Toán rời rạc chương Tập hợp và Phép đếm

Chương 1. Tập hợp và phép đếm

Chương 1

TẬP HỢP VÀ PHÉP ĐẾM
I. TẬP HỢP
1. Khái niệm tập hợp
a. Khái niệm
Là một nhóm các đối tượng nào đó hiểu theo nghĩa chung nhất (không kể đến bản chất của
các đối tượng đó – không cần các đặc tính chung giữa các đối tượng). Tuy nhiên khi nói về tập
hợp ta thường xét nhóm các đối tượng có các đặc tính liên quan đến nhau, cùng thoả một tính
chất nào đó. Ví dụ: tập hợp các sinh viên trong một lớp, tập hợp các cuốn sách trong một thư
viện, tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng, tập hợp các kí tự trong bảng mã ASCII …
Các đối tượng thuộc một tập hợp cho trước được gọi là các phần tử của tập hợp. Một phần
tử x thuộc tập hợp X được kí hiệu: x  X, nhiều phần tử (ví dụ x, y, z) thuộc cùng một tập hợp có
thể được viết gọn: x, y, z  X. Kí hiệu x  X để chỉ x không phải là phần tử của X.
Lý thuyết tập hợp dựa trên khái niệm trực giác này được nhà bác học Đức George Cantor
đưa ra năm 1895 đã đặt nền tảng cơ sở cho nhiều bộ môn toán học khác nhau. Tuy nhiên do tính
không chặt chẽ của “định nghĩa” nên nó dẫn đến nhiều nghịch lý. Một trong những nghịch lý nổi
tiếng đó do nhà triết học Anh Bertrand Russell chỉ ra năm 1902 (xem phần bài tập). Từ đó lý
thuyết tập hợp được xây dựng chặt chẽ hơn dựa trên các hệ tiên đề. Người đầu tiên xây dựng hệ
tiên đề cho lý thuyết tập hợp là E. Zemelo (1904). Mọi chứng minh về tập hợp sẽ được suy dẫn
chặt chẽ từ hệ tiên đề thay cho những lập luận trực giác mang chất cảm tính, thường là thiếu tin
cậy trong những trường hợp cần tính toán phức tạp.
Tuy nhiên, trong tập bài giảng này khái niệm trực giác về tập hợp của Cantor là đủ để
chúng ta trình bày và chứng minh các kiến thức cơ sở về lý thuyết tập hợp dùng trong các ứng
dụng tin học.
b. Biểu diễn tập hợp
 Phương pháp liệt kê:
 A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
 B = { Xuan, Ha, Thu, Dong }

 C = { 2, 3, 5, …}
 Mô tả tính chất: X = { x | P(x) } (X là tập hợp chứa các phần tử x có tính chất P)
 A = { n | n = 2k + 1, 0  k  4 }
 B = { x | x là tên các mùa trong năm }
 C = { fn | fn là các số hạng của dãy số fibonaci với n > 1 } hoặc
C = { n | n là số nguyên tố }
 Giản đồ Venn: Thường sử dụng để mô tả mối tương quan giữa các tập hợp, không chú ý
đến số lượng hoặc tính chất của các phần tử.
c. Lực lượng của tập hợp
 Đối với tập hữu hạn : Là số lượng phần tử của tập hợp
1


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
 A = { 1, 3, 5, 7, 9 },
|A| = 5
 B = { Xuan, Ha, Thu, Dong }, |B| = 4
 C = { x | x là nghiệm của phương trình (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 },
|C| = 3
 Đối với tập vô hạn : Phân biệt vô hạn đếm được và vô hạn không đếm được (continum)
 A = { 2, 3, 5, …}, |A|, N, Z, Q vô hạn đếm được
 B = { x | x  [0, 1] }, |B|, R, C vô hạn không đếm được.
 Tập rỗng: là tập không có phần tử nào và được ký hiệu bởi .
 A = { x | nghiệm của phương trình x2 + x + 1 = 0 }, B = { n| n là loài dở hơi biết bơi},
C = { }  A = B = C = .
2. Tập con, tập tích
a. Tập con: A  B  x  A  x  B
Ví dụ:
 A = { 2, 5 }, B = { x | (x - 2)(x - 5) = 0 }, C = { x | x là số nguyên tố }  A  B  C
 Với tập A bất kỳ:   A, A  A.

b. Tập tích:

A x B = { (a, b) | a  A, b  B }

Ví dụ: A = { 1, 2 }, B = { a, b, c }
 A x B = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }
c. Tập của tập hợp, tập luỹ thừa
Các phần từ của một tập hợp có thể là tập hợp. Tập các tập con của tập A được gọi là tập
lũy thừa của A và ký hiệu: (A) hoặc 2A. Nếu A có n phần tử thì (A) có 2n phần tử.
|(A)| = 2|A|
Ví dụ:
 A = {1, 2}  (A) = { , {1}, {2}, {1,2} }
 B = { , 1, {2} }  2B ={ , {}, {1}, {{2}}, {,1}, {,{2}}, {1,{2}}, {,1,{2}}
3. Các phép toán tập hợp
a. Các phép toán: Hợp, giao, hiệu, phần bù
 Hợp: A  B = { x | x  A hoặc x  B }
 Giao: A  B = { x | x  A và x  B }
 Hiệu: A \ B = { x | x  A và x  B }
 Phần bù: A = X \ A
(X qui ước cho tập “mẹ” của tất cả các tập con A, B, C )
Ví dụ: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { x | số chẵn không quá 10 } 
A  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 }, A  B = { 2, 4 }, A \ B = { 1, 3, 5 }
Giả sử X = tập các số nguyên từ 1 đến 10   A = { 6, 7, 8, 9, 10 },  B = { 1, 3, 5, 7, 9 }.
b. Các hằng đẳng thức
Tên gọi
Luật đồng nhất
Luật nuốt

Tương đương
A  A  A  A  A  X  A    A  A

A  X  X; A    ; A  A  X; A  A  
2


Chương 1. Tập hợp và phép đếm

Luật hấp thụ
Luật giao hoán
Luật kết hợp
Luật phân phối
Luật De Morgan

A  (A  B)  A; A  (A  B)  A
A  B  B  A; A  B  B  A
(A  B)  C  A  (B  C); (A  B)  C  A  (B  C)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C);
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
(A  B)  A  B; (A  B)  A  B

c. Phép toán trên nhiều tập hợp
Một công thức tập hợp được tạo thành từ các tập hợp, các phép toán và các dấu () theo qui
tắc kết hợp và tính toán nhất định. Công thức cũng cho ra một tập hợp.
Ví dụ: A  (B \ C) là một tập hợp được tính từ A, B, C và các phép toán , \.
d. Tập bằng nhau, cách chứng minh 2 tập bằng nhau
A = B  A  B và B  A
Ví dụ: A = { 2, 5 }, B = { x | (x - 2)(x - 5) = 0 }, C = { x | x là số nguyên tố }
A=BC
Chứng minh 2 tập bằng nhau:
 Bằng định nghĩa: Ví dụ: A = {1, 2, 3} và B = { x  R: x3 + 11x = 6x2 + 6 }. Để chứng
minh A = B cần chứng minh A  B (thử từng phần tử) và ngược lại B  A (B là tập

nghiệm của phương trình (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0). Hoặc chứng minh hằng đẳng thức
phân phối: A  (B  C) = (A  B)  (A  C). Ký hiệu VT, VP là vế trái, vế phải của
hằng đẳng thức. Cần chứng minh: VT  VP và ngược lại VP  VT.
Lấy x  VT  x  A và (x  B hoặc x  C)  (x  A và x  B) hoặc (x  A và x 
C)  x  A  B hoặc x  A  C  x  (A  B)  (A  C)  x  VP  VT  VP.
Ngược lại, tương tự ta cũng chứng minh được: VP  VT. Từ đó suy ra VT = VP.
 Bằng biểu đồ Venn. Ví dụ chứng minh (A  B)  (A  B) = (A  B)  (B  A)
 Dùng các hằng đẳng thức. Ví dụ chứng minh

A  (B  C )  A  (B  C )

4. Biểu diễn tập hợp trên máy tính. Vectơ bit
Thường dùng với các tập hợp có ít phần tử. Giả sử các tập hợp A, B, C, D, … được chứa
trong tập không gian X = { x1, x2, x3, …, xn }. Khi đó, mỗi tập con A sẽ được biểu diễn bằng một
vecto bit có độ dài n, trong đó giá trị tại vị trí thứ k của vecto là 1 nếu xk  A và là 0 nếu ngược
lại. Ví dụ lấy X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, A = { các phần tử chẵn của X }, B = { các phần
tử lẻ của X }, C = { các phần tử nguyên tố của X }. Khi đó các tập A, B, C được biểu diễn bởi
các vecto:
A:

0101010101

B:

1010101010

C:

0110101000

Hầu hết các ngôn ngữ lập trình đều có những phép toán làm việc với bit, do vậy việc làm toán đối
với các tập hợp thông qua vecto bit là thuận lợi.
Ví dụ trên:

AB=0000000000=
3


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
A  B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
AC=0100000000={2}
B  C = 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 = { 1, 2, 3, 5, 7, 9 }
II. PHÉP ĐẾM
1. Các qui tắc đếm cơ bản
a. Qui tắc cộng
Giả sử có công việc có thể làm được theo 2 cách. Hai cách này không cần phải làm đồng
thời, không phụ thuộc vào nhau. Cách 1 có thể làm theo m phương án và cách 2 có thể làm theo n
phương án. Khi đó số phương án để thực hiện công việc trên là m + n.
Ví dụ 1: Cần chọn một đại biểu là sinh viên nam trong 86 nam hoặc là sinh viên nữ trong 34 sinh
viên nữ  số phương án chọn là 86 + 34 = 120.
Có thể mở rộng qui tắc trên cho trường hợp 1 công việc có thể thực hiện được theo k cách,
tương ứng với số phương án n1, n2, ..., nk (không có 2 cách nào cùng phải tiến hành đồng thời),
khi đó số phương án để thực hiện công việc là m = n1 + n2 + ... + nk.
Ví dụ 2: Một sinh viên có thể chọn câu hỏi thi theo 4 chủ đề khác nhau.
b. Qui tắc nhân
Giả sử một công việc có thể thực hiện được theo 2 giai đoạn lần lượt nhau tương ứng với m
và n phương án chọn. Khi đó số phương án để chọn là m*n.
Tương tự ta cũng có qui tắc nhân mở rộng : m = n1 * n2 * ... * nk
Ví dụ 3:
 Cần chọn một đại biểu là sinh viên nam trong 86 nam và một là sinh viên nữ trong 34

sinh viên nữ  số phương án chọn là 86 * 34 = 3224.
 Số biển số xe máy gồm 2 chữ cái và 3 chữ số là : 26.26.10.10.10 = 676000
 Một từ máy 2 byte ghi được số lớn nhất là 216 - 1 = 65535
 Đếm số hàm từ tập m phần tử vào tập n phần tử : nm
 Số hàm đơn ánh = n(n-1)(n-2) ... (n-m+1) (nếu m > n số hàm = 0)
 Số tập con của tập hữu hạn A = 2|A|. (được suy từ mỗi tập con có thể biểu diễn bởi dãy
nhị phân độ dài |A|).
Có thể phát biểu các qui tắc trên dưới dạng tập hợp :
 A1, ..., An là các tập hữu hạn, rời nhau từng đôi một. Khi đó :
|A1  A2  ...  An| = |A1| + |A2| + ... + |An|
 A1, ..., An là các tập hữu hạn. Khi đó :
|A1  A2  ...  An| = |A1| * |A2| * ... * |An|
c. Kết hợp 2 qui tắc cộng và nhân
Ví dụ 4:
 Số tên gọi trong NNLT C không quá 3 kí tự gồm: S1 + S2 + S3 = 27 + (27*37) +
(27*37*37) = 38089
4


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
 Trong một cỗ bài từ 10 đến át, có bao nhiêu phương án rút 5 quân bài gồm 1 đôi và một
bộ ba giống nhau.
Gọi B2 và B3 là số phương án đôi và ba  S = B2 * B3
 Với mỗi loại (10, J, Q, K, ÁT) có 4 quân nên số bộ đôi rút được theo qui tắc nhân là 4
x 3 = 12. Tuy nhiên, yêu cầu đề bài là bộ đôi không tính thứ tự nên số bộ là 12/2 = 6.
Do có 5 loại nên B2 = 5*6 = 30.
 Tương tự, số bộ 3 từ 4 quân bài là 4 (rutts bộ 3 từ 4 quân tương đương bỏ 1 quân từ 4
quân) và với 4 loại còn lại (sau khi đã rút bộ 2 từ 1 bộ) sẽ có B3 = 4 x 4 = 16 phương
án  S = 30 *1 6 = 480 cách chọn.
 Số dãy nhị phân có độ dài n là 2n.

 Số tập con của tập n phần tử là 2n. (Tương ứng 1-1 với dãy 0,1 độ dài n).
2. Nguyên lý bù trừ
Giả sử có công việc có thể làm theo 2 cách : cách 1 chọn trong m phương án, cách 2 chọn
trong n phương án. Nếu 2 cách này trùng nhau theo k phương án thì số phương án chọn sẽ là m +
n – k.
Phát biểu dưới dạng tập hợp :
A  B  = A + B  - A  B .
 Từ qui luật trên có thể xây dựng qui luật bù trừ đối với 3 tập hợp A, B, C (bài tập):
A  B  C = A + B + C - (A  B + B  C + C  A) + A  B C)
 Và bằng qui nạp có thể mở rộng qui luật với n tập hợp (bài tập):
A1  A2  …  An  =


1 i  n

A

i





Ai  A

1 i  j  n

j





Ai  Aj  A

k

 ...  (  1 )

n 1

A1  A

2

 ...  A

n

i i j k  n

Ví dụ 5: : Đếm số số nguyên bé hơn 100 hoặc chẵn hoặc chia hết cho 3
Số chẵn = 100/2 = 50, số chia hết cho 3 = 100/3 = 33.
Số đồng thời chẵn và chia hết cho 3  chia hết cho 6 = 100/6 = 16
 S = 50 + 33 - 16 = 67 số
Ví dụ 6: : Số các xâu không dài quá 8 có chữ đầu là 1 hoặc kết thúc 00 = 27 + 26 - 25
3. Nguyên lý lồng chim bồ câu (nguyên lý Dirichlet)
Định lý 1: Nếu nhốt k+1 con chim bồ câu vào trong k chuồng thì có ít nhất 1 chuồng
chứa 2 hoặc nhiều hơn 2 con chim bồ câu.
Chứng minh: Phản chứng



Ví dụ 7: Nếu sinh viên phải học 6 môn/tuần (5 ngày)  có ít nhất 1 ngày phải học 2 môn khác
nhau.
5


Chương 1. Tập hợp và phép đếm

Định lý 2: (Nguyên lý Dirichlet tổng quát) : Nếu có N vật đặt vào trong k hộp sẽ tồn
tại ít nhất 1 hộp chứa ít nhất N/k vật.
Chứng minh: Phản chứng



Ví dụ 8: Sẽ có một tháng nào đó bạn phải dự sinh nhật của ít nhất 9 người bạn khác nhau trong
lớp (100 sinh viên).
Ví dụ 9: Trong khoá học với 400 học viên, có ít nhất 2 người trùng ngày sinh.
Ví dụ 10: Một sinh viên học 40 từ tiếng Anh trong một tháng 30 ngày, mỗi ngày ít nhất 1 từ. Chỉ
ra có một dãy các ngày liên tiếp sinh viên trên học đúng 19 từ tiếng Anh.
Chứng minh: Gọi ai là số từ sv học từ đầu tháng đến ngày thứ i, khi đó dãy a1, a2, …, a30 là khác
nhau và tăng dần, ngoài ra 1  ai  40. Đặt bi = ai + 19  20  bi  59 và cũng tạo thành
dãy phân biệt và tăng dần. Dãy 60 số a1, a2, …, a30, b1, b2, …, b30 có mỗi số bé hơn 59 nên
tồn tại 2 số bằng nhau : ai và bj nào đó. Như vậy từ ngày i đến ngày j sv học đúng 19 từ
tiếng Anh vì bj = aj + 19 = ai.

Ví dụ 11: : Chứng minh trong n + 1 số nguyên dương không vượt quá 2n tồn tại ít nhất một số
chia hết cho số khác.
Chứng minh: Có thể biểu diễn mỗi số nguyên dương dưới dạng tích v.2u trong đó v là một số lẻ,

như vậy ứng với dãy a1, a2, …, an+1 ta có n+1 số lẻ v1, v2, …, vn+1 , các số này không vượt
quá 2n. Do từ 0 đến 2n chỉ có n số lẻ nên phải có 2 số vi và vj bằng nhau. Từ đó nếu ui  uj
thì ai chia hết aj và ngược lại.

Ví dụ 12: : Mọi dãy n2+1 số thực phân biệt đều có một dãy con n+1 số thực sự tăng hoặc giảm.
Chứng minh: Xét dãy a1, a2, …, an2+1 các số thực khác nhau. Gọi ik, dk là độ dài của dãy con
tăng, giảm dài nhất bắt đầu từ ak, như vậy với mỗi ak ta có cặp (ik, dk). Giả thiết không có
dãy tăng hoặc giảm có độ dài n+1, tức mọi ik, dk không vượt quá n. Theo qui tắc nhân có tất
cả n2 cặp ik, dk (k=1, …, n2+1) do đó có ít nhất hai cặp (ik, dk) bằng nhau. Tức tồn tại 2 số as
và at sao cho is = it và ds = dt. Điều này là mâu thuẫn vì as và at là khác nhau nên độ dài dãy
(tăng hoặc giảm) xuất phát từ chúng đến cuối dãy phải chênh nhau ít nhất 1.

Ví dụ 13: : Chứng tỏ trong nhóm 6 người với mỗi cặp hoặc là bạn hoặc là thù có tồn tại 3 người
hoặc là bạn hoặc là thù lẫn nhau
Chứng minh: Lấy A. Còn lại 5 người với 2 khả năng : hoặc là bạn hoặc là thù của A. Do vậy, sẽ
có ít nhất 3 người B, C, D hoặc là bạn hoặc là thù của A. Giả sử là bạn của A. Nếu trong B,
C, D có một cặp là bạn thì sẽ hợp cùng A tạo thành bộ ba là bạn của nhau. Ngược lại B, C,
D là bộ ba thù của nhau.

III. HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP KHÔNG LẶP
1. Định nghĩa
a. Hoán vị
Hoán vị của tập n đối tượng là một cách sắp xếp có thứ tự n đối tượng đó. Số các hoán vị
của một tập hợp n phần tử được kí hiệu là P(n).
Ví dụ 14: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Khi đó các cách sắp xếp 12345, 23541, 31425 … là những
6


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
hoán vị của tập A.

b. Chỉnh hợp
Một cách sắp xếp k đối tượng có kể thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của tập hợp n
đối tượng. Số chỉnh hợp chập k của n đối tượng được kí hiệu là A(n,k).
Ví dụ 15: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Khi đó các cách sắp xếp 123, 235, 314, 321 … là những
chỉnh hợp chập 3 của tập A.
c. Tổ hợp
Một cách sắp xếp k đối tượng không kể thứ tự được gọi là một tổ hợp chập k của tập hợp n
đối tượng. Số tổ hợp chập k của n đối tượng được kí hiệu là C(n,k).
Ví dụ 16: Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Khi đó các cách sắp xếp 123, 235, 314, … là những tổ hợp
chập 3 của tập A.
2. Công thức tính
Định lý 3:
 P(n) = n!
 A(n, k) = n!/(n-k)!
 C(n, k) = n!/(n-k)!k!
Chứng minh:
Lần lượt lấy phần tử thứ nhất trong n vật, thứ hai trong n-1, …, cuối cùng phần tử thứ k
được lấy trong (n-k+1) vật, theo qui tắc nhân ta có số chỉnh hợp A(n, k) = n(n-1)(n-2) . . . (n-k-1)
= n!/(n-k)!.
Khi đó P(n) là trường hợp riêng của A(n,k) khi k = n. Từ đó P(n) = n!/(n-n)! = n!.
Ta cũng có A(n,k) = k!C(n,k) vì một dãy có thứ tự có thể có k! hoán vị khác nhau để tạo
thành tập dãy không thứ tự. Từ đó suy ra C(n,k) = A(n,k)/k! = n!/k!(n-k)!.

Từ định lý trên ta có hệ quả : C(n, k) = C(n, n-k). Ví dụ C(10,3) = C(10, 7)
3. Ví dụ
 Số cách lấy 5 quân bài từ tập 13 quân bài (có thứ tự)
A(13, 5)
 Số tập con 5 phần tử của tập {1, 2, 3, . . ., 13}
C(13,5)
 Số dãy 5 đối tượng tạo được từ tập 13 đối tượng

A(13,5)
 Số lượng các số có 3 chữ số khác nhau
A(10,3)
 Số lượng người mã hoá được bằng 7 chữ số, sao cho các chữ số không lặp lại P(7)
 Số đường đi qua 6 thành phố mỗi thành phố qua duy nhất 1 lần P(6)
4. Một số tính chất
n

Định lý 4: (Hệ số nhị thức) : (x + y)n = 

k

C (n, k )x y

nk

k0

7


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
Đại lượng C(n, k) còn gọi là hệ số nhị thức, vì là hệ số của thừa số xkyn-k trong khai triển
nhị thức (x + y)n .
Chứng minh: Có C(n,k) cách chọn k số hạng x từ n tổng (x + y) của phép nhân, khi đó y chỉ
chọn được từ n-k tổng còn lại (và là duy nhất). Cho k chạy từ 0 đến n suy ra đpcm.

n

Định lý 5:



C (n, k )  2

n

k0

Chứng minh: Số tập con của tập có n phần tử là 2n. Gồm số tập con có 0 phần tử (C(n,0)), 1 phần
tử (C(n,1), ..., và n phần tử (C(n,n)).
n

Cách khác (dùng định lý nhị thức):

(1+1)n = 



C (n, k )

k0

n

Định lý 6:

k
 (-1) C(n,k) = 0
k0

n

Chứng minh: Dùng định lý nhị thức:

(1-1)n = 

(-1)kC(n,k)



k0

Định lý 7: (Hằng đẳng thức Pascal) : C(n+1,k) = C(n,k) + C(n,k-1)
Chứng minh: Xét tập S có n+1 phần tử và S = T\{a} có n phần tử. Lấy k phần tử từ T gồm : có
C(n,k) cách lấy không có a (trong S) và C(n,k-1) cách lấy có a trong S\{a}.

Đây là cơ sở tạo thành tam giác Pascal.
k

Định lý 8: (Hằng đẳng thức Vandermonde) : C(n+m, k) = 

C(n, j)*C(m, k-j)

j 0

Chứng minh: Cho tập S có n phần tử và tập T có m phần tử. C(n+m,k) là số cách chọn k phần tử
từ 2 tập này. Mỗi cách chọn có thể sinh từ j phần tử của S và k-j của T. Theo qui tắc nhân ta
được kết quả.


IV. HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP CÓ LẶP
1. Định nghĩa
a. Hoán vị có lặp
Hoán vị của tập n đối tượng, trong đó có một số đối tượng được lặp lại là một cách sắp xếp
có thứ tự n đối tượng đó. Số các hoán vị lặp lại của một tập hợp n phần tử được kí hiệu là P‟(n/n 1,
n2, …, nk) hoặc ngắn gọn hơn là P‟(n/ni), trong đó ni là số lần lặp lại của đối tượng thứ i. Trường
8


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
hợp không gây nhầm lẫn ta ký hiệu P‟(n).
Chú ý vì các đối tượng có lặp lại nên số hoán vị sẽ bị trùng nhau, việc đếm phải trừ ra các
phương án này nên số hoán vị có lặp sẽ ít hơn không lặp.
Ví dụ 17: Một sắp xếp lại từ NGHIENG là một hoán vị có lặp vì trong 7 chữ cái trên có các chữ
cái N và G được lặp lại với số lần lặp là 2, 2.
b. Chỉnh hợp có lặp
Một cách sắp xếp k đối tượng có kể thứ tự, trong đó các đối tượng được phép lặp lại được
gọi là một chỉnh hợp chập k của tập hợp n đối tượng. Số chỉnh hợp chập k của n đối tượng được
kí hiệu là A‟(n,k).
Ví dụ 18: Cho tập A = {1, 2, 3}. Khi đó các cách sắp xếp 11, 12, 13, 21, 22, 23 … là những chỉnh
hợp có lặp chập 2 của tập A.
c. Tổ hợp
Một cách sắp xếp k đối tượng không kể thứ tự, các đối tượng được lặp lại được gọi là một
tổ hợp có lặp chập k của tập hợp n đối tượng. Số tổ hợp chập k của n đối tượng được kí hiệu là
C‟(n,k).
Ví dụ 19: Cho tập A = {1, 2, 3}. Khi đó các cách sắp xếp 11, 12, 13, 22, 23, 31, … là những tổ
hợp có lặp chập 2 của tập A.
Ví dụ 20: Cho một hộp gồm 3 quả bóng Vàng, Xanh, Đỏ. Giả thiết mỗi lần lấy ra 1 quả bóng và
bỏ trở lại hộp. Một cách lấy 4 quả bóng qua 4 lần từ hộp trên là một tổ hợp có lặp chập
4 của 3 quả bóng (chẳng hạn 4V, 3V+1X, 2Đ+2X, … là những phương án)

Ví dụ 21: Giả thiết cần chọn 5 sinh viên từ 4 khối lớp A, B, C, D (mỗi lớp có không ít hơn 5 sinh
viên). Mỗi phương án chọn là một tổ hợp có lặp chập 5 của 4 đối tượng.
2. Công thức tính
Định lý 9:
 P‟(n/ n1, n2, …, nk) = n!/n1! ...nk!
 A‟(n, k) = nk
 C‟(n,k) = C(n+k-1, k)
Chứng minh:
 A'(n, k): mỗi lần chọn một đối tượng (trong n khả năng). k lần chọn  nk khả năng.
Ví dụ 22: Số dãy nhị phân độ dài n là số chỉnh hợp chập n của 2 đối tượng 0 và 1 tức A‟(2, n) =
2n. Số chỉnh hợp có lặp chập 4 từ 3 đối tượng 1,2,3 là A‟(3,4) = 34 = 81.
 P'(n) : Đầu tiên đặt n1 đối tượng (giống nhau) vào n vị trí được C(n, n1) phương án. Tiếp
tục đặt n2 đối tượng vào n-n1 vị trí còn lại được C(n-n1, n2) phương án... Áp dụng qui tắc
nhân lấy tích các thừa số này cho kết quả cần tìm.
Ví dụ 23: Số phương án sắp xếp lại từ „NGHIÊNG‟ được tính : Đầu tiên đặt 2 chữ N vào 2 trong
7 vị trí có thể cho C(7, 2) = 21 phương án. Tiếp theo việc sắp xếp từ G vào 5 vị trí sẽ
cho C(5, 2) = 10 phương án. Việc sắp xếp H trong 3 vị trí cho 3 phương án, I cho 2 và
Ê cho 1 phương án. Tích các số này ta được : 21 * 10 * 3 * 2 * 1 = 1260 phương án. Đó
9


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
chính là số P‟(n) = 7!/2!2! = 1.2.3.5.6.7 = 1260.
 Để chứng minh số tổ hợp ta xem cách tính cho ví dụ 3 ở trên : Giả thiết cần chọn 5 sinh
viên từ 4 khối lớp A, B, C, D (mỗi lớp có không ít hơn 5 sinh viên).
Để biểu diễn một phương án chọn ta kí hiệu một sinh viên bằng 1 dấu * và 4 lớp bởi 4
khoang cách nhau bởi 3 vách ngăn. Hình vẽ dưới chỉ ra một phương án chọn gồm 2 sinh viên lớp
A, 1 lớp C và 2 lớp D.
A

B

**

C

D

*

**

Các phương án khác có thể đạt được từ phương án trên bằng cách dịch chuyển các vách
ngăn một cách thích hợp. Nói cách khác mỗi phương án là một cách sắp xếp 3 vách ngăn (hoặc 5
sinh viên) trong số 8 vị trí có thể, hay số phương án sẽ là C(8,5) = C(4+5-1,5). Tổng quát hoá ví
dụ trên ta được đpcm.
3. Các ví dụ
 Số tổ hợp 5 màu (có tính thứ tự) từ 7 sắc cầu vồng : A'(7,5) = 75
 Có bao nhiêu tổ hợp 5 tờ bạc từ 7 loại giấy bạc khác nhau : C‟(7,5) = C(11,5)
 Cần mua 5 lít gồm một số lít xăng và dầu từ cửa hàng xăng dầu. Có bao nhiêu phương
án ? C‟(2,5) = C(6,5) = C(6,1)
 Phương trình x + y + z = 11 có bao nhiêu nghiệm tự nhiên.
Một nghiệm tương ứng một cách chọn 11 phần tử trong 3 loại đối tượng x, y, z không phân
biệt thứ tự. Do vậy nó bằng tổ hợp chập 11 từ 3 đối tượng C(11+3-1,11) = C(13,11).
 Có bao nhiêu phương án sắp xếp 32 quân trên bàn cờ quốc tế ? Đây là bài toán hoán vị
có lặp với n = 32 và có số các quân trắng, đen lặp theo thứ tự : tốt, xe, mã, tượng = 8, 8,
2, 2, 2, 2, 2, 2. Do đó số phương án là : 32!/(8!.2!.2!.2!)2.
 Có bao nhiêu phương án chia cỗ bài 52 quân cho 4 người chơi : Xét bài toán theo dạng
mỗi quân bài được đánh dấu 1 trong 4 người sẽ nhận nó, như vậy bộ bài gồm 4 đối
tượng, mỗi đối tượng lặp lại 13 lần. Mỗi phương án chia bài là một hoán vị có lặp của 4

đối tượng này  Số phương án là 52!/(13!)4
4. Định lý về sự phân chia đồ vật vào trong hộp
Định lý 10:
Số phương án phân chia n đối tượng khác nhau vào k hộp khác nhau
sao cho hộp thứ i có ni đối tượng bằng số hoán vị n đối tượng với các số lặp lại ni (1 
i  k).
Sau đây là bảng tóm tắt các công thức tổ hợp:
Kí hiệu

Không lặp

Có lặp

Hoán vị

P(n)

n!

n!/n1!…nk!

Chỉnh hợp chập k

A(n, k)

n!/k!

nk

Tổ hợp chập k

C(n, k)

n!/k!(n-k)!

(n+k-1)!/k!(n-1)!
10


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
V. SINH HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP
1. Sinh hoán vị
Có nhiều phương pháp khác nhau để sinh hoán vị từ tập n phần tử. Trong phần này ta chỉ
trình bày phương pháp sinh theo thứ tự từ điển. Để đơn giản các phần tử của tập hợp được đánh
số từ 1 đến n.
a. Định nghĩa
 Hoán vị đi trước : hoán vị a1a2 … an được gọi là đi trước (hoặc nhỏ hơn) hoán vị b1b2 …
bn nếu với k nào đó (1  k  n) ta có : ai = bi (1  i  k-1) và ak < bk.
Ví dụ : 12345 < 12354, 135642 < 145362
 Hoán vị liền sau : Hoán vị b1b2 … bn được gọi là hoán vị liền sau hoán vị a1a2 … an nếu
không tồn tại hoán vị c1c2 … cn sao cho a1a2 … an < c1c2 … cn < b1b2 … bn.
Ví dụ : hoán vị 123456 có hoán vị liền sau là 123465, 124356 là liền sau của 123654
b.

Cách tạo hoán vị liền sau

Tìm từ phải qua trái của hoán vị xuất phát cặp số nguyên aj, aj+1 đầu tiên có aj < aj+1. Chọn
số nhỏ nhất trong các số nguyên lớn hơn aj từ aj+1 đến an đặt vào vị trí thứ j. Các số còn lại được
đặt liên tiếp từ nhỏ đến lớn từ vị trí j+1 đến hết.
Ví dụ : Từ hoán vị 123654 tìm được cặp (3,6), số bé nhất lớn hơn 3 là 4. Đặt 4 vào vị trí của

3 ta được xâu 124, các số còn lại (3,6,5) được đặt tiếp theo từ nhỏ đến lớn ta được : 124356 là
hoán vị liền sau của hoán vị ban đầu.
c. Thuật toán
Program Sinh_hoan_vi_theo_thu_tu_tu_dien;
Begin
s := ‘123 … n’;
i := Vitricap;
{ i là vị trí đầu tiên từ phải sang sao cho s[i] < s[i+1] }
While i <> 0 do
Begin
j := Min(i);
{ j là vị trí s[k] bé nhất từ i+1 đến cuối xâu s[k] > s[i] }
Swap(i,j);
{ Đổi s[i] với s[j] }
Sapxep(i+1, n);
{ Sắp xếp tăng dần dãy s từ i+1 đến cuối xâu }
Write(s);
i := Vitricap;
End;
End;

Thuật toán này cần dùng 4 hàm Vitricap, Min(i), Swap(i,j) và Sapxep(i,j).
Minh hoạ với ví dụ xâu s = „123‟.
2. Sinh tổ hợp chập k
a. Sinh tổ hợp liền sau
Lùi từ phải sang trái cho đến i đầu tiên thoả mãn : ai  n – k + i, tăng ai lên 1 đơn vị và thay
các số tiếp theo số sau hơn số trước 1 đơn vị.
b. Thuật toán
Program Sinh_to_hop_chap_k_theo_thu_tu_tu_dien;

11


Chương 1. Tập hợp và phép đếm

Begin
s := ‘123 … k’;
i := Vitri;
{ i là vị trí đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i]  n-k+i }
While i <> 0 do Begin
s[i] := s[i] + 1;
For j:=i+1 to k do s[j] := s[j-1] + 1;
Write(s);
i := Vitri;
End;
End;

Để sinh chỉnh hợp có thể sinh tổ hợp sau đó lấy hoán vị của từng tổ hợp này.
Ngoài thuật toán sinh theo thứ tự từ điển ta còn một số thuật toán khác như : dựa trên khai
triển Cantor của một số nguyên, quay lui …

BÀI TẬP
I. TẬP HỢP
1. Viết lại các tập hợp sau dưới dạng liệt kê :
a. {x | x  R  x2 = 1}
b. {x | x  N  x2 = 2}
2.

3.

4.

c. {x  N : x - 1 chia hết cho 3 và 1 < x2 < 50 }
Định nghĩa bằng thuộc tính các tập hợp sau :
a. {0, 3, 6, 9, 12}
b. {m, n, o, p, q}
c. {tháng giêng, tháng hai, tháng năm, tháng bảy}
d. {- 6, - 5, -4, - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
e. {3, 6, 9, 12, 15 ...}
f. {a, aba, ababa, abababa, ...}
g. {..., 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, ...}
Các khẳng định sau đúng hay sai ?
a. x  {x}
b. {x}  {x}
c. {x}  {{x}}
d.   {x}
e. {x}  {x}
f.   {x}
Xác định tập nào trong các tập hợp sau là bằng nhau, hữu hạn, vô hạn.
a. { x  R : 1 < x < 2 }
b. { x  Z : x2 + 2 < 30}
c. { n  N : 2n = n2 }
d. { x : x = 1 hoặc x = 2}
12


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
e. { x  R : (x - 3/2) < 1/2}
f. {z  C : z2 + 8 = 6z}
g. { x  R : x3 < 8}  { x  R : x5 > 1}

5.
6.

7.

8.

9.

Nếu X, Y, Z rời nhau từng đôi một và A  X  Y và B  X  Z, chứng minh A  B  X.
Biểu thức nào đúng đối với mọi tập hợp A, B và C. Chứng minh hoặc cho phản ví dụ.
a. (A  B)  C = (A  C)  B
b. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
c. A  (B  C) = (A  B )  (A  C)
d. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
e. A  (B  C) = (A  B)  C
f. (A  B)  C = (A  C)  B
Chứng minh sự tương đương của 3 mệnh đề sau đây :
a. X  A  B
b. (X  A)  (X  B) = 
c. (X  A)  B
Tìm A x B và A x B với :
a. A = {0}, B = {a, b, c}
b. A = {}, B = 
c. A = {}, B = {{}}
Cho A = {a, {b}} và B = {a, b, {a, b}}.
Hãy xác định các tập sau : A  B, A  B, P(A), B  P(A), A x B và (A x B)  (B x A).

10. Chứng minh qui tắc kết hợp của phép toán hiệu đối xứng : (A  B)  C = A  (B  C)
11. Các câu sau đúng hay sai ? Cho phản ví dụ

a. A  A = A
b. A  (B  C ) = (A  B)  (A  C)
c. A  (B  C) = (A  B )  (A  C )
d. A  (A  A) = A
12. Các tập con của đường thẳng thực R gọi là các khoảng được định nghĩa bởi
[a, b] = {x  R : a < x < b}
(a, b) = {x  R : a < x < b}
[a, b) = {x  R : a < x < b }
Chứng minh các tập hợp sau đây là hợp của các khoảng :
a. R  (1, 2)
b. [1, 3]  (2, 4)
c. { x  R : x4 - x2 < 0}
d. 
e. (1, 100)  ([2, 4)  (16, 18])
f. R  Z
13


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
13. Chứng minh nếu "cặp có thứ tự" (,) được định nghĩa bởi (x, y) = {{x}, {x, y}} thì
(x1, x2) = (y1, y2) kéo theo x1 = y1 và x2 = y2.
14. Chứng minh nếu "cặp có thứ tự" (,) được xác định bởi (x,y) = {{x,0},{ y,1}} thì tính chất
trong câu 13 vẫn đúng. Hãy đưa ra một tổng quát hoá để định nghĩa bộ n.
15. Chỉ ra bằng phản ví dụ các “định nghĩa” sau về cặp có thứ tự là không đúng
a. (x,y) = x  {x, y}
b. (x,y) = {{x}, x  y}
16. Một bệnh viện giữ các bản ghi về 1000 bệnh nhân được tiếp nhận trong một năm. Dữ liệu
được lưu trữ gồm có tên, địa chỉ, ngày sinh, ngày nhập và ngày ra viện, điều kiện chẩn đoán
và chữa trị và việc chữa bệnh có thành công hay không. Hãy mô tả tích Cartesian của các
tập hợp trong đó mỗi bản ghi là một thành phần. Dùng ui(r) để biểu thị thành phần thứ i của

bản ghi r, viết các điều sau đây bằng ký hiệu tập hợp.
a. Tập hợp các bệnh nhân 50 tuổi hoặc hơn nhập viện
b. Tập hợp các bệnh nhân đã nhập viện hơn một lần trong năm
c. Tập hợp các bệnh nhân ở trong bệnh viện ít nhất hai tuần.
d. Tập hợp các bệnh đã được chẩn đoán
e. Tập hợp các bệnh đã chữa khỏi
17. Nghịch lý Russel : Chỉ ra sự mâu thuẫn trong định nghĩa tập X sau đây : X là tập hợp chứa
các phần tử là tập hợp không thuộc chính nó (X = {A | A  A}).
18. Xây dựng các tập hợp dựa trên các ý tưởng sau và tìm ra nghịch lý của nó :
a. Một thợ cắt tóc tuyên bố : Chỉ cắt tóc cho người nào không tự cắt.
b. Tồn tại một thực tế là có những tỉnh trưởng không sống trong tỉnh của mình. Vì vậy
chính phủ quyết định thành lập một tỉnh mới và buộc mọi tỉnh trưởng không sống trong
tỉnh của mình phải về sống trong tỉnh đó !
II.

NGUYÊN LÝ CỘNG NHÂN VÀ BÙ TRỪ

Có bao nhiêu người có tên họ viết tắt bằng 3 chữ cái khác nhau.
Tính số xâu nhị phân đối xứng gương (tức viết xuôi hoặc ngược đều như nhau) có độ dài n.
Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 bắt đầu bởi bit 1 và kết thúc bởi bit 0.
Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài không vượt quá n (n  N), bắt đầu và kết thúc bởi bit 1.
Trong các số nguyên dương  1000, có bao nhiêu số :
a. Chia hết cho 3 hoặc cho 4 ?
b. Không chia hết cho 3 hoặc cho 4 ?
c. Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4 ?
d. Chia hết cho 3 và cho 4 ?
24. Có bao nhiêu xâu gồm 3 chữ số thập phân
a. Không chứa cùng một chữ số 2 lần ?
b. Kết thức bằng chữ số chẵn ?
c. Có đúng 2 chữ số 9 ?

25. Có bao nhiêu ánh xạ từ tập {1, 2, …, n} (n  N) tới tập {0, 1} và
a. đó là các hàm đơn ánh ?
b. gán 0 cho cả hai số 1 và n ?
19.
20.
21.
22.
23.

14


Chương 1. Tập hợp và phép đếm

26.

27.
28.
29.
30.
31.
32.

33.
34.
35.

c. gán 1 cho đúng một trong các số nguyên dương nhỏ hơn n ?
10 người cả cô dâu và chú rể cùng chụp ảnh. Mỗi kiểu ảnh gồm có 6 người. Tính số phương
án chụp để :

a. mọi kiểu ảnh đều có cô dâu
b. có cô dâu và chú rể
c. hoặc có cô dâu, hoặc có chú rể (không loại trừ)
*Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 có hoặc 5 số 0 hoặc 5 số 1 liền nhau.
*Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 8 có hoặc 3 số 0 liền nhau hoặc 4 số 1 liền nhau.
Từ qui luật bù trừ đối với 2 tập hợp, hãy mở rộng cho 3 tập A, B, C.
Bằng giản đồ Venn, hãy chứng minh qui luật bù trừ đối với 3 tập A, B, C.
Trong một đề thi có 3 câu hỏi. Mỗi câu được cho điểm theo bốn mức A, B, C, D. Hỏi ít nhất
với bao nhiêu thí sinh thì chắc chắn có 2 người trùng nhau điểm thi theo từng câu một.
Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1000 :
a. Có đúng 3 chữ số thập phân ?
b. Có một số lẻ các chữ số thập phân
c. Có ít nhất một chữ số bằng 9
d. Không có các chữ số lẻ
e. Là thuận nghịch
Trong dãy các số từ 1 đến 1000 có bao nhiêu chữ số sau được dùng
a. 0
b. 1
c. 2
d. 9
Có bao nhiêu cách xếp các chữ cái a, b, c, d sao cho chữ b không đi liền sau chữ a.
Tính số đường chéo của một đa giác lồi n đỉnh (n  N).

III. NGUYÊN LÝ DIRICHLLET
36. Chứng minh nguyên lý Dirichllet.
37. Trong bao nhiêu người thì chắc chắn có ít nhất 6 người trùng con giáp ngày sinh.
38. Cần lấy ít nhất bao nhiêu chiếc tất trong 10 chiếc tất trắng và 10 chiếc tất đen, để chắc chắn
có được một đôi cùng màu ?
39. Cần bao nhiêu người để chắc chắn có 2 người sinh trùng thứ và trùng tháng (có thể khác
năm sinh)

40. Chứng minh trong k+1 số nguyên chắc chắn có 2 số khi chia cho k sẽ có cùng số dư.
41. Cho 5 điểm toạ độ nguyên. Chứng minh có ít nhất một điểm giữa của một cặp đỉnh nào đó
có toạ độ nguyên.
42. Chỉ ra rằng nếu có 5 điểm phân biệt trong một hinh vuông cạnh bằng 2 thì có ít nhất hai
điểm có khoảng cách bé hơn hoặc bằng 2 .
43. Trong một mạng n máy tính, mỗi máy nối với ít nhất một máy khác. Chứng minh rằng có ít
nhất 2 máy mà số các máy khác nối với chúng là bằng nhau.
44. Trong dãy n số liên tiếp có ít nhất một số chia hết cho n.
45. Một bữa tiệc có ít nhất 2 người. Chứng minh rằng có hai người có số người quen bằng nhau.
46. *Trong n+1 số nguyên dương bất kỳ không vượt quá 2n có ít nhất 2 số nguyên tố cùng nhau
47. *Chỉ ra rằng trong dãy m số nguyên bất kỳ tồn tại dãy con liên tiếp có tổng chia hết cho m.
15


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
48. Chứng minh trong 11 số nguyên dương bất kỳ có ít nhất hai số có cùng chữ số cuối cùng.
Trong 91 số có ít nhất 10 số có cùng chữ số cuối cùng.
49. Chứng minh rằng biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ là tuần hoàn.
50. Viết chương trình liệt kê tất cả dãy con không tăng (không giảm) của một dãy bất kỳ.
IV. HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP KHÔNG LẶP
51. 8 người cùng dự thi, chiếm 3 giải nhất, nhì, ba. Hỏi có bao nhiêu khả năng chiếm giải ?
52. 8 người cùng dự thi, chọn ra 3 người. Hỏi có bao nhiêu khả năng chọn ?
53. Có n sinh viên nam và n sinh viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng sao cho nam nữ đứng
xen kẽ nhau ?
54. Một tập hợp 10 phần tử, có bao nhiêu tập con với số phần tử lẻ.
55. Có thể tạo được bao nhiêu đề thi trắc nghiệm (mỗi đề 20 câu hỏi) từ một tập 40 câu hỏi.
56. Có bao nhiêu đa giác đều n cạnh khác nhau nội tiếp trong vòng tròn (Hai đa giác gọi là như
nhau nếu nó có thể nhận được từ nhau bằng cách quay một góc nào đó).
57. Trong một lớp có 10 sinh viên nam và 20 sinh viên nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một
nhóm 6 người trong đó số sinh viên nam ít hơn nữ.

58. Có bao nhiêu cách chia bộ bài 52 quân cho 4 người chơi (mỗi người 13 quân) ?
59. Nếu X là một tập hợp có 10 phần tử, tìm số lớn nhất các tập con 4 phần tử của X có tính chất
a. Các tập con rời nhau từng đôi một.
b. Không có hai tập con nào chung nhau hơn một phần tử.
60. *Nếu X là một tập hợp có 10 phần tử, tìm số phần tử của họ tập các tập con 4 phần tử của X
có tính chất :
a. Các tập con rời nhau từng đôi một.
b. Không có hai tập con nào chung nhau hơn một phần tử.
61. Cho p là số nguyên tố và k là số nguyên sao cho 1  k  p-1. Chứng minh C(p, k) chia hết
cho p.
62. Có bao nhiêu hạng thức trong khai triển của (x + y)100.
63. Tính hệ số của hạng thức x100y49 trong khai triển (2x – 3y)150.
64. *Tìm công thức tính hệ số của xk trong khai triển của (x + 1/x)100.
65. *Tìm công thức tính hệ số của xk trong khai triển của (x2 - 1/x)100.
66. *Cho n là số nguyên dương. Tìm hệ số nhị thức lớn nhất C(n, r), trong đó r là số nguyên
không âm nhỏ hơn hoặc bằng n.
67. Dùng lý thuyết tổ hợp chứng minh : C(n, k) = C(n, n-k).
68. Chứng minh : C(n, k-1) = C(n+2, k+1) – 2C(n+1, k+1) + C(n, k+1) bằng :
a. Biến đổi số học
b. Lý thuyết tổ hợp
69. Cho n  k  r  0. Chứng minh công thức C(n,k)*C(k,r) = C(n,r)*C(n-r, k-r) bằng :
a. Biến đổi số học
b. Lý thuyết tổ hợp
k

70. *Cho n, k là các số nguyên dương. Chứng minh rằng 

C ( n  i , i )  C ( n  k  1, k )

i0

16


Chương 1. Tập hợp và phép đếm
a. Bằng lý thuyết tổ hợp
b. Bằng hằng đẳng thức Pascal.
71. Cho n nguyên dương. Chứng minh công thức C(2n, 2) = 2C(n, 2) + n2 bằng :
a. Biến đổi số học
b. Lý thuyết tổ hợp
72. Dùng công cụ tổ hợp chứng minh kC(n, k) = nC(n-1, k-1). (gợi ý: tính số phương án bầu
đoàn chủ tịch và chủ tịch của hội nghị bằng 2 cách).
n

73. *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh rằng 

k C (n, k )  n 2

n 1

. (Gợi ý : Tính bằng 2 cách số

k 1

phương án chọn hội đồng và thêm vào chọn một chủ tịch cho hội đồng đó).
n

74. *Dùng công cụ tổ hợp chứng minh : 

k C (n, k )

2

 n C ( 2 n  1, n  1 )

. (Gợi ý : Tính bằng 2

k 1

cách số phương án chọn hội đồng n uỷ viên từ n giáo sư toán học và n giáo sư tin học và
thêm vào chọn chủ tịch hội đồng đó là giáo sư toán).
75. Chứng minh số các tập con có số phần tử lẻ của một tập hợp bất kỳ cũng bằng số tập con có
số phần tử chẫn.
76. Trong mặt phẳng Oxy, một con bọ di chuyển bằng cách nhảy từng bước một với độ dài 1
đơn vị theo chiều dương của trục x hoặc trục y. Chứng minh rằng số cách của con bọ có thể
di chuyển từ gốc toạ độ đến điểm (m, n) bằng C(m+n, n). (Gợi ý : Mỗi đường đi có thể được
biểu diễn bởi một xâu nhị phân 0,1, trong đó 0: đi theo trục x, 1: theo trục y).
77. Áp dụng hằng đẳng thức VanDermonde tính : C(20,10)
V. HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP CÓ LẶP
78. Có bao nhiêu phương án chọn có hoàn lại lần lượt 5 phần tử từ tập hợp có 3 phần tử ?
79. Có bao nhiêu xâu gồm 6 chữ cái ?
80. Hàng ngày một sinh viên chọn một chiếc bánh để ăn từ một gói có 6 loại bánh. Hỏi có bao
nhiêu cách anh sinh viên chọn bánh trong 7 ngày của một tuần, nếu có kể tới thứ tự của
những chiếc bánh được chọn ?
81. Có bao nhiêu cách chọn 8 đồng xu từ một hộp chứa 100 đồng 1 xu giống nhau và 80 đồng 5
xu giống nhau ?
82. Có bao nhiêu cách cất 300 bản sách giống nhau vào 3 giá sách ?
83. Phương trình x + y + z + t = 20 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm ?
84. Phương trình x + y + z = 19 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thoả điều kiện x  3, y
4?

85. Phương trình x + y + z + u + v = 18 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thoả điều kiện x
 3, y  4, u, v  6 ?
86. Bất đẳng thức x + y + z  11 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm ?
(Gợi ý : đưa thêm biến t sao cho x + y + z + t = 11)
87. Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1.000.000 có tổng các chữ số bằng 19 ?
88. Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1.000.000 có tổng các chữ số bằng 13 và chứa đúng
một chữ số 9 ?
89. Tìm giá trị k sau khi đoạn chương trình sau được thực hiện :
17


Chương 1. Tập hợp và phép đếm

k := 0;
for i1 := 1 to n
for i2 := 1 to i1
.....
for im := 1 to im-1 k := k + 1;

90. Trong không gian Oxyz, một con bọ di chuyển bằng cách nhảy từng bước một với độ dài 1
đơn vị theo chiều dương của 1 trong 3 trục x, y hoặc z. Tính số cách để con bọ có thể di
chuyển từ gốc toạ độ đến điểm (2, 3, 4). (Gợi ý : Biểu diễn đường đi của con bọ bằng 3 hộp
chứa số bước theo 3 trục).
91. Có bao nhiêu cách chia cỗ bài 52 quân cho 4 người chơi, mỗi người 9 quân ? (Gợi ý : Chỗ
bài còn thừa là người chơi thứ 5).
92. Có bao nhiêu cách xếp 300 cuốn sách khác nhau lên 3 kệ sách theo :
a. Không cố định số lượng trên từng kệ, không tính đến vị trí của từng cuốn sách.
b. Chia đều mỗi kệ 100 cuốn sách, không tính đến vị trí của từng cuốn sách.
c. Chia đều mỗi kệ 100 cuốn sách, tính đến vị trí của từng cuốn sách.
d. Không cố định số lượng trên từng kệ, tính đến vị trí của từng cuốn sách.

93. Có bao nhiêu số hạng khác nhau trong khai triển của (x1 + x2 + . . . + xm)n sau khi cộng các
số hạng đồng dạng với nhau ?
94. Tìm khai triển (x + y + z)4.
95. Tìm hệ số của x3y2z5 trong khai triển (x + y + z)10.
96. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển của (x + y + z)100 ?
97. Nêu chứng minh hoàn chỉnh về công thức tính số tổ hợp lặp chập k.
VI. SINH HOÁN VỊ VÀ TỔ HỢP
98. Chứng minh đối với mỗi hoán vị bất kỳ có duy nhất 1 hoán vị liền sau.
99. Chứng minh tính đúng đắn của cách tìm hoán vị liền sau.
100. Tìm hoán vị liền sau theo thứ tự từ điển của các hoán vị sau :
a. 45231
b. 6714235
c. 12453
d. 31528764
101. Sắp xếp dãy các hoán vị sau theo thứ tự từ điển : 234561, 231456, 165432, 156423, 543216,
541236, 231465, 314562, 654321, 654312.
102. Chứng minh đối với mỗi tổ hợp bất kỳ có duy nhất 1 tổ hợp liền sau.
103. Chứng minh tính đúng đắn của cách tìm tổ hợp liền sau.
104. Tìm tổ hợp chập 4 liền sau của 6 phần tử theo thứ tự từ điển của các tổ hợp sau :
a. 4231
b. 1423
c. 1253
d. 5264
105. Sắp xếp dãy các tổ hợp chập 4 sau theo thứ tự từ điển : 4561, 2314, 3145, 6543, 6543, 4356,
2314, 1654, 1564, 5432, 5412.
106. Có thể ánh xạ mỗi tập con của tập hợp n phần tử là một xâu nhị phân độ dài n. Xâu liền sau
18


Chương 1. Tập hợp và phép đếm

của xâu s được tìm bằng cách : tìm vị trí i đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i] = 0. Thay
s[i] bằng 1 và tất cả các vị trí còn lại (từ i+1 đến n) bằng 0. Áp dụng cách tìm xâu liền sau
của xâu nhị phân để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử.
107. Hãy xây dựng thuật toán dựa trên thứ tự từ điển và viết chương trình sinh ra chỉnh hợp chập
k từ tập n phần tử. (Gợi ý : kết hợp 2 thuật toán hoán vị và sinh tổ hợp chập k)
108. Viết hoàn chỉnh chương trình sinh hoán vị bằng một NNLT nào đó.
109. Viết hoàn chỉnh chương trình sinh tổ hợp chập k bằng một NNLT nào đó
110. Áp dụng thuật toán sinh tổ hợp chập r để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử.
111. Có thể ánh xạ mỗi tập con của tập hợp n phần tử là một xâu nhị phân độ dài n. Xâu liền sau
của xâu s được tìm bằng cách : tìm vị trí i đầu tiên từ phải sang trái sao cho s[i] = 0. Thay
s[i] bằng 1 và tất cả các vị trí còn lại (từ i+1 đến n) bằng 0. Áp dụng cách tìm xâu liền sau
của xâu nhị phân để liệt kê tất cả tập con của tập A có n phần tử.

19