bài tập xs thống kê

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1. Bắn vào bia 5 phát. Gọi Ai là biến cố bắn trúng ít nhất i phát. Bj là biến cố bắn
trúng đúng j phát.
a) Diễn tả các biến cố A1 , B1 , A2 , B2 ?
b) Hai biến cố A1 , B1 có xung khắc nhau không?
c) Diễn tả các biến cố A1  B2 ; B1  A2 ; A1 B2 ; A2 B1 ?
Giải

a) A1 không trúng phát nào; A2 : trúng 1 phát hoặc không trúng phát nào

B1 không phải trúng 1 phát; B2 : không phải chỉ trúng hai phát
b) Hai biến cố A1; B1 không xung khắc vì hai biến cố này có thể cùng xảy ra
trong trường hợp cả 5 phát đều trật.
c) A1  B2  ; B1  A2  A2 ; A2 B1  B1
A1 B2  B1  A3 : bắn trúng đúng một phát hoặc từ 3 phát trở lên.
2. Kiểm tra 4 sản phẩm . Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày các biến
cố sau qua Ak .
a) A: tất cả đều xấu
b) B: có ít nhất 1 sản phẩm xấu
c) C: có ít nhất 1 sản phẩm tốt
d) D: không phải tất cả các sản phẩm đều tốt
e) E: có đúng một sản phẩm xấu
f) F: có ít nhất 2 sản phẩm tốt
Giải.

A  A1 . A2 .A3 . A4 ;

B  A1  A2  A3  A4  A1 A2 A3 A4 ; C  A1  A2  A3  A4

C  B;

D  A1. A2 . A3 . A4  A1 . A2 .A3 . A4  A1 . A2 .A3 . A4  A1 . A2 . A3 . A4 ;

E  A D
3. Quan sát 4 sinh viên làm bài thi. Gọi Bj là biến cố sinh viên thứ j làm bài đạt yêu
cầu. Hãy biểu diễn các biến cố sau đây qua Bj.
a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu=E.
b) Có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu=F.
c) Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu=G.
d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu=H.
Giải.

1
XSTK 11/2013


E  B1 .B2 .B3 .B4  B1 .B2 .B3 .B4  B1.B2 .B3 .B4  B1 .B2 .B3 .B4
F  B1 .B2 .B3 .B4  B1 .B2 .B3 .B4  B1.B2 .B3 .B4  B1 .B2 .B3 .B4
G  B1  B2  B3  B4
H  B1 .B2 .B3 .B4
4. Một xưởng có 3 máy hoạt động. Gọi Ai là biến cố máy thứ i bị hỏng. Viết biểu thức
của các biến cố.
a) A=”chỉ có máy 2 bị hỏng”
b) B=”máy 1, 2 bị hỏng nhưng máy 3 không hỏng’
c) Ci=”có i máy hỏng”
d) D=”có ít nhất 2 máy hỏng”
e) E=”có không quá hai máy hỏng”
Giải.

A  A1 . A2 .A3 ;

B  A1. A2 . A3 ;

C 0  A1. A2 . A3 ;

C1  A1. A2 . A3  A1 .A2 . A3  A1 . A2 .A3
C2  A1 .A2 . A3  A1 . A2 .A3  A1. A2 . A3 ;

C3  A1 . A2 .A3

D  C2  C3 ; E  C3  C0  C1  C2
5. Kiểm tra lần lượt từng sản phẩm trong kho cho đến khi nào thấy sản phẩm hỏng thì
dừng kiểm tra. Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy ra lần thứ i là sản phẩm hỏng.
Biểu diễn các biến cố sau qua Ai
a) Dừng kiểm tra ở lần thứ 4=K.
b) Kiểm tra không quá 3 lần=H.
Giải.

K  A1. A2 . A3 .A4

H  A1  A1 . A2  A1 . A2 . A3

6. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy 4 sản phẩm từ hộp để kiểm
tra. Gọi A=”có không quá hai phế phẩm”; B=”có hơn 3 phế phẩm”
a) Mô tả A; B . Chứng minh A.B   . Mô tả biến cố A+B; A\B

 

b) Tính P(A); P(B); P A
Giải.

A  B : số phế phẩm là 3 hoặc 4.
B  A : số phế phẩm ít hơn 3.

A.B  A.A  ;

A  B  A  A  ; A \ B  A

2
XSTK 11/2013


P  A 

C54  C53C51  C52C52
C104

C54  C53C51  C52C52
P B  P A  1
C104

 

 

 

 

7. Cho A và B là hai biến cố sao cho P A  0, 5; P B  0, 65; P AB  0, 35

b) P AB

 
P  AB 

c)

P AB



a) P A  B



 
P  A  B


d) P AB B

 
P  AB 
P  A B

P A B

P A B

 





P AB B





P AB B



Đáp số.

P  A  B   0, 8

 
P  A  B   0, 85
P AB  0, 65

 
P  AB   0, 3

 
P  AB   0,15
6
P  A B 

13

P A  B  0, 65

 

P AB 

P A  B  0, 2

7
13

7
3
P AB B  0
P AB B 
13
7
8. Trong một hộp có 15 bóng đèn trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên có thứ tự
không hoàn lại 3 bóng để dùng. Tìm xác suất để:
a) Cả 3 bóng đều hỏng?
b) Cả 3 bóng đều không hỏng?
c) Có ít nhất 1 bóng không hỏng?
d) Chỉ có bóng thứ 2 hỏng?
Đáp số.







P AB B 

a)

A33
A153

b)





A123
A153

c) 1

A33
A153

d)



A122 A31
A153

9. Trong tủ có 8 đôi giày. Lấy ngẫu nhiên ra 4 chiếc. Tính xác suất sao cho trong các
chiếc giày lấy ra
a) Không lập thành đôi nào cả?
b) Có đúng một đôi giày?
Đáp số.

a)

C84 .24
C164

b)

C81.C72 .22
C164

3
XSTK 11/2013


10. Một lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm là phế phẩm. Kiểm tra ngẫu
nhiên lần lượt 6 sản phẩm không hoàn lại. Nếu có ít nhất một phế phẩm thì không
mua lô hàng. Tìm xác suất lô hàng được mua.
6
A94

Đáp số.

6

A100

11. Một nhân viên quảng cáo nghiên cứu sở thích xem tennis của những người có gia
đình. Từ số liệu thu được anh ta kết luận: 60% các ông chồng thích xem tennis;
nếu chồng thích xem tennis có 40% các bà vợ cũng thích xem tennis; nếu chồng
không thích xem tennis có 30% các bà vợ thích xem tennis. Chọn ngẫu nhiên một
cặp vợ chồng.
a) Tính xác suất vợ thích xem tennis
b) Biết vợ thích xem tennis, xác suất chồng thích xem tennis là bao nhiêu.
Đáp số. a) 0,36
b) 2/3
12. Ba công nhân cùng làm ra một loại sản phẩm, xác suất để người thứ 1, 2, 3 làm ra
chính phẩm tương ứng là 0,9; 0,7; 0,8. Một người trong đó làm ra 3 sản phẩm thì
thấy có 1 phế phẩm. Tìm xác suất để người này làm 3 sản phẩm tiếp theo có 1
chính phẩm.
Giải.
Gọi Hi là biến cố người sản xuất là người thứ i.
A là biến cố sản xuất ra 3 sản phẩm thì có 1 phế phẩm.
Ta có:

1
3
3
2
2
2
1
P  A   P  Hi  P A Hi  C32  0.9   0.1  C32  0.7   0.3  C32  0.8   0.2   0.356

3 

i 1
P  H1  P  H 2  P  H 3 

















P H1 A  0.2275 P H 2 A  0.4129 P H 3 A  0.3596

Gọi K là biến cố sản xuất ra 3 sản phẩm có 1 chính phẩm.





3



 

P K A   P Hi A P K HiA
i 1



2

2

 0.2275.C32  0.9  0.1  0.4129.C32  0.7  0.3   0.3596.C32  0.8  0.2 

2

 0.1187
13. Một người mua vé số cào, người đó mua liên tiếp từng vé cho đến khi nào trúng thì
ngừng. Tính xác suất người đó mua đến vé thứ 4 thì dừng biết rằng xác suất trúng
thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0,01.

4
XSTK 11/2013


  

3

 



Đáp số. P F  0, 99 . 0, 01

14. Trong một kho chứa cam có 42% cam Trung Quốc, 24% cam Thái Lan, 26% cam
Campuchia và 8% cam Việt Nam. Trong số đó có một số cam hư gồm: 20% số cam
của Trung Quốc, 10% số cam của Thái Lan, 12% số cam của Campuchia và 2% số
cam của Việt Nam.
a. Tính xác suất để một người mua phải 1 trái cam TQ hư?
b. Tính xác suất để một người mua phải 1 trái cam hư?
c. Biết một người đã mua phải 1 trái cam hư. Tính xác suất để trái cam ấy của
CPC?
d. Biết một người đã mua phải 1 trái cam hư. Tính xác suất để trái cam ấy không
của Việt Nam?
Đáp số: Gọi Ai là biến cố cam của TQ, TL, CPC, VN
H là bc cam bị hư





a) P A1 .H  0, 42 * 0, 2  0, 084

 

b) P H  0, 42 * 0, 2  0, 24 * 0,1  0, 26 * 0,12  0, 08 * 0, 02  0,1408









c) P A3 H 

0, 26.0,12
 0, 2216
0,1408





d) P A4 H  1  P A4 H  1 

0, 08.0, 02
 0, 9886
0,1408

15. Trong một cơ quan điều tra người ta dùng máy dò tìm tội phạm, kinh nghiệm cho
biết cứ 10 người bị tình nghi thì có 7 người là tội phạm. Máy báo đúng người có tội
với xác suất 0,85. Máy báo sai người vô tội với xác suất 0,1. Một người được máy
phân tích. Hãy tìm xác suất.
a. Máy báo người này là tội phạm?
b. Người này thực sự có tội biết rằng máy đã báo có tội?
c. Máy báo đúng?
Giải. Gọi A là biến cố người bị tình nghi là tội phạm.

T là bc máy báo người này là tội phạm.

       
P  A P  T A 0, 595
PA T  

 0, 952
0, 625
P T 
 

a. P T  P A P T A  P A P T A  0, 625
b.

5
XSTK 11/2013






c. P AT  A.T  0, 7.0, 85  0, 3.0, 9  0, 865
16. Có 8 bình đựng bi trong đó có :
+ 2 bình loại 1: mỗi bình đựng 6 bi trắng 3 bi đỏ.
+ 3 bình loại 2: mỗi bình đựng 5 bi trắng 4 bi đỏ.
+ 3 bình loại 3: mỗi bình đựng 2 bi trắng 7 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên 1 bình và từ bình đó lấy ra 1 bi.
a. Tính xác suất để lấy được bi trắng?
b. Biết rằng bi lấy ra là bi trắng. Tính xác suất để bình lấy ra là loại 3?

33 11
6
2

b) P A3 T 

72 24
33 11
17. Kiện hàng 1 có 5 sản phẩm loại A, 1 sản phẩm loại B. Kiện hàng 2 có 2 sản phẩm
loại A, 4 sản phẩm loại B. Từ mỗi kiện chọn ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm đem giao
cho khách hàng. Sau đó các sản phẩm còn lại dược dồn chung vào kiện hàng 3
đang trống.
a) Nếu ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện hàng 3 thì xác suất để chọn được sản
phẩm loại B là bao nhiêu?
b) Nếu ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện hàng 3, hãy tính xác suất để có ít nhất
1 sản phẩm loại B trong 2 sản phẩm được chọn?
18. Một nhà máy sản xuất mainboard của máy vi tính có tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng
là 85%. Trước khi xuất xưởng người ta dùng một dụng cụ để kiểm tra sản phẩm đó
có đạt chất lượng hay không? Thiết bị này có khả năng phát hiện đúng sản phẩm
đạt chất lượng với xác suất 0,9 và phát hiện đúng sản phẩm kém chất lượng là 0,95.
Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm và cho thiết bị này kiểm tra. Tính xác suất:
a) Sản phẩm không đạt chất lượng biết rằng thiết bị đã kết luận nó đạt chất
lượng.
b) Sản phẩm được thiết bị kết luận đúng với thực chất của nó.
c) Sản phẩm được thiết bị kết luận là đạt tiêu chuẩn.
19. Biết tỉ lệ người có nhóm máu O, A, B, AB trong cộng đồng tương ứng là: 34%;
37%; 21% và 8%. Người có nhóm máu O, A, B chỉ có thể nhận được nhóm máu
cùng loại với mình hoặc của người có nhóm máu O; còn người có nhóm máu AB
có thể nhận máu từ bất kì người có nhóm máu nào. Chọn ngẫu nhiên một người cho

máu và một người nhận máu.
a) Tính xác suất việc truyền máu được thực hiện.
b) Giả sử việc truyền máu đã được thực hiện. Tính xác suất người cho có
nhóm máu A?
c) Giả sử việc truyền máu đã được thực hiện. Tính xác suất người nhận có
nhóm máu B?



 

Đáp số. a) P T 

 











Đáp số.a) P T  0, 5738 b) P A1 T  0, 2902 c) P B2 T  0, 2013

6
XSTK 11/2013

20. Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp là 5%.
Mỗi sản phẩm sản xuất ra được lần lượt qua 2 lần kiểm tra độc lập.
+ Lần 1: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 90%, và nhận biết sai
một phế phẩm là 3%.
+ Lần 2: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 95%, và nhận biết
đúng một phế phẩm là 98%.
Một sản phẩm được đưa ra thị trường nếu trong cả 2 lần kiểm tra được coi
là chính phẩm. Tính xác suất để:
a) Một phế phẩm được đưa ra thị trường.
b) Một chính phẩm bị loại trong quá trình kiểm tra.
c) Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ xí nghiệp được đưa ra thị
trường.
d) Một sản phẩm được đưa ra thị trường là phế phẩm.
Giải.
Gọi F là bc sản phẩm là chính phẩm.
T1; T2 bc lần kiểm tra 1,2 kết luận sản phẩm là chính phẩm

  





a) P T1.T 2 F  P T 1 F P T 2 F  0, 0006







  
P  T1.T 2   P  F  P  T1.T 2 F   P  F  P  T1.T 2 F   0, 81228

b) 1  P T 1.T 2 F  1  P T1 F P T 2 F  0,145
c)



  

 

P F P T1 F P T 2 F



d) P F T1.T 2 

P  T1.T 2 

  0, 00003
0, 81228

21. Một hộp có 8 viên bi gồm 2 màu đỏ và xanh. Các giả thiết về số bi xanh và đỏ
trong hộp xem như là đồng khả năng. Giả sử lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp thì
thấy có 3 bi đỏ và một bi xanh. Hoàn lại 4 bi đã lấy vào hộp. Tính xác suất khi lấy
tiếp 3 viên bi nữa từ hộp thì có 1 đỏ và 2 xanh.
Giải.

Gọi Ai là bc có i bi đỏ trong hộp. Ta có i=1,2,…7
Gọi F là biến cố lần 1 lấy ra 4 viên bi thì có 3 đỏ và một xanh.
Lúc đầu ta có: P(Ai)=1/7
Xác suất để F xảy ra:
7



P  F    P  Ai  P F Ai
i 1



1 1
126 9
 . 4 0  0  C33C51  C43C14  C53C31  C63C12  C73C11 

7 C8
490 35





Xác suất của các biến cố Ai sau khi F xảy ra:

7
XSTK 11/2013









P A1 F  P A2 F  0





P A3 F 

5
126





P A4 F 

16
126

30
40

35
P A6 F 
P A7 F 
126
126
126
Gọi H là biến cố lấy 3 bi từ hộp thì có 1 đỏ và 2 xanh.
Ta có:







P A5 F 







1 2
1 2
1 2
1 2
5 C3C5 16 C4C4 30 C5C3 40 C6C2
P H F   P Ai F P H Ai F 
.


.

.

.
0
126 C83
126 C83
126 C83
126 C83
i 3



7





 



22. Tỉ lệ mắc bệnh tim ở một vùng là 6%. Việc chẩn đoán một người có bị bệnh tim
hay không được thực hiện qua 2 xét nghiệm. Nếu xét nghiệm 1 kết luận có bệnh thì
mới tiến hành tiếp tục xét nghiệm 2. Khả năng chẩn đoán đúng của xét nghiệm 1 là
85% đối với người mắc bệnh và chẩn đoán sai với người không có bệnh là 2%. Ở
xét nghiệm 2, khả năng kết luận đúng với người có bệnh là 99% và chỉ có 1%

người không có bệnh bị kết luận là có bệnh. Một người bị kết luận là có bệnh nếu
cả 2 xét nghiệm đều kết luận có bệnh.
a) Gọi biến cố và xác định các xác suất đề bài cho
b) Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng và kiểm tra như trên. Biết rằng
người này đã bị kết luận là có bệnh. Tính xác suất người này thực sự không
có bệnh.
Đáp số.
Gọi T là biến cố một người trong vùng bị bệnh tim.
Gọi N1; N2 là biến cố xét nghiệm lần 1; lần 2 kết luận là có bệnh.



 

a) Ta có: P T  0, 06







P N1 T  0, 85







P N 2 T .N1  0, 99



P N1 T  0, 02

P N 2 T .N1  0, 01





b) Ta cần tính xác suất: P T N1.N 2  ???
Ta có:

  



P  N 1 .N 2 



 P  T  P N1.N 2 T  P T P N1.N 2 T



 0, 06.0, 85.0, 99  0, 94.0, 02.0, 01  0, 050678

0, 94.0, 02.0, 01

 0, 003709
0, 050678
23. Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán như sau: trong một phiên giao
dịch xác suất giá tăng lên một đơn vị là p và xác suất giảm một đơn vị là (1-p). Sự
thay đổi giá của các phiên giao dịch là độc lập nhau.





P T N 1. N 2 

8
XSTK 11/2013


a) Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch thì giá tăng so với thời điểm ban đầu 1
đơn vị.
b) Giả sử sau 3 phiên giao dịch giá tăng hơn so với thời điểm ban đầu 1 đơn
vị. Tính xác suất giá tăng trong phiên giao dịch thứ 2.
Giải.
Gọi Ai là biến cố phiên thứ i tăng giá.

 

Gọi X là số phiên tăng giá trong 3 phiên. Ta có: X  B 3; p

 







a) P F  P X  2  3 p 2 1  p





b) P A2 F 

P  A2 F 
PF







P A1 A2 A3  A1 A2 A3
P F 

2
3

24. Bắn 3 phát đạn vào máy bay với xác suất trúng tương ứng là 0,4; 0,5; 0,7. Nếu
trúng một phát thì xác suất máy bay rơi là 0,2. Nếu trúng hai phát thì xác suất máy

bay rơi là 0,6. Nếu trúng cả 3 phát thì xác suất rơi là 1. Tính xác suất máy bay rơi.
Hướng dẫn. Gọi Ai là biến cố viên đạn thứ i bắn trúng.

Si là biến cố có i viên trúng máy bay.
F là bc máy bay rơi.







Ta có: P F S1  0, 2
3



P  F    P  Si  P F Si
i 1





P F S2  0, 6



P F S3  1



BÀI TẬP CHƯƠNG 2
1. Một xí nghiệp có 2 ô tô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị
hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong ngày. Tìm qui luật
phân phối xác suất của X?
Giải. Gọi Ai là biến cố ô tô thứ i bị hỏng.
X là số ô tô bị hỏng trong ngày. X={0,1,2}
X

0

1

2

P

0,72

0,26

0,02


1,0

2. Hai máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Biết tỉ lệ sản phẩm loại 1 của các máy
lần lượt là 10%; 20%. Cho mỗi máy sản xuất 2 sản phẩm.
a) Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm loại 1 trong 4 sản phẩm sản xuất

ra.

9
XSTK 11/2013


b) Tìm số sản phẩm loại 1 tin chắc nhất, số sản phẩm loại 1 trung bình trong 4 sản
phẩm sản xuất ra.
Giải.
Gọi X1; X2 là số sản phẩm loại một do máy 1; máy 2 sản xuất ra.
Gọi Y là số sản phẩm loại một trong 4 sản phẩm do hai máy sản xuất ra.
Ta có: Y=X1+X2

Y

X1

0

1

2

P

0,81

0,18

0,01

X2

0

1

2

P

0,64

0,32

0,04

1

2

3

0

P


1,0


1,0
4



0,5184 0,3744 0,0964 0,0104 0,0004

1,0

3. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập nhau. Xác suất trong thời gian t các
bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,3 và 0,2.
a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng X?
b) Xác định hàm phân phối xác suất tích lũy của X?
c) Tìm xác suất trong thời gian t không có quá 2 bộ phận bị hỏng?
d) Tìm Mod(X) và Med(X)?
Giải.
3
X
0
1
2



P

0,336

0,188

0,452

0,024

1,0

4. Xác suất một người bắn trúng bia là 0,8. Người ấy được phát từng viên đạn cho
đến khi bắn trúng bia. Tìm qui luật phân phối xác suất của số viên đạn bắn trượt?
Giải.
Gọi X là số viên đạn bắn trượt. Ta có: X=0,1,2,…
k

P  X  k    0,2   0,8 , k  0,1,2,...
5. Cho hai máy sản xuất, mỗi máy 2 sản phẩm. Biết tỉ lệ sản phẩm loại A của mỗi
máy tương ứng là 20%; 30%.
a) Lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm được
sản xuất ra.
b) Tìm số sản phẩm loại A tin chắc nhất; số sản phẩm loại A trung bình có trong 4
sản phẩm; phương sai của số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm.
Giải. Làm giống bài 2

10
XSTK 11/2013


6. Sản phẩm của một nhà máy khi sản xuất xong được đóng thành kiện 5 sản phẩm.
Gọi X là số sản phẩm loại A trong 5 sản phẩm. X có bảng phân phối như sau:
X
2

3
4
P
0,3
0,5
0,2
a) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ một kiện ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Tìm
phân phối xác suất cho số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra.
b) Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất ra lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản
phẩm thì thấy có một sản phẩm loại A. Tính xác suất để trong kiện này còn lại
2 sản phẩm loại A.
c) Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất, lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 3 sản
phẩm thì thấy có 1 sản phẩm loại A. Tìm phân phối xác suất cho số sản phẩm
loại A có trong 2 sản phẩm còn lại của kiện.
Giải.
a) Gọi Y là số sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy ra.
Y=0,1,2
Y phụ thuộc vào X.
Ta có:











P Y  0   P  X  2  P Y  0 X  2  P  X  3 P Y  0 X  3  P  X  4  P Y  0 X  4
C32

C22
0
 0,3 2  0,5 2  0,2. 2  0,14
C5
C5
C5
Tương tự ta có:
P  Y  1  0,3

C21C31

P  Y  2   0,3

C52

 0,5

C31C21
C52

C41C11
 0,2. 2  0,56
C5

C32
C22
C42


0,5

0,2.
 0,3
C52
C52
C52

C31C21
0,5. 2
P  X  3 P Y  1 X  3
C5
15
b) P X  3 Y  1 


0,56
28
P  Y  1









c) Gọi H là biến cố lấy 3 sản phẩm thì có 1 sản phẩm loại A.

Gọi Z là số sản phẩm loại A còn lại trong kiện.
Ta có:











P  H   P  X  2  P H X  2  P  X  3 P H X  3  P  X  4  P H X  4
C21C32
C31C22
0
 0,3 2  0,5 2  0,2. 2  0,33
C5
C5
C5





P  Z  1  P X  2 H 

6
11



11
XSTK 11/2013



P  Z  2  P X  3 H 

5
11






7. Một hộp có 10 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong hộp, X có bảng phân phối
xác suất như sau:
X
0
1
2
P
0,7
0,2
0,1
Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm. Tìm luật phân phối xác suất
của số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra.

8. Có 2 lô sản phẩm. Lô 1 có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lô 2 có 7 chính phẩm và
3 phế phẩm. Từ lô 1 lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô 2 sau đó từ lô thứ 2 lấy
ra 2 sản phẩm. Gọi X là số chính phẩm được lấy ra.
a) Tìm qui luật phân phối của X?
b) Xác định hàm phân phối xác suất tích lũy của X?
9. Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng.
Xác suất ném trúng của từng người tương ứng là 0,3 và 0,4. Người thứ nhất ném
trước.
a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số lần ném rổ của mỗi người?
b) Tìm qui luật phân phối xác suất của tổng số lần ném rổ của hai người?
Giải.
Gọi X là số lần ném rổ của người 1. Ta có: X=1,2,3…
Y là số lần ném rổ của người 2. Ta có: Y=0,1,2,…
Gọi Ai ; Bi là biến cố người 1, người 2 ném trúng rổ ở lần thứ i.



P  X  2   P  A B A  A B A B    0,42   0,58
P  X  1  P A1  A1B1  0,3  0,7.0,4  0,58
1

1

1

2

1

P  X  k   ...   0,42 

k 1

1

2

2

 0,58

P  Y  0   P  A1   0,3
0



P  Y  2   P  A B A B  A B A B A    0,42  .  0,406 
P  Y  1  P A1B1  A1 B1 A2  0,406   0,42  .  0,406 
1

1

2

2

P  Y  k   ...   0,42 

k 1

1

1

2

2

3

 0,406 

Gọi Z là tổng số lần ném của hai người. Z=1,2,3..

 
P  Z  3  P  A B A    0,42  .  0,3  P  Z  4   P  A B A B    0,42  0,28
P  Z  5  P  A B A B A    0,42   0,3
P  Z  1  P  A1   0,3
1

1

3

1

1

2

P  Z  2   P A1B1  0,7.0,4  0,28
1

1

2

2

2

P  Y  2k    0,42 

k 1

2

3

k

. 0,28

P Y  2k  1   0,42  .  0,3
12

XSTK 11/2013


10. Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm.

Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (chọn 1 lần). Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản
phẩm lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X. Viết hàm phân phối và tính E(X);
Var(X) và P(X≥1)?



Giải. Ta có: X  H 100,90,3



11. Tung đồng xu 4 lần. Nếu sấp thì được 1 đồng, ngửa thì thua 1 đồng. Gọi X là số
tiền thu được sau 4 lần tung. Tính E(X); Var(X)?
Giải. Gọi Xi là số tiền thu được ở lần tung thứ i.
Bảng phân phối xác suất của Xi là:

Xi

-1

1

P
0,5
0,5
Ta có: Xi là các biến ngẫu nhiên độc lập và X  X1  X 2  X3  X 4
Do đó:

E  X   E  X1   E  X 2   E  X3   E  X 4   0
Var  X   Var  X1   Var  X2   Var  X3   Var  X 4   4
12. Một hộp có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng tốt, 3 bóng hỏng. Chọn ngẫu nhiên

không hoàn lại từng bóng đem thử cho đến khi thu được 2 bóng tốt. Gọi X là số
lần thử cần thiết. Tìm luật phân phối xác suất của X. Trung bình cần bao nhiêu lần
thử?
Giải.
Bảng phân phối xác suất của X.
X
2
3
4
5
P
0,1
0,2
0,3
0,4
E(X)=4
13. Có hai hộp sản phẩm: H1 có 7 tốt và 3 xấu, H2 có 8 tốt và 2 xấu.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tìm xác suất để sai
lệch giữa số sản phẩm tốt được lấy ra và kỳ vọng của nó nhỏ hơn 1.
b) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 2 sản phẩm. Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 4 sản
phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của Y. Tính Mod(Y), E(Y), Var(Y).
Giải.
a) Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra. Ta có: X=0,1,2,3
Bảng phân phối xác suất của X:
X
0
1
2
3
P

Giá trị kỳ vọng của X: E(X)=
Xác suất cần tìm:
b) Gọi Z1; Z2 là số sản phẩm tốt trong hai sản phẩm lấy ra từ hộp 1; 2.
Bảng phân phối xác suất:

13
XSTK 11/2013


Z1
P

0

1

2

Z2

0

1

2

Ta có: Y=Z1+Z2; Z1;Z2 là hai bnn độc lập.
Do đó:
14. Một hộp có 6 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng các sản phẩm trong hộp
này. Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp được xem là đồng khả năng.

Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 sản phẩm thì thấy có 2 sản phẩm tốt. Theo bạn thì khả
năng nhiều nhất có bao nhiêu sản phẩm tốt có trong 3 sản phẩm còn lại trong hộp?
15. XA, XB là lãi suất thu được trong một năm (đơn vị %) khi đầu tư vào 2 công ty A,
B một cách độc lập. Cho biết quy luật phân phối của 2 biến ngẫu nhiên trên như
sau:
XA
4
6
8
10
12
P
0,05
0,1
0,3
0,4
0,15
XB
-4
2
8
10
12
16
P
0,1
0,2
0,2
0,25
0,15

0,1
a) Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?
b) Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn?
c) Nếu muốn đầu tư vào cả 2 công ty thì nên đầu tư theo tỉ lệ nào sao cho:
a. Thu được lãi suất kỳ vọng lớn nhất?
b. Mức độ rủi ro về lãi suất thấp nhất?
Giải.
a) Ta có: E(XA)=9
E(XB)=7,5
b) Var(XA)=
Var(X)=31,25
c) Gọi x là tỉ lệ đầu tư vào công ty A.
Tỉ lệ đầu tư vào công ty B: (1-x)
Gọi Z là lãi suất thu được sau một năm. Ta có: Z=x.XA+(1-x).XB
Ta có: E(Z)= x.E(XA)+(1-x).E(XB)=
16. Phí qua cầu đối với một xe nhỏ là 10 ngàn đồng; một xe lớn là 15 ngàn đồng. Theo
thống kê có khoảng 60% xe nhỏ qua cầu trong một giờ, còn lại là xe lớn. Nếu có
250 xe qua cầu trong một giờ thì số tiền trung bình thu được là bao nhiêu?
Giải.
Gọi Xi là số tiền thu được của một xe qua cầu.
Ta có: Xi=10; 15 Đơn vị tính: ngàn đồng.
Dễ thấy: E(Xi)=0,6.10+0,4.15=12
Gọi Y là số tiền thu được của 250 xe. Ta có: Y=X1+X2+…+X250
Từ đó: E(Y)=12+12+…+12=3000 (ngàn đồng)= 3 triệu.
Sinh viên chú ý: Y là tổng của 250 biến ngẫu nhiên độc lập chứ không phải là tích của
250 với X, trong đó X là số tiền thu được của một xe qua cầu.

14
XSTK 11/2013

17. Thống kê hàng năm cho biết tỉ lệ xe máy bị tai nạn giao thông là 0,0055 vụ/năm.
Một công ty bảo hiểm đề nghị tất cả các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số
tiền là 600 ngàn/năm và họ chi trả trung bình cho một vụ tai nạn xe máy là 50 triệu
đồng. Hỏi công ty kỳ vọng thu được bao nhiêu tiền trên mỗi hợp đồng bảo hiểm.
Biết rằng chi phí quản lý và các chi phí khác chiếm tới 30% số tiền bảo hiểm.
18. Cho X1; X2; X3 là ba biến ngẫu nhiên độc lập có bảng ppxs như sau:
X1
0
1
X2
1
2
X3
0
2
P
0,6
0,4
P
0,4
0,6
P
0,8
0,2
Đặt X 

X1  X 2  X 3
. Tính E X ;Var X .
3

 

 

19. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X như sau:
X
-5
2
3
4
P
0,4
0,3
0,1
0,2
a) Tính E(X), V(X) và σX?
b) Tìm Mod(X)?
20. Cho
X;
Y
là
hai
biến
ngẫu
nhiên

độc

lập.

Có:

E  X   Var  X   3; E  Y   Var Y   2
a) Đặt Z 
b) Đặt T 

3 X  2Y
. Tính E  Z  ;Var  Z  ?
5

Z  EZ 
Var  Z 

 

. Tính E T ?

21. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau:
X
4
0,6
x3
P
0,5
0,3
p3
Tìm x3 ; p3 biết E(X)=8.
22. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có qui luật phân bố xác suất như sau:
X

x1
x2
P
p1
0,7
Tìm x1,x2 và p1 biết E(X)=2,7 và V(X)=0,21. Biết x2  x1
23. Một người đi từ nhà đến cơ quan phải đi qua 3 ngã tư. Xác suất gặp đèn đỏ ở các
ngã tư đó như sau: 0,2; 0,4 và 0,5. Hỏi thời gian người đó phải ngừng trên đường
là bao nhiêu. Biết mỗi lần gặp đèn đỏ người đó phải đợi khoảng 3 phút.
Giải.
X là thời gian ngừng trên đường. X=0,3,6,9 Đơn vị tính: phút
Ai là biến cố gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ 1,2,3. P(A1)=0,2 P(A2)=0,4 P(A3)=0,5







 







Ta có: P X  0  P A1. A2.A3  1  0,2 1  0,4 1  0,5  0,24
Tương tự ta có:

15
XSTK 11/2013


P  X  3  0,2.0,6.0,5  0,8.0,4.0,5  0,8.0,6.0,5  0,46
P  X  6   0,8.0,4.0,5  0,2.0,6.0,5  0,2.0,4.0,5  0,26
P  X  9   0,2.0,4.0,5  0,04

 

Vậy E X  0.0,24  3.0,46  6.0,26  9.0,04  3,3
24. Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất như sau(đơn vị : ngàn sản phẩm)
k  30  x 
f x  
0

x   0,30 
x   0,30 

a) Tìm k?
b) Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó không vượt quá 12 ngàn sản phẩm
một năm?
c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó?
Giải.

a) Do f  x  là hàm mật độ xác suất nên ta có:
 f  x   0,
x


1
 ...  k 

450
  f  x  dx  1

12

b) P  X  12  



12

f  x  dx 



30



c) E  X  





1
 30  x  dx  ...

450 0

xf  x  dx 

1
x  30  x  dx  ...
450 0

25. Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm
phân phối xác suất như sau(đơn vị: phút)
0

F  x   ax 3  3 x 2  2 x
1


,x  0
,0  x  1
,x 1

a) Tìm hệ số a?
b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình?
c) Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì có không quá 2 người phải chờ quá
0,5 phút?
Giải.
a) Do F(x) là hàm phân phối xác suất của bnn liên tục nên F(x) liên tục trên R.
Suy ra F(x) liên tục tại x=1. Từ đó ta có: a=2.

16
XSTK 11/2013

Thử lại với a=2 ta thấy F(x) thỏa mãn các tính chất của hàm phân phối xác
suất. Vậy a=2.
b) Hàm mật độ xác suất tương ứng:
, x   0;1

 0
f x   2
6 x  6 x  2

, x   0;1

Thời gian xếp hàng trung bình:
1



EX 









xf  x  dx   x 6 x 2  6 x  2 dx  ... E(X)=…
0

c) Xác suất một người phải chờ quá 0,5 phút:

P  X  0,5  P  0,5  X  1  F 1  F  0,5  

1
2

 

Gọi Ai là bc người thứ i phải chờ quá 0,5 phút P Ai 

1
2

Gọi H là bc…

  



Ta có: P H  P A1 A2 A3 

1
7
 PH  
8
8

26. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất như sau:

 1

f x  b  a
0



a) Tìm P  a  X 


, x   a, b 
, x   a, b 

ab
?
2 

b) Tìm hàm phân phối xác suất của X?
Giải. Xem chương 3 phần phân phối đều
27. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối xác suất như sau:
F  x 

1 1
 arctan x
2 

a) Tìm P  0  X  1 ?
b) Tìm hàm mật độ xác suất của X?
1
4

c) Tìm giá trị có thể có x1 thoả mãn điều kiện P  X  x1   ?
Giải.
1 1
 1 1
 1
a) Ta có: P  0  X  1  F 1  F  0     arctan1    arctan 0  
2 
 2 
 4

b) Hàm mật độ: f  x   F  x  

1



 1  x2



17
XSTK 11/2013


1
4

3
4

3
4

1 1
2 

3
4

c) Ta có: P  X  x1    P  X  x1    F  x1     arctan x1   x1  1
28. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất như sau:
, x   a; b 

k
f  x  
0

, x   a; b 

a) Tìm hệ số k?
b) Tìm E(X) và V(X)?
Giải.
29. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:
 e  x
f x  
 0

,x  0
,x  0

  0

Tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên này?
Giải. Xem phân phối lũy thừa chương 3
30. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:
3
 kx
f x  
 0

, x  [0,1]
, x  [0,1]

a) Tìm k, E(X), Var(X), Mod(X) ?
b) Tính P  X  E ( X )  0,5
c) Cho Y  2 X . Tìm hàm mật độ của Y, P  0,5  Y  1 ; E Y 
Giải.

a) Ta giải được: k=4
b) Sv tự tính
c) Gọi FY  y   P Y  y  là hàm ppxs của bnn Y.
0

2


Ta có: P Y  y   P 2 X  y   P  0  X  y 
4 
 

1




0
 8
Do đó: FY  y    y 4
4
1




,y  0

,0  y  2
,2  y

0


, 0  y  2  fY  y    FY  y     2 y 7
 3
4
,2  y

Tính toán còn lại sinh viên tự làm.

18

XSTK 11/2013

,y  0

, y   0; 2 
, y   0; 2 


BÀI TẬP CHƯƠNG 3
1. Thống kê cho thấy cứ chào hàng 3 lần thì có 1 lần bán được hàng. Nếu chào hàng
12 lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo qui luật gì? Tại sao?
Giải.
X có qui luật phân phối nhị thức. Vì:
+ Các lần chào hàng độc lập nhau.
+ Xác suất bán được hàng là như nhau mỗi lần.
2. Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm của nhà máy là 5%. Lấy ngẫu nhiên lần
lượt, có hoàn lại 100 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm trong 100 sản
phẩm
a) X có luật phân phối gì?
b) E(X), Mod(X)?
Giải. a) X có phân phối Nhị thức. Vì:
+ Lấy 100 sản phẩm lần lượt, có hoàn lại là 100 phép thử độc lập.
+ Vì có hoàn lại nên xác suất lấy được phế phẩm mỗi lần đều không đổi.
3. Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên
5 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được.
a) X tuân theo qui luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát của qui luật?
b) Tìm E(X), V(X)?
c) Tìm số sản phẩm loại 1 trung bình lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó?
Giải.



k

P  X  k   C5k  0,8  0,2 

b) E  X   5.0,8  4

Var  X   5.0,8.0,2  0,8

c)



5 k

a) X ~ B 5;0,8 ;

; k  0,1,2,3,4,5

 5  1 0,8  1  ModX   5  1 0,8  ModX  4
4

1

P  X  4   C54  0,8   0, 2   ...

4. Xác suất để mỗi khách chậm tàu là 0,02. Tìm số khách chậm tàu có khả năng xảy
ra nhiều nhất trong 855 hành khách.
Giải.

Gọi Y là số khách chậm tàu trong 855 hành khách. Ta có: Y ~ B(855;0,02)

19
XSTK 11/2013


Số khách chậm tàu có khả năng nhất: ModY=???
5. Một nghiên cứu cho thấy 70% công chức cho rằng việc nghỉ làm 2 ngày một tuần
lễ sẽ nâng cao hiệu quả công tác. Nếu chọn ngẫu nhiên 15 công chức để phỏng vấn
thì xác suất có ít nhất 10 người đồng ý với ý kiến trên là bao nhiêu?
Giải.
Gọi Y là số công chức trong 15 người đồng ý với ý kiến…
Ta có: Y có phân phối siêu bội và xấp xỉ với phân phối Nhị thức. Y~B(15;0,7)
Ta cần tìm: P Y  10





6. Một cuốn sách có 500 trang, mỗi trang có hơn 300 chữ. Biết cuốn sách đó có 300
chữ in sai. Mở ngẫu nhiên 1 trang. Tìm xác suất để trang đó có 3 chữ in sai.
Giải.
Z là số chữ in sai trong một trang. Z có phân phối xấp xỉ nhị thức.
Ta có: Z~B(300;0,002)~P(0,6)
7. Trong 1 đợt xổ số, người ta phát hành 100.000 vé, trong đó có 10.000 vé trúng
giải. Nếu 1 người mua 10 vé thì xác suất trúng ít nhất 1 vé là bao nhiêu?
Giải. Gọi số vé trúng trong 10 vé là Y
Ta có: Y~H(100.000;10.000;10)~B(10;0,1)

P  Y  1  1  P Y  0   ...

8. Một nhà máy có 3 phân xưởng, mỗi phân xưởng có 100 máy. Xác suất trong một
ca sản xuất mỗi máy bị hỏng là như nhau và bằng 2,5%.
a) Tìm luật phân phối cho số máy bị hỏng trong một ca sản xuất của mỗi xưởng.
b) Trung bình trong một ca sản xuất toàn nhà máy có bao nhiêu máy bị hỏng.
c) Nếu mỗi nhân viên bảo trì có thể sửa tối đa 2 máy trong một ca sản xuất thì nhà
máy cần bố trí bao nhiêu nhân viên bảo trì cho hợp lý nhất.
Giải.
a) Xi~B(100;0,025)
b) Y=X1+X2+X3 ; Y~B(300;0,025) E(Y)=7,5
c) Mod(Y)=7 Vậy nhà máy nên bố trí 4 nhân viên bảo trì.
9. Một trạm cho thuê xe du lịch có 3 chiếc xe. Hàng ngày, trạm phải nộp tiền trả góp
500.000đ cho 1 chiếc xe (bất kể xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc được
cho thuê với giá 1.500.000 đ /ngày. Giả sử số xe được yêu cầu cho thuê của trạm
trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(3 ; 0,8).

20
XSTK 11/2013


a) Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày.
b) Giả sử xác suất mỗi xe được thuê đều là 0,8 và các xe có xác suất được thuê
độc lập nhau. Theo bạn, trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?
Giải.
a) Y: số tiền thu được trong ngày trong trường hợp có 3 xe.
Ta có: Y=1,5X-1,5 đơn vị: triệu đồng
E(Y)=1,5E(X)-1,5=1,5.3.0,8-1,5=2,1 triệu
b) Z: số tiền thu được trong ngày trong trường hợp có 4 xe.
K là số xe được thuê trong 4 xe. K~B(4;0,8)
Ta có: Z=1,5K-2,0 đơn vị: triệu đồng
E(Z)=1,5E(K)-1,5=1,5.4.0,8-1,5=2,8 triệu

Vậy nên có 4 chiếc xe.
10. Xác suất để gặp 1 laptop bị lỗi là 0,005. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1000
laptop ta gặp:
a) Đúng 2 máy bị lỗi.
b) Ít nhất 2 máy bị lỗi.
c) Có ít nhất 1 máy bị lỗi.
11. Trong một đợt thi nâng bậc thợ của ngành dệt, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu
nhiên 1 trong 10 máy và với máy đã chọn dệt 100 sản phẩm. Nếu trong 100 sản
phẩm sản xuất ra có từ 75 sản phẩm loại 1 trở lên thì được nâng bậc. Giả sử đối
với công nhân A, xác suất để sản xuất được sản phẩm loại 1 đối với 2 máy lần lượt
là 0,7 và 0,8. Tính xác suất để công nhân được nâng bậc thợ biết trong 10 máy có
2 máy loại 1 và 8 máy loại 2.
Hướng dẫn:
Gọi H là bc công nhân được nâng bậc thợ
A1; A2 là bc anh này chọn được máy 1; máy 2.
Gọi Y là số sản phẩm loại 1 tron 100 sản phẩm anh này sản xuẩ được.
Ta có:

21
XSTK 11/2013
















P  H   P  A1  P H A1  P  A2  P H A2  P  A1  P Y  75 A1  P  A2  P Y  75 A2

 

 

Ta có: P A1  0,2 P A2  0,8





P Y  75 A1  P  Z  75 với Z ~ B 100;0,7 
Do đó, theo công thức tính xấp xỉ xác suất (nếu sinh viên bấm máy tính được thì
không cần tính xấp xỉ).

 101  70 
 75  70 
P  Z  75  P  75  Z  101   






21 
21 







P Y  75 A2  P  Z  75 với Z ~ B 100;0,8
 101  80 
 75  80 
P  Z  75  P  75  Z  101   
 

16 

 16 
Sinh viên tính tiếp nhé.
12. Bia bắn được chia làm 2 vòng, ta gọi là vòng trong và vòng ngoài. Bắn trúng vòng
trong được 10 điểm còn vòng ngoài được 9 điểm. Một người bắn bia. Biết xác suất
bắn trúng vòng trong của anh ta là 30%; vòng ngoài là 60%. Anh này bắn 3 phát
độc lập nhau vào bia. Tính xác suất anh ta được ít nhất 29 điểm?
Giải.
Gọi F là biến cố anh này được ít nhất 29 điểm. Biến cố đối của F: anh này đạt từ 30
điểm trở lên hay anh này bắn cả 3 viên đều trúng vòng trong.

 

3

 

 

3

 

Vậy P F  0,3  P F  1  0,3

 0,973

13. Một xe vận tải chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất để khi vận chuyển mỗi
chai bị vỡ là 0,004. Tìm xác suất để sau khi vận chuyển có 5 chai bị vỡ?
14. Tổng đài điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại. Xác suất để trong mỗi phút mỗi
máy gọi đến tổng đài là 0,02. Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình trong 1
phút?
15. Trung bình cứ 40s có 2 ô tô đi qua trạm thu phí. Tính xác suất
a) Có từ 3 đến 4 ô tô đi qua trạm trong khoảng thời gian 2 phút.
b) Tính xác suất để trong 4 phút có ít nhất một ô tô đi qua.

22
XSTK 11/2013




16. Số khách hàng vào một cửa hàng bách hoá trong 1 giờ là biến ngẫu nhiên tuân
theo qui luật Poisson với mật độ là 8 khách trong 1 giờ. Tìm xác suất để trong 1

giờ nào đó có hơn 4 khách vào?
17. Một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 4%. Người ta kiểm tra 150 sản phẩm của lô hàng
đó và nếu có không quá 2 phế phẩm thì lô hàng được chấp nhận. Tìm xác suất để
lô hàng được chấp nhận?
18. Cứ 5000 con cá biển đánh bắt được thì có 1 con nhiễm khuẩn có hại cho người.
Tìm xác suất để trong một lô cá gồm 1800 con mới đánh bắt về có không quá 2
con bị nhiễm khuẩn?
19. Nhà máy có rất nhiều sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy là 25%. Kiểm
tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm. Tính xác suất để có 90 phế phẩm.
Giải. Gọi Y là số phế phẩm có trong 400 sản phẩm. Ta có: Y~B(400;0,25)







90
Ta có: P Y  90  C400
0,25

90

310

 . 0,75

Do tính trực tiếp không ra kết quả nên ta tính gần đúng như sau:

Y ~ B  400;0,25   N 100;75

P  Y  90  

1

 90  100 
1
1


  0,13 
0,3956  0,045679

75  75 
75
75

20. Trọng lượng sản phẩm X do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên tuân
theo qui luật chuẩn với µ=100 gam và σ=1 gam. Sản phẩm được coi là đạt tiêu
chuẩn nếu trọng lượng của nó đạt từ 98 đến 102 gam.
a) Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy?
b) Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy?
Giải.
a) Tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn:

 102  100 
 98  100 
P  98  X  102    
 


  2  2   0,9544
1
1









b) Tỷ lệ phế phẩm: 1  P 98  X  102  1  0,9544  0,456
21. Chiều cao của nam giới khi trưởng thành ở 1 vùng là biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn với µ=160 cm và σ=6 cm. Một thanh niên bị coi là thấp nếu chiều cao bé
hơn 157 cm.
a) Tìm tỉ lệ thanh niên thấp vùng đó?

23
XSTK 11/2013


b) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 10 người thì có ít nhất 1 anh thấp? Có không
quá 2 anh cao hơn 157cm.
Giải.



Gọi X là chiều cao của nam giới vùng đó. Ta có: X ~ N 160 cm ;36 cm 2



a) Tỷ lệ thanh niên thấp:

 157  160 
P  X  157   0,5   
  0,5    0,5  0,3085
6


b) Gọi Z là số thanh niên thấp trong 10 người. Ta có: Z~B(10; 0,3085)









Xác suất ít nhất một anh thấp: P Z  1  1  P Z  0  ...
Xác suất không quá 2 anh cao hơn 157cm:

P  Z  8  P  Z  8  P  Z  9   P  Z  10   ...
22. Năng suất lúa của một vùng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ=50 tạ/ha và
σ=3,6 tạ/ha. Tìm xác suất để gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng của vùng đó thì có 2
thửa ruộng có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ha?
Giải. X là năng suất lúa.
Xác suất một thửa có sai lệch so với trung bình không quá 0,5 tạ/ha

 0,5 
P X  50  0,5  2 
  0,1114 (Qui tắc k_sigma. Sv có thể tính bình thường)
3,6







Gọi Y là số thửa có năng suất…trong 3 thửa. Ta có: Y~B(3;0,1114)







Theo bài ta cần tính: P Y  2  C32 0,1114

2

 1  0,1114 

23. Tiến hành kiểm tra chất lượng 900 chi tiết. Xác suất được chi tiết đạt tiêu chuẩn là
0,9. Hãy tìm với xác suất 0,9544 xem số sản phẩm đạt tiêu chuẩn nằm trong
khoảng nào xung quanh số chi tiết đạt trung bình?
24. Một loại sản phẩm được gia công chiều dài và chiều rộng độc lập nhau. Chiều dài
X và chiều rộng Y của sản phẩm là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với

E(X)=8cm, E(Y)=4cm , V(X)=0,3 cm2; V(Y)=0,2 cm2. Chi tiết được coi là đạt tiêu
chuẩn khi chiều dài sai lệch với kích thước trung bình không quá 0,9cm và chiều
rộng sai lệch so với kích thước trung bình không quá 0,4cm.

24
XSTK 11/2013


a) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm ấy đạt tiêu chuẩn.
b) Gia công 3 sản phẩm, gọi Z là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Tìm E(Z), V(Z)?
Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 3 sản phẩm trên?
c) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì thấy nó không đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất
sản phẩm này không đạt tiêu chuẩn do gia công sai chiều dài.
Giải.
a) Gọi D là bc chiều dài sai lệch so với trung bình không quá 0,9 cm
R là bc chiều rộng sai lệch so với trung bình không quá 0,4 cm
H là bc sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Ta có: H=D.R

 0,9 
P  D   P X  8  0,9  2 
 0,3 


 0,4 
P  R   P Y  4  0,4  2 

 0,2 
P  H   P  D.R   P  D  .P  R   ...









b) Gọi Z là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 3 sản phẩm. Ta có: Z~B(3;??)









Vậy P Z  1  1  P Z  0  ...

  P  H 

c) Ta cần tính: P D H 

P D

25. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ=11 năm
và σ=2 năm.
a) Nếu qui định thời gian bảo hành là 10 năm thì tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là
bao nhiêu?
b) Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 10% thì phải qui định thời gian bản

hành là bao nhiêu?
Giải. X là tuổi thọ của sản phẩm.
a) Tỉ lệ sản phẩm bảo hành:

 10  11 
P  X  10   0,5   
  0,5    0,5  0,3085
2


25
XSTK 11/2013