Chuyên đề 08 lượng giác kit1

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 1. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC, PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác, phương trình lượng giác cơ
bản thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững
kiến thức phần Bài 1. Công thức lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản. Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài
giảng này.

I. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
1. Hệ thức lƣợng giác
+

sin 2 a  1  cos 2 a
sin a  cos a  1   2
2
cos a  1  sin a
2

2

sina
cos a
; cot a 
; tan a.cot a 1
cos a
sin a
1

1
+ 1  tan 2 a 
.
; 1  cot 2 a 
2
cos a
sin 2 a
2. Công thức cộng
 sin( a  b)  sin a cos b  cos a sin b
 sin( a  b)  sin a cos b  cos a sin b
 cos( a  b)  cosa cos b  sin a sin b
 cos( a  b)  cosa cos b  sin a sin b
t ana  tanb
 tan( a  b) 
1  t ana.tanb
t ana  tanb
 tan( a  b) 
1  t ana.tanb
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
ab
a b
sin a  sin b  2sin
cos
;
sin a  sin b  2cos
sin
2
2

2
2
ab
a b
ab
a b
cosa  cos b  2cos
cos
;
cosa  cosb  2sin
sin
2
2
2
2
sin(a  b)
sin(a  b)
tan a  tan b 
; tan a  tan b 
cos a cos b
cos a cos b
Trường hợp đặc biệt:

+ t ana 





sin a  cos a  2 sin  a    2cos  a  

4
4






sin a  cos a  2 sin  a     2cos  a  
4
4


4. Công thức biến đổi tích thành tổng

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

1
1
cos(a  b)  cos(a  b); cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) 
2

2
1
1
sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  ; cos a sin b  sin( a  b)  sin( a  b) 
2
2
5. Công thức nhân đôi, nhân ba.
sin a sin b 

sin 2a  2sin a cos a

2
sin 2a  (s ina  cos a)  1
sin 2a  1  (s ina  cos a) 2


cos2a  cos 2 a  sin 2 a

2
cos2a  2 cos a  1
cos2a  1  2sin 2 a


2 tan a

 tan 2a  1  tan 2 a

2
cot 2a  cot a  1


2 cot a

a
2t

t  tan 2 ,s ina  1  t 2

2
 t ana  2t , cos a  1  t

1 t2
1 t2

sin 3a  3sin a  4sin 3 a ; cos3a  4 cos 3 a  3cos a

6. Công thức hạ bậc
1  cos 2a
1  cos 2a
1
1  cos 2a
sin 2 a 
; cos 2 a 
; sin a cos a  sin 2a; tan 2 a 
;
2
2
2
1  cos 2a
 sin 3a  3sin a
cos 3a  3cos a

 sin 3a  3sin a
sin 3 a 
; cos3 a 
; tan 3 a 
4
4
cos 3a  3cos a
Chú ý: * Công thức góc liên quan đặc biệt



 sin   a   cosa
2



cos   a   sin a
2


 sin(a)   sin a
cos(a)  cos a
* Công thức mũ

3
 sin 6 a  cos 6 a  1  sin 2 2a
4
1
sin 4 a  cos 4 a  1  sin 2 2a
2

II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. sin x  a , điều kiện 1  a  1

 x    k 2
Đặt a  sin  sin x  sin  
;k Z
 x      k 2
Trường hợp đặc biệt:
sin x  0  x  k ; k  Z
s inx  1  x 


2

 k 2 ; k  Z



 k 2 ; k  Z
2
2. cosx  a , điều kiện 1  a  1
sin x  1  x  

 x    k 2
Đặt a  cos  cosx  c os  
; k Z
 x    k 2
Trường hợp đặc biệt:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác



 k ; k  Z
2
cosx  1  x  k 2 ; k  Z
cosx  1  x    k 2 ; k  Z
cosx  0  x 



 k ; k  Z
2
Đặt a  tan  tan x  tan  x    k ; k  Z

3. tan x  a; a  R x 

Trường hợp đặc biệt:
tan x  0  x  k ; k  Z
tan x  1  x 



4

 k ; k  Z

tan x  1  x  



 k ; k  Z

4

4. co t x  a; a  R , x  k ; k  Z
Đặt a  cot   cot x  cot  x    k ; k  Z
Trường hợp đặc biệt:
cotx  0  x 
cotx  1  x 


2



4

 k ; k  Z
 k ; k  Z



 k ; k  Z
4
III. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ SỞ
a) Phương trình cổ điển
cotx  1  x  

a sin x  b cos x  c; a 2  b 2  c 2 (1)

Cách giải. (1) 
Với

a
a 2  b2

c
a b
2

 sin ;

2



b
a2  b2

a
a b
2

2

sin x 

b
a  b2
2

c

 cos ;

a2  b2

cos x  cos( x   )

cos   x     2 k

Chú ý: (1) có nghiệm  c2  a 2  b2
Ví dụ mẫu:Giải phương trình:
2

x
x

Ví dụ 1. (ĐHKD 2007):  sin  cos   3 cos x  2
2
2


Ví dụ 2. cos7 x  3 sin 7 x   2
Ví dụ 3. 2 2(cos x  sin x) cos x  3  cos x
b. Phương trình đối xứng:
a(s inx  cos x)  b sin x cos x  c  0
a(s inx  cos x)  b sin x cos x  c  0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác




1 2


t  s inx  cos x  2 sin  x  4   2cos  x  4     2; 2   sin x cos x  2 (t  1)




Bƣớc 1. Đặt 




1


2
t  s inx  cos x  2 sin  x     2cos  x      2; 2   sin x cos x  (1  t )
4
4
2



Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 ẩn t.
Bƣớc 2. Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Từ đó suy ra nghiệm x .

Ví dụ: Giải phương trình:
1. 2 cos 2 x  sin 2 x cos x  cos 2 x sin x  2(sin x  cos x)
2. cos3 x  sin3 x  sin 2 x  sin x  cos x .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 1. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC, PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác, phương trình lượng
giác cơ bản thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác,
phương trình lượng giác cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập
trong tài liệu này.

Bài 1: Giải phương trình: 4sin 3 x cos 3x  4 cos3 x sin 3 x  3 3cos4 x  3
Bài 2: Giải phương trình: 4sin 3 x  1  3sin x  3cos3 x
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trong các trường hợp đó.
3
2m(cos x  sin x)  2m2  cos x  sin x 
2
Bài 4: Giải phương trình: 2sin x  cot x  2sin 2x  1
Bài 5: Giải phương trình: (sin x  cos x)3  2(sin 2 x  1)  sin x  cos x  2  0

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 1. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC, PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác, phương trình lượng
giác cơ bản thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác,
phương trình lượng giác cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập
trong tài liệu này.

Bài 1: Giải phương trình: 4sin 3 x cos 3x  4 cos3 x sin 3 x  3 3cos4 x  3
Giải:
 sin 4 x  3cos4 x  1 

1
3
1
sin 4 x 
cos4 x 
2
2

2






 cos  4 x    cos  4 x     k 2 , k  Z
6
3
6
3




x  8  k 2

; k Z
x     k 

24
2
Bài 2: Giải phương trình: 4sin 3 x  1  3sin x  3cos3 x
Giải:

3cos3x  (3sin x  4sin 3 x)  1
3
1
1

cos3x  sin 3 x 
2
2
2


 

 cos  3x    cos  3x    k 2 ; k  Z
6
3
6 3


 3cos3x  sin 3x  1 


2

 x  18  k 3

; k Z
 x    k 2

6
3
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trong các trường hợp đó.
3
2m(cos x  sin x)  2m2  cos x  sin x 
2

Giải:
3
PT  (2m  1)sin x  (2m  1) cos x  2m2 
2
3

Để phương trình đã cho có nghiệm, ta phải có: (2m  1)  (2m  1)   2m2  
2

1
 (4m2  1)2  0  (4m2  1)2  0  m  
2
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

2

2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

1


 sin x  1  x   k2; k  Z
2
2
1
+ TH2: m    cosx  1  x    k 2 ; k Z
2
+ TH1: m 

Bài 4: Giải phương trình: 2sin x  cot x  2sin 2x  1
Giải:
Điều kiện: sin x  0
PT  2sin 2 x  cos x  4sin 2 x cos x  sin x

 2sin 2 x  sin x  4sin 2 x cos x  cos x
 sin x(2sin x  1)  cos x(4sin 2 x  1)  cos x(2sin x  1)(2sin x  1)

 (2sin x  1)(sin x  cos x  2sin x cos x)  0
1

sin x  (1)


2

sin
x

cos
x  2sin x cos x  0 (2)





x   k 2

1

6
; k Z
Giải (1) sin x   sin  
5

2
6
x 
 k 2

6
Giải (2) sin x  cos x  2sin x cos x  0
Đặt sin x  cos x  t ,  2  t  2

t  1  2    2; 2 


Ta có phương trình: t  2t  1  0  
t  1  2   2; 2 




2



1 2


sin x  cos x  1  2  2cos  x    1  2  cos  x    cos (cos 
)
4
4

2

Vậy x   


4

 k 2 , k  Z

Bài 5: Giải phương trình: (sin x  cos x)3  2(sin 2 x  1)  sin x  cos x  2  0
Giải:
PT  (sin x  cos x)3  2(sin x  cos x) 2  sin x  cos x  2  0
Đặt: sin x  cos x  t ,  2  t  2
Phương trình  t 3  2t 2  t  2  0  (t  2)(t 2  1)  0  t  2






 sin x  cos x  2 sin  x    2  sin  x    1
4
4


 x


4




2

 k 2  x 


4

 k 2 ; k  Z .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác
(Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 2. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu
cùng với bài giảng này.

Dạng I. Sử dụng trực tiếp phƣơng trình cơ bản.
Bài tập mẫu: Giải phương trình sau:
Bài 1: cos7 x  sin 5x  2  cos5x  sin 7 x 
Bài 2 (ĐHKA – 2009):

(1  2sin x) cos x
 3
(1  2sin x)(1  s i n x)

Bài 3 (ĐHKD -2009):

3cos5 x  2sin 3x.cos2 x  sin x  0

Bài 4 (ĐHKB -2009): sin x  cos x.sin 2 x  3 cos 3 x  2(cos4 x  sin 3 x)

x

Bài 5 (ĐHKB -2006): cot x  sin x 1  tan x.tan   4
2


Dạng II: Nhóm thừa số chung
Giải các phương trình sau:
Bài 1 : sin 3 x  3cos3 x  sin x.cos 2 x  3 sin 2 x.cosx
Bài 2 (ĐHKD -2004): (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin 2 x  sin x
Bài 3 (ĐHKD -2011):

sin 2 x  2 cos x  sin x  1
0
tan x  3

Bài 4 (ĐHKB -2005): 1  sin x  cos x  sin 2x  cos2x  0
Bài 5 (ĐHKB -2010): (sin 2 x  cos2 x) cos x  2cos 2 x  sin x  0
Bài 6 (ĐHKD -2008): 2sin x(1  cos2 x)  sin 2 x  1  2cos x
Bài 7 (ĐHKB -2011): sin 2x cos x  sin x cos x  cos2x  sin x  cos x
Bài 8 (ĐHKA -2007): (1  sin 2 x) cos x  (1  cos 2 x) sin x  1  sin 2 x

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Giải phương trình: sin x  cos x  2cos9 x
Bài 2: Giải phương trình: 2sin 4 x  sin x  3cosx
Bài 3: Giải phương trình:

3
1

 8cos x
sin x cos x

Bài 4: Giải phương trình:

cos2 x  cos x
 3

sin 2 x  sin x

Bài 5: Giải phương trình: cos3x.cos3 x  sin 3 x.sin 3 x 

23 2
8

Bài 6: Giải phương trình: sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5 x  cos2 6 x

Bài 7: Giải phương trình:

 2  3  cos x  2sin
2 cos x  1

Bài 8: Giải phương trình: cot x  tan x 
Bài 9: Giải phương trình: 4sin 2

2

x 
  
 2 4  1

2cos 4 x
sin 2 x

x
3 

 3cos2 x  1  2 cos 2  x 


2
4 


cos2 x  1


Bài 10: Giải phương trình: tan   x   3 tan 2 x 
cos 2 x
2


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT

GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 1)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Giải phương trình: sin x  cos x  2cos9 x
Giải:


PT  2cos  x    2cos9 x
4






 cos9 x  cos  x    9 x    x    k 2
4
4





x




k

32
4

k Z


x 
k

40
5
Bài 2: Giải phương trình: 2sin 4 x  sin x  3cosx
Giải:
1
3
PT  sin 4 x  sin x 
cos x
2
2


 sin 4 x  sin  x  
3




 4 x  x  3  k 2

k Z
 4 x     x     k 2



3


2

x  9  k 3

; k Z
 x  4  k 2

15
5
Bài 3: Giải phương trình:

3
1

 8cos x
sin x cos x

Giải:

sin x  0
Điều kiện: 
cos x  0
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

PT 

3 cos x  sin x  8cos 2 x.sin x  8(1  sin 2 x) sin x  8sin x  8sin 3 x

PT 

3 cos x  sin x  6sin x  8sin 3 x  2(3sin x  4sin 3 x)  2sin 3x



3
1
cos x  sin x  sin 3 x
2
2



3x   x  k 2

3


 sin   x   sin 3x  
; k Z
3

3x       x   k 2



3




 x  12  k 2

; k  Z (thỏa mãn điều kiện)
 x    k

3
Bài 4: Giải phương trình:

cos2 x  cos x

 3
sin 2 x  sin x

Giải:
sin x  0

Điều kiện: sin 2 x  sin x  sin x(2 cos x  1)  0  
1
cos x   2

PT  cos2 x  cos x  3  sin 2 x  sin x 
 cos 2 x  3 sin 2 x  cos x  3 sin x





 cos  2 x    cos  x  
3
3


 2x 





   x    k 2 ; k  Z
3

3


2

 x   3  k 2

; k Z
 x  k 2

3

Bài 5: Giải phương trình: cos3x.cos3 x  sin 3 x.sin 3 x 

23 2
8

Giải:

 cos3x  3cos x 
 3sin x  sin 3x  2  3 2
PT  cos3x 
  sin 3x 

4
4
8





 cos 2 3 x  sin 2 3 x  3(cos3 x cos x  sin 3 x sin x) 

 cos4 x 
 x


16

23 2
3 2
 1
8
2

2


 cos  4 x    k 2
2
4
4
k



2

; k Z

Bài 6: Giải phương trình: sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5 x  cos2 6 x
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

Giải:
1  cos6 x 1  cos8 x 1  cos10 x 1  cos12 x



2
2
2
2
 cos12 x  cos6 x  cos10 x  cos8 x  0
PT 

 2sin 9 x.sin 3x  2sin 9 x.sin x  0
 sin 9 x(sin 3x  sin x)  0
 9 x  k
sin 9 x  0

 3 x   x  k 2 ; k  Z

sin 3 x   sin x
3 x    x  k 2

k

x  9

k
 x 
; k Z

2

 x    k

2
Bài 7: Giải phương trình:

 2  3  cos x  2sin
2 cos x  1

2

x 
  
 2 4  1

Giải:
Điều kiện: cos x 

1
2



1  cos  x  
2

PT  2  3 cos x  2
 2 cos x  1
2





  3 cos x  sin x  0
1

3


 2  sin x 
cos x   0  2sin  x    0
2
3

2

x


3

 k

4
 k 2 ; k  Z
3
2cos 4 x
Bài 8: Giải phương trình: cot x  tan x 
sin 2 x
Giải:
Điều kiện: sin 2x  0
cos x sin x
cos4 x
PT 


 cos2 x  sin 2 x  cos4 x
sin x cos x sin x cos x
 cos2 x  cos4 x  4 x  2 x  k 2 ; k  Z

Kết hợp với điều kiện: x 

 x  k (loai )

x  k  ; k  Z
3


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Bài 9: Giải phương trình: 4sin 2

Chuyên đề 08. Lượng giác

x
3 

 3cos2 x  1  2 cos 2  x 

2
4 


Giải:
3 

PT  2(1  cos x)  3cos2 x  1  1  cos  2 x 

2 


 2cos x  3cos2 x   sin 2 x
 2cos x  3cos2 x  sin 2 x
3
1
cos2 x  sin 2 x   cos x
2
2


 cos  2 x     cos x  cos(  x)
6





 (  x)  k 2
6
5
2

 x  18  k 3

; k Z
 x  7  k 2

6
3
 2x 

cos2 x  1


Bài 10: Giải phương trình: tan   x   3 tan 2 x 
cos 2 x
2

Giải:

cos x  0
cos x  0

Điều kiện:   


sin x  0
cos  2  x   0

 
PT   cot x  3 tan 2 x 

2sin 2 x
 2 tan 2 x
cos 2 x

1
 tan 2 x  0
tan x
 tan 3 x  1  tan x  1


x


4

 k ; k  Z

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác
(Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm

vững kiến thức phần Bài 3. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu
cùng với bài giảng này.

Dạng II: Nhóm thừa số chung (tiếp)
Bài 9: (Đại học khối B – 2007): Giải phương trình sau: 2sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x



(1  sin x  cos2 x).sin  x  
1
4


cos x
Bài 10: (Đại học khối A – 2010): Giải phương trình sau:
1  tan x
2
1  sin 2 x  cos2 x
 2 sin x sin 2 x.
1  cot 2 x
1
1
 7


 4sin 
 x
Bài 12: (Đại học khối A – 2008): Giải phương trình sau:
3


sin x


 4

sin  x 

2 


Bài 11: (Đại học khối A – 2011): Giải phương trình sau:

x
x 
Bài 13: (Đại học khối D – 2003): Giải phương trình sau: sin 2    .tan 2 x  cos 2  0
2
2 4
cos2 x
1
Bài 14: (Đại học khối A – 2003): Giải phương trình sau: cot x  1 
 sin 2 x  sin 2 x
1  tan x
2
Bài 15: (Đại học khối D – 2010): Giải phương trình sau: sin 2x  cos2x  3sin x  cos x 1  0

Bài 16: Giải phương trình sau: sin 2x  2cos 2x  4cos x  sin x 1  0 .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Giải phương trình: 2sin 2x  cos2x  7sin x  2cos x  4
Bài 2: Giải phương trình: tan 4 x  1 

(2  sin 2 2 x).sin 3x
cos 4 x

Bài 3: Giải phương trình: 3  tan x(tan x  2sin x)  6cos x  0

Bài 4: Giải phương trình: 3 tan 3 x  t anx 

3(1  s inx)
 x 
 8cos 2   
2
cos x
 4 2

Bài 5: Giải phương trình: 2sin 3 x  s inx  2 cos3 x  cos x  cos2 x
Bài 6: Giải phương trình: s inx  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x
Bài 7: Giải phương trình: 2sin x(1  cos2 x)  sin 2 x  1  2cos x
x
x 
Bài 8: Giải phương trình: sin 2    tan 2 x  cos 2  0
2
2 4

Bài 9: Giải phương trình: 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  (2  3 2) cos x

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Giải phương trình: 2sin 2x  cos2x  7sin x  2cos x  4
Giải:
PT  2sin 2 x  (1  2sin 2 x)  7 sin x  2 cos x  4

 2sin 2 x  2 cos x  2sin 2 x  7 sin x  3  0
 2 cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  3)  0
 (2sin x  1)(sin x  2 cos x  3)  0



sin x  2 cos x  3(vô nghiêm)
 x  6  k 2



; k Z
sin x  1  sin 
 x  5  k 2
2
6


6
(2  sin 2 2 x).sin 3x
Bài 2: Giải phương trình: tan x  1 
cos 4 x
Giải:
Điều kiện: cos x  0
4

PT  sin 4 x  cos 4 x  (2  sin 2 2 x) sin 3 x
1
 1  sin 2 2 x  (2  sin 2 2 x) sin 3 x
2
 2  sin 2 2 x  2(2  sin 2 2 x) sin 3 x
 (2  sin 2 2 x)(2sin 3 x  1)  0


2

sin 2 2 x  2 (loai)
 x  18  k 3


; k Z

sin 3 x  1  sin 
5
2

x
k

2
6

18
3
Bài 3: Giải phương trình: 3  tan x(tan x  2sin x)  6cos x  0
Giải:
Điều kiện: cos x  0
PT  3 

sin x  sin x  2sin x cos x 

  6 cos x  0
cos x 
cos x


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

 3cos 2 x  sin 2 x  2sin 2 x cos x  6 cos3 x  0
 (3cos 2 x  sin 2 x)(2 cos x  1)  0
1

 2 cos x  1  0  cos x   cos
2
3
x


3

 k 2 ; k  Z

Bài 4: Giải phương trình: 3 tan 3 x  t anx 

3(1  s inx)
 x 
 8cos 2   
2
cos x
 4 2

Giải:
Điều kiện: cos x  0  sinx  1




Khi đó: PT  t anx(3tan 2 x  1)  3(1  sinx)(1  tan 2 x)  4 1  cos   x    4(1  sinx)
2


 t anx(3 tan 2 x  1)  (1  s inx) 3 1  tan 2 x   4   0
 (3 tan 2 x  1)(t anx  1  s inx)  0  (3 tan 2 x  1)(s inx  cos x  sin x cos x)  0
3 tan 2 x  1 (1)

s inx  cos x  sin x cos x  0 (2)
(1)  tan 2 x 

1
3

 t anx  
 x    k
3
3
6



Giải (2) đặt: t  s inx  cos x  2 sin  x   ; t  2, t  1  t 2  1  2sin x cos x
4

t  1  2; t  2

t 2 1
(2)  t 
 0  t 2  2t  1  0  
2
t  1  2


 

x     k 2
x     k 2



2 1

4
4
 sin  x   
 sin   

;k 

3

4
2


 x       k 2

x 
   k 2


4
4
Bài 5: Giải phương trình: 2sin 3 x  s inx  2 cos3 x  cos x  cos2 x
Giải:

PT  2  sin 3 x  cos3 x    s inx -cos x    sin 2 x  cos 2 x 
s inx -cos x  0(1)

s inx + cos x  sin 2 x  1  0(2)
(1)  tan x  1  x 


4

 k , k 



Xét (2) ta đặt: t  s inx  cos x  2cos  x   ; t  2  t 2  1  sin 2 x
4




t  0  cos  x  4   0



(2)  t  (t 2  1)  1  0  t (t  1)  0  


1
3

 cos
t  1  cos  x    
4
4
2


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác


3
 
 x  4   2k  1 2  x  4  k ; k  



  k 2

3

x   
 k 2  x   
;k 
   k 2
4
4

 2

Bài 6: Giải phương trình: s inx  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x
Giải:

PT   s inx  cos x    s in 2 x  cos 2 x    s in 3 x  cos3 x    s in 4 x  cos 4 x   0
s inx  cos x  0

1  s inx  cos x  1  s inx.cos x  s inx  cos x  0



t anx  1(1)  x   k ; k  

4


 2  s inx  cos x   sinx.cos x  2  0(*)

Xét (*), ta đặt:


t  s inx  cos x  2cos  x   ; t  2  t 2  1  2sin x cos x
4

2
t 1
(*)  2t 
 2  0  t 2  4t  3  0  t  1; t  3(loai )
2
  k 2

1
3

Khi t  1  cos  x    
 cos
x 
   k 2
4
4
2


 2
Bài 7: Giải phương trình: 2sin x(1  cos2 x)  sin 2 x  1  2cos x
Giải:
PT  4sin x cos 2 x  2sin x cos x  (1  2 cos x)  0

 2sin x cos x(1  2cos x)  (1  2cos x)  0
2

1
x
 k 2


cos x  
3

 (1  2cos x)(sin 2 x  1)  0 
(k  Z )
2



x   k
sin 2 x  1

4
x
x 
Bài 8: Giải phương trình: sin 2    tan 2 x  cos 2  0
2
2 4
Giải:
Điều kiện để PT có nghĩa là: x 



2

 k , (k  Z )

x 
1  cos   
2
 2 4  . 1  cos x  1  cos x  0
Khi đó: PT 
2
cos 2 x
2

 (1  sinx)(1  cos x)(1  cos x)  cos 2 x(1  cos x)  0
 (1  sinx)(1  cos x)(sinx  cos x)  0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác



x   k 2


s inx  1
2

 cos x  1   x    k 2 ; k  Z

 t anx  1

 x    k
4

Kết hợp điều kiện ta có: x  


4

 k ; x    k 2 , k  Z

Bài 9: Giải phương trình: 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  (2  3 2) cos x
Giải:
Điều kiện: x  k
PT 

3cos 2 x
 2 2 sin 2 x  (2  3 2) cos x
2
sin x

 3cos 2 x  3 2 sin 2 x.cos x  2 2 sin 4 x  2sin 2 x cos x  0
 2cos 2 x  cos x  2  0

 cos x  2 sin x  3cos x  2sin x   0  
2
 2 cos x  3cos x  2  0



2



2


1  3
 x    k 2
 cos
cos x 
2



 x     k 2

1
3

cos x 

2

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 4. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác
(Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 4. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3). Bạn cần kết hợp xem tài liệu
cùng với bài giảng này.

Dạng 3: Đƣa về phƣơng trình bậc 2, 3 hoặc trùng phƣơng
Bài 1: (Đại học khối A – 2006) Giải phương trình:

2  cos6 x  sin 6 x   sin x cos x
2  2sin x

0


 3


Bài 2: (Đại học khối D – 2005) Giải phương trình: cos 4 x  sin 4 x  cos  x   .sin  3 x     0
4
4 2


Bài 3: (Đại học khối A – 2005) Giải phương trình: cos2 3x.cos2 x  cos 2 x  0
Bài 4: (Đại học khối B – 2003) Giải phương trình: cot x  tan x  4sin 2 x 

2
sin 2 x

Bài 5: (Đại học khối B – 2004) Giải phương trình: 5sin x  2  3 tan 2 x(1  sin x)
cos3x  sin 3 x 

Bài 6: (Đại học khối A – 2002) Giải phương trình: 5  sin x 
  cos2 x  3
1  2sin 2 x 


Bài 7: Giải phương trình: 2cos2 2x  cos2x  4cos2 x .sin2 2x .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 4. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.

Bài 1. (Đại học khối D – 2006): Giải phương trình: cos3x  cos2x  cos x 1  0
Bài 2: (Đại học khối D – 2002): Giải phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0 , với x0;14 
Bài 3: Giải phương trình: 4cos

5x
3x

cos  2(8sin x  1) cos x  5
2
2

Bài 4: Giải phương trình: 2cos 2 x  8cos x  7 

1
cos x

Bài 5: Giải phương trình: sin 2 x  sin 2 3x  3cos2 2 x  0
Bài 6: Giải phương trình: 48 

1
2
 2 (1  cot 2 x.cot x)  0
4
cos x sin x

Bài 7: Giải phương trình: (sin x  3).sin 4
Bài 8: Giải phương trình:

x
x
 (sin x  3)sin 2  1  0
2
2

sin 4 x  cos 4 x 1
1
 cot 2 x 

5sin 2 x
2
8sin 2 x

Bài 9: Giải phương trình: cos2 x  cos x(2 tan 2 x  1)  2
Bài 10: Giải phương trình: 3cos 4 x  8cos6 x  2cos 2 x  3  0
Bài 11: Giải phương trình: sin xcos2 x  cos 2 x(tan 2 x  1)  2sin 3 x  0
Bài 12: Giải phương trình: cos3 x  4sin3 x  3cos x sin 2 x  sin x  0

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

BÀI 4. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4. Các dạng bài tập và

các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: (Đại học khối D – 2006): Giải phương trình: cos3x  cos2x  cos x 1  0
Giải:

PT  4 cos3 x  3cos x  2 cos 2 x  1  cos x  1  0
 4 cos3 x  2 cos 2 x  4 cos x  2  0
 2 cos 2 x(2 cos x  1)  2(2 cos x  1)  0
 (2 cos x  1)(cos 2 x  1)  0
1
2


cos x  
x


 k 2


; k Z
2
3
 2

 x  k
cos x  1
Bài 2. (Đại học khối D – 2002): Giải phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0 , với x0;14 
Giải:

PT  4 cos3 x  3cos x  4(2 cos 2 x  1)  3cos x  4  0
 4 cos3 x  8cos 2 x  0
 4 cos 2 x(cos x  2)  0

 cos x  0  x 


2

Do x   0;14  0 

 k ; k  Z



1
28  
 k  14    k 
 3,8
2
2
2

 k  0;1; 2;3
3
5
7
; x
; x
.

2
2
2
2
5x
3x
Bài 3: Giải phương trình: 4cos cos  2(8sin x  1) cos x  5
2
2
Giải:
PT  2 cos 4 x  8sin 2 x  5  0

Vậy: x 



; x

 4sin 2 2 x  8sin 2 x  3  0
3

sin 2 x  2 (loai )

sin 2 x  1

2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác





2 x   k 2
x   k



6
12
 sin 2 x  sin  

; kZ
5

5
6
2 x 

 k 2
x
 k



6
12
Bài 4: Giải phương trình: 2cos 2 x  8cos x  7 

1
cos x

Giải:
Điều kiện: cos x  0

PT  2(2 cos 2 x  1).cos x  8cos 2 x  7 cos x  1
 4 cos3 x  8cos 2 x  5cos x  1  0
 x  k 2
cos x  1



; k Z
 x     k 2
cos x  1
3

2

Bài 5: Giải phương trình: sin 2 x  sin 2 3x  3cos2 2 x  0
Giải:
1  cos 2 x 1  cos6 x
PT 


 3cos 2 2 x  0
2
2
 2  cos2 x  (4 cos3 2 x  3cos 2 x)  6 cos 2 2 x  0

 2 cos3 2 x  3cos 2 2 x  cos2 x  1  0
1



cos2 x   2
 x   3  k


; k Z

5 1


x    k
cos2 x  2  cos

2
1
2
Bài 6: Giải phương trình: 48 
 2 (1  cot 2 x.cot x)  0
4
cos x sin x

Giải:
sin x  0
Điều kiện: 
cos x  0
1
2
cos x
 2 .
0
4
cos x sin x sin 2 x.sin x
1
1
 48 
 4  0  48sin 4 xcos 4 x  (sin 4 x  cos 4 x)  0
4
cos x sin x
 1

 3sin 4 2 x  1  sin 2 2 x   0
 2

4
2
 6sin 2 x  sin 2 x  2  0
PT  48 

1



2
 2
sin 2 x  2  sin 4
sin 2 x   3 (loai )


1

 
sin 2 2 x  1
sin 2 x  
 sin   


2
2
 4


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác



 x  8  k

 x  3  k

8

; k Z

 x    k

8

5
x 
 k
8

Bài 7: Giải phương trình:

(sin x  3).sin 4

x
x
 (sin x  3)sin 2  1  0
2
2

Giải:

x
x
(1  sin 2 )  1  0
2
2
x
x
 (sin x  3).sin 2 cos 2  1  0
2
2
1
 (sin x  3). sin 2 x  1  0
4
3
 sin x  3sin 2 x  4  0
PT  (sin x  3).sin 2

sin x  1

sin x  2 (loai)
Vậy x 


2

 k 2 ; k  Z

Bài 8: Giải phương trình:

sin 4 x  cos 4 x 1
1
 cot 2 x 
5sin 2 x
2
8sin 2 x

Giải:
Điều kiện: sin 2x  0
1
1  sin 2 2 x
cos2 x 1
2
PT 


5
2
8
9
 cos 2 2 x  5cos 2 x   0
4
9

cos2 x  2

cos2 x  1

2

1

 x    k ; k  Z
2
6
Bài 9: Giải phương trình: cos2 x  cos x(2 tan 2 x  1)  2
cos2 x 

Giải:
Điều kiện: cos x  0

sin 2 x
 cos x  2
cos x
 (2 cos 2 x  1).cos x  2(1  cos2 x)  cos 2 x  2 cos x
PT  cos2 x  2

 2 cos3 x  cos 2 x  3cos x  2  0
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

cos x  1

 x  k 2


; k Z
cos x  cos
 x    k 2
Bài 10: Giải phương trình: 3cos 4 x  8cos6 x  2cos 2 x  3  0
Giải:

PT  3(1  cos4 x)  2cos 2 x(4cos 4 x  1)  0
 6cos 2 2 x  2cos 2 x(2cos 2 x  1)(2cos 2 x 1)  0
 6 cos 2 2 x  2 cos 2 x(2 cos 2 x  1).cos 2 x  0
 2 cos 2 x 3cos 2 x  cos 2 x(2 cos 2 x  1)   0

cos2 x  0
cos2 x  0


 cos 2 x  1
4
2
 2 cos x  5cos x  3  0
 2
3
cos x   1

2





x  k
cos2 x  0



4
2 ; k Z

sin x  0
 x  k
Bài 11: Giải phương trình: sin xcos2 x  cos 2 x(tan 2 x  1)  2sin 3 x  0
Giải:

PT  sin x(cos2 x  2sin 2 x)  sin 2 x  cos 2 x  0
 sin x(cos2 x  1  cos2 x)  cos2 x  0
 sin x  cos2 x  0  sin x  1  2sin 2 x  0



 x   2  k 2

sin x  1



  x   k 2 ; k  Z
1



sin x   sin
6

2
6

 x  5  k 2
6

Bài 12: Giải phương trình : cos3 x  4sin3 x  3cos x sin2 x  sin x  0
Giải:
• Khi x 


2

 k thì cosx = 0 và sinx = 1thì phương trình vô nghiệm.

• Do cosx = 0 vô nghiệm nên ta chia cả 2 vế của PT cho cos3 x  0 ta có:

PT  1  4 tan 3 x  3 tan 2 x  tan x(1  tan 2 x)  0
 3 tan 3 x  3 tan 2 x  tan x  1  0



 tan x  1
x    k

4
 (tan x  1)(3 tan 2 x  1)  0  


(k  Z )
 tan x   3


x    k

3

6
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 4 -