Ebook cơ học cơ sở (tập 2 động học và động lực học) phần 2

Chương V

N(rUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ

Trong phần tĩnh học ta đã tìm được điều kiện cân bằng của cơ hệ, bao gồm các vật
thê liên kết với nhau, bằiig cách xét càn bằng từng vật thể, thay thế các liên kết bằng các
phản lực liên kết tương ứng. Tuy nhiên, nếu cơ hệ có nhiều vật thể, số lượng các phản
lực liên kêì chưa biết tăng lên, ta phải giải một số lớn các phương trình cân bang.
Nguyên lý di cluiyến khá dĩ được trình bày dưới đây khắc phục được khó khăn nêu
trên, cho ta các điều kiện cân bang lống quát cúa một cơ hệ không tự do bất kỳ.
5.1. CÁC KHÁI NIỆM VỂ C ơ HỆ KHÔNG T ự DO
1. Lién kết
a) Đ ịnh nghĩa: Liên kết là các điều kiện ràng buộc chuyển động của cơ hệ, không
plụi thuộc vào lực lác dụng và các điểu kiện ban đầu của chuyến động. Các điều kiộn
này được ciiển tả dưới dạng các hệ thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của chất
diểni của liệ và tliừi gian. Người ta gọi các hệ thức ấy là các phương trình liên kết.
Ví dụ: đối với cơ cấu tay quay thanh truyền ta có các phương trình liên kết sau (hình 5.1).
= r"
(X|ị

A chuyển động tròn quanh o
=/■

AB = /
B chiiycn động theo trục X

Yịị = 0

Bánh xe tròn bán kính R tàm o chuyển động lãn khòng trượt trên đường Iháng Ox là
cơ hệ chịu các liên kết sau (hình 5.2):
= 0;

>'(. ^ R ;
Vp = 0

Hình 5.1
08

Hình 5.2


b) Phán loại liên két
Căn cứ vào các phưcíng trình liên kết có thế phân loại liên kết như sau:
- Liên kết íìừiìg: Nếu phưcmg trình liên kết không chứa rõ đối số thời gian t thì liên
kết được gọi là liên kết dừng. Ngược lại là liên kết không dừng.
Ví dụ: Viên bi được buộc vào đầu dây không giãn dài /, treo vào một điểm cố định
chịu liên kết dừng với phương trình liên kết:

+ Z" = /■

Hòn bi chuyển động trên mặt cầu có bán kính thay đổi theo luật r = r(t) chịu liên kết
không dímg với phươiig trình liên kết;
X + y + z - r (t) = 0

- Liên kết hình học: là liên kết chỉ ràng buộc về vị trí không ràng buộc về vận tốc.
Phương trình liên kết của liên kết hình học chỉ chứa các yếu tố xác định vị trí mà
không chứa các yếu tố xác định vận tốc, hoặc nếu chứa các yếu tố vận tốc thì có thể tích
phân trực tiếp để có phương trình liên kết tươiig đưofng không chứa yếu tố vận tốc nữa.
Ví dụ: Viên bi được buộc vào dây treo vào một điểm cố định (hình 5.3).
- Liên kết cíộììiị học là liên kết ràng huỏc các yếu tố vận tốc.
Trong phương trình liên kết có chứa các yếu tố vận tốc.

o
//////

- Liên kết iỊÌữ: Nếu liên kết được niò tả chỉ bởi những đẳng thức
thì nó được gọi là liên kết giữ. Ngươc lại là liên kết không giữ.
Trong chưcfng này ta chỉ xét các liên kết dừng, giữ và hình
học. Phương trình liên kết này có dạng;
fj (X |,y|,Z |,...,x,j,y,^ ,Z |,) = 0

M (x,y,z)

(j = l , 2 , ..... ,s )

H ì n h 5.3

c) P hân loại cơ hệ
Ta phân các cơ hệ thành hai loại cơ hệ tự do và cơ hộ không tự do.
Cơ hệ không tự do là cơ hệ chịu ràng buộc bởi các liên kết. Cơ hệ này lại được phân
thành 2 loại; cơ hệ Hôlônôm và cơ hệ không Hôlônôm. Nếu mọi liên kết của cơ hệ đều
là liên kết hình học thì cơ hệ được gọi là Hôlônôm. Nếu cơ hệ có ít nhất một liên kết
động học thì nó có được gọi là không Hôlồnóm.
Cơ hệ không chịu ràng buộc bởi bất kỳ liên kêì nào được gọi là cơ hệ tự do.
2. T ọa độ suy rộng của cơ hệ
Trước đây để xác định vị trí của chất điểm hay cơ hệ ta đã dùng các véctơ bán kính
định vị, các tọa độ Đề Các, tọa độ tự nhiên của các chất điểm. Nhưng nếu chú ý đến kết
cấu của hệ thì việc xác định vị ti í của hệ còn đơn giản hơn nhiều nhờ cách chọn một số
thòng sô' định vị thích hợp cho cơ hệ ấy.
109

V í dụ: Vị trí của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định được hoàn toàn
xác định khi biết góc định vị (p của nó. Cơ cấu tay quay thanh truyền có thông sô' định vị
là góc (p giữa tay quay và trục nằm ngang (hình 5.4).
Định ngìũa: Các thông số định vị của cơ hệ trong một hệ quy chiếu nào đó được gọi
là những tọa độ suy rộng của c ơ hệ ấy.

Ta thường ký hiệu tọa độ suy rộng của cơ hệ là q,, q 2,- -qr ■Nếu các thông sô' qj(j = 1,
2 ,..., r) độc lập với nhau và vừa đủ để xác định vị trí của hệ ta gọi chúng là các tọa độ đủ
của cơ hệ.
Nếu các tọa độ suy rộng phụ thuộc nhau trong các phương trình liên kết ta gọi chúng
là các tọa độ dư.
Đối với cơ hệ bất kỳ ta có thể dùng tọa độ đủ hay tọa độ dư để xác định vị trí của nó.
Chẳng hạn đối với cơ cấu tay quay thanh truyền (hình 5.4), ta có thể chọn một tọa độ đủ
là q = 9 hoặc 2 tọa độ dư: q, = (p, q, =

.

Với phương trình liên kết:
rsincp - /sin V|/ = 0
Hoặc chọn 3 tọa độ dư là:

q. = Xa; q. = Ya; q3 = íp
Với 2 phương trình liên kết:
H ình 5.4

^Ẳ+yẲ

-rcosọ

Chú ý là các tọa độ suy rộng có bản chất vật lý bất kỳ: độ dài, góc, điện lượng...

3. Di chuyển khả dì và sô bậc tự do cua cơ hệ
a) D i chuyển khả d ĩ của cơ hệ
Định nghĩa: Di clìitỵểìi khả d ĩ của cơ hệ là di chuyển vô ci)iìíỊ hé từ vị trí đang xét
sang vị trí lân cận nià cơ hệ thực hiện được phù hợp vói liên kết ở vị trí âang .xét đó.
Gọi ĩị^ là véc tơ bán kính định vị của chất điểm Mj. ở thời điểm khảo sát, ĩ|^ là véc tơ
bán kính định vỊ của chất điểm này ở vị trí M'|. lân cận của M|,.
Véc tơ: S7ị^ = ĩk ~ ĩk

chuyển khả dĩ của chất điểm M|,.

Ví dụ: Xét chất điểm chuyển động trên một đưòfng cong. Di chuyển khả dĩ của cliâì
điểm M được biểu diễn bằng véc tơ vô cùng bé ôr tiếp tuyến với đường cong tại M.
Xét chuyển động của chất điểm M trên một mặt cong, khi đó di chuyển khả dĩ của
chất điểm được biểu diễn bằng véc tơ vô cùng bé ôr tiếp tuyến với mặt cong tại M
(hình 5.5).
10


ỵrrrrrT ^m ^

b) S ổ bậc tự do của cơ hệ
Định nghĩa: Sô hậc tự do í iia cơ hệ lủ sô tôi đa các di clìiiyểii khả (lĩ độc lập tuyến
tinlì của l ơ hệ ấy.
Ví dụ: Xét chất điểm chuyển động trèn đường cong, gọi ỗQ là véctơ vô cùng bé nào
đó tiếp tuyến với đường cong tại M. Mọi di chuyển khả đĩ của chất điểm đều được biểu
diễn qua véctơ này: ỗ r = ẦỗQ ■Trong đó Â là một số thực nào đó. Như vậy số di chuyển
kha dĩ độc lập tối đa của chất điếm là inôt, do đó nó có một bậc tự do.
Xét chuyên động của chất điếm M Irêii mặt cong. Gọi ô|,ỗo là hai di chuyển khả dĩ
không cùng phương nào đó của M, khi dó mọi di chuyển khả dĩ của M đều được biểu
diễn dưới dạng: ô r = Ằ,|ô| +ẰtÔ 2 . Trono ció

là các sô thực nào đó. Như vậy chất

điếm có 2 bậc tự do, vì nó có hai di chuyển khả dĩ độc lập tối đa.
c) Quy tắc thực hành tim số bậc tự do của cơ hệ
Cho cư hệ với r tọa độ suy rộng C||, qỊ,..., C|, và s phương trình liên kết hình học dạng;
9 a ( q p q 2 ’..... =

(a-

- Biểu diễn di chuyển klìcỉ d ĩ díu hệ qua các ÍỊ.
Xét hai vị trí lân cận của cơ hệ xác định bởi 2 tâp hợp giá trị của các tọa độ suy rộng
và

Theo định nghĩa di chuyển khả dĩ, cácqjVà q' v ớ i j = 1, 2 ,... r

phải thoả mãn các phương trình liên kết.
ệ „ ( q i , q 3 , ... ,q j = 0
,’) = 0
Ký hiệu; ỗq, = q'| - q |,...,ỗ q , = q; - q , gọi là các biến phân của tọa độ suy rộng.
Như vậy các biến phân ỗq j phái thoả mãn hệ thức:

-(Ị)gj = 0 ( a = 1,2,.....,s)

Vậy; Một di chuyển khả dĩ bất kỳ của cơ hệ được biểu diẻn bằng một tập hợp những
biến phân của các tọa độ suy rộiig: Ôq|,ỗq 2 ,...,ôq, với điều kiện;

11

Ô<ỉ>a = < ỉ > a - < ỉ ’a = 0

( a = l,2....,s)

- Quy tác: Tim số bậc tự do của cơ hệ.
Xét hệ Hôlônôm với n tọa độ suy rộng đủ q |, q-,,... q„.
Khi đó các biến phân ô q p ỗ q , , .... ôq„ độc lập vói nhau và do đó các di chuyến khả dĩ
sau đây của cơ hệ là độc lập với nhau.
ỗj(ôq, = 0 ,ỗ q 2 = 0 ,...,ôqj

= 0 ) (j = l, 2 ,...,n)

Ngoài ra có thể biểu diễn mọi di chuyển khả dĩ của hệ qua n di chuyên khả dĩ độc
lập này:
(ỗ q ,,ỗ q 2 , . . . , Ô q J - X ¥ j
j=i
Như vậy n di chuyển khả dĩ ôj trên là độc lập và tối đa.
Vậy, đối với cơ hệ chịu liên kết hình học số bậc tự do m của cơ hệ đúng bằng số tọa
đ ộ su y rộng đủ của c ơ hệ ấy; m = n

Tổng quát hơn nếu các tọa độ

(j = 1, 2,...r) đã chọn là các tọa độ dư với s phương

trình liên kết hình học tối đa và độc lập với nhau thì số bậc tự do của hệ là.
m=r- s
4. Liên kết lý tưởng, lực suy rộng
a) Công của lực trong di chuyển khả d ĩ
Cho lực F tác dụng lên chất điểm M. Gọi ôr là một di chuyển khả dĩ bất kỳ của chất
điểm ấy ta có.

Định nghĩa: Công của lực F trong di chuyển khả dĩ ôr của chất điểm là lượng đại số:
ÔA = F.ôĩ
Có thể biểu diễn công của lực dưới các dạng khác sau:
ÔA = Xôx + Yôy + Zôz
ÔA = P ỗ s.c o sa
trong đó; X, Y,

z

là hình chiếu của F lên 3 trục của hệ tọa độ

Đề

Các vuông góc, a là góc lập giữa F và vận tốc V của chất điểm.
b) Liên kết lý tướng

Hình 5.6

Đị n h nghĩa: Nếu tổng công nguyên tố của các phản lực liên kết trong mọi di chuyển

khả đĩ của cơ hộ đều triệt tiêu thì ta nói rằng cơ hệ đó chịu liên kết lý tưỏng.

112


Xét cơ hệ có n chất điểm. Gọi N|, là phán lực liên kêì tác dụng lên chất điểm M|,,ôr|j
là véctơ di chuyển khả dĩ bất kì của nó, theo định nghĩa trén ta có.
(5.2)

Ẻ N i 8 r> = 0

k=l

V í dự: Chất điểm M chuyển đông trên măt cong hoàn toàn trơn có di chuyển khả đĩ là
véc tơ ôr tiếp tuyến với mặt cong, còn phán lực liên kết N hướng theo phương pháp
tuyến vuông góc với ỗr nên N.ôr = 0 vì vậy liên kết này là liên kết lí tưcmg.
Trong thực tế nếu bỏ qua được ma sát và tính đàn hồi của vật thể tạo thành cơ hệ thì
đa số cơ hệ thường gặp thoả mãn định nghĩa liên kết lý tưởng.
Có thể chứng minh các cơ hệ sau đây chịu liên kết lý tưởng:
- Vật rắn tự do
- Vật rắn tựa lên mặt tựa rắn và nlián
- Vật rắn lăn không trượt trên mặt tựa rán
- Khớp nối bản lể trơn giữa hai vật
- Liên kết dây
- Dây mềm vắt qua ròng rọc cố định khôiig ma sát
- Dây mềm vắt qua ròng rọc động và bỏ í|ua sự trượt giữa dày vứi ròng rọc.
Chú ý: Trong trường hợp không bò tỊUil được niii Tá\ và đàn hổi của vạt thể, ta coi các
lực ma sát và đàn hồi là các lực hoạt động. Như vậy vẫn dùng được khái niệm liên kết lý
tưởng cho cơ hệ.
c)

Lực su y rộng

Xét cơ hệ có n chất điểm. Giả sử các tọa độ đủ của cơ hệ là q,, q„ ...q,. Gọi r^. là
véctơ bán kính định vị của chất điểm Mj, cìia hệ. Như vậy ĩị^ sẽ là hàm của các tọa độ
suy rộng và thời gian t: \ = 7,, (q |,q 2 ,...,q^,t).
Ổ*
ổ~*
ỡ"
Do đó biến phân của ĩị. có dang: ỗr,. = — ỗ q , + - ^ 5 q o + ...+ - ^ ô q r
ổq,

ỡqọ

■

ổq^

Kí hiộii Fj. là lực tác dụng lên châì điểm Mj. của hệ. Ta tính tổng công nguyên tố của
các lực hoạt động trên một di chuyển khá dĩ bất kỳ của hệ:

k=!

k=l

k=l
ôq, +

ĩ,
ôq,
+.... + - ^ ỗ qĩ , .
ổqr

ôqr

k=i

113


Đặt;

Q, =

k=i

(5.3)

; ...... ; Q r =

ổq,

Ta viêì được:

(5.4)

+ Ọ 2ỗqT + .......+ Q |ỗ‘^lr =
k =l

j=l

IAI
Tliứ nguyên của Qj là ỊQ: ị = ----- nghĩa là nó có thír nguyên của công/đô rời.

lqjl
Vì vậy người ta gọi Qj là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng qj.
Địnlì nghĩa: Lực suy rộng Qj ứng với tọa độ suy rộng

là đại lượng vô hướng được

biếu thị bằng hệ số của biến phân tương ứng ôq^ trong biểu thức tổng công của các lực

hoạt động tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả đĩ bất kỹ của cơ hệ.
Đê’ tính lực suy rộng Qj có thế dùng các phương pháp sau:
. Cho hệ di chuyển khả đĩ bất kỳ, tính tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển
khả clT đó, lìm lực suy rộng Qj theo công thức (5.3)
. Cho hệ một di chuyên khả dĩ đặc biệt trong đó ôqj

0; ôq,, = 0 với k

j.

Tính tống công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ này ta được
ẳ ỗ A |

= Ọ,ôcỊj suy ra Qj =
k 1
Nếu các lực hoạt động là các lực có thế và hàm thế năng
tọa độ suy rộng:

n =n (qi, 4 :,

n được

biếu diển qua cấc

q,) thì các lực suy rộng được lính theo còng thức;

Q, = - f ĩ ( j

(5.5)

= 1 ,2 . ...,r)

«3q,
Tliật vậy theo công thức líiih công của các lực hoạt động;
= Ỳ ( X , ò x , + Y , 8 y , +Z ^5z^)

ẺSA,
k-1

k =I

k =l

trong đó:
Tliay vào (*) và đổi thứ tự lấy tổng ta được:
II

/

r

[

Ẻ x
k -ỉ

14

J=I \ k - l

11

ỡx

ỡ z,

8 qj

(*)


k=l^

ỠC:j

Tliay X|,, Y^_, Z|^ bằng công tlurc (3,44) ta có:
n

Ọ .^ .ỷ
^

í -

íiL « ^ + íĩi^ + ^ ^ L _ Ể n
<"Mj ‘">k
-"'^k f^qj J
ổqj

Đó là điều cần chứng minh.
5.2. NGUYÊN LÝ DI CHU YẾN KHA DĨ

1. Nguyên lý
Điứii kiện cầỉì và đủ c í ể c ơ lỉệ í lỉỊii liơỉi kếĩ ílíOỉ ^ và lý ĩi íà r ỵ càỉỉ hằỉìi' à vị ĩrí cỉa/ìi^ .xét
lù Ỉổỉiíỉ c ô i ì ^ cỉUi c ú c lự c l ỉo ạ ĩ dỘỊì^ ĩroỉì\> nioỉ d i

í

liỉiyếỉi klui (lĩ Cỉia c ơ h ệ t ử vị t r í ấ y déit

iriệĩ tiên,

(5.6)
k= l

C hứng m inh:
- Điểu kiện cần: Giả sử cơ hệ câii bằne ỏ' \ ị trí dang xél. Gọi ỉ^|, và N|, là họp các lực
hoạt động và các phán lực liên kết lác cÌỊin<; líMi ciuĩt diêin M ,. Vì chất điểm

cân bằng

Iiêii W|. = 0 , theo phương trình cơ bàn dỏns lực học đối vứi chất điếm Mj, ta có:
F ,+ N , = 0
Gọi ôi’|^ là di chuyến khả dĩ bất kỳ của

ta có;

F\5,i^+N,. 0 : ^ = 0
Viết hệ thức trên cho 11 chất điếm cúa CK hê, rồi cộng từns vế ta được

k-l
Vì hệ

c h Ì Li

k -1

liên kết lý tưởng nên ^ N|,ồik = 0, do đó: ^F|^ÔĨ|^ = 0 .
k ■i

k

I

- Điêu kiện đủ: Giá sử hệ chịu liên kết dừng và lý iưcVng ta phai chứng minh nếu cơ hệ
11
J a n g ở vị trí cân bằng và thoá mãn điéii kiCn ^ F|, ô?|. = 0 thì hẹ sc lu ôn ở v ị trí cân bằng.
k -I

115


Thật vậy giả sử ở một thời điểin nào đó cơ hệ khởi động từ vị trí đang xét, thì độ biến
thiên động năng của hệ sẽ dương. Theo định lý động năng dạng vi phân ta có;
dT = X d A , + X d A Í ‘ = X F k d r ^ + Ề N ^ d ĩ > 0
k=l

k=l

k=l

(*)

k-1

Vì hệ chịu liên kết lý tưởng nên: ^N|^dr|^ = 0
k= l

Vì hệ chịu liên kết dừng nên di chuyển thực của hệ sẽ trùng với một di chuyển khả đĩ
n
của hệ d \ =ỗrj^,do đó từ (*) ta có^Fj^ôrj^ > 0 . Điều này trái với giả thiết là trong mọi
k=l

n
di chuyển khả đĩ của hệ ^Fj(ôr|^ = 0. Vậy cơ hệ không thể khởi động từ vị trí cân bằng
k=l

đang xét được.
Chú ý: Nguyên lý di chuyển khả đĩ thường được dùng để tìm điểu

kiện cân bằngcủa

cơ hộ không tự do, xác định phản lực liên kết của các kết cấu hoặc tìm điểu kiện cân
bằng tương đối của cơ hệ.
2. Phương trình căn bằng tổng quát của cơ hệ không tự do
Để tiện sử dụng sau này ta sẽ viết điểu kiện cân bằng của cơ hệ

không tự do i5.6)

dưới các dạng khác nhau.
a) D ạng véctơ:

k=l

b) D ạng tọa độ Đ ề Các:
Gọi X|,, Y|^, Z|^ và SX|j,8 y|^, 6 zj^ là hình chiếu của lực F|^ và 5ĩF^ lên các trục của hè tọa
độ Đề Các vuông góc. Từ phưoTig trình (5.6) ta có:
= Ẻ F k -« l<
k=l

k=l

+ Y k 8 y^ + Z , 6 z J
k=l

Vì vậy điều kiện cân bằng của cơ hệ không tự do dưới dạng tọa độ ĐềCác là :
ẳ (X ^ 8 x ^ + Y ^ 5 y ^ + Z ,6 z O -0

6;7)

k =l

Chú ỷ: Biểu thức (5.7) là phương trình biến phân, nó tương đương với một hệ phioTig
trình đại số.
116


c) D ạng tọa độ suy rộng
Giá sử cơ hệ có r tọa độ suy rộiiíi dù. Ta dã biết:

= ^Q -ô q
k

Vì các tọa độ suy rộng

1

J -- i

là các tọa dộ dủ nên các biến phân ôqịđộc lập với nhau.

Từ phương trình:
k= i

Q, = 0 ;Q , = 0 ;...,Q , = ơ

(5-8)

Biêu thức (5.8) là điều kiện cân bàne cua cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học, lý
tướng dưới dạng tọa độ suy rộng.
V í dụ I : Thanh trọng lượng Q đãl trén 2 COII lân đồng chài Irọng lượng p. Tim lực F
tác dụng dọc theo thanh đế ihanh và các con lãn đứiiiỉ >'ên trên mặt phắng nghiêng góc a
so với mặt phẳng ngang. Bó qua sự trưcít 2 Ìữa thanh và con lăn cũng như giữa con lăn và
mặt pháng nghiêng. Bỏ qua ma sát lãn (hình 5.7).

Bài iỊÌảỉ:
Xét cơ hệ gồm thanh và 2 COII lãn. Nếu bo qua rna sát lăn thì cơ hệ chịu liên kết lý
tưởng. Hệ có một bậc lự do. chon loa dò suy rộng đủ q = s. Các lực hoạt động tác dụng
lên hệ gồm trọng lượng Q, trontỉ lươna p và lưc F ,
Cho hệ di chuyển khá đĩ: tlianh dịch chuyển lên trên một đoạn ôs. Vì tàm vận tốc tức
thời của 2 con lăn ở các điểm tiếp XLÍC gÌLÌa con lăn và mặt nghiêng nên; V = 2V^. suy ra:
2ỒS(.. = 6 s

(a)

llie o nguyên lý di chuyên khá dì, dicu kiện cân băng của cơ hệ là:
ZòA|^ = F ồ s - Q s ị i i a Ổ s - 2 P . s i n a ò S ( - = 0

(b)

Thay (a) vào (b) ta được: (F - Ọsin a - p.sin ơ)ỗs = 0
Theo<5.8):
Suy ra:

= F - ( Q + P )sin a = 0
F = (Q + P) sinu
17


V í dụ 2: Cho hệ dầm chịu lực như

,

Q
±E
2a

Bùi giải:
• Đê tính được phản lực ở c, ta tháo
bỏ gối đỡ c , thay thế nó bằng phản lực

c

B

hình vẽ (5.8). Tim phản lực ở gối c và
mômen tại ngàm A. Bỏ qua trọng lượng
của các thanh.
h)

2a

Q
B

liên kết R(^. Ta được hệ có một bậc tự
do với một tọa độ suy rộng đủ q = (p là
góc lập giữa BC và phương ngang. Các
lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm

c)

p, Q, R c

Cho hệ một di chuyên khả dĩ, trong
đó BC quay một góc 5(p (xem hình 5.8b).
Ta tính tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ đó.
=2aPÔ (p-4aR eỗẹ = (P -2 R c)2 aô (p
Theo (5.8) điều kiện cân bằng của cơ hệ là:
Q ^= (P -2 R c)2 a= 0
Suy ra;
• Để tính mômen

Rc = P/2.
tại ngàm A ta thay liên kết ngàm bằng liên kết khớp cố định và

ngẫu lực M^. Cơ hệ có một bậc tự do với hai tọa độ dư (xem hình 5.8c) q, = cp, q 2 =
Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm p, Q, ngẫu M^. Cho hệ di chuyển khả dĩ
trong đó AB quay một góc ôcp, CB quay một góc ôvị/. Tổng công của các lực hoạt động
trên di chuyển khả dĩ này là (xem hình 5.8c):
^ ô A j , = Qaô(p-M ^Ô 9 + 2Paôv|;
Giữa các tọa độ dư (p, \ự có mối liên hệ:
2aỗ(p = 4aôv|; hayôVỊ/ = —ỗọ
thay vào (a) ta được:

X

~ ^ A + Pa)ô(p

Theo (5.8) điều kiện cân bằng của cơ hệ là:

Suy ra:
118

(a)


V í dụ 3: Hai thanh đồng chất OA, AB, có cùng độ

o

dài 21 trọng lượng bằng nhau P| = Pt = p được nối với

nhau bằng khớp tại A và gắn vào trần bằng khớp ở o .
Tại B tác dụng lực Q nằm ngang. Bỏ qua ma sát ở các
khớp nối. Tim các góc

( P |,

"2

(p, lập giữa OA, AB với
'P,

phương thẳng đứng khi hệ cân bằng (hình 5.9).

B

Bài íỊÌải:
Xét cơ hệ gồm 2 thanh OA, OB. Với giả thiết bỏ qua ma sát hệ chịu liên kết lý tưỏíng.
Hệ có 2 bậc tự do được xác định bằng 2 tọa độ đủ: q, = (P|,
Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm trọng lượng P|,
Lập hệ trục tọa độ Oxy như hình

vẽ.

= (p,

của hai thanh và lực Q .

Cho hệ 1 di chuyến khả dĩ OA quay góc

Ô (P |,

AB

quay góc ôcpọ,. Theo (5.7) tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả đĩ là:

k=l
trong đó;

= ẳ ( ^ k ô X k +Ykôyk +ZkôZk) = QÔXB + P|ôy, +?2ỗy2
k=l

(a)

Xg = 2 /s in (p |+ 2 /s in (p-, ^ ÔXg = 2/ C0 S(P|Ô(P| + cos(poÔ(pT
y, =/cos(p| ^ ô y , = -/sin(P|Ô(p|
Ỵt =2/coscp| +/COSỌ2 —> ôy-, = - / 2sin(P|Ô9| +sin(piô(pT

Thay vào (a) ta được:
n
^ ô A ị ^ -21Q cosỌịỗcpi +cosỌtÔ(Pt - P/sin(P|ô(P| - P / 2sin(p|ô(p| +sin(pTÔ(p-,

k=l
= / 2QC0S(P| - 3 P s i n ( P | Ô(P| + / 2 Q cos (Pt - P s i n ẹ - , ôỌt

Các hệ sô' của ôcpi và ôcp, trong biểu thức trên chính là lực suy rộng ứng với các tọa độ
suy rộng (pi, (p2
Q| = / [ 2 Q c o s ( p , - 3 P s i n ( p | ;Q-, = l 2 Q c o s( P t - P s i n ọ T

Theo (5-8) điều kiện cân bằng của cơ hệ là: Qi = 0, Q 2 = 0
hay:

20
/[2 Q c o s Ọ |- 3 P c o s (p |J = 0 - > t g ( P |= - —
2Ọ
/ 2 Q c o s Ọ o -P s in ẹ T = 0 -» tg(po = -

Chú ý là ta có thể tính các lực suy rộng Q|, Q ị theo phương pháp dưới đây:
119


Vì các lực hoạt động P |,P t là các lực thế còn ộ không phải là lực thế.
Nên các lực suy rộng được tính theo công thức
Q | - - - — + Q ,;
ỔCPi

Q ^ - - - — + Qt

(b)

ỔỌt

trong đó; n - thế nãng của cơ hệ;
n = -PiYi - P->yT +const = - P / C0S(P| - p ( 2 / coscpi + / coscp-, ) + con st
Q * ; Q* - lực suy rộng ứng với lực không thế Q được tính từ biếu tlurc:
SA^Qj = Qôxg = Q.2/ coscpiỏcpi +coscp-,S(p-,
Vậy;

Q * = 2 Q /co s(p | ;

Q * = 2 Q / cos (Pt

Do đó theo (b), (c) la có:
Q| - - 3 P / s i n ( p | +2Q/cos(P| = / 2 Q C 0 S (P | -3 P sin (p
Q t = -P /s in (Pt + 2Q/cos(P t = / 2 Q c o s - Psin (Pt
Đ ây chính là kết quả tính theo phương pháp trên.

120

(c)


Chưong VI

NGUYÊN LÝ Đ A L Ả M B E -L A G R Ả N G

6.1. N G U Y ÊN LÝ
Nguyên lý Đalãnibe-Laarăiig là kết quả của sự kết hợp nguyên lý ĐalămBe và nguyên
lý di chuyển khá đĩ.
Xét cư hệ n chất điểm chịu liên kết giữ, dìnig, lý tưỏiig. Giá sử hợp các lực hoạt động
và họp các phản lực liên kêì tác dụng lèn chất điểm

của hệ là F|, ,N|, còn

= -mW|^

là lực quán tính của chất điếm đó. 'ílieo imiiyên lý ĐalămBe;
) ~ 0 ( k = 1 ,2 ,...11)

Vi hộ lực trên là hệ lực càn bằng nên theo nguyên lý di chuyển khả đĩ tống công của
hộ lực đó trong mọi di chuyến khù dĩ ciia cơ hệ plìải triệt tiêu;

k

1

k. : |

k- I

- ^

Vì cơ hệ chịu liên kẽì lý tưởng nên:
k-i
Do đó:

(6 . 1)

Ĩ a 8 \ + Ĩ F K ‘" S Ĩ I = 0
k-I

k=l

Hệ thức (6.1) biểu Ihị nguyên lý ĐalămBe-Lagrăng hay còn gọi là phương trình tổng
quát động lực học.
NiỊnỵê/i lỷ: Đối với cư hệ chịu liên kết giữ, clìmg, lý tưởng, tổng công nguyên tố của
các lực hoạt động và các lực quán tính trong mọi di chuyến khá đĩ của cơ hệ đều triệt tiêu.
Phương trình tổng quát độiiíỉ lực học còn có thể viết dưới các dạng sau:
(6 .2 )

|; r ( x ,+ X J ') 8 x ^ + ( Y ,+ Y Ĩ ') 8 y ^ + (a + Z Ỉ')5 z ,l = 0

k=!

n
+(Yk - 'I \ y k ) ô y k + { A -m kZ k)ỗz^

=0

(6.3)

k=l

12


Phưcíng trình tổng quát động lực học (6.1), (6.2), (6.3) là các phương trình biến phân,
chúng tương đương với một hệ phương trình đại số.
Để giải các bài toán động lực học bằng phương trình tổng quát động lực học ta cần
xác định số bậc tự do của cơ hệ. Đặt lực hoạt động và lực quán tính vào các chất điếm
của cơ hệ, sau đó cho hệ một di chuyển khả đĩ và tính tổng công các lực đó trên di
chuyên khả dĩ này, cho bằng 0 ta sẽ có được các phương trình để tìm ẩn số của bài toán.
Phương trình tổng quát động lực học thưòfiig được dùng để tìm gia tốc hay điều kiện
cân bằng tương đối của cơ hê
V í dụ l : Máy chuyển vật liệu chuyển
động nhờ ngẫu lực có mônien không đổi M
tác dụng lên puli B. Xác định gia tốc chuyến
động của bâng chuyền. Biết trọng lượng của
vật A được nâng là p, các puli B ,c có cùng
trọng lượng Q, bán kính r và được xem là
các đĩa tròn đồng chất. Băng chuyển hợp với
phưcfng ngang một góc a và trọng lượng của

.

nó có thể bỏ qua, ngoài ra không có sự trượt
giữa A và băng chuyền, cũng như giữa các
băng chuyền với các puli. Bỏ qua ma sát ở

Hình 6.1

các ổ trục (hình 6 . 1 ).
Bùi giải
Xét cơ hệ gồm 3 vật A, B, c . Nếu bỏ qua ma sát thì cơ hệ chịu liên kết lý tưởng. Hệ
có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng đủ của cơ hệ là góc quay (p của hai puli.
Các lực hoạt động tác dụng lên hệ: Các trọng lượng Q của hai puli, trọng lượng p
của vật A và ngẫu M.
Các lực quán tính tác dụng lên hệ là: F^',, ngM^ị^'., ngM^‘ .
Cho hệ di chuyển khả dĩ trong đó hai puli quay một góc ỗ ẹ thuận chiều kim đồng hồ,
khi đó vật A di chuyến lên trên một đoạn ỗs = rỗọ. Theo phương trình tổng quát động
lực học:
Mỗcp - Psin a ỗ s - Mẳ'ỗ(p - M^ôcp -

.ỗs = 0 (a)

Thay ôs = rôcp vào (a) ta được:
(M - p r s i n a - M ^ ' - M ^ ' - r F ^ ‘)ỗ(p = 0
Do tính chất tùy ý của ôcp ta có:
M - P r s i n a - M X - M ^ '- r F ^ '= 0
122

(b)

trong đó:

MI' =

m ;ì'

w

.

^

O-

r

2g

ITiay vào (b) ta được:

M - Prsin a - ~ v/^ - — w.^ = ơ
g
■ g
■

Suy ra:

Wa

; p;;- =

p
g

■

M -P rsin a
---- - 2
(P + Q)r -

Vì A nằm yên trên băng chuyền nên gia tốc của A cĩing là gia tốc của bàng chuyền.
V í dụ 2: Tlianh đồng chất OA dài /, trọng lượng
p được gắn bẳng bản lề vào trục quay thảng đứng
tại o (hình 6.2). Quả cầu nhỏ trọng lượng Q được
gán vào đầu mút A của thanh. Trục quay đéu với
vận tốc góc cõ. Bỏ qua ma sát ở chốt bán lề nằm
ngang o. Tim hệ thức giữa vận tốc góc (õ và góc
nghiêng (p giữa trục quay và thanh OA.
Bài ^iài:
Xét cơ hệ gổm thanh OA và quá cầu A Nếu bỏ
qua ma sát thì cơ hệ chịu liên kết lý ur(yng. Hệ có

~^ ị [i

một bậc tự do, chọn tọa độ suy rộng đủ là góc (p
Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gỏni trọng
lượng p của thanh và trọng lượng Q của cịLii! cẩu. Các
tính F^'của quả cầu, hợp lực R^, của hệ

lự c

Hình

6.2

lựcquán tính của hệ gồm lực quán

quán tính phân bố theo quy luật tam giác

của thanh OA (xem hình và ví dụ 3 chương V ). R^, vuông góc với trục quay và cắt trục

2
quay tại H sao cho OH = —/coscp . Vì hộ lực cỊLián tính có hợp lực nên:

R , = R ’ = M W ; '= - - ^ o r s i n a ;
g 2
f;ị' = ^ \v ^
8

^ \v;^ = ^ / 0)- sin (p
g
g

Cho hệ một di chuyển khả dĩ: Thanh OA quay quanh chốt bán lề góc Sọ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Thec phương trình tổng quát động lực học (6.2)
tống còng của các lực hoạt động và các lực quán tính trên di chuyền khả dĩ này là:
P8 y c + Q 6 y , + R , , 8 x „ + F ’'6 x ^ = 0

(a)

123


Từ hình vẽ ta có:
= — c o s ẹ —> ỗyQ = - —s i n ọ ô ọ ;

2

= /cos(p -> ỗy^ = - / sin(pổ(p ;

c
^ _
= /sincp-> ôx^ = /cos(po(p .

2

Xq = —/ s i n c p ^ ỗ x , = —/coscp.ỗcp;
p

p/

Q/

2

3g

g

T h a y vào (a ) ta đươc: / s in ( p ( - — - Ọ + — w ‘ C0 S(p + — -03' cos(p)ỗ(p = 0 .

D o t í n h c h ấ t t u ỳ ý c ủ a S (p , t ừ p h ư ơ n g t i ì n l i t r ê n ta S L iy r a :

a) sin (p = 0

(p = 0,(f) = 7T ứng với vị trí thắng đứng của OA.

b) - —- Ọ + ^ ^ c o s(p { P + 3Q) = 0 ;S u y ra; cos(p=
2

3g

2 / o r ( P + 3Q)

Với điều kiện; 3(P + 2Q)g < 2 /(0 ' (P + 3Q) hay 0) >

V 2 /(P + 3Q)

V í dụ 3: Hai đĩa tròn đồng chất A, B có cùng khối lượng m,,

bán kính R.

quanh trục cố định nằm ngang. B được cuốn dây và rơi xuống dưới tác dụng của

A quay
trọng

lực. Dây được cuốn vào vành đĩa A đầu dây buộc vật c khối lượng ni,. Giá thiết dày

không giãn, ổ (rục A hoàn toàn trơn. Tiin gia tốc vật c .
Bùi giủi:

Xét cơ hệ 3 vật A, B, c.
Hệ chịu liên kết lý tưởng, có 2 bậc tự do với 2 tọa
độ đủ: q, = X|, q, = Xị
Trong đó X| xác định vị trí tâm cúa B, Xt xác định
vị trí vật c . Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm
trọng lượng của A, B, c , các lực quán tính gồm có

- ,

ngM^^', ngM ^', F^', F^‘ . Gia tốc góc của A:

w

^ .
R

Vì vậy:

Ap dụng công thức liên hệ vận tốc của vật chuyến động song phẳng, ta có:
V = V +V

Chiếu lên trục X| được:
124

Vp = -Vp+ Vfj|,

Do dây không giãn:

Vp = v^, và Vịịị, = R. cOp ; ta được Vp

-Vc + R cOg

Suy ra:
“

R

Đạo hàm 2 vế biểu thức trên theo t ta được gia tốc góc
-

B:

_ V 3 + V c _ W 3 + Wc
=
R
R

Do đó:

9

R

F Ỗ '= m B W ,= m ,W 3
Cho hệ m ột di ch u yến khả dĩ đặc biệt: ỖX| > 0; ÔX2 = 0
Á p dụng phương trình tổng quát động lực học (6-1) ta có:

pbôX

hay:

| - F b''ôx , - m ;^'.ô(p , = 0

m |g Ỗ X | - i r i | W g ô X |

--in |R (N \'g +
2

ôx

R

=0

|m ,( 2 g - 3 W „ ^ W c ) 8 x ,= 0
g

Trong đó ta đã thay góc quay của B ‘ỊlỊanh tâm vận tốc tức thời P; ÔỌp = —
R
Do tính chất tùy ý của ô f từ biểu thức trên suy ra:

(1)

3Wb + w,. = 2g
Cho hệ di chuyển khả

đĩ: = 0; ỗXt > 0 theo ( 6 . 1 )

tađược:

p , .ÔX2 - F^' .ỒXọ - MỵôcpA - M ẵ‘ô(pB = 0 .

tPong đó:

ỗx.
ô

Ọa =

Ỗ (P b =

R
ÕXt = 0

Thay vào trên ta được:

Do tính chất tùy ý của ỖXt , suy ra biểu thức trong dấu ngoặc phải bằng 0.
m ọ g - m T \ V ( ; . - - n i | W ( ; - - —n i | ( W g + W(^) = 0 .

Từ (1) và (2) ta suy ra: W (3 =

(2)

2(3m. - n i |) g
5ni| + 6 m .

125

6.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA c ơ HỆ KHÔNG TỤ DO
1. Phương trình Lagrăng loại II
Phưcíng trình vi phân chuyến động của cơ hệ dưới dạng tọa độ suy rộng gọi là phương
trình Lagrăng loại II. Xét cơ hệ Hôlônôm có n chất điếm, chịu liên kết giữ, dừng, lý
tưởng được xác định bởi r tọa độ suy rộng đủ q,, q;,... q,. Theo phương trình tổng quát
động lực học (6 . 1 ) la có:
(a)
k-i

k=l

Tổng công của các lực hoại động được biểu diên qua các tọa độ suy rộng đủ theo
công thức (5.4) như sau:
Ẻ P k 8 ĩ = Q , S q , + Q , 8 q , + ......+ Q , 5 q , = Ế Q j 5 q , .

k=I

ị=l
J=l

Trong đó lực suy rộng của các lực hoại động được tính theo công thức:

Tương lự như vậy tống còng của các lực quán tính cũng có dạng:

Ì f í 's ĩ i = Í q ? H k=l
J=1
trong đó: Qj’’ là lực suy ròng của các lực quán tính:
(h)

k=l
Thay vào (a) ta được:
Z (Q j+ Q p ô q - 0

(c)

J=|

Vì q,, q ,..., q, là các tọa độ đủ, nên ỗq|,ỗqo,...,ôq|. độc lập tuyến tính với nhau, do
đó phương trình (c) tương đương với hệ phương tiìnli:
Q j+ Q f= 0

0 = U2,...,r)

(d)

Có ihê’ sử dụng trực tiếp hệ phưoiig trình trên, để giải các bài toán độníỊ lực học cúa
cơ hệ. Nhimg đế hệ phương tiình có dạng đơn gián, ta hãy biến đổi các lực suy rộng của
lực quán tính qua động năng của cơ hệ.
126


Vì lực quán tính của chất điểm thứ k có dạng:

dt
nên thay vào (b) ta có:

dV, ỡĩ,

-Q ĩ= i m

(e)

dt ổqj

k=l

Vế phải của (e) có thể biến đổi dưới dạng như sau:

dt

ôqj

dt

ỡqj

(0

dt dq^

Trong đó I'|^ là véctơ bán kính định vị của chất điểm thứ k, nó là hàm cúa các tọa độ
suy rộng q,, q,.., q, và thời gian t. Còn V|, là vận tốc của chất điểm đó:
dĩL_ổĨK _.
Vk =

ớ đây, ký hiệu

dqj

dt

, ỡr^ .

ổqj

ỡq^

(h)

ỡq,.

(j = l , 2 ,..,r) là vận tốc suy rộng ứng với tọa độ suy rộng

của hệ. Đạo hàm (h) theo lọa độ suy rộng ta được:

Mặt khác ta có thể (hay đổi thứ tự lấy đạo hàm ĩị. theo thời gian t và theo tọa độ suy
rộng qv

dt ổqj

ỡqj

dt

ỡqj

(k)

ỡq^

Sử dụng (i) và (k) biểu thức (f) có dạng;
-v „
dl ỡ q :

dt

ổqj

iỂ Y ỉ
dt 2 ỡqj

1_ ^
2 ổq,

Trong còng thức (e) đưa khối lượng ni|, là đại lượng không đổi vào trong dấu đạo hàm
và chú ý tống các đạo hàm bằng đạo hàm của tổng ta được;
-Q ?' =

ar

V
dt

ỡqj

dt

ỡqj

ỡq^

trong đó: T = —^ m | . V | : là động nàng của cơ hệ.

127


Thay giá trị Q j’ bên trên vào (d) ta được:

(6.4)

(j = l, 2 ,..,r)

dt

Các phương trình (6.4) là hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ dưới dạng
tọa độ suy rộng còn gọi là phương trình Lagrãng loại II. Số lượng các phương trình
không phụ thuộc vào sô' chất điểm của cơ hệ và đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ.
Vì động năng của cơ hệ là hàm của vận tốc suy rộng nên hệ phương trình (6.4) là hệ
phương trình vi phân cấp 2 đối với các tọa độ suy rộng q,, q 2 ,.--7 ^rNếu các lưc hoat đông là các lưc có thế theo (5.5) lưc suy rông Q | =

n = n (q,, q 2

ổqj

trong đó

^ar ^

ar _

an

dt ^ a q j

a q j“

ổqj

(j = 1 ,2 ,...,r)

(6.5)

Đặt L = T - n gọi là hàm Lagrăng và chú ý là thế năng của hệ không phụ thuộc vào
vận tốc suy rộng ta có:
ar _ ar

an _ 5L

ỡqj ~ ỡqj

ỡqj

ỔCỊj

Khi đó hệ phưcfiìg trình (6.4) được viếi lại là
A f-Ẽ L V —
d t^ ỡ q j

(Ì = 1 , 2 , . ..,r).

- 0’

(6 .6)

Nếu các lực hoạt động vừa là lực có thế và không thế thì (6.4) có dạng:

an
d t[a q j

aqj

ỡqj

+ Q*;

(j = l,2,..,r).

(6.7)

trong đó: Qj là lực suy rộng ứng với các lực không thế.
2. Các tích phân đầu của chuyển động
Việc giải phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ tìm quy luật chuyển động của
cơ hệ là rất khó khăn. Tuy nhiên nếu cơ hệ có tính chất đặc biệt ta không cần giải các
phương trình vi phân mà vẫn tìm được các tích phân đầu của chúng. Sau đây ta xét hai
trường hợp đặc biệt:
a) Tính p hán năng lượng
Xét cơ hệ Hôlônôin chịu liên kết giữ, dừng, lý tưcmg, các lực hoạt động là các lực có
thế, khi đó cơ năng của hệ được bảo toàn;

128


E = T + n = const

(6.8)

Hệ thức (6 .8 ) chỉ chứa các tọa đô suy ròng
gian

và đạo hàm bậc nhất của nó theo thời

, đó chính là tích phân đầu của chuyốn dộng, gọi là tích phân năng lượng.

b) Tích p hán Xycơlíc
Tọa độ suy rộng

của hệ đưọ'c goi là toa độ Xycơlíc nếu nó thoả mãn các đicLi kiện

sau:

ỠC]j

Nếu

c \ lj

là tọa độ Xycơlíc thì phương tiinh Lagrăiig loại II (6.4) có dạng:
_ ,,

.......... ỔT _

= u Siiy ra: -— = coiist
ỡq,

dt rq,

(6.9)

Hệ thức trên là một lích phân đầu của chuyến động, gọi là tích phàn Xycoiíc.
Cơ hệ có bao nhiêu tọa độ Xycơlíc thì có bấy nhiéu tích phàn dạng (6.9).
V í dụ 1: Tấm AB có khối lượng ni cliịu lác dụng C L i a lực F theo phương ngang chuyển
động tịnh tiến không ma sát dọc theo sàii ngang, Một con lãn có khối tâm c bán kính R,
k h ố i l ư ợ n g iTij,, m ô m e n q u á n t í n h

đ ố i với tru c đi q u a

c

và v u ô n g g ó c với m ặ t p h ẳ n g

hình vẽ. Tim chuyển động cửa tấm klii con lãn lãn khòng trượt trên tấm. Bỏ qua ngẫu lực
ma sát lăn giữa con lăn và tấm.
Bài íỊÌcíi

y

Xét cơ hệ gồm tấm và con lăn, C(í h ệ c h ị u
licn kết lý tưỏnig và có hai bậc tự do. Choii hai
tọa độ suy rộng đủ là:

()
q, = X | - tọa độ khối tâm của tấm;
q 2 = X, - tọa độ khối tâm của con lãn.
Động năng cúa tấm:

H ình 6.4

T = —mx

Tlieo định lý hợp vận tốc, vận tốc tuyệt đối cùa c là: ỵ , = V. + V|..
Chiếu hệ thức này lên trục

X

ta được: Xt = X| + V

Suy ra:

V, =X 2 -X|

Do đó vận tốc góc của con lăn:

co =

R

R

29

Động năng của con lăn chuyển động song phẳng:
.

X2 - X

\2

R

1
.2 1 Jp . 2 1 Jp -2
r ■■
= -m„XT
-^ X ịX ọ
'0"1 + - ^ X ị +
2 R^ - 2 r '
Động năng của hệ:

•2t - - •^' cX■oX|
•
íc ' X
'" “ " í
R

\ 2
T = T, + T . = - m +
2
R- ' ' " 2

(a)

Phương trình Lagrăng loại II đối với cơ hệ có dạng:
"ỔT"
dt

ỠT

ỡx

ổx,

ơl = f
.
---m + ^Jc ^ X,
ỠX|
'
dl

í

ỠXo

r

------

ĩ

^

0T
= Q> ;

dt

Jr .

d

ổx^2
^

- - ^ X t -> —

R-

Xt
-

-

ỠT^

dt

ar

J

(b)

= Qi

õx^

..
r= m + ^
R“

l

Jc ■
d Ị õ t ] —í
.X|->
R- '
dt [ õ x ,J
r

Jc ..
R-

J

ỉ
»"

^

r' J

ỔT
=

0

ổx

Xọ
R-

- — = 0;
ax,

Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm trọng lượng của tấm, trọng lượng con lăn
và lực F . Cho hệ một di chuyển khả đĩ ÔXj > 0 , ôXt = 0 ,. Tổng công của các lực hoạt
động trên di chuyển khả dĩ này là:

= FỖX| . Suy ra lưc suy rộng Q| = F .

Cho hệ một di chuyển khả dĩôXị =0,ôXt >O.Tổng công của các lực hoạt động trên di
chuyển khả dĩ này là: I^ỗAị, = 0 => Qt = 0 .
Thay các giá trị đã tính được vào hai phương trình (b) ta có hệ phương trình vi phân
chuyển động của cơ hệ:
m+
R-

•• | - -Jc
X
^ X- 2 _= rF, ;

R-

- ^ Jc
X |- +
R-

Jc

X-, = 0

Bằng phưcmg pháp thế ta tìm được gia tốc của tấm:
+m()R
J(-(m + mo) + momR
Nếu F = const thì chuyển động của tấm là nhanh dần đéu.
V í dụ 2: Hai vật nặng A,B có khối lượng lần lượt là m và 2m nối với nhau bằng lò xo
có độ cứng c và nằm trên mặt ngang nhẵn, thời điểm đầu người ta kéo hai vật về hai phía
sao cho lò xo giãn ra một đoạn là 5 rồi thả các vật ra không có vận tốc đầu. Hãy tìm vận
tốc của vật A ở thời điểm khi độ biến dạng của lò xo bằng 0.
130


B

A

o

Hình 6.5
Bài í^iài:
Xét cơ hệ gồm hai vật

đ ộ s u y rộ n g đ ủ là : q , =

A,B. cơ hệ chịu liên kết lý tường có hai
t h ô n g sò' x á c đ ịn h VI t r í c ủ a A , q , = s

bậc tự do. Chọn hai tọa

th ô n g s ố x á c đ ịn h v ị

trí

của B đối với A.
Các lực hoạt động tác dụng lên hệ íỊổm trona lượiig của hai vật A,B lực đàn hồi tuyến
tính của lò xo, đó là các lực có thế, nên cơ hệ là hệ bảo toàn.
Động năng của vật A;

= -m xẲ

Động năng của vật B: T3 =-in[,x|^, = -2in(x^^ +SÌ" = m x^ + 2m x^s
3

Động năng của hệ : T

2

=

2

+ ms"

+ T(ị = —mx^ + 2mx^s + m s'

Vì cơ hệ chuyển động trong mal pháng ngang Iiêii thế nãiiịỊ của trọng lực bằng 0.
Còn thế năng của lực đàn hổi iLiyến tính của lò xo là: n =: -ỉ-cA“ = —c ( s - / n ) ‘
2
2
với /(, là độ dài tự nhiên cúa lò xo.
Vì tọa độ suy rộng
kiiôiig có mật trongbiểu thức
nên
là tọa độ Xycơlíc.
Tích phân Xycơlíc;

động năng và thế năng của hệ

cTT

(a)

ỡx.
Thay điều kiện ban đầu X (0) = 0, s(0) = 0 vào (a) ta được C| = 0.
Vậy:

3
3 m x + 2ms = 0 = > s = - —X

(b)

Vì cơ hệ bảo toàn nên có tích phân năng lượng; T + n = C t

T hay giá trị của T và n bên trên vào biếu thức này ta được:
+m s + 2 mx^s + - c ( s -/())■ = C ị

131


Từ điều kiện ban đầu: X^^(O) = 0,s(ơ) = 0;s(0) = ỗ + /y . Suy ra; ọ

Vậy:

= —cỏ"

+ 2 m x ^ s + —c (s -/(j)“ = —c ỏ '

(c)

thay giá trị s từ (b) vào (c) ta được:
3

.T

1

/

-m x-^+ -c{s-ụ

^ s;2
= -cô-

(d)

Khi lò xo hết biến dạng thì; s - l g d o đó từ (d) suy ra: —mx^ = —cô"

Do đó vận tốc cưa A khi lò xo hết biến dạng là:

= ô.

V í dụ 3: Thành lập phưcriig trình vi phân chuyển động của một con lắc có khối lượiig
lĩi, và chiều dài /, điểm treo của nó nằm tại tâm của đĩa có bán kính r và khối lượng in,
đĩa có thể lăn không trượt dọc trục nằm ngang tâm của đĩa nối với điểm cố định nhờ một
lò xo có độ cứng c.
Bài ^iải:
Xét cơ hệ gốm đĩa và con lắc. Đó là hệ báo toàn chịu lác dụng của các lực P|,F,P->
chịu liên kết lý iưởng, dừng, Hôlónôm. Chọn hai tọa độ suy rộng đủ là:
C]| = X -

'Diòng sô xác dịnh vị trí tâm o của đĩa lừ vị trí không biến dạng của lò xo.

C]2= (p - Tliông số xác định vị trí của con lắc.
Động năng của hệ:
T = —itIiVq'+ —

+ —iĩItVo

(a)

V
X
iTi|r

Với: X, = x ; 0) - ^ = - ; Jo =
r

r

Chọn hệ trục tọa độ 0

|Xy

như hình

vẽ.

Trong đó 0 | tương ứng với vị trí tâm o khi lò
xo không biến dạng.
Tọa độ của con lắc; Xt =

X

+ /siii(p ^ Xọ =

y, =/cos(p

X

+ /(pcos(p

= - /ộ s in ( p

v^■ = Xọ + ỷọ = x ‘ + 2 /x(pcos(p + / ‘ộ" cos" q)+ /'{()" s iir

V-7 = x“ +2/x(pcos(p + /'ộ~
32