SKKN sử dụng các kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên

SỞ GD & ĐT NINH BÌNH
TRƯỜNG THPT BÌNH MINH

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
1. Đinh Hồng Chinh
Chức vụ: Giáo viên
Học vị: Cử nhân sư phạm Toán
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình
Số điện thoại: 0936850333
2. Đỗ Thị Lan
Chức vụ: Giáo viên
Học vị: Cử nhân sư phạm Toán
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình
Số điện thoại: 0919222356
3. Nguyễn Thị Lan Hương
Chức vụ: Giáo viên
Học vị: Cử nhân sư phạm Toán
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình
Số điện thoại: 01668607570

1


PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 3
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................ 3
2. Giả thuyết khoa học ........................................................................................................ 3
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................. 3
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu. ...................................................................................... 3
5. Phương pháp nghiên cứu. ............................................................................................... 4
6. Ý nghĩa của đề tài. .......................................................................................................... 4
7. Cấu trúc của đề tài .......................................................................................................... 4

NỘI DUNG ........................................................................................................................... 5
CHUYÊN ĐỀ 1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ............................................ 5
1. Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng ........................................................... 5
2. Bài tập về phương trình đường thẳng .......................................................................... 8
CHUYÊN ĐỀ 2. XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC ................................. 59
1 .Giải tam giác khi biết tính chất các đường trong tam giác .......................................... 59
2. Một số bài toán giải tam giác khi biết các tính chất của tam giác: .............................. 79
CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA TỨ GIÁC ......................................... 87
BÀI TOÁN: HÌNH BÌNH HÀNH ................................................................................. 87
BÀI TOÁN: HÌNH THANG ......................................................................................... 98
BÀI TOÁN: HÌNH THOI ........................................................................................... 113
BÀI TOÁN: HÌNH CHỮ NHẬT ................................................................................ 120
BÀI TOÁN: HÌNH VUÔNG ...................................................................................... 132
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 149
PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 150

2


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò rất quan trọng trong quá trình hình thành và phát triển tư duy
của học sinh. Trong toán học phổ thông, các bài toán hình học phẳng chiếm vị trí đặc
biệt quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi, đặc biệt trong các kỳ thi học
sinh giỏi toán các cấp, kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng… và thường xuất hiện dưới
dạng là bài toán khó trong đề. Đề bài của bài toán hình học phẳng tuy được phát biểu
hết sức ngắn gọn nhưng học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi đi tìm lời giải. Trước
những vấn đề trên chúng tôi nhận thấy cần đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ
thể để giải quyết các vấn đề của các bài toán đó.
Hình học phẳng là một trong những nội dung cơ bản và rất hay của Toán phổ

thông, cũng là một nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh. Tuy vậy,
tài liệu tham khảo đầy đủ về dạng bài tập này còn ít, chủ yếu nằm rải rác ở nhiều tài
liệu khác nhau và chưa hệ thống thành phương pháp giải. Việc sử dụng phương pháp
nào cho một bài toán cụ thể phụ thuộc vào nội dung của bài toán và kinh nghiệm của
người giải. Chúng tôi nhận thấy cần phải có hệ thống cơ sở lý thuyết, phương pháp,
cũng như bài tập xuyên suốt phần hình học phẳng giúp các em dễ dàng và chủ động
rèn luyện kĩ năng cho bản thân. Có như vậy mới có thể vừa tích cực hóa được việc học
của người học, vừa rèn luyện được tính linh hoạt nhìn nhận một vấn đề theo nhiều
phương diện khác nhau, nhằm nâng cao khả năng tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời
bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho các em học sinh.
Từ những lý do trên, sáng kiến kinh nghiệm được chọn với đề tài : “Sử dụng các
kiến thức về phương trình đường thẳng để giải các bài toán liên quan đến tam giác,
tứ giác trong hình phẳng”
2. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những
câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến
hành các hoạt động tư duy sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng
thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu là tổng hợp và hệ thống các dạng bài tập hình học phẳng,
tạo nguồn tài liệu đầy đủ và dễ hiểu nhất cho học sinh rèn luyện kĩ năng giải quyết các
bài toán.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tổng hợp và phân dạng các bài tập hình học phẳng.
- Chỉ ra từng phương pháp, hướng đi cho các dạng bài tập.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu.
3


Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán hình học phẳng ở trường trung học phổ

thông trong các kì thi học sinh giỏi và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp các bài toán thường gặp về hình học phẳng trong
các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
5. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lý luận.
Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hướng cho việc
nghiên cứu, phân tích và tổng hợp, định hướng phương pháp giải cho các bài toán.
6. Ý nghĩa của đề tài.
Tạo nguồn tài liệu khá đầy đủ và chi tiết cho học sinh, cũng như giáo viên tham
khảo, trong quá trình dạy và học. Nhằm rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán, nâng
cao chất lượng dạy và học trong nhà trường THPT nói chung và bài toán hình học
phẳng nói riêng.
7. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung sáng kiến gồm 3 chuyên đề:
Chuyên đề 1. Phương trình đường thẳng
Chuyên đề 2. Xác định các yếu tố trong tam giác
Chuyên đề 3. Xác định các yếu tố của tứ giác
Trong mỗi phần, đều có cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập, phương pháp giải cho
từng dạng, ví dụ và bài tập tự luyện.

4


NỘI DUNG
CHUYÊN ĐỀ 1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Giáo viên thực hiện: Đỗ Thị Lan
1. Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng
1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
r

r

Vectơ u  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó
song song hoặc trùng với .
Nhận xét:
r

r

– Nếu u là một vectơ chỉ phương của  thì ku (k  0) cũng là một vectơ chỉ
phương của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ
phương.
1.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
r

r

Vectơ n  0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông
góc với .
r

r

Nhận xét: – Nếu n là một vectơ pháp tuyến của  thì kn (k  0) cũng là một vectơ
pháp tuyến của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp
tuyến.
r

r

r

r

– Nếu u là một vectơ chỉ phương và n là một vectơ pháp tuyến của  thì u  n .
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng
r

Cho đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương u  (u1; u2 ) .
x  x  tu


0
1
Phương trình tham số của  : 
y

y

tu
0
2


(1) ( t là tham số).

 x  x  tu

0
1
Nhận xét: – M(x; y)     t  R: 
.
y

y

tu
0
2


5


– Gọi k là hệ số góc của  thì:
+ k = tan,
+k=

u2
,
u1

· ,   900 .
với  = xAv

với u1  0 .
y

y

v
v






O

A

x

O

A



x

1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
r

Cho đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương u  (u1; u2 ) .
Phương trình chính tắc của :

x  x0 y  y0

u1
u2

(2) (u1  0, u2  0).

Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình
chính tắc.
1.5. Phương trình tham số của đường thẳng
PT ax  by  c  0 với a 2  b2  0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax  by  c  0 thì  có vectơ pháp tuyến là
r
r
r
n  ( a; b) và vectơ chỉ phương u  (b; a ) hoặc u  (b; a ) .
r

– Nếu  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có vectơ pháp tuyến n  (a; b) thì phương trình của  là:
a( x  x0 )  b( y  y0 )  0

Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số

Phương trình đường thẳng 

Tính chất đường thẳng 

c=0

ax  by  0

 đi qua gốc toạ độ O

a=0

by  c  0

 // Ox hoặc   Ox

b=0

ax  c  0

 // Oy hoặc   Oy

  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình của :

x y
  1.
a b

6


(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
  đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của : y  y0  k ( x  x0 )
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
1.6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 .

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
 a1 x  b1 y  c1  0
a x  b y  c  0
 2
2
2

(1)

 1 cắt 2

 hệ (1) có một nghiệm



a1 b1

a2 b2

 1 // 2

 hệ (1) vô nghiệm



a1 b1 c1


(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2

 1  2

 hệ (1) có vô số nghiệm 

a1 b1 c1


(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2

(nếu a2 , b2 , c2  0 )

1.7. Góc giữa hai đường thẳng
r

Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1 y  c1  0 (có VTPT n1  (a1; b1 ) ) và
r
2 : a2 x  b2 y  c2  0 (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) ).









 n1 ; n2 khi n1 ; n2  90 0
1 ,  2    0

180  n1 ; n2 khi n1 ; n2  90 0









cos1 ;  2   cos n1 ; n2 



n1 .n2





n1 n1

a1b1  a 2 b2
a12  b12 . a 22  b22

Chú ý:  1  2  a1a2  b1b2  0 .
 Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì:
+ 1 // 2  k1 = k2
+ 1  2  k1. k2 = –1.

7


1.8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
d ( M 0 , ) 

ax0  by0  c
a 2  b2

 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( x N ; y N )  .
– M, N nằm cùng phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0 .
– M, N nằm khác phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0 .
 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
a1x  b1 y  c1
a12  b12



a2 x  b2 y  c2
a22  b22

2. Bài tập về phương trình đường thẳng
2.1. Các bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng
2.1.1. Lập phương trình đường thẳng
 Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng  ta cần xác

r
định một điểm M 0 ( x0 ; y0 )   và một vectơ chỉ phương u  (u1; u2 ) của .
 x  x  tu

0
1
PTTS của : 
; PTCT của :
y

y

tu
0
2


x  x0 y  y0

u1
u2

(u1  0, u2  0).

 Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác định một điểm
r
M 0 ( x0 ; y0 )   và một vectơ pháp tuyến n  ( a; b) của .
PTTQ của : a( x  x0 )  b( y  y0 )  0
 Một số bài toán thường gặp:
+  đi qua hai điểm A( x A; y A ) , B( x B; y B ) (với xA  xB , y A  yB ):

8


PT của :

x  xA
y  yA

xB  x A y B  y A

+  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): PT của :

x y
  1.
a b

+  đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: PT của : y  y0  k ( x  x0 )
Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của
một đường thẳng.
 Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như
sau:
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d.
– Xác định I = d   (I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M sao cho I là trung điểm của MM.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM. Khi đó:
uuuuur
 MM   ur
d (sử dụng toạ độ)
M đối xứng của M qua d  
 I  d

 Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ,
ta có thể thực hiện như sau:
– Nếu d // :
+ Lấy A  d. Xác định A đối xứng với A qua .
+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d.
– Nếu d   = I:
+ Lấy A  d (A  I). Xác định A đối xứng với A qua .
+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và I.
 Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, , ta có
thể thực hiện như sau:
– Lấy A  d. Xác định A đối xứng với A qua I.
– Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d.
Ví dụ 1.1 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M (1; 2) và có một vec
r
tơ chỉ phương u  (2; 1)
9


Giải
r

+) Vì đường thẳng  đi qua M (1 ;-2) và có vec tơ chỉ phương là u  (2; 1) nên
phương trình tham số của đường thẳng là :



x  1  2t
y  2  t
r

+) Vì đường thẳng  có vec tơ chỉ phương là u  (2; 1) nên  có vec tơ pháp tuyến là
r
n  (1; 2) . Vậy phương trình tổng quát của  là : 1 x  1  2  y  2  0  x  2 y  3  0
Ví dụ 1.2 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua M (1; 2) và có một vectơ pháp
r
tuyến là n  (2; 3) .
Giải
r

+) Vì đường thẳng  đi qua M (1 ;2) và có vtpt là n  (2; 3) nên phương trình tổng
quát của đường thẳng là :
2(x – 1) – 3(y – 2) = 0  2x – 3y + 4 = 0
r

+) Vì đường thẳng  có vectơ pháp tuyến là n  (2; 3) nên  có vec tơ chỉ phương là
r
u  (3; 2) . Vậy phương trình tham số của  là:



x  1  3t
y  2  2t

Ví dụ 1.3 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2) và B (3; 4)
Giải
uuur

+) Vì  đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) nên  có vec tơ chỉ phương AB  (2; 2)
Phương trình tham số của  là:



x  1  2t
y  2  2t
uuur

+) Vì đường thẳng  có vec tơ chỉ phương là AB  (2; 2) nên  có vec tơ pháp tuyến
r
là n  (2; 2) . Vậy phương trình tổng quát của  là
 2  x  1  2  y  2   0
:  2 x  2 y  2  0
 x  y 1  0

Ví dụ 1.4 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua M (1; 2) và có hệ số góc
k  3.
Giải
10


+) Đi qua M (1; 2) và có hệ số góc k  3 .
r
 có hệ số góc k = 3 nên  có vec tơ chỉ phương là: u  (1;3) .
r
 đi qua M(-1 ; 2) và có vec tơ chỉ phương là u  (1;3) nên có phương trình là:



x  1 t
y  2  3t

r

+) Vì đường thẳng  có vec tơ chỉ phương là u  (1;3) nên  có vec tơ pháp tuyến là
r
n  ( 3;1) . Vậy phương trình tổng quát của  là

:

 3  x  1  1 y  2   0
 3 x  y  5  0

Ví dụ 1.5 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua A(3; 2) và song song với
đường thẳng d : 2 x  y  1  0.
Giải
r

+) Đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vec tơ pháp tuyến là nd  (2; 1) .
r

Đường thẳng  song song với đường thẳng d nên  nhận nd  (2; 1) làm vec tơ pháp
r
tuyến. Vì  đi qua A(3; 2) và có vec tơ pháp tuyến là n  (2; 1) nên  có phương
trình là:
2(x – 3) – (y – 2) = 0  2x – y – 4 = 0
r

+) Vì đường thẳng  có vectơ pháp tuyến là n  (2; 1) nên  có vec tơ chỉ phương là
r
u  (1; 2) . Vậy phương trình tham số của  là

:



x  3t
y  2  2t

Ví dụ 1.6 Lập PTTS, PTTQ của các đường thẳng đi qua B(4; 3) và vuông góc với
 x  1  2t
(t  ¡ )
 y  t

đường thẳng d : 
Giải

r

+) Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là ud  (2; 1) . Vì  vuông góc với d nên 
r
nhận vectơ chỉ phương của d làm vec tơ pháp tuyến  n  (2; 1) . Đường thẳng  đi
r
qua B(4 ;-3) và có vec tơ pháp tuyến n  (2; 1) nên  có phương trình tổng quát là:
2(x – 4) – (y + 3) = 0  2x – y – 11 = 0
11


r

+) Vì đường thẳng  có vectơ pháp tuyến là n  (2; 1) nên  có vec tơ chỉ phương là
r

u  (1; 2) .
Vậy phương trình tham số của  là:



x  4t
y  3  2t

Ví dụ 1.7 Cho tam giác ABC, với A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2).
a) Viết phương trình tổng quát của cạnh AB
b) Hãy viết phương trình tổng quát của đường cao AH, và trung tuyến AM của tam
giác ABC.
Giải
uuur

a) AB  (2;  5)
uuur

Vì đường thẳng  có vec tơ chỉ phương là AB  (2;  5) nên  có vectơ pháp tuyến là
r
n  (5; 2) . Vậy phương trình tổng quát của  là
:

5  x  1  2  y  4   0
 5 x  2 y  13  0

uuur

b) + Ta có: AH  BC nên AH nhận vec tơ BC = (3; 3) là vectơ pháp tuyến của AH.
uuur

ẠH đi qua A(1 ; 4) và nhận BC = (3; 3) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát
của (AH) là:
3(x - 1) + 3(y - 4) = 0  3x + 3y - 15 = 0.
xB  xC 3  6 9



 xM 
2
2
2
+ Gọi M là trung điểm của BC, ta có: 
yB  yC 1  2 1
 yM 



2
2
2
9 1

uuuur

7

7

Vậy M  ;   AM   ;   là vec tơ chỉ phương của đường thẳng AM.

2 2
2 2
uuuur

7


7

Đường thẳng AM đi qua A(1 ; 4) và vtcp AM   ;   nên AM có phương trình:
2 2


7

x  1 2 t

7
y  4 t

2

12


Ví dụ 1.8 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1) lên đường thẳng d:
2 x  y  3  0 và điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d đó.
Giải
+) Gọi  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d. Nên  có vec tơ pháp tuyến là
r

n  1; 2  . Vậy PT đường thẳng  có dạng :  x  2 y  0
Gọi H(x;y) là hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1) lên đường thẳng d. Suy ra
H   d

Vậy tọa độ của H là nghiệm của hệ
6

x

x  2 y  0
5  H  6;3



2x  y  3  0
3
5 5
y 
5




+) Vì điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d nên H là trung điểm của MM’
2 1

Suy ra M '  ; 
5 5
Ví dụ 1.9 Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d :
2 x  y  1  0 qua đường thẳng  : 3x  4 y  2  0

Giải
+) Tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và đường thẳng  là nghiệm của hệ
2

x   5
2x  y 1  0
 2 1

 I  ; 
3x  4 y  2  0
1
 5 5
y 
5




+) Chọn A  0;1  d
 ' là đường thẳng đi qua A và vuông góc với  . Nên  ' có vec tơ pháp tuyến là
Gọi
r
n  4;3 .

Vậy PT đường thẳng  ' có dạng : 4 x  3 y  3  0
Gọi H(x;y) là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  . Suy ra H     '
Vậy tọa độ của H là nghiệm của hệ

13

17

x


3x  4 y  2  0
25  H  17 ; 6 



4x  3 y  3  0
6
 25 25 
y 
25




Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng  nên H là trung điểm của AA’.
 12 9 

uur  22 4 

Vậy A '  ;   IA '  ; 
 25 25 
 25 25 
+ ) Đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng  đi qua I và A’
r

nên có vec tơ pháp tuyến là: n  2; 11 .
Suy ra d’ có phương trình là:
2
1


2  x    11 y    0
5
5


 2 x  11 y  3  0

Vậy đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng  là
2 x  11 y  3  0

Ví dụ 1.10 Lập phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d:
2 x  y  1  0 qua điểm I(2;1) .
Giải
+) Chọn A(0;1) thuộc d.
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua I. Suy ra I là trung điểm của AA’.
Suy ra A’(4;1)
+) Vì d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I(2;1) nên d’ đi qua A’ và d ' P d
r

Suy ra d’ có vec tơ pháp tuyến là n  2; 1 .
Vậy d’ có phương trình là: . 2 x  y  7  0
Ví dụ 1.11 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh
có tọa độ là M (2;1), N (5;3), P(3; 4) .
Giải:

14


A
M
C

N
B

P

Giả sử M, N, P là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
uuuur

Ta có: BC//MN nên đường thẳng BC đi qua P(3; 4) nhận VTCP là: MN  (3; 2) suy ra
pt cạnh BC:

x 3 y  4

 2 x  3 y  18  0
3
2

uuur

Tương tự ta có: AB // NP nên đường thẳng AB đi qua M nhận VTCP là: NP suy ra pt
cạnh AB :7 x  2 y  12  0
uuur

AC đi qua N nhận VTCP là: MP suy ra pt cạnh AC :5 x  y  28  0
Bài tập tự luyện
Bài 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có
r
VTCP u :
r

a) M(–2; 3) , u  (5; 1)
r

d) M(1; 2), u  (5;0)
r
u  (2;5)

r

b) M(–1; 2), u  (2;3)
r

e) M(7; –3), u  (0;3)

r

c) M(3; –1), u  (2; 5)
f) M  O(0; 0),

Bài 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có
r
VTPT n :

r

a) M(–2; 3) , n  (5; 1)
r

d) M(1; 2), n  (5;0)
r
n  (2;5)

r

b) M(–1; 2), n  (2;3)
r

e) M(7; –3), n  (0;3)

r

c) M(3; –1), n  (2; 5)
f) M  O(0; 0),

Bài 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có
hệ số góc k:
a) M(–3; 1), k = –2

b) M(–3; 4), k = 3

c) M(5; 2), k = 1

d) M(–3; –5), k = –1

e) M(2; –4), k = 0

f) M  O(0; 0), k = 4

Bài 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0)

b) A(5; 3), B(–2; –7)

c) A(3; 5), B(3;
15


8)
d) A(–2; 3), B(1; 3)

e) A(4; 0), B(3; 0)

f) A(0; 3), B(0; –2)

g) A(3; 0), B(0; 5)

h) A(0; 4), B(–3; 0)

i) A(–2; 0), B(0; –6)

Bài 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và
song song với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x  10 y  1  0 b) M(–1; 2), d  Ox

d) M(2; –3), d:



x  1  2t
y  3  4t

e) M(0; 3), d:

c) M(4; 3), d  Oy

x 1 y  4

3
2

Bài 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x  10 y  1  0 b) M(–1; 2), d  Ox
d) M(2; –3), d:



x  1  2t
y  3  4t

e) M(0; 3), d:

c) M(4; 3), d  Oy

x 1 y  4

3
2

Bài 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các
đường cao của tam giác với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1)

b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)

c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1)

d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)

Bài 8. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M
qua đường thẳng d với:
a) M(– 5; 13), d : 2 x  3 y  3  0

b) M(3; – 1), d : 2 x  5 y  30  0

c) M(4; 1), d : x  2 y  4  0
Bài 9. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường
thẳng , với:
a) d : 2 x  3 y  1  0,  : 2 x  3 y  1  0 b) d : x  2 y  4  0,  : 2 x  y  2  0
c) d : x  y  1  0,  : x  3 y  3  0
Bài 10. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm
I, với:
a) d : 2 x  3 y  1  0, I  O(0;0)

b) d : x  2 y  4  0, I (3;0)

c) d : x  y  1  0, I (0;3)
16


2.1.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 .
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
 a1 x  b1 y  c1  0
a x  b y  c  0
 2
2
2

(1)

 1 cắt 2

 hệ (1) có một nghiệm



a1 b1

a2 b2

 1 // 2

 hệ (1) vô nghiệm



a1 b1 c1


(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2

 1  2

 hệ (1) có vô số nghiệm 

a1 b1 c1


(nếu a2 , b2 , c2  0 )
a2 b2 c2

(nếu a2 , b2 , c2  0 )

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau:
– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
Ví dụ 2.1. Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong
trường hợp cắt nhau:
a) 1 : x  y  2  0;

2 : 2x  y  3  0 .

b) 1 : 2 x  4 y  10  0

2 :

c) 1 : 8 x  10 y  12  0

2 :




x  1  4t
y  2  2t

x  6  5t
y  6  4t

Giải
a) 1 : x  y  2  0;

2 : 2x  y  3  0

số giao điểm của 1 và  2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:



x y20
2x  y  3  0

Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1).

Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm A(1 ; 1).

17


b) 1 : 2 x  4 y  10  0

2 :



x  1  4t
y  2  2t

Từ phương trình đường thẳng 2 ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào 1 ta được
2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0  10 – 8t + 8t = 0  10 = 0 (vô lí)  hai đường thẳng này
không có điểm chung.
Vậy hai đường thẳng 1 và  2 song song với nhau.
c) 1 : 8 x  10 y  12  0

2 :



x  6  5t
y  6  4t

r

r

Đường thẳng 2 có vtcp là u  (5; 4) nên 2 có vtpt là n  (4;5) . 2 đi qua điểm có
tọa độ (-6 ; 6) nên 2 có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0  4x + 5y – 6 = 0.
Số giao điểm của 1 và  2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:



8 x  10 y  12  0
4x  5 y  6  0

Hệ này có vố số nghiệm nên 1 và  2 trùng nhau.
Ví dụ 2.2 Cho hai đường thẳng d : mx  5 y  1  0 và  : 2 x  y  3  0 Tìm m để hai đường
thẳng:
a) cắt nhau

b) song song

c) trùng nhau

Giải
a) Để hai đường thẳng d và  cắt nhau thì
m 5

 m  10
2
1

Vậy với m  -10 thì hai đường thẳng d và  cắt nhau
b) Để hai đường thẳng d và  song song thì
m 5 1



 m  10
2
1 3

Vậy với m = -10 thì hai đường thẳng d và  song song
c) Để hai đường thẳng d và  trùng nhau thì

18


m 5 1


( Vô lí)
2
1 3

Vậy không có giá trị nào của m để hai đường thẳng d và  trùng nhau
Ví dụ 2.3 Cho hai đường thẳng  d  x  3 y  7  0 và    4 x  5 y  6  0 .Viết phương trình
đường thẳng d1 đi qua A(3;-2) và đồng qui với hai đường thẳng trên.
Giải
Tọa độ giao điểm của d và  là nghiệm của hệ





x  3y  7  0

x 1

 B 1; 2 
4x  5 y  6  0
y2

Vì đường thẳng d1 đồng qui với hai đường
thẳng d và  nên đường thẳng d1 đi qua
uuur
A(3;-2) và B(1; 2) . Vậy d1 nhận làm AB  2;0  vec tơ chỉ phương. Vậy d1 có phương
trình là



x  1  2t
y2

Bài tập tự luyện
Bài 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ
độ giao điểm của chúng:
a) 2 x  3 y  1  0,


e) 
c)

4x  5 y  6  0

x  5t
,

y  3  2t



x  5t
,
y  1

x y 5  0

x  4  2t
y  7  3t

b) 4 x  y  2  0,  8 x  2 y  1  0
d)



x  1 t
,
y  2  2t



x  2  3t
y  4  6t

f) x  2, x  2 y  4  0

Bài 2. Cho hai đường thẳng d và . Tìm m để hai đường thẳng:

a) cắt nhau

b) song song

c) trùng nhau

a) d : 2mx  (m  1) y  2  0,  : (m  2) x  (2m  1) y  (m  2)  0
b) d : (m  2) x  (m  6) y  m  1  0,  : (m  4) x  (2m  3) y  m  5  0
c) d : (m  3) x  2 y  6  0,  : mx  y  2  m  0
Bài 3.Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) y  2 x  1,

3x  5 y  8,

(m  8) x  2my  3m

19


b) y  2 x  m,

y   x  2m, mx  (m  1) y  2m  1

c) 5 x  11y  8, 10 x  7 y  74, 4mx  (2m  1) y  m  2
d) 3x  4 y  15  0, 5 x  2 y  1  0, mx  (2m  1) y  9m  13  0
Bài 4.Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2
và:
a) d1 : 3x  2 y  10  0, d2 : 4 x  3 y  7  0, d qua A(2;1)
b) d1 : 3x  5 y  2  0, d2 : 5x  2 y  4  0, d song song d3 : 2 x  y  4  0
c) d1 : 3x  2 y  5  0, d2 : 2 x  4 y  7  0, d vuoâng goùc d3 : 4 x  3 y  5  0

Bài 5.Tìm điểm mà các đường thẳng sau luôn đi qua với mọi m:
a) (m  2) x  y  3  0

b) mx  y  (2m  1)  0

c) mx  y  2m  1  0

d) (m  2) x  y  1  0

Bài 6.Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0).
a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương
trình các đường trung trực của tam giác.
b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các
đường trung trực đồng qui.
2.1.3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .
d ( M 0 , ) 

ax0  by0  c
a 2  b2

+ Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax  by  c  0 và hai điểm M ( xM ; yM ), N ( x N ; y N )  .
– M, N nằm cùng phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0 .
– M, N nằm khác phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0 .
+ Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

20

Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1 y  c1  0 và 2: a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
a1x  b1 y  c1
a12  b12



a2 x  b2 y  c2
a22  b22

Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam
giác ABC ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1:
– Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân
giác của góc trong tam giác).
Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E  BC) ta có:
uuur
AB uuur
DB  
.DC ,
AC

uuur AB uuur
EB 
.EC .
AC

– Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
Cách 2:

– Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng
AB, AC.
– Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2).
+ Nếu B, C nằm khác phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác trong.
+ Nếu B, C nằm cùng phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác ngoài.
Ví dụ 3.1 Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng như sau:
a) A(3 ; 5) và  : 4x + 3y + 1 = 0
b) B(1 ; 2) và  ' : 3x – 4y + 1 = 0
Giải:
a) Ta có:

d ( A, ) 

b)

d ( A,  ') 

4.(3)  3.(5)  1
16  9
3.(1)  4.(2)  1
9  16



28
5



4

5

Ví dụ 3.2 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:

21


a) A(4 ; -2) và đường thẳng d:



b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’:

x  1  2t
y  2  2t



x  1 t
y  3t

Giải
a) A(4 ; -2) và đường thẳng d:



x  1  2t
y  2  2t

r

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 2) và có vtcp là ud  (2; 2) vì vậy vtpt của d
r
là nd  (2; 2)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 1) +2(y – 2) = 0  2x +2y - 6 = 0
Ta có:
d ( A, d ) 

2.(4)  2.( 2)  6
44

b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’:





2
2
1


8 2 2
2

x  1 t
y  3t

r

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là ud  (1;3) vì vậy vtpt của d
r
là nd  (3;1)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0  -x + 3y +1 = 0
Ta có:
d ( A, d ) 

1.(7)  3.(3)  1
1 9



17
10

Ví dụ 3.3 Cho đường thẳng : 4 x  3 y  1  0 . Tính bán kính đường tròn tâm I(1; 5) và
tiếp xúc với .
Giải
Đường tròn tâm I(1; 5) và tiếp xúc với  có bán kính là
R  d ( I , ) 

4  15  1
16  9

2

Ví dụ 3.4 Cho tam giác ABC có A (3;5) và B  2; 3 , C  1;1 .
a) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC ( H  BC )
22

b) Tính diện tích tam giác ABC
Giải
uuur

a) Đường thẳng BC nhận BC  3; 4  làm vec tơ chỉ phương. Nên đường thẳng BC có
r

vec tơ pháp tuyến là n  4;3 . Vậy đường thẳng BC có dạng
4  x  2  3  y  3  0  4 x  3 y  1  0

Độ dài đường cao AH của tam giác ABC là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
Vậy có
AH  d ( A, BC ) 

4.3  3.5  1
16  9



28
5

uuur

b) BC = BC  5 .
Vậy diện tích tam giác ABC là S 

1
1 28

AH .BC  . .5  14 (đvdt)
2
2 5

Ví dụ 3.5 Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng
d1 : 2 x  4 y  7  0

d2 : x  2 y  3  0

Giải
Phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng trên là
2x  4 y  7
x  2y 3

4  16
1 4
 2 x  4 y  7  2  x  2 y  3

 2 x  4 y  7  2  x  2 y  3
8 y  13  0

4 x  1  0

Vậy phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng trên là
8y +13 = 0 và 4x + 1 = 0
Ví dụ 3.6 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng
 : 3 x  4 y  12  0 và cách điểm A(2;3) một khoảng bằng k = 2 .
Bài làm
r

Đường thẳng  : 3x  4 y  12  0 có vec tơ pháp tuyến là n  3; 4  .
Đường thẳng d song song với đường thẳng  : 3x  4 y  12  0 nên đường thẳng d có vec
r
tơ pháp tuyến là n  3; 4  .Nên đường thẳng d có dạng : 3x  4 y  c  0
23


Vì đường thẳng d cách điểm A(2;3) một khoảng bằng k = 2 nên có
3.2  4.3  c
3 4
 c  6  10
c  16

c  4
2

2

2

+) Với c = 16 đường thẳng d có dạng 3x  4 y  16  0
+) Với c = 16 đường thẳng d có dạng 3x  4 y  4  0
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề bài là : 3x  4 y  16  0 và 3x  4 y  4  0
Ví dụ 3.7 Cho hai điểm P(2;5) , Q(5;1) . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho
khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3 :
Giải : Gọi d có phương trình : Ax +By + C = 0 (A2 +B2 > 0)
d qua P(2;5) nên : 2A +5B + C = 0
theo đề bài : d(Q;d) = 3 nên :

5A  B  C

A B
2

2

2
2
2
 3  (5A+B+C) =9(A +B )

mà C = -2A -5B nên ( 3A -4B)2= 9(A2+B2)  -24AB +7B2 = 0  B(-24A +7B)=0
Với B = 0 , A tùy ý ta chọn A = 1 khi đó C = -2 ta có phương trình đường thẳng
d :x – 2 =0
Với -24A +7B = 0 ta chọn B = 24 thì A = 7 và C = -134 ta có phương trình đường
thẳng d : 7x +24y – 134 = 0
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với:
a) M (4; 5), d : 3x  4 y  8  0
c) M (4; 5), d :



x  2t
y  2  3t

b) M (3;5), d : x  y  1  0
d) M (3;5), d :

x  2 y 1


2
3

Bài 2. a) Cho đường thẳng : 2 x  y  3  0 . Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và
tiếp xúc với .
b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là:
2 x  3 y  5  0, 3 x  2 y  7  0 và đỉnh A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó.
c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song:
24


d1 : 3x  4 y  6  0 và d2 : 6 x  8 y  13  0 .

Bài 3. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với:
a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3)

b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4)

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng  một khoảng
k, với:



x  3t
, k 3
y  2  4t

a)  : 2 x  y  3  0, k  5

b)  :

c)  : y  3  0, k  5

d)  : x  2  0, k  4

Bài 5. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  và cách điểm A
một khoảng bằng k, với:
a)  : 3x  4 y  12  0, A(2;3), k  2

b)  : x  4 y  2  0, A(2;3), k  3

c)  : y  3  0, A(3; 5), k  5

d)  : x  2  0, A(3;1), k  4

Bài 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với:
a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3

b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5

c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5

d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4.

Bài 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q, với:
a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4)

b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5)

c) M(10; 2), P(3; 0), Q(–5; 4)

d) M(2; 3), P(3; –1), Q(3; 5)

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A một khoảng bằng h và cách điểm
B một khoảng bằng k, với:
a) A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = 4

b) A(2; 5), B(–1; 2), h = 1, k = 3

Bài 9. Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1). Tìm điểm C trên đường thẳng : x  2 y  8  0
sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17 (đvdt).
 76 18 
;  .
5
 5

HD: C (12;10), C  

Bài 10. Tìm tập hợp điểm.
a) Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng : 2 x  5 y  1  0 một khoảng bằng 3.
b) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng
d : 5 x  3 y  3  0,  : 5 x  3 y  7  0 .
25