ĐỀ THI TOÁN ĐẠI TRÀ VÀO THPT CHUYÊN SƠN LA 2012

UBND TỈNH SƠN LA
SỞGIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
–––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––––––

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán (Không chuyên)
Ngày thi: 26/6/2013
(Thời gian: 120 phút, không kể thời gian phát đề)

Câu 1 ( 2 điểm).
Cho P =

x+2
x +1
x +1
+
x x −1 x + x +1
x −1

1. Rút gọn P.
2. Tính giá trị biểu thức P khi x = 4 + 2 3 .
Câu 2 ( 2 điểm).
Cho phương trình: x 2 − 2( m + 1) x + 2m = 0 (1)

(với ẩn là x ).
1. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
2. Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 ; x2 . Tìm giá trị của m để x1 ;
x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 .
Câu 3 ( 2 điểm).
Một ô tô đi từ A lúc 6 giờ đến B thì dừng lại 15 phút rồi đi tiếp đến C lúc 10
giờ 45 phút. Biết vận tốc ô tô đi trên quãng đường BC lớn hơn vận tốc ô tô đi trên
quãng đường AB là 10 km/h và quãng đường AB dài 60km, quãng đường BC dài
100km. Tính vận tốc của ô tô trên mỗi quãng đường.
Câu 4 ( 3 điểm).
Cho đường tròn (O) và một điểm A. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của
đường tròn (O),với P và Q là 2 tiếp điểm. Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) sao
cho PM song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và
đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.
1. Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh KA2 = KN.KP
3. Kẻ đường kính QS của đường tròn (O). Chứng minh tia NS là tia phân
·
giác của góc PNM
.
Câu 5 (1 điểm).
Giải phương trình

1
1
+
=2
x
2 − x2

----------------------------- Hết ------------------------------


UBND TỈNH SƠN LA
SỞGIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
–––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––––––

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNGDẪNCHẤMTHITUYỂNSINHVÀOLỚP10TRƯỜNGTHPTCHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán - Đại trà
Câu
Câu 1

Hướng dẫn đáp án

Điểm

1.Rút gọn P.

Điều kiện: x ≥ 0 và x ≠ 1.
x+2
x +1
x +1

+
3
( x ) − 1 x + x + 1 ( x + 1)( x − 1)

P=
=

0,25

x + 2 + ( x + 1)( x − 1) − ( x + x + 1)
x− x
=
( x − 1)( x + x + 1)
( x − 1)( x + x + 1)

=

x ( x − 1)
x
=
( x − 1)( x + x + 1) x + x + 1

0,25
0,5
0,5

2.Tính giá trị biểu thức P khi x = 4 + 2 3 .
3 +1
Thay x = 4 + 2 3 = ( 3 + 1)2 vào biểu thức P =
4 + 2 3 + 3 +1+1

P=

Câu 2

0,25
0,25

3 +1
6+3 3

1. Chứng minh (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
Tính ∆ ' = m 2 + 1
∆ ' > 0; ∀ m . KL: PT luôn có hai nghiệm phân biệt

0,25
0,25

2. Tìm giá trị của m để x1 ; x2 là độ dài hai cạnh của một tam
giác vuông có cạnh huyền bằng 12 .
 x1 + x 2 = 2m + 2 > 0
⇔m>0
 x1.x 2 = 2m > 0

0,5

⇔ 4(m + 1) 2 − 4m = 12

0,5

để PT có hai nghiệm dương 

Theo giả thiết có x12 + x22 = 12 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 12
⇔ m2 + m – 2 = 0

Câu 3

Giải phương trình được m = 1 ( thoả mãn), m = -2 (loại)
Giải bài toán bằng cách lập PT
Gọi vận tốc của ô tô trên quãng đường AB là x ( km/h), (đk x > 0)
Thì vận tốc của ô tô trên quãng đường BC là x + 10
60
100
Thời gian ô tô đi từ A đến B là
giờ; đi từ B đến C là
giờ
x
x + 10

0,25
0,25
0,25
0,25


Thời gian ô tô đi từ A đến C là 4 giờ 45 phút tức là
Ta có PT:

19
giờ
4

0,5

60 1 100 19
+ +
=
x 4 x + 10 4

Biến đổi PT được: 9x2 – 230x - 1200 = 0
Giải Pt được: x1 = −

Câu 4

0,25

0,25
0,25

40
và x2 = 30
9

KL: Vận ô tô trên quãng đường AB 30km/h, vàtrên quãng đường 0,25
BC là 40km/h.
Hình vẽ
P
S

M
N

A

I

G

O

0,25

K

Q

1. Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.
·APO = 900 (Do AP là tiếp tuyến của (O) ở P)
·AQO = 900 (Do AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)

Xét tứ giác APOQ có ·APO + ·AQO =1800
hai góc này là 2 góc đối nên tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh KA2 = KN.KP
Xét Δ AKN và Δ PAK có ·AKP là góc chung
·APN = ·AMP ( Góc nt cùng chắn cung NP)
·
Mà NAK
= ·AMP (so le trong của PM //AQ
·APN = NAK
·
Δ AKN ~ Δ PKA (gg)
AK NK

Þ
=
Þ AK 2 = NK .KP
PK
AK

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

·
3.Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc PNM
.

Kẻ đường kính QS của đường tròn (O)
Ta có AQ ^ QS (AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q).
Mà PM//AQ (gt) nên PM ^ QS
Đường kính QS ^ PM nên QS đi qua điểm chính giữa của cung PM
nhỏ
(hai góc nt chắn 2 cung bằng nhau)
º
» Þ PNS=SNM
·
·
sdPS=sdSM
·

Hay NS là tia phân giác của góc PNM

0,25
0,25
0,25
0,25


Câu 5

Giải phương trình:

1
+
x

1

=2

2 − x2
Điều kiện x ≠ 0 ; 2 – x2 > 0 ⇔ x ≠ 0 ; x <

Đặt y =

2.

2 − x2 > 0

 x 2 + y 2 = 2 (1)


Ta có:  1 1
 x + y = 2 (2)


0,25

Từ (2) có : x + y = 2xy. Thay vào (1) có : xy = 1 hoặc xy = -

1
2

0,25

* Nếu xy = 1 thì x+ y = 2. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
X2 – 2X + 1 = 0 ⇔ X = 1 ⇒ x = y = 1.
* Nếu xy = -

0,25

1
thì x+ y = -1. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
2

X2 + X -

1
−1 ± 3
=0 ⇔ X=
2

2

Vì y > 0 nên: y =

−1 + 3 ⇒
−1 − 3
x=
2
2

Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =

0,25
−1 − 3
2