“PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 31 trang )
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
( NĂM HOC 2014 – 2015 )
________________________TÊN ĐỀ TÀI________________________
“PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ”
Giáo viên thực hiện: Trần Minh Tuấn
Đơn vị: Tổ Toán _ THPT Bà Rịa
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
1. Cơ sở lý luận:
Căn cứ công văn số 3399/CT-BGDĐT ngày 16 tháng 8 năm 2010 của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo;
Căn cứ phương hướng, nhiệm vụ trọng tâm của ngành Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Bà Rịa-Vũng
Tàu năm học 2014 – 2015; Sở Giáo Dục và Đào Tạo hướng dẫn các đơn vị thực hiện công tác
xây dựng đề tài nghiên cứu khoa học.
2. Cơ sở thực tiễn:
Phương trình vô tỷ được xem là một trong những phần kiến thức khá quan trọng ở chương
trình toán THPT, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, cũng như trong các đề thi tuyển
sinh đại học, cao đẳng. Hơn thế nữa, đây là phần kiến thức khó, đòi hỏi các em học sinh phải
thực sự am hiểu và có sự tinh tế trong việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng bài toán
đặt ra.
Qua quá trình giảng dạy ở trường, cũng như khảo sát kết quả trong các đợt thi tuyển sinh đại
học, cao đẳng những năm gần đây, tôi nhận thấy đa số các em học sinh còn gặp nhiều khó khăn,
và thường mất điểm khi tiếp xúc với những bài toán về giải phương trình vô tỷ, chính vì vậy, tôi
mạnh dạn viết đề tài này với mong muốn giúp các em học sinh hiểu rõ hơn, và giảm bớt lúng
túng khi đối diện với một số dạng toán về giải phương trình vô tỷ.
Trang 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
II. Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu:
1. Mục đích nghiên cứu:
* Giúp các em học sinh hiểu sâu hơn các kiến thức về phương trình vô tỷ. Từ đó, các em cảm
thấy hứng thú và yêu thích việc khám phá bộ môn Toán phổ thông.
* Giúp các em học sinh có thêm công cụ để giải quyết một số các bài toán về phương trình vô tỷ
xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao Đẳng.
* Nguồn tài liệu để quý thầy, cô giáo phát triển, nâng cao kiến thức cho đối tượng là các em học
sinh khá, giỏi.
2. Phương pháp nghiên cứu: Đề tài được thực hiện chủ yếu dựa trên:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp khảo sát thực tiễn
- Phương pháp phân tích, tổng hợp
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
III. Giới hạn của đề tài:
Đề tài chỉ khai thác một phương pháp trong số các phương pháp giải phương trình vô tỷ.
Hơn thế nữa, đề tài không trình bày toàn bộ các kiến thức lý thuyết mà chỉ tổng hợp một số kỹ
năng thông qua những bài toán cụ thể.
Những nội dung kiến thức được trình bày trong Đề tài là những nội dung được mở rộng, mang
tính chất chuyên sâu, phù hợp với đối tượng là các học sinh khá, giỏi, Ôn luyện thi Đại học, Cao
đẳng.
IV. Các giả thiết nghiên cứu:
Tổng hợp và hệ thống hóa những kiến thức, kỹ năng cơ bản nhất. Trên cơ sở đó, đưa ra những
nhận định và phương pháp giải phù hợp với từng dạng toán.
Bên cạnh đó, tập hợp, sắp xếp các bài toán, các đề thi trong những năm gần đây một cách logic
nhằm rèn luyện các kỹ năng vận dụng cho học sinh.
Các giả thuyết, cũng như các ứng dụng trong chuyên đề được tổng hợp và kiến tạo từ nhiều
nguồn tài liệu khác nhau.
V. Kế hoạch thực hiện:
- Lựa chọn đề tài
Trang 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
- Xây dựng đề cương chi tiết
- Hoàn thiện nội dung đề tài
- Tiến hành giảng dạy và khảo sát kết quả ở một số lớp của khối 10 trường THPT Bà Rịa.
- Nghiệm thu đề tài.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Thực trạng và những mâu thuẫn:
Trong các đề thi Đại học, Cao Đẳng những năm gần đây, thường xuất hiện mảng kiến thức về
phương trình, bất phương trình, hệ vô tỷ, và các thí sinh gặp không ít khó khăn trong những bài
toán này, bởi nó đòi hỏi học sinh phải biết tư duy nhanh và thành thạo những kỷ năng nhất định.
Những kiến thức, kỷ năng mà học sinh thu nhận được trong SGK là những kiến thức, kỷ năng
rất cơ bản. Vì thế, để đạt điểm cao trong các kỳ thi, hay để trở thành những học sinh giỏi Toán,
thực sự đam mê môn học thì đòi hỏi học sinh phải biết tìm tòi, sáng tạo thông qua nhiều nguồn
tài liệu khác. Hiện nay, trên thị trường có quá nhiều nguồn tài liệu, sách tham khảo gây không ít
khó khăn cho các em trong việc sàng lọc, tiếp thu.
Đứng trước những thực trạng trên, tôi viết đề tài này với mong muốn đóng góp một tài liệu
thiết thực giúp các em học sinh có thêm nguồn tham khảo.
II. Các biện pháp giải quyết:
- Nhận diện kiến thức, kỷ năng giải các dạng toán.
- Đưa ra một số ví dụ mẫu để hiểu rõ hơn về kỹ năng giải.
- Hệ thống bài tập tương tự để thực hành.
III. Hiệu quả áp dụng:
IV. Sơ lƣợc nội dung:
Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà khi ta biến đổi
tương đương sẽ dẫn đến một phương trình phức tạp, khó nhận ra được hướng giải
Việc đặt ẩn phụ thích hợp nhằm chuyển phương trình ban đầu về một phương trình đơn giản
hơn và giải được nó một cách dễ dàng hơn là một trong những phương pháp hữu hiệu trong
các bài toán giải phương trình vô tỷ.
Chuyên đề này muốn giới thiệu đến các bạn một số dạng phương trình vô tỷ mà việc giải
nó dựa trên phương pháp đặt ẩn phụ.
Trang 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Có 3 bƣớc cơ bản trong phƣơng pháp này:
Bước 1: Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)
Đây là bước quan trọng nhất vì việc chọn ẩn phụ thích hợp sẽ quyết định đến toàn bộ lời giải
của bài toán .
Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình theo biến mới (ẩn phụ)
và tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn giá
trị của ẩn phụ.
Bước 3: Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm của phương
trình ban đầu.
Có 4 phƣơng pháp đặt ẩn phụ thông dụng mà chuyên đề này muốn nêu ra, đó là:
Phƣơng pháp đặt ẩn phụ triệt để
Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không triệt để
Phƣơng pháp đặt ẩn phụ biến đổi về dạng tích
Phƣơng pháp đặt ẩn phụ đƣa về dạng hệ phƣơng trình
Trang 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Phƣơng pháp đặt ẩn phụ triệt để:
Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t f x và chú ý điều kiện
của t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t , và quan trọng
hơn là ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “triệt để” .
Một vài lưu ý:
Nếu bài toán có chứa f x và f ( x) khi đó đặt t f x
Nếu bài toán có chứa
có thể đặt : t
k
t
f ( x) g ( x) ; f ( x).g ( x) và f ( x) g ( x) k khi đó có thể
f x , suy ra g ( x)
Nếu bài toán có chứa
đặt: t
f x ; g x , và f x . g x k (với k là hằng số) khi đó
f ( x) g ( x) suy ra
Nếu bài toán có chứa
f ( x).g ( x)
t2 k
2
a 2 x 2 thì đặt x a sin t với
với 0 t
x 2 a 2 thì đặt x
Nếu bài toán có chứa
x
2
t
2
hoặc x a cos t
a
với t ; \ 0 hoặc
sin t
2 2
a
với t 0; \
cos t
2
Nếu bài toán có chứa
x 2 a 2 ta có thể đặt x a .tan t với t ;
2 2
A. BÀI TOÁN MẪU
Bài toán 1: Giải phƣơng trình sau:
x x2 1 x x2 1 2
Lời giải:
Điều kiện: x 1.
Trước tiên ta có nhận xét rằng :
x x 2 1. x x 2 1 1
1
Từ đó ta có thể chọn đặt t x x 2 1 và đưa đến phương trình dạng: t 2 t 1
t
Thay vào tìm được là nghiệm x 1 của phương trình.
Nhận xét:
Trang 5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Việc chọn đƣợc lƣợng ẩn phụ trong bài toán trên nhờ vào nhận xét
x x2 1 . x x2 1 1
Đối với bài toán này chúng ta có thể bình phương hai vế của phương trình. Lời giải
vẫn khá ngắn gọn.
Bài toán 2: Giải phƣơng trình sau: x2 x2 11 31
Lời giải:
Đặt: t x 2 11 , t 0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành:
t 2 t 42 0 t 6
* x 2 11 6 x 5.
Nhận xét:
Bài toán có thể giải được nhờ việc lấy bình phương hai vế, tuy nhiên lời giải khá cồng
kềnh do xuất hiện phương trình bậc 4 đầy đủ.
Trong bài toán này việc nhận ra lượng chọn làm ẩn phụ t không quá khó, bởi nhận
xét: x2 x2 11 11
Bài toán 3: Giải phƣơng trình sau: (x 5)(x 2) 3 x2 3x
Lời giải:
pt x 2 3x 3 x 2 3x 10 0 .
Đặt: t x 2 3x , t 0 . Pt đã cho trở thành: t 3t 10 0 t 5
2
Khi đó:
x 2 3x 5 x 2 3x 25 0 x
3 109
.
2
Nhận xét:
Nếu bình phương hai vế sẽ dẫn đến một phương trình bậc 4 khá cồng kềnh
Trong bài toán này để nhận ra lượng chọn làm ẩn phụ t ta cần phân tích
(x 5)(x 2) x2 3x 10
Bài toán 4: Giải phƣơng trình:
3 x 6 x 3 (3 x)(6 x).
Lời giải:
Đặt: t 3 x 6 x t 2 9 2 (3 x)(6 x) (*)
p dụng BĐT Côsi ta có: 2 (3 x)(6 x) 9 nên từ (*) 3 t 3 2
t2 9
t 2 2t 3 0 t 3
Phương trình đã cho trở thành: t 3
2
Trang 6
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
x 3
(3 x)(6 x) 0
x6
Nhận xét: Trong bài toán này, việc chọn được lượng làm ẩn phụ thích hợp nhờ nhận xét:
Khi đó:
t 3 x 6 x t2 9 2
3 x 6 x
Bài toán 5: Giải phƣơng trình:
2x 3 x 1 3x 2 (2x 3)(x 1) 16
Lời giải: ĐK: x 1
Đặt: t 2 x 3 x 1, t 0 t 2 3x 2 (2 x 3)( x 1) 4 (*)
Khi đó phương trình trở thành: t t 2 20 t 2 t 20 0 t 5
1 x 7
2
2
441 126 x 9 x 8 x 20 x 12
Thay t 5 vào *) ta được: 21 3x 2 2 x 2 5x 3
1 x 7
2
x 146 x 429 0
x 3 là nghiệm của phương trình đã cho.
Nhận xét: Trong bài toán này, việc chọn được lượng làm ẩn phụ thích hợp nhờ nhận xét:
t 2x 3 x 1 t 2 3x 2 2x 3 x 1 4
Từ đây ta có thể tổng quát hóa phương trình:
ax b cx d a c x 2
ax b cx d e
Bài toán 6: Giải phƣơng trình: 5 x3 1 2(x2 2)
Lời giải: Điều kiện : x 1 .
Ta có: Pt 5 ( x 1)( x 2 x 1) 2( x 2 x 1) 2( x 1)
x 1
x 1
5 2
2 0 (Do x 2 x 1 0, x).
x x 1
x x 1
t 2
x 1
, t 0 , ta có pt: 2t 2 5t 2 0 1 .
Đặt: t 2
x x 1
t 2
x 1
*t 2 2
4 4 x 2 5 x 3 0 : pt vô nghiệm.
x x 1
1
x 1
1
5 37
x 2 5x 3 0 x
*t 2
2
2
x x 1 4
2
2
Nhận xét:
Trong bài toán này chúng ta cần khéo léo trong việc phân tích
Trang 7
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
x3 1 (x 1)(x2 x 1) và 2 x2 1 2(x2 x 1) 2(x 1)
Qua đó chọn được lượng ẩn phụ thích hợp
Bài toán 7: (THTT 3-2005) Giải phƣơng trình: x 2004 x 1 1 x
Lời giải: Điều kiện: 0 x 1
Đặt y 1 x Ta có phương trình 2 1 y
2
y
2
2
y 1002 0 y 1
Tiếp tục giải ta có nghiệm của phương trình ban đầu là x = 0.
Bài toán 8: Giải phƣơng trình: x3
1 x
2
3
x 2 2x 2
(1)
Lời giải:
ĐK: x 1
(*)
0 t
Do x 1 nên đặt x cos t
Khi đó ta có phương trình: cos3 t
1 cos t
2
3
cos t 2 1 cos 2 t
2
Biến đổi phương trình 2) thành:
3
4
sin t cost 2
cost sin t 1 sin t cos t 2 cos t sin t
sin t cost 2 1
Giải phương trình 3) và kết hợp với điều kiện t 0; ta có: t
2
Từ đó có x cos
4 2
4
(nhận)
2 1
Xét phương trình 4): sin t cost 2 1 sin t
. Từ đó có:
4
2
2 2 1
cos t 1 sin 2 t
cos t sin t 2 2 1
4
4
2
Từ 4) và 5) ta có: cos t
2 1 2 2 1
x
2
Trang 8
5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Vậy nghiệm của phương trình (1) là : x
2 1 2 2 1
2
và x
2
2
Nhận xét:
2
Nếu sử dụng ẩn phụ là t 1 x , chúng ta sẽ gặp phải khó khăn khi biến đổi các đại
lượng x và x3 theo ẩn mới.
Bằng việc sử dụng ẩn phụ t thỏa x cos t giúp ta biến đổi phương trình ban đầu về
phương trình dạng lượng giác, mà cách giải nó đơn giản hơn.
Bài toán 9: Giải phƣơng trình: x3 3 3x2 3x 3 0
(1)
Lời giải:
Nhận xét x
1
không thỏa phương trình 1)
3
3x x 3
Viết lại phương trình 1):
3
1 3x 2
Đặt x tan t
2
t ;
2 2
k
9
3
Khi đó ta có phương trình: tan3t 3 t
2 2
Kết hợp với điều kiện t ; ta có: t
k Z
2
7
;t ;t
9
9
9
9
Từ đó có nghiệm của phương trình là x tan ; x tan
Bài toán 10: Giải phƣơng trình:
2
7
; x tan
9
9
2
x2 1
x2 1
2
x 1
2x
2x 1 x 2
Lời giải:
Điều kiện: x 0;x 1
Trang 9
(1)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
t ; \ ;0; Khi đó ta có phương trình:
2 2 4 4
Đặt x tan t;
1
1
2
1
1
1
2
1
0 sin t 1 sin t 2sin t 0
cos t sin 2t sin 4t
cos t 2sin t 2sin t.cos2t
Giải được: t k2; t k2
2
6
Kết hợp với điều kiện ta có: t
1
. Từ đó có nghiệm của phương trình (1) là x
6
3
Qua các ví dụ trên ta thấy việc chọn biểu thức nào làm ẩn phụ là mấu chốt của bài
toán. Để chọn được biểu thức đặt ẩn phụ thích hợp thì sau khi đặt ta phải biểu diễn được
các biểu thức chứa x khác trong phương trình đ cho qua ẩn phụ vừa đặt.
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Giải các phƣơng trình sau
1)
2 x 1 x 2 3x 1 0
2) 1 1 x 2 2x 2
3) x 3 35 x 3 x 3 35 x 3 30
4) 4x 3 3x 1 x 2
5) x 3
1 x
2 3
HVQHQT 2001
x 2 1 x 2
6)
1 2x 1 x 2
1 2x 2
2
7)
3
1 1 x 2 1 x
1 x
8)
1 1 x2
2
1 x2
3
1
x
3
3
1 x
3
3
1 1 x2
9) 3 2 x 6 2 x 4 4 x 2 10 3x (Trích đề thi ĐH khối B – 2011)
10) Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 2 4 x 2 1 có nghiệm thực
Trang 10
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Phƣơng pháp: Đặt ẩn phụ không triệt để
Trong nhiều trường hợp chúng ta không thể biểu diễn hết các biểu thức chứa x có
mặt trong phương trình qua ẩn phụ được. Lúc này chúng ta tạm chấp nhận sự có mặt của
hai ẩn trong phương trình. Việc đặt ẩn phụ trong trường hợp này là không triệt để.
Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để là một phương pháp hay trong giải phương trình
vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn, tuy nhiên cũng gây nhiều thắc
mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau
nhưng phổ biến nhất là dạng ax b cx2 +dx+e px2 qx t
Với dạng phương trình này chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải
Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn, có biệt thức Δ
là một biểu thức chính phương
A. BÀI TOÁN MẪU
Bài toán 1: Giải phƣơng trình: 3x2 x 3 (8x 3) 2x2 +1 0
Lời giải :
Đặt t 2x 2 +1 , phương trình trở thành: 3t 2 (8x 3)t 3x 2 x 0
Ta có : t 100x 2 60x 9 (10x 3)2
x
Từ đó tìm được t 1 3x và t
3
Lời bình:
Điều cốt lõi trong lời giải trên là việc dẫn đến t chính phương.
Trong lời giải trên, để t chính phương chúng ta đ chọn hệ số của t 2 là 3. Và thắc mắc
đặt ra là : dựa trên cơ sở nào ? ngoài số 3 liệu còn số nào khác để t chính phương
không ?
Bây giờ chúng ta cùng lý giải về sự xuất hiện của số 3 trong lời giải trên
Ta giả sử hệ số đó là m, khi đó phương trình trở thành
mt 2 (8x 3)t 3x2 x 3 m(2x2 1) 0
Với m 0 , ta có
t (8x 3)2 4m[3x2 x 3 m(2x2 1)] (8m2 12m 64)x 2 (4m 48)x 4m 2 4m 9
Mong muốn của chúng ta là Δt chính phương. Điều này xảy ra khi Δ = 0 có nghiệm duy
nhất, tức là: t 0 16m(8m3 36m2 117m 243) 0
Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm m=3, từ đó suy ra cách biến đổi phương trình
để có lời giải như trên.
Bây giờ chúng ta tiếp tục tìm hiểu thêm một vài ví dụ minh họa về kỹ năng này.
Việc lý giải để dẫn đến t chính phƣơng xin đƣợc dành cho bạn đọc.
Trang 11
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Bài toán 2: Giải phƣơng trình: 2(1 x) x2 2x 1 x2 2x 1
Lời giải:
Đặt: t x 2 2 x 1 , ta được pt: t 2 2(1 x)t 4 x 0 . Đây là phương trình bậc hai ẩn t có
' ( x 1)2 , do đó phương trình này có hai nghiệm: t 2, t 2x.
* t 2 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 5 0 x 1 6.
x0
hệ này vô nghiệm.
2
3x 2 x 1 0
* t 2 x x 2 2 x 1 2 x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 1 6 .
Bài toán 3: Giải phƣơng trình: 2 2x 4 4 2 x 9x2 16
(1)
Lời giải:
ĐK: x 2 (*)
Trước tiên chúng ta nâng bình phương hai vế của phương trình đã cho
PT (1) 4(2x 4) 16 2 4 x 2 16 2 x 9x 2 16
8(4 x 2 ) 16 2 4 x 2 x 2 8x. Đặt t 2 4 x2
t 0
Khi đó ta có phương trình: 4t 16t x 8x 0
2
2
Giải phương trình trên với ẩn t ta tìm được : t
x
x
hoặc t 4
2
2
Kết hợp điều kiện t 0 , dẫn đến loại nghiệm t
Với t
x
, ta có:
2
24 x2
x
4
2
x
4 2
x 0
(thỏa (*))
x
2
2
8
4
x
x
2
3
Vậy nghiệm của phương trình là: x
4 2
3
Bài toán 4: Giải phƣơng trình: 4x 1 x3 1 2x3 2x 1
Lời giải :
Trang 12
(1)
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐK : x 1
t 0 . Phương trình đã cho trở thành:
Đặt t x 3 1
2. t 2 1 2x 1 4x 1 t 2t 2 4x 1 t 2x 1 0 (2)
1
t
Có 4x 3 . Do đó pt(2)
2
t 2x 1
2
Với t
1
ta có:
2
x3 1
1
1
3
3
x3 1 x3 x 3
2
4
4
4
1
x
1
2
x
x 3 1 2x 1
2
x 0 (loai)
x 3 4x 2 4x 0
x 2(nhân)
Với t 2x 1ta có:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x 3
3
và x 2
4
Bài toán 5: Giải phƣơng trình: 2008x2 4x 3 2007x 4x 3
(1)
Lời giải :
ĐK : x
3
Đặt t 4x 3
4
t 0 . Phương trình đã cho trở thành:
x t
2008x 2007xt t 0
t
x
0 (loai)
2008
2
Với x t ta có:
2
x 1
4x 3 x x 2 4x 3 0
x 3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x 1 và x 3
Bài toán 6: Giải phƣơng trình: 3
2x2 1 1 x 1 3x 8 2x 2 1
Trang 13
(1)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Lời giải:
ĐK : x R
t 1 . Phương trình đã cho trở thành:
Đặt t 2x 2 1
t 1 3x
3 t 1 x 3 t 1 3x 8xt 3t 8x 3 t 3x x 0 x
t
3
2
2
2
2
( Đến đây bài toán được giải quyết một cách dễ dàng )
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Giải các phương trình sau:
1) 4x 2 7 2x 4 2-x 2 0
2)
4x 1
x 2 1 1 2x x 1
3) x 2 x 12 x 1 36
4) x 2 3 x 2 2 x 1 2 x 2 2
5) 4 x 1 1 3x 2 1 x 1 x 2
Trang 14
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Phƣơng pháp: Đặt ẩn phụ biến đổi về dạng tích
Rất nhiều phương trinh vô tỷ giải được nhờ biến đổi về dạng tích
Việc sử dụng ẩn phụ trong các bài toán dạng này giúp biến đổi phương trình đ cho trở
nên đơn giản hơn, và dễ dàng biến đổi về phương trình tích hơn.
A. VÍ DỤ MẪU
x 2
Bài toán 1: Giải phƣơng trình: x3 3x2 2
3
6x
(1)
Lời giải:
ĐK: x 2 (*)
Viết lại PT (1) x 3 3x x 2 2
Đặt t x 2
x 2
3
0
t 0
x t
x 2t
Ta có phương trình : x 3 3xt 2 2t 3 0 x t x 2t 0
2
Với x t ta có: x x 2 x 2
x 0
Với x 2t ta có: x 2 x 2
2
x 4x 8 0
x 22 3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x 2 và x 2 2 3
Bài toán 2: Giải phƣơng trình: 4x3 x x 1 2x 1 0
Lời giải:
ĐK: x
1
. Viết lại PT (1) : x 3 3x x 2 2
2
Đặt t x 2
t 0 . Ta có: x3 3xt 2 2t 3 0
Trang 15
x 2
3
0.
(1)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
x 3 xt 2 2xt 2 2t 3 0 x x 2 t 2 2t 2 x t 0
x t
2
x t x 2t 0
x 2t
x 0
x2
2
x
1;2
x
x
2
0
x 0
Với x t x x 2
x 0
x 22 3
2
x
4x
8
0
x
2
2
3
x 0
Với x 2t x 2 x 2
1
2
Kết hợp với điều kiện x ta có tập nghiệm của phương trình 1) là: S 2
Bài toán 3: Giải phƣơng trình: 3x2 2x 7 3 x 1 x 2 3
(1)
Lời giải:
ĐK: x R (*)
Viết lại PT (1)
x 1
2
3 x 1 x 2 3 2 x 2 3 0
x 1 a
Đặt 2
x 3 b b 0
a b
a 2b
Phương trình đã cho trở thành : a 2 3ab 2b2 0 a b a 2b 0
x 1
a b x 1 x2 3 2
x 1
2
x 2x 1 x 3
x 1
a 2b x 1 2 x 2 3 2
x
3x
2x
11
0
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x 1.
Nhận xét:
Trang 16
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Cần khéo léo phân tích biểu thức 3x2 2x 7 x 1 2 x2 3 , từ đó chọn
2
được lượng ẩn phụ thích hợp. Việc sử dụng hai ẩn phụ a, b giúp biến đổi phương trình đ
cho trở nên đơn giản hơn.
Bài toán 4: Giải phƣơng trình:
5 x 2 14 x 9 x 2 x 20 5 x 1
(1)
Lời giải: Đk x 5 .
Chuyển vế và nâng bình phương hai vế, ta có: 2 x 2 5 x 2 5
x
2
x 20 x 1
Ta viết lại phương trình: 2 x 2 4 x 5 3 x 4 5 ( x 2 4 x 5)( x 4) .
2
a x 4x 5
Đặt
b x 4
a 0;b 0
a b
a 2b
Phương trình đã cho trở thành : 2a 2 5ab 3b2 0 a b 2a 3b 0
Đến đây bài toán được giải quyết một cách dễ dàng.
Nhận xét:
Không tồn tại số , để : 2 x 2 5 x 2 x 2 x 20 x 1 vậy ta không thể đặt
u x 2 x 20; v x 1 .
Nhưng may mắn ta có : x 2 x 20 x 1 x 4 x 5 x 1 x 4 x 2 4 x 5
6x2 4x 8
Bài toán 5: Giải phƣơng trình:
5 2x2 3
x 1
Lời giải:
ĐK: x 1 (*)
Viết lại PT (1) 2 x 1 5 x 1 2x 2 3 2 2x 2 3 0
2
Trang 17
(1)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
x 1 a
2
2x 3 b b 0
Đặt
a 2b
b 2a
Phương trình đã cho trở thành : 2a 2 5ab 2b 2 0 a 2b 2a b 0
x 1
a 2b x 1 2 2x 2 3 2
x
7x
2x
11
0
x 1
4 14
2
b
2a
2x
3
2
x
1
x
2
2
2x 8x 1 0
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x
Bài toán 6: Giải phƣơng trình:
4 14
.
2
3
x2 7
x
x 2 x 1
Lời giải:
ĐK: x 0 (*)
Viết lại PT (1)
2x 2
x 2 3 u
Đặt
x v
x2 3 x2 7 x
u;v 0
Phương trình đã cho trở thành :
2v
2
uv 2
2 u u 2 4 v uv 2v u 2 2v u
2v u
uv 2 x 3 3x 2 x 3 3x 4 0 x 1
x 1
2v u x 2 3 4x
x 3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là : S 1;3 .
Trang 18
(1)
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Bài toán 7: Giải phƣơng trình: 3 x 2x
7
2 x2 5
x
(1)
Lời giải:
ĐK: x 0 (*)
Viết lại PT (1)
x 3
2x 2 7 u
Đặt
x v
2x 2 7 2 x 2 5 x
u;v 0
Phương trình đã cho trở thành :
v
2
u v
3 u u 2 3 v u v uv 3 0
uv 3
u v 2x 2 x 7 0 x
uv 3 2x 3 7x 9 0 x 1 2x 2 2x 9 0 x 1
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là : S 1 .
8x 2 5
4x 2 3
3
Bài toán 8: Giải phƣơng trình:
x
3x 2
Lời giải:
4x 2 3
0
ĐK: 3x 2
(*)
x 0
8x 2 5
**
x 0
PT (1)
2
2
4x 2 3
8x
5
9
***
x
3x 2
4x 2 3 a
Đặt
3x 2 b
Trang 19
(1)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
2
4a b
2a 1 a
PT ***
4a
b
ab
1
ab 1
b2 b
5 1
ab 1 4x 2 3 3x 2 1 x ; ;1
6 2
3 649 3 649
2
4a
b
4
4x
3
3x
2
x
;
32
32
Kết hợp điều kiện *) và **) ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là:
3 649 3 649
S
;
;1
32
32
x3 14
x 3 3x 4
Bài toán 9: Giải phƣơng trình:
2
3
2x
1 x
(1)
Lời giải:
x 3 3x 4
0
x 3 3x 8
x 3 3x 4
2
ĐK: 1 x
(*) .PT (1)
.
2
x
1
x
x 2
x 3 3x 4 u
Đặt
. Phương trình trên trở thành :
1 x v
u 4
0
**
u4
u
2
v 1
v 1
v
uv 4 u 4v 0
uv 4 x 3 3x 4 1 x 4 x x 1 x 2 2x 1 0 x 0;1; 1 2
u 4v x 3 3x 4 4 1 x x 3 7x 0 x 0; 7
Kết hợp điều kiện *) và **) ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là:
S 0;1; 1 2; 1 2; 7; 7
Trang 20
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Bài toán 10: Giải phƣơng trình: 3 x 2x
7
2 x2 5
x
(1)
Lời giải:
ĐK: x 0 (*)
Viết lại PT (1)
x 3
2x 2 7 u
Đặt
x v
2x 2 7 2 x 2 5 x
u;v 0
Phương trình đã cho trở thành :
u2 7
v 3 u 2 2 5 v v2 3 u u 2 3 v uv v u 3 v u 0
2
v u
v u uv 3 0
uv 3
u v 2x 2 7 x 2x 2 x 7 0 x
3
uv 3 2x 3 7x 3 2x 3 7x 9 0 x 1; 3;
2
Kết hợp với điều kiện x 0 ta có tập nghiệm của phương trình 1) là: S 1
Bài toán 11: Giải phƣơng trình:
3
7x 1 3 x2 x 8 3 x2 8x 1 2
Lời giải:
ĐK: x R
Đặt: a 3 7x 1; b 3 x 2 x 8; c 3 x 2 8x 1 , Ta có: a b c 2
Và a 3 b3 c3 7x 1 x 2 x 8 x 2 8x 1 8
Mặt khác: a b c 8
3
(*)
(**)
Từ *) và **) ta có: a b c a 3 b3 c3 3 a b b c c a
3
Trang 21
(1)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
a b
Do đó: a b b c c a 0 b c
c a
Từ đó dễ dàng tìm ra tập nghiệm của phương trình 1) là: S 1;0;1;9
Nhận xét:
3
3
3
Xuất phát từ đẳng thức a b c a b c 3 a b b c c a , Ta có
3
a 3 b3 c 3 a b c a b a c b c 0
3
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Giải các phƣơng trình sau:
6x 2 2
2x 2 1
1)
5x 1
5x 4
2x 2 1 1 5x 2 4
2)
8 3x 5 2 x
3) 2 x 2 2 5 x3 1
4) x3 3x 2 2
x 2
3
6x 0
5) x2 3 x2 1 x 4 x 2 1
6)
x 2 2 x 2 x 1 3x 2 4 x 1
7)
5x2 14 x 9 x 2 x 20 5 x 1
8) x 2 3x 1
9)
10)
3
3 4
x x2 1
3
7x 1 3 x 2 x 8 3 x 2 8x 1 2
3
3x 1 3 5 x 3 2x 9 3 4x 3 0
Trang 22
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Phƣơng pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về dạng hệ phƣơng trình
a) Dạng thông thƣờng: Đặt u x , v x và tìm mối quan hệ giữa x và x từ
đó tìm được hệ theo u,v.
Chẳng hạn, đối với phương trình:
m
u m a f x
a f x m b f x c ta có thể đặt:
v m b f x
u m v m a b
từ đó suy ra u v a b . Khi đó ta có hệ
u v c
b) Dạng phƣơng trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:
d ac
ax b c(dx e)2 x với
e bc
m
m
Cách giải: Đặt: dy e ax b khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
dy e ax b
dy e ax b
2
2
dy e c(dx e) x
c dy e x dy e
Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban
đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn ; thông thường chúng ta
2
chỉ cần viết dưới dạng : x p n a ' x b ' là chọn được.
n
c) Dạng phƣơng trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba:
3
d ac
3
ax b c dx e x với
e bc
Cách giải: Đặt dy e 3 ax b khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
dy e 3 ax b
dy e 3 ax b
3
3
dy e c dx e x
c dx e x dy e
c dy e 3 acx bc
3
c(dx e) (ac d ) x dy bc
A. BÀI TOÁN MẪU
Trang 23
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Bài toán 1: Giải phƣơng trình:
4
57 x 4 x 40 5
(1)
Lời giải: ĐK: 40 x 57
4
57 x u
Đặt
4
x 40 v
u v 5
2
4
4
u v 97
2 uv 10uv 528 0
u v 5
Ta có:
u 2
u v 5
u v 5 v 3
uv 6
u 3
uv
6
uv 44
v 2
Từ đó dẫn đến việc giải hệ
4
57 x 2
4
x 40 3
4
57 x 3
và
4
x 40 2
(Bạn đọc tự giải)
Bài toán 2: Giải phƣơng trình: x 3 25 x3 x 3 25 x 3 30
(1)
Lời giải:
ĐK: x R . Đặt y 3 35 x 3 x 3 y3 35
xy x y 30
3
3
x y 35
Từ đó ta có hệ:
Giải hệ trên ta được x; y 2;3 và x; y 3;2
Từ đó ta có nghiệm của phương trình là: x 2;3
Bài toán 3: Giải phƣơng trình: x 5 x 1 6
Lời giải:
ĐK: x 1. Đặt a x 1; b 5 x 1
Trang 24
a 0;b 0
(1)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
[PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ]
Từ đó ta có hệ:
a 2 b 5
a b a b 1 0 a b 1
2
b a 5
Từ đó:
x 1 1 5 x 1 x 1 5 x x
11 17
2
11 17
2
Vậy nghiệm của phương trình là: x
Bài toán 4: (OLYMPIC 30.4 - 2009)
Giải phƣơng trình: x3 3x2 3 3 3x 5 1 3x
(1)
Lời giải:
ĐK: x R . Pt 1 x 1 3 3 3x 5 2
3
Đặt y 1 3 3x 5 3x 5 y 1 . PT (1) trở thành: x 1 3y 5
3
3
3
x 1 3y 5
Từ đó ta có hệ:
3
y 1 3x 5
Trừ vế theo vế của hai phương trình trên ta có:
x y x 1
2
2
x 1 y 1 y 1 3 0 x y
( Do x 1 x 1 y 1 y 1 3 0; x, y R )
2
2
x 1
x 2
Vậy ta có: x 1 3x 5 x 3 3x 2 4 0
3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x 1 và x 2
Bài toán 5: Giải phƣơng trình: x3 1 2 3 2x 1
Lời giải:
ĐK: x R . Đặt t 3 2x 1 t3 2x 1
Trang 25
(1)
