Ứng dụng mathematica trong một số bài toán vật lý phổ thông và vật lý lý thuyết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

MÈ TIẾN MẠNH

ỨNG DỤNG MATHEMATICA
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ
PHỔ THÔNG VÀ VẬT LÝ LÝ THUYẾT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

MÈ TIẾN MẠNH

ỨNG DỤNG MATHEMATICA
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ
PHỔ THÔNG VÀ VẬT LÝ LÝ THUYẾT
Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, Phòng
Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng các thầy, cô giáo đã tận
tình giảng dạy quan tâm tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Thái Hoa đã tận tình
chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè cùng các học viên lớp K17 VLLT & VLT
đã ủng hộ động viên và tạo mọi điều kiện trong thời gian học tập, nghiên cứu
để hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn mọi sự giúp đỡ vô cùng quý báu ấy!
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Mè Tiến Mạnh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài “Ứng dụng Mathematica trong một số bài
toán vật lý phổ thông và vật lý lý thuyết”là đề tài do bản thân tôi nghiên cứu
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Trần Thái Hoa, Khoa Vật lý trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2. Đề tài không hề trùng lặp với bất kỳ một luận văn
nào, kết quả nghiên cứu không trùng với tác giả khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Người cam đoan

Mè Tiến Mạnh


MỤC LỤC

I. MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................. 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2
5. Những đóng góp mới của đề tài................................................................. 2
6. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................... 2
II. NỘI DUNG................................................................................................... 3
Chương 1. MỘT VÀI NÉT VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA ................... 3
1.1. Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica .......................................... 3
1.2. Khả năng đồ họa của phần mềm Mathematica ....................................... 3
1.3. Một số hàm thông dụng của Mathematica ............................................. 5
Chương 2. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA VÀO GIẢI
QUYẾT CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ ................................................................ 6
2.1. Một số bài toán vật lý phổ thông ............................................................ 6
2.1.1. Bài toán về chuyển động ném xiên ................................................... 6
i u hi

m h c h nh

ph

h ng ................................... 8

2.2. Một số bài toán về cơ học lượng tử và vật lý thống kê ........................ 11
Cơ học ượng
Vậ

.............................................................................. 11

h ng ê ................................................................................ 20

III. KẾT LUẬN ............................................................................................... 26
IV. DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................ 27
PHỤ LỤC


1

I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Để giải quyết nhiều vấn đề trong vật lý, trong kỹ thuật, trong toán học,…
người ta phải sử dụng các phần mềm toán học. Ngay từ những năm 1960 đã
xuất hiện những bó phần mềm kỹ thuật đầu tiên dựa trên các hệ đại số tượng
trưng (symbolic algebraic system). Thế hệ thứ nhất của nó là ngôn ngữ
Macsyma và Reduce, chủ yếu dùng cho các bài toán vật lý năng lượng cao,
nhưng nó có nhược điểm là được định hướng chạy chủ yếu trên các máy tính
lớn (main-frame computer). Thế hệ thứ hai là ngôn ngữ Maple so với thế hệ
trước có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn (do vậy có
thể chạy trên máy tính cá nhân) và được bổ sung nhiều khả năng đại số và đồ
thị hơn. Thế hệ thứ ba của dạng ngôn ngữ này chính là các ngôn ngữ
Mathematica và MatLab (bản có bổ sung phần tính toán đại số tượng trưng).
Trong đó Mathematica có ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, về khả
năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng xử lý dữ liệu không thua kém các ngôn
ngữ tính toán khác
Mặc dù lúc đầu ứng dụng của Mathematica chủ yếu trong các lĩnh vực
vật lý, kỹ thuật và toán, tuy nhiên việc ứng dụng của Mathematica ngày càng
được mở rộng ra các lĩnh vực khác như sinh học, các khoa học xã hội nhờ khả
năng mô hình hóa và mô phỏng các hệ lớn, kể cả các hệ động. Hiện nay nó
được sử dụng trong tất cả các công ty có tên trong Fortune 50, trong tất cả 15

bộ của chính phủ Mỹ và được giảng dạy trong tất cả 50 trường tổng hợp hàng
đầu thế giới. Nó trở thành chương trình ứng dụng lớn nhất được phát triển và
chứa một số lượng lớn các thuật toán và các đổi mới kỹ thuật quan trọng. Một
trong những sáng kiến kỹ thuật là môi trường phần mềm dựa trên giao diện
tương tác được biết đến với tên là notebook. Hiện nay đã có vài trăm chương
trình đặc chủng viết trên Mathematica được thương mại hóa một số đầu tạp
chí chuyên nghành và khoảng 200 đầu sách về ngôn ngữ Mathematica.[8]


2

Với những tính năng ưu việt của phần mềm toán học Mathematica như
khả năng tính toán, khả năng đồ họa, cũng như tính dễ sử dụng của nó trong
việc xây dựng các mô hình và giải quyết các bài toán vật lý và cũng muốn
mọi người có thêm một công cụ hữu ích để làm việc. Nên bản thân tôi đã
chọn đề tài: “Ứng dụng Mathematica trong một số bài toán vật lý phổ thông
và vật lý lý thuyết”.
2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng phần mềm Mathematica áp dụng để giải các bài toán vật lý phổ
thông, cơ học lượng tử và vật lý thống kê.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Lựa chọn các bài toán vật lý và lập trình bằng Mathematica để giải các
bài toán vật lý này.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Vật lý tính toán và áp dụng phần mềm Mathematica để giải một số bài
toán vật lý phổ thông, vật lý thống kê và cơ học lượng tử.
5. Những đóng góp mới của đề tài
Tìm hiểu rõ hơn về phần mềm Mathematica, cách sử dụng và các tính
năng của phần mềm. Lập trình các bài toán vật lý bằng phần mềm
Mathematica để giúp các bạn học viên, sinh viên có thể dễ dàng sử dụng cộng

cụ Mathematica để thuận lợi hơn trong quá trình nghiên cứu khoa học cũng
như giải bài tập.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán
để nghiên cứu các bài toán vật lý phổ thông, vật lý thống kê và cơ học lượng
tử và nghiên cứu các tài liệu về phần mềm Mathematica.


3

II. NỘI DUNG
Chƣơng 1. MỘT VÀI NÉT VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA
1.1. Giới thiệu sơ bộ về phần mềm Mathematica
Mathematica là ngôn ngữ tích hợp đầy đủ các tính toán kỹ thuật
(technical computing), là dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu
tượng trưng (symbolic manipulation). Khởi thủy của nguyên lý này là ngôn
ngữ LIPS - ngôn ngữ nghiên cứu trí tuệ nhân (artificial intellect) - nghiên cứu
các vấn đề như xử lý tiếng nói tự nhiên, các hệ chuyên gia (expert system),
các vấn đề logic trong kỹ thuật robot (robotech), điều khiển và tự động hóa.
Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên đó là ngôn ngữ Macsyma và
Reduce, chủ yếu dùng cho các bài toán vật lý năng lượng cao, nhưng chúng
lại có nhược điểm là được định hướng chạy trên các máy tính lớn.
Thế hệ thứ hai là ngôn ngữ Maple so với thế hệ trước là có ưu điểm là
chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn và bổ sung nhiều khả năng đại
số và đồ thị hơn và nó thể chạy trên máy tính cá nhân.
Thế hệ thứ ba của dạng ngôn ngữ này chính là các ngôn ngữ
Mathematica và MatLab, trong đó Mathematica có ưu điểm vượt trội về giao
diện thân thiện, về khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng xử lý dữ liệu
không thua kém các môi trường ngôn ngữ tính toán khác.
Nhờ khả năng siêu việt của mình Mathematica không chỉ được ứng dụng

trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật và toán mà còn mở rộng trong các lĩnh vực
phức tạp khác như sinh học, khoa học xã hội, …
Phiên bản đầu tiên của Mathematica được phát hành 23/6/1988. Bản 2.0
được phát hành năm 1991. Bản mới nhất của Mathematica là bản 10.0.2.
1.2. Khả năng đồ họa của phần mềm Mathematica
Mathematica cho phép vẽ tất cả các dạng đồ thị của một hàm số với cấu
trúc lệnh đơn giản nhất như đồ thị hai chiều, đồ thị ba chiều, đồ thị đường
viền, đồ thị mật độ, …[8]


4
Ví dụ ta sử dụng lệnh sau để vẽ đồ thị của hàm số cos 2x  sinx trong đoạn
[0, 20] (Hình 1.1)
Plot cos  2 x   sin  x , x,0,20
1.0
0.5

5

10

15

20

0.5
1.0
1.5
2.0

Hình 1.1
Hoặc ta có thể dùng lệnh sau đây để vẽ đồ thị ba chiều của hàm số
Cos(3xy2 ) (Hình 1.2)
Plot3D cos 3 xy ^ 2, x,0,2 , y,0,2

Hình 1.2


5

1.3. Một số hàm thông dụng của Mathematica
Trong Mathematica

Biểu thức toán

Sqrt[x]

x

Log[x]

Ln(x)

Sin[x]

Sin(x)

Cos[x]

Cos(x)

Tan[x]

Tan(x)

Log[a,b]

loga b

Arcsin[x]

Arcsin(x)

Exp[x]

ex

Factoria[n], n!

n!

Mod[n,m]

Số dư của

n
m

FactorInteger

Phân tích ra thừa số nguyên số của n

Abs[x]

Giá trị tuyệt đối của x

xy

xy

1

n

x

xn
x*y hoặc x y

Xy

Pi



Limit[f(x),x  x0]

Tính giới hạn

Sum[Function,{i,imin, imax,}]

Tính tổng

D[f(x),x]

Tính đạo hàm

Integrate[f(x),x]

Tính nguyên hàm

Integrate [f(x),{x,a,b}]

Tính tích phân xác định

Solve[f(x)==0,x]

Giải phương trình

Solve[fi==0, f == 0,{x,y}]

Giải hệ phương trình

Simplify[f(x),x]

Đơn giản biểu thức

Plot[f(x),{x,a,b}]

Vẽ đồ thị

6

Chƣơng 2. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA
VÀO GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ
2.1. Một số bài toán vật lý phổ thông
2.1.1. Bài toán về chuyển động ném xiên
A. Lý thuyết
Phương trình chuyển động:

x  (v0cos)t, y  (v 0 sin ) t 

gt 2
2

(2.1)

Phương trình quỹ đạo:
y

gx 2
 (tan ).x
2v 02cos 2

(2.2)

Vận tốc của vật:

v0x  v0cos, v0y  v0 sin , v  v2x  v2y

(2.3)

2h
g

(2.4)

v02 sin 2
L
g

(2.5)

v02 sin 2 
H
2g

(2.6)

Thời gian rơi:

t
Tầm bay xa và độ cao cực đại:

Nếu có lực tác dụng vào vật khi đang bay (ví dụ sức cản của không khí) thì
áp dụng định luật II Newton:

F  ma
với F  F1  F2  ...  Fn là hợp lực của các lực tác dụng lên vật.

Sau đó chiếu lên các trục tọa độ để tìm phương trình chuyển động.[5]

(2.7)


7



Chiếu lên Ox: x 


Chiếu lên Oy: y 

F1x  F2 x  ...  Fnx
m

(2.8)

F1y  F2 y  ...  Fny

(2.9)

m

B. Bài toán: Một vật có khối lượng m được ném đi với tốc độ v0 hợp với
phương ngang một góc  . Hiệu ứng cản của không khí được mô tả bởi lực
cản FC . Lực này tỷ lệ với bình phương tốc độ, được biểu diễn bằng biểu thức:
FC  mkvv

Trong đó v và v là tốc độ và vận tốc của vật, k là hệ số cản của không khí. Vẽ
đồ thị mô tả quá trình chuyển động của vật khi hệ số cản là k=5,2.10-5/2 và
k=5,2.10-3 (đồ thị phải mô tả được chuyển động của vật khi không có lực
cản). Từ đó rút ra vai trò của hệ số cản của không khí trong chuyển động ném
xiên với v0 50 m/s và  =450.
ết qu thu đ

c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 1]: (Hình 2.1)

Chú thích: Đồ thị khi không có lực cản là màu đỏ, khi có hệ số cản k1
là màu xanh lục, khi có hệ số cản k2 là xanh lam.
Đồ thị ném xiên trong các trường hợp
yt
70
60
50
40
30
20
10
0

50

100

150

200

250

xt

Hình 2.1
Từ trên biểu đồ ta dễ dàng nhận thấy khi hệ số cản k càng lớn thì chuyển


8

động của vật ném xiên sẽ nhanh dừng lại hơn, tầm ném xa và độ cao cực đại
giảm dẫn tới có quỹ đạo nhỏ dần.
lý số liệu khi làm thực hành ở phổ thông

2.1.2.

2.1.2.1. Th c h nh đo gi

c ơi

o

A. Lý thuyết
Thả một vật (trong đó trọng lượng của vật rất lớn so với lực cản của
không khí) từ độ cao s, khi đó chuyển động của vật coi như chuyển động rơi
tự do.
Khi một vật chuyển động có vận tốc ban đầu bằng không, chuyển động
nhanh dần đều với gia tốc a, thì quãng đường đi được s sau thời gian t được
xác định bởi công thức:
1

s  at 2
2

(2.10)

Đồ thị biểu diễn quan hệ giữa s và t2 có dạng một đường th ng đi qua
gốc tọa độ và hệ số góc:
tan  

B.

a
2

(2.11)

lý số liệu
Sau khi làm thí nghiệm về "Khảo sát chuyển động rơi tự do. Xác định

gia tốc rơi tự do", người ta đo được một bảng giá trị của s và t như sau (trong
đó s là độ cao vật được thả và t là thời gian rơi):
s(m)

t1(s)

t2(s)

t3(s)

t4(s)

0,2

0,198

0,199

0,199

0,201

0,3

0,247

0,247

0,246

0,247

0,4

0,283

0,284

0,285

0,285

0,5

0,318

0,318

0,319

0,318

0,6

0,349

0,348

0,35

0,349

0,7

0,379

0,379

0,38

0,378

9

Từ bảng số liệu trên:
1
s g
a, Nghiệm lại công thức s  gt 2 .(Chứng minh hệ số 2   4.905 )
2
t
2

b, Hãy xử lý số liệu để xác định gia tốc rơi tự do g. Và vẽ đồ thị s s(t 2)
và v v(t), từ đó nhận xét đặc điểm của sự rơi tự do.[1,2]
ết qu thu đ

c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 2]:

Hệ số giữa quãng đường s và bình phương thời gian t2 là: 4.91494
Vậy giá trị của gia tốc rơi tự do là g 9.88386±0.0696416
Đồ thị s s t 2
sm
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1

0.02

0.04

0.06

0.08

Hình 2.2

0.10

0.12

0.14

t 2 s2


10
Đồ thị v v t
v ms

1.5

1.0

0.5

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

ts

Hình 2.3
Nhận xét: Từ đồ thị s=s(t2), hình 2.2 có dạng 1 đường th ng. Như vậy,
chuyển động rơi tự do là chuyển động th ng. Mặt khác đồ thị v v(t) Hình 2.3
có dạng là đường th ng hướng lên suy ra vận tốc tăng đều theo thời gian. Vậy
chuyển động rơi tự do là chuyển động th ng nhanh dần đều.
2.1.2.2. Th c h nh đo h

m

á

ượ

A. Lý thuyết.
Cho một vật nằm trên mặt ph ng nghiêng P với góc nghiêng  so với

mặt nằm ngang. Khi  nhỏ, vật vẫn nằm yên trên P không chuyển động. Khi
tăng độ nghiêng vật chuyển động xuống với gia tốc a. Độ lớn của a chỉ phụ
thuộc vào góc ngiêng  và hệ số  t - gọi là hệ số ma sát trượt:

a  g(sin   t cos)

(2.12)

Bằng cách đo a và  , ta xác định được hệ số ma sát trượt  t :

 t  tan  

a
gcos 

(2.13)


11

Gia tốc a được xác định theo công thức: a 

2s
, trong đó quãng đường
t2

đi được s đo bằng thước, thời gian t đo bằng đồng hồ đo thời gian hiện số,
điều khiển bằng công tắc và cổng quang điện. Góc nghiêng  có thể đọc
ngay trên thước đo góc có gắn quả dọi, gắn vào mặt ph ng nghiêng.
B.

lý số liệu
Trong thí nghiệm về "Xác định hệ số ma sát", khi tăng độ nghiêng của

máng lên 200 thì người ta thấy vật bắt đầu chuyển động xuống với gia tốc a.
Biết độ dài quãng đường đo là s 0.6m, người ta đo được các giá trị thời gian
vật đi hết quãng đường s là t trong 5 lần đo là t {1.018, 1.022, 1.038, 1.036,
1.028}. Hãy xử lý số liệu trên để tính hệ số ma sát trượt giữa mặt ph ng
nghiêng và vật. Lấy g = 9,814m/s2.
ết qu thu đ

c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 3]:

Hệ số ma sát trượt giữa vật và máng là t  0,240915  0,00164222 .
2.2. Một số bài toán về cơ học lƣợng t và vật lý thống kê
2.2.1. Cơ học l
2.2.1.1. Các

ng t
i oán ề nh

ung

nh

A. Một số iến th c đ làm bài tập:
Phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử F :

F n  q, t   f n  n  q, t 

(2.14)

Mô tả phép đô đại lại F để có số đo f n . Trong phép đo đó, hệ lượng tử
chuyển từ trạng thái nào đó về nằm ở trạng thái liên kết n . Trường hợp
phép đo F không thực hiện được thì khi liên kết với hệ máy đo hệ lượng tử
không chuyển về trạng thái n .[4,7]
Hệ hàm riêng { n của toán tử F là một hệ cơ sở trực chu n đủ của
không gian Hilbert các hàm trạng thái, vì vậy có thể khai triển duy nhất theo
hệ cơ sở này:


12

   cn  n

(2.15)

n

Vì hệ { n } là trực chu n đủ, dễ dàng rút ra:
c n   *n dq    n ,  

(2.16)

Như vậy, xác suất để đo được giá trị f n xác định của đại lượng F của
hệ lượng tử trong trạng thái được mô tả bởi hàm sóng  (q) nào đó sẽ được
tính bởi
W(f n )  cn   *n (q)(q)dq
2

2

(2.17)

Nếu hệ lượng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng   n  (n 1,2,...),
2

các số đo f n của đại lượng F có xác suất đo là c n . Theo lý thuyết xác suất ,
các số đo f n (n 1,2,..) sẽ có trị trung bình.

F   Wn f n   c*n cn f n
n

(2.18)

n

Khi    n thì:
F   * Fdq  f n  *dq  f n ; nghĩa là F  f n .

(2.19)

B. Một số bài toán về tr trung b nh.
ài

Hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng:

(x)  A.e(ikx 

2

x2 )

. trong đó   x   ,  và k là các hằng số. Hãy tìm các

trị trung bình: x, x 2 , p x , p2x ,  x  ,  p x  và nghiệm lại hệ thức bất định.
2

ết qu thu đ

c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 4]:

Giá trị của x = 0
Giá trị của x 2 

2

1
4

Giá trị của x 2 

1
4


13

Giá trị của p x  k
Giá trị của p 2x  (k 2  )

Giá trị của p 2x  

2

2

Thỏa mãn hệ thức bất định
ài : Hạt chuyển động trong giếng thế chữ nhật một chiều có thành cao vô
hạn được mô tả bởi hàm sóng đã chu n hóa:[6]

 n (x) 

2
 nx 
sin 

d
 d 

trong đó d là bề rộng giếng thế và n=1,2,3...
a, Dùng hệ thức bất định ước tính mức năng lượng thấp nhất có thể có
của hạt.
b, Tính các giá trị trung bình của x, x 2 , x 2 , p x , p 2x và động năng
trung bình T của hạt.
ết qu thu đ
Giá trị của x

c khi thực hiên trên Mathematica [Phụ lục 5]:

2

Max

d2

4
2

Giá trị của EMin=
Giá trị của x 

2 d2m

d
2

1 
3 
Giá trị của x 2  d 2  2  2 2 
6 
n  

Giá trị của x 2 
Giá trị của p x = 0

1 2
6 
d 1  2 2 
12  n  

14

 n 2 2
Giá trị của p 2x  
2
 d

2





 n 2 2 2 
Giá trị của động năng trung bình T   2 
 2d m 
Bài 3: Hàm sóng chu n hóa của nguyên tử đồng dạng Hydro ở trạng thái cơ
bản là:

  Aexp  r  ; trong đó A và  là những hằng số
a, Chứng minh rằng
3
e2 m Z
e 4 m Z2
A  ,
,E
2

2 2
2

Trị trung bình của thế năng và động năng lần lượt là 2E và -E
b, Tính r và r 2 .
ết qu thu đ

c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 6]:

3 e 6 m 3 Z 3
A  

 6
2



e2m Z
2

e4 mZ2
E
2 2
U  2E  

e4 mZ2
2

e4 mZ2
T  E 
2 2
r

3 2
2e2 mZ

3 4
r  4 2 2
emZ
2


15

2.2.1.2 Các

i oán ề nhi u o n

A. Lý thuyết
Ta sẽ đặt điều kiện hạn chế cho bài toán nhiễu loạn, trước hết ta xét lý
thuyết nhiễu loạn cho các bài toán có phổ gián đoạn.
H l  E l (l  1,2,3...)

(2.20)

Giả thiết toán tử H có thể tách ra làm hai phần:
H  H 0  V,

(2.21)

Trong đó, H 0 là toán tử Hamilton đã được lý tưởng hóa, còn số thứ hai được
gọi là toán tử nhiễu loạn.

Biểu thị V là nhỏ, để biểu diễn điều đó ta đặt:
V  W

(2.22)

Với  là một thông số nhỏ không thứ nguyên.
Giả sử biết các nghiệm E 0l và l (l  1,2,3...) của phương trình cho hàm
riêng và trị riêng của toán tử H 0 .
H 0l  E l0l (l  1,2,3...)

(2.23)

Và giả thuyết các l này đã được trực chu n:

   dq  
*
l

l

ll'

(l,l'  1,2,3...)

(2.24)

Với các điều kiện hạn chế đó, việc giải phương trình:
H  E

(2.25)

sẽ quy về việc giải phương trình sau để tìm E l và  l .
(H 0   W) l  E l l

(2.26)

Nói khác đi chúng ta sẽ hiệu chỉnh cho E 0l và l (l  1,2,3...) để sau khi
hiệu chỉnh, các giá trị hiệu chỉnh E l và  l sẽ nghiệm đúng (2.20), (2.25) hay
(2.26).


16

Khi xét bài toán nhiễu loạn dừng sẽ có 2 trường hợp xảy ra:
+Trường hợp bài toán lý tưởng không có suy biến.
+Trường hợp bài toán lý tưởng có suy biến.
B. Một số bài toán về lý thuyết nhiễu loạn.
o

Bài 1: Xét một electron trong hộp một chiều có chiều dài 1 A .
a, Hãy tìm 4 hàm sóng đầu tiên (các hàm sóng chu n hóa) và vẽ dạng
đồ thị của chúng.
b, Tính 4 mức năng lượng tương ứng và vẽ sơ đồ mức năng lượng.
c, Tại t 0, hạt ở trạng thái n 1. Tại t 0, một giếng thế năng dạng chữ
nhật V0=-104 eV, có tâm tại a/2 và độ rộng 10-12cm bất ngờ được đưa thêm
vào giếng thế ban đầu và duy trì trong 5.10-18s, sau đó bị ngắt đi. Sau khi mất
đi sự nhiễu loạn thì xác suất để thấy hệ ở từng trạng thái n 2, n 3, n 4 là bao
nhiêu? (Chiều cao và chiều rộng của giếng thế đặc trưng cho 1 notron tương
tác với 1 electron).
ết qu khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 7]:

(*Kết quả của 4 hàm sóng đầu tiên*)
Bốn hàm sóng đầu tiên là:
ψ1(x)

2
 x 
Sin 
a
 a 

ψ2(x)

2
2  x 
Sin 
a
 a 

ψ3(x)

2
3  x 
Sin 
a
 a 

ψ4(x)

2
4  x 

Sin 
a
 a 

{{hE 

n 2 2 2
n 2 2 2

}}(*Vậy
ta
đã
tính
được
E
*)
2 a2 m
2 a2 m


17

(*Kết quả 4 mức năng lượng đầu tiên*)
Bốn mức năng lượng đầu tiên tính theo Jun là
E1= 6.02893  10-18
E2= 2.41157  10-17
E3= 5.42604  10-17
E4= 9.64629  10-17
(*Vẽ đồ thị hàm sóng và năng lượng. Màu đồ thị n 1: hồng, n=2: đỏ, n=3:
xanh lam, n=4: xanh lục*)

Hình 2.4


18

Hình 2.5
(*Kết quả thu được*)
Xác suất tìm thấy hệ tại trạng thái 2 sau khi mất đi nhiễu loạn là P2= 0.
Xác suất tìm thấy hệ tại trạng thái 3 sau khi mất đi nhiễu loạn là
P3=0.000583387
Xác suất tìm thấy hệ tại trạng thái 4 sau khi mất đi nhiễu loạn là P4= 0.
Bài 2: Xét một dao động tử điều hòa một chiều có tần số 0 . Kí hiệu các trị
riêng năng lượng bằng n, bắt đầu từ n 0 ứng với giá trị năng lượng thấp nhất.
Một thế nhiễu loạn không phụ thuộc vào thời gian   V(x) được thêm vào
thế năng dao động tử ban đầu. Thay vì đưa ra dạng của thế nhiễu loạn V(x), ta
sẽ chỉ ra tường minh các phần tử ma trận của nó được tính toán trong biểu
diễn của các trạng thái riêng không nhiễu loạn. Một phần của ma trận đó được
chỉ ra dưới đây trong đó  là một hằng số nhỏ và không có thứ nguyên.


19






 0 








1

0

0

0

1
2
0
3
8

1
2
0

0
0
0 

1
2

0
3
16





0

3 
0 
16 

0
0 

3 
0

8 
0

3
8
0

a, Hãy tìm các năng lượng mới của năm mức năng lượng thấp nhất tính
đến bậc nhất trong lý thuyết nhiễu loạn.
b, Tìm các năng lượng mới cho n 0 và n 1 tới bậc hai trong lý thuyết

nhiễu loạn.
ết qu thu đ

c khi thực hiện trên Mathematica [Phụ lục 8]:

Các mức năng lượng đầu tiên tính tới gần đúng bậc nhất theo lý thuyết nhiễu
loạn là
E 'n  E n  H 'nn

1

trong đó E n   n   0, H 'nn  n H n "]
2


Như vậy 5 mức năng lượng đầu tiên là:
E '0 

0
  0
2

E1' 

30
2

E '2 

30

2

E 3' 

70
2



 0
2


20

E '4 

90
2



1 3
 0
2 2

Hai mức năng lượng đầu tiên tính tới gần đúng bậc 2
0
11 20
E 

  0 
2
32
"
0

E1" 

30
2

2.2.2. Vật lý thống kê
Trong khuôn khổ luận văn này chúng ta chỉ xét đến phần các đại lượng
nhiệt động.[3]
A. Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động.
Tích phân trạng thái Z:
u
H
N
1 N
N
kT
Z  Zk với Zk    e dri  e kT dpi
N!
i 1

(2.27)

Năng lượng tự do F:

F  kTln Z

(2.28)

Áp suất của hệ P:
 F 
  ln Z 
P  
  kT 
T
 V T
 V 

(2.29)

Entropi của hệ:
 F 
  ln Z 
S  
  k ln Z  kT 
V
 T  V
 T 

(2.30)

Nội năng U của hệ:
  ln Z 
U  kT 2 


 T  V

(2.31)

  ln Z 
  ln Z 
H  U  PV  kT 2 
  kT 

 T  V
  ln V T

(2.32)

Entanpi của hệ: