SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨUTÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2015


Mục lục
Mở đầu

3

1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của các hệ phương trình vi phân.
1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân
1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov
1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình
vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bất đẳng thức Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Một số ví dụ về phương pháp số mũ . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . .
1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . .
1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . .
1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . .
2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov-Bagdanov để
nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực
2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái
niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều . . . . . .
2.1.2 Định nghĩa tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Tập ω - giới hạn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Điểm đứng yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

5
6
6
9
10
11
16
18
18
21
22
23
25
25
26

28
30
32

34
35
35
35
36
38
38


2.2

Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov
2.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) . .
2.2.3 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

39
39
42
49
52

2


Mở đầu
Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng ta
thường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyến
hoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân. Trong các trường

hợp này nếu sử dụng các phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực
tuyến tính hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể sẽ gặp nhiều khó
khăn, phức tạp. Từ lâu, người ta đã xây dựng được nhiều phương pháp khác
nhau để vượt qua các khó khăn trên (xem [4], [8], [1]).
Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới
việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết
định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov
hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực) và sử dụng chúng cho việc nghiên
cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange.
Nội dung của luận văn có thể chia làm hai phần chính
- Phần thứ nhất trình bày lại các kết quả cơ bản về phương pháp số mũ
Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov.
- Phần thứ hai của bản luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc
trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov và tính ổn định của hệ động lực tổng
quát trong không gian mêtric.
Bố cục luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của các hệ phương trình vi phân.
Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Bagdanov để nghiên
cứu tính ổn định của các hệ động lực.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS.
Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi
trong việc hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học,
3


trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điều
tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục

học tập và bảo vệ luận văn.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa
vững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản
luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Hà Thị Ly

4


Chương 1

Sử dụng các phương pháp Lyapunov
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm
của các hệ phương trình vi phân.
Bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một
trong những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Để
xác lập các điều kiện đủ cho tính ổn định của các nghiệm hoặc tập nghiệm của
hệ phương trình vi phân ta có thể sử dụng các phương pháp của nhà toán học
Nga A.M. Lyapunov. Phương pháp này được Lyapunov xây dựng từ năm 1918
(xem [2]) và ngày nay đã được phát triển thành một lý thuyết khá hoàn thiện
và có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học
tự nhiên.
Trong chương 1 của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày
lại một số kết quả cơ bản nhất của các phương pháp nghiên cứu tính ổn định
chuyển động của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4]) và
phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8]). Dựa vào các phương pháp cơ bản

này người ta có thể mở rộng và phát triển thành các phương pháp mới để áp
dụng cho một số dạng của hệ động lực quen thuộc (xem [10]). Một trong các
mở rộng thú vị của các phương pháp Lyapunov mà chúng tôi sẽ đề cập tới trong
bản luận văn này là phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Bagdanov
(xem [6], [11]). Phương pháp này sẽ được giới thiệu trong chương 2.
Một trong những vấn đề thường được thảo luận sâu sắc trong các công trình
nghiên cứu gần đây là "bình luận" về tính ưu việt hoặc các hạn chế còn để lại
trong các phương pháp nghiên cứu tính ổn định. Trong khuôn khổ của một bản
luận văn thạc sĩ chúng tôi xin phép không trình bày một cách chi tiết vấn đề
này. Chúng tôi sẽ dành sự quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng các ví dụ với
mục tiêu là ứng dụng các phương pháp đã được trình bày trong chương này cho
bài toán nhiễu.
5


Trước khi đi vào các phương pháp, chúng tôi xin đưa ra một số khái niệm về
tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân.

1.1

Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương
trình vi phân

1.1.1

Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi
phân
dx(t)

= f (t, x(t)),
(1.1)
dt
trong đó t ∈ R+ , x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D → B với D là miền đơn liên trong

không gian Banach B. Từ nay về sau nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm
của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển như sau:
Định nghĩa 1.1. Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ xác định trên I , khả vi liên
tục theo t ∈ I ) được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay vào (1.1) ta thu được
một đồng nhất thức trên I . Tức là
dx(t)
= f (t, x(t)), ∀t ∈ I.
dt

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau:
t

x(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ.

(1.2)

t0

Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng
nghiệm của (1.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.Sau đây ta ký hiệu:
S(ε,η) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η ,

với ε > 0, η > 0 là lân cận đóng của điểm (t0 , x0 ). Khi đó ta có định lý tồn tại
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau:
Định lý 1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x)
liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||,

(1.3)

M là một hằng số hữu hạn.

Khi đó tồn tại một lân cận của điểm x0 mà trong lân cận đó thì (1.1) có duy
nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 .
6


Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra tồn tại ε > 0, η > 0 sao cho trong miền
|t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có:
||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )||
≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞.

Lấy δ = min ε, Mη1 và ký hiệu Cδ (B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t)
xác định trên |t − t0 | ≤ δ với chuẩn
|||x||| = sup ||x(t)||.
|t−t0 |≤δ

Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η}.
Xét toán tử:
t

(Sx)(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ.
t0

Ta có:
t

f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))||

||(Sx)(t) − x0 || = ||

τ ∈[t0 ,t]

t0

≤ δM1 ≤ η.

Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη .
Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá:
t

||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ

||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤
t0

t

||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 |||.

≤M
t0

Mặt khác ta lại có:
t

|| S 2 x2 (t) − S 2 x1 (t) || ≤ M

|| (Sx2 ) (τ ) − (Sx1 ) (τ ) ||dτ
t0
t

≤ M 2 |||x2 − x1 |||

(τ − t0 ) dτ
t0

2

=

[M (t − t0 )]
|||x2 − x1 |||.
2!

Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được:
[M (t − t0 )]n
|||x2 − x1 |||

n!
[δM ]n
n
n
||S x2 − S x1 || ≤
|||x2 − x1 |||.
n!

|| (S n x2 ) (t) − (S n x1 ) (t) || ≤

7


n

]
n
Do [δM
n! → 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì S là toán tử co trong Bη . Do
đó, sử dụng định lý ánh xạ co ta có thể suy ra rằng phương trình tích phân
t

f (τ, x(τ ))dτ.

x(t) = x0 +
t0

Nên x(t) = (Sx)t có nghiệm duy nhất. Do đó tồn tại duy nhất nghiệm
x(t) ∈ Bη (x0 ).
Định lý 1.2. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy).

Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất
r

dr
→ ∞, khi r → ∞,
L (r)
r0

khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian
vô hạn t0 ≤ t < ∞.
Chứng minh. Vì
||

x(t2 ) − x(t1 )
||x(t2 )|| − ||x(t1 )||
|| ≥
t2 − t1
t2 − t1
⇒ ||

dx
d||x||
|| ≥
.
dt
dt

Mặt khác ta có
d (x)

= f (t, x (t)) ,
dt

và
f (t, x) ≤ L ( x ) ,

nên ta suy ra
L( x ) ≥

d x
dt

.

Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x (t0 ) đến điểm x
theo chiều tăng của t ta được:
t

t

1
d x
·
dr
dt
L( x )

dr ≥
t0

t0
x

dr
.
L( x )

⇒ t − t0 ≥
x0

8


Bằng cách đổi biến p = x , ta có
p
p0

x

dp
=
L(p)

Khi đó từ giả thiết của định lý

p
p0

x0

d x
.
L( x )

dp
→ ∞, khi p → ∞. Ta suy ra:
L(p)

* Nếu p = x(t) → ∞ khi t → ∞ thì định lý được chứng minh.
* Ngược lại nếu r < ∞, ∀t ∈ R thì nghiệm đã được kéo dài.
1.1.2

Hệ rút gọn

Trong không gian Banach B xét hệ phương trình vi phân
dy
= Y (t, y) ,
dt

(1.4)

(0,1)
với Y ∈ Cty
(Ω) và Ω = {(t, y) |a < t < ∞, y ∈ B} .
Trong đó, mỗi điểm (t0 , y0 ) đối với hệ (1.4) với điều kiện ban đầu y (t, t0 , y0 ) =
y0 . Trong phần này ta giới hạn chỉ xét nghiệm thực.
Giả sử η = η (t) (a < t0 < ∞) là nghiệm của hệ (1.4) và ta cần nghiên cứu tính
ổn định của nó. Gọi UH(η(t)) là lân cận của nghiệm đó sao cho UH(η(t)) ⊂ B với
t ∈ [0, +∞), trong đó

UH(η(t)) = {t0 ≤ t < +∞ : y − η (t) < H < ∞} .

Ta đặt
x = y − η (t) ,

tức x là nghiệm lệch của nghiệm y đối với nghiệm η .Vì
η˙ ≡ Y (t, η (t)) ,

nên ta nhận được phương trình vi phân đối với x
dx
= G (t, x) ,
dt

(1.5)

trong đó,
(0,1)

G (t, x) = [Y (t, x + η (t)) − Y (t, η (t))] ∈ Ctx

(H0 ) ,

H0 = {a < t < ∞, x < H1 < +∞} .

Hơn nữa, rõ ràng G (t, 0) = 0. Do đó, hệ (1.5) có nghiệm tầm thường x ≡ 0
tương ứng với nghiệm đã cho η = η (t). Hệ (1.5) được gọi là hệ rút gọn (hoặc
hệ phương trình của chuyển động bị nhiễu). Như vậy, sự nghiên cứu tính ổn
định của nghiệm η = η (t) được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm
thường x ≡ 0.
9

1.1.3

Các khái niệm về ổn định

Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân chúng ta thường áp
dụng các phương pháp của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov hoặc
phương pháp hàm Lyapunov. Trước hết chúng tôi sẽ nhắc lại các khái niệm về
sự ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (1.5) được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.2. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5) được
gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+ ; ∃δ = δ (t0 , δ) > 0:
∀x0 ∈ H0 ; x0 < δ ⇒ x (t, t0 , x0 ) < ε; ∀t ≥ t0 .

Định nghĩa 1.3. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.2) có thể
chọn không phụ thuộc vào t0 .
Định nghĩa 1.4. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại ∆ > 0 sao cho với mọi x0 ∈ H0 và x0 < ∆ thì
lim

t→+∞

x (t, t0 , x0 (t)) = 0.

Định nghĩa 1.5. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều.

(ii) Tồn tại ∆ = ∆ (t0 ) > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ H0 và
x0 < ∆ thì
lim x (t, t0 , x0 (t)) = 0.

t→∞

Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu như mọi nghiệm x (t) = x (t, t0 , x0 ) của
phương trình (1.5) luôn thỏa mãn bất đẳng thức
x (t) ≤ M.e−λ(t−t0 ) . x0 ; ∀t ≥ t0 ,

trong đó M ,λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0 .
Định nghĩa 1.7. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định mũ đều khi t → ∞ nếu như số M ở trên không phụ thuộc
vào t0 .
Nhận xét:
1. Nghiệm ổn định đều suy ra ổn định theo Lyapunov.
2. Nghiệm ổn định tiệm cận đều suy ra ổn định đều.
3. Nghiệm ổn định mũ suy ra ổn định tiệm cận và nghiệm ổn định tiệm cận suy
ra ổn định theo nghĩa Lyapunov.
Trên đây là một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình
vi phân. Mục tiếp theo chúng tôi trình bày các phương pháp để xét tính ổn định
nghiệm của phương trình vi phân. Trước tiên là phương pháp số mũ Lyapunov.
10


A. Phương pháp số mũ Lyapunov
1.2

Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng

Lyapunov

Cho một hàm giá trị phức f (t) xác định trên khoảng [t0 , +∞).
Định nghĩa 1.8. Định nghĩa về giới hạn trên.
Số α được gọi là giới hạn trên của hàm f (t) khi t → +∞ nếu α là số lớn nhất
trong các giới hạn riêng của hàm f (t), ký hiệu α = lim f (t).
t→+∞

Định nghĩa 1.9. Định nghĩa về số mũ đặc trưng Lyapunov.
Số (hoặc ký hiệu ±∞) được xác định bởi công thức
1
ln |f (t)| ,
t→∞ t

χ [f ] = lim

(1.6)

được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm f (t) (hay số mũ đặc trưng).
Ví dụ 1.1. Áp dụng công thức (1.6) ta được
χ [tm ] = 0; χ [exp (±) sin t] = 1;
χ [c = 0] = 0; χ [exp (−t exp sin t)] = −e−1 ;
χ exp t cos 1t
χ exp −t cos 1t

= 1; χ tt = ∞;
= −1; χ t−1 = −∞.

Quy ước: χ [0] = −∞.
Lưu ý một số tính chất:

1. χ [f ] = χ [|f |] .
2. χ [cf ] = χ [f ] , |c| = 0.
3. Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a thì χ [f ] ≤ χ [F ] .
Bổ đề 1.1. χ [f ] = α = ±∞ khi và chỉ khi với mọi ε ≥ 0 hai điều kiện sau đồng
thời xảy ra
|f (t)|
= 0.
t→∞ exp (α + ε) t
|f (t)|
2. lim
= ∞.
t→∞ exp (α − ε) t
1. lim

11

(1.7)
(1.8)


Chứng minh. Điều kiện cần: Cho
1
ln |f (t)| = α.
t→∞ t

(1.9)

χ [f ] = lim

Từ (1.9) cho ε > 0 cố định, tồn tại T > 0 sao cho với mọi t > T , ta có

1
ε
ln |f (t)| < α + .
t
2

Suy ra |f (t)| < exp α + 2ε t.
Do đó, ta có
lim

t→∞

exp

|f (t)|
α + 2ε t exp

ε
2t

≤ lim exp −
t→∞

ε
t = 0.
2

Vậy điều kiện (1.7) là thỏa mãn.
Cho dãy tk → ∞ khi k → ∞, thực hiện đẳng thức (1.9), tồn tại N > 0 sao cho
với k > N , ta có

ln |f (tk )| > α −

ε
tk ,
2

hoặc
|f (tk )| > exp α −

ε
tk .
2

Do đó, ta có
|f (tk )|
= lim
k→∞
k→∞ exp (α − ε) tk
lim

≥ lim

k→∞

|f (tk )|
ε
exp
tk
2
exp α − 2ε tk

ε
exp
tk = ∞.
2

Vậy (1.8) đúng.
Điều kiện đủ. Từ (1.7) cho t đủ lớn để có |f (t)| < exp (α + ε) t và khi ε > 0 tùy
ý, ta có
χ [f ] ≤ α.

Bây giờ ta cho dãy tk → ∞ khi k → ∞, thỏa mãn (1.8). Do đó với k đủ lớn thì
|f (tk ) | > exp (α − ε) tk .

Ta có
1
ln |f (tk ) | ≥ α − ε.
k→∞ tk

χ [f ] ≥ lim

Do đó, ta có
χ [f ] ≥ α.

Như vậy nếu điều kiện (1.7) và (1.8) đồng thời thỏa mãn thì χ [f ] = α.
12


Chú ý 1.1. Từ bổ đề trên, nếu χ [f ] = α thì khi t → ∞, |f (t)| sẽ tăng chậm hơn
bất kỳ hàm mũ y2 = e(α+ε)t nào với ε > 0 và theo một dãy tk → ∞ nào đó |f (t)|
sẽ tăng nhanh hơn bất kỳ hàm mũ y2 = e(α−ε)t .

Định lý 1.3. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các hàm fk (t), k = 1, 2, ..., n
không vượt quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của các hàm đó và
trùng với số đó nếu chỉ có một hàm số có số mũ đặc trưng bằng với số lớn nhất
đó.
Chứng minh. 1. Giả sử max χ [fk ] = α = ±∞.
k

Xét
n

fk (t)
lim

t→∞

k=1

exp (α + ε) t

n

≤

|fk (t)|
= 0.
t→∞ exp (α + ε) t
lim

k=1

Do đó,
n

fk (t) ≤ α.

χ

(1.10)

k=1

2. Giả sử α = χ [fl (t)] > χ [fk (t)] = αk , k = l.
Theo bổ đề (1.1), tồn tại một dãy tm → ∞ khi m → ∞ mà
|fl (tm )|
= ∞.
m→∞ exp (α − ε) tm
lim

Vì αk = −∞, ta có
n

fk (tm )
k=1

exp (α − ε) tm

≥

|fl (tm )|
−

exp (α − ε) tm

k=l

|fk (tm )|
.
exp (αk + ε) tm exp (α − αk − 2ε) tm

Vì 0 < ε < min α − α2k số hạng thứ hai ở vế phải của bất đẳng thức cuối
k=l

cùng tiến đến 0 và số hạng đầu tiên tiến đến vô cùng khi m → ∞. Do đó,
n

fk (t) ≥ α.

χ
k=1

So sánh bất đẳng thức này với chứng minh ở mục 1, ta có
n

χ

fk (t) = α.
k=1

Chú ý 1.2. Bất đẳng thức (1.10) về hình thức vẫn đúng nếu tồn tại αk = +∞
hoặc −∞.
13

Định lý 1.4. Số mũ đặc trưng của tích một số hữu hạn các hàm fk (t), k =
1, 2, ..., n không vượt quá tổng các số mũ đặc trưng của các hàm đó, tức là
n

n

fk (t) ≤

χ

(1.11)

χ [fk (t)].
k=1

k=1

Chú ý 1.3. Ta giả thiết rằng +∞ và −∞ là không có đồng thời trong số mũ
đặc trưng.
Chứng minh. Ta có
n

χ
k=1

fk (t) = lim 1t ln
t→∞

n

= lim

t→∞ k=1

1
t

n

ln |fk (t)| ≤

n
k=1

fk (t) = lim 1t ln
t→∞

lim 1t ln |fk (t)| =

k=1 t→∞

n

n

|fk (t)|
k=1

χ [fk (t)].
k=1

Vậy ta có (1.11).
Ví dụ 1.2. 1. χ et e−4t = χ e−3t = −3 hoặc χ et e−4t = χ et + χ e−4t =
1 − 4 = −3.
2. χ et cos t e−t cos t = χ [1]. Trong khi đó,
χ et cos t e−t cos t < χ et cos t + χ e−t cos t = 2.

Định nghĩa 1.10. Số mũ đặc trưng của f (t) được gọi là chặt nếu tồn tại giới
hạn hữu hạn
1
lim ln |f (t)| = α.
(1.12)
t→∞

t

Định lý 1.5. Hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt khi và chỉ khi
χ [f ] + χ

1
= 0.
f

Chú ý 1.4. Trong trường hợp này hiển nhiên f (t) = 0 với t > T .
Chứng minh. Điều kiện cần. Từ (1.12) ta có:
1
1
1

1
ln |f (t)| = lim ln
=χ
.
t→∞ t
t→∞ t
f (t)
f

−χ [f ] = − lim

Suy ra (1.13).
Điều kiện đủ. Ta có
χ

(1.8)
1
1
1
1
1
= lim ln
= lim ln |f (t)| = − lim ln |f (t)| = −χ [f ] .
t→∞ t
t→∞ t
f
f (t)
t→∞ t

14

(1.13)


Định lý 1.6. Nếu một hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt thì số mũ đặc trưng
của tích của các hàm f (t) và g(t) bằng tổng các số mũ đặc trưng của chúng.
χ [f g] = χ [f ] + χ [g] .

(1.14)

Chứng minh. Theo Định lý 1.4, ta có
χ [f g] ≤ χ [f ] + χ [g] .

Đồng thời ta có
1
f

χ [g] = χ gf

≤ χ [f g] − χ [f ] ,

suy ra
χ [g] + χ [f ] ≤ χ [f g] .

Bất đẳng thức này cùng với điều kiện đầu tiên cho (1.14).
Hệ quả 1.1. χ eαt f (t) = α + χ [f (t)].
Bây giờ ta xét số mũ đặc trưng của một tích phân. Một cách tự nhiên nó sẽ
liên quan đến số mũ đặc trưng của hàm dưới dấu tích phân.
t

eατ dτ .

Cho F (t) =
t0

Với α > 0, F (t) = α1 eαt − eαt0 ⇒ χ [F ] = α.
Với α = 0, F (t) = t − t0 ⇒ χ [F ] = α.
Với α < 0,F (t) = α1 eαt − eαt0 ⇒ χ [F ] = 0.
Khi xét số mũ đặc trưng của tích phân, ta đặt
 t


 f (τ ) dτ , χ [f ] ≥ 0,
t0
t

F (t) =





f (τ ) dτ , χ [f ] < 0.
∞

Định lý 1.7. Số mũ đặc trưng của một tích phân không vượt quá số mũ đặc
trưng của hàm dưới dấu tích phân.
Chứng minh. Cho χ [f ] = α = ±∞. Theo Bổ đề 1.1, với mọi ε > 0, ta có |f (t)| ≤
M e(α+ε)t , t ≥ t0 , ở đây M là hằng số phụ thuộc ε.
1. Cho ε > 0 thì

t

|F (t)| ≤

t

M e(α+ε)τ dτ

|f (τ )| dτ ≤
t0

t0

M
M (α+ε)t
e(α+ε)t − e(α+ε)t0 <
e
.
=
α+ε
α+ε
15


Do tính đơn điệu của số mũ đặc trưng, ta có χ [F ] ≤ α + ε, trong đó ε tùy ý
kéo theo:
χ [F ] ≤ α = χ [f ] .

2. Bây giờ cho α < 0 và 0 < ε < |α|, thì
∞

|F (t)| ≤

∞

M e(α+ε)τ dτ =

|f (τ )| dτ ≤
t

M e(α+ε)t
.
|α + ε|

t

Tương tự trên, ta có:
χ [F ] ≤ α = χ [f ] .

3. Phát biểu của định lý trên vẫn đúng cho α = +∞ hoặc α = −∞.

1.3

Số mũ đặc trưng của hàm ma trận

Ta xét ma trận
F (t) = {fij (t)} , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m; m ≤ n,

được xác định trên [t0 , ∞).
Định nghĩa 1.11. Số (hoặc ký hiệu ±∞) được xác định bởi công thức

χ [F ] = max χ [fij ] ,
i,j

được gọi là số mũ đặc trưng của ma trận F (t).
Bổ đề 1.2. Số mũ đặc trưng của một ma trận hữu hạn chiều trùng với số mũ
đặc trưng của chuẩn của nó, tức là
χ [F ] = χ [ F ] .

Ở đây chuẩn của ma trận A có thể hiểu một trong ba chuẩn sau:
A

I

|ajk |;

= max
j

k
1/2

m

A

II

|ajk |; A

= max

k

III

=

j

ajk

2

j,k

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho ba chuẩn ở trên.
Ta có |fij | ≤ F (t) , t ∈ [t0 , ∞) , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m.
Điều này rõ ràng là đúng với các chuẩn F (t) I và F (t)
ba ta có
1/2

m

|fij (t)|2

max
i

j=1

16

≤ F (t)

III.

II

và với chuẩn thứ


Từ hai bất đẳng thức này, do tính đơn điệu của số mũ đặc trưng, ta có
χ [F ] ≤ χ [ F ] .

(1.15)

Đồng thời
F (t) ≤

|fij (t)|.
i,j

Điều này rõ ràng đúng với hai chuẩn đầu và với chuẩn thứ ba ta sử dụng bất
đẳng thức
1/
2
F (t)

III

|fij (t)|2

≤

.

i,j

Từ hai bất đẳng thức cuối ta có
χ [ F ] ≤ χ [F ] .

(1.16)

So sánh (1.15) và (1.16) ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2. Cho x(t) là một hàm véc tơ xác định với t ∈ [t0 , ∞), khi đó
1
ln x (t) .
t→∞ t

χ [x] = lim

Định lý 1.8. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các ma trận không vượt
quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của ma trận thành phần và trùng
với số đó nếu chỉ có một ma trận có số mũ đặc trưng lớn nhất đó.
N

Chứng minh. Cho F (t) =

Fk (t), thì
k=1
N

F (t) =

Fk (t) .
k=1

Do tính đơn điệu của số mũ đặc trưng và theo Định lý 1.3, ta có
N

χ [ F (t) ] ≤ χ

Fk (t)

≤ max χ [ Fk (t) ] = max χ [Fk (t)] .
k

k=1

k

Vậy điều đầu tiên của định lý được chứng minh.
Bây giờ cho χ [F1 ] > χ [Fk ] , k > 1 và số mũ đặc trưng này được cho bởi phần
(1)
tử fpq
(t) của ma trận F1 (t). Ở đây F (t) = {fij (t)} và Fk (t) = fijk (t) . Theo quy
tắc cộng ma trận
fpq(k) (t),

fpq (t) =
17

và theo Định lý 1.3, ta có
χ [fpq ] = χ fpq(1) .

Đồng thời,
χ [F ] ≥ χ [fpq ] = χ [F1 ] = max χ [Fk ] .
k

So sánh bất đẳng thức này với kết quả đầu tiên của định lý, ta được
χ [F ] = max χ [Fk ] .
k

Định lý 1.9. Số mũ đặc trưng của một tích hữu hạn các ma trận không vượt
quá tổng của các ma trận thành phần, tức là
N

N

Fs (t) ≤

χ
s=1

χ [Fs (t)].
s=1

N

N

Fs (t) do đó F (t) ≤

Chứng minh. Cho F (t) =
s=1

Fs (t) . Sử dụng định lý
s=1

(1.4) ta thu được
N

N

χ [F ] = χ [ F ] ≤

χ [Fs ] .

χ [ Fs ] =
s=1

s=1

Hệ quả 1.3. Số mũ đặc trưng của tổ hợp tuyến tính một số ma trận
Cs Fs (t), (Cs = 0) ,
s

không vượt quá số mũ đặc trưng lớn nhất trong số các số mũ của các ma trận
đó và trùng với với số đó nếu chỉ có một ma trận có số mũ đặc trưng lớn nhất
đó.

1.4

Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ
phương trình vi phân tuyến tính

1.4.1

Phổ của hệ tuyến tính

Đầu tiên ta chứng minh một định lý có tính tổng quát.

18


Định lý 1.10. Nghiệm không tầm thường của hệ chuẩn tắc
x˙ = f (t, x) , x ∈ Rn , f (t, x) ≤ L x ,

có số mũ đặc trưng hữu hạn.
Chứng minh. Cho x = (x, x)1/2 và xét nhiệm tầm thường x(t).Ta có
d x

2

dt = |(x,
˙ x)| + |(x, x)|
˙ = 2 |Re (x,
˙ x)|
= 2 |Re(f (t, x) , x)| ≤ 2L x

2

.

Do đó,
−2L ≤

d x

2

x

dt
2

≤ 2L.

Lấy tích phân bất đẳng thức cuối từ t0 đến t, ta được
−2L (t − t0 ) ≤ 2 ln x (t) − 2 ln x (t0 ) ≤ 2L (t − t0 ) .

Chia cho t và cho t → ∞, ta được
−L ≤ χ [ x ] ≤ L.

Bây giờ ta xét hệ tuyến tính
x˙ = A (t) x, x ∈ Rn , A ∈ C [t0 , ∞) .

(1.17)

Định lý 1.11. Nếu sup A (t) ≤ M thì nghiệm không tầm thường x(t) của hệ

t

tuyến tính (1.17) có số mũ đặc trưng hữu hạn và −M ≤ χ [x] ≤ M .
Chứng minh. Vế phải của hệ tuyến tính thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.10
với hằng số L = M . Do đó, theo Định lý 1.10, ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.12. Các hàm véc tơ x1 (t), x2 (t), ..., xm (t) được định nghĩa trên khoảng
[t0 , ∞), có các số mũ đặc trưng hữu hạn và khác nhau là độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Ta xét tổ hợp tuyến tính của các véc tơ này với một tập hợp các
hệ số không tầm thường. Theo Định lý 1.3, số mũ đặc trưng của tổng này bằng
max χ [xi ] = ±∞, do đó tổ hợp tuyến tính này không thể đồng nhất bằng 0.
i

Hệ quả 1.4. Các nghiệm của một hệ tuyến tính không thể có nhiều hơn n số
mũ đặc trưng khác nhau.
Định nghĩa 1.12. Tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng riêng (tức là khác +∞
và −∞) của các nghiệm của một hệ vi phân được gọi là phổ của hệ đó.
19


Chú ý 1.5. Một hệ không tuyến tính có thể có một phổ hữu hạn
tx˙ = x ln x ⇒ x = exp ct.

Bổ đề 1.3. Số mũ đặc trưng của một nghiệm có thể được tính bằng cách dùng
dãy số nguyên theo công thức
1
ln |x (n)| ,
n→∞ n

(1.18)

χ [x] = lim

ở đây n là số tự nhiên.
Chứng minh. Rõ ràng
1
1
ln |x (n)| ≤ lim ln x (t) = χ [x] .
n→∞ n
n→∞ n
lim

Nếu ta chỉ ra một dãy số nguyên nk → ∞, (k → ∞) mà
1
ln x (nk ) ≥ χ [x] ,
x→∞ nk
lim

(1.19)

thì bổ đề sẽ được chứng minh vì dãy thỏa mãn đẳng thức (1.18).
Cho tk → ∞ là một dãy có giới hạn trên trong định nghĩa của số mũ đặc
trưng,
1
ln x(tk ) = χ [x] .
k→∞ tk
lim

Xét tập hợp nk = [tk ] và chứng tỏ dãy này là cần tìm. Thật vậy,
1
1

ln x (tk ) −
ln x (nk )
tk
nk
ln ( x (t) )
=
(nk − tk )
t
t=ξ∈(nk ,tk )

rk =

=

x (t)
ln ( x (t) )
−
x (t) t
t2

(nk − tk ) .
t=ξ

Chúng ta đánh giá giá trị của rk , sử dụng các dữ kiện:
≤ M x 2 (xem định lý (1.10)),
a. x d x(t)
dt
b. Với t đủ lớn, bất đẳng thức

ln x(t)

t

≤ 2M đúng.

Thậy vậy, ta có
−3M
1
1
1
3M
+ ln x (tk ) ≤
ln x (nk ) ≤ ln x (tk ) +
.
nk
tk
nk
tk
nk
1
k→∞ nk

Theo nguyên lý hội tụ kẹp, lim

ln x (nk ) tồn tại, và từ giới hạn ở vế trái

của bất đẳng thức cuối cùng ta có điều phải chứng minh.
20


Hệ quả 1.5. Đối với nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.17) các mệnh đề sau

đây luôn đúng.
a. Nếu các số mũ Lyapunov χ[x] < 0 thì nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là
ổn định tiệm cận.
b. Nếu A(t) = (aij )n×n và phương trình đặc trưng |A − λI| = 0 có phần thực
của các giá trị riêng là âm, tức là Reλj (A) < 0 thì hệ đã cho là ổn định tiệm cận
theo số mũ đăc trưng Lyapunov.
1.4.2

Bất đẳng thức Lyapunov

Cho X(t) = {x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)} là một cơ sở hoặc hệ nghiệm cơ bản của hệ
(1.17), σX là tổng của các số mũ đặc trưng của nó.
Định lý 1.13. (Lyapunov)
Cho hệ cơ bản X(t) bất kỳ, ta có bất đẳng thức
 t

t
SpA(τ )dτ

σX ≥ χ et0

 = lim 1

ReSpA (u) du.

t→∞ t

(1.20)

t0

Chứng minh. Theo công thức Ostrogradskii-Liouville, ta có
t

DetX (t) = DetX (t0 ) exp

SpA (τ ) dτ .
t0

Do đó,




t

χ [DetX] = χ exp

SpA (τ ) dτ  .
t0

Định thức là tổng của n! số hạng, mà mỗi số hạng là tích của n phần tử của
ma trận từ các cột khác nhau. Từ đây và định lý (1.3) và (1.4), ta có
m

χ [DetX] ≤

rs αs = σX .
s=1

Điều này cho thấy (1.20) đúng.
Chú ý 1.6. Bất đẳng thức (1.20) được gọi là bất đẳng thức Lyapunov cho tổng
của các số mũ đặc trưng của hệ cơ bản hoặc cơ sở.
Hệ quả 1.6. Nếu với một số cơ sở đẳng thức Lyapunov đúng thì cơ sở này là
chuẩn tắc.
Chú ý 1.7. Tồn tại cơ sở chuẩn tắc sao cho đẳng thức Lyapunov không đúng.
21


1.4.3

Phép biến đổi Lyapunov

Xét hệ
(1.21)

x˙ = A (t) x,

ở đây x ∈ Rn , A ∈ C [t0 , ∞) , sup A (t) ≤ M,
t≥t0

và phép biến đổi
(1.22)

x = L(t)y,

Trong đó L(t) là ma trận không suy biến và khả vi liên tục với t ≤ t0 . Thay
(1.22) vào hệ (1.21) ta thu được hệ tuyến tính
y˙ = B(t)y.

(1.23)

B (t) = L−1 (t) A (t) L (t) − L−1 (t) L˙ (t) .

(1.24)

Định nghĩa 1.13. Phép biến đổi (1.22) được gọi là phép biến đổi Lyapunov
nếu:
1. L ∈ C 1 [t0 , ∞).
˙
2. L(t), L− 1(t), L(t)
bị chặn với mọi t ≤ t0 . Ma trận L(t) có các tính chất này
được gọi là ma trận Lyapunov.
Chú ý một số tính chất của phép biến đổi Lyapunov.
1. Các phép biến đổi Lyapunov tạo thành một nhóm.
2. Các phép biến đổi Lyapunov không làm thay đổi số mũ đặc trưng.
3.
t
1
t→∞ t

lim
t→∞

1
t

t
1
t→∞ t

ReSpA (τ ) dτ = lim

lim

t0
t

ReSpB (τ ) dτ ,
t0
t

ReSpA (τ ) dτ = lim
t→∞

t0

1
t

ReSpB (τ ) dτ .
t0

Nhận xét 1.1. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng
x˙ = A(t)x, t ≥ 0, x ∈ Rn .

(1.25)

Do phép biến đổi Lyapunov L(t) không làm thay đổi số mũ đặc trưng nên
chúng ta có thể ứng dụng tính chất này để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm

tầm thường của hệ (1.25) trong trường hợp sau đây. Giả sử nhờ phép biến đổi
Lyapunov hệ (1.25) có thể đưa được về hệ
y˙ = By, trong đó B = (bij )m×n là ma trận hằng.

(1.26)

Như chúng ta đã biết nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λj (B) của hệ (1.26)
đều có phần thực âm, tức là
Reλj (B) < 0, j = 1, 2, ..., n,

khi đó nghiệm tầm thường của (1.26) là ổn định tiệm cận thì từ tính giới nội của
L(t) và L−1 (t) ta có thể suy ra tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường
của hệ (1.25).
22


1.4.4

Một số ví dụ về phương pháp số mũ

Ví dụ 1.3. Xét phương trình tiến hóa (xem [3], [5]).
t

u(t) = T (t − s)x +

T (t − τ )F (τ, u(τ ))dτ.

(1.27)

s

Ta lấy
f (t, x) = F (t)x,

trong đó F : R+ → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn thỏa mãn điều kiện
+∞

F (t) dt < ∞,

(1.28)

0

thì ta có thể nhận được một hệ động lực tuyến tính
u : ∆T × B → B,

trong đó ∆T = {(t, s) : T ≥ t ≥ s ≥ 0}.
Hệ động lực này được xác định bởi
U (t, s) : x → u(t).

Trong đó u(t) là nghiệm của (1.27). Hệ động lực này được gọi là họ toán tử
tiến hóa liên tục mạnh (xem [3]) có các tính chất sau đây:
a. Với mỗi (t, s) ∈ ∆T , U (t, s) : B → B là tuyến tính và bị chặn,
b. U (t, t) = I ,
c. U (t, τ ) = U (t, s)U (s, τ ), ∀(t, s) ∈ ∆T .
Để nghiên cứu tính ổn định của họ các toán tử tiến hóa ta có thể áp dụng
phương pháp số mũ tổng quát hoặc số mũ Boole (xem [8]). Tuy nhiên trong
trường hợp đơn giản ta có thể sử dụng trực tiếp phương pháp số mũ Lyapunov.
Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cho điều đó.
Ví dụ 1.4. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ


 x˙ = −2x + y + 1 xy,
2
 y˙ = −x − 2y +

1+t
1
(x2 + y 2 ).
2 + t2

(1.29)

Ta thấy
+∞
0

1
dt < +∞;
1 + t2

+∞
0

1
dt < +∞, ∀t ∈ R+ .
2 + t2

(1.30)

Vì vậy, để xét tính ổn định của hệ (1.29) ta xét hệ thu gọn

x˙ = −2x + y,
y˙ = −x − 2y.
23

(1.31)