Bài tập hình học 10 nâng cao

TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----

BÀI TẬP

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2014


Trần Sĩ Tùng

Vectơ

CHƯƠNG I
VECTƠ
I. VECTƠ
1. Các định nghĩa
uuur
· Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .
· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
uuur
· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB .
r
· Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 .
· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
· Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
r r
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a , b ,... để biểu diễn vectơ.
r

+ Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
r
Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ
uuur uuur uuur
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC =uuu
AC
r .uuur uuur
· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC .
r
r
r r r r
r r r
( ar + b ) + cr = ar + ( b + cr ) ;
· Tính chất:
a+b =b+a;
a+0=a
b) Hiệu của hai vectơ
r
r r r
r
r
r
· Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là - a .
r
r
· Vectơ đối của 0 là 0 .
r
r r r

· a - b = a + ( -b ) .
uuur uuur uuur
· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB - OA = AB .
c) Tích của một vectơ với một số
r
r
· Cho vectơ a và số k Î R. ka là một vectơ được xác định như sau:
r
r
r
r
+ ka cùng hướng với a nếu k ³ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.
r
r
+ ka = k . a .
r r
r r
r
r r
r
r
· Tính chất:
k ( a + b ) = ka + kb ; (k + l)a = ka + la ;
k ( la ) = (kl)a
r r
r r
ka = 0 Û k = 0 hoặc a = 0 .
r r r
r
r

r
· Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a vaø b ( a ¹ 0 ) cuøng phöông Û $k Î R : b = ka
uuur
uuur
· Điều kiện ba điểm thẳng hàng:
A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: AB = k AC .
· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng
r
r
r
r r
r
phương a , b và x tuỳ ý. Khi đó $! m, n Î R: x = ma + nb .
Chú ý:
· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
uuur uuur r
uuur uuur
uuur
M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û MA + MB = 0 Û OA + OB = 2OM (O tuỳ ý).
· Hệ thức trọng tâm tam giác:
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur
uuur
G là trọng tâm DABC Û GA + GB + GC = 0 Û OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý).

Trang 1


Vectơ

Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ

r

Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và

điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Baøi 2. Cho DABC có A¢, B¢, C¢ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
uuuur uuur uuuur

a) Chứng minh: BC¢ = C ¢ A = A¢ B¢ .
uuuur uuuur
b) Tìm các vectơ bằng B¢C¢ , C¢ A¢ .
Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,
uuur uuur uuur uuur
BC. Chứng minh: MP = QN ; MQ = PN .
Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:
uuur uuur uuur uuur uuur
a) AC - AB = AD ; AB + AD = AC .
uuur uuur uuur uuur
b) Nếu AB + AD = CB - CD thì ABCD là hình chữ nhật.
r r r r
r r
Baøi 5. Cho hai vectơ a , b . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a + b = a - b .
uuur uuur uuur uuur
Baøi 6. Cho DABC đều cạnh a. Tính AB + AC ; AB - AC .
uuur uuur uuur
Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AC + AD .
uuur uuur uuur

Baøi 8. Cho DABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA, HB, HC .
uuur uuur
Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB + AD ,
uuur uuur uuur uuur
AB + AC , AB - AD .

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.
Baøi 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) AB + DC = AC + DB
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD .
Baøi 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uur
a) Nếu AB = CD thì AC = BD
b) AC + BD = AD + BC = 2IJ .
uuur uuur uuur uuur r
c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA + GB + GC + GD = 0 .
d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và
BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.
Baøi 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh:

uuur uur uur uuur
uuur
2( AB + AI + JA + DA) = 3DB .
Baøi 4. Cho DABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng
uur uur uur r
minh: RJ + IQ + PS = 0 .
Baøi 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
uur uur uur r
a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = 0 . uuur uuur uuur
uur
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI .
Trang 2


Trần Sĩ Tùng

Vectơ

Baøi 6. Cho DABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường

tròn ngoại tiếp. Chứng minh:
uuur
uuur
uuur uuur uuur
uuur
uuur uuur uuur uuur
a) AH = 2OM
b) HA + HB + HC = 2 HO
c) OA + OB + OC = OH .
Baøi 7. Cho hai tam giác ABC và A¢B¢C¢ lần lượt có các trọng tâm là G và G¢.

uuur uuur uuuur
uuuur
¢
¢
¢
a) Chứng minh AA + BB + CC = 3GG¢ .
b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Baøi 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
uuur 1 uuur 2 uuur
AM = AB + AC .
3
3
Baøi 9. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm
uuur
uuur
thuộc AC sao cho CN = 2 NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
uuur 1 uuur 1 uuur
uuur 1 uuur 1 uuur
a) AK = AB + AC
b) KD = AB + AC .
4
6
4
3
Baøi 10. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
uuur 1 uuur uuur
uuur 1 uuur uuur
uuuur 1 uuur uuur
a) AM = OB - OA
b) BN = OC - OB

c) MN = ( OC - OB ) .
2
2
2
Baøi 11. Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
uuur
uuur
uuuur 1 uuur 1 uuur
2 uuur 4 uuur
4 uuur 2 uuur
b) AC = - CM - BN
c) MN = BN - CM .
a) AB = - CM - BN
3
3
3
3
3
3
Baøi 12. Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
uuur 2 uuur 1 uuur
uuur
1 uuur uuur
a) Chứng minh: AH = AC - AB và CH = - ( AB + AC ) .
3
3
3
uuuur 1 uuur 5 uuur
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH = AC - AB .
6

uuur r uuur r 6
Baøi 13. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a , AD = b . Gọi I là trung điểm của CD, G là
uur uuur
r r
trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AG theo a , b .
uuur
uuur
Baøi 14. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC vaø BD theo các vectơ
uuur
uuur
AB vaø AF .
Baøi 15. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ
uuur
uuur uuur uuur
AM theo các vectơ OA, OB, OC .
Baøi 16. Cho DABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
uuur
uuur uuur
uuur uur uuur r
MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = 0 .
uuur uuur
uuur uuur
a) Tính PM , PN theo AB, AC
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Baøi 17. Cho DABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
uuur uuur uuuur r
a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = 0
uuur r uuuur r
uuur uur uuur
r

r
b) Đặt BB1 = u , CC1 = v . Tính BC , CA, AB theo u vaø v .
Baøi 18. Cho DABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh

BC kéo
2FC.
uur dài
uuursao cho
uuur5FB =uuu
r
a) Tính AI , AF theo AB vaø AC .

uuur
uur
uuur
b) Gọi G là trọng tâm DABC. Tính AG theo AI vaø AF .
Baøi 19. Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
uuur uuur uuur r
a) Chứng
minh:
HA
0 .r
uuur r uuur - 5rHB + HC
uuur= uuu
r
r
b) Đặt AG = a , AH = b . Tính AB, AC theo a vaø b .
Trang 3

Vectơ

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của
đó đối với hình vẽ. Thông
uuurđiểm
r
r
thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM = a , trong đó O và a đã được
xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
– Hình bình hành.
– Trung điểm của đoạn thẳng.
– Trọng tâm tam giác, …

uuur uuur uuur

r

Baøi 1. Cho DABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA - MB + MC = 0 .
Baøi 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng

AB . Trên MIuuu
kéo
1 điểm N sao cho IN = MI.
r dài,
uur lấyuuur
a) Chứng minh: BN - BA = MBuuu

. r uur uuur uuur uuur uuur
b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA + NI = ND ; NM - BN = NC .
Baøi 3. Cho hình bình hành ABCD.
uuur uuur uuur
uuur
a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2 ACuuur
.
uuur uuur uuur
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM = AB + AC + AD .
Baøi 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
uuuur 1 uuur uuur
a) Chứng minh: MN = ( AB + DC ) .
2
uuur uuur uuur uuur r
b) Xác định điểm O sao cho: OA + OB + OC + OD = 0 .
Baøi 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung
uur uur uur uuur
uuur
điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA + SB + SC + SD = 4SO .
Baøi 6. Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
uur uur r
uur uur uur uur
a) 2IB + 3IC = 0
b) 2 JA + JC - JB = CA
uuur uuur uuur
uuur
uur uur uuur r
c) KA + KB + KC = 2 BC
d) 3LA - LB + 2 LC = 0 .
Baøi 7. Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

uur uur
uuur
uur uur uur r
IA
3
IB
=
3
BC
b)
JA
a) 2uuu
r uuur uuur uuur
uur + JBuuu+r 2 JC
uuur= 0 uuur
c) KA + KB - KCuur
= BC uuur
d) LA - 2 LC = AB - 2 AC .
HD: a) Iuuu
Îr AC:uuu
AI
b) J là trung điểm MC (M là trung điểm AB)
r = 3 AC
c) KA = 2 BC
d) L º B
Baøi 8. Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
uur
uur uuur
uur uuur uuur uuur uuur
a) IAuuu+r IBuuu

-rIC uuu
= rBC
b) FA
+ FCuuu=r AB + AC
uuuur+ FBuur
r
r
c) 3KA +uuKB
+
KC
=
0
d)
3
LA
2
LB
+
LC
=
0
.
r
uuur
HD: a) IA = 2 BC
b) F º A
uuur 2 uuur
uur 3 uuur
c) K Î GA: GK = GA (G là trọng tâm của DABC)
d) LA = GB .

5
2
Baøi 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng
thức
sau:
uu
r uu
r uur
uur
uur uuur
uuur uuur
a) IAuuu
+r IB +uuu
IC
=
4
ID
b)
2
FA
+
2
FB
=
3
FC - FD
r uuur uuur r
c) 4 KA +uur
3KB +uuur
2 KC + KD = 0 .

HD: a) DI = 4 DO
uuur
uuur
b) Gọi M làuur
trunguuu
điểm
AB,
N
Î
DC:
ND
=
3
r r
uuur uuur r NC . F đối xứng với N qua M.
c) Gọi P: 4 PA + PD = 0 , Q: 3QB + 2QC = 0 . K là trung điểm của PQ.
Trang 4


Trần Sĩ Tùng

Vectơ

Baøi 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
a)
Hãy
xác
định

các
điểm
D,
E,
F
sao
cho
MD = MC + AB , ME = MA + BC ,
uuur uuur uur
MF = MB + CA . Chứng
E, F không
uuur minh
uuur D,uuur
uuuur phụ
uuurthuộc
uuurvào vị trí của điểm M.
b) So sánh 2 véc tơ MA + MB + MC vaø MD + ME + MF .
Baøi 11. Cho tứ giác ABCD.
uuur uuur uuur uuur r
a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA + GB + GC + GD = 0 (G đgl trọng tâm của
tứ giác ABCD).
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có: OG = ( OA + OB + OC + OD ) .
4
Baøi 12. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là trọng tâm của các tam
giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh:
a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA¢, BB¢, CC¢, DD¢.
b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A¢B¢C¢D¢.
Baøi 13. Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao
uuur

r
chouuur
các vectơ
v đều bằng k .MI với mọi điểm M:
uuur uuur
r
r uuur uuur uuur
a) v = uuur
MA + uuur
MB + 2uuur
MC uuuur
b) v = MA
- 2 MC
uuur- MBuuur
uuur uuuur
r
r
c) v = MA + MB + MC + MD
d) v = 2 MA + 2 MB + MC + 3MD .

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
· Để uuu
chứng
minh
r
uuur ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng
thức AB = k AC , với k ¹ 0.
·uuur
Để chứng
minh chúng thoả mãn đẳng thức

uuur minh hai điểm M, N trùng nhau
uuuuta
r chứng
r
OM = ON , với O là một điểm nào đó hoặc MN = 0 .

uuur

uuur

uuur

r

Baøi 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA + 2OB - 3OC = 0 . Chứng tỏ rằng A, B, C

thẳng hàng.
Baøi 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:

uuur 1 uuur uuur 1 uuur
BH = BC , BK = BD . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
5
6
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur 6 uuur
HD: BH = AH - AB; BK = AK - AB . Chứng minh AH = AK .
5

uur

uur

uur

Baøi 3. Cho DABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB = 2 IC , JC = -

1 uur
JA ,
2

uuur
uuur
KA = - KB .
uur uur
uuur
uuur
uur uuur 4 uuur uur 3 uuur uuur
a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC . (HD: IJ = AB - AC , IK = AB - 2 AC )
3
2
uur 2 uur
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: IJ = IK ).
3
Baøi 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P
uuur
uuur uuur
uuur uur uuur r
sao cho
MB
=

3
MC
,
NA
=
3
CN
, PA + PB = 0 .
uuur uuur
uuur uuur
a) Tính PM , PN theo AB, AC .
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Trang 5


Vectơ

Trần Sĩ Tùng

Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho

1
1
AF, AB = AE. Chứng minh:
2
2
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
uur uur r uur uur uur r
Baøi 6. Cho DABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA + 3IC = 0 , JA + 2 JB + 3JC = 0 .

Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
uuur uuur r uuur uuur r
Baøi 7. Cho DABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA + 4 MB = 0 , NB - 3NC = 0 .
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng,
trọng
tâm
uuur với
uuurG làuuu
r uuu
r của
uurDABC.
uuur r
Baøi 8. Cho DABC. Lấy các điểm M N, P: MB - 2 MC = NA + 2 NC = PA + PB = 0
uuur uuur
uuur
uuur
a) Tính PM , PN theo AB vaø AC .
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Baøi 9. Cho DABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.
Chứng minh các tam giác RIP và JQS có cùng trọng tâm.
Baøi 10. Cho tam giác ABC, A¢ là điểm đối xứng của A qua B, B¢ là điểm đối xứng của B qua
C, C¢ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có
chung trọng tâm.
uuur uuur r uuur uuur r
Baøi 11. Cho DABC. Gọi A¢, B¢, C¢ là các điểm định bởi: 2 A¢B + 3 A¢C = 0 , 2 B¢C + 3B¢A = 0 ,
uuur uuur r
2C ¢A + 3C ¢B = 0 . Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có cùng trọng tâm.
Baøi 12. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A¢, B¢, C¢ lần lượt là điểm đối xứng của
M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh ba đường thẳng AA¢, BB¢, CC¢ đồng qui tại một điểm N.

b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm
G củauuur
DABC.
uuur
r
Baøi 13. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: 3MA + 4 MB = 0 ,
uuur 1 uuur
CN = BC . Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của DABC.
2
Baøi 14. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
uuur uuur uuur
BD = DE = EC
uuur . uuur uuur uuur
a) Chứnguur
minhuuurAB uuu
+ AC
= rADuuu
+ rAE . uur
r uuu
b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
uuur uuur uuur
Baøi 15. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM = BC - 2 AB ,
uuur
uuur uuur
CN = x AC - BC .
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
IM
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính
.
IN

Baøi 16. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a + b + c ¹ 0 .
uuur uuur uuur r
a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm
G
thoả
mãn
aGA
bGB + cGC = 0 .
uuur
uuur uuur +uuur
b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP = aMA + bMB + cMC . Chứng minh ba điểm
G, M, P thẳng hàng.
uuuur
uuur uuur uuur
Baøi 17. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN = 2 MA + 3MB - MC .
uur uur uur r
a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA + 3IB - IC = 0 .
b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một uuuu
điểm
định.uuur uuur
r cốuuur
Baøi 18. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN = 2 MA - MB + MC .
uur uur uur r
a) Tìm điểm I sao cho 2IA - IB + IC = 0 .
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố
định.
AD =

Trang 6

Trần Sĩ Tùng

Vectơ

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để
đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của
đoạn thẳng đó.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi là đường tròn có tâm
là điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.
–
Baøi 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
a) MA + MB = MA - MB
b) 2 MA + MB = MA + 2 MB .
HD: a) Đường tròn đường kính AB
b) Trung trực của AB.
Baøi 2. Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur 3 uuur uuur
a) MA + MB + MC = MB + MC
b) MA + BC = MA - MB
2
uuur uuur
uuur uuur

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
c) 2 MA + MB = 4 MB - MC
d) 4 MA + MB + MC = 2 MA - MB - MC .
HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm DABC).
b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA.
Baøi 3. Cho DABC.
uur uur uur r
a) Xác định điểm I sao cho: 3IA - 2 IB + IC = 0 .
b) Chứng minh rằng
đường
thẳng uuur
nối 2 điểm
uuuu
r
uuur
uuur M, N xác định bởi hệ thức:
MN = 3MA - 2 MB + MC
luôn đi qua một điểm cố định.
uuur uuur uuur uuur uuur
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA - 2 HB + HC = HA - HB .
uuur uuur uuur
uuur uuur
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA + KB + KC = 3 KB + KC
AB
HD: b) M, N, I thẳng hàng
c) Đường tròn tâm I, bán kính
.
2
Baøi 4. Cho DABC.

uur uur uur r
a) Xác định điểm I sao cho: IAuuu
+3
2 IC = 0 .
r IB -uuur
r
b) Xác định điểm D sao cho: 3DB - 2 DC = 0 .
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA + 3MB - 2 MC = 2 MA - MB - MC .

Trang 7


Vect

Trn S Tựng

II. TO
1. Trc to
ã Trc to (trc) l mt ng thng trờn ú ó xỏc nh mt im gc O v mt vect
r
r
n v e . Kớ hiu ( O; e ) .
r
r
r
ã To ca vect trờn trc:
u = (a) u = a.e .

uuur
r
ã To ca im trờn trc:
M (k ) OM = k .e .
uuur
r
ã di i s cauuuvect
trờn
trc:
AB
=
a

AB = a.e .
r
r
Chỳ ý: + Nu AB cuứng hửụựng vụựi e thỡ AB = AB .
uuur
r
Nu AB ngửụùc hửụựng vụựi e thỡ AB = - AB .
+ Nu A(a), B(b) thỡ AB = b - a .
+ H thc Sal: Vi A, B, C tu ý trờn trc, ta cú: AB + BC = AC .
2. H trc to
ã H
hai trc to Ox, Oy vuụng gúc vi nhau. Vect n v trờn Ox, Oy ln lt
r gm
r
l i , j . O l gc to , Ox l trc honh, Oy l trc tung.
r
r

r
r
ã To ca vect i vi h trc to :
u = ( x; y ) u = x.i + y. j .
uuur
r
r
ã To ca im i vi h trc to :
M ( x; y ) OM = x.i + y. j .
r
r
ã Tớnh cht: Cho a = ( x; y ), b = ( x ; y ), k ẻ R , A( x A ; y A ), B( x B ; yB ), C ( xC ; yC ) :

r r
r r
r
ùỡ x = xÂ
+ a=bớ
+ a b = ( x x ; y y )
+ ka = (kx; ky )
ùợ y = yÂ
r
r r
+ b cựng phng vi a ạ 0 $k ẻ R: x = kx vaứ y = ky .


uuur
+ AB = ( x B - x A ; yB - y A ) .

x yÂ

=
(nu x ạ 0, y ạ 0).
x
y

x A + xB
y + yB
; yI = A
.
2
2
x + x B + xC
y + yB + yC
+ To trng tõm G ca tam giỏc ABC: xG = A
; yG = A
.
3
3
x - kx B
y - kyB
+ To im M chia on AB theo t s k ạ 1: x M = A
; yM = A
.
1
k
1
k
uuur
uuur
( M chia on AB theo t s k MA = k MB ).

+ To trung im I ca on thng AB: x I =

Trang 8


Trần Sĩ Tùng

Vectơ
VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục

Baøi 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5.

uuur
a) Tìm tọa độ của AB .

uuur
ĐS: AB = (7)
æ 7ö
ĐS: I ç ÷
è2ø

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
uuur uuur r
c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5MB = 0 .

ĐS: M(3)
æ 12 ö
ĐS: N ç ÷
è 5ø

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3NB = -1 .
Baøi 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1.

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA - 2 MB = 1 .
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB .
Baøi 3. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(-2), B(4), C(2), D(10).
1
1
2
a) Chứng minh rằng:
+
=
.
AC AD AB

ĐS:
ĐS:

2

b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: IC . ID = IA .
c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh: AC . AD = AB . AJ .
Baøi 4. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
ĐS:
uuur uuur uuur r
ĐS:
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA
uuur + MB
uuur- MC

uuur= 0 .
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA - 3NB = NC .
ĐS:
Baøi 5. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý.
a) Chứng minh: AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 .
b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng
các đoạn IJ và KL có chung trung điểm.

VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục
Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:

r 1r r r
r
r
r
b = i - 5 j ; c = 3i ;
d = -2 j .
3
r 1r r
r 3r r
r
r
r r r
r
r
b) a = i - 3 j ;
b = i + j ; c = -i + j ; d = -4 j ;
e = 3i .
2 r r
2

r
r
Baøi 2. Viết dưới dạng u = xi + yj khi biết toạ độ của vectơ u là:
r
r
r
r
a) u = (2; -3);
u = (-1; 4);
u = (2; 0);
u = (0; -1) .
r
r
r
r
b) u = (1;3);
u = (4; -1);
u = (1; 0);
u = (0; 0) .
r
r
Baøi 3. Cho a = (1; -2), b = (0;3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau:
r r
r
r
r r r
r 1r
r r r r r r r
r r
a) x = a + b; y = a - b; z = 2a - 3b .

b) u = 3a - 2b; v = 2a + b ; w = 4a - b .
2
ĐS:
r r
r
a) a = 2i + 3 j ;

Trang 9


Vectơ

Trần Sĩ Tùng

r

r

1ö r
2ø
r
r r r
a) Tìm toạ độ của vectơ d = 2a - 3b + 5c .
æ
è

Baøi 4. Cho a = (2; 0), b = ç -1; ÷ , c = (4; -6) .

r æ
63 ö

ĐS: d = ç 27; - ÷
è
2 ø
1
1
ĐS: m = ; n = 3
12
r
r
r
ĐS: c = -4a - 12b

r r r r
b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma + b - nc = 0 .
r
r r
c) Biểu diễn vectơ c theo a , b .
Baøi 5. Cho hai điểm A(3; -5), B(1; 0) .
uuur
uuur
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC = -3 AB .
ĐS:
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
ĐS:
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
ĐS:
Baøi 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
ĐS:

Baøi 7. Cho ba điểm A(1; -2), B(0; 4), C(3; 2).
uuur uuur uuur
a) Tìm toạ độ các vectơ AB, AC , BC .
ĐS:
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
ĐS:
uuur
uuur uuur
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM = 2 AB - 3 AC .
ĐS:
uuur uuur uuur r
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2 BN - 4CN = 0 .
ĐS:
Baøi 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
ĐS:

Trang 10


Trần Sĩ Tùng

Vectơ
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I

Baøi 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B¢ là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường

uuur uuur

uuur
uuur
tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy xét quan hệ giữa các vectơ AH vaø B¢C; AB¢ vaø HC .
uuur uuur uuur uuur
HD: AH = B¢C; AB¢ = HC .
Baøi 2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
uuur uuur uuur uuur
uur
a) Chứng minh: AC + BD = AD + BC = 2IJ . uuur uuur uuur uuur
r
b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA + GB + GC + GD = 0 . (G được gọi là
trọng tâm của tứ giác ABCD).
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn
thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm.
Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi X, Y, Z, T lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA,
DAB, ABC. Chứng minh rằng AX, BY, CZ, DT đồng qui tại trọng tâm của tứ giác
ABCD.
uuur uuur r
HD: Gọi G là trọng tâm của tứ giác ABCD. Ta suy ra được GA + 3GX = 0 Þ AX đi qua
G. Tương tự, cũng chứng minh được BY, CZ, DT đi qua G. uuuur
uuur uuur uuur
Baøi 4. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N thay đổi sao cho: MN = 4 MA + MB - 2 MC .
Chứng minh rằng đường thẳng MN uur
luôn uuu
đirqua mộtuurđiểmuurcố định. uur uur uur
r
r
r
4
EA

+
EB
=
0
,
5
IE
2
IC
=
0
Þ
4
IA
+
IB
2
IC
=
0
HD: Gọi E và I làuuuu
các
điểm
sao
cho:
r
uuur
Suy ra được: MN = 3MI Þ M, N, I thẳng hàng Þ MN đi qua điểm I cố định.
Baøi 5. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý.
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

a)
Hãy
xác
định
các
điểm
D,
E,
F
sao
cho
MD = MC + AB , ME = MA + BC ,
uuur uuur uur
MF = MB + CA . Chứng minh
điểmuuur
D, E, Fuuuu
không
phụ thuộc
uuurcácuuur
r uuur
uuur vào vị trí của điểm M.
b) So sánh hai tổng vectơ: MA + MB + MC và MD + ME + MF .
HD: a) ABDC, ABCE, ACBF là các hình bình hành
b) Hai vectơ tổng bằng nhau.
Baøi 6. Cho DABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
uur uur uur r
a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = 0 . uuur uuur uuur
uur
b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI .
Baøi 7. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm DABC.

Chứng
uur minh:
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
a) 2 AI = 2 AO + AB .
b) 3DG = DA + DB + DC .
Baøi 8. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
uuur uur uur r
uur 1 uuur uuur
b) Chứng minh: OA + OI + OJ = 0 .
a) Chứng minh: AI = ( AD + 2 AB )
2 uuur uuur uuur
r
c) Tìm điểm M thoả mãn: MA - MB + MC = 0 .
HD: c) CABM là hình bình hành.
uuur
uuur
Baøi 9. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD = 2 AB ,
uuur 2 uuur
AE = AC .
5r uuur uuur
uuu
uuur
uuur
a) Tính AG, DE , DG theo AB vaø AC .
b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng.
HD: a)
uuur 2 uuur
Baøi 10. Cho DABC. Gọi D là điểm xác định bởi AD = AC và M là trung điểm đoạn BD.
5

Trang 11


Vectơ

uuur
uuur
uuur
a) Tính AM theo AB vaø AC .

Trần Sĩ Tùng
b) AM cắt BC tại I. Tính

IB
AM
và
.
IC
AI

HD: a)
Baøi 11. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD, BC sao cho:
MA NB m
=
=
MD NC n
uuur
uuur
uuuur nAB + mDC
Chứng minh rằng: MN =

.
m+n
Baøi 12. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. I là tâm đường tròn nội tiếp DABC.
uur uur uur r
Chứng minh: aIA + bIB + cIC = 0 .
HD: Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
Baøi 13. Cho tam giác ABC. M là một điểm trên cạnh BC. Chứng minh rằng:
uuur MC uuur MB uuur
AM =
AB +
AC .
BC
BC
HD: Vẽ MN // AC. Sử dụng định lí Ta–let, ta có:
uuur AN uuur MC uuur uuur NM uuur MB uuur
AN =
AB =
AB , NM =
AC =
AC Þ đpcm.
AB
BC
AC
BC
Baøi 14. Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp DABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB
uuur uur uur r
lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng: aIM + bIN + cIP = 0 .
HD: Gọi p là nửa chu vi DABC, ta có:
AP = AN = p – a; BM = BP = p – b; CN = CM = p – c.
uuur MC uur MB uur

uuur
uur
uur
Áp dụng bài 11, ta có: IM =
IB +
IC Þ aIM = ( p - c)IB + ( p - b)IC (1)
uur
uur BC uur BC
uur
uur
uur
Tương tự, bIN = ( p - a)IC + ( p - c)IA (2), cIP = ( p - b)IA + ( p - a)IB (3)
Từ (1), (2), (3), suy ra đpcm.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho:
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur r
a) MA + 2 MB + 3MC = 0
b)
MA + 2 MB - 3MC = 0
uur
uuur
HD: a) Lấy E trên AB: EA = -2 EB . M là trung điểm của BC.
b) Lấy E như trên. Không tồn tại điểm M thoả đề bài.
Baøi 16. Cho DABC có trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:
uuur uuur
uuur uuur uuur r
a) MA = MB
b) MA + MB + MC = 0
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur

c) MA + MB = MA - MB
d) MA + MB = MA + MB
uuur uuur uuur uuur
e) MA + MB = MA + MC
AB
HD: a) Æ
b) M º G
c) Đường tròn tâm trung điểm I của AB, bán kính
2
d) Hai phần của đường thẳng AB trừ đi những điểm nằm trong đoạn AB.
e) Đường trung trực đoạn IJ (I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC).
Baøi 17. Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2 MA + MB + MC = MA + 2 MB + 3 MC
uur uur uur r
HD: Gọi G là trọng tâm DABC, J là điểm sao cho: JA + 2 JB + 3JC = 0 . Tập hợp các
điểm M là đường trung trực của GJ.
Baøi 18. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
MA + MB + MC + MD = MA + MB - 2 MC
(*)
HD:uuur
Gọi Guuur
là trọng
của
giác
E là trung
uuur tâm
uuuu
r tứuuuu

r ABCD,
uuur uuur
uuur điểm
uuurcủa AB. Ta có:
MA + MB + MC + MD = 4 MG , MA + MB - 2 MC = 2CE
Trang 12


Trn S Tựng

Vect

ổ 1
ử
1
Do ú, (*) MG = CE ị Tp hp cỏc im M l ng trũn ỗ G; CE ữ .
2
ố 2
ứ
uuur uuur uuur
Baứi 19. Cho tam giỏc ABC v ng thng d. Tỡm trờn d, im M sao cho MA + MB + 3MC
nh nht.
uur uur uur r
HD: Gi I l im sao cho: IA + IB + 3IC = 0 . YCBT MI nh nht M l hỡnh chiu
ca I trờn d.
Baứi 20. Cho tam giỏc nhn ABC ni tip trong ng trũn (O). Tỡm trờn (O), im M sao cho
uuur uuur uuur
MA + MB - MC ln nht, nh nht.
uur uur uur r
HD:uuur

Gi Iuuur
l nh
th
t
ca
hỡnh
bỡnh
hnh
ACBI.
Ta
cú:
IA + IB - IC = 0 .
uuur uuur
ị MA + MB - MC = MI , "M .
uuur uuur uuur
uuur
ã MA + MB - MC ln nht MI ln nht M M1
uuur uuur uuur
uuur
ã MA + MB - MC nh nht MI nh nht M M2
Trong ú M1, M2 l giao im ca ng thng IO vi (O), M1 khỏc phớa vi I, M2
cựng phớa vi I i vi O.
Baứi 21. Cho DABC cú A(4; 3) , B(-1; 2) , C(3; -2).
a) Tỡm ta trng tõm G ca DABC.
S: G(2;1)
b) Tỡm ta im D sao cho t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
S: D(8; -1)
Baứi 22. Cho A(2; 3), B(-1; -1), C(6; 0).
a) Chng minh ba im A, B, C khụng thng hng.
b) Tỡm ta trng tõm G ca DABC.

S:
c) Tỡm ta im D t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
S:
Baứi 23. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; -1). Tỡm to cỏc im M, N, P sao cho:
a) Tam giỏc ABC nhn cỏc im M, N, P ln lt lm trung im ca cỏc cnh BC, CA,
AB.
b) Tam giỏc MNP nhn cỏc im A, B, C ln lt lm trung im ca cỏc cnh MN, NP,
PM.
S: a)

Trang 13


Tớch vụ hng ca hai vect

Trn S Tựng

CHNG II
TCH Vễ HNG CA HAI VECT
V NG DNG
I. GI TR LNG GIC CA MT GểC BT Kè
T 00 N 1800
1. nh ngha

Ly M trờn na ng trũn n v tõm O. Xột gúc a = ã
xOM . Gi s M(x; y).
sina = y (tung )
cosa = x (honh )
y
y ổ tung ủoọ ử

tana = ỗ
(x ạ 0)
M
y
ữ
x ố hoaứnh ủoọ ứ
x1

-1
O
x
x ổ hoaứnh ủoọ ử
cota = ỗ
(y
ạ
0)
ữ
y ố tung ủoọ ứ
Chỳ ý: Nu a tự thỡ cosa < 0, tana < 0, cota < 0.
tana ch xỏc nh khi a ạ 900, cota ch xỏc nh khi a ạ 00 v a ạ 1800.
2. Tớnh cht
ã Gúc ph nhau
ã Gúc bự nhau

sin(900 - a ) = cos a
cos(900 - a ) = sin a
tan(900 - a ) = cot a
cot(900 - a ) = tan a
3. Giỏ tr lng giỏc ca cỏc gúc c bit
00

300
450

600

900

1800

1

0

0

1

sina

0

1
2

2
2

cosa

1

3
2

2
2

3
2
1
2

tana

0

3
3

1

3

||

0

cota

||

3

1

3
3

0

||

4. Cỏc h thc c bn
sin a
tan a =
(cos a ạ 0)
cos a
cos a
cot a =
(sin a ạ 0)
sin a
tan a .cot a = 1 (sin a .cos a ạ 0)
Chỳ ý:

sin(1800 - a ) = sin a
cos(180 0 - a ) = - cos a
tan(180 0 - a ) = - tan a
cot(180 0 - a ) = - cot a

0 Ê sin a Ê 1; - 1 Ê cos a Ê 1 .

Trang 14

sin2 a + cos2 a = 1
1
1 + tan 2 a =
(cos a ạ 0)
cos2 a
1
1 + cot 2 a =
(sin a ạ 0)
sin 2 a


Trần Sĩ Tùng

Tích vô hướng của hai vectơ

Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) a sin 0 0 + b cos 00 + c sin 900

b) a cos 900 + b sin 900 + c sin1800

c) a2 sin 900 + b2 cos 900 + c2 cos1800

d) 3 - sin 2 90 0 + 2 cos2 600 - 3tan2 450

e) 4a2 sin2 450 - 3(a tan 450 )2 + (2a cos 450 )2
ĐS: a) b + c

c) a2 - c2

b) b

d) -

1
2

e) a2

Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau khi x bằng 00 ; 30 0 ; 450 ; 600 :

a) sin x + cos x

b) 2 sin x + cos 2 x .

0

0

sin x + cos x

1

2 sin x + cos 2 x

1

30

0

450

1+ 3
2
3
2

2
2

600
1+ 3
2
1
32

Baøi 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

1
, b nhọn.
4
1
b) cos a = 3
a) sin b =

c) tan x = 2 2

ĐS:
ĐS:
ĐS:

6- 2
. Tinh cos150 , tan150 , cot150 .
4
6+ 2
.
ĐS: cos150 =
4
Baøi 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
1
tan x + 3cot x + 1
a) sin x = , 900 < x < 1800 . Tính A =
.
ĐS:
3
tan x + cot x
sin a - cos a
b) tan a = 2 . Tính B =
ĐS:
3
sin a + 3cos3 a + 2sin a
Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau:
Baøi 4. Biết sin150 =

b) sin 4 x + cos4 x = 1 - 2sin2 x.cos2 x

a) (sin x + cos x )2 = 1 + 2sin x.cos x

c) tan 2 x - sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x
d) sin 6 x + cos6 x = 1 - 3sin 2 x.cos2 x
e) sin x.cos x (1 + tan x )(1 + cot x ) = 1 + 2sin x.cos x
Baøi 7. Đơn giản các biểu thức sau:
a) cos y + sin y.tan y
d)

1 - cos2 x
1 - sin2 x

+ tan x.cot x

b) 1 + cos b . 1 - cos b
e)

c) sin a 1 + tan2 a

1 - 4sin2 x.cos2 x
(sin x + cos x )2

f) sin(900 - x ) + cos(1800 - x ) + sin2 x (1 + tan2 x ) - tan2 x
ĐS: a)
Baøi 8. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) cos2 120 + cos2 780 + cos2 10 + cos2 890
Trang 15

b) sin 2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin 2 870

Tớch vụ hng ca hai vect

Trn S Tựng

II. TCH Vễ HNG CA HAI VECT
1. Gúc gia hai vect
uuur r uuur r
r r r
Cho a , b ạ 0 . T mt im O bt kỡ v OA = a , OB = b .
r r
AOB vi 00 Ê ã
Khi ú ( a , b ) = ã
AOB Ê 1800.

r
a
O

Chỳ ý:
r r
r r
+ ( a , b ) = 900 a ^ b
r r
r r
+ ( a , b ) = 00 a , b cựng hng
r r
r r
+ ( a , b ) = 1800 a , b ngc hng

r r
r r
+ ( a, b ) = ( b , a )
2. Tớch vụ hng ca hai vect
rr r r
r r
a.b = a . b .cos ( a , b ) .
ã nh ngha:
rr r
r2
c bit:
a.a = a 2 = a .
r r r
ã Tớnh cht:
Vi a , b , c bt kỡ v "kẻR, ta cú:
rr rr
r r r
rr rr
+ a.b = b .a ;
a ( b + c ) = a.b + a.c ;
r
r
r
r
r
r r
( kar ) .b = k ( ar.b ) = ar. ( kb ) ;
a 2 0; a 2 = 0 a = 0 .
r
r r

r r 2 r
rr r
( ar - b )2 = ar 2 - 2ar.b + b 2 ;
+ ( a + b ) = a 2 + 2a.b + b 2 ;
r
r
r r r r
a 2 - b 2 = ( a - b )( a + b ) .
rr
rr
r r
r r
+ a.b > 0 ( a, b ) nhoùn
a.b < 0 ( a, b ) tuứ
rr
r r
a.b = 0 ( a, b ) vuoõng.
3. Biu thc to ca tớch vụ hng
r
r
ã Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi ú:

r
ã a = a12 + a22 ;

r r
cos(a , b ) =

ã Cho A( x A ; y A ), B( x B ; yB ) . Khi ú:

r
b

r A
a
r
b

B

rr
a.b = a1b1 + a2 b2 .
a1b1 + a2 b2

a12 + a22 . b12 + b22

;

r r
a ^ b a1b1 + a2 b2 = 0

AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 .

VN 1: Tớnh tớch vụ hng ca hai vect
Baứi 1. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = a, BC = 2a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:

uuur uuur
a) AB. AC

uuur uuur

b) AC.CB

uuur uuur
c) AB.BC

S: a) 0
b) -3a2
c) - a2
Baứi 2. Cho tam giỏc ABC u cnh bng a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
a) AB. AC
b) AC.CB
c) AB.BC
S: a)
Baứi 3. Cho tam giỏc ABC cú AB = 5, BC = 7, AC = 8.
uuur uuur
a) Tớnh AB
AC
uur .uuu
r , ri suy ra giỏ tr ca gúc A.
b) Tớnh CA.CB .
uuur uuur
c) Gi D l im trờn CA sao cho CD = 3. Tớnh CD.CB .
Trang 16


Trần Sĩ Tùng

Tích vô hướng của hai vectơ

uuur uuur
ĐS: a) AB. AC = 20; µA = 600

uur uuur
b) CA.CB = 44

uuur uuur 33
c) CD.CB =
2
Baøi 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
a) AB. AC
b) ( AB + AD )(BD + BC )
c) ( AC - AB)(2 AD - AB)
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
d) AB.BD
e) ( AB + AC + AD )(DA + DB + DC )
HD: a) a2
b) a2
c) 2a2
d) - a2
e) 0
Baøi 5. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
uuur uuur
a) Tính AB. AC , rồi suy ra cosA.

uuur uuur
b) Gọi G là trọng tâm của DABC.
Tính
.BC
. r uuur
uuur uuur uuuAG
r uuu
r uuu
c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB + GB.GC + GC.GA .
uuur
uuur uuur
BAC (D Î BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra
d) Gọi AD là phân giác trong của góc ·
AD.
uuur uuur
uuur uuur 5
3
1
HD: a) AB. AC = - , cos A = b) AG.BC =
2
4
3
uuur uuur 1 uur uur uuur uuur
29
c) Chú ý: GA.GB = ( BA + CA)(CB + AB) . S = 9
6
d) Sử dụng tính chất đường phân giác của góc trong tam giác:
uuur
uuur 3 uuur 2 uuur
AB uuur

54
DB = .DC Þ AD = AB + AC , AD =
AC
5
5
5
µ
0
Baøi 6. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 120 . M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
uur uur r uur
uur
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2 IA + IB = 0, JB = 2 JC .
7
2
b) IJ =
133
2
3
Baøi 7. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB, cạnh đáy AD = a, BC = 2a. Tính AB
trong các trường hợp sau:
uuur uuur
uuur uuur
uur uur
a) AB. AC = a2
b) AC.BD = - a2
c) IC.ID = a2 (I là trung điểm của AB).
HD: a) BC = 19 , AM =

HD: a) AB = a

b) AB = a 3

c) AB = 2a.

Baøi 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a 3 . M là trung điểm của BC. Biết

uuur uuur a2
AM .BC =
. Tính AB, AC.
2
uuur uuur
HD: Phân tích các vectơ theo AB, AC . AB = a, AC = a 2 .
Baøi 9. Cho tam giác ABC. AD là đường phân giác trong góc A. H là hình chiếu của D trên
uuur uuur
uuur uuur
AB. Biết AB. AD = 2a2 , AC. AD = 3a2 , AH = a .
uuur uuur
a) Tính AB, AC.
b) Tính AB. AC , suy ra BC, AD.
uuur
uuur uuur
HD: a) AB = 2a, AC = 3a
b) Sử dụng tính chất đường phân giác: 5 AD = 3 AB + 2 AC
uuur uuur
uuur uuur
2 15
Tính AD. AB Þ AB.AC = -a2 . BC = a 15 , AD =
a.
5

Baøi 10. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là giao điểm của hai đường chéo.
a) Tính AC 2 , BD 2 , AC 2 + BD 2 , biết AB = a, AD = b, ·
BAD = j .
uuur uuur
1
b) Chứng minh rằng AB. AD = AE 2 - BE 2 = ( AC 2 - BD 2 ) .
4
Trang 17


Tích vô hướng của hai vectơ

Trần Sĩ Tùng

HD:
Baøi 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6, AC = 8. Gọi M, N là hai điểm sao cho
uuur 2 uuur uuur 1 uuur
AM = AB , CN = CB .
3 uuur
3 r uuur
uuu
uuur uuur
a) Biểu diễn AN theo AB, AC . Tính AN.
b) Tính AM . AN . Suy ra độ dài đoạn MN
HD: a)
r r
Baøi 12. Cho các vectơ a , b .
rr
r r
a) Tính a.b . Biết là các vectơ đơn vị và 2a - b = 3 .

r
r r
r
r r
b) Tính a + b . Biết a = 2, b = 3, a - b = 1 .
r
r
r r
r r r r
c) Tính a + b , a - b . Biết a = 5, b = 8, (a, b ) = 60 0 .
r
r r
r
r r
d) Tính a - b . Biết a = 13, b = 19, a + b = 24 .
rr 1
r r
HD: a) a.b =
b) a + b = 5 c)
d)
2
r r r r r
1r 7r
r
r r r
r
Baøi 13. Cho a = -i + j , b = i + 3 j . Tìm góc của 2 vectơ c = 4a + b , d = - a + b .
4
4
HD:

r
r r r r
rr rr rr
r r r
r
r
Baøi 14. Cho các vectơ a , b , c thoả a + b + c = 0 và a = 1, b = 3, c = 4 . Tính a.b + b .c + c .a .
HD:
Baøi 15.

a)

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Baøi 1. Cho tứ giác ABCD.

uuur uuur
a) Chứng minh: AB 2 - BC 2 + CD 2 - DA2 = 2 AC.DB .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:

AB 2 + CD 2 = BC 2 + DA2 .
uuur 2 uuur 2
uuur 2 uuur 2
2
2
2
2
HD: a) Phân tích AB
BC
=
AB

BC
,
CD
DA
=
CD
- DA .
uuur uuur
b) AC ^ BD Û AC.BD = 0 .
Baøi 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
uuuur uuur 1
MH .MA = BC 2 .
4
uuur 1 uur uur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
HD: Chú ý: MA = ( BA + CA) , MH = MB + BH , MH = MC + CH .
2
Baøi 3. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
uuur uuur uuur uuuur
a) MA2 + MC 2 = MB 2 + MD 2
b) MA.MC = MB.MD
uuur uuuur
uuur uuur
c) MA2 + MB.MD = 2 MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật).
uuur uuur uuur uuuur
uuur
HD: Phân tích các vectơ MA, MB, MC , MD theo MO .
Baøi 4. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
uuur uuur uuur uur uuur uuur
a) Chứng minh: DA.BC + DB.CA + DC .AB = 0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".

Trang 18


Trần Sĩ Tùng

Tích vô hướng của hai vectơ
uuur uur uuur
HD: a) Phân tích BC = BA + AC .
Baøi 5. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
uuur uuur uur uuur uuur uuur
BC. AD + CA.BE + AB.CF = 0 .
HD: Sử dụng hệ thức trung điểm.
Baøi 6. Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng AM và BN.
uuur uur uuur uur uuur uur uur uur
a) Chứng minh: AM .AI = AB.AI , BN .BI = BA.BI .
uuur uur uuur uur
b) Tính AM . AI + BN .BI theo R.
uuur uuur uuur uuur uur uuur
HD: a) Chú ý AI ^ BM , BI ^ AN . Phân tích AM = AB + BM , BN = BA + AN .
uuur uur uuur uur
b) AM . AI + BN .BI = 4 R 2 .
Baøi 7. Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến AM, BN, CP. Các đường cao AD, BE
cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
uur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1
a) BA.BC = BH .BC = BH .BE b) AH . AM + BH .BN + CH .CP = ( AB 2 + BC 2 + CA2 )
2
HD:
Baøi 8.

a)

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc. Thiết lập điều kiện vuông góc

r

r r

r

r

r r

r

Baøi 1. Cho a ^ b , a = 1, b = 2 . Chứng các vectơ 2a - b , a + b vuông góc với nhau.
Baøi 2. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi

uuur uuur uuur uuur
H là điểm
đước
xác
định
bởi
OH
= OA + OB + OC .
uuur uuur
a) Tính AH .BC . Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Tìm hệ thức giữa a, b, c sao cho OH ^ AM (M là trung điểm của BC).
uuur uuur
HD: a) AH .BC = 0
b) b2 + c 2 = 2a2 .
Baøi 3. Cho đường tròn (O; R). Chứng minh điều kiện cần và đủ để AM là tiếp tuyến với
uuur uuur
đường trònuuur
(O) tạiuuur
M là OA.OM = R 2 .
HD: Sử dụng AM ^ OM .
Baøi 4. Cho tam giác đều ABC, cạnh 3a. Lấy các điểm M, N, P lần lượt ở trên các cạnh BC,
CA, AB
=r a, CN = 2a, AP = x (0 < x < 3a).
uuursao chouuuBM
r uuu
a) Tính AM theo AB, AC .
uuur 1 æ uuur x uuur ö
b) Chứng minh: PN = ç AC - AB ÷ .
3è
a
ø
c) Tính x để AM ^ PN.
uuur 2 uuur 1 uuur
4
HD: a) AM = AB + AC
c) x = a .
3
3
5
Baøi 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = c, AC = b. M là trung điểm của BC. Tìm

điểm D trên AC sao cho BD ^ AM.
HD: D Î AC sao cho AD =

c2
.
b
Trang 19


Tích vô hướng của hai vectơ

Trần Sĩ Tùng

Baøi 6. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b. I là trung

điểm của AB. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:
a) CI ^ DI
b) BD ^ CI
c) AC ^ DI
d) Trung tuyến BM của DABC vuông góc với trung tuyến CN của DBCD.
HD: a) ab -

h2
=0
4

b) ab -

h2
=0

2

c) ab -

h2
=0
2

d) h2 - 2b2 + ab = 0

Baøi 7. Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = a, AD = b, góc nhọn ở đáy bằng 600 .

Tìm hệ thức giữa a, b để AC ^ BD.
HD:

uuur uuur

Baøi 8. Cho tam giác ABC có đường cao CH và thoả hệ thức CA2 = AB. AH .

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại C.
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của HC và HB. Chứng minh AI ^ CJ.
Baøi 9. Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a.
uuur uuur uuur uur
a) Tính AB. AC , BC.BA .
uuur
3 uuur uuur
4 uuur
b) Gọi E, F là hai điểm sao cho AE = - AC , AF = - AB , I là trung điểm của đoạn EF.
4
3

Chứng minh AI ^ BC.
HD:
uuur 1 uuur
BAC = 600 . Gọi E, F là hai điểm sao cho BE = BC ,
Baøi 10. Cho DABC có AB = 8, AC = 3, ·
3
uuur 1 uur
CF = CA .
3
uuur 1 uuur uuur
uuur uuur
a) Chứng minh EF = ( AC - 2 AB) .
b) Tính AB. AC , suy ra độ dài cạnh BC.
3
b) Gọi I là một điểm trên BC sao cho BI = x. Xác định x để AI ^ EF.
HD:
uuur 1 uuur uuur 2 uur
Baøi 11. Cho tam giác đều ABC. M, N, P là các điểm sao cho BM = BC , CN = CA ,
3
3
uuur
uuur
AP = k AB .
uuur uuur
uuur uuur
a) Biểu diễn các vectơ AM , PN theo AB, AC .
b) Xác định k để AM ^ PN.
HD:
uuur
uuur uuur 1 uuur

Baøi 12. Cho tam giác đều ABC. M, N, P là các điểm sao cho MB = -2 MC , NB = NC ,
2
uuur
uuur
AP = k AB .
uuur uuur
uuur uuur
a) Biểu diễn các vectơ AM , AN theo AB, AC .
b) Xác định k để PN^ PN.
HD:
Baøi 13.

a)

Trang 20


Trần Sĩ Tùng

Tích vô hướng của hai vectơ

VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm thoả đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài
Baøi 1. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
a) MA2 = 2 MA.MB
b) ( MA - MB)(2 MB - MC ) = 0
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur

c) ( MA + MB)( MB + MC ) = 0
d) 2 MA2 + MA.MB = MA.MC
uur 2 uuur uuur
HD: a) Sử dụng BA = ( MA - MB)2 . Tập hợp là đường tròn (B; BA).
uur uur r
b) Trên BC lấy điểm I: 2 IB - IC = 0 . Tập hợp là đường thẳng qua I và vuông góc với BA.
c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tập hợp là đường tròn đường kính IJ.
uur uur uur r
d) Gọi I là điểm sao cho 2 IA + IB - IC = 0 . Tập hợp là đường tròn đường kính IA.
Baøi 2. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
a) ( MA - 3MB)( MA + MB - 2 MC ) = 0 b) ( MC + 2 MB)( MA - 2 MB) = 0
HD:
Baøi 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

uuur uuur uuur uuuur
a) MA.MC + MB.MD = a2

c) MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MD 2

uuur uuur uuur uuuur
b) MA.MB + MC.MD = 5a2
uuur uuur uuur uuur uuur
d) ( MA + MB + MC )( MC - MB) = 3a2

uuur
HD: a) Phân tích các vectơ theo MO . Tập hợp là đường tròn (O; a).
uuur
æ a 10 ö

b) Phân tích các vectơ theo MO . Tập hợp là đường tròn ç O;
÷.
è
2 ø
uuur
c) Phân tích các vectơ theo MO Þ OM ^ OD.uuu
Tập
r hợp
uuur là đường thẳng AC.
d) Gọi G là trọng tâm DABC, Q là điểm thoả QG = BC . Tập hợp là đường thẳng qua Q
và vuông góc với BC.
Baøi 4. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao
uuur uuur uuur uuuur 1
cho: MA.MB + MC.MD = IJ 2 .
2
æ
uuur uuur
AB 2 + CD 2 ö÷
HD: Phân tích các vectơ theo MI , MJ . Tập hợp là đường tròn çç O;
÷ , với
8
è
ø
O là trung điểm của IJ.

Trang 21


Tích vô hướng của hai vectơ

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 5: Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Baøi 1. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).

a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
uuur
uuur uuur
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM = 2 AB - 3 AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ĐS:
Baøi 2. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
uuur uuur
a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
ĐS:
Baøi 3. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
c) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
d) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang, đáy AO.
ĐS:
Baøi 4. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
uur uur uuur r
a) Tìm toạ độ điểm T thoả TA + 2TB - 3TC = 0
b) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
c) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của DABC.
d) Tính các góc trong tam giác ABC.

ĐS:
Baøi 5. Chứng minh các điểm A(1; -1), B(5;1), C (3;5), D(-1;3) là các đỉnh của một hình vuông
Baøi 6. Cho hai đỉnh kề nhau của hình vuông ABCD là: A(-1; -3), B(3;5) . Tìm hai đỉnh còn
lại.
ĐS:
Baøi 7. Cho hai đỉnh đối diện của hình vuông ABCD là: A(3; 4), C (1; -2) . Tìm hai đỉnh còn
lại.
ĐS:
Baøi 8. Cho tam giác ABC cân tại A, biết µA = 1200 , B(-1;2), C (4;1) . Tìm toạ độ đỉnh A.
ĐS:
Baøi 9. Cho hình thoi ABCD với A(1;3), B(-1; -1) . Tìm toạ độ các đỉnh C, D nếu đường thẳng
CD đi qua điểm M(6;7) .
ĐS:
Baøi 10. Cho hình thoi ABCD với B(1; -3), D(0;4), µA = 600 . Tìm toạ độ các đỉnh A, C.
ĐS:
Baøi 11.

a)
ĐS:

Trang 22


Trần Sĩ Tùng

Tích vô hướng của hai vectơ

III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Cho DABC có:

– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S

1. Định lí côsin
a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A ;
b2 = c 2 + a2 - 2ca.cos B ;
2. Định lí sin
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến

c2 = a2 + b2 - 2ab.cos C

2(b2 + c2 ) - a2
2(a2 + c 2 ) - b2
;
mb2 =
;
4
4

4. Diện tích tam giác
1
1
1
S = aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
= bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
abc
=
4R
= pr
ma2 =

=

mc2 =

2(a2 + b2 ) - c2
4

p( p - a)( p - b)( p - c) (công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao.

A

· BC 2 = AB 2 + AC 2 (định lí Pi–ta–go)
· AB 2 = BC.BH ,
· AH 2 = BH .CH ,

AC 2 = BC.CH
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

B

H

C

· AH .BC = AB. AC
· b = a.sin B = a.cos C = c tan B = c cot C ; c = a.sin C = a.cos B = b tan C = b cot C

6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
· Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
uuur uuur uuur uuuur
PM/(O) = MA.MB = MC.MD = MO 2 - R2
· Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
PM/(O) = MT 2 = MO 2 - R 2
Trang 23

T

B

A
O

M
C

D

R


Tích vô hướng của hai vectơ

Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Định lí côsin

Baøi 1. Cho tam giác ABC, biết AC = 13, AB + BC = 22, µB = 600 . Tính AB, BC.

ĐS:

Baøi 2. Cho tam giác ABC, biết µB = 1200 , AB = 6, AC = 10 . Tính BC.

ĐS:

Baøi 3. Cho tam giác ABC, biết AB = 3, AC = 5, µA = 1200 . Tính độ dài đường phân giác trong

BD và các đoạn AD, CD.
ĐS:
Baøi 4. Cho tam giác ABC, biết AB = 12, AB = 15, BC = 18 . Tính độ dài đường phân giác
trong của góc A.
ĐS:
Baøi 5. Tính góc A của tam giác ABC, biết b(b2 - a2 ) = c(a2 - c 2 ) .

p
ĐS: µA = .
3
Baøi 6. Giả sử a, b là độ dài cạnh của một hình bình hành, d1, d2 là độ dài hai đường chéo.
Chứng minh: d12 + d22 = 2(a2 + b2 ) .
Baøi 7. Chứng minh rằng trong tam giác ABC nếu a = 2b cos C thì tam giác ABC cân.
Baøi 8. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Trên các đoạn BC, AB lấy lần lượt các điểm D, E sao

1
cho BD = a, AE = DE . Tính CE.
3
ĐS:
Baøi 9. Cho tứ giác lồi ABCD với E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và
O là giao điểm của EH và FG. Tính độ dài các đường chéo AC, BD nếu EH = a ,

FG = b , ·
FOH = 600 .

ĐS:
Baøi 10. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA
lần lượt tại các điểm M, D, N. Tính độ dài đoạn MD nếu NA = 2, NC = 3,µC = 600 .
ĐS:
Baøi 11. Đường tròn nội tiếp trong tam giác KLM tiếp xúc với KM tại A. Tính độ dài đoạn AL
nếu AK = 10, AM = 4, µL = 600 .
ĐS:

Baøi 12. Cho tam giác ABC với µB = 600 , AB + BC = 11( AB > BC ) . Bán kính đường tròn nội

tiếp trong tam giác là r =

2
3

. Tính độ dài đường cao AH.

ĐS:
Baøi 13. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp trong tam giác tiếp xúc với cạnh BC tại M.
Tính độ dài hai cạnh AB, AC nếu BM = 6, MC = 8 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng
4.
ĐS:
Baøi 14.

ĐS:

Trang 24