hinh vi phan hoan chinh 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN

BÀI TIỂU LUẬN

GVHD: NGUYỄN HÀ THANH
NHÓM 3B TOÁN K35

Danh sách sinh viên làm bài tiểu luận hình học nhóm 3B - khoa toán
khóa K35:
1.
2.
3.
4.
5.

NIÊN KHÓA 2011-2012
Dương Thị Mỹ Nguyệt
Lê Thị Hồng Nhung
Dương Thị Tuyết Như
Nguyễn Huỳnh Như
Nguyễn Thị Thu Oanh


6.
7.
8.
9.
10.

NHÓM 3B

Tống Thị Kim Oanh
Lê Thanh Phong
Nguyễn Quang Phú
Phạm Chí Thành
Hà Thị Thu Thủy

Page 2


Lời nói đầu
Hình học là một trong những phân nhánh chủ yếu và quan trọng của toán học. Ở trường phổ
thông hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclide. Trong đó các vật thể hình
học được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu, quan hệ so sánh giữa các vật thể hình
học được thực hiện bởi các phép dời hình. Ở bậc dại học,đại số tuyến tính và hình học giải
tích thì đối tượng được xét đến là các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và
các mảnh bậc 2 tổng quát. Các quan hệ so sánh ở đây được xét như các phép biến đổi tuyến
tính hoặc affin. Đối với hình học đại số, bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cứu các
đường, mặt hoặc siêu mặt bậc 3 hay tổng quát hơn cho bậc bất kì. Và phép biến đỏi được
dùng ở đây là các phép biến đổi đa thức hoặc song hữu tỉ.
Tất cả những quan điểm nói trên được phát triển trong cùng một ngữ cảnh của hình học vi
phân, trong đó các vật thể được cấu tạo từ các mảnh tham số hóa. Và phương pháp nghiên
cứu chủ yếu của hình học vi phân là sử dụng các phép tính vi tích phân trong không gian
Euclide

kết hợp vớic các phương pháp topo, topo đại số, phương pháp tổ hợp, phương

trình vi phân,... để tìm ra tính chất của các đối tượng hình học .
Trong bài tiểu luận này chúng tôi chỉ trình bày một mảng kiến thức nhỏ trong hình học

vi phân đó là kiến thức về đường cong và một số tính chất của chúng. Bài tiểu luận gồm các
chưong sau:
Chương 1: Nhắc lại một só kiến thức về hàm véctơ và một số phép toán của hàm
véctơ
Chương 2: Nghiên cứu lý thuyết về đường cong trong không gian Euclide-n chiều
như

đường và biểu diễn giải tích của đường cong.

Chương 3,4,5,6: Một số tính chất của đường cong như độ dài cung, độ cong , độ
xoắn, tiếp tuyến, mặt phẳng mật tiếp của đường cong…
Chương 7: Những kiến thức cơ bản về tam diện Frenet.
Chương 8: Một số bài tập về đường cong trong tài liệu hình học vi phân của
Dorcamo.
Chương 9,10: Một số bài tập và ứng dụng chủ yếu của hình học vi phân trong toán
học và trong các ngành khoa học khác.

NHÓM 3B

Page 3


Chúng em vô cùng cảm ơn TS Nguyễn Hà Thanh đã cung cấp cho chúng tôi những kiến thức
và tài liệu quý báu để hoàn thành bài tiểu luận này. Mặc dù đã có hiều cố gắng trong việc
biên soạn nhưng bài tiểu luận cũng không tránh khỏi những sai sót, vì vậy chúng tôi rất mong
nhận được được những ý kiến đóng góp của thầy và bạn đọc để bài tiểu luận được hoàn thi

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU........................................................................................................................3
CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN n-CHIỀU VÀ HÀM VÉCTƠ. 8

Lí thuyết.........................................................................................................................................8
Không gian
.......................................................................................................................................8
Các khái niệm................................................................................................................................8
Các định lý.....................................................................................................................................9
Các phép toán của hàm véctơ........................................................................................................9
Đạo hàm và công thức tính đạo hàm của hàm véctơ...................................................................10
Bài tập..........................................................................................................................................11
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐƯỜNG CONG............................................................................23
1. Lý thuyết..........................................................................................................................23
1.1. Tham số hoá đường cong...............................................................................................23
1.2. Đường tham số chính quy..............................................................................................26
1.3. Đường tham số tương đương.........................................................................................27
1.4. Đường tham số tự nhiên.................................................................................................29

1.5. Biểu diễn giải tích cuả đường cong.............................................................................33
1.51 Đường cong phẳng..............................................................................................33
1.51a Biểu diễn tham số ..........................................................................................34
1.51b Biểu diễn tường minh ....................................................................................34
1.51c Biểu diễn ẩn....................................................................................................35
1.52 Đường cong trong không gian............................................................................36
1.52a Biểu diễn tham số...........................................................................................36
1.52b Biểu diễn tường minh.....................................................................................37
1.52c Biểu diễn ẩn....................................................................................................37
2. Bài tập..............................................................................................................................37

CHƯƠNG 3: ĐỘ DÀI CUNG....................................................................................................58
1. Lý thuyết..........................................................................................................................58
2. Bài tập..............................................................................................................................59

NHÓM 3B

Page 4


CHƯƠNG 4: TIẾP TUYẾN VÀ MẶT PHẲNG PHÁP TUYẾN.............................................64
1. Lý thuyết..........................................................................................................................64
1.1 Tiếp tuyến và pháp tuyến................................................................................................64
1.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến............................................................................67
1.21 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong có biểu diễn dạng tham số....67
1.22 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong có biểu diễn dạng tường minh

........................................................................................................................................68
1.23 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong có biểu diễn dạng ẩn.......69
Bài tập...................................................................................................................................71
CHƯƠNG 5: MẶT PHẲNG MẬT TIẾP....................................................................................82
1. Lí thuyết...........................................................................................................................82
a) Đường cong song chính quy và mặt phẳng mật tiếp.......................................................82
2

a.1 Định nghĩa
a.2 Định lí
b) Ý nghĩa hình học.............................................................................................................83
2. Bài tập..............................................................................................................................84

CHƯƠNG 6: ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN..................................................................................88
1. Lý thuyết..........................................................................................................................88
a) Độ cong.................................................................................................................88
b) Độ xoắn.................................................................................................................90
2. Bài tập............................................................................................................................100

CHƯƠNG 7: TAM DIỆN FRENET.........................................................................................107
1. Tam diện frenet của đường tham số..............................................................................107
2. Sự thay đổi của tam diện frenet qua phép biến đổi tham số..........................................113
3. Đường cong định hướng. tam diện frenet của đường cong định hướng.......................114
CHƯƠNG 8: ĐỊNH LÍ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT................................................................116
1. Sự biến đổi của tam diện frenet qua phép dời hình.......................................................116
2. Định lí duy nhất.............................................................................................................118
3. Định lí tồn tại.................................................................................................................119

CHƯƠNG 9: BÀI TẬP BỔ SUNG ..........................................................................................123
CHƯƠNG 10: ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN......................................................149
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................................166

NHÓM 3B

Page 5


CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG
GIAN n – CHIỀU VÀ HÀM VECTƠ.

Phép tính vi phân là một trong các công cụ chủ yếu của hình học vi phân. Trong đề mục này ta
nhắc lại một số khái niệm, định lý cơ bản của phép tính vi phân trong không gian

và nghiên

cứu các tính chất của hàm vectơ.
LÝ THUYẾT:

I.

1. KHÔNG GIAN

Với n là số tự nhiên, đặt:

Mỗi phần tử
của

là một bộ thứ tự n số thực,

. Trên

Khi đó
2.

Cho

là tập mở trong

1. Hàm

2. Hàm

NHÓM 3B

là thành phần thứ

ta xác định hai phép toán cộng và nhân:

là không gian vectơ trên

CÁC KHÁI NIỆM

tại

với

.

, hàm vectơ

được gọi là liên tục tại

nếu các hàm

liên tục

.
được gọi là liên tục trên

nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc

Page 6

.


3. Hàm

được gọi là khả vi tại

nếu các hàm

khả vi tại

.
4. Hàm

được gọi là khả vi trên

5. Hàm

được gọi là thuộc lớp

nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc
nếu các hàm

.
có đạo hàm riêng

liên tục đến cấp .
3. CÁC ĐỊNH LÝ:
a) Định lý 1: (Biểu thức tính đạo hàm nhờ đạo hàm riêng)
Cho

khả vi tại

tồn tại các đạo hàm riêng

. Khi đó

và ta có:

b) Định lý 2: (Tiêu chuẩn khả vi)

Cho

và

đạo hàm riêng của

. Nếu tất cả các

đều tồn tại trên một tập mở chứa

và liên tục

tại

thì hàm
khả vi tại .
c) Định lý 3: (Định lý hàm ẩn địa phương)
Cho

là tập mở trong

khả vi liên tục sao cho

và

và

sao cho:

NHÓM 3B

. Giả sử

. Khi đó tồn tại các lân cận

để

Page 7

. Ở đây


là hàm khả vi và được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình

.
d) Định lý 4: (Định lý hàm ngược địa phương)
Cho

là tập mở trong

và

khả vi liên tục và

Khi đó tồn tại các lân cận mở

sao cho

là một vi phôi lớp

. Tức là tồn tại hàm ngược

gọi là hàm ngược địa phương của

.
4. CÁC PHÉP TOÁN:

Lấy

và

là hai hàm vectơ và

là hàm số thực (vô hướng):

Ta định nghĩa:
+) Phép cộng:

NHÓM 3B

là điểm chính qui của

Page 8

trong lân cận của điểm

+) Phép nhân với một hàm vô hướng:

+) Tích vô hướng của hai hàm vectơ:

Với

.

+) Tích có hướng của hai hàm vectơ:

5. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ:

+)

+)

+)

+)

NHÓM 3B

Page 9


BÀI TẬP:

II.

Bài 1: Cho hàm vectơ khả vi trong
hàm khả vi

a.

với

. Chứng minh các kết quả sau đây:

.

b.

.

c.

.

d.

.

e.

.

Chứng minh:
Không mất tính tổng quát ta giả sử:

a. Ta có:

NHÓM 3B

và

Page 10


b. Ta có:

c. Ta có:

d. Ta có:

e. Ta có:

Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau đây:

NHÓM 3B

Page 11


.
Giải:

Giả sử:

Ta có:

Ta có:

. Suy ra:

. Suy ra:

Ta có:

Ta có:

Do

và

Ta có:

Ta có:

NHÓM 3B

. Suy ra:

Page 12


Bài 3: . Xác định kết quả sau đây có đúng không?

a.

b.

.

Giải:
Các kết quả trên không đúng.

Xét hàm vectơ

có

, suy ra

Ta có:

và

Ta có:

và

Bài 5: Cho hàm vectơ khả vi trên

. Rõ ràng

là

. Chứng minh rằng:

a.

.

b.

.

c.

d.

NHÓM 3B

. Rõ ràng

có phương không đổi

Nếu

.

và

thì

Page 13

nằm trong một mặt phẳng.

e.

Nếu

và

thì

nằm trên một

đường
thẳng
Chứng minh:

a. Ta có:

với
.(đpcm)

b. Ta có:

.(đpcm)
c. Ta có:

Suy ra

có phương không đổi

tồn tại vectơ không đổi

cùng phương. (vì cùng phương với

Ta có

với

do

Suy ra:

NHÓM 3B

nhân hai vế với

).

suy ra:

cùng phương tức là tồn tại

và hàm số

mặt khác

sao cho

ta có:

. Vậy

Page 14

có phương không đổi. (đpcm)

để:


d. Do

và

đặt

suy ra:

Lúc đó:

suy ra

cùng phương với

Vậy
Với

; mặt khác:

.

suy ra
là ảnh của

.

thì

và nhận

. Suy ra

có ảnh nằm trong mặt phẳng đi qua

làm vectơ pháp tuyến. (đpcm)

e. Ta có:

suy ra

có phương không đổi, tức là:

cùng phương, theo c) thì

với

là vectơ hằng khác vectơ

không.
Lấy tích phân hai vế, ta được:

Suy ra ảnh

với

nằm trên một đường thẳng đi qua điểm

(đpcm).

Bài 6: Cho các vectơ

a.

. Tìm giá các vectơ sau:

.

b.
c.

NHÓM 3B

.
.

Page 15

là vectơ hằng.

và có vectơ chỉ phương là

.

Xét trường hợp

cùng phương với

.

Giải:

Trong mặt phẳng

Ở đây điểm

chọn các điểm

di động, còn các điểm

sao cho:

cố định.

a. Ta có:

Xét

Suy ra:

Trên

không cùng phương với

thuộc mặt phẳng

.

chọn mục tiêu

chạy trên một parabol

Xét

thì:

cùng phương với

thì

.

. Suy ra:

. Suy ra:

NHÓM 3B

, suy ra: trên

, từ (1) suy ra:

thuộc đường thẳng

Page 16

điểm


Đặt

. Suy ra điểm

chỉ chạy trên nữa đường thẳng thuộc đường thẳng

.
b. Ta có:

Xét

không cùng phương với

Suy ra:

Trên

điểm

Xét

thì:

thuộc mặt phẳng

.

chọn mục tiêu

thì

chạy trên một elip

cùng phương với

. Suy ra: trên

.

. Suy ra:

, từ (2) suy ra:

. Suy ra:

Đặt

đoạn thẳng thuộc đường thẳng

. Suy ra điểm

.

c. Ta có:

NHÓM 3B

thuộc đường thẳng

Page 17

chỉ chạy trên một

.


Xét

không cùng phương với

Suy ra:

thì:

thuộc mặt phẳng

. Trên

. Suy ra: trên

hybebol

Xét

chọn mục tiêu

điểm

thì

chạy trên một

.

cùng phương với

. Suy ra:

, từ (2) suy ra:

. Suy ra:

Bài 7: Cho

thuộc đường thẳng

.

. Chứng minh rằng:

Giải:
Ta có:

Bài 8: Cho

và

không cùng phương. Chứng minh rằng : giá của

là một mặt phẳng.

NHÓM 3B

Page 18


Giải:

Ta có

Với :

 Chọn gốc toạ độ O

 Đặt

Không mất tổng quát ta gọi

là

.(

vì

là mặt phẳng qua

không cùng phương).

 Ta chứng minh
 Chứng minh

Lấy

NHÓM 3B

Page 19

và chứa giá của

có VTPT


Khi đó

(vì

)

 Chứng minh:

Lấy

,do

không cùng phương nên tồn tại

sao cho

Suy ra

Hay

Từ (1),(2) suy ra

Câu 9: Cho

,

hay giá của

,

,

với

,

,

là một mặt phẳng

độc lập tuyến tính. Tìm giá của các hàm

vecto sau đây:

a)
b)

c)

Giải :

NHÓM 3B

Page 20


Trong mặt phẳng

chọn sao cho:

sao cho :

a) Ta có:

,

Do

,

độc lập tuyến tính nên

không cùng phương

Khi đó:

Trên (P) chọn mục tiêu

:

Ta có:
suy ra : Trên (P ) điểm M chạy trên một parabolic.
b)

Ta có:

⇔

Do

NHÓM 3B

,

,

độc lập tuyến tính nên

không cùng phương

Page 21

Khi đó:

Trên (P) chọn mục tiêu

Ta có:

:

(mặt trụ)

suy ra : Trên (P ) điểm M chạy trên một mặt trụ.

c) Ta có:

Do

độc lập tuyến tính nên

không cùng phương

Khi đó:

Trên (P) chọn mục tiêu

Ta có:
suy ra : Trên (P ) điểm M chạy trên một mặt trụ hyperbolic.
d) Ta có:

NHÓM 3B

Page 22

(mặt trụ hyperbolic)


độc lập tuyến tính nên

Do

không cùng phương

Khi đó:

Trên (P) chọn mục tiêu

:

Ta có:

(paraboloic eliptic)

suy ra : Trên (P ) điểm M chạy trên một paraboloic eliptic.

Câu 10: Lập phương trình tham số của:
a)
b)
c)
d)
e)

Mặt cầu.
Elipxoit.
Paraboloit elliptic, paraboloit hyperbolic.
Hyperbolic 1-tầng.
Mặt trụ elliptic, hyperbolic.

GIẢI

a) Mặt cầu:

Phương trình

NHÓM 3B

là phương trình tham số của mặt cầu.

Page 23


b) Elipxoit:

Phương trình

là phương trình tham số của Elipxoit

c) Paraboloit elliptic

•

paraboloit hyperbolic:

d) Hyperbolic 1-tầng:

Phương trình

là phương trình tham số của Hyperbolic 1-tầng

e) Mặt trụ elliptic, hyperbolic.

Mặt trụ elliptic:

Đây là phương trình tham số của Mặt trụ elliptic

NHÓM 3B

Page 24


Mặt trụ hyperbolic:

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT ĐƯỜNG.
1. THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG.

Cho

là khoảng của

.

có thể là
Định nghĩa 1.1:

Một đường tham số lớp

trong không gian Euclide

Ta ký hiệu một đường tham số xác định như trên là:

là một

- ánh xạ:

hay đơn giản là

.
Lưu ý:

1. Một đường tham số

thuộc lớp

NHÓM 3B

thuộc lớp

.

Page 25

khi và chỉ khi