Bài tập giải tích 2 có lời giải

1

Chương 1
Tích phân bội
1.1

Tích phân kép

1.1. Tính các tích phân kép sau:
(4x + 2)dxdy, với D là miền: 0 ≤ x ≤ 2; x2 ≤ y ≤ 2x.

a. I=
D

√
y xdxdy, với D là miền: x ≥ 0; y ≥ x2 ; y ≤ 2 − x2 .

b. I=
D

y ln xdxdy, với D là miền giới hạn bởi: xy = 1; y =

c. I=

√

x; x = 2.

D

xydxdy, với D là nửa trên của hình tròn: (x − 2)2 + y 2 ≤ 1; y ≥ 0.

d. I=
D

e. I=
D

f. I=

x+y
dxdy, với D là nửa trên của hình tròn: (x − 1)2 + y 2 ≤ 1; y ≥ 0.
x2 + y 2
√
√
xydxdy, với D là miền giới hạn bởi: y = 2x − x2 ; y = 3x; y = 0.

D

x2
+ y 2 = 1.
4

(12 − 3x2 − 4y)dxdy với D là miền giới hạn bởi

g. I=
D

xy 2 dxdy, với D là miền giới hạn bởi: x2 + (y − 1)2 = 1; x2 + y 2 = 4y.

h. I=

D

i. I=
D

√
dxdy
, với D là miền giới hạn bởi: y = x; y = 3 x; x2 + y 2 = 4x; x2 +
2
2
+y )

(x2

y 2 = 8x.
|y − x2 |dxdy, với D là miền −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2.

j. I=
D

1.2. Đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau:
2

√

f (x, y)dy.
2−x

1

√

2

b. I= dx
0

e

2x−x2

a. I= dx

√

2x

f (x, y)dy.
2x−x2

Bài tập Giải tích 2

ln x

c. I= dx

f (x, y)dy.

1

0

2

1

d. I= dy
0

f (x, y)dx.
y
2

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


2

CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI

1.3. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:
a. x2 = y; x2 = 2y; y 2 = x; y 2 = 4x.

c. x2 + y 2 = 2x; x2 + y 2 = 2y.

b. y = 4x − x2 ; y = 2x2 − 5x.

d. x2 + y 2 = 2x; x2 + y 2 = 1.

Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y) và hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy

là D := chV /Oxy. Khi đó, diện tích của mặt S được tính bởi công thức
1 + fx2 + fy2 dxdy.

∆S =
D

1.4. Tính diện tích phần các mặt cong được chỉ ra sau đậy:
a. Phần mặt phẳng

x
2

+

y
3

+

z
4

= 1, bị chặn bởi các mặt phẳng tọa độ.

b. Phần Parabol Eliptic y = 2 − x2 − z 2 , mằn phía trong mặt trụ x2 + z 2 = 1.
c. Phần mặt nón z =

x2 + y 2 , bị chặn bởi mặt trụ x2 + y 2 = 2x.

d. Phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1, bị chặn bởi phần mặt trụ z 2 = 2y.

1.2

Tích phân bội 3

1.5. Tính các tích phân 3 lớp sau:
(x2 + z 2 )dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + z 2 = 2y; y = 2; x ≤ 0.

a. I=
V

z 2 dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 +y 2 +z 2 = 2; z =

b. I=

x2 + y 2 ; y ≥ 0.

V

x2 y 2 dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y 2 = 1; z = 0; z = x2 + y 2 .

c. I=
V

y cos(x + z)dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: y =

d. I=

√
x; y = 0; z =

V

0; x + z = π2 .
x2 dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: z = 2 − x2 − y 2 ; z = 0; x2 + y 2 ≤

e. I=
V

1; x ≤ 0; y ≥ 0.
xzdxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y 2 + z 2 = 2; y =

f. I=

√
x2 + z 2 , (x ≤

V

0, z ≥ 0).
x2 + y 2 dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 +y 2 −z 2 = 0; z = 1; x ≤ 0.

g. I=
V

xyzdxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y 2 = 2; y = x2 ; z = 0; z = 1.

h. I=
V

1.6. Đổi biến thích hợp để tính các tích phân sau:

Bài tập Giải tích 2

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


1.2. TÍCH PHÂN BỘI 3
√

√

3

√

0

−1

dy
0
√

1

b. I=

4−x2 −y 2

3−x2

dx

a. I=

dx

3

dz.

x2 + y 2 dz.
2(x2 +y 2 )

√
1−x2

dy

0

2

dy

√

c. I= dx

(x2 +y 2 )/3

1−x2

√
− 1−x2

1

a

0
√

dz.

√

x2 +y 2

√
a2 −x2

d. I= dx
0

2−x2 −y 2

a2 −x2 −y 2

dy
0

zdz.
0

1.7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau:
a. z = 4 − y 2 ; z = y 2 + 2; x = 0; x = 2.

d. z = x2 +y 2 ; z = x2 +y 2 +1; x2 +y 2 = 1.

b. z = x2 + y 2 ; z = 2x2 + 2y 2 ; y =
x2 ; y = x.

e. y = x2 ; y + z = 1; z = 0.

c. z = x2 + y 2 ; y = x2 ; y = 1; z = 0.

g. z = x2 + y 2 ; z = x + y.

Bài tập Giải tích 2

f. z = 4 − x2 ; x2 + y 2 = 4; z = 0.

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


4

Chương 2

Tích phân đường
2.1

Tích phân đường loại 1

2.1. Tính các tích phân đường loại 1 trong R2 sau:
a. I= x3 dl, với C là cung y =
C

√
x2
, (0 ≤ x ≤ 3).
2

b. I= xydl, với C là chu tuyến của hình vuông |x| + |y| = 1.
C

c. I= y 2 dl, với C là cung Cycloit: x = t − sin t, y = 1 − cos t, (0 ≤ t ≤ 2π).
C

d. I=

4

4

x 3 + y 3 dl, với C là đường Astroit: x = cos3 t, y = sin3 t, (0 ≤ t ≤ 2π).

C

e. I= (y 2 − x2 )dl, với C là cung x2 + y 2 = a2 , (x ≤ 0, y ≥ 0).
C

f. I= xydl, với C là đường gấp khúc nối O(0, 0); A(1, 3); B(2, 4).
C

g. I= (y − x)dl, với C là cung x2 + y 2 = 4x, (y ≥ 0).
C

h. I=

x2 + y 2 dl, với C là cung x2 + y 2 = 2y, (y ≥ 1).

C

2.2. Tính các tích phân đường loại 1 trong R3 sau:
a. I= (x2 + y 2 + z 2 )dl, với C là đường x = cos3 t, y = sin3 t, z = t, (0 ≤ t ≤ 2π).
C

b. I= xyzdl, với C là một phần giao tuyến của 2 mặt x2 + y 2 + z 2 = 4; x2 + y 2 =
C

1, (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).
c. I=

2y 2 + z 2 dl, với C là một phần giao tuyến của 2 mặt: x2 + y 2 + z 2 = 2; y = x.

C

d. I= (2z −

x2 + y 2 )dl, với C là đường xoắn ốc x = t cos t, y = t sin t, z = t, (0 ≤

C

t ≤ 2π).
Bài tập Giải tích 2

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


2.2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

2.2

5

Tích phân đường loại 2

2.3. Tính các tích phân đường loại 2 sau:
a. I= (2 − y)dx + xdy, với C là cung Cycloit x = t − sin t, y = 1 − cos t, (t : 0 → 2π).
C

b. I= (x2 − 2xy)dx + (2xy + y 2 )dy, với C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi
C

y = x2 , y = 0, x = 1.
c. I= ydx − (y + x2 )dy, với C là phần cung y = 3x − x2 , nằm phía trên Ox và theo
C

chiều ngược kim đồng hồ.
d. I= (xy − 1)dx + x2 ydy, với C là phần cung x = 1 −
C

y2
, lấy từ A(1, 0) đến B(0, 2).
4

e. I= (x2 + y 2 )dx + (x2 − y 2 )dy, với C là đường cong y = 1 − |1 − x|, với x tăng từ 0
C

đến 2.
f. I= (x + y)dx − (x2 + y 2 )dy, với C là nửa trên đường tròn x2 + y 2 = 1, đi từ A(1, 0)
C

đến B(−1, 0).
xdy − ydx

g. I=

1+

C

x2

+

y2

, với C là

1
4

đường tròn x2 + y 2 = 4, đi từ A(2, 0) đến B(0, 2).

(x + y)dx − (x − y)dy
, với C là đường tròn x2 + y 2 = 4, lấy ngược chiều kim
2 + y2
x
C
đồng hồ.

h. I=

i. I= x2 ydx + x3 dy, với C là chu tuyến miền giới hạn bởi y = x2 , x = y 2 .
C

j. I= (6y + x)dx + (3y + 2x)dy, với C là đường tròn (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4.
C

k. I= (ex sin y + 5xy)dx + (ex cos y − 5)dy, với C là nửa trên đường tròn x2 + y 2 = 2x,
C

đi từ A(2, 0) đến O(0, 0).
l. I= (xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy, với C là đường Elip
C

m. I= (ey sin x − x)dx − (ey cos x − 1)dy, với C là

C

1
4

x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b

đường tròn x2 + y 2 = 2x, đi từ

O(0, 0) đến A(1, 1).
(3,2)

n. I=
(1,1)

xdx + ydy
, theo đường cong không đi qua gốc O.
x2 + y 2

(3,0)

o. I=

(x4 + 4xy 3 )dx + (6x2 y 2 − 5y 4 )dy.

(−2,−1)

Bài tập Giải tích 2

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


6

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
(1,0)

p. I=
(0,−1)

xdy − ydx
, theo đường cong không cắt đường thẳng y = x.
(x − y)2

2.4. Tìm các tham số để các tích phân sau không phụ thuộc vào đường lấy tích phân
a. I=
C

(x + y)(xdy − ydx)
, với n là tham số và C là đường cong không đi qua gốc tọa
(x2 + y 2 )n

độ.
(1 − ax2 )dy + 2bxydx
, với a, b là tham số và C là đường cong không đi qua các
(1 − x2 )2 + y 2
C

điểm (1, 0) và (−1, 0).

b. I=

(x − y)dx + (x + y)dy
, với n là tham số và C là đường cong không đi qua gốc
(x2 + y 2 )n
C
tọa độ.

c. I=

2.5. Tính các tích phân đường loại 2 trong không gian sau:
a.
b.
c.

Bài tập Giải tích 2

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


7

Chương 3
Tích phân mặt
3.1

Tích phâm mặt loại 1

3.1. Tính các tích phân sau:
(3x + 2y + z)ds, với S là phần mặt phẳng x + 2y + z = 1 nằm trong miền

a. I=
S

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
zds, với S là phần mặt Paraboloid z = 2 − x2 − y 2 nằm trong miền z ≥ 0.

b. I=
S

(x2 + y 2 )ds, với S là nửa mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1 nằm trong miền z ≥ 0.

c. I=
S

xyds, với S là

d. I=
S

1
4

mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1 nằm trong miền x ≥ 0, y ≥ 0.

x2 + y 2 ds, với S là phần mặt nón x2 +y 2 −z 2 = 0 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1.

e. I=

S

xyzds, với S là phần mặt trụ x2 + y 2 = 1 bị cắt bởi các mặt y + z = 1, z = 0

f. I=
S

và nằm trong miền x ≥ 0.
xzds, với S là phần mặt phẳng y + 2z = 6 nằm trong mặt trụ x2 + y 2 = 2y.

g. I=
S

x2 + y 2 nằm trong mặt trụ

(xy + yz + zx)ds, với S là phần mặt nón z =

h. I=
S

x2 + y 2 = 2x.
3.2. Tính diện tích phần mặt phẳng x + 2y + 2z = 5 nằm trong 2 mặt trụ y = x2 và
y = 2 − x2 .
3.3. Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 2 nằm trong mặt nón z =

x2 + y 2 .

3.4. Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi x2 + y 2 = 1, x + z = 1 và z = 0.
3.5. Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi z =
Bài tập Giải tích 2

x2 + y 2 , z = 2 − x2 − y 2 .

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


8

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN MẶT

3.2

Tích phân mặt loại 2

3.6. Tính trực tiếp các tích phân mặt loại 2 sau
xyzdxdy, với S là mặt phía ngoài của

a. I=
S

1
4

mặt cầu x2 +y 2 +z 2 = 4, (x ≥ 0, y ≥ 0).

xdydz, với S là mặt phía trên (theo hướng Oz) của nửa mặt cầu x2 + y 2 + z 2 =

b. I=
S

4, (z ≥ 0).
zdxdy, với S là phần mặt Paraboloid z = x2 + y 2 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1,

c. I=
S

lấy phía ngoài.
y 2 dxdz, với S là mặt phía ngoài của phần mặt Paraboloid z = x2 + y 2 nằm

d. I=
S

trong miền 0 ≤ z ≤ 1.
z 2 dydz + xdxdz − 3zdxdy, với S là mặt phía trong của phần mặt trụ z = 4 − y 2

e. I=
S

nằm trong miền 0 ≤ x ≤ 1, z ≥ 0.
xdydz + ydxdz + zdxdy, với S là mặt phía trong của phần mặt trụ y = x2

f. I=
S

nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1, y ≤ 1.
xydydz + yzdzdx + zxdxdy, với S là mặt phía trên (theo hướng Oz) của phần

g. I=
S

mặt phẳng y + z = 2 nằm trong trụ x2 + y 2 = 1.
3.7. Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss để tính các tích phân sau
yzdydz + yxdxdz + y 2 dxdy, với S là biên phía ngoài của tứ diện x + y + z ≤

a. I=
S

1, x ≥ 0, y ≥ 0 và z ≥ 0.
xzdydz + zydxdz + xydxdy, với S là biên phía trong của vật thể giới hạn bởi

b. I=
S

x2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ 1.
xzdydz+zydxdz+xydxdy, với S là mặt phía ngoài của phần mặt nón x2 +y 2 =

c. I=
S

z 2 , nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1.
z 2 dxdy, với S là mặt phía ngoài của ellipsoid

d. I=
S

x2 y 2 z 2
+
+
= 1.
4

9
16

xdydz+ydxdz+zdxdy, với S là mặt phía ngoài của phần mặt cầu x2 +y 2 +z 2 =

e. I=
S

2z, nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1.
yzdxdz + xzdydz + xydxdy, với S là biên phía ngoài của vật thể xác định bởi

f. I=
S

0 ≤ z ≤ x2 + y 2 , x2 + y 2 ≤ 4, ; x ≥ 0 và y ≥ 0.

Bài tập Giải tích 2

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


9

Chương 4
Phương trình vi phân
4.1. Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau:
a. tan ydx − x ln xdy = 0

m. x2 y 2 y + xy 3 = 1

b. x(1 + x2 )y − y(x2 + 1) + 2x = 0

n. y =

y

c. xy = xe x + y + x

1
2x + y

o. 2ydx = (2y 3 − x)dy
2

d. y − 2y tan x + y 2 sin x = 0
e. y cos x = y

q. y =

f. y − 2y = sin 2x
g. x(y − sin
h.

y
)
x

p. (y +

=y

3y + 2
y2 + 4
y =√
x+1
x2 + 4x + 13

i. y = 1 + cos x

r. y =

2
)dx
x2

√
3

+ (x −

3
)dy
y2

=0

2x + y − 3
(4x − y + 1)2

s. y + y = xe3x

t. (x2 − xy)dy + y 2 dx = 0
u. y = y(y 3 cos x + tan x)
x−y−1
x−y−2

j. (x2 + y)dx + (x − 2y)dy = 0

v. y =

k. x2 y + y 2 + xy + x2 = 0

w. y = sin(y − x − 1)

l. ydx − (x + y 2 sin y)dy = 0

x. (x + 2y)dx − xdy = 0

4.2. Tìm nghiệm riêng của các phương trình sau với điều kiện ban đầu đã cho tương ứng:
a. x2 (y 3 + 5)dx + (x3 + 5)y 2 dy = 0, thỏa mãn y(0) = 1.
b. xy = y ln xy , thỏa mãn y(1) = 1.
c. 3dy + (y + 3y 4 ) sin xdx = 0, thỏa mãn y( π2 ) = 1.
d. y = −

3x − 1 + 3y
, thỏa mãn y(0) = 2.
2(x + y)

√
e. ( xy − x)dy + ydx = 0, thỏa mãn y(1) = 1.
f. (y +

x2 + y 2 )dx − xdy = 0, thỏa mãn y(1) = 0.

Bài tập Giải tích 2

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


10

CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
g. y

√

1 − x2 + y = arcsin x, thỏa mãn y(0) = 0.

h. 2ydx + (2x − x3 y)dy = 0, thỏa mãn y( 12 ) = 1.
4.3. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 sau:
a. (1 − ln x)y +

y
y
− 2 = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng là y = ln x.
x
x

b. y + y tan x − cos2 x = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng có dạng y =
1
sin2 (x).

2
c. x2 y − xy + y = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng dạng đa thức.
d. x2 y − 2y = x2 , biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng là y = x1 .
e. (2x + 1)y + (2x − 1)y − 2y = x2 + x, biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm
riêng dạng đa thức.
4.4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng sau:
a. y − 3y + 2y = 2x2 − 6

d. y + 4y + 4y = e2x

b. y + 2y − 3y = 4ex

e. y − 6y + 10y = sin 2x

c. y − 3y = 3x + 7

f. y − 2y = x + e3x

Bài tập Giải tích 2

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


11

Chương 5
Lý thuyết chuỗi
5.1. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
∞

(n + 1) sin

a.

n=1
∞

b.
n=1

π
n

∞

n+3
n+1

ln

g.
n=1

∞

n.
n=1

n3 + n
en

n=1
∞

1

h.

n(n + 2)

∞

o.
n=1

∞

n−1
i.
2
n=1 ln n

2n + n
n
n=1 3 + 1
∞

c.

∞

d.

(2n + 1)!!
n!
n=1
∞

e.
n=1

n2 + 2
2n2 + n

n=1

f.
n=1

n+1
n+2

q.

(2n + 1)!
k.
2n .n2
n=1

n

∞

2n

l.

2n2

∞

.

m.

2
1−
n

(−1)n

n=1

1 n
e
n=1 n!
∞

∞

n=1

∞

n

n2 + n
n2 + 1

∞

j.

n − n2
n2 + 1

∞

p.

n=1

2

n2 + 2n
2n2 + 3

√

n

n

n+1−
n

√

n−1

3n (n!)2
n=1 (2n)!
∞

n(n+1)

r.

∞

n!
(2n)!!

s.

1
(−1)n tan √
n
n=1

5.2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
∞

a.
n=1

√
(−3)n n+1
√
xn n

5.3. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:
√
∞ n+
n n
a.
x .
2n
n=1
∞

b.
n=1

3n2 + 1
5n2 − 1

∞

d.
n=1

n

n!
.
n
n
n=1 n x

+ 1)n

.

e.

3n x2n
.
n=1 2n + 1

f.

(−1)n−1
(2x − 3)n .
n
n2
n=1

∞

xn .

∞

c.

1
n3 2n (x

∞

5.4. Tính tổng

Bài tập Giải tích 2

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


12

CHƯƠNG 5. LÝ THUYẾT CHUỖI
∞

x4n−3
.
n=1 4n − 3

c.

(−1)n−1
.
n−1

n=1 (2n − 1)3

d.

∞

a.

∞

b.

Bài tập Giải tích 2

n(n + 1)xn−1 .

n=1
∞

(−1)n−1 (2n − 1)x2n−2 .

n=1

Giảng viên: Phan Đức Tuấn