CHUYÊN đề bài tập NHIỆT học và vật lí PHÂN tử TRỌNG tâm CHO đội TUYỂN học SINH GIỎI vật lí lớp 10”

Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TẬP NHIỆT HỌC VÀ VẬT LÍ PHÂN TỬ TRỌNG TÂM
"CHO ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI VẬT LÍ LỚP 10”
Phần 1. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn chuyên đề
Bài tập nhiệt học và vật lí phân tử là một nội dung xuất hiện thường xuyên trong
các đề thi khi học sinh tham gia thi các trại hè, thi chọn học sinh giỏi quốc gia hay khu
vực. Hơn thế nữa xã hội ngày càng phát triển, mức sống người dân ngày càng nâng cao,
nhu cầu về tiện nghi tăng lên không ngừng. Điều này đòi hỏi các thiết bị, máy móc phải
tăng lên không ngừng về số lượng, chất lượng, mẫu mã. Để đáp ứng nhu cầu đó, các nhà
sản xuất đặt vấn đề với các nhà khoa học phải nghiên cứu tìm ra mọi biện pháp thích hợp
nhằm nâng cao năng suất, cải thiện mẫu mã, giảm giá thành sản phẩm, nâng cao khả năng
cạnh tranh giữa các đơn vị sản xuất. Máy nhiệt là một bộ phận không thể thiếu trong các
thiết bị trên. Do đó, là học sinh chuyên lí, học sinh ở đổi tuyển học sinh giỏi lí cần nắm
vững kiến thức và vận dụng giải tốt các bài tập về nhiệt học và vật lí phân tử để vừa có
thể đáp ứng tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi cũng đồng thời có kiến thức nền tảng để sau
này có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về máy nhiệt là việc rất cần thiết.
Qua quá trình giảng dạy học sinh lớp 10 chuyên vật lí và các đội tuyển học sinh
giỏi vật lí, tôi đã rút ra được một vài kinh nghiệm nhỏ về mảng kiến thức này, xin được
trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp.
2. Mục đích của chuyên đề
Đề tài này nhằm mục đích hệ thống kiến thức, giúp học sinh lớp 10 chuyên vật lí
và học sinh các đội tuyển học sinh giỏi vật lí nắm vững các kiến thức cơ bản, các dạng
bài tập trọng tâm của phần nhiệt học và vật lí phân tử để chuẩn bị cho các kì thi của trại
hè, thi chọn học sinh giỏi quốc gia hay khu vực. Có kiến thức nền tảng để sau này có cơ
hội tìm hiểu sâu hơn về máy nhiệt.
Phần 2. NỘI DUNG
A. LÍ THUYẾT:

I. Năng lượng chuyển động nhiệt của khí lí tưởng:
Năng lượng chuyển động nhiệt (nhiệt năng) của một vật nào đó bằng tổng năng
lượng chuyển động nhiệt của tất cả các phân tử cấu tạo nên vật. Đó là tổng của động năng
chuyển động nhiệt của tất cả các phân tử và thế năng tương tác phân tử.
Với chất khí lí tưởng: lực tương tác phân tử rất nhỏ nên thế năng tương tác phân
tử rất nhỏ có thể bỏ qua.
1) Khái niệm bậc tự do và định luật phân bố đều động năng theo bậc tự do.
Số bậc tự do của một cơ hệ là số toạ độ độc lập cần thiết để xác định vị trí và
cấu hình của cơ hệ đó trong không gian.
VD: Với khí đơn nguyên tử, động năng chuyển động quay của nguyên tử =0 (giải thích ở
mục 2) nên coi như mỗi nguyên tử của khí đơn nguyên tử chỉ chuyển động tịnh tiến. Vì
vậy để xác định vị trí và trạng thái của mỗi nguyên tử chỉ cần 3 toạ độ độc lập Ox, Oy,
Oz hay khí đơn nguyên tử có 3 bậc tự do.

1


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Định luật phân bố đều động năng theo bậc tự do của Bônzơman: Nếu hệ phân
tử ở trạng thái cân bằng nhiệt ở một nhiệt độ T thì động năng trung bình phân bố
đều theo bậc tự do và ứng với mỗi bậc tự do của phân tử thì động năng trung bình
là

1
kT.
2

Thật vậy:
Động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của mỗi phân tử coi như gồm 3
thành phần, tức gồm động năng chuyển động của mỗi phân tử theo 3 phương vuông góc:
mv 2
mu 2
mc 2
mw 2
=
+
+
2
2
2
2

Do tính hỗn độn nên:

1
1
mu 2
mc 2
mw 2
=
=
= Wd = kT
3
2
2
2
2

Vậy mỗi thành phần động năng bằng

1
kT
2

2) Số bậc tự do và năng lượng chuyển động nhiệt của chất khí lí tưởng
Đối với khí đơn nguyên tử:
Phân tử gồm một hạt nhân và một vành nhẹ các electron. Khi phân tử va chạm với nhau,
ngoài việc trao đổi động năng chuyển động tịnh tiến, phân tử này còn truyền cho vành
electron của phân tử kia một xung lượng quay. Nhưng xung lượng quay này không làm
quay được hạt nhân vì hai lí do sau:
+ Vành electron và hạt nhân liên kết không chắc
+ Mômen quán tính I của đơn nguyên tử rất nhỏ
Vì vậy động năng quay của đơn nguyên tử là:

1 2
Iω ≈ 0
2

KL: Do đó với khí đơn nguyên tử có ba bậc tự do và năng lượng chuyển động nhiệt
của nó chỉ là động năng chuyển động nhiệt tịnh tiến:
E = N Wd =
Với 1mol: E0 =

3
NkT
2

(N là tổng số phân tử của chất khí)

3
RT
2

Đối với khí lưỡng nguyên tử:
Mỗi phân tử gồm hai nguyên tử, trạng thái của phân tử được xác định bởi:
+ Ba bậc tự do xác định trạng thái của khối tâm
+ Ba bậc tự do xác định chuyển động quay xung quanh Ox, Oy, Oz.
Nhưng thực nghiệm cho thấy: Chuyển động quay xung quanh Ox nối tâm hai nguyên tử
chỉ xuất hiện ở nhiệt độ rất cao, ở nhiệt độ bình thường chuyển động quay này không
xảy ra. Do đó để xác định chuyển động quay chỉ cần hai bậc tự do.
KL: Vậy khí lí tưởng lưỡng nguyên tử có 5 bậc tự do và năng lượng chuyển động
nhiệt của khí lưỡng nguyên tử là:

2


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến
E=

5
NkT
2

Với 1mol:

E0 =

5
RT
2

* Đối với khí gồm 3 nguyên tử trở lên:
Gọi là khí đa nguyên tử, chúng có 6 bậc tự do và có năng lượng chuyển động nhiệt:
E=

6
NkT
2

Với 1mol:

E0 = 3RT

II Nội năng của khí lí tưởng:
Xét với 1 mol bất kì:
Gọi

E0 là năng lượng chuyển động nhiệt
Et là tổng thế năng tương tác phân tử
Ep là tổng năng lượng bên trong các phân tử (động năng, thế năng các hạt tạo nên

ph.tử)
Thì nội năng của 1mol chất là: U0 = E0 + Et + Ep
Ứng với mỗi trạng thái nhất định có một giá trị duy nhất của nội năng .
Với các cách làm thay đổi thông thường trạng thái vật chất thì không làm thay đổi E p

Với khí lí tưởng ta lại có thêm Et =0 do đó sự biến đổi nội năng của chất khí lí
tưởng chỉ phụ thuộc vào sự biến đổi của động năng chuyển động nhiệt của phân tử.
Vì vậy khi nhiệt độ thay đổi một lượng dT thì nội năng của 1mol khí lí tưởng biến đổi
một lượng là:
dU0 =

i
R.dT
2

(i là số bậc tự do)

và nội năng của một lượng khí lí tưởng (n mol) biến đổi một lượng là: dU =

i
n.R.dT
2

III. Nguyên lí thứ nhất của nhiệt động lực học:
Gọi U1 là nội năng của một hệ khí ở trạng thái 1, U 2 là nội năng của hệ khí ở trạng
thái 2, ∆Q là nhiệt lượng trao đổi giữa hệ khí với ngoại vật, ∆A là công mà hệ khí phải
∆Q = ∆U + ∆A
thực hiện:
Với biến đổi rất nhỏ: dQ = dU + dA

Với cả quá trình

2

2

2

1

1

1

∫ dQ = ∫ dU + ∫ dA

(dQ>0: hệ nhận nhiệt lượng; dU>0: nội năng hệ tăng; dA>0: hệ thực hiện công )
Trường hợp hệ thực hiện một quá trình kín (chu trình) thì dU = 0 và ta có: dQ =
dA tức là hệ nhận bao nhiêu nhiệt lượng thì thực hiện công hết và nhận vào bao nhiêu
công thì biến hết thành nhiệt toả ra môi trường, nội năng hệ không thay đổi.
p

(Học sinh tự ôn lại biểu thức NLTN đối với các đẳng quá trình)

2
δA

Áp dụng nguyên lí I nhiệt động lực học trong các đẳng quá trình:

1

Xét một quá trình cân bằng của một lượng khí diễn biến theo
đường cong 1-2: Hình vẽ:
O

V

V
dV

V

3


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Với biến thiên thể tích dV nhỏ ta coi p là không đổi ta có công
nguyên tố: dA = pdV
2

Công thực hiện trong cả quá trình là:

A=

∫ pdV
1

1. Quá trình đẳng tích:
⇒

Do dV = 0 nên dA = pdV = 0

Vậy:

A = pdV = 0

Nhiệt lượng khối khí nhận được:
T

2
m
Q = ∫ δQ = CV ∫ dT = C(T - T) = C ∆T
µ T
1

Với C là nhiệt dung mol đẳng tích. Do thể tích không đổi nên chất khí không thực hiện
công cho ngoại vật: dA = 0, toàn bộ nhiệt lượng truyền cho chất khí để làm tăng nội
năng:
CV = (

dQ
i
dU 0
)V =
= R
dT
2
dT

(*)

Vậy:

CV =

i
R
2

2. Quá trình đẳng áp:
Do p = const nên dA = pdV
Vậy công do khí thực hiện

A = pdV = p.(V2 - V1)

Nhiệt lượng khối khí nhận được:
T

2
m
Q = ∫ δQ = C p ∫ dT = C (T - T) = C ∆T
µ T

Với C là nhiệt dung riêng mol đẳng áp
Trong quá trình đẳng áp nhiệt lượng truyền cho chất khí được chia làm hai phần: Một
phần làm tăng nội năng, một phần nữa tuy cũng biến thành nội năng nhưng ngay sau đó
vì để giữ cho áp suất không đổi nên phần nội năng này đã được dùng để sinh công thắng
ngoại lực để tăng thể tích khí:
⇒

dQ = dU0 + dA

Cp = (

Do dU0 không phụ thuộc vào V hoặc p nên

dA
dU 0
)p + (
)p
dT
dT

(

i
dU 0
dU
)V = ( 0 )p = R
2
dT
dT

Gọi dV0 là độ tăng thể tích của 1mol chất khí khi thực hiện công dA đẳng áp:
⇒

dA = pdV0

Vậy Cp =

và

p.d ( RT )
i
R +
p.dT
2

V0 =
=

RT
p

i
R+R
2

( p không đổi)
⇒

Cp =

i+2
R
2

3. Quá trình đẳng nhiệt:

4

Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến
pV = nRT = const ⇒ p = nRT.

Do T = const nên

1
V

Vậy công do khí thực hiện
V2

2

A=

∫ pdV

= nRT

dV

∫V

= nRT ln

V1

1

V2
p1
= nRT ln
= pV ln
V1
p2

Vì quá trình đẳng nhiệt ⇒ ∆U = 0 ⇒ dQ = dA
V2

2

Nhiệt lượng khí nhận được: Q = A = A =

V2
p1
dV
= nRT ln
= nRT ln
V
V1
p2
V1

∫ pdV = nRT ∫
1

4. Quá trình đoạn nhiệt
a. Các công thức của quá trình đoạn nhiệt:

Quá trình đoạn nhiệt là quá trình không trao đổi nhiệt với ngoại vật ⇒ dQ = 0
+ Từ dU + dA = 0 ta suy ra:
0 = nCV.dT + p.dV = nCV.dT + n

RT
dV
V

Chia hai vế cho (n.T.CV ) và lưu ý rằng
0=

C p − CV dV
dT
+
.
CV
T
V

dT
dV
+ (γ − 1) .
T
V
⇔

lnT + ln V γ −1 = const

+ Tích phân hai vế ta có:
+ Với T =

=

R = Cp - CV ta được:

pV
ta biến đổi được:
nR

TV γ −1 = const

pV γ = const

(1)

(2)

+ Hoặc từ (1) và (2) :
T1  V2 
= 
T2  V1 

γ −1

 γ
=  V2γ
V
 1






γ −1
γ

 
=  p1 
p 
 2

γ −1
γ

 
=  p2 
p 
 1

1−γ
γ

⇔

T γ .p 1−γ = const

(3)

Ta được các công thức của quá trình đoạn nhiệt hay các công thức Poatxông:
TV γ −1 = const

pV γ = const

(γ

=

Cp
CV

=

i+2
)
i

T γ .p 1−γ = const

* Với γ gọi là chỉ số đoạn nhiệt, được xác định từ hệ thức Mayer:
Cp
CV

Hệ quả: Vì:

=

i+2
=γ
i

Cp - CV = R

Vậy kết hợp với hệ thức Mayer ta có:

CV =

R
γ −1

5


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

b. Công do chất khí thực hiện trong quá trình đoạn nhiệt:
Từ nguyên lí I kết hợp với hệ thức Mayer ta được:
dA = -dU = -ndU0 = -nCvdT
T2

⇒

A = -nCV ∫ dT = -nCv(T2 - T1) =
T1

nR
1
(T1 - T2) =
(p V - p V )
γ −1

γ −1 1 1 2 2

Kết hợp với các công thức Poatxông ta có:
A = - ∆U = nCv(T1 - T2) =

1
(p V – p2V2)
γ −1 1 1

  V γ −1 
 T2 
nR
nR
A=
T 1−
; A=
T1 1 −  1 ÷  ;
γ − 1 1  T1 ÷
γ
−
1
  V2  


γ −1


γ



nR
p
1 − 1

A =
T
γ − 1 1   p2 ÷
 



IV. Nguyên lí II nhiệt động lực học:
1. Nguyên lí II:
+ Cách phát biểu thứ nhất: Không thể có động cơ vĩnh cửu II có nghĩa là không thể
biến đổi hoàn toàn nhiệt lượng thành công.
+ Cách phát biểu thứ hai: Nhiệt không thể truyền từ vật lạnh hơn sang vật nóng hơn
mà không để lại dấu vết gì xung quanh.
2. Động cơ nhiệt:
Hiệu suất của động cơ nhiệt:

η=

A Q1 − Q2 T1 − T2
≤
=
Q1
Q1
T1

ε =

Q2
T2
Q2
≤
=
Q1 − Q2
T1 − T2
A

3. Máy làm lạnh:
Hiệu năng của máy lạnh:
4. Chu trình cácnô:
+ Là một chu trình kín, gồm hai quá trình đẳng nhiệt xen kẽ với hai quá trình đoạn nhiệt.
+ Định lí Cacnô: Hiệu suất của các động cơ nhiệt thuận nghịch hoạt động theo chu trình
Cacnô với cùng nguồn nóng, nguồn lạnh thì bằng nhau và không phụ thuộc vào tác nhân,
kết cấu của động cơ
+ Hiệu suất của động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình Cácnô thuận nghịch:
η=

T1 − T2
=1T1

+ Hiệu suất của chu trình Các nô không thuận nghịch:
η<
⇒ Đối với chu trình Các nô:

T1 − T2
=1T1
T1 − T2

η≤
=1- =1T1

5. Hàm entrôpy và nguyên lí tăng entrôpy

6


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

a. Hàm entropy
Khi một hệ biến đổi theo chu trình thuận nghịch, theo bất đẳng thức Clau-di-út ta có:
δQ

∫

Đặt

S=

δQ

∫T

T

=0

là hàm trạng thái hay hàm entropy (tính chất của hàm entropy tương tự

như tính chất của nội năng)
b. Nguyên lí tăng entropy
2
δQ
∆S = S - S = ∫
là độ biến thiên entropy của hệ từ trạng (1) sang trạng thái (2)
1

T

Ta có: ∆S = S - S ≥ 0 (dấu = nếu quá trình 1→ 2 là thuận nghịch, dấu > nếu quá trình 1→
2 là không thuận nghịch)
c. Entropy của khí lí tưởng
δQ
= 0 ⇒ S = const
+ Quá trình đoạn nhiệt: ( δQ = 0 )
⇒ ∆S = ∫
+ Quá trình đẳng nhiệt: (T = const)

T
δQ Q
=
⇒ ∆S = ∫
T
T

+ Quá trình bất kì: δQ = dU − δA = dU + pdV
Với dU = CdT; p =

⇒ δQ = CdT + RT
δQ
⇒ ∆S = ∫
= C + R = Cln + Cln
T

7


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

B. CÁC BÀI TẬP VỀ NGUYÊN LÍ I VÀ II NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC
Bài 1. Một khối khí Hêli trong một xilanh có pitông di chuyển p
được. người ta đốt nóng khối khí này trong điều kiện áp suất
không đổi, đưa khí từ trạng thái 1 đến trạng thái 2. Công khí
1
2
thực hiện được trong quá trình này là A. Sau đó, khí bị nén
theo quá trình 2-3 trong đó áp suất p tỉ lệ thuận với thể tích V.
Đồng thời khối khí nhận một công là A (A > 0). Cuối cùng khí
3
được nén đoạn nhiệt về trạng thái ban đầu. Hãy xác định công
A mà khí thực hiện trong quá trình này.
O
Lời giải:
Trong quá trình đẳng áp 1-2, công do khối khí thực hiện là:
A = p (V - V) = nR(T - T)
(1)

Trong quá trình 2-3, công do khí nhận vào có trị số bằng:
A = (V - V) =
(2)
Vì trên giản đồ p-V hai điểm 2 và 3 nằm trên đường thẳng đi qua gốc toạ độ, nên ta có:
A= =
(3)
Trong quá trìnhđoạn nhiệt 3-1, độ tăng nội năng của khí bằng công mà khí nhận được:
A = nR( T - T )
(4)
Từ (1) và (3) suy ra:
T-T=
(5)
Thay (5) vào (4), ta được: A = nR( T - T ) = (2A - A)
Bài 2. Một lượng khí đơn nguyên tử thực hiện
chu trình 123a1 như hình vẽ. Biết rằng độ biến
thiên thể tích từ trạng thái 1 sang 2 có giá trị
bằng độ biến thiên thể tích từ trạng thái 2 sang 3
và bằng thể tích ban đầu. Độ biến thiên áp suất
từ trạng thái 1 sang 2 bằng giá trị áp suất ban
đầu. Đường biểu diễn chu trình 123b1 có diện
tích giới hạn bằng diện tích đường tròn bán kính
là độ dài đường biểu diễn trạng thái 1 sang 2 p
2
hoặc trạng thái 2 sang 3. Cung tròn 3a1 bằng p
cung 3b1. Công mà khí thực hiện trong cả chu 2
trình là A. Hãy xác định nhiệt lượng trong từng
p
a
2
quá trình theo A, cho biết trong quá trình đó khí

nhận hay tỏa nhiệt?

p2

1

p1

α

Lời giải:

Vì

V2 − V1 = V3 − V2 = ∆V = V1

O

p2 − p1 = p2 − p3 = ∆p = p1

Và đường biểu diễn chu trình có
diện tích giới hạn bằng diện tích

1

p1

O

V

a
b
3

V
b1
V1

3

V2

V2

V3

V3

V

đường tròn bán kính là độ dài đường
biểu diễn trạng thái 1 sang 2 hoặc
trạng thái 2 sang 3.

8

V

Chuyên đề nhiệt học
Nên

Đinh Ngọc Tuyến

α1 = α 2 = 300

tan α =

∆V V1
1
=
= tan 300 =
⇒ p1 = 3V1
∆p p1
3

Công của khí thực hiện trong cả chu trình :
A = 2∆p∆V - π (∆p + ∆V) + 2∆p∆V = 2 V - πV
⇒ V = (1)
- Xét quá trình 1 → 2, độ biến thiên nội năng:
∆U = nC(T - T) = (2pV- pV) = V = (2)
Công khí thực hiện trong quá trình 1 → 2 :
A = (p + V)(V - V) = V =
Nhiệt lượng khí nhân được trong quá trình 12 :
Q = ∆U + A =
- Xét quá trình 2→ 3, độ biến thiên nội năng:
∆U = nC(T - T) = (pV - pV) = - V = Công khí thực hiện trong quá trình 23:
A=A= V=
Nhiệt lượng khí trong quá trình 23 : Q23 = ∆U 23 + A23 = 0

- Xét quá trình từ 31:
Khí thực hiện cả chu trình nên
∆U = 0 → Q = A
⇒ Q=Q-Q-Q=A-Q-Q=A- <0
l

Vậy quá trình 31 là quá trình nhận nhiệt.
Bài 3. Trong một bình hình trụ nằm ngang, thành xung
quanh cách nhiệt, có hai pít tông: pít tông A nhẹ ( trọng
lượng có thể bỏ qua) và dẫn nhiệt, pít tông B nặng và cách
nhiệt. Hai pít tông tạo thành hai ngăn trong bình (hình vẽ).
Mỗi ngăn chứa một mol khí lí tưởng lưỡng nguyên tử và
có chiều cao là l = 0,5m.

l

Ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt. Làm cho khí trong bình
lên thật
A nóng B
chậm bằng cách truyền cho khí (qua đáy bình nối với A) một nhiệt lượng Q. Pít tông A
có ma sát với thành bình và không chuyển động, pít tông B chuyển động không có ma sát
với thành bình. Tính lực ma sát tác dụng lên pít tông A.
l
l
∆l
Biết rằng nội năng U của một mol khí lí tưởng lưỡng nguyên tử phụ thuộc vào
3
2

nhiệt độ T của khí theo công thức U = RT . (R là hằng số khí ))lí tưởng).p

Lời giải:

))
A

B

9


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Gọi nhiệt độ ban đầu của hệ là T 0, nhiệt độ sau cùng là T1, áp suất ban đầu của khí trong
hai ngăn bằng nhau và bằng p0.
T

1
Áp suất cuối cùng trong ngăn trái là p1 = p0 T (quá trình đẳng tích).
0

Thể tích cuối cùng của ngăn phải là V1 = V0
Độ tăng thể tích của ngăn phải.

Công sinh ra bởi chất khí

T1
(quá trình đẳng áp)
T0

T

∆V = V1 − V0 = V0  1 − 1
 T0 

T

∆V = p0V0  1 − 1 = R( T1 − T0 )
 T0 
A = p0

Độ tăng nội năng của hệ 2 mol khí là

3
∆U = 2 R( T1 − T0 ) = 3R ( T1 − T0 )
2

Theo nguyên lí I: Q = ∆U + A = 4 R( T1 − T0 )
Lực ma sát tác dụng lên pít tông A có diện tích S =

V0
là
h

T
V
1
F = ( p1 − p 0 ) S = p 0  1 − 1 0 = R( T1 − T0 )
h

 T0
 h

⇒ F=

Q
.
4h

Bài 4. Một bình hình trụ, thành mỏng, tiết diện ngang S đặt nằm ngang. Trong bình có
một pittong khối lượng M, bề dày không đáng kể. Pittong được nối với phần bên phải của
bình bằng một lò xo có độ cứng k. Trong bình bên trái có một lượng khí lý tưởng đơn
nguyên tử, khối lượng m, khối lượng mol là µ, phần bên phải là chân không. Lúc đầu
nhiệt độ của khí trong bình là T 1. Biết rằng chiều dài của lò xo khi không biến dạng đúng
bằng chiều dài của bình. Bỏ qua khối lượng lò xo và ma sát giữa pittong với thành bình.
Bình và pittong làm bằng các vật liệu cách nhiệt lý tưởng. Người ta nung nóng bình đó
đến nhiệt độ T2 (T2 > T1) sao cho pittong di chuyển thật chậm.
1. Tìm độ dịch chuyển của pittong.
2. Tính nhiệt lượng đã truyền cho khối khí.
Lời giải:
1. Gọi p, p là áp suất khí ban đầu (nhiệt độ T) và sau (nhiệt độ T) trong phần bình bên
phải.

10


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Lúc đầu: kh1 = p1S (1)
Mà pV = Sh = RT

(2)

Sh = RT ⇒ h =

(3)

Lúc sau khi nhiệt độ của khí trong bình là T: kh = pS (4)
pV = Sh = RT

⇒h=

(5)

Độ dịch chuyển của pittong: ∆h = h - h =

-

2. Nhiệt lượng đã truyền cho khối khí
dQ = dU + pdV = CdT + dV
Lấy tích phân, ta được:
T2

h

2
k (h22 − h12 )
m

kh
m
Q = ∫ dQ = ∫ CV dT + ∫ Sdh = CV (T2 − T1 ) +
µ
S
µ
2
T1
h1

Mặt khác từ phương trình: pV = kh = RT
⇒

= (T - T)

Với C =

⇒ Q = 3 (T - T)

ω

Bài 5. Một bình hình trụ AB = l, nằm ngang đầu
A hở, đầu B kín. Bình quay đều với tốc độ góc ω
trục thẳng đứng (∆) đi qua A. Áp suất nhiệt độ khí
xung quanh là p, T, khối lượng mol là µ. Xác định
áp suất của khí tại đáy B của bình.

A

B

O

Lời giải:
Xét một khí mỏng có bề dày dx, có tọa độ x → x + dx
áp suất khí hai bên của lớp khí là p và p + dp.

ω
A

p dx p + dp B

))

Khi bình quay đều quanh A, lớp khí chịu các lực tác dụng
như hình vẽ.

))

Vì bình quay đều nên khí ở trong bình ở trạng thái cân O
bằng, ta có:

x

))

+ + + =
⇒ F = F + F ⇔ (p + dp)S = pS + ωdmx ⇒ ωdmx = Sdp
Mặt khác, phương trình trạng thái với lớp khí là

pSdx =

dm
RT ⇒ dm = dx
µ

(1)

(2)

Từ (1) và (2) ta tìm được:

11


Chuyên đề nhiệt học

µω 2
xdx =
RT0 ∫0
l

⇒

Đinh Ngọc Tuyến
pB

dp
∫p
p0

⇔

µω 2 l 2
p
. = ln B
RT0 2
p0

µω2l 2

pB = p0 .e 2 RT0

Bài 6. Một bình hình trụ chứa chất khí đơn nguyên tử, chiều dài L, diện tích đáy S,
chuyển động dọc theo phương song song với trục của bình. Khối lượng khí trong bình là
m. Ở thời điểm bình đang chuyển động với gia tốc a (a > 0). Giả thiết ở mỗi thời điểm,
các phần tử khí có gia tốc như nhau và nhiệt độ đồng đều trong toàn khối khí và bằng T.
µa L
Bỏ qua tác dụng của trọng lực. Cho o << 1 , trong đó µ là khối lượng mol của chất khí,
RT

R là hằng số khí. Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
1. Hãy tính áp suất do khí tác dụng lên mỗi đáy bình khi gia tốc của bình là a.
2. Làm cho gia tốc của bình giảm xuống 0. Tính công do khối khí thực hiện trong quá
trình giảm gia tốc trên.
3. Giả thiết bình hoàn toàn cách nhiệt và nhiệt độ khí thay đổi rất nhỏ trong quá trình
giảm gia tốc. Biết nhiệt độ ban đầu của khối khí là T. Tìm độ biến thiên nhiệt độ
của khối khí trong quá trình trên.
Lời giải
1. Chọn trục Ox dọc theo trục bình, chiều dương cùng chiều chuyển động của bình.

Xét một lớp khí mỏng khối lượng dm, chiều dày dx, ở cách đáy bình một đoạn x. Trong
hệ quy chiếu gắn với trái đất, lớp khí này chuyển động cùng bình với gia tốc a và chịu tác
dụng của hai lực theo phương Ox là pS và – (p + dp)S.
Theo định luật II Newton ta có: [pS – (p + dp)]S = dm.a hay –dp.S=dm.a

dm
RT
µ

(2)

µa 

≈ p ( 0 ) 1 −
x
 RT 

(3)

Mặt khác, phương trình trạng thái với lớp khí là pSdx =
Từ (1) và (2) ta tìm được: - = dx ⇒ p = p( 0) e

−

µa
x
RT

(1)

Để tìm p(0) ta dùng định luật bảo toàn khối lượng. Từ (2) và (3) tính dm, sau đó tích phân,
tính được:
p ( 0 ) Sµ L 
p ( 0 ) Sµ 
µa 
µa 2 
m = ∫ dm =
1
−
x
dx
=
L .


L −
∫
RT 0  RT 
RT 
2 RT 
0
L

Vậy
p(0) =

mRT
mRT 
µaL 
mRT 

µaL  µaL  mRT 
µaL 
≈
1 +
⇒ p=
1 +
1 −
≈
1 −

µaL  SµL  2 RT 
SµL  2 RT 
RT  SµL  2 RT  .

SµL1 −

 2 RT 

2. Xác định vị trí khối tâm chất khí:

12


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

L
L
 L µaL2 

1
1 p ( 0 ) Sµ 
µa 
µaL 
 1 µaL 
1 +
xG = ∫ xdm = ∫
x 1 −
x dx =  −
 ≈ L −
.
m0
m 0 RT  RT 
 2 12 RT 
 2 3RT  2 RT 

Khi gia tốc thay đổi một lượng da, khối tâm dịch chuyển một khoảng dxG = −

µL2
da .
12 RT

Trong hệ quy chiếu gắn với vỏ bình, công nguyên tố do lực quán tính thực hiện lên khối
khí là:
0
µL2
mµL2
mµL2 2
dA = FdxG = ma
da ⇒ A = ∫

ada = −
a .
12 RT
12
RT
24
RT
a

mµL2 2
Công do khí thực hiện: A' = − A =
a .
24 RT
3. Áp dụng nguyên lý I NĐLH cho cả khối khí:
∆U = A ⇒

m 3R
mµL2 2
µ 2 L2 2
∆T = −
a ⇒ ∆T = −
a .
µ 2
24 RT
36 R 2T

Bài 7. Khảo sát một động cơ hoạt động theo chu trình lí tưởng dùng chất khí có nhiệt
dung c không đổi làm tác nhân. Chu trình gồm hai quá trình đẳng áp (1→2, 3→4) nối với
nhau bằng hai quá trình đoạn nhiệt (4→1, 2→3).
1. Tìm hiệu suất của động cơ này theo p, p.

2. Tìm nhiệt độ cao nhất, thấp nhất trong các nhiệt độ T, T, T, T.
3. Chứng minh rằng một động cơ Cacno dùng chính tác nhân trên làm việc giữa hai
nguồn nhiệt cao nhất, thấp nhất nói trên có hiệu suất cao hơn động cơ này.
Lời giải:
1. Trong chu trình năng lượng mà tác nhân nhận từ nguồn
có nhiệt độ cao là quá trình 1→2 là:

p
p

Q = C(T - T)

1

2

Năng lượng nhả ra cho nguồn có nhiệt độ thấp là quá trình
3 → 4 là:

Q = C(T - T)

p

Hiệu suất của động cơ nhiệt:

η

O

=1- =1-

3

4
V

V

V

V

V

Mặt khác: phương trình trạng thái pV = nRT
Quá trình đoạn nhiệt pV = pV ;
Ta được:

p 
η = 1 −  4 
 p1 

γ −1
γ

pV = pV

(1)

2. Từ đồ thị ta thấy V > V > V > V; p > p

Từ phương trình trạng thái: 1 → 2: = ⇒ T > T;

13


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến
3 → 4: = ⇒ T > T

Từ phương trình đoạn nhiệt: 2→ 3: TV = TV
4→ 1: TV = TV

⇒ T>T
⇒ T>T

Vậy nhiệt độ thấp nhất và cao nhất trong chu trình là T = T; T = T
3. Hiệu suất của động cơ Cacno ứng với tác nhân giữa nguồn nhiệt cao nhất, thấp nhất là:
ηC = 1 −

T4
T2

(2)

T4
 
Từ (1) và (2) ta được: η C = 1 −
> η = 1 - = 1 −  p4 
p 

T2
 1

γ −1
γ

14


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Bài 8. Động cơ nhiệt là một khối hình
trụ chứa đầy khí, trong đó có 1 pít tông
mà chuyển động của nó bị giới hạn bởi
các gờ chắn AA và BB. Khí được nung
nóng từ từ cho đến khi pít tông bị gờ
BB chặn lại. Sau đó đáy của lò xo di
chuyển từ vị trí CC đến DD, rồi khí
được làm lạnh từ từ cho đến khi pít
tông bị gờ chặn AA giữ lại và đáy lò xo
được di chuyển ngược lại trở về vị trí
CC. Sau đó khí lại được nung nóng
v..v…

B

A

20

A

C

B

20

20

D

C 10 D

Tìm hiệu suất của động cơ này.
Khối trụ chứa đầy khí Hêli, diện tích bề mặt pít tông S = 10 cm 2, độ cứng lò xo K =
10 N/m, chiều dài lò xo ở trạng thái không bị dãn 0 = 60 cm. Giả thiết áp suất bên
ngoài bằng không.
Lời giải:
Ta vẽ chu trình trên giản đồ p-V từ thời điểm khi khí
bắt đầu giãn nở. Do sự nung nóng được tiến hành rất từ
từ nên có thể cho rằng pít tông ở thời điểm bất kì nằm ở
trạng thái cân bằng.
Để ý chiều dài lò xo ở trạng thái không dãn bằng
khoảng cách từ thành trái của hình trụ đến đường CC.
Do đó khi dãn khí (pít tông từ AA→BB) lực đàn hồi của
lò xo tỉ lệ với thể tích khí:
Fdh = k.x = k

p

2

4
3
2
1

3

1
4

0

V

V
k
Và p1-2 = 2 V
S
S

Trên đoạn này thể tích khí tăng từ V1 = 2.10-4m3 đến V2 = 4.10-4m3.
Áp suất khí tăng từ p1 =

k
k

3
V
V2 = 4. 103 pa.
2 1 = 2.10 pa đến p2 =
2
S
S

Sau khi đáy lò xo dịch chuyển từ CC đến DD, lực đàn hồi của lò xo giảm đi. Do đó
khi làm lạnh bình trụ khí bắt đầu bị nén không phải ngay lập tức mà chỉ sau khi áp suất
khí lên pít tông giảm sao cho áp lực của khí trở nên bằng lực đàn hồi của lò xo. Điều
10 × 0,3
pa = 3.10 3 pa
đó xảy ra khi p3 =
−3
10
Khi làm lạnh tiếp khí sẽ bị nén và áp suất sẽ thay đổi theo biểu thức

15


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

p 3− 4 =

k
(V − V0 )
S2

trong đó V0 là thể tích khí khi lò xo ở DD không giãn được nữa:

V0 = 0,1.10 −3 m 3 = 1.10 4 m 3
Như vậy:

p4 =

k
(V1 − V0 ) = 1.10 3 pa
S

Sau khi đáy lò xo được dịch chuyển ngược trở lại từ vị trí DD về vị trí CC lực đàn
hồi tăng lên. Vì thế khi làm nóng tiếp khí chỉ bắt đầu giãn từ thời điểm khi áp lực khí
tăng đến giá trị của lực đàn hồi. Điều đó xảy ra khi p = p1= 2.103 Pa.
Nếu tiếp tục quá trình sẽ lặp lại. Công của chất khí sau một chu trình có thể tìm
theo diện tích của hình bình hành trên hình vẽ: A = 0,2 Pa.m 3 = 0,2 J
Khi nhân được nhiệt trên đoạn 1-2 và 4-1, do đó khí là khí đơn nguyên tử nên ta
tìm được:
Q = Q1 + Q 2 = A1→2 + ∆U1→2 + ∆U 4→1
P1 + P2
3
3
(V2 − V1 ) + R (T2 − T1 ) + R (T1 − T4 )
2
2
2
P + P2
3
= 1

(V2 − V1 ) + ( P2 V2 − P4 V4 )
2
2
= 2,7 J
=

Vậy hiệu suất của động cơ này bằng

A
100% =7,4%
Q

Bài 9. (Đề thi chọn đội tuyển dự IphO năm 2008). Một bình trụ kín, thẳng đứng, được
chia làm hai ngăn bằng một vách ngăn di động có trọng lượng đáng kể. Nhiệt độ của cả
hệ là T, vách ngăn ở vị trí cân bằng, khí ở ngăn trên (kí hiệu là ngăn B), áp suất khí ở
ngăn dưới là 20 kPa.
1. Lật ngược bình hình trụ, để cho bình thẳng đứng, ngăn B ở trên, ngăn A ở dưới.
Tính áp suất và thể tích khí trong ngăn A sau khi nhiệt độ trở về T và cân bằng
được thiết lập.
2. Sau khi lật ngược bình như ở ý 1 của câu này thì phải làm cho nhiệt độ của hệ
biến đổi như thế nào, thể tích của ngăn A và của ngăn B bằng nhau.
3. Tính tổng nhiệt lượng cần truyền cho khí trong cả hai ngăn để thực hiện biến đổi
như ý 2. Biết rằng khí trong cả hai ngăn đều là lưỡng nguyên tử và thể tích ban
đầu của ngăn B là V = 0,1 lít.
4. Sau khi thay đổi nhiệt độ như ý 2, dùng tác động từ bên ngoài (ví dụ dùng từ
trường mạnh tác dụng lên vách ngăn có từ tính) kích thích để vách ngăn dao
động nhỏ quanh vị trí cân bằng. Tính tần số dao động. Có thể coi khí trong từng
ngăn biến đổi đoạn nhiệt khi vách ngăn dao động. Biết chiều cao của cột không
khí trong vách ngăn khi cân bằng là 20 cm, g = 9,8 m/s.

16


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Lời giải:
1. Áp dụng định luật Bôilơ - Mariốt cho khí ở vách ngăn A, và cho khí ở ngăn B
(như hình vẽ)
30V = ( p + 10)(4V - V)
(1)
20 V = p V
(2)
Khử V’ trong hệ (1) và (2), ta có :
30V = ( p + 10) ( 4V - )
T
T
T
⇔ 2 p - 5 p - 100 = 0 (3)
(B)
Giải (3) và lấy nghiệm dương ta được:
(B)
(A)
p = ≈ 8,43 (kPa)
V = ≈ 2,37 V
p; V
p; 2V
Áp suất trong ngăn A là:
10; 3V

p + 10 = 18,43 (kPa)
Thể tích của ngăn A là :
p + 10
P + 10
4V - V = 1.63 V.
2V
20;ngăn
V bằng nhau
4Vvà
- Vbằng 2V, áp
2. Gọi T là nhiệt độ mà tại đó thể tích của hai
dụng
(A)
(A)
(B)
PTTT lần lượt cho khí trong ngăn A và B, ta có :
=
(4)
H.2
H.3
H.1
=
(5)
Từ (4) và (5) ta có: = ⇒ p = 20 (kPa)
Thay p vào (5) ta được:
T = 2T
Vậy phải tăng nhiệt độ tuyệt đối của hệ lên gấp đôi.
3. Nhiệt lượng Q mà khí nhận được sẽ là
Q = ΔU + A
ΔU = (n + n)C ΔT = ( + ) RΔT

h
p
= 12,5 (J)
A = 10 (2,37V - 2V) = 3700 V = 0,37 (J)
Nên:
Q = 12,87 (J)
dh
O
4. Lấy trục Oz thẳng đứng, hướng lên trên,
gốc O ứng với vị trí cân bằng của vách ngăn
h
p
(đáy dưới).
Xét tại một thời điểm, độ dời của vách ngăn
là dh. Toạ độ của đáy vách ngăn là z = dh
S
Biến thiên áp suất ở hai ngăn tác dụng lên vách ngăn là hai lực cùng chiều Sdp và Sdp
F = S(dp + dp)
Coi quá trình biến đổi của khí trong từng ngăn là đoạn nhiệt thuận nghịch
ph = const ⇒ + γ = 0 ⇒ dp = - p
Tương tự:
p h = const
⇒ dp = - p
F = - γ(p + p) S = - γ (p + p) S
Gọi M là khối lượng của vách ngăn:
F=M &
z&
Mặt khác
Mg = S.10
Suy ra:

ω = = = 18,53 (rad.s)
Tần số dao động là:
f = = 3 (Hz)

17


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Bài 10. 1. Một mol khí lí tưởng biến thiên từ nhiệt độ T và thể tích V đến T, V. Chứng
minh độ biến thiên entropy của khí là:
∆S = Cln + Rln
2. Một chất khí lí tưởng giãn nở đoạn nhiệt từ (p, V) đến (p, V). Sau đó được
nén đẳng áp đến )p, V). Cuối cùng áp suất tăng tới p ở thể tích V. Chứng minh răng hiệu
suất của chu trình là:
p

V
 p

η = 1 − γ  2 − 1 /  1 − 1
 V1
  p2


với γ =
Lời giải:

A

p

1. Từ dS = (dU+pdV) = (C dT +pdV)
Và pV = RT
Ta được ∆S = Cln + Rln

B
C

p
2. Chu trình biến đổi trạng thái của chất khí trên đồ thị trên
Công hệ thực hiện trong chu trình là

A=

∫ pdV = ∫ pdV + p

2

(V1 − V2 )

AB

∫ pdV = − ∫ C

Xét quá trình AB:

AB

V

dT = −CV (T2 − T1 ) =

AB

V
1
( p 2V2 − p1V1 )
1− γ

V

V

Với pV = nkT và C = C + R
Chất khí nhận nhiệt trong giai đoạn CA:
1

Q = ∫ TdS = ∫ CV dT = CV (T1 − T2 ) = 1 − γ V1 ( p 2 − p1 )
CA

CA

Hiệu suất của động cơ là:
η=

V
 p


A
= 1 − γ  2 − 1 /  1 − 1
Q
 V1
  p2


Bài 11. (Đề thi chọn đội tuyển IphO năm 2005). Một xilanh nằm ngang có dạng hình
hộp, chiều dài 2ℓ và tiết diện ngang hình vuông cạnh a. Xilanh được chia làm hai phần
bởi vách ngăn S (có bề dày và khối lượng không đáng kể), có thể dịch chuyển không ma
sát dọc theo xilanh. Thành xilanh và vách ngăn làm bằng vật liệu
cách nhiệt. Phần bên trai của xilanh chứa một
lượng thuỷ ngân, phía trên có lỗ nhỏ A thông
A
S
với khí quyển bên ngoài. Phần bên phải xilanh
V
chứa một khối khí lưỡng nguyên tử. Khi hệ
a
cân bằng thì vách ngăn S nằm ngay chính giữa
Hg
xilanh, thuỷ ngân chiếm một nửa thể tích phần
bên trái và khối khí có nhiệt độ T (hình vẽ).
2ℓ
1. Tính áp suất của khối khí lên vách ngăn.
2. Nung nóng khối khí (nhờ một dây điện được đưa trước vào phần bên phải của
xilanh. (Vách ngăn bắt đầu dịch chuyển sang bên trái. Thiết lập hệ thức giữa áp
suất p và thể tích V của khối khí trong quá trình dịch chuyển của S.
3. Vách ngăn S vừa chạm vào thành bên trái của xilanh, hãy xác định:

a. Nhiệt độ của khối khí đó
b. Công tổng cộng mà khối khí thực hiện.
c. Nhiệt lượng tổng cộng đã cung cấp cho khối khí.
Lời giải:

18


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

1. Gọi dH là áp lực của thuỷ ngân có độ cao dh tác dụng lên S:
dF = (p + ρgh) adh → F = dF = p a + ρga
Áp lực của khí quyển tác dụng lên nửa còng lại của vách ngăn:
F= pa
Áp lực toàn phần tác dụng lên phía trái của S:
F = F + F = p a + ρga
Áp lực này cân bằng với áp lực của khối khí tác dụng lên mặt phải của S, vì vậy áp suất
khối khí là:
p = = p + ρga = 1,029. 10 (Pa)
2. Khi vách ngăn dịch chuyển sang bên trái một
đoạn x sao cho 0 ≤ x ≤ thì thuỷ ngân có độ
x
cao b. Thể tích khối khí bây giờ là:
A
S
V = (1 + x) a → x = - 1
V
- Nếu 0 ≤ x ≤ thì thuỷ ngân chưa trào ra

a
b
ngoài theo lỗ A nên:
Hg
= (1 - x)ab → b = =
ℓ
Trong đó V = aℓ . Do đó tương tự như trên ta có:
2ℓ
p(V) = p + ρga .
- Nếu ≤ x ≤ 1 tức là V ≤ V ≤ 2 V thì thuỷ ngân trào ra ngoài và trong quá trình đó:
p(V) = p + ρga
Trong quá trình Hg trào ra ngoài p(V) không đổi.
Thay số:
- Nếu V ≤ V ≤ V hay 2lít ≤ V ≤ 3lít thì:
p(V) =
(kPa) (V tính ra lít; V = 2lít).
- Nếu V ≤ V ≤ 2V hay 3lít ≤ V ≤ 4lít, thì:
p(V) = p + ρga = 108 (kPa)
3. a. Nhiệt độ của khối khí:
= → T = T = 2T = 629,74 K = 356,6 C.
b. Công tổng cộng mà khối khí thực hiện.
Công khối khí dùng để đẩy lượng không khí ở phần bên trái xilanh ra ngoài:
A = p ΔV = p V
Công để đưa toàn bộ khối thuỷ ngân trào qua lỗ A:
A = mg Δh = ρga V
Công mà khối khí thực hiện:
A = A + A = V = 202, 41 (J)
c. Nhiệt lượng tổng cộng đã cung cấp cho khối khí
Độ tăng nội năng của khí:
ΔU = nCΔT = pV - pV = V = 565 (J)

Nhiệt lượng cung cấp cho khối khí:
Q = ΔU + A = 767 (J)
Bài 12. Một mol khí trong xilanh có chỉ số đoạn nhiệt γ xác định, xilanh và pit tông cách
nhiệt, pit tông có thể chuyển động không ma sát. Bên ngoài không khí có áp suất p. Tại
một thời điểm nào đó người ta tăng hoặc giảm áp suất bên ngoài một lượng ∆p một cách
đột ngột (điều này có thể thực hiện được bằng cách thêm hoặc bớt một phần tải trọng lên
pit tông). Tính thể tích khí sau khi cân bằng được thiết lập. Biết ban đầu khí có T, V.
Lời giải:

19


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Khí ban đầu: p, V, T
Khí lúc sau: p = p + ∆p , V, T
Theo phương trình trạng thái: =
(1)
Do xilanh cách nhiệt: A = -A
Q =0 ⇒ A + ∆U = 0 ⇔ p∆V + nC∆T = 0 ⇔ p (V - V) + nC∆T = 0
⇔ = =
(3)
Giải hệ phương trình

(2)

⇒ pV + nC ∆T = pV
(nC + ) ∆T = (p - p)V

pV + nC∆T = pV
pV - . ∆T = pV

⇒ V = pV - nC = pV = (p + ∆p)V - = .
Bài 13. Một xilanh kín hai đầu ngăn cách nhau bởi một pitong cách nhiệt. Phần bên trái
chứa n mol khí đơn nguyên tử (xem là khí lý tưởng) ở áp suất p o, thể tích Vo và nhiệt độ
To, phần bên phải chứa 2n mol của cùng một loại khí trên ở thể tích V o và nhiệt độ .
Pittong có khối lượng m = 10kg, tiết diện S có thể chuyển động không ma sát. Phần khí
bên phải có một lò xo có độ cứng k nối pittong với thành bên phải của bình. Bỏ qua sự lọt
khí ở các mặt tiếp xúc, khối lượng lò xo, nhiệt dung của bình chứa và pittong. Hệ nằm
cân bằng và pittong không bị nén hay dãn.
1. Hãy tìm tần số dao động của pittong khi nó bị làm lệch khỏi VTCB một đoạn nhỏ.
2. Bây giờ pittong bị đẩy xuống dưới đến khi thể tích khí còn một nửa, rồi được thả ra
không vận tốc đầu. Hãy tìm các giá trị của thể tích khí lúc vận tốc của pittong là
mgS
gV0
. Cho độ cứng k =
. Mọi quá trình trong chất khí đều là đoạn nhiệt. R =
Vo
3S

8,31J/mol.K; γ = 5/3.

x

Lời giải:
1. Phương trình chuyển động khi pitong dịch chuyển
một đoạn x từ VTCB:
mx’’ = - kx - pS + p S (1)

Với p và p lần lượt là áp suất của khí trong phần bên
chứa lò xo và phần chỉ chứa không khí
p = = = p(1+γ )

))
pS

k
pS

p 0V0γ
Sx
= p 0 (1 − λ )
p=
γ
V0
(V0 + Sx )

⇒ mx’’ = -kx - p(1+γ ) + p(1- γ ) = -kx - 2pγ = - (k + 2pγ ) x (2)
Với pV = nRT ⇒ p =
(3)
Từ (2) và (3), ta được: mx’’ = -(k + 2 γ )x
Vậy pitong dao động điều hòa với tần số
k+2

ω=

nRT0 S
γ
V0

V0

(4)

2. Công thực hiện bởi phần khí bên trái khi thể tích tăng từ V đến V
W=

V

V

2V0

2V0

p 0V0γ
p 0V0γ
dV
=
1− γ
Vγ

∫ pdV = ∫
3

3

 1−γ  2V0 1−γ 
 
V − 

 3  


(5)

20


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Công thực hiện bởi phần khí bên phải khi thể tích giảm từ V dến V - V
W=

2V0 −V

2V0 −V

4V0

4V0

∫ pdV =
3

∫

[

p 0V0γ
p 0V0γ
1−γ
dV
=
(V0 − V )1−γ − ( 2V0 − V )
γ
1− γ
V

]

(6)

3

Sự thay đổi thế năng của lò xo:
2

2V  


 2V −

2
1   2V0 − V   0
3
 
 −
W = kx - kx = k  

 
2  S  
S


 


 


(7)

Động năng :
W = mv = m
Theo đinh luật bảo toàn năng lượng
W+W=W+W

(8)
(9)
p

Giải hệ (5), (6), (7), (8), (9) ta thu được kết quả.

4p

Bài 14: Trên hình vẽ hai chu trình kín nhiệt động
lực học diễn ra với khí lí tưởng đơn nguyên tử: 1
→ 2 → 3 → 4 → 1 và 1 → 5 → 6 → 4 → 1. Chu
trình nào có hiệu suất có ích lớn hơn và lớn hơn

bao nhiêu lần.

2p
p

5

2
1

O

Lời giải:

V

6

3
4
2V

V

Hiệu suất của chu trình bằng tỉ số công thực hiện bởi khí và nhiệt lượng truyền cho
khí trong một chu trình. Công bằng diện tích hình giới hạn bởi đồ thị của chu trình.
Với chu trình đầu:
A = (2p - p) (2 V - V) = pV
Khí nhận nhiệt trong giai đoạn 1 → 2 và 2 → 3 và sinh công trên đoạn 2 → 3:
Q = Q + Q = ∆U + ∆U + A = ∆U + A’

∆U = nC(T - T) = nR(T - T) = nR ( 4

P0 V 0
VR

-

P0 V 0
VR

) = pV

A’ = 2p V
⇒ Q = pV
Với chu trình thứ hai:
A = (4p - p) (2V - V) = 3 pV
Tương tự trong quá trình 1 → 5 → 6 → 4 → 1 khí nhận nhiệt trong giai đoạn 1 → 5
và 5 → 6, sinh công trên đoạn 5 → 6.
A’

= 4 pV

Q= pV

21


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

Hiệu suất của chu trình: η =
η1 =

A'
, ta được:
Q

2
6 η1
,η 2 =
,
= 0,74
13
29 η 2

Bài 15: 1. Cho trước hệ thức sau đây giữa các đại lượng: entropy S, thể tích V, nội năng
U, số hạt N của một hệ nhiệt động lực học là: S = A[NVB], A là một hằng số. Hãy tìm
mối liên hệ giữa các đại lượng
a. U, N, V và T
b. Áp suất p, N, V và T
c. Tính nhiệt dung riêng đẳng tích C
2. Giả sử có hai vật giống hệt nhau chỉ gồm một loại vật liệu tuân theo phương trình trạng
thái đã tìm được trong câu (1) trên. N và V có giá trị như nhau đối với cả hai và chúng
nhiệt độ ban đầu tương ứng là T và T. Dùng hai vật này làm nguồn sinh công bằng
cách đưa chúng tới nhiệt độ cuối là T. Quá trình này được thực hiện bằng cách lấy một
nhiệt lượng từ nguồn nóng truyền cho nguồn lạnh, phần còn lại sinh công.
a. Xác định khoảng nhiệt độ cuối cùng khả dĩ?
b. Ở nhiệt độ T nào thì sinh công ra là lớn nhất? Giá trị lớn nhất của công này bằng
bao nhiêu?

(Có thể khảo sát cả hai qúa trình thuận nghịch và không thuận nghịch để giải bài toán
này)
Lời giải:
U=
2

3S 2
3U 3
 ∂U 
T = −
= 3
=

1
 ∂S V , N A NV A( NV ) 3
S2
1
 ∂U 
p = −
=
 = 3
2
V
 ∂V  S , N A NV
1
 ∂S 
C = T  =
 ∂T V , N 2

 AT 

NV .

 3 

3

A 3 NV
. T ≡λ
3

2

với λ =

2. a. Khi khí không sinh công, T sẽ cực đại. Khi đó
Tf

Tf

T1

T1

2
3

3

3

Q = ∫ cV dT = ∫ λ T dT = λ (T f 2 = T1 2 )
Tf

Q =

∫c

V

T2

dT =

3
3
2
λ (T f 2 − T2 2 )
3

Với Q + Q = 0, ta được:

T f max

 T 3 2 +T 3 2 
2

= 1
2



2

3

Giá trị cực tiểu của T ứng với quá trình thuận nghịch, khi đó độ biến thiên entropy bằng
0. Vì
∆S = c = 2λ ( T - T)
∆S =
c = 2λ ( T - T)

22


Chuyên đề nhiệt học
với ∆S + ∆S = 0, ta có:

Đinh Ngọc Tuyến
T f min

 T 12 + T 12
2
= 1

2








2

Vậy khoảng nhiệt độ khả dĩ là: T ≤ T ≤ T
b. Công được sinh ra cực đại ứng với nhiệt độ T, tức là khi động cơ nhiệt thuận nghịch
sinh công cực đại
A = - (Q + Q) = [T + T - 2 ( ) ]
với λ =
Bài 16. Chu trình động cơ Diesel được biểu diễn như hình vẽ
1-2: Nén đoạn nhiệt không khí
2-3: Nhận nhiệt đẳng áp (phun nhiên liệu vào xi lanh, nhiên
liệu cháy).
3-4: Dãn đoạn nhiệt
4-1: Thải khí (coi như nhả nhiệt) và nạp khí mới.
(Thực ra thì thải khí là cả quá trình 4561 nhưng 56
và 61 triệt tiêu nhau về công và nhiệt).
Đặt ε =

V1
V3
gọi là tỉ số nén; ρ = gọi là hệ số nở sớm.
V2
V2

p
p

2

3
4

p

6
Tính hiệu suất của chu trình theo tỉ số nén, hệ số nở sớm và tỉ số đoạn nhiệt?
O V
Lời giải:
V

Động cơ Diesel:
Kì 1: (nạp). Van nạp mở, chỉ có không khí đi vào xi
lanh, pitông đi từ điểm chết trên đến điểm chết dưới
Khi pitông ở điểm chết dưới thì van nạp đóng
Kì 2: (Nén). Pitông đi từ điểm chết dưới lên điểm
chết trên, không khí bị nén, áp suất tăng, nhiệt độ
tăng. Ở cuối kì dầu được phun vào và do nhiệt độ
cao nên tự cháy
Kì 3: (Nổ). Dầu cháy, khí giãn nở sinh công, pitông
đi từ điểm chết trên xuống điểm chết dưới
Kì 4: (Xả). Pitông bắt đầu rời điểm chết dưới đi lên
thì van xả mở.
Khi pitông đến điểm chết trên thì van xả đóng
và van nạp mở, bắt đầu chu trình mới
@ Do không có Bugi nên để nhiên liệu cháy cần
nhiệt độ cuối kì II cao, do đó tỉ số nén ε cần khá
lớn (12-20)

Van nạp

Vòi phun

1-5
V

V

Van xả

Quá trình 1-2 là một quá trình nén khí đoạn nhiệt nên không khí không nhận nhiệt lượng,
ta có:
γ −1
1 1

TV

γ −1
2

= T2. V

⇒

T2  V1 
 
T1 =  V2 

γ −1

1

= ε γ −1
(1)
Quá trình 2-3 là quá trình dầu cháy, chất khí nhận nhiệt, thể tích tăng sớm đẳng áp đến
giá trị V2

23


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

T3 V3
= = ρ
T2 V2

(2)

Nhiệt lượng chất khí nhận được:Q = nCp.(T3-T2)= nCp.T2(

T3
-1) = nCpT2( ρ -1)
T2

(3)

Quá trình 3-4 là quá trình giãn khí đoạn nhiệt, thể tích tăng từ V3 đến V4
γ −1

γ −1

T3 V3 = T4. V4
(4)
Quá trình 4-1: (Coi như là chất khí toả nhiệt cho nguồn lạnh, áp suất và nhiệt độ giảm
đẳng tích)
Nhiệt lượng mà chất khí toả ra có độ lớn: Q’ = nCv(T4-T1) = nCVT1(
Từ (1) và (4) suy ra:
Từ (2) và (6) suy ra:

T4
T V 
= 3  3 
T1
T2  V2 

T4
-1)
T1

(5)

γ −1

T4
= ργ
T1

(6)

(7)

Thay (7) vào (5): Q’=nCVT1( ρ γ -1)
. Hiệu suất của chu trình:
H =

Q'
T2 CV ρ γ − 1
Q − Q'
1 1 ργ −1
ργ −1
= 1- Q = 1- .
=1- γ −1 . .
= 1- γ −1
T1 CP ρ − 1
Q
γ ρ −1
γε ( ρ − 1)
ε

Bài 17: Tính biến thiên entropy trong quá trình đông đặc của bezen dưới áp suất 1atm đối
với hai trường hợp sau:
1. đông đặc ở t = + 5 0 C
2. đông đặc ở t = - 5 0 C
Nhiệt độ đông đặc của bezen là + 5 0 C với nhiệt độ nóng chảy ∆Qnc = 9,916kJ / mol và (C P
) C H 6 (l ) = 126,8 J / K .mol , (C P ) C H ( r ) = 122,6 J / K .mol . Từ đó ta có thể suy ra quá trình
này có phù hợp với thực tế hay không và quá trình xảy ra như thế nào?
Lời giải:
1. Quá trình đông đặc của bezen ở + 5 0 C là một quá trình đông đặc bình thường, thuận
nghịch và đẳng nhiệt. Nhiệt đông đặc của benzen là :

6

6

6

∆H đđ = −∆H nc = −9,916kJ / mol = −9,916.10 3 J / mol

Biến thiên entropy trong quá trình đông đặc này là:

∆Qđđ − 9,916.103
∆S C6 H 6 (hê) =
=
= −35,67 J / k .mol
T1
5 + 273
∆Qnc 9,916.103
∆S C6 H 6 (mt ) =
=
= 35,67 J / k .mol
T1
5 + 273
∆ Scô lập = ∆Shệ + ∆Smôi trường

= -35,67 + 35,67 = 0
Vì nguồn nhiệt bên ngoài( là môi trường) nhận được một nhiệt lượng là 9916 J mỗi khi
có 1 mol bezen đông đặc.
2. Giữa benzen chậm đông đặc ở -5 0 C và bezen rắn cùng ở -5 0 C không có cân bằng nhiệt
động. Vì vậy, quá trình đông đặc này là một quá trình không thuận nghịch . Như vậy ∆S
được tính theo sơ đồ sau:

∆S =?
→ C 6 H 6 (r ,− 5 0 C )
C 6 H 6 (l,-5 0 C ) 

24


Chuyên đề nhiệt học

Đinh Ngọc Tuyến

↑ ∆S 3
0
S2
C 6 H 6 (l ,+5 C ) ∆→
C 6 H 6 ( r , +5 C )
↓ ∆S 1

0

Khi đó:

278

∆S1 =

∫C

278

p (l )

268

dT
dT
 278 
= ∫ 126,8.
 = 4,64J/K.mol
= 126,8.ln 
T
T
 268 
268

∆S 2 = −35,67 J / K .mol
268

268

dT
dT
 268 
∆S 3 = ∫ C p .
= ∫ 122,6
= 122,6.ln( 
 = -4,49J/K.mol
T
T
 278 

278
278

Vậy biến thiên entropy trong cả quá trình này là:

∆S 3 = ∆S1 + ∆S 2 + ∆S 3 = 4,64 − 35,67 − 4,49 = −35,52 J / K .mol
Tính ∆S : quá trình này thục tế xảy ra ờ -5 0 C nên phải tính nhiệt đông đặc theo định luật

Kirchoff( xem λ tương đương với ∆H )
268

λ 268 = λ278 + ∫ ∆C P
278

dT
= -9916 +
T

268

268

278

278

∫ (122,6 − 126,8)dT = -9916 +

∫ (−4,2)dT

= -9874 J

Vậy môi trường thực tế nhận 9874 J và
Q
9874
∆S mt = mt =
= 36,84 J/ K
Tmt
268
∆S cô lập= -35,52 + 36,84 = 1,32 J/K
Khi đó ta thấy kết quả này phù hợp với thực tế đồng thời quá trình này tự xảy ra vì ∆S cô
lập > 0
p

Bài 18. Khí lý tưởng lưỡng nguyên tử thực hiện chu trình
như hình vẽ.
Tính công A mà khí sinh ra và nhiệt nhận được trong một
chu trình. Biết 12 và 41 là quá trình polytropic; 23 là quá
trình đẳng nhiệt; 34 là quá trình đẳng tích.
Lời giải:
Xét quá trình 12 :
0
Do đây là quá trình polytropic nên ta có :
p1V2 n = p2V2 n → n = ln

2

1

4

3
V

p1
V
: ln 2 = −1
p2
V1

Tương tự, chỉ số polytropic của quá trình 14 là n’=-

1
2

Từ n= -1 suy ra pV-1 = hằng số hay p=aV .
Đồ thị biểu diễn 12 là đoạn thẳng
Giá trị đại số của công A sinh ra có thể tính bằng tổng đại số 2 diện tích
S = S(A123B) + S(B341A)
Có :

Từ đó ta có :

1
( p1 + p2 ) (V2 − V1 ) + p2V2 ln 2
2
3
p2V2 + p2V2 ln 2
=
8

− p1V1 + p4V4
14
= − p2V2
S(B341A) =
n '− 1
12

S(A123B) =

25