thi vào lớp 10 trường quốc học huế 2016-2017 môn toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN XUÂN TRƯỜNG

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2015
MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề)

Phần I/ Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết vào bài làm:
Câu 1. Điều kiện để biểu thức 1 − x xác định là:
A. x ≥ 1
B. x < 1
C. x ≤ 1
D. x ≠ 1
Câu 2. Tập nghiệm của phương trình

x( x 2 + 5 x − 6)
= 0 là:
x −5
C. { ∅}

D. ∅
A. { 0;1; −6}
B. { 0;1}
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M thuộc đồ thị hàm số y = - x 2 và có tung độ
bằng – 9. Biết M nằm bên trái trục tung, khi đó tọa độ điểm M là:
A. (-3; -9)
B. (3; -9)
C.(3; 9)
D. (-3; 9)
Câu 4. Hàm số nào sau đây đồng biến khi x < 0?

2
A. y = -2x
B. y = -x + 10
C. y = 3x 2
D. y = 3 − 2 x
Câu 5. Phương trình 4x – 3y = -1 nhận cặp số (x; y) nào sau đây là một nghiệm?
A. (-1; 1)
B. (- 1; -1)
C. (1; -1)
D. (1; 1)

(

Câu 6. Cho góc nhọn α , biết sin α =
A.

3
4

B.

4
5

3
. Khi đó cot α bằng:
5
4
C.
3

D.

)

5
4

Câu 7. Độ dài cung 1200 của đường tròn đường kính 6 cm là:
A. 2 π cm
B. π cm
C. 4 π cm
D. 6 π cm
Câu 8. Một hình nón có bán kính đáy bằng 3 cm, chiều cao 4 cm. Diện tích xung quanh của
hình nón đã cho bằng:
A. 15 π cm
B. 15 π cm2
C. 12 π cm2
D. 20 π cm2
Phần II/ Tự luận (8,0 điểm)
 x x +1

 

x 

− x − 1÷
Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức: P = 
÷:  x + x − 1 ÷
÷

 x −1
 


a) Chứng minh rằng với x > 0 và x ≠ 1 thì P =

2− x
.
x

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4 − 2 3 .
Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình: x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Chứng minh rằng với mọi m, phương trình đã cho luôn có một nghiệm bằng 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 − 2 x2 = 1 .
( x − 2 y ) 2 + x − 2 = 2 y
Bài 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình 
x + y = −2


Bài 4. (3 điểm) Cho đường tròn (O; R) và một dây AB không đi qua O. Tiếp tuyến tại A và B
của đường tròn cắt nhau ở C. Trên dây AB lấy điểm I sao cho AI > IB. Đường thẳng đi qua I
và vuông góc với OI cắt tia CA, CB lần lượt tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADIO nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm của
đường tròn đó?
b) Chứng minh DI = IE.
c) Gọi H là giao điểm của CO và AB, chứng minh CH.CO - CD.CE = BE2.
Bài 5. (1 điểm) Cho x + 2 − y 3 = y + 2 − x3 và M = 2 y − 2 y 2 + 2 xy + x 2 + 2015 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của M.

/>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN XUÂN TRƯỜNG

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM 2015
MÔN: TOÁN

Phần I/ Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm.
Câu
1
2
3
4
5
6
Đáp án
C
D
A
D
B
C
Phần II/ Tự luận (8,0 điểm)
Bài
Ý
Nội dung trình bày
Với x > 0 và x ≠ 1 ta có
1
(1,5đ)

a)
1,0 đ


P = 


(

(

)(

)−

x +1 x − x +1

)(

x +1

)

x −1

=

x − x +1− x +1 x −1
.

x
x −1

=

2− x
.
x

(

(

)

x −1 + x

3− 3

2 2− 3

)

=

)

2

Điểm

0,5

x −1

2− x
.
x

0,25

(Thỏa mãn điều kiện x > 0 và x ≠ 1)
0,25

2

( 3− 3) ( 2 + 3) = 3+
2 ( 4 − 3)

3

0,25

2

Phương trình đã cho luôn có một nghiệm bằng 1
a)
2
2
(1,5đ) 0,5 đ ⇔ 1 − 2(m − 1).1 + 2m − 3 = 0
⇔ -2m + 2m = 0 (luôn đúng ∀ m)

Vậy với mọi m, phương trình đã cho luôn có một nghiệm bằng 1.
Theo câu a, với mọi m, phương trình đã cho luôn có một nghiệm
bằng 1, áp dụng định lý Vi-ét ta có:
b)
c
1,0 đ x + x = − b = 2(m − 1)
(1); x1.x2 = = 2m − 3 (2)
1
2
a

8
B

0,25

3 −1

2 − ( 3 − 1)
b)
Nên ta có P =
0,5 đ
4−2 3

(

)

(

Vậy với x > 0 và x ≠ 1 thì P =

Ta có x = 4 − 2 3 =

=

 x
x +1  :



7
A

0,25
0,25
0,25

a

 x + x = 2m − 2

1
2
Mà x1 − 2 x2 = 1 (3). Từ (1) và (3) ta có hệ  x − 2 x = 1 ⇔
 1
2

4m − 3


 x1 = 3

 x = 2m − 3
 2
3

0,25

Thay vào (2) và rút gọn ta được pt 2m 2 − 9m + 9 = 0

0,25
0,25

3
Giải phương trình tìm được m1 = 3; m2 = và kết luận
2

(HS có thể tìm nghiệm của phương trình đã cho và thay vào hệ
thức x1 − 2 x2 = 1 để tìm m. Khi đó phải xét hai trường hợp:
x1 = 1; x2 = 2m − 3 hoặc x1 = 2m − 3; x2 = 1 , nếu chỉ có 1 trường hợp
thì cho 0,5 điểm)
/>

( x − 2 y ) 2 + x − 2 = 2 y

Giải hệ phương trình 


x + y = −2

Ta có ( x − 2 y ) + x − 2 = 2 y ⇔ ( x − 2 y ) + ( x − 2 y ) − 2 = 0
Đặt x − 2 y = t ta có phương trình t 2 + t − 2 = 0
Ta thấy a + b + c = 1 + 1 − 2 = 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm
2

3
(1,0đ)

t1 = 1 ; t2 =

2

0,25

c
= −2
a

 x − 2y =1
 x = −1
⇔
 x + y = −2
 y = −1
 x − 2 y = −2
 x = −2
⇔
* Với t1 = −2 , hệ đã cho trở thành 
 x + y = −2
 y=0

* Với t1 = 1 , hệ đã cho trở thành 

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( x; y ) = ( −1; −1) , ( −2;0 )

0,25
0,25
0,25

A
D

H
O

C
I

B
E

4
(3,0đ)
a)
1,0đ

b)
1,0đ

Ta có CA là tiếp tuyến của (O) (gt) ⇒ CA ⊥ AO (t/c tiếp tuyến)
⇒ ∠ DAO = 900

Lại có DE ⊥ OI (gt) ⇒ ∠ DIO = 900
⇒ ∠ DAO = ∠ DIO = 900
⇒ A, I nhìn DO dưới một góc vuông
⇒ A, I thuộc đường tròn đường kính DO (Bài toán quỹ tích)
⇒ tứ giác ADIO nội tiếp đường tròn đường kính DO (tứ giác có
4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn)
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của DO.
Ta có tứ giác ADIO nội tiếp (câu a)
⇒ ∠ IDO = ∠ IAO (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IO)
CMTT câu a, ta có tứ giác BIOE nội tiếp
⇒ ∠ IEO = ∠ IBO (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IO)
Mà OA = OB = R ⇒ ∆ AOB cân tại O (2 cạnh bằng nhau)
⇒ ∠ IAO = ∠ IBO (2 góc ở đáy)

/>
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25


c)
1,0đ

5 (1,0đ)

Từ đó suy ra ∠ IDO = ∠ IEO

⇒ ∆ ODE cân tại O (2 góc ở đáy bằng nhau)
Mà OI ⊥ DE (gt) ⇒ OI là đường cao, đồng thời là trung tuyến
của ∆ ODE (t/c tam giác cân)
⇒ I là trung điểm của DE hay DI = IE (đpcm)
Ta có CA = CB (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB = R
⇒ OC là đường trung trực của AB ⇒ OC ⊥ AB tại H
∆ CAO vuông tại A có AH là đường cao
⇒ CA2 = CH.CO (hệ thức về cạnh và đường cao)
Xét ∆ ADO và ∆ BEO có:
∠ DAO = ∠ EBO = 900
OA = OB = R
OD = OE ( ∆ ODE cân tại O)
⇒ ∆ ADO = ∆ BEO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ AD = BE (2 cạnh tương ứng)
Ta có CH.CO – BE2
= CA2 – BE2
= CB2 – BE2 = (CB + BE)(CB – BE)
= CE(CA – AD)
= CE.CD
⇒ CH.CO – CD.CE = BE2 (đpcm)
Ta có x + 2 − y 3 = y + 2 − x3 (ĐK: x; y ≥ - 2)
⇔ x3 − y 3 + x + 2 − y + 2 = 0

(

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

0,25

)

⇔ ( x − y ) x + xy + y + x + 2 − y + 2 = 0
2

2

(

)

⇔ ( x + 2 ) − ( y + 2 )  x 2 + xy + y 2 + x + 2 − y + 2 = 0
⇔ x + 2 − y + 2  x + 2 + y + 2 x 2 + xy + y 2 + 1 = 0



x+2 − y+2 =0
⇔
 x + 2 + y + 2 x 2 + xy + y 2 + 1 = 0

* x+2 − y+2 =0 ⇔ x = y

(

)(

(

(

*

)(

x+2+ y+2

)(x

2

)(

)

0,25

)

)

+ xy + y 2 + 1 = 0 (1)

Ta thấy x + 2 + y + 2 ≥ 0∀x; y ≥ −2

1

x + xy + y =  x +
2

2

⇒

2

(

x+2+ y+2

2

 3
y ÷ + y 2 ≥ 0∀x; y ≥ −2
 4

)(x

2

0,25

)

+ xy + y 2 + 1 > 0∀x; y ≥ −2

⇒ pt (1) vô nghiệm.
Với x = y ta có M = 2 y − 2 y 2 + 2 xy + x 2 + 2015

= 2 y − 2 y 2 + 2 y 2 + y 2 + 2015
2
= y 2 + 2 y + 2015 = ( y + 1) + 2014 ≥ 2014
Vậy GTNN của M là 2014 ⇔ x = y = - 1 (Thỏa mãn ĐK)
/>
0,25


Chú ý: - HS làm cách khác đúng, cho điểm tương tự.
- Tổng điểm của cả bài thi giữ nguyên, không làm tròn.

/>