Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức

SKKN: K THUT CHN IM RI TRONG BT NG THC

I. L DO CHN TI
Cú th núi rng bi toỏn bt ng thc núi chung v bi toỏn tỡm GTNN,
GTLN núi riờng l mt trong nhng bi toỏn c quan tõm n nhiu cỏc k
thi hc sinh gii, tuyn sinh i hc,v c bit hn na l vi xu hng ra
chung ca B GD T. Trong k thi tuyn sinh i hc thỡ bi toỏn bt
ng thc l bi toỏn khú nht trong thi mc dự ch cn s dng mt s bt
ng thc c bn trong Sỏch giỏo khoa nhng hc sinh vn gp nhiu khú khn
do mt s sai lm do thúi quen. Trong quỏ trỡnh tr c tip ging dy v nghiờn
cu t i thy õy l dng toỏn kh ng ch khú m c n khỏ hay, l i cun c cỏc
m hc sinh khỏ gii giỳp hc sinh hiu sõu hn v bi toỏn c c tr c bit
l cỏc trng hp du ng thc xy ra, t i vit chuyờn K thut chn im
ri trong bt ng thc, vit sỏng kin kinh nghim v trao i vi ng
nghip.
ng trc th c trng trờn, vi tinh thn yờu thớch b m n, nhm giỳp
cỏc m hng thỳ hn, to cho cỏc m nim am mờ, yờu thớch m n toỏn, m ra
mt cỏch nhỡn nhn, vn dng, linh hot, sỏng to cỏc kin thc hc, to nn
tng cho cỏc hc sinh t hc, t nghiờn cu. c s ng viờn, giỳp ca cỏc
thy trong hi ng b m n Toỏn ca s GD, Ban Giỏm hiu, ng nghip trong
t Toỏn Tin hc trng T

T hm Rng . T i mnh dn vit chuyờn

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bt ng thc.
II. THC TRNG TRC KHI THC HIN CC GII PHP CA TI

1. Thun li
- Kin thc c hc, cỏc bi tp c luyn tp .
-

c sinh hng thỳ trong tit hc, phỏt huy c kh nng sỏng to, t

hc v yờu thớch m n hc.
- Cú s khớch l t kt qu hc tp ca hc sinh khi th c hin chuyờn .
- c s ng viờn ca BG , nhn c ng viờn v úng gúp ý kin
cu ng nghip.
2. Khú khn
Giỏo viờn: Lờ Th Thy

1


SKKN: K THUT CHN IM RI TRONG BT NG THC

- Giỏo viờn mt nhiu thi gian chun b cỏc dng bi tp
- a s hc sinh yu bt ng thc bi toỏn tỡm GTNN, GTLN .
3. S liu thng kờ
Trong cỏc nm trc, khi gp bi toỏn liờn quan n bt ng thc bi toỏn
tỡm GTNN, GTLN s lng hc sinh bit vn dng c th hin qua bng sau:
Nhn bit,
nhng kh ng
bit vn dng

Khụng
nhn
bit
c
60
66,7

S lng
T l %)

20
22,2

Nhn bit v
bit vn dng
,cha gii c
hon chnh
9
9,9

Nhn bit v
bit vn dng ,
gii c bi
hon chnh
1
1.1

III. NI DUNG CHUYấN
1. C s lý lun
Cung cp cho hc sinh kh ng ch kin thc m c phng phỏp suy lun, kh
nng t duy. T nhng kin thc c bn phi dn d t hoc sinh cú c nhng kin
thc nõng cao mt cỏch t nhiờn ch kh ng ỏp t ngay kin thc nõng cao).
2. N i ung
2.1 BI TON M U

a, b 0
Bi toỏn 1. Cho

, tỡm GTNN ca
a b 1

P

1
1 a 2 b2



1
2ab

Gii
Li gii 1. Ta cú: P

1
1 a b
2

2



1
4
4
4
2

2
2
2
2ab a 2ab b 1 (a b) 1 2

1 a 2 b2 2ab
(a b)2 1 0

(voõnghieọ
m) . Vy kh ng
a b 1
a b 1

Du = xy ra
tn ti MinP...?..?
Li gii 2. Ta cú:
P

1
1 a b
2

2



1
1
4
1

4
1

2



2
2
6ab 3ab a 6ab b 1 3ab (a b) 1 4ab 3ab
2

1
ab
Mt khỏc ab
. Vy P
4
2

Giỏo viờn: Lờ Th Thy

4
ab
2

2

2

1
ab
6

2

2



8
3

2


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

1  a 2  b2  3ab

1
Dấu “=” xảy ra  a  b
ab .
2
a  b  1


Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức
Lời giải 2 tại sao lại tách

1 1
4
 
. Lời giải 1 tại sao sai?
a b ab

1
1
1


?..? Làm sao nhận biết được điều đó…?
2ab 6ab 3ab

Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề
này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các
bài toán cực trị.
2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức qu n thuộc và có ứng dụng rất rộng
r i. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là c ng cụ
hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức.
* Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số th c kh ng âm a1, a2 ,..., an (n  2) ta luôn có:
a1  a2  L  an n
 a1a2 ...an . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  L  an .
n

* Một vài hệ quả quan trọng:





1 1
1
(a1  a2  L  an )    L    n2 vôù
i ai  0, i  1, n
an 
 a1 a2
1 1
1
n2
 L 

vôù
i ai  0, i  1, n
a1 a2
an a1  a2  L  an

Cho 2n số dương n  Z , n  2 ): a1, a2 ,..., an , b1, b2 ,..., bn ta có:
n

(a1  b1)(a2  b2 )...(an  bn )  n a1a2 ...an  n b1b2 ...bn

Trong chứng minh bất đẳng thức, đ i khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng
thức cơ sở kh ng được thuận lợi và dễ dàng. Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất
đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này
lu n được thỏa m n suốt quá trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian. Và bất
đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó. Để thấy được kĩ thuật

này như thế nào ta sẽ đi vào một số ví dụ sau:

Giáo viên: Lê Thị Thủy

3


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

Ví dụ 1: Cho a  3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+

1
a

Phân tích và tìm tòi lời giải
Xét bảng biến thiên của a,
a

3

1
a

1
3
1
3
3

S

1
và S để d đoán Min S
a

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1
4
1
4
4

1

5
1
5
5

1
6
1
6
6

1
7
1
7
7

1
8
1
8
8

1
9
1
9
9

1

10
1
10
10

1
11
1
11
11

1
12
1
12
12

….
….

30

1
30
…. 30 1
30

Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẵn đến
việc d đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu và tạo s ấn tượng ta
sẽ nói rằng Min S=

10
đạt tại “Điểm rơi : a=3”.
3

Do bất đẳng thức c si chỉ xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia
phải bằng nhau ,nên tại “Điểm rơi:a=3”ta kh ng thể sử dụng bất đẳng thức c si
1
1
vì 3  . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức
a
3
a
1
a 1


c si cho cặp số  ,  sao cho tại “điểm rơi:a=3”thì  tức là ta có lược đồ
 a
 a 

tr c tiếp cho 2 số a và

“điểm rơi” sau đây:
Sơ đồ:
a 3
  
1 3
   9
a=3  

3 
1  1
 a 3

Từ đó ta biến đổi th o sơ đồ “Điểm rơi”được nêu trên.
1  a 1  8a
a 1 8  3 10
Lời giải: S=a+ =    +  2.  +
=

9

a

a

9

Vậy với a=3 thì Min S=

9 a

9

3

10
3

Ví dụ 2: Cho a  6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a 2 +

18
a

Sơ đồ điểm rơi :
 18 36
 6  

a=6   2
 a  18
 a
6

Lời giải: S=a 2 +

 18 36
 6  
18 18

  2 6
 2

a
6
a
36
 

 

18
a

Giáo viên: Lê Thị Thủy

 a2

=

2 6



1  2
1  2
18  
a 2 18 


1


 a
+
a
2.
+ 1 

 


a  2 6
2 6 a  2 6

4


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

a a

=6.

6



+ 1 


6 6 
1  2
1  2
 1 
.6 =36 +3 6
a  6.
6  2 6
2 6

Vậy với a=6 thì Min S=2a+3. 6
 a, b  0

1
1
, tìm GTNN của biểu thức P  2 2   4ab .
ab
a b
a  b  1

Ví dụ 3: Cho 

Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
1
1
1
4
1
4
 1



 4ab  2 2

 4ab 

 4ab  .
2
2 
2ab 2ab
a b

a  b  2ab 2ab
(a  b)  2ab

1
1
 4ab  2
.4ab  2 2 . Vậy P  4  2 2 nên MinP  2(2  2)
Mặt khác
2ab
2ab

P

2

Sai lầm 2:
1
1 
1  1
4
1
1
1
1
   4ab 

2 4ab.

 4 2
 6


2
2
4ab  4ab (a  b)
2ab 4ab
4ab
4ab
a  b ab 
a 2  b 2  2ab

1
1
1

 a  b  . Thay a  b 
Dấu bằng xảy ra  a 2b2 
vào ta được
2
16
2

a  b  1

1
P  7  MinP  7 khi a  b  .
2
P

2

Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: ọc sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách

1
1
1


là
ab 2ab 2ab

do thói qu n để làm xuất hiện a2  b2  2ab  (a  b)2 .
a  b
 1

MinP  4  2 2  
 4ab  VN . Dấu “=” bất đẳng thức kh ng xảy ra 
 2ab
a  b  1

kh ng kết luận được MinP  4  2 2
Sai lầm 2:
ab

ọc sinh đ có khái niệm điểm rơi, d đoán được dấu bằng khi

1
1
nên đ tách các số hạng và MinP  7 khi a  b  là đúng, nhưng
2

2

bước cuối học sinh làm sai.
Ví dụ như (1 x)2  x  x , dấu bằng xảy ra khi x  1  Min ( x  1)2  x   1??.
Lời giải đúng:
Giáo viên: Lê Thị Thủy

5


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

là biểu thức đối xứng với a, b , ta d đoán MinP đạt tại a  b 

Do

1
, ta có:
2

1
1 
1  1
4
1
1


4
ab





2
4
ab
.

7


2
4ab  4ab (a  b)2
2ab
a2  b2 2ab 
 ab
4

 2 
a 2  b 2  2ab

1
1

ab .
Dấu bằng xảy ra  a 2b2 
16
2


a  b  1

 a, b  0
1
1
1
Ví dụ 4: Cho 
, tìm GTNN của biểu thức S  3 3  2  2 .
a b
a b ab
a  b  1
P

Sai lầm thường gặp:
Ta có:
1
1
1
2
2
9
2 1
1 
 2 
 2 
 3 3
  2  2
3
2
2

2
2
3  a b ab 
a b
3a b 3ab
3a b 3ab
a  b  3a b  3ab
9
2 1  1 1
2
4
59


.


9

.

2
(a  b)3 3 ab  a b 
 ab ab 3
3.

 2 
59
MinS 
3

a3  b3  3a2b

59
Nguyên nhân sai lầm: MinS 
 a  b
(vn)
3
a  b  1

S

3

Lời giải đúng:
Ta d đoán dấu bằng xảy ra khi a  b 

1
, và ta thấy:
2

a3  b3  3a2b  3ab2  (a  b)3 vì thế ta muốn xuất hiện (a  b)3 , ta áp dụng bất
1
1
1
đẳng thức 3 3  2 
và nếu vậy:
a  b 2a b 2ab2
1
1
1

9



a 3  b3 2a 2b 2ab 2 (a  b)3  ab(a  b)

Ta kh ng đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:
S

1
1
1
1
1
25
 2 
 2 


3
2
2
3
a  b 2a b 2ab 2a b 2ab
(a  b)  ab(a  b)
3

Dấu bằng xảy ra khi a  b 

Giáo viên: Lê Thị Thủy

25
 20
3
3 ( a  b)
( a  b) 
4

1
.
2

6


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bunhia
Cũng như bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức này cũng cần có một
phương pháp để cân bằng các hệ số khi ta giải các bài toán liên quan đến bất
đẳng thức này.
* Bất đẳng thức Bunhia
Cho 2n số dương n  Z , n  2 ): a1, a2 ,..., an , b1, b2 ,..., bn ta có:
(a1b1  a2b2  L  anbn )2  (a12  a22  L  an2 )(b12  b22  L  bn2 )
a
a
a
Dấu “=’ xảy ra  1  2  L  n (quy öôùc neáu bi  0  ai  0)
b1 b2
bn

* Một vài hệ quả quan trọng
Dạng 1: a1 2  a22  ....  an2 b12  b22  ...bn2   a1 b1  a2 b2  ....  an bn 

2

Dạng 2: a12  a22  ...  an2  b12  b22 ...  bn2   a1b1  a2 b2 .....an bn
Dạng 3: a12  a22  ...  an2  b12  b22  ...  bn2   a1 b1  a2 b2  ...  an bn
Dấu bằng: Dạng 1, dạng 2 

a
a
a1 a 2
a
a

 ....  n ;dạng 3  1  2  ...  n  0
b1 b2
bn
b1 b2
bn

a, b, c  0
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a  b  c  6

Ví ụ 1:Cho 

S= a 2 

1
1
1
 b2  2  c2  2
2
b
c
a

hân tích và tìm t i lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:





Dấu bằng xẩy ra 

[a12  a 22 ] b12  b22  a1b1  a 2 b2

a1 a 2

0
b1 b2

Ý nghĩa: chuyển đổi một biểu thức ở trong căn thành một biểu thức khác ở ngoài
căn. Xét đánh giá giả định với các số α, β
a2 

+

1
1

2
b
2 2

1
1
b  2 
2
c
 2
2

c2 

1
1

2
2
a
 2

Giáo viên: Lê Thị Thủy

 2  1 2  2
1
2

a        
 b  
2 2








 a  
b


 2  1 2  2
1


2
 b  
b   2      
2
2
a
 c  
  






 2  1  2
1
2
c   a      
2
 

 2







 c  
a


(1)
(2)
(3)

7


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC




 1 1 1 
 (a  b  c)    a  b  c   S 0




1

S

2 2

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên d đoán S=S o tại điểm rơi
a=b=c=2, khi đó tất cả các bất đẳng thức 1), 2), 3) đồng thơi xảy ra dấu bằng
tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau:

Sơ đồ: a=b=c=2 

a
1

b b
b
1
 a b c 4


   


 c
 1 1 1 1
b c a
c
1

 a

 4
 1

Kết hợp với biến đổi th o “kỹ thuật điểm rơi trong cối ” ta có lời giải sau:
Lời giải đúng:

+

a2 

1
1  2 1  2 2
1 
1

 a  2 (4  1 ) 
 4a  
2
b

b
b 
17 
17 

b2 

1
1  2 1 2 2
1 
1

 b  2 (4  1 ) 
 4b  
2
c
c
c 
17 
17 

c2 

1
1  2 1  2 2
1 
1

 c  2 (4  1 ) 
 4c  

2
a
a
a 
17 
17 

________________________________
1 
1 1 1
1 15
 a b c 1 1 1 
(a  b  c)        
 4a  4b  4c     

a b c
17 
17  4
 4 4 4 a b c 
1  15
a b c 1 1 1
1
3 17
  6  66       


4 4 4 a b c 
2
 45


17  4
17   3 
 2

3 17
Với a=b=c=2 thì Min S=
2

 S

a,b,c > 0

Ví ụ 2: Cho

Tìm Min của S=

a2 

1
1
1
 b2
 c2 
bc
ca
ab

abc  6

Bình luận và lời giải

Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với các số  , 

Giáo viên: Lê Thị Thủy

8


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

 2  1 2  2

     2  a 
a  
bc
 b  c  


(1)

 2  1 2  2

     2  b 
b  
ca
 c  a  


(2)

 2  1 2  2


     2  c 
c  
ab
 a  b  


(3)





+








_________________________________




 2   2 .S   (a  b  c)   





1
 S
 a  b  c    
2
2

  



ab
bc
ca 
1
1
1 


  S o
ab
bc
c  a 
1



1



1

Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đoán S=So tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó
các bất dẳng thức 1), 2), 3)đồng thời xảy ra dấu bằng tức là có sơ đồ điểm
rơi sau đây:
*Sơ đồ điểm rơi:
a

a=b=c=2 

1
 b
b
1
 a b c 4

     
 b
 1 1 1 1
b c a
c
1

 a


 4
 1

Từ đó ta có lời giải sau đây:
*Lời giải đúng:
 2  1 2  2 2
1
  (4  1 )  4a 
a  
bc
 b  c  


+

 2  1 2  2 2
1
  (4  1 )  4b 
b  
ca
 c  a  

 2  1 2  2 2
1
 (4  1 )  4b 
c  
ab
 a  b  




 1
1
1 

17 .S  4(a  b  c)  


bc
ca
 ab

Giáo viên: Lê Thị Thủy

9


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

3

 4(a  b  c) 
3

 4(a  b  c) 

a  b. b  c. c  a
9

 4(a  b  c) 

9
ab  bc  ca
 4(a  b  c) 

(12  12  12 )a  b   b  c   c  a 
31
abc
9
9
 ( a  b  c) 


8
8
2 6(a  b  c) 2 6(a  b  c)
3



9
6(a  b  c)

31
abc
9
9
93 9 51
 6  33

.


 
8
8
4 4 2
2 6(a  b  c) 2 6(a  b  c)

S

51



2 17

3.17 3.17

.
2.17
2

Với a=b=c=2 thì min S=

3 17
2

Ví ụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+ 2abc  10. Chứng minh rằng
S=

8 9b 2 c 2 a 2

8 9c 2 a 2 b 2






2
4
2
4
a2
b2

8 9a 2 b 2 c 2


6 6
2
4
c2

*Lời giải:
D đốn điểm rơi: a = b = c = 2
Sử dụng bất đẳng thức bunhiac pski có:

+

2  18  4 .

8 9b 2 c 2 a 2 4


  9b  ca
2
4
a
a2

2  18  4 .

8 9c 2 a 2 b 2 4


  9c  ab
2
4
b
b2

2  18  4 .

8 9a 2 b 2 c 2 4


  9a  bc
2
4
c
c2

_______________________________
 1 1 1
 24 .S  4    +9(a+b+c)+ab+bc+ca
a b c
4
 4
 4

   a     b     c   (2a  bc)  (2bb  ca)  (2c  ab)  6(a  b  c)
a
 b
 c


4
4
4
a 2
b  2
 c  2 abc  2 abc  2 abc  6(a  b  c)
a
b
c
 12  6(a  b  c  2abc )  12  6.10  72  S  72 / 24  6 6

2

* Bài tập tương tự (trích dẫn trong các đề thi đại học)
 x, y, z  0

, chứng minh rằng:
 xyz  1

Bài1: Cho 

m  x3  y3
m  y3  z3
m  z 3  x3


 3 3 , với
xy
yz
zx
m  N  : Nế
u m  1 làđềthi Đại học khố
i D nă
m 2005
Giáo viên: Lê Thị Thủy

10


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 2: Cho x, y, z là 3 số thỏa x  y  z  0 , chứng minh rằng:
3  4x  3  4 y  3  4z  6 (đề tham khảo 2005)

ab c  4  bc a  2  ca b  3
abc

3
Bài 4: Cho a, b, c là các số dương thỏa m n a  b  c  .
4
Chứng minh rằng: 3 a  3b  3 b  2c  3 c  3a  3 (ĐTK 2005)

Bài 3: Cho a  2, b  3, c  4 , tìm GTLN: P 

a,b, c  0
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
a

b

c

1

1
1 1 1
P 2 2 2
 
ab bc ca
a b c
1
1
1
1 1 1
S 2 2 2 2 2

 

a b
b c
c  a 2 ab bc ca
1
1
1
1 1 1
Q 2
 2
 2

 
a  bc b  ca c  ab ab bc ca

Bài 5: Cho 

Chú ý:
Cần chú ý hai bất đẳng thức C si và Bunhiac pxki, biết được các dấu
hiệu khi nào dùng bất đẳng thức nào. hát hiện các dấu hiệu như có các bình
phương thì thường phải nghĩ tới Bunhiacopxki, có điều kiện các số dương thì
khả năng nghĩ tới C si. Cách giải phải đi ngược qui trình th ng thường. Đầu tiên
phải d đoán được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất
đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đ d đoán…
IV. KẾT QỦA
Chuyên đề này đ được th c hiện giảng dạy khi t i tham gia dạy 10NC và
Luyện thi Đại học trong hai năm gần đây. Trong quá trình học chuyên đề này,
học sinh th c s thấy t tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo
cho học sinh niềm đam mê, yêu thích m n toán, mở ra cho học sinh cách nhìn
nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đ học, tạo nền tảng cho học
sinh t học, t nghiên cứu.

Kết quả sau khi th c hiện chuyên đề:

Giáo viên: Lê Thị Thủy

11


SKKN: K THUT CHN IM RI TRONG BT NG THC

S lng
T l %)

Khụng
nhn
bit
c
0
0.0

Nhn bit,
nhng kh ng
bit vn dng
3
3.3

Nhn bit v
bit vn dng
,cha gii c
hon chnh
50

55.6

Nhn bit v
bit vn dng ,
gii c bi
hon chnh
37
41.1

V. GII PHP MI
Dng toỏn Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bt ng thc núi
chung rt a dng v phong phỳ. Mi bi toỏn li cú rt nhiu cỏch gii khỏc
nhau, vic l a chn s dng linh hot cỏc kin thc hc s lm cho hc sinh
phỏt trin t duy sỏng to. Chuyờn ny ch mang tớnh cht gi m cung cp
cho hc sinh cỏch nhỡn mi, phỏt huy s sỏng to. t kt qu cao hc sinh
cn luyn tp nhiu, cú thờm nhiu thi gian su tm cỏc ti liu tham kho
liờn quan.
VI. THC TIN GING DY
1. Quỏ trỡnh ỏp ng
Bng mt chỳt vn hiu bit v kinh nghim ging dy mt s nm, t i
h thng c mt s kin thc liờn quan, su tm v tớch ly c mt s bi
tp phự hp th o mc t d n khú cho hc sinh tham kho t gii.
2. Hiu qu sau khi s ng
Sau khi hc sinh hc xong chuyờn ny hc sinh thy t tin hn, hng thỳ
hn, to cho hc sinh nim am mờ, yờu thớch m n toỏn, m ra mt cỏch nhỡn
nhn, vn dng, linh hot, sỏng to cỏc kin thc hc, to nn tng cho hc
sinh t hc v t nghiờn cu.
3. Bi hc kinh nghim
T th c t ging dy chuyờn ny, mt kinh nghim c rỳt ra l trc
ht hc sinh phi n m ch c cỏc kin thc c bn, bit vn dng linh hot cỏc

kin thc ny, t ú mi dy cỏc chuyờn m rng, nõng cao, kh c sõu kin
thc mt cỏch hp lý vi cỏc i tng hc sinh nhm bi d ng nng khiu,
rốn k nng cho hc sinh.

Giỏo viờn: Lờ Th Thy

12


SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó
hình thành kỹ năng, phương pháp giải. Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều
dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy của học sinh.
VII. KẾT LUẬN
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp
lý, ng n gọn thú vị và độc đáo là một việc kh ng dễ. Do đó đây chỉ là một
chuyên đề trong rất nhiều chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương
pháp để giúp phát triển tư duy, s sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết
phải cung cấp cho học sinh n m ch c các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp
cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân
dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, b t đầu từ đâu
và b t đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh kh ng sợ khi đứng trước
một bài toán khó mà dần dần tạo s t tin, gây hứng thú say mê m n toán, từ đó
tạo cho học sinh tác phong t học, t nghiên cứu.
Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khu n khổ thời gian có
hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình.
Rất mong s đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để
chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.

VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.
3.
4.
5.

Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008
Tạp chí Toán học và tuổi tr năm 2010.
Các dạng Toán LT Đ của han uy Khải- NXB à Nội năm 2002
263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục
Bất đẳng thức của Trần Văn ạo-NXB Giáo Dục năm 2009
Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2013
Người th c hiện

Lê Thị Thuỷ

Giáo viên: Lê Thị Thủy

13