Bảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logarit

CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
I. Giá trò lượng giác của các cung (góc) đặc biệt.
0o

30o

45o

60o

90o

120o

135o

150o

α

0

3
4

1

1

3
2

1

2

2
2
2

2

5
6
1
2

cosα


3
3
2
1
2

2
3

0



4
2
2
2
2


2

sinα


6
1
2

tanα

0

1

3

∥

 3

-1

cotα

∥

1

3
3

0



3
3

-1

3
2
3
3
3

0

tan

180o



0

3
2
3

3

-1

 3

∥



0

II. Giá trò lượng giác của các cặp góc đặc biệt.

Góc đối nhau

Góc bù
nhau

Góc phụ
nhau

Góc hơn kém

Góc hơn kém

𝛑

𝛑/2


sin      cos 
2



sin( )   sin 

sin(   )  sin 



sin      cos 
2


sin(   )   sin 

cos( )  cos 

cos(   )   cos 



cos      sin 
2


cos(   )   cos 



cos       sin 
2


tan( )   tan 

tan(   )   tan 



tan      cot 
2


tan(   )  tan 



tan       cot 
2



cot( )   cot 

cot(   )   cot 



cot      tan 
2


cot(   )  cot 



cot       tan 
2



III. Công thức nghiệm cơ bản:
sin

sin

cos

cos

tan
cot

tan
cot

cos

Chú ý:

2k

1

cos

2k
k2

sin

k
k

sin

1

2
1

k2

2

k2

k2
1

sin

0

cos

0

k2
k
2

k


CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
IV. Công thức lượng giác .
1. Công thức cơ bản:

2

1  cot  

 cos3  4 cos   3 cos 
3 tan   tan3 
 tan 3 
1  3 tan 2 

1
2

cos 

1

2. Công thức cộng:
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
tan(a  b) 

sin a.sin b

tan a  tan b
1 tan a.tan b

sin3
cos

3

1

3 sin
4
1
3 cos
4

sin 2  2sin  .cos

cos 2  cos2   sin 2 
 2 cos2   1
 1  2 sin 2 

2 tan 

1  tan 2 
cot 2   1
cot 2 
2 cot 

tích:

1  cos 2
2
1  cos 2
2
cos  
2
1  cos 2
2
tan  

1  cos 2

4

cos

2 sin

4

4

sin 2

cos

sin

tan

cot

2
sin 2

cot

tan

2 cot2

 sin4α + cos4 α
cos a  cos b  2 cos

ab
ab
.cos
2
2

ab
ab
cos a  cos b   2sin
.sin
2
2

=1=

1
sin22 α
2

1
3
cos 4 
4
4

sin6 α + cos6α

sin a  sin b  2sin

ab
ab
.cos
2
2

=1-

sin a  sin b  2 cos

ab
ab
.sin
2
2

=

3
sin22 α
4

3
5
cos 4 
8
8

8. Công thức biểu diễn

Hệ quả: (Công thức hạ bậc hai)
sin 2  

1

2 cos

4

2 cos

5. Công thức biến đổi tổng thành

3. Công thức nhân đôi:

tan 2 

sin

sin 3
cos 3

sin

2 sin

Hệ quả: (Công thức hạ bậc ba)

sin2 

cos(a  b)  cosa.cos b

cos

3

tan .cot  1

1  tan  

7. Công thức bổ xung:

 sin 3  3sin   4sin3 

sin2  cos2  1
2

4. Công thức nhân ba:

6. Công thức biến đổi tích thành


2

theo t = tan .

tổng:

1
 cos(a  b)  cos(a  b) 
2
1
sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b) 
2
1
sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 
2
cos a.cos b 

 sin 

2t
1  t2

 cos  

1  t2
1  t2

 tan  

2t
1  t2

2


BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM - NGUYÊN HÀM

I. Các công thức tính đạo hàm.
1. (u

v)'

2. (u.v)'

u' v'
1. ku '

Hệ Quả:

u '.v

u.v '
'

1
2.
v

k.u '

u
3.
v

'

u '.v

u.v '
v2

v'
v2

II. Đạo hàm và nguyên hàm các hàm số sơ cấp.
Bảng đạo hàm
x '

x 

 

u '   .u '.u 1

1

sin x  '  cos x

2

x


 x dx 

sin u  '  u '.cos u

 cos x  '   sin x
 tan x  '  cos1

Bảng ngun hàm

 cos u  '  u '.sin u

 1  tan 2 x

 tan u  '  cosu ' u  u '. 1  tan u 
2

2

 cot x  '  sin1 x   1  cot x   cot u  '  sinu 'u  u '. 1  cot u 
2

2

2

2

u'
u.ln a
u'
ln u '
u

1

x ln a
1
ln x '
x

loga x '

ax '

loga u '

au '

a x . ln a

ex '

u

c

1

 sin xdx   cos x  c

 sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c

 cos xdx  sin x  c

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c

1

1

1

1

1

1

dx  tan x  c

 cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c

1
 sin2 x dx   cot x  c

 sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   c

 cos

2

x

2

2

1

x
 a dx 

1

x

x

1

 ax  b dx  a ln ax  b  c
a x  
c
 .ln a
1 ax  b
ax  b
 e dx  a e  c

ax
c
ln a

 e dx  e

u

 1



 x dx  ln x  c

a u .u '.ln a

 e  '  u '.e

ex

1  ax  b 
  ax  b  dx  a .   1

x 1
 c,   1
 1

 x
 a dx 

c

Bổ sung:
dx
x

2

a

2

1
x
arctan
a
a

C

x

III. Vi phân: dy
VD: d(ax
d(ln x )

b)

1
x
ln
2a x

dx
2

adx

dx
, d(tan x )
x

a

2

a
a

C

dx
a2

x2

arcsin

x
a

C

dx
x

2

a

2

ln x

y ' .dx
dx

1
d (ax
a

dx
, d(cot x )
cos2 x

b ) , d(sin x )
dx
...
sin2 x

cos xdx , d(cos x )

sin xdx ,

x2

a2

C


BẢNG CÔNG THỨC MŨõ - LOGARIT
I. Công thức hàm số Mũ và Logarit.
Hám số mũ

1 
;a
a



a


a .a

a



a

 .

a.b

a

 



a

a

a
a .b ;
b





a

a

1 : a

0

a







a

a
b

1 : a


a

loga 1

0 ; loga a

a

1






x



loga b.c

loga b

b
c

loga b

logb c

c

x, 0

logb a

;a



loga c
loga 



loga c.logc b

loga b

1
logb a

loga 

loga 

1 : loga 

0

a

 loga b

loga c

loga b

a

1

a

1 ; loga b

loga b ; loga a 

loga b

a



0





M

1

0

aM

loga x

loga





a



a
; 
a





a

Hàm số Logarit

logc b
logc a





loga 

1 : loga 





loga 





II.Một số giới hạn thường gặp.

1. lim 1
x

1
x

x

2. lim 1  x   e
1
x

x 

a 1
3. lim
 ln a
x
1  x 
4. lim
a
x
x

e

x 0

a

x 0

5. lim
x 0

log 1  x 
 log e
x
a

a


Ôn thi đại học 2010
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A- ĐỀ CHÍNH THỨC:
1, KhốiA-2002: Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) của phương trình:
cos3 x + sin 3 x 

5  s inx +
 = cos2 x + 3
1 + 2sin 2 x 


Đáp số: x =

π
3

;x =

5π
3

cos2 x
1
2, KhốiA-2003: Giải phương trình cot x − 1 =
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + t anx
2

Đáp số: x =

π
4

+ kπ

(k ∈ »)

3, Khối A-2005: Giải phương trình cos 2 3x.cos 2 x − cos 2 x = 0

Đáp số: x = k
4, Khối A-2006: Giải phương trình

2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
2 − 2sin x

5π
+ k 2π
4
5, Khối A-2007: Giải phương trình (1 + sin 2 x ) cos x + (1 + cos 2 x ) s inx = 1 + sin 2 x

6, Khối A-2008: Giải phương trình

1
+
s inx

π
4

,k ∈»

+ kπ ; x =

π
2

(k ∈ »)

+ k 2π ; x = k 2π

( k ∈ »)

5π
+ kπ
8

( k ∈ »)

4π
2π
+k
15
5

( k ∈ »)

 7π

= 4sin 
− x
3π 

 4

sin  x −

2


1

Đáp số: x = −

π

+ kπ ; x = −

4
7, CĐ khối A-2008: Giải phương trình sin 3x − 3cos3x = 2sin 2 x

Đáp số: x =
8, Khối A-2009: Giải phương trình

2

=0
Đáp số: x =

Đáp số: x = −

π

(1 − 2sin x ) cos x
=
(1 + 2sin x )(1 − s inx )

π
3

π
8

+ kπ ; x =

+ k 2π ; x =

3

Đáp số: x = −

π

2π
3

( k ∈ »)

5π
+ kπ
12

( k ∈ »)

18

+k

2

9, CĐ khối A-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x ) cos x = 1 + s inx + cos x

Đáp số: x = −

π

+ k 2π ; x =

π

2
12
2
2
2
2
10, Khối B-2002: Giải phương trình sin 3x − cos 4 x = sin 5 x − cos 6 x

GV: Hoàng Ngọc Quang

+ kπ ; x =

1


Ôn thi đại học 2010
Đáp số: x = k
11, Khối B-2003: Giải phương trình cot x − t anx + 4sin 2 x =

π
9

;x = k

π
2

( k ∈ »)

2
sin 2 x

π

+ kπ

(k ∈ »)

5π
+ k 2π
6

( k ∈ »)

2π
+ k 2π
3

( k ∈ »)

5π
+ kπ

12

( k ∈ »)

Đáp số: x = ±

3

12, Khối B-2004: Giải phương trình 5sin x − 2 = 3 (1 − s inx ) tan 2 x

Đáp số: x =

π

+ k 2π ; x =

6
13, Khối B-2005: Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0

Đáp số: x = −

π

+ kπ ; x = ±

4

x

14, Khối B-2006: Giải phương trình cot x + sin  1 + t anx.tan  = 4

2


Đáp số: x =

π
12

+ kπ ; x =

15, Khối B-2007: Giải phương trình 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = s inx
2π
5π
2π
;x =
+k
8
4
18
3
18
3
3
3
2
2
16, Khối B-2008: Giải phương trình sin x − 3cos x = s inx.cos x − 3 sin x.cos x

Đáp số: x =

π

+k

π

;x =

π

+k

Đáp số: x =

π
4

+k

π
2

;x = −

π
3

+ kπ

( k ∈»)

( k ∈ »)

17, CĐ khối B-2008: Giải phương trình sin 3 x − 3cos3 x = 2sin 2 x
4π
2π
+k
3
15
5
3
18, Khối B-2009: Giải phương trình sin x + cos x.sin 2 x + 3cos3 x = 2 ( cos4 x + sin x )

Đáp số: x =

Đáp số: x = −

π

+ k 2π ; x =

π

+ k 2π ; x =

6
2
19, CĐ khối B-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x ) cos x = 1 + s inx + cos x

Đáp số: x = −

π

+ k 2π ; x =

π

π
2

;x =

2π
7

( k ∈ »)

5π
+ kπ
12

( k ∈ »)

42

+ kπ ; x =

2
12
20, Khối D-2002: Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đúng phương trình:
cos 3 x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0

Đáp số: x =

π

( k ∈ »)

+k

3π
5π
7π
;x =
;x =
2
2
2

x
x π
21, Khối D-2003: Giải phương trình sin 2  −  tan 2 x − cos 2 = 0
2
2 4

Đáp số: x = π + k 2π ; x = −

π
4

+ kπ

( k ∈ »)

22, Khối D-2004: Giải phương trình ( 2 cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − s inx

GV: Hoàng Ngọc Quang

2


Ôn thi đại học 2010

π

π

+ kπ
3
4
π 
π 3

23, Khối D-2005: Giải phương trình sin 4 x + cos 4 x + cos x −  sin  3 x −  − = 0
4 
4 2


Đáp số: x ±

+ k 2π ; x = −

π

Đáp số: x =

4

+ kπ

( k ∈ »)

(k ∈ »)

24, Khối D-2006: Giải phương trình cos 3 x + cos2 x − cos x − 1 = 0

Đáp số: x = kπ ; x = ±

2π
+ k 2π k ∈ »
3

2

x
x

25, Khối D-2007: Giải phương trình  sin + cos  + 3 cos x = 2
2
2


π

Đáp số: x =

π

+ k 2π

( k ∈ »)

2π
π
+ k 2π ; x = + kπ
3
4

( k ∈ »)

4π
2π
+k
15
5

( k ∈ »)

+ k 2π ; x = −

2

26, Khối D-2008: Giải phương trình 2sin x (1 + cos2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x

Đáp số: x = ±

6

27, CĐ khối D-2008: Giải phương trình sin 3 x − 3cos3 x = 2sin 2 x

π

Đáp số: x =

28, Khối D-2009: Giải phương trình

+ k 2π ; x =

3
3cos5x − 2sin3x.cos2x − sinx = 0

Đáp số: x =

π

+k

π

18
3
2

29, CĐ khối D-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x ) cos x = 1 + s inx + cos x

Đáp số: x = −

π
2

+ k 2π ; x =

π
12

;x = −

+ kπ ; x =

π
6

+k

π
2

5π
+ kπ
12

( k ∈ »)
( k ∈ »)

B- ĐỀ DỰ BỊ:
30, Dự bị I khối A-2002: Cho phương trình

2 sin x + cos x + 1
= a (a là tham số)
s inx − 2 cos x + 3

1
3
b) Tìm a để phương trình có nghiệm
a) Giải phương trình khi a =

x

31, Dự bị II khối A-2002: Giải phương trình tan x + cos x − cos 2 x = s inx  1 + tan x.tan 
2


32, Dự bị I khối B-2002: Giải phương trình tan

GV: Hoàng Ngọc Quang

4

( 2 − sin
x +1 =

2

)

2 x sin 3x
4

cos x

3


Ôn thi đại học 2010
33, Dự bị II khối B-2002: Giải phương trình

34, Dự bị I khối D-2002: Giải phương trình

sin 4 x + cos 4 x 1
1
= cot 2 x −
5sin 2 x
2
8sin 2 x

1
= s inx
8 cos 2 x

35, Dự bị II khối D-2002: Xác định m để phương trình 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos4 x + 2 sin 2 x − m = 0

 π
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;  .

 2
36, Dự bị I khối A-2003: Giải phương trình cos 2 x + cos x ( 2 tan x − 1) = 2
37, Dự bị II khối A-2003: Giải phương trình 3 − t anx ( t anx + 2sin x ) + 6 cos x = 0
38, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 3cos 4 x − 8cos6 x + 2 cos 2 x + 3 = 0

( 2 − 3 ) cos x − 2sin
39, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình

40, Dự bị I khối D-2003: Giải phương trình

2 cos x − 1
cos 2 x ( cos x − 1)
sin x + cos x

41, Dự bị II khối D-2003: Giải phương trình cot x = tan x +

2

x π 
 − 
 2 4  =1

= 2 (1 + sin x )

2 cos 4 x
sin 2 x

42, Dự bị I khối A-2004: Giải phương trình 4 ( sin 3 x + cos3 x ) = cos x + 3sin x

Đáp số:

43, Dự bị II khối A-2004: Giải phương trình 1 − sin x + 1 − cos x = 1

π
1
1

44, Dự bị I khối B-2004: Giải phương trình 2 2 cos  x +  +
=
4  sin x cos x

45, Dự bị II khối B-2004: Giải phương trình sin 4 x.sin 7 x = cos 3 x.cos 6 x
46, Dự bị I khối D-2004: Giải phương trình 2 sin x.cos 2 x + sin 2 x.cos x = sin 4 x.cos x
47, Dự bị II khối D-2004: Giải phương trình sin x + sin 2 x = 3 ( cos x + cos 2 x )

GV: Hoàng Ngọc Quang

4


Ôn thi đại học 2010

π

48, Dự bị I khối A-2005: Giải phương trình 2 2 cos3  x −  − 3cos x − sin x = 0
4

Đáp số: x =

π
2

+ kπ ; x =

π
4

+ kπ

sin x
 3π

49, Dự bị II khối A-2005: Giải phương trình tan 
− x+
=2
 2
 1 + cos x
50, Dự bị I khối B-2005: Giải phương trình sin 2 x + cos 2 x + 3sin x − cos x − 2 = 0
51, Dự bị II khối B-2005: Tìm nghiệm trên khoảng ( 0; π ) của phương trình
4 sin 2

x
3π 

− 3cos2 x = 1 + 2 cos2  x −

2
4 


Đáp số: x1 =

5π
17π
5π
; x2 =
; x3 =
18
18
6

52, Dự bị I khối D-2005: Giải phương trình sin x.cos2 x + cos 2 x ( tan 2 x − 1) + 2sin 3 x = 0
cos2 x − 1
π

53, Dự bị II khối D-2005: Giải phương trình tan  + x  − 3 tan 3 x =
cos2 x
2

54, Dự bị I khối A-2006: Giải phương trình cos 3 x.cos3 x − sin 3 x.sin 3 x =

2+3 2
8

π

55, Dự bị II khối A-2006: Giải phương trình 2 sin  2 x −  + 4 sin x + 1 = 0
6

56, Dự bị I khối B-2006: Giải phương trình ( 2 sin 2 x − 1) tan 2 2 x + 3 ( 2 cos 2 x − 1) = 0
57, Dự bị II khối B-2006: Giải phương trình cos 2 x + (1 + 2 cos x )( s inx − cos x ) = 0

58, Dự bị I khối D-2006: Giải phương trình sin 3 x + cos3 x + 2sin 2 x = 1
59, Dự bị II khối D-2006: Giải phương trình 4 sin 3 x + 4 sin 2 x + 3sin 2 x + 6 cos x = 0
60, Dự bị I khối A-2007: Giải phương trình sin 2 x + s inx −

1
1
−
= 2 cot 2 x
2sin x sin 2 x

(

61, Dự bị II khối A-2007: Giải phương trình 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3 s inx + 3 cos x

GV: Hoàng Ngọc Quang

)

5


Ôn thi đại học 2010
3x
 5x π 
x π
62, Dự bị I khối B-2007: Giải phương trình sin  −  − cos  −  = 2cos
2
 2 4
2 4
63, Dự bị II khối B-2007: Giải phương trình

sin 2 x cos2 x
+
= tanx − cot x
cos x
s inx

π 

64, Dự bị I khối D-2007: Giải phương trình 2 2 sin  x −  cos x = 1
12 

65, Dự bị II khối D-2007: Giải phương trình (1 − t anx )(1 + sin 2 x ) = 1 + t anx
66, Dự bị I khối A-2008: Giải phương trình tan x = cot x + 4 cos2 2 x

π
π
3


67, Dự bị II khối A-2008: Giải phương trình sin  2 x −  = sin  x −  +
4
4 2


π
π 1


68, Dự bị I khối B-2008: Giải phương trình 2 sin  x +  − sin  2 x −  =

3
6 2


69, Dự bị II khối B-2008: Giải phương trình 3sin x + cos2 x + sin 2 x = 4sin x cos2

x
2

70, Dự bị I khối D-2008: Giải phương trình 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos4 x + sin 2 x = 0

C – MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN KHÁC:

3π
1, Giải phương trình: 2 2 cos 2x + sin 2x cos  x +

4
Đáp số: x = −



π
 − 4 sin  x +  = 0


4

π

+ k π ; x = k 2π ; x =

4
2
2
2
2
2, Giải phương trình: sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x

Đáp số: x =
 π
3, Tìm nghiệm trên khoảng  0;  của phương trình:
 2

π

x
4 sin 2  π −  − 3 sin  − 2x  = 1 + 2cos 2
2

2


kπ
2

3π
+ k 2π
2
;x =

kπ
9

(k ∈» )
(k ∈ » )

 3π 
 x
 4 
Đáp số: x=

4, Giải phương trình: sin 2x + sin x −

GV: Hoàng Ngọc Quang

5π
18

1
1
−
= 2 cot 2x
2 sin x sin 2x

6


Ôn thi đại học 2010

π

Đáp số: x =
5, Giải phương trình:

4

+k

π

(k ∈» )

2

3sin 2x − 2 sin x
=2
sin 2x .cos x

π

+ k 2π

(k ∈» )

+ k 2π ; x = π + k 2π
2
7, Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn 1 + log 1 x ≥ 0 :

(k ∈» )

Đáp số: x = ±

3

6, Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x )(sin x − cos x )
x=

π

3

sin x. tan 2 x + 3(sin x − 3 tan 2 x ) = 3 3

Đáp số: x =
8, Giải phương trình: cos 3x cos3 x − sin 3x sin 3 x =

π

;x =

3

5π
6

2+3 2
8

π

Đáp số: x = ±

16

+k

π

(k ∈» )

2

9, Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

Đáp số: x =

π

2
2
3
10, Tìm nghiệm của phương trình: cos x + cos x + sin x = 2 thoả mãn : x − 1 < 3

(k ∈» )

+ k 2π

Đáp số: x = 0
(sin 2 x − sin x + 4) cos x − 2
11, Giải phương trình:

=0
2sin x + 3

Đáp số: x =

π
3

(k ∈ » )

+ k 2π

12, Giải phương trình: s inx − cosx + 4sin 2 x = 1 .

Đáp số: x =

π
4

+ kπ ; x = l

π
2

, (k , l ∈ » )

`13, Giải phương trình: cos 2 3xcos2x – cos 2 x = 0.

Đáp số: x = k
14, Giải phương trình:

π
2

(k ∈ » )

3sin 2 x − 2sin x
=2
sin 2 x.cos x

Đáp số: x = ±
1
2

15, Giải phương trình: 4 cos 4 x − cos 2 x − cos 4 x + cos

π
3

+ k 2π

3x 7
=
4 2

Đáp số: x = 8kπ

GV: Hoàng Ngọc Quang

(k ∈» )

( k ∈ »)

7


Ôn thi đại học 2010

16, Giải phương trình:

cos 2 x. ( cos x − 1)
= 2 (1 + sin x )
sin x + cos x

Đáp số: x = −

π
2

+ k 2π ; x = π + k 2π

(k ∈» )

Đáp số: x = kπ

(k ∈» )

x
x
π x

17, Giải phương trình: 1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2 cos2  − 
2
2
 4 2

18, Giải phương trình:

sin 3 x.sin 3 x + cos3 x cos 3 x
1
=−
π  π
8

tan  x −  tan  x + 
6
3



Đáp số: x = −
19, Giải phương trình:

6

+ kπ

(k ∈» )

sin 3 x.(1 + cot x ) + cos3 x (1 + tan x ) = 2sin 2 x .

Đáp số: x =
20, Giải phương trình:

π

π
4

+ 2 kπ

(k ∈ » )

π
π


sin  3x −  = sin 2 x sin  x +  .
4
4


Đáp số: x = ±

π
4

+ kπ

(k ∈ » )

21, Giải phương trình: cos 2 x + cosx + sin 3 x = 0

Đáp số: x=π +k2π ,k ∈ »; x =
22, Giải phương trình: cos 3x − cos 2 x + cos x =



2
± ϕ + h 2π , h ∈ »  cosϕ =
− 1, 0 < ϕ < 2π 
4
2



π

1
2

2π
, k ∈ » , với k ≠ 3 + 7m, m ∈ »
7
7
23, Tìm tổng tất cả các nghiệm x thuộc [ 2; 40] của phương trình: sinx – cos2x = 0.
Đáp số: S = 117π .
π  π

24, Giải phương trình:
tan  x −  tan  x +  .sin 3x = sin x + sin 2 x

6
3


kπ
2π
Đáp số: x =
;x = −
+ 2 kπ ( k ∈ » )
2
3
25, Giải phương trình :
1
8
21π  1 2

2 cos x + cos 2 ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos  x +
 + s in x .
3
3

2  3

Đáp số: x =

π

+k

Đáp số: x =

26, Giải phương trình:

GV: Hoàng Ngọc Quang

sin 2 x + sin x −

π
2

+ kπ

(k ∈ »)

1
1
−
= 2 cot 2 x
2sin x sin 2 x

8


Ôn thi đại học 2010
Đáp số: x =

π
4

+k

π
2

(k ∈» )

π

2 sin  − x 
4
 (1 + sin 2 x ) = 1 + tan x
cos x

27, Giải phương trình:

Đáp số: x = −

π
4

+ kπ ; x = kπ

(k ∈» )

tan 2 x − tan 2 x.sin 3 x + cos3 x − 1 = 0

28, Giải phương trình:

Đáp số: x = k 2π ; x =
29, Giải phương trình:

π

+ kπ ; x =

π

+ α + k 2π ; x =

4
4
2cos3x + 3 sinx + cosx = 0

π
4

− α + k 2π

Đáp số: x =
30, Giải phương trình:

π
3

+

kπ
2

(k∈» )
(k ∈» )

sin 6 x + cos 6 x 1
= tan 2 x
cos 2 x − sin 2 x 4

Đáp số: Phương trình vô nghiệm.

GV: Hoàng Ngọc Quang

9


BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM)
Bài 1: Giải phương trình

2 2 + 32 = 2 x + 3 x +1 + x + 1
x

x

Giải:
Ta có f ( x) = 2 x + 3 x + x tăng trên R, nên phương trình tương đương
f (2 x ) = f ( x + 1) ⇔ 2 x = x + 1
Hàm số g ( x) = 2 x − ( x + 1) xác định trên R

g / ( x) = 2 x ln 2 − 1 ⇒ g / ( x) ≥ 0 ⇔ x ≥ log 2 (log 2 e )
Vậy phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm trên (− ∞ ; log 2 (log 2 e) ) v (log 2 (log 2 e) ; + ∞ )
Thử trực tiếp tìm được hai nghiệm là x = 0 ; x = 1

Bài 2: Giải phương trình

log 5 ⎛⎜ x − 2 x − 1 + x + 3 − 4 x − 1 ⎞⎟ = 5 x−2 x−1 + x+3−4 x−1 −1 − 1
⎝
⎠

Giải :
Điều kiện x ≥ 1 .Đặt t = x − 2 x − 1 + x + 3 − 4 x − 1 − 1 ≥ 0 (chứng minh)
phương trình tương đương log 5 (t + 1) = 5 t − 1
⎧5 t = y + 1 ⎧⎪
⎧5 t = t + 1
5t = y + 1
⇔⎨ y
⇔⎨ t
⇔
⇔t=0
⎨
⎪⎩5 − 5 y = y − t (*)
⎩5 = t + 1
⎩ y=t
⇔ x − 2 x −1 + x + 3 − 4 x −1 −1 = 0
⇔2≤ x≤5

Bài 3: Giải phương trình
x=

13 4
2 x − 4 x 2 + 24 x − 4
2

Giải :
⇔ x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 + 12 x − 2 = 0

Xét hàm số y = x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 + 12 x − 2 ⇒ y / = 4 x 3 − 12 x 2 − 4 x + 12

Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số có trục đối xứng x =1
Do đó đặt x = X + 1 , ta có phương trình
⎡ x = 1 ± 4 − 11
X 4 − 8X 2 + 5 = 0 ⇔ ⎢
⎣⎢ x = 1 ± 4 + 11

Bài 4: Giải phương trình

(

)

(1 + cos x) 2 + 4 cos x = 3.4 cos x

Giải :
Đặt cos x = y

(

⇔ (1 + y ) 2 + 4

Đặt f ( y ) =

−1 ≤ y ≤ 1

y

) = 3.4 y

3.4 y
6. ln 4.4 y
/
−
y
−
1
⇒
f
(
y
)
=
−1
2
2 + 4y
2 + 4y

(

)


(

f / ( y ) = 0 ⇔ 16. ln 4.4 y = 2 + 4 y

)

2

Đây là phương trình bậc hai theo 4 y , nên có không quá 2 nghiệm. Vậy theo định lý Roolle
phương trình f ( y ) = 0 có không quá 3 nghiệm.
1
, y = 1 là 3 nghiệm của phương trình f ( y ) = 0
2
π
2π
Suy ra phương trình có nghiệm x = k 2π , x = + kπ , x = ±
+ k 2π
3
2

Ta có y = 0 , y =

Bài 5: Giải phương trình
log 2008

4x 2 + 2
= x 6 − 3x 2 − 1
6
2
x + x +1

Giải :
6

2

4x 2 + 2
2008 x + x +1
=
⇔ x 6 + x 2 + 1 = 4 x 2 + 2 vì hàm số f ( x) = x.2008 x tăng trên R
6
2
2 +2
4
x
x + x +1
2008
Giải phương trình x 6 − 3 x 2 − 1 = 0 ⇔ u 3 − 3u − 1 u ≥ 0 phương trình chỉ có nghiệm trong (0,2)
π
1
Đặt u = 2 cos t 0 < t <
⇒ cos 3t =
2
2

Suy ra phương trình có nghiệm x = ± 2 cos

π
9

Bài 6: Giải phương trình
⎛5⎞
cos x.⎜ ⎟
⎝2⎠

sin x

⎛5⎞
= sin x.⎜ ⎟
⎝2⎠

cos x

Giải :
Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghiệm . Xét x ≠
sin x

⎛5⎞
⎜ ⎟
2
⇔⎝ ⎠
sin x

kπ
2

cos x

⎛5⎞
⎜ ⎟
2
=⎝ ⎠
cos x

⎛5⎞
⎜ ⎟

2
Xét hàm số f (t ) = ⎝ ⎠
t

t

Suy ra sin x = cos x ⇔ x =

t < 1 , t ≠ 0 . Hàm số f (t ) nghịch biến

π
4

+ kπ

Bài 7: Giải phương trình
( x + 2) 2 + log 2

Giải :
Đk 2 x + 3 > 0

[

x 2 + 4x + 5
2x + 3

]

= 2 2x + 3

⇔ ( x + 2) 2 + 1 + log 2 ( x + 2) 2 + 1 = 2 2 x + 3 + log 2 2 2 x + 3
Đặt f (t ) = t + log 2 t (t > 0)

Tương tự


Phương trình có nghiệm x = −1
Bài 8: Giải phương trình
sin 1975 x − cos1975 x =

1
sin

2007

x

−

1
cos

2007

x

Giải :
sin 1975 x −

1

= cos1975 x −

2007

1
2007

sin
x
cos
x
sin x = 1 ; cos x = 1 không là nghiệm của phương trình

Đặt hàm số f (t ) = t 1975 −

1

t ∈ (−1 ; 0) ∪ (0 ; 1)
t
2007
Ta có f / (t ) = 1975t 1974 + 2008 > 0 nên hàm số tăng trên mỗi khoảng
t
t ∈ (−1 ; 0) : f (t ) chỉ nhận giá trị dương
t ∈ (0 ; 1) : f (t ) chỉ nhận giá trị âm
2007

Nên f (sin x) = f (cos x) ⇔ sin x = cos x ⇔ x =

π

4

+ kπ

Bài 9: Giải phương trình
⎛π
2 ⎞

⎛π
⎞
sin ⎜ . sin x ⎟ − cos⎜ . cos 2 2 x ⎟ = 2 sin x. sin 3x + cos 4 2 x − cos 4 x
⎝2
⎠
⎝2
⎠

Giải :

⎛π
⎞
⎛π
⎞
⇔ cos⎜ . cos 2 x ⎟ − cos⎜ . cos 2 2 x ⎟ = 2 cos 2 x − cos 2 2 x + cos 4 2 x − cos 4 x
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎛π
⎞
⎛π

⎞
⇔ cos 4 2 x − 2 cos 2 2 x + cos⎜ . cos 2 2 x ⎟ = cos 4 x − 2 cos 2 x + cos⎜ . cos 2 x ⎟
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎛π ⎞
Xét hàm số f (t ) = t 2 − 2t + cos⎜ .t ⎟
0 ≤ t ≤ 1 . f (t ) giảm
⎝2 ⎠
kπ
f (cos 2 2 x) = f (cos 2 x) ⇔ cos 2 2 x = cos 2 x ⇔ x =
3

(

Bài 10: Giải phương trình
2x

2

− 34 x + 93

)

[

Giải :
Đặt t = x 2 − 34 x + 376 (t ≥ 87)
⇔ 2 t .t 3 log 2 (2 t .t 3 ) = 35.2 283 = 2 256.256 3 log 2 (256 t .256 3 )

Hàm số f (t ) = 2 t .t 3 log 2 (2 t .t 3 ) đồng biến trên [1; + ∞ )
⇔ t = 256 ⇔ x 2 − 34 x + 376 = 256 ⇔ x = 30 ; x = 4

Bài 11: Giải phương trình
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠

Giải :

]

( x 2 − 34 x + 376) 3 x 2 − 34 x + 376 + 3 log 2 + ( x 2 − 34 x + 376) = 35

2 sin 2 x

+

1
= cos 2 x + log 4 (4 cos 3 2 x − cos 6 x − 1)
2


Đặt y = cos 2 x

1
( < y ≤ 1)
3

1

= y + log 4 (3 y − 1)
2
Đặt t = log 2 (3 y − 1) ⇔ 2 t = 3 y − 1
⇔ 2 y −1 +

(t ≤ 1)

⎧2 y = 2 y + t − 1
⇔ 2 y + y = 2t + t
t
2
=
3
y
−
1
⎩

Ta có hệ ⎨

Xét hàm số g (u ) = 2 u + u , hàm số đồng biến trên R
⇔ 2 t = 3t − 1 ⇔ f (t ) = 2 t − 3t + 1 = 0
Xét hàm số f (t ) = 2 t − 3t + 1 , sử dụng định lý Roll cm phương trình có không quá 3 nghiệm
Phương trình có nghiệm t = 1 t = 3( L) , suy ra phương trình có nghiệm x = kπ

Bài 12: Giải phương trình
64 x − 8.343 x −1 = 8 + 12.4 x .7 x −1

Giải :
Đặt a = 2 ; b = −4 x ; c = 2.7 x −1

⎡ (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ⎤
⇔ a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = 0 ⇔ (a + b + c) ⎢
⎥ = 0 ⇔ a+b+c = 0
2
⎣
⎦
x
x −1
⇔ 2 − 4 + 2.7 = 0
2
Xét hàm số f ( x) = 2 − 4 x + 2.7 x −1 ⇒ f / ( x) = −4 x . ln 4 + .7 x . ln 7
7
/
Phương trình f ( x) = 0 có nghiệm duy nhất nên theo định lí Lagrange phương trình f ( x) = 0

không có quá 2 nghiệm phân biệt
Phương trình có nghiệm x = 1 ; x = 2
Bài 13: Giải phương trình
log 2

2+ 3

( x 2 − 2 x − 2) = log 2+ 3 ( x 2 − 2 x − 3)

Giải :
Điều kiện x < −1 v 3 < x
⇔ log 8+ 4 3 ( x 2 − 2 x − 2) = log 7 + 4 3 ( x 2 − 2 x − 3)

Đặt a = 7 + 4 3 và t = x 2 − 2 x − 3
⇔ log a +1 (t + 1) = log a t

Đặt y = log a t
y

y

⎛ a ⎞ ⎛ 1 ⎞
⇔⎜
⎟ +⎜
⎟ = 1 ⇔ y = 1 là nghiệm duy nhất
⎝ a + 1⎠ ⎝ a + 1⎠

Phương trình có nghiệm x = 1 ± 11 + 4 3
Bài 14: Giải hệ phương trình


⎧log 5 x = log 3
⎪
⎨log 5 y = log 3
⎪ log z = log
3
⎩ 5

(
(
(

)
z + 4)
x + 4)

y +4

Giải :
Hệ phương trình không đổi qua phép hoán vị vòng quanh ⇒ x = y = z
Từ đó ta có log 5 x = log 3 x + 4 , đặt t = log 5 x

(

)

t

t
⎛ 5⎞
1
⎟ + 4⎛⎜ ⎞⎟ = 1
⇔ ⎜⎜
⎟
⎝ 3⎠
⎝ 3 ⎠

t

t
⎛ 5⎞
1⎞
⎛
Phương trình có đúng 1 ngiệm t = 2 do hàm số f (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ + 4⎜ ⎟ = 1 nghịch biến
⎝3⎠
⎝ 3 ⎠

Hệ phương trình có 1 nghiệm x = y = z = 25

Bài 15: Giải hệ phương trình
1− x 2
⎧
3
2
⎪
2 x − 2 y = − xy −
⎨
2
2
⎪ 2
2
(
)
x
y
+
2
x
−
2
x
y
+
1
−
4
x=0

⎩

Giải :
Từ phương trình (2) ⇔ x( xy + 2) = 1 ⇔ y =
1− x 2
x2

1 − 2x
x2

1− 2 x

1− x2
1 − 2x
2
(1) ⇔ 2
+
=2 x +
2
2x
2x 2
t
1
xét hàm số f (t ) = 2 t + ⇒ f / (t ) = 2 t ln 2 + > 0
2
2
2
1− x
1 − 2x
⇔

=
2
2x
2x 2
3
Hệ phương trình có 1 nghiệm x = 2 , y = −
4

Bài 16: Giải hệ phương trình
2 2
⎧
x2 +1
e y −x = 2
⎪
⎨
y +1
⎪⎩3 log 3 ( x + 2 y + 6) = 2 log 2 ( x + y + 2) + 1

Giải :
Đk x + 2 y + 6 > 0 và x + y + 2 > 0
(1) ⇔ ln( x 2 + 1) + x 2 + 1 = ln( y 2 + 1) + y 2 + 1
Hàm số f (t ) = ln t + t t > 1 đồng biến trên (0 ; + ∞)
⇔ x2 +1 = y2 +1 ⇔ x = ± y
.Nếu x = − y (2) ⇔ log 3 (6 − x) = 1 ⇔ x = 3 ; y = −3


.Nếu x = y
(2) ⇔ 3 log 3 ( x + 2) = 2 log 2 ( x + 1) = 6u
u
u

⎧⎪ x + 2 = 3 2u
⎛1⎞ ⎛8⎞
⇔ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⇔⎨
3u
⎪⎩ x + 1 = 2
⎝9⎠ ⎝9⎠

u

u

⎛1⎞ ⎛8⎞
Hàm số g (u ) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ nghịch biến trên R, suy ra u = 1 là nghiệm duy nhất
⎝9⎠ ⎝9⎠
3
Hệ phương trình có 2 nghiệm x = 2 , y = − và x = 7 ; y = 7
4

Bài 17: Giải hệ phương trình
1
⎧
8 y2 +
⎪⎪2 x 2 +1 − 4
2 = 3( 2 y − x )
⎨
2
3
7
⎪

2 ( x+ y ) +
x+ y =
⎪⎩
2
2

Giải :
Đk x ; y ≥ 0
⎧⎪2 x 2 +1 + 3 x = 2 ( 4 y )2 +1 + 3 4 y
⇔⎨
2
2 ( x + y ) +1 + 3 x + y = 7
⎪⎩

Hàm số f ( x) = 2 x

2 +1

+ 3 x đồng biến trên [0 ; ∞ )

⎧
⎧
4
⎧
⎪⎪ f ( x) = f (4 y )
⎪x = 5
⎪⎪ x = 4 y
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨

1
⎪x + y = 1
⎪y =
⎪ f ( x + y ) = f (1)
⎪⎩
⎪⎩
5
⎩

Bài 18: Giải hệ phương trình
⎧ cos x = log 2 (8 cos z − cos 2 x − 5)
⎪
⎨cos y = log 2 (8 cos x − cos 2 y − 5)
⎪ cos z = log (8 cos y − cos 2 z − 5)
2
⎩

Giải :
⎧8Z = 2 X + 2 X 2 + 4
⎪
⇔ ⎨ 8 X = 2 Y + 2Y 2 + 4
⎪ 8Y = 2 Z + 2 Z 2 + 4
⎩

(

)

1 t
⎛1

2 + 2t 2 + 4 đồng biến trên ⎜
8
⎝2
1
⇔ X = Y = Z = 2 X + 2X 2 + 4
8
⎡ X =Y = Z =1
Giải bằng đồ thị ⇔ ⎢
⎣ X = Y = Z = 2 (l )
Hệ phương trình có 2 nghiệm x = k 2π , y = l 2π

Hàm số f (t ) =

(

)

⎤
;1⎥
⎦

; z = m2π


Bài 19: Giải hệ phương trình
⎧log 2 (1 + 3 cos x) = log 3 (sin y ) + 2
⎨
⎩log 2 (1 + 3 sin y ) = log 3 (cos x) + 2

Giải :

Đk cos x ; sin y ≥ 0
⇒ log 2 (1 + 3 cos x) + log 3 (cos x) = log 2 (1 + 3 sin y ) = log 3 (sin y )
3
2
Hàm số f (t ) = log 2 (1 + 3t ) + log 3 t ⇒ f / (t ) =
+
> 0 đồng biến trên ∀t > 0
(1 + 3t ) ln 2 t ln 3
⇒ sin y = cos x
Thay vào phương trình (1) ⇒ log 2 (1 + 3 cos x) = log 3 (cos x) + 2

Lập BBT hàm số g (v) = log 2 (1 + 3v) − log 3 v với v = cos x ∈ (0 , 1] phương trình chỉ có 2 nghiệm
cos x = 1 , cos x =

1
3

Bài 20: Giải hệ phương trình
3
4
⎪⎧ x y − y = 28
⎨ 2
2
3
⎪⎩ x y + 2 xy + y = 18 2

Giải:
Hệ tương đương

(

)

⎧⎪ y x3 − y 3 = 28
(1)
⎨
⎪⎩ y ( x + y ) 2 = 18 2 (2)

⇒x> y>0

3
⎡⎛ 3 4 8
⎤
⎞
34 8
(2) ⇒ x =
− y ⎟ − y 3 ⎥ = 28 (3)
− y , thay vào (1) được: y ⎢⎜
⎟
⎢⎜⎝ y
⎥
y
⎠
⎣
⎦
3
⎡⎛ 3 4 8
⎤
⎞
Đặt t = y > 0 , (3) trở thành: t 2 ⎢⎜⎜

− t 2 ⎟⎟ − t 6 ⎥ = 28 ⇔ t 9 − 3 4 8 − t 3
⎢⎝ t
⎥
⎠
⎣
⎦

(

(

)

)

3

+ 28t = 0

3

Xét hàm f (t ) = t 9 − 3 4 8 − t 3 + 28t ta có:

(

)

f '(t ) = 9t 8 + 9t 2 3 4 8 − t 3 + 28 > 0, ∀t > 0

Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;+∞) phương trình f(t) = 0 nếu có nghiệm

trên Khoảng (0;+∞) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Từ đó suy ra hệ phương trình đă cho nếu
có nghiệm (x0, y0) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của hệ.
Nếu chọn x = 2y thì từ (1) ta có: y 4 = 4 ⇔ y = 2 ⇒ x = 2 2 . Rỏ ràng cặp số (2 2; 2)
thỏa (2).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2 2; 2) .
Bài 21: Tìm số nghiệm của nằm trong khoảng (0 ; 2π ) của phương trình
2

e 2 cos x (8 sin 6 x − 12 sin 4 x + 10 sin 2 x) = e +

Giải :

5
2


Đặt t = sin 2 x = y

0 ≤ t ≤1

5
2
2 (1− t )
3
Xét hàm số f ( x) = e
(8t − 12t 2 + 10t )
⇒ f / ( x) = e 2 (1−t ) (24t 2 − 24t + 10) − 2(8t 3 − 12t 2 + 10t ) = −2.e 2 (1−t ) .g (t )
Với g (t ) = 8t 3 − 24t 2 + 22t − 5 ⇒ g / (t ) = 2(12t 2 − 24t + 11)
⇔ e 2 (1−t ) (8t 3 x − 12t 2 x + 10t ) = e +

[

]

Lập bảng biến thiên, suy ra phương trình g (t ) = 0 có nghiệm duy nhất t = u , 0 < u < 1 −
3
t

1-

0

+

g'
g

-5

1

6
0

_

t

+

f'
1

f

1

u

0

0

0

_
6

Lập bảng biến thiên hàm số f (t ) , suy ra phương trình f (t ) = 0 có nghiệm duy nhất
t =v ,0
Suy ra phương trình sin x = ± v có 4 nghiệm phân biệt x ∈ (0, 2π )

3
6


[Công thức lượng giác cần nhớ - Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh]

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

1. Công thức lượng giác cơ bản nên nhớ
sin 2   cos 2   1

sin 3   cos3   (sin   cos  )(1  sin  cos  )

1

,    k , k 
2
cos 
2
1
1  cot 2  
,   k , k 
sin 2 

sin 3   cos3   (sin   cos  )(1  sin  cos  )

1  tan 2  

tan  .cot   1,   k



2

,k 

sin 4   cos 4   1  2sin 2  cos 2 
sin 4   cos 4   sin 2   cos 2    cos 2

sin 6   cos6   1  3sin 2  cos 2 
sin 6   cos6    cos 2 (1  sin 2  cos 2  )

2. Giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt
Cung bù nhau:  và   
Cung đối nhau:  và 

Cung hơn kém  :  và   

cos( )  cos 

sin(   )  sin 

sin(   )   sin 

sin( )   sin 

cos(   )   cos 

cos(   )   cos 

tan( )   tan 

tan(   )   tan 

tan(   )  tan 

cot( )   cot 

cot(   )   cot 

cot(   )  cot 

Cung phụ nhau:  và


2



Cung hơn kém




sin      cos 
2



cos      sin 
2



tan      cot 
2




cot      tan 
2




:  và  
2
2

Đường tròn lượng giác



sin      cos 
2



cos       sin 
2



tan       cot 
2



cot       tan 

2


3. Công thức lượng giác
Công thức cộng

Công thức nhân đôi, nhân ba

cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b

sin 2  2sin  cos 

cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b

cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2sin 2 
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 
sin 3  3sin   4sin 3 
Cần nhớ công thức
cộng cho chắc chắn.
3
cos 3  4 cos   3cos 
Từ công thức cộng ta
Bí quyết có thể suy ra những
3 tan   tan 3 
tan 3 
công thức còn lại.
1  3 tan 2 

sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
tan a  tan b
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan(a  b) 
1  tan a tan b

tan(a  b) 

 Name:…………………………………………… class:………..
[Biên soạn gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com]

aug-2012

1


[Công thức lượng giác cần nhớ - Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh]
Công thức hạ bậc

Công thức biến tích thành tổng
1
cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b) 
2
1
sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b) 

2
cos a cos b 

1  cos 2
3cos   cos 3
cos 2  
; cos3  
2
4
1

cos
2

3sin


sin 3
sin 2  
; sin 3  
2
4
1

cos
2

tan 2  
1  cos 2

Công thức biến đổi tổng thành tích
cos   cos   2 cos

 

 

Tọa độ điểm M (cos  ; sin  ) trên đường tròn lượng giác

cos
2
2
 
 
cos   cos   2sin
sin
2
2
 
 
sin   sin   2sin
cos
2
2
 
 
sin   sin   2 cos
sin
2
2



sin   cos   2 sin(  )
4



 2 cos(  )
4



sin   cos   2 sin(  )
4



  2 cos(  )
4

Giá trị lượng giác của một số cung đặc biệt cần ghi nhớ


0
00

sin 

0

cos 

1

tan 

0

cot 

||


6
300
1
2
3
2
3
3
3

2
3
1200
3
2
1


2

3
4
1350
2
2
2

2

||

 3

-1

0



3
3

-1


4
450

2
2
2
2


3
600
3
2
1
2


2
900

1

3

1

3
3

1
0

[Biên soạn gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com]

5
6
1500
1
2

3
2
3

3


 3


1800

0
-1
0
||

aug-2012

2