PHÂN TÍCH ổn ĐỊNH vỏ cầu NHẪN vật LIỆU cơ TÍNH BIẾN THIÊN (2) - Tóm tắt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN THỊ DUNG

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN
VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

Chuyên ngành:
Mã số:

Cơ học vật thể rắn

60 44 21

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. ĐÀO HUY BÍCH


Hà Nội - Năm 2014

2


1. GIỚI THIỆU
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là lớp vật liệu mới được tạo ra
nhằm để cải thiện tính kết cấu trong cấu trúc không gian. FGM là một loại vật
liệu composite có đặc điểm là những thuộc tính của chúng thay đổi từ từ và liên

tục từ mặt này sang mặt khác của kết cấu do đó làm giảm ứng suất tập trung,
ứng suất nhiệt và ứng suất dư. Những vật liệu này thường được sản xuất từ hỗn
hợp gốm và kim loại hoặc là tổ hợp của nhiều kim loại khác nhau. Loại vật liệu
này có thể chịu được sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu
va chạm, mài mòn hay rung động. Với những đặc điểm ưu việt đó mà lớp vật
liệu này đang được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong thực tế đặc biệt là
trong các nghành công nghiệp đóng tàu, hàng không, vũ trụ, cơ khí, xây dựng
v.v...
Đáp ứng những đòi hỏi của thực tiễn, trong những năm gần đây, đã có
nhiều công trình nghiên cứu cho kết quả về sự ổn định của kết cấu làm bằng vật
liệu này. Chẳng hạn như ổn định của tấm FGM chịu nén một phía hoặc hai phía
có tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ [1, 2, 3], ổn định động của vỏ nón đẳng
hướng chịu tác dụng áp suất và nhiệt [4, 5, 6], ổn định đàn dẻo của vỏ nón [7],
ổn định của panel nón FGM dưới tác dụng của lực cơ học [8], ổn định tĩnh và
động của vỏ cầu FGM chịu tác dụng của áp suất và nhiệt độ [9, 10, 11].
Luận văn cứu về sự ổn định của vỏ cầu nhẫn làm bằng vật liệu có cơ
tính biến thiên dưới tác dụng của áp suất phân bố đều và lực song song với trục
đối xứng. Phương pháp được sử dụng để giải quyết bài toán là áp dụng tiểu
chuẩn tĩnh về ổn định và phương pháp Bubnov – Galerkin, từ đó xác định lực
tới hạn của vỏ cầu đồng thời khảo sát bằng số sự thay đổi của lực tới hạn phụ
thuộc vào kích thước hình học và các đặc trưng cơ tính của vật liệu FGM.

1


2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ THỨC CƠ SỞ
Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy

, bán kính vỏ cầu là R. Vỏ

cầu được làm từ hỗn hợp kim loại và gốm. Gắn hệ trục tọa độ φ,

theo hướng

kinh tuyến và vĩ tuyến tương ứng và z theo hướng bán kính của vỏ cầu như hình
1. Chất liệu của bề mặt ngoài và bề mặt trong của vỏ cầu tương ứng là gốm và
kim loại. Cấu tạo gốm của vật liệu đã cải thiện được khả năng chịu nhiệt độ cao
nhờ tính dẫn nhiệt thấp. Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật liệu tránh bị đứt
gẫy bởi ứng suất nhiệt gây ra do sự biến thiên nhiệt độ cao trong thời gian rất
ngắn. Hỗn hợp này gồm các phân tố thể tích của vật liệu thành phần thay đổi
liên tục theo độ dày của vỏ. Theo Javaheri và Eslami, modul đàn hồi E và hệ số
Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật hàm lũy thừa.

Hình 1
Gọi

và

tương ứng là các phân tố thể tích của kim loại và gốm.

Chúng liên hệ với nhau bởi hệ thức:

trong đó :
2


với k là số mũ đặc trưng tỉ phần khối lượng (k≥0).
Modul đàn hồi

Để đơn giản ta chọn

const vì sự khác biệt của hệ số Poison của

các vật liệu không lớn. Trong bài toán với vỏ cầu thoải để tính toán thuận tiện ta
đặt:

với r là bán kính hình tròn song song với mặt đáy. Khi đó:
, do φ nhỏ nên

,

điểm ở mặt giữa có thể được biểu diễn theo 2 tọa độ

. Bằng cách này các
và

.

2.1
Hệ thức biến dạng - chuyển vị.
Theo lý thuyết Kirchoff-Love mối quan hệ tuyến tính giữa chuyển vị
và biến dạng được biểu diễn bởi:
trong đó:

3


với: u, v, w là chuyển vị của các điểm ở mặt giữa theo hướng các
tọa độ , � và z tương ứng.
;

;

là biến dạng ở mặt giữa.
tương ứng là sự thay đổi độ cong và độ xoắn.

2.2
Quan hệ nội lực - biến dạng của vỏ cầu
Theo định luật Hooke ta có liên hệ ứng suất biến dạng của vỏ cầu:

Tích phân các phương trình sức căng và momen theo độ dày của vỏ
cầu ta được biểu thức nội lực và momen tổng hợp.

4


trong đó:

với:

5


Từ (3) và (4) ta có :

Ngược lại từ (3) ta có :

2.3 Phương trình cân bằng.
Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy

, bán kính vỏ cầu R chịu

tác dụng của áp suất ngoài q và lực P song song với trục đối xứng.
Phương trình cân bằng cho vỏ cầu mỏng theo lý thuyết Love có dạng :

6


trong đó q là áp suất ngoài tác động lên vỏ.
Sử dụng (9) và (10) phương trình (11) được viết lại dưới dạng :

3. PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CẦU
3.1 Trạng thái màng trước khi mất ổn định.
Trạng thái lực màng trước khi mất ổn định của vỏ cầu chịu lực phân
bố P song song với trục đối xứng và áp suất phân bố đều q được xác định từ hệ
phương trình sau:

trong đó tải trọng tác dụng lên toàn vòm cầu có dạng:

Thay vào (13) ta được:

suy ra:

7


Thay

3.2

vào (14) ta xác định

:

Phương trình ổn định.

Các phương trình ổn định tuyến tính có thể nhận được bằng cách sử dụng tiêu
chuẩn ổn định tĩnh. Ký hiệu

là chuyển vị ở trạng thái cân bằng xuất

phát, ứng với trạng thái cân bằng lân cận ta có chuyển vị
. Với (u;v;w) là chuyển vị ở trạng thái
cân bằng lân cận tương ứng cùng dạng tải trọng như dạng cân bằng

,

là gia số chuyển vị nhỏ tùy ý. �
là gia số lực tổng hợp và momen tổng hợp
ứng với

. Các lực tổng hợp và momen

;

;

�

và

� đều thỏa mãn các phương trình (9); (10); (11), lấy hiệu hai hệ phương trình
nhận được tương ứng và tuyến tính hóa hệ phương trình mới nhận này cho ta:

8


Thay (1) vào (3) và (4) ta được các lực tổng và momen theo chuyển vị
ở hai trạng thái, qua đó xác định được gia số chuyển vị, gia số lực và momen,
giữ lại các đại lượng tuyến tính đối với

và

. Tiếp tục thay các đại

lượng này vào (15); (16) và (17) ta thu được phương trình ổn định với các ẩn
và

. Để đơn giản và không nhầm lẫn, từ đây ta ký hiệu

(18)
trong đó đặt p = P/h,

( ) là các toán tử vi phân tuyến tính.

Điều kiện biên: Giả thiết cầu nhẫn tựa đơn tại

3.3

ta có:

Phương pháp giải.

Để giải quyết bài toán ta sử dụng phương pháp Bubnov – Galerkin,
với điều kiện biên (19) được thỏa mãn nếu ta chọn:

9


Thay (20) vào (18) ta được hệ phương trình tương ứng, vì
nên
với

, ta nhân hai vế của hai phương trình nhận được thứ nhất và thứ hai
và phương trình thứ ba với

rồi lấy tích phân trên khoảng

:

trong đó

lần lượt là vế trái của các phương trình nhận

được. Từ đó ta được hệ phương trình:

(21)
Hệ phương trình (21) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
định thức:

từ đó ta có:

10


Các trường hợp riêng:
1. Vỏ chỉ chịu tác dụng của lực p:

2. Vỏ chỉ chịu tác dụng của áp suất q:

3. Vỏ chịu tác dụng đồng thời của lực p và áp suất q:
Đặt

khi đó ta có:

Trong các công thức (23) – (25) các giá trị p, q phụ thuộc vào các số
song m, n có mặt trong các hệ số

. Lực tới hạn được xác định bởi các giá trị

nhỏ nhất p, q ứng với số sóng m, n tương ứng:
Đặt :

các hệ số nhận được ở trên có dạng:

11


12

13


4. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ
4.1. Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực p
Để nghiên cứu tính ổn định của vỏ cầu ta xét vỏ cầu bằng vật liệu là
hỗn hợp của nhôm (kim loại) có modun đàn hồi
(gốm) có modun đàn hồi

và oxit nhôm

, để đơn giản ta lấy hệ số Poiison

;cho kích thước vỏ

;

R/h =

1000. Sử dụng phần mềm Matlab ta xây dựng chương trình tìm giá trị nhỏ nhất
đối với lực p (xem phụ lục), từ đó tìm được lực p đạt giá trị nhỏ nhất tại (m, n)
= (4, 1). Lực p ứng với n = 1 được biểu thị trong hình 2 và bảng 1.

Hình 2. Đồ thị biểu diễn lực p theo m khi n=1
với R/h = 1000;

14

;

Bảng 1. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn
k

.

p (m,n), GPa

0

1,0852
(2,1)

0,6580
(3,1)

0,6233
(4,1)

0,7378
(5,1)

0,9392
(6,1)

1

0,6358
(2,1)

0,3710
(3,1)

0,3350
(4,1)

0,3834
(5,1)

0,4790
(6,1)

2

0,4908
(2,1)

0,2871
(3,1)

0,2601
(4,1)

0,2983
(5,1)

0,3732
(6,1)

3

0,4200
(2,1)

0,2492
(3,1)

0,2298
(4,1)

0,2671
(5,1)

0,3366
(6,1)

Nhận xét: Từ hình 2 và các giá trị trong bảng 1 cho thấy với n = 1 giá
trị lực nhỏ nhất tương ứng với m = 4. Khi số mũ đặc trưng k tăng tức là tỉ phần
thể tích của gốm giảm nên lực tới hạn p cũng giảm.
Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số R/h đến lực tới hạn p thu được kết quả
thể hiện trong bảng 2.
Bảng 2. Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn

với

;
p (m,n), GPa
R
/h

k
0
1
2
3

800

1000

1200

1400

1500

0,766
0 (4,1)
0,4197
(4,1)
0,3253
(4,1)
0,285
4 (4,1)

0,6233
(4,1)
0,335
0 (4,1)
0,260

1 (4,1)
0,2298
(4,1)

0,545
8 (4,1)
0,289
0 (4,1)
0,2246
(4,1)
0,1997
(4,1)

0,4991
(4,1)
0,2613
(4,1)
0,203
2 (4,1)
0,181
5 (4,1)

0,4824
(4,1)
0,2514
(4,1)
0,1956
(4,1)
0,1750
(4,1)

15


Nhận xét: Kết quả khảo sát trong bảng 2 cho thấy khi tỷ số R/h tăng
thì lực tới hạn p giảm. Trên thực tế khi tỉ số này tăng tức là bán kính vỏ cầu
tăng hoặc độ dày giảm thì vỏ cầu dễ bị biến dạng hơn. Điều này cũng phù hợp
với tính chất của kết cấu.
Tiếp tục khảo sát ảnh hưởng của các tỉ số

;

tới lực tới hạn p

ta nhận được kết quả thể hiện trong bảng 3:
Bảng 3. Ảnh hưởng của tỷ số

;

m, n với

đến lực tới hạn

theo

.
p (m,n), GPa

r1/R

0,

0,3

r0/R

0,5

4

0,1

0,7083 (4,1)

1,2307 (6,1)

1,9021 (2,22)

0,15

0,4126 (4,1)

0,5949 (4,1)

0,8763 (6,1)

0,2

0,2105 (2,1)

0,3350 (4,1)

0,4993 (6,1)

0,1772 (2,1)

0,2467 (4,1)

0,3

Nhận xét: Qua khảo sát ta thấy cùng tỉ số r1/R mà tỉ số r0/R tăng có
nghĩa là bề rộng của cầu nhẫn hẹp lại dẫn đến lực tới hạn p giảm.
4.2. Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của áp suất q
Khi vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của áp suất q, với R/h = 1000;
;

. Trong đó R = 5m; h = 0.005m, sử dụng chương trình

Matlab tìm giá trị nhỏ nhất ta tìm được lực q đạt nhỏ nhất tại m = 2, n = 18 (với
k = 1 hoặc k = 2) và n = 17 (với k = 0 hoặc k = 3). Kết quả khảo sát được thể
hiện cụ thể trên hình 3 và bảng 4.
16


Hình 3. Đồ thị biểu diễn lực tới hạn q theo n khi m=2
với R/h = 1000;

;

Bảng 4. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn

= 1000;

;

theo n với m = 2; R/h
.

q (m,n), 105

k
0 4,0403
(2,16)
1 2,2063
(2,16)
2 1,7127
(2,16)
3 1,5066
(2,16)

.

4,0221
(2,17)
2,1812
(2,17)
1,6945
(2,17)
1,4951
(2,17)

4,0394
(2,18)
2,1760
(2,18)
1,6916
(2,18)
1,4968
(2,18)

4,0882
(2,19)
2,1882
(2,19)
1,7023
(2,19)
1,5102
(2,19)

4,1652
(2,20)
2,2161
(2,20)
1,7250
(2,20)
1,5342
(2,20)

Nhận xét: Do tính chất của vật liệu có thể thấy rằng khi chỉ số k giảm
thì giá trị lực tới hạn q tăng lên. Tương tự như khi khảo sát lực p, ta cũng kiểm

17


tra ảnh hưởng của các đại lượng

;

;

và thu được các kết quả trong

bảng 5 và bảng 6.
Bảng 5. Ảnh hưởng của tỷ số

đến lực tới hạn

;

theo m, n;

.

q (m,n), 105
R/h
k
0
1
2
3

800

1000

1200

1400

1500

6,1301
(2,19)
3,3278
(2,20)
2,5871
(2,20)
2,2848
(2,20)

4,0251
(2,17)
2,1776
(2,18)
1,6929
(2,18)
1,4961
(2,17)

2,8718 (2,15)

2,1673 (2,14)

1,9160 (2,13)

1,5471 (2,16)

1,1647 (2,15)

1,0263 (2,14)

1,2023 (2,16)

0,9053 (2,15)

0,7974 (2,14)

1,0641 (2,16)

0,8.010 (2,14)

0,7066 (2,14)

Từ các kết quả đạt được ở trên ta thấy giá trị lực tới hạn giảm khi tăng
tỉ số R/h và tăng chỉ số k. Trong trường hợp k = 0, vỏ cầu là vật liệu đồng chất
bằng oxit nhôm (gốm) có modun đàn hồi cao. Đây là nguyên nhân làm cho giá
trị lực tới hạn có giá trị cao hơn.

Bảng 6. Ảnh hưởng của tỷ số

;

đến lực tới hạn

; k=1
q (m,n), 105
r1/R
r0/R
0,1
0,15
0,2
0,3

0,3

0,4

0,5

2,4942 (2,12)
2,3904 (2,13)
3,2905 (2,15)

2,6911 (4,13)
2,3831 (2,17)
2,1760 (2,18)
3,2942 (2,23)

2,6874 (8,3)
2,6255 (2,21)
2,3023 (2,22)

2,0201 (2,24)

18

với


Từ bảng 6 ta thấy khi thay đổi các tỉ số

và

lực tới hạn

không thay đổi theo quy luật xác định.

4.3. Khảo sát lực tới hạn khi vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời của lực p và q
Bằng cách đặt

và

khi đó, tiếp tục khảo sát ổn định của

vỏ cầu theo q ta thu được các kết quả trong bảng 7 khi α và k thay đổi.
Bảng 7. Giá trị cực tiểu của lực tới hạn
đổi với

;

theo m, n khi α thay
;

.

p,q (m,n), 105, 𝜆=1/2
α

0

k
0
1
2
3

(0;4,0221)
(2,17)
(0;2,1760)
(2,18)
(0;1,6916)
(2,18)
(0;1,4951)
(2,17)

1
(4,0236;4,0236)
(2,17)
(2,1768;2,1768)
(2,18)
(1,6923;1,6923)
(2,18)

(1,4956;1,4956)
(2,17)

Bảng 8 cho kết quả của lực tới hạn

2
(8,0502;4,0251)
(2,18)
(4,3552;2,1776)
(2,18)
(3,3858;1,6929)
(2,18)
(2,9922;1,4961)
(2,17)

(0,6233;0)
(4,1)
(0,3350;0)
(4,1)
(0,2601;0)
(4,1)
(0,2298;0)
(4,1)

khi vỏ chịu tác dụng đồng thời

của cả hai lực với α=1,5 khi tỉ số R/h và chỉ số k thay đổi.

19

∞


Bảng 8. Ảnh hưởng của tỷ số R/h đến lực tới hạn

với

;
q (m,n), 105, α=1,5
R/h
k
0
1
2
3

800

1000

1200

1400

1500

6,128
6
(2,19)
3,327

0
(2,20)
2,586
4
(2,20)
2,284
2
(2,20)

4,0243
(2,17)

2,8715
(2,15)

2,1671
(2,14)

1,9158 (2,13)

2,1772
(2,18)

1,5469
(2,16)

1,1646
(2,15)

1,0262 (2,14)

1,6926
(2,18)

1,2021
(2,16)

0,9052
(2,15)

0,7973 (2,14)

1,4959
(2,17)

1,0639
(2,16)

0,8009
(2,14)

0,7065 (2,14)

Rõ ràng trong trường hợp này quy luật thay đổi của lực tới hạn cũng
tương tự như ở các trường hợp tác dụng đơn lực, có nghĩa là các lực này giảm
khi chỉ số k tăng và tỉ số R/h tăng.
Bảng 9. Ảnh hưởng của tỷ số

;

đến lực tới hạn

; k=1
q (m,n), 105, α=1,5
r1/
R

0,3

0,4

0,5

2,4950
(2,12)
2,3912 (2,13)
3,2902 (2,15)

2,6912
(4,13)
2,3842 (2,17)
2,1772 (2,18)
3,2945 (2,23)

2,6868 (8,3)

r0/R
0,1
0,15
0,2

0,3

20

2,6266 (2,21)
2,3037 (2,22)
2,0215 (2,24)

với


Bảng 9 biểu diễn ảnh hưởng của các tỉ số

;

đến lực tới hạn

q với α=1,5. So sánh với trường hợp vỏ cầu chỉ chịu tác dụng của lực q, trong
trường hợp này lực tới hạn có giá trị nhỏ hơn. Điều này hoàn toàn phù hợp vì
khi vỏ chịu tác dụng của cả lực p và áp suất q thì vỏ dễ bị biến dạng hơn.

21


NHẬN XÉT CHUNG:
Bài toán ổn định của vỏ cầu bằng vật liệu có cơ tính biến thiên chịu
tác dụng của lực phân bố song song với trục đối xứng và áp suất ngoài dần đến
bài toán tìm nghiệm khác không của hệ phương trình (2.14). Phương pháp
chung để giải bài toán là ta đi chọn nghiệm

thỏa mãn các điều kiện biên,

sau đó thay vào phương trình ổn định của vỏ cầu và từ điều kiện tồn tại nghiệm
không tầm thường suy ra phương trình xác định lực tới hạn. Giá trị nhỏ nhất của
nó chính là lực tới hạn cần tìm.Trong bài toán này đã sử dụng tiêu chuẩn tĩnh về
ổn định ( tiêu chuẩn tồn tại các dạng cân bằng lân cận ) để nghiên cứu và phần
mềm Matlab để tính toán số.
KẾT LUẬN:
Trong luận văn này đã đạt được những kết quả như sau:
- Sử dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh và trình bày chi tiết hệ phương trình
ổn định tuyến tính của vỏ cầu nhẫn bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác
dụng của lực phân bố song song với trục đối xứng và áp suất ngoài. Sử dụng
phương pháp Bubnov – Garlerkin dẫn đến hệ thức hiển xác định lực tới hạn của
vỏ cầu nhẫn.
- Tính toán số lực tới hạn trong trường hợp vỏ cầu chỉ chịu tác dụng
lực p, chỉ chịu tác dụng của áp suất q và trong trường hợp có đồng thời cả hai
lực tác dụng. Tương ứng với mỗi trường hợp riêng khảo sát ảnh hưởng khi các
tỉ số thay đổi.
- Từ các kết quả nhận được đưa ra các nhận xét phù hợp về ảnh
hưởng của các yếu tố như chỉ số k vật liệu, các tỉ số về kích thước hình học của
vỏ, tìm giá trị của lực tới hạn trong trường hợp tác dụng đơn lực và tác dụng
đồng thời của hai lực.
- Đã trình bày một báo cáo khoa học tại Hội nghị Cơ học toàn quốc
lần thứ IX, Hà Nội 12/2012.

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đào Huy Bích, Lý thuyết đàn hồi, NXB ĐHQG HN, 2000

2. Bich D.H, Tung H.V, Phuong N.T. Buckling of functionally graded
conical panels under mechanical loads. Composite Structure 94 (2012); 1379 - 1384.
3. Bich D.H, Tung H.V. Nonlinear axisymmetric response of
functionally graded shallow spherical shells under uniform external pressure
including temperature effects. Int J Nonlinear Mech (2011); 46: 1195 – 1204.
4. Bich D.H, Non – linear buckling analysis of functionally graded
shallow spherical shells, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 31, No. 1
(2009), pp. 17 – 31.
5. Bich D.H, Dung D.V, Hoa L.K. Nonlinear static and dynamic
buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells including
temperature effects. Composite Structures 94 (2012) 2952 – 2960.
6. E. Feldman, J. Aboudi, Buckling analysis of FGM plates subjected
to uniaxial loading, Composite Structures 38 (1997) 29 – 36.
7. J. N. Reddy et al., Axisymmetric bending of FGM circular and
annular plates, European J. of Mech. 18 (1999) 185 – 199.
8. N. Nath, R.S. Alwar, Non-linear static and dynamic response of
spherical shells, Int. J. Non-linear Mech. 13(1978) 157-170.
9. P.C. Dumir, Non-linear axisymmetric response of orthotropic thin
spherical caps on elastic foundations, Int. J. Mech. Sci. 27(1985) 751-760.
10. Paczos P. Zielnica J. Stability of ortrotropic elastic – plastic open
conical shells. Thin – Wall Struct (2008); 46: 530 – 540.
11.Tani J. Dynamic instability of truncated

conical

shells

underperiodicaxial load. Int J Solid Struct (1974); 10:169 – 176.
12. Tani J. Influence of deformations before instability on the
parametric instability of conical sheels under periodic pressure. J Sound Vib

(1976); 45(2): 253 – 258.
13. Tani J. Influence of axisymmetric initial deflections on the
thermal buckling of truncated conical shells. Nucl Eng Des (1978); 48: 393 – 403.
14. V. Birman, Buckling of functionally graded hybrid composite
plates, Proc. of

Conf. on Eng. Mech. Boulder, USA, (1995).

23