MỘT số bài TOÁN về đa THỨC và áp DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC

CHUYÊN ĐỀ KHOA HỌC

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
VÀ ÁP DỤNG

Người thực hiện:

Lại Quỳnh Nguyên
Nguyễn Hồng Hạnh

Tổ bộ môn: Toán - Tin

Năm học 2014 - 2015

1


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn chuyên đề
Đa thức có vị trí rất quan trọng trong Toán học, không những là một đối tượng
nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là một công cụ đắc lực của Giải tích trong
lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết điều khiển, tối ưu, ... Trong các kỳ thi
học sinh giỏi các cấp các bài toán về đa thức cũng được đề cập đến nhiều và được
xem như là những dạng toán khó của bậc phổ thông. Tuy nhiên cho đến nay, đa thức
chỉ được trình bày ở mức độ sơ lược, các bài tập về đa thức cũng chưa được phân
loại và hệ thống hoá một cách chi tiết. Vì vậy, để bồi dưỡng kiến thức về đa thức cho
các em học sinh tham gia ôn luyện thi học sinh giỏi môn Toán, chúng tôi chọn
chuyên đề

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu và xây dựng hệ thống bài tập về xác định đa thức, tính tổng các hệ số
của đa thức, thực hiện phép chia đa thức và các tính chất liên qua đến nghiệm của đa
thức; tính chất của đa thức với hệ số nguyên và giải phương trình hàm đa thức, ...
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí, đề thi học
sinh giỏi các cấp, phương pháp giảng dạy toán, phương pháp nâng cao, phát
triển tư duy toán học.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua các năm trực
tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp.
4. Bố cục
2


A. Phần mở đầu
1. Lý do
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
3. Phương pháp nghiên cứu
B. Một số bài toán về đa thức và áp dụng
1. Đa thức – Phép chia đa thức
2. Đa thức với hệ số nguyên và phương trình hàm đa thức.
C. Kết luận
Tài liệu tham khảo.

B- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC
3


§1. ĐA THỨC - PHÉP CHIA ĐA THỨC

1.1 Đa thức và các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1
a) Đa thức f(x) là một biểu thức có dạng

(Trong đó n là số nguyên dương; x là số thực

)

b) Nếu f(x) là một đa thức thì hàm số y = f(x) là một hàm đa thức .
Với mỗi số thực a, f(a) gọi là giá trị của hàm đa thức f(x) tại điểm a.
c) Số tự nhiên n được gọi là bậc của f(x) ký hiệu deg f = n.
d) Các hệ số
nhất ,

gọi là các hệ số của f(x) ,

gọi là hệ số tự do

gọi là hệ số bậc cao

gọi là hạng tử bậc k

là

hạng tử bậc cao nhất.
Định lý 1.1
a) Đa thức

bằng không

khi và chỉ khi
b) Mỗi đa thức f(x) khác không có một cách viết duy nhất dưới dạng
)
Hệ quả 1.1
Hai đa thức khác không là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng bậc và các hệ số
của mỗi hạng tử cùng bậc là bằng nhau.
4


Chú ý
Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực được ký hiệu là
tương tự

,

tương ứng là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số

hữu tỉ, hệ số nguyên.
1.2 Các phép toán trên đa thức
Cho hai đa thức

Ta định nghĩa các phép toán số học:

trong đó
1.3 Các tính chất cơ bản của đa thức
Định lí 1.3.1
Giả sử A =

hoặc A =

,

là hai đa thức thuộc

luôn tồn tại hai đa thức duy nhất

thuộc

5

sao cho:

. Khi đó luôn


Nếu

ta nói

Định lí 1.3.2
Giả sử A =

hoặc A =

,

Số dư của phép chia

Định lí 1.3.3
a là nghiệm của

Giả sử A =

khi và chỉ khi

hoặc A =

,

và m là số tự nhiên lớn hơn hay

bằng 1. Khi đó a là nghiệm bội cấp m của

khi và chỉ khi

và không chia hết cho
Định lí 1.3.4 (Định lí Viète)
Giả sử phương trình

có n nghiệm

(1)

thì:

6


Ngược lại, nếu các số

thỏa mãn hệ trên thì chúng là nghiệm của phương

trình (1). Hệ (2) có n thành phần và ở vế trái của thành phần thứ k có
cũng trong vế trái của thành phần thứ k, các số
Các hàm

xuất hiện đúng

số hạng,
lần.

được gọi là các hàm đa thức đối xứng Viète bậc 1, 2..., n

(một cách tương ứng).
Chú ý: Hệ (2) còn có thể viết lại như sau:

1.4 Công thức nội suy Lagrange
Tồn tại đa thức

không lớn hơn bậc n nhận n + 1 giá trị cho trước tại n + 1

điểm khác nhau cho trước
Chứng minh
Giả sử

nhận các giá trị

tại các điểm

i = 1, 2,..., n+1. Khi đó:

Hay viết gọn là
Đa thức này có bậc không lớn hơn n và
Minh họa cho công thức nội suy Lagrange :
Ví dụ 1
7

khác nhau cho trước,


Tìm đa thức bậc hai

mà

,

,

Lời giải
Theo công thức nội suy Lagrange

Ví dụ 2
Tính giá trị của biểu thức :

Lời giải
Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức P(x) = x2 (1) với các điểm a,b,c
và các giá trị tương ứng là a2, b2, c2 ta có:
(2)
So sánh hệ số của x2 ở (1) và (2) ta được A = 1.
Thực hành 1: Xác định các hệ số của đa thức
Ví dụ 1

Tìm a, b, c biết rằng :
Lời giải
Ta có

Theo hệ quả 1.1 , ta có:
giải hệ trên ta được a = - 1; b = 1; c = 2
Bài tập tự giải
8


1) Tìm a, b biết rằng

là bình phương của một đa thức

khác.
( Hướng dẫn : Đặt
Đáp số : a = 2; b = 3 )
2) Tìm a, b, c biết rằng
( Đáp số : a = -1; b = -2; c = 4 )
3) Xác định các số a, b, c để đa thức

được phân tích thành

Đáp số:
Trường hợp 1: a tùy ý , b = c = 0
Trường hợp 2: a = b = -1 , c = 1
Ví dụ 2

(HSG lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - 2000)

Cho f(x) là đa thức bậc 4 và có hệ số của x4 bằng 1. Biết f(1) = 9; f(2) = 18;
f(3) = 27. Hãy tìm f(12) + f(-8).
Lời giải
Đặt

g(x) = f(x) - 9x

Theo giả thiết, ta có:
g(1) = f(1) - 9 = 9 - 9 = 0
g(2) = f(2) - 9.2 = 18 - 9.2 = 0
g(3) = f(3) - 9.3 = 27 - 9.3 = 0
Do f(x) là đa thức bậc 4 có hệ số bằng 1 nên g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - x0)
Suy ra f(x) = g(x) + 9x = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - x0) + 9x .
Vậy f(12) + f(-8) = 11.10.9.(12 - x0) + 9.12 + [(-9)(-10)(-11)(-8 - x0)+9.(-8)]
9


= 11.10.9.(12 - x0 + 8 + x0) + 9.(12 - 8)
= 11.102.18 + 36
= 19836
Ví dụ 3*

(Vô địch Toán Rumani )
Tìm tất cả các đa thức

khác không thỏa mãn :

Lời giải
Gọi
(Trong đó

)

Ta có :

Đồng nhất hệ số của
Mà

(do

) ta có 16

=

nên n = 0, 1, 2

Với n = 0 ta có
Với n = 1 ta có

nên

thay vào (1) ta có
(do (1) đúng với

Vậy f(x) = 4x
Với n = 2 ta có

nên

thay vào (1) ta có

10

)


Đồng nhất các hệ số ta được

.

Vậy f(x) = x2

.

Thử lại ta thấy cả 3 hàm số f(x) = 16; f(x) = 4x ; f(x) = x2 đều thỏa mãn đề ra.
Bài tập tự giải
1) Xác định các số a, b, c để đa thức

được phân tích thành

Đáp số:
Trường hợp 1: a tùy ý , b = c = 0
Trường hợp 2:

a = b = -1 , c = 1

Chú ý: Khi làm xong mỗi trường hợp cần có bước thử lại .
2) Cho

;

.

Tính
Hướng dẫn:
Đặt
Thực hành 2: Tính tổng các hệ số của đa thức
Phương pháp giải
Sử dụng kết quả
Nếu

)
11


thì
Ví dụ

.
Hãy tính tổng các hệ số của đa thức :

Lời giải
Ta viết f(x) dưới dạng
Ta có tổng cá hệ số của đa thức đã cho là :
=

=0

Bài tập tự giải:
Với

, hãy tính tổng các hệ số của đa thức

(Đáp số : 32)
Bài tập nâng cao
Bài 1

(Dự tuyển Ôlympic 30/4 năm 2011)
Tìm tất cả các đa thức f(x) thỏa mãn :
2f(x) + f(1 - x ) = mx2 ( m

) và f(1) = 2 .

Lời giải
Vì các biểu thức dưới dấu f là bậc nhất : x; 1- x , vế phải là biểu thức có bậc không
quá 2 nên f(x) có bậc không quá 2
(Cần lưu ý HS đây là nhận xét quan trọng ! )
Vậy f(x) có dạng
12


Khi đó 2f(x) + f(1 - x ) = mx2

.

Đồng nhất hai vế ta được hệ :

Vậy f(x) =

Vì f(1) = 2
Do đó f(x) = x2 + 2x -1.

Thử lại ta thấy f(x) = x2 + 2x - 1thỏa mãn mãn yêu cầu bài toán .
Đảo lại : Giả sử có một đa thức g(x) không đồng nhất với f(x) thỏa mãn yêu cầu
bài toán khi đó tồn tại

sao cho

Ta có

=

Mâu thuẫn. Vậy đa thức f(x) = x2 + 2x - 1 là đa thức duy nhất cần tìm .
Bài 2*
Tìm tất cả các đa thức với hệ số nguyên khác không , thỏa mãn :
.
Lời giải 1
Giả sử

.
13


Ta chứng minh rằng:

. Giả sử trái lại nghĩa là

tồn tại ít nhất một trong các hệ số
Gọi
Ta định nghĩa của số k, suy ra đa thức

Vì

có dạng:

.

(1)
Do

nên hệ số của
là

trong đa thức vế phải của (1)

trong đó

lũy thừa

, vậy do vế trái của (1) không chứa

, nên suy ra vô lí. Điều đó có nghĩa là giả thiết phản chứng là sai

Vậy
Lại từ giả thiết

.

Do
14

Thay lại

, ta thấy rõ ràng

Như thế có vô số đa thức cần tìm, đó là
Chú ý: Từ ví dụ trên ta có thể giải được bài toán sau:
Tìm đa thức

sao cho:

Đặt

Khi đó

Mặt khác:
Vậy từ giả thiết ta có
Theo kết quả của ví dụ trên suy ra
Hay

Đó là nghiệm của phương trình hàm đã cho.

Lời giải 2
Giả sử có:

Ta có: (2)

*Đồng nhất hệ số của

ta có:

15


*Đồng nhất hệ số tự do, ta có

*Đồng nhất hệ số của x, ta có
* Đồng nhất hệ số của

, ta có:

Tương tự ta suy ra
Vậy
Bài 3
Xét các đa thức bậc hai
thỏa mãn điều kiện
Chứng mính rằng:
Lời giải
Ta có
Tương tự
Suy ra
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
16


Bài 4
Cho đa thức
biết rằng:
Chứng minh rằng:

nói trên.

Lời giải
Gọi
Khi đó
Khi đó, theo công thức nội suy Lagrange ta có:

Gọi
Khi đó:

Theo giả thiết:
Ta có:
17


Cũng có thể thay A, B, C vào

và có:

và
Vì
nếu

nên
cùng dấu thì:

Còn nếu

trái dấu thì:

Do đó:

Bài 5
Cho đa thức
biết rằng:
Chứng minh rằng:
18


Lời giải
Theo công thức nội suy Lagrange ta có:

Theo đàu bài :

Đặt
Khi đó:

Ta có:

19


nên:

Bài 6
Chứng minh rằng nếu
thì

Lời giải
Đặt
Ta có:
Từ đó suy ra:

và
Bởi vậy:
Bài 7*
Chứng minh rằng mọi nghiệm

của đa thức:

20


Đều thỏa mãn bất đẳng thức
Lời giải
* Nếu

thì hiển nhiên bài toán đúng

* Xét
Ta có:

⇔

⇔

1.5 Phép chia đa thức
1.5.1 Phép chia hết
Định nghĩa 1.5.1

21

Ta nói rằng đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x), kí hiệu

, nếu tồn tại

một đa thức h(x) sao cho f(x) = g(x). h(x)
1.5.2 Phép chia có dư
Định lí 1.5.2
Với hai đa thức f(x) và g(x)

luôn tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và

r(x) sao cho

, trong đó

(Đa thức

gọi là thương, đa thức

hoặc

gọi là dư của phép chia

.
)

1.5.3 Nghiệm của đa thức
Định nghĩa 1.5.3.1
Ta nói a là nghiệm của đa thức

nếu

Định lí 1.5.3 ( Định lí Bơ-du)
Số

là nghiệm của đa thức

khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.5.3.2
Ta nói a là nghiệm bội k

của đa thức

mà
Thực hành 3: Xác định đa thức chia trong phép chia hết.
Phương pháp giải
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa phép chia hết và nguyên lí so sánh các hệ số của
đa thức.
Phương pháp 2: Sử dụng định lí phép chia có dư sau đó cho dư thức bằng không.
Phương pháp 3: Sử dụng định lí Bơ-du.
22


Ví dụ 1
Tìm a biết rằng:
chia hết cho đa thức
Lời giải
Đặt
Ta có

Suy ra
Vậy

là giá trị phải tìm

Ví dụ 2
Tìm a, b biết rằng:

chia hết cho

Lời giải
Cách 1
Đặt
Ta có

23


Suy ra
là giá trị phải tìm
Cách 2
Lấy

Do

, ta được dư:

nên

Vì vậy từ (1) ta có:

Cách 3
Vì

nên

là nghiệm bội 2 của f(x) do đó:

Suy ra
Do

là nghiệm bội 2 của f(x) nên

là nghiệm của

Vì vậy
Suy ra b = - 4
24


Vậy a = 3, b = - 4 là giá trị phải tìm
Ví dụ 3* Cho
Tìm m để F chia hết cho
Lời giải
Ta coi F là một đa thức theo x, kí hiệu F(x).
Vì

và Vì

nên

Suy ra

Đẳng thức trên đúng

Ví dụ 4
Giả sử đa thức
Đặt

có 5 nghiệm:
.

Chứng minh rằng:
Lời giải
Do

là nghiệm của
25

nên