD
và có

=

do đó

=

0,25
(1)

(cặp góc đồng vị)

0,25

⇒ ∆ CDF cân ⇒ CF = CD ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra BE = CF

0,25

Bài 5: (0,5 điểm)
Ý/Phần

Đáp án
Để B có giá trị lớn nhất B ⇔ 2( n − 1) + 3 nhỏ nhất
Vì ( n − 1) 2 ≥ 0 ⇒ 2( n − 1) 2 + 3 ≥ 3 đạt NN khi bằng 3
Dấu bằng xảy ra khi n − 1 = 0 ⇔ n = 1

Điểm

2

vậy B có giá trị lớn nhất ⇔ B =

1
và n = 1
3

0,25
0,25