PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER -TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ XUÂN QUỲNH

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ XUÂN QUỲNH

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI
TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TS. Nguyễn Bường

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS. TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệ
thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt nam, người đã tận
tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo công tác tại trường
Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà nội đã truyền đạt kiến
thức cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Viện Công nghệ thông
tin, các bạn đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất
để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 10 năm 2015.
Học viên
Vũ Xuân Quỳnh

1


Mục lục
Mở đầu

3

1

5

Khái niệm cơ bản

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . .

8

1.2.2

Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . 10

1.3

Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu . . . . . . . . . . . 12
1.3.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2

Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu . . . . . . . 16

2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov

19

2.1

Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu

19

2.2

Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich . . . . . . . . 37

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45

2


Mở đầu
Trong các lớp bài toán nảy sinh từ khoa học, kỹ thuật và các nghành

kinh tế quốc dân tồn tại một lớp bài toán mà nghiệm không ổn định với dữ
kiện ban đầu. Khi dữ kiện ban đầu thay đổi đi một chút phương trình có
thể không có nghiệm hoặc nếu có thì nghiệm tương ứng lại cách xa nghiệm
chính xác rất nhiều. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh và
đặt ra yêu cầu tìm những phương pháp giải ổn định các bài toán này.
Ta xét bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử

A(x) = f, f ∈ X,

(1)

trong đó A là toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y.
Khi đó bài toán này có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếm
hàm làm trơn Tikhonov
h
Fδ,α
(x) = ||Ah (x) − fδ ||2 + αΩ(x),

ở đây x ∈ D(Ah ) = D(A), cùng với việc chọn tham số α = α(h, δ) thích
hợp, (Ah , fδ ) là xấp xỉ của (A, f ), α > 0 là tham số hiệu chỉnh, Ω(x) là
phiếm hàm ổn định. Tuy nhiên khi bài toán là phi tuyến thì việc tìm phần
tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov trở nên khó khăn. Do đó để giải
quyết bài toán trong trường hợp phi tuyến, khi A : X → X ∗ là toán tử
đơn điệu, trong [7] Browder đã đề xuất một dạng mới của phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov bằng cách sử dụng một toán tử có tính chất h-liên
tục và đơn điệu mạnh. Tiếp tục tư tưởng này, Alber [3] đã sử dụng ánh xạ
đối ngẫu tổng quát để hiệu chỉnh bài toán.
Để tìm nghiệm cho bài toán (1), chúng tôi xem xét phương pháp hiệu
chỉnh Browder-Tikhonov có dạng

A(x) + α(x − x+ ) = fδ ,
3

(2)


trong đó A : X → X là toán tử loại J-đơn điệu trong không gian Banach
X có tính chất xấp xỉ. Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là liên tục yếu
theo dãy và liên tục mạnh thì (2) có nghiệm duy nhất xδα hội tụ tới x0 là
nghiệm của (1). Ta cũng chỉ ra được sự hội tụ này khi J không có tính liên
tục yếu theo dãy nhưng được bổ sung thêm hai điều kiện

||A(x) − A(x0 ) − J ∗ A (x0 )∗ J(x − x0 )|| ≤ τ ||A(x) − A(x0 )||,

(3)

trong đó x ∈ X , τ > 0, J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X ∗ , x0 là
nghiệm của (1) và tồn tại z ∈ X sao cho

A (x0 )z = x+ − x0 .

(4)

Cuối cùng, khi J không liên tục yếu theo dãy và không thỏa mãn hai điều
kiện (3), (4) thì nghiệm hiệu chỉnh của phương pháp này vẫn hội tụ tới
nghiệm của bài toán.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới
thiệu về bài toán đặt không chỉnh, phương trình với toán tử loại J-đơn
điệu và một số khái niệm cơ bản dùng trong toàn bộ luận văn. Chương 2
trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình

phi tuyến không chỉnh với toán tử loại J-đơn điệu và phương pháp lặp
Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh trên.
Luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong
nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô. Em xin chân thành
cảm ơn!

4


Chương 1
Khái niệm cơ bản
Chương này gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày khái niệm và một số ví
dụ về không gian Banach. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh
và thuật toán hiệu chỉnh. Trong mục 1.3, chúng tôi trình bày một số khái
niệm về giải tích hàm có liên quan tới luận văn và phương trình với toán
tử loại J-đơn điệu. Các kiến thức được tham khảo từ các tài liệu [1], [4] và
[7].

1.1

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1. Cho (X, d) là một không gian metric. Dãy {xn } ⊂ (X, d)
được gọi là dãy cơ bản nếu

∀ > 0 ∃ N = N ( ), ∀ m, n ≥ N ⇒ d(xm , xn ) < .
(X, d) được gọi là không gian metric đủ, nếu mọi dãy cơ bản có giới hạn
trong X.
Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian tuyến tính. Ta nói X là không gian
tuyến tính định chuẩn, nếu với mọi x ∈ X xác định một số, gọi là chuẩn

của x (kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau:
a) Xác định dương: ∀x ∈ X, ||x|| ≥ 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = 0;
b) Thuần nhất dương: ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R thì ||λx|| = |λ|.||x||;
c) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X thì ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

5


Định nghĩa 1.3. Không gian Banach là không gian tuyến tính định chuẩn
đầy đủ.
Ví dụ 1.1. Không gian Rn với chuẩn Euclid và khoảng cách được xác định
như sau:

n
1

|ξi |2 ) 2 ,

||x|| = (
i=1

d(x, y) = ||x − y||,
với x = (ξ1 , ξ2 , ...., ξn ) ∈ Rn , y ∈ Rn là không gian Banach.
Ví dụ 1.2. Không gian các hàm thực liên tục C[a,b] với chuẩn và khoảng
cách xác định như sau:

||x|| = max |x(t)|,
a≤t≤b

d(x, y) = max |x(t) − y(t)|,
a≤t≤b

với x(t), y(t) ∈ C[a, b] là không gian Banach.
Ví dụ 1.3. Không gian lp ( p ≥ 1), tập các dãy số η1 , η2 , ...., ηn , ... thỏa
mãn

∞

|ηn |p < ∞
n=1

là không gian Banach.
Thật vậy, với x = (η1 , η2 , ...), y = (ν1 , ν2 , ....) ∈ lp (p ≥ 1) chuẩn và
khoảng cách được xác định như sau:
∞
1

|ηn |p ) p ,

||x|| = (
n=1
∞

1

|ηn − νn |p ) p .

||x − y|| = (

n=1

(m)

(m)

Giả sử {xm }∞
m=1 là dãy Cauchy trong lp , trong đó xm = (η1 , η2 , ...).
Do đó với mọi

> 0 ∃m0 , ∀m ≥ m0 , ∀r nguyên dương, ta có
||xm − xm+r || ≤
6


hay

∞
1

|ηn(m) − ηn(m+r) |p ) p ≤ ,

(
n=1
(m)

(m+r)

(m)

− ηn
| ≤ ∀n, ∀m ≥ m0 , do dó ∀n ∃ limm→∞ ηn = ηn0 .
(m+r) p p1
(m)
Như vậy, ( N
−
η
| ) ≤ ∀N. Cho r → ∞ thì ta được
|η
n
n
n=1
suy ra |ηn

N
1

|ηn(m) − ηn0 |p ) p ≤ ∀N.

(
n=1

Ta cho N → ∞ thì
∞
1

|ηn(m) − ηn0 |p ) p ≤ ,

(
n=1

(m)

(m)

− η10 , η2 − η20 , ...) ∈ lp . Suy ra x0 = (η10 , η20 , ...) =
(m)
(m) (m)
(m)
(η1 , η2 , ...) − (η1 − η10 , η2 − η20 , ...) = xm − z ∈ lp . Nên ||z|| =
||xm − x0 || ≤ ∀m ≥ m0 , hay x0 = limm→∞ xm . Vậy lp là không gian
Banach.

từ đây z := (η1

Ví dụ 1.4. Không gian co tập tất cả các dãy số µ1 , µ2 , ...., µn , .... hội tụ
tới 0 là không gian Banach.
Trong không gian này, chuẩn và khoảng cách được xác định bởi:

||x|| = sup |µn |,
n

d(x, y) = ||x − y||,
(k)

(k)

trong đó x, y ∈ co . Cho {xk } là dãy Cauchy trong co , ở đây xk = (µ1 , µ2 , ...).
Khi đó ∀ > 0 ∃k0 , ∀k ≥ k0 , ∀p nguyên dương thì ||xk − xk+p || ≤ . Vì
(k)

(k)

(k+p)

||xk || = supn |µn | nên |µn − µn | ≤ ∀n. Do đó khi n cố định thì
(k)
(k)
{µn } là dãy Cauchy, vì vậy tồn tại µ0n để limk→∞ µn = µ0n . Ta suy ra
(k)
(k)
|µn − µ0n | ≤ ∀n. Với k cố định thì limn→∞ µn = 0 nên ∃n0 ∀n ≥ n0
(k)
(k)
(k)
để |µn | ≤ . Từ đây |µ0n | ≤ |µn | + |µn − µ0n | ≤ 2 ∀n ≥ n0 . Do vậy
x0 = (µ01 , µ02 , ...) ∈ co và limk→∞ xk = x0 .

7


1.2
1.2.1

Bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Cho phương trình toán tử

A(x) = f,

(1.1)

trong đó A : (X, d) → (Y, ρ)., X, Y là các không gian mêtric.
Phương trình (1.1) là đặt chỉnh nếu:

• Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x(f ) ∈ X của (1.1);
• Nghiệm này là duy nhất;
• Nghiệm này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (f, A).
Phương trình (1.1) được gọi là đặt không chỉnh nếu một trong ba điều
kiện trên không được thỏa mãn, tức là,

• Phương trình (1.1) không có nghiệm;
• Phương trình (1.1) có nhiều hơn một nghiệm;
• Phương trình (1.1) có nghiệm x = x(f ) không phụ thuộc liên tục vào
dữ kiện bài toán.
Ví dụ 1.5.
Cho phương trình tích phân Fredholm loại 1
b

K(t, s)x(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d],

(1.2)

a

−∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞,
trong đó x(s) là nghiệm, vế phải f0 (t) là một hàm số cho trước, nhân
dK
K(t, s) và
là các hàm liên tục. Ta giả thiết nghiệm x(s) ∈ C[a, b] với

dt
khoảng cách giữa hai hàm x1 và x2 trong lớp đó là

ρC[a,b] (x1 , x2 ) = max |x1 (s) − x2 (s)|.
s∈[a,b]

8


Khoảng cách giữa hai hàm f1 (t) và f2 (t) trong L2 [c, d] là
d
2

|f1 (t) − f2 (t)| dt

ρL2 [c,d] (f1 , f2 ) =

1/2

.

c

Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm x0 (s). Khi đó, với vế phải
b

f1 (t) = f0 (t) + N

K(t, s) sin(ωs)ds
a

phương trình (1.2) có nghiệm

x1 (s) = x0 (s) + N sin(ωs).
Với N bất kỳ và ω đủ lớn, thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong

L2 [c, d] là
d

b

ρL2 [c,d] (f0 , f1 ) = |N |

2

1/2

K(t, s) sin(ωs)ds dt
c

a

có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt

Kmax =

max

|K(t, s)|,

s∈[a,b],t∈[c,d]

ta tính được
d

ρL2 [c,d] (f0 , f1 ) ≤ |N |
c

≤

2
1
Kmax (cos(ωb) − cos(ωa) dt
ω

1/2

|N |Kmax c0
,
ω

ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tùy ý, nhưng
nhỏ. Khi đó,

ρC[a,b] (x0 , x1 ) = max |x0 (s) − x1 (s)| = |N |
s∈[a,b]

có thể lớn bất kỳ. Do đó bài toán là đặt không chỉnh.
Ví dụ 1.6.

9

N
lại
ω


Xét chuỗi Fourier

∞

f1 (t) =

an cos(nt)
n=0

với hệ số (a0 , a1 , ..., an ...) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an + n , n ≥ 1 và

c0 = a0 . Khi đó chuỗi Fourier tương ứng là
∞

f2 (t) =

cn cos(nt)
n=0

cũng có hệ số (c0 , c1 , ....., cn , ....) ∈ l2 . Khoảng cách giữa chúng là
∞
1

2

(cn − an )

=

∞

1/2

=
n=0

n=0

1
n2

π2
.
6

1/2

=

Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ tùy ý. Tuy nhiên
∞

f2 (t) − f1 (t) =

n=1

1
cos(nt)
n

có thể làm lớn tùy ý. Như vậy bài toán này là không ổn định nếu xét
trong không gian các hàm với độ đo đều. Nhưng khi xét trong không gian

L2 [0, π] thì
π
2

[f2 (t) − f1 (t)] dt

π

1/2

∞

0

2

(cn − an ) cos(nt) dt

=
0
∞

=
n=1

1/2

n=0

π
(cn − an )2
2

1/2

=

1

π
.
2

Ta thấy bài toán lại ổn định.
Như vậy, một bài toán có thể là không chỉnh trên cặp không gian này
nhưng có thể là đặt chỉnh trong cặp không gian khác.

1.2.2

Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh

Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ : ||fδ − f || ≤ δ → 0.
Bài toán đặt ra cần xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc tham số nào đó
tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ hội tụ tới nghiệm

x0 .
10


Định nghĩa 1.4. Toán tử R(fδ , α) phụ thuộc tham số α, tác động từ không
gian Banach Y vào không gian Banach X được gọi là một toán tử hiệu
chỉnh cho phương trình (1.1), nếu:

• Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(fδ , α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y : ρY (fδ , f ) ≤ δ , δ ∈ (0, δ1 );
• Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ , δ) sao cho ∀ > 0 tồn tại δ( ) ≤
δ1 : ∀fδ ∈ Y, ρY (fδ , f ) ≤ δ ≤ δ1 → ρX (xα , x0 ) ≤ , ở đây xα ∈
R(fδ , α(fδ , δ)).
Ví dụ 1.7.
Bài toán tính gần đúng đạo hàm.
df (t)
, chỉ biết fδ (t) = f (t) + g(t), ở đây ||g(t)|| ≤ δ ∀t.
Tính giá trị z =
dt
Đạo hàm z được tính dựa vào tỉ sai phân

f (t + α) − f (t)
α
f (t + α) − f (t) g(t + α) − g(t)
Khi đó R(fδ , α) =
+

.
α
α
2δ
f (t + α) − f (t)
g(t + α) − g(t)
→ z , và
≤ .
Cho α → 0 thì
α
α
α
δ
δ
Nếu chọn α để α =
, với η(δ) → 0, khi δ → 0, thì 2 = 2η(δ) → 0.
η(δ)
α
δ
Vì vậy, với α = α1 (δ) =
, R(fδ , α1 (δ)) → z .
η(δ)
R(f, α) =

Ví dụ 1.8.
Xét bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số Fourier của nó ở phần
trước. Giả sử ϕk (t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có supt∈[a,b] |ϕk (t)| ≤ C0 ,
và hệ số Fourier a = (a1 , a2 , ...) của hàm
∞

f (t) =

ak ϕk (t)
k=1

được cho xấp xỉ bởi c = (c1 , c2 , ....) sao cho
∞

(ak − ck )2 ≤ δ 2 .
k=1

11


Khi đó

∞

f˜(t) =

ck ϕk (t)
k=1

không thể coi là xấp xỉ của f(t) được. Để tìm giá trị xấp xỉ của f tại
điểm t0 nào đó, tức là tìm f (t0 ), ta dùng phương pháp hiệu chỉnh với
η(δ)
R(c, n1 ) = nk=1 ck ϕk (t0 ), trong đó n = n(δ) =
là phần nguyên của
δ2
η(δ)

, ở đây δ, η(δ) → 0, còn n(δ) → ∞. Thật vậy,
δ2
n(δ)

f (t0 ) −

n(δ)

∞
k=1 ak ϕk (t0 )

Vì chuỗi

(ak − ck )ϕk (t0 ) +

ck ϕk (t0 ) ≤
k=1

∞

ak ϕk (t0 ) .

k=1

k=n(δ)+1
∞
k=n(δ)+1 ak ϕk (t0 )

hôị tụ, cho nên phần dư

tiến

tới 0, khi n(δ) → ∞. Mặt khác,
n(δ)

n(δ)

(ak − ck )ϕk (t0 ) ≤
k=1

|ak − ck ||ϕk (t0 )|
k=1
n(δ)

n(δ)
2

2

|ϕk (t0 )|

|ak − ck |

≤

1
2

k=1

k=1
n(δ)

2

≤ C0 n(δ)

|ak − ck |

1
2

k=1

≤ C0

n(δ)δ 2 = C0

[η(δ)] → 0

khi δ → 0.

1.3
1.3.1

Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu
Một số khái niệm

Cho X là không gian Banach thực và X ∗ là không gian đối ngẫu của
nó. Ký hiệu x, x∗ là giá trị của hàm x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X .

∗

Định nghĩa 1.5. Một ánh xạ J s : X → 2X , s ≥ 2 xác định như sau

J s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = ||x∗ ||s−1 ||x|| = ||x||s }
được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát.
12


Với s = 2 ta gọi nó là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ký hiệu là J.
Mệnh đề 1.1. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó
1. J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x) ∀λ ∈ R;
2. J là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X ∗ là không gian lồi chặt. Trong
trường hợp X là không gian Hilbert thì J = I là toán tử đơn vị trong
X.
∗

Định nghĩa 1.6. Một toán tử A : X → 2X là đơn điệu nếu ∀x, y ∈ D(A),

x − y, f − g ≥ 0 ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay.
Định nghĩa 1.7. Toán tử A : X → Y , trong đó X, Y là các không gian
Banach, được gọi là

• h-liên tục tại x0 ∈ D(A) nếu A(x0 + tn x)
A(x0 ) khi tn → 0 với
mọi vectơ x thỏa mãn x0 + tn x ∈ D(A) và 0 ≤ tn ≤ t(x0 );
• demi-liên tục tại x0 ∈ D(A) nếu cho dãy bất kì {xn } ⊂ D(A) thỏa
mãn xn → x0 thì Axn
Ax;
• liên tục yếu theo dãy tại điểm x0 ∈ D(A) nếu cho dãy bất kỳ {xn } ∈

D(A) sao cho xn
x0 thì Axn
Ax0 .
Định nghĩa 1.8. Không gian Banach X gọi là có tính chất ES nếu X là
không gian phản xạ và mọi dãy {xn }, xn ∈ X hội tụ yếu trong X tới x và

||xn || → ||x|| thì xn → x.
Định nghĩa 1.9. Không gian Banach X được gọi là có tính chất xấp xỉ
nếu tồn tại một họ các không gian con hữu hạn chiều {Xn } được sắp thứ tự
bao hàm, họ các phép chiếu tương ứng Pn : X → Xn thỏa mãn ||Pn || = 1
với mọi n > 0 và

Xn là trù mật trong X.

Định nghĩa 1.10. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn thực. Cho

S1 (0) := {x ∈ E : ||x|| = 1}. Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi
Gateaux (hay trơn) nếu giới hạn
||x + ty|| − ||x||
t→0
t

lim

13


tồn tại cho mỗi x, y ∈ S1 (0). Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi
Gateaux đều nếu giới hạn trên là đều đối với x ∈ S1 (0).
Định nghĩa 1.11. Cho X là không gian Banach phản xạ, X ∗ là không

∗

gian liên hợp của nó và A : X → 2X . Tập các cặp (x, f ) ∈ X × X ∗ thỏa
mãn f ∈ Ax được gọi là đồ thị của toán tử A và ký hiệu là grA.
Định nghĩa 1.12. Không gian X được gọi là lồi chặt nếu hình cầu đơn vị
trong X là lồi chặt, tức là ||x + y|| < 2 ∀x, y ∈ X thỏa mãn ||x|| = ||y|| =

1, x = y.
Khái niệm và một số tính chất của giới hạn Banach được đưa ra sau
đây.
Định nghĩa 1.13. Cho µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và cho

(a1 , a2 , ...) ∈ l∞ . Khi đó µ được gọi là giới hạn Banach nếu nó thỏa mãn
||µ|| = µk (1) = 1 và µk (ak+1 ) = µk (ak ) cho mỗi (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ . Ở đây
µk (ak ) được viết thay cho µ((a1 , a2 , ...)).
Định lý 1.1. (Vài tính chất của giới hạn Banach)
1. lim inf k→∞ ak ≤ µk (ak ) ≤ lim supk→∞ ak ∀(a1 , a2 , ...) ∈ l∞ .
2. Nếu a = (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ , b = (b1 , b2 , ...) ∈ l∞ và ak → c (tương
ứng ak − bk → 0) khi k → ∞ thì µk (ak ) = µ(a) = c (tương ứng

µk (ak ) = µk (bk )).
Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov được đề xuất
vào năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân bởi Browder [7]. Trong
đó sử dụng toán tử M : X → X ∗ có tính chất h-liên tục và đơn điệu mạnh
làm thành phần hiệu chỉnh. Một số kết quả thu được như sau:
Định nghĩa 1.14. Không gian Banach phản xạ X được gọi là hoàn thiện
được nếu tồn tại một ánh xạ đơn điệu, h-liên tục M từ X vào X ∗ sao cho

u, M u > 0 cho u = 0, đưa tập bị chặn của X vào tập bị chặn của X ∗ ,
u, M u

và là ánh xạ bức (tức là
→ +∞ khi u → +∞), thỏa mãn:
||u||
14


1. Cho u1 ∈ X, w1 ∈ X ∗ , u − u1 , M u − w1 → +∞ khi ||u|| → +∞.
2. Nếu {uj } là dãy bị chặn trong X, u ∈ X và uj − u, M uj − M u → 0,
thì uj → u ∈ X.
Định lý 1.2. Cho X là không gian Banach phản xạ, hoàn thiện được với
M là ánh xạ đơn điệu tương ứng với tính cải tiến được. Cho T là toán tử
đơn điệu, h-liên tục từ X vào X ∗ , f là hàm lồi nửa liên tục dưới từ X vào

(−∞, +∞] với f = +∞. Cho w và v0 là phần tử bất kỳ của X ∗ . Giả sử
rằng Aw là tập tất cả nghiệm u0 của bất đẳng thức
v − u0 , T u0 − w ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ X,
thì Aw là khác rỗng. Khi đó :
1. Nếu cho mỗi

> 0, ta đặt T = T + M, bất đẳng thức biến phân phi

tuyến

v − u , T u − w ≥ f (u ) − f (v), v ∈ X,
có duy nhất một nghiệm u , trong đó w = w + v0 .

→ 0, u → u0 ∈ Aw . Trong tập Aw , u0 là nghiệm duy nhất thỏa
mãn bất đẳng thức biến phân

2. Khi

v − u0 , M u0 − v0 ≥ 0, v ∈ Aw .
Dựa vào đó Alber [3] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình
(1.1) trên cơ sở phương trình sau

A(x) + αJ s (x − x0 ) = fδ ,

(1.3)

trong đó A là toán tử đơn điệu, h-liên tục từ không gian Banach phản xạ
X vào X ∗ , ở đây X ∗ là lồi chặt và X có tính chất ES, x0 là phần tử bất kì
trong X giúp ta tìm nghiệm theo ý muốn. Ta có một số kết quả sau đây
Định lý 1.3. Với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗ , phương trình (1.3) có duy nhất
δ
nghiệm xδα . Nếu α, → 0, thì {xδα } hội tụ đến phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn
α

||x0 − x0 || = min ||x − x0 ||.
x∈S0

15


Trong trường hợp tổng quát, khi cả toán tử và vế phải đều biết xấp xỉ,
tức là, thay cho A ta chỉ biết xấp xỉ Ah thỏa mãn

||Ah (x) − A(x)|| ≤ hg(||x||)
và cũng đơn điệu, h-liên tục, ở đây g(t) là hàm giới nội. Ta có kết quả sau
Định lý 1.4. Với mỗi α > 0, h > 0 và fδ ∈ X ∗ phương trình hiệu chỉnh

Ah (x) + αJ s (x − x0 ) = fδ
δ h
có duy nhất nghiệm xηα , η = (h, δ). Nếu α, , → 0, thì {xηα } → x0 .
α α
1.3.2

Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu

Định nghĩa 1.15. Một toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu nếu

∃ j(x1 − x2 ) ∈ J(x1 − x2 ) sao cho
Ax1 − Ax2 , j(x1 − x2 ) ≥ 0 ∀x1 , x2 ∈ D(A).
Toán tử A được gọi là J-đơn điệu chặt nếu đẳng thức trên xảy ra khi

x1 = x2 .
Ngoài ra ta còn định nghĩa khác cho toán tử J-đơn điệu như sau
Định nghĩa 1.16. Một toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu nếu

||x1 − x2 || ≤ ||x1 − x2 + λ(Ax1 − Ax2 )|| ∀λ > 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A).
Định nghĩa 1.17. Toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là bức nếu

Ax, Jx ≥ c(||x||)||x||,
ở đây c(t) → +∞ khi t → +∞.
Định nghĩa 1.18. Toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là J-đơn
điệu cực đại nếu đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị toán tử
J-đơn điệu khác.

16

Định lý 1.5. Cho A : X → X là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên tục với

D(A) = X thì A là J-đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.19. Toán tử A : X → X được gọi là J-đơn điệu đều nếu
tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0 thỏa mãn

Ax1 − Ax2 , J(x1 − x2 ) ≥ γ(||x1 − x2 ||),
trong đó x1 , x2 ∈ D(A). Toán tử A là J-đơn điệu mạnh nếu γ(t) = ct2 ,
với c > 0.
Định nghĩa 1.20. Một toán tử J-đơn điệu A : X → X được gọi là m-Jđơn điệu nếu

R(A + αI) = X
với mọi α > 0, trong đó I là toán tử đơn vị trong X.
Định lý 1.6. Nếu toán tử A là m-J-đơn điệu thì nó là toán tử J-đơn điệu
cực đại.
Ta xét phương trình (1.1) với A là toán tử J-đơn điệu.
Định lý 1.7. Giả sử rằng X và X ∗ là các không gian Banach lồi chặt và
X có tính chất xấp xỉ, toán tử A : X → X là J-đơn điệu và demi-liên tục
với miền xác định D(A) = X, ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ là liên tục và
liên tục yếu theo dãy, tồn tại r > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn ||x|| = r,

Ax − f, Jx ≥ 0.
Khi đó phương trình Ax = f có ít nhất một nghiệm x
¯ với ||¯
x|| ≤ r.
Định nghĩa 1.21. Một điểm x0 ∈ X được gọi là nghiệm suy rộng của
phương trình (1.1) với A là toán tử J-đơn điệu nếu bất đẳng thức

y − f, J(x − x0 ) ≥ 0 ∀y ∈ Ax
thỏa mãn với mọi x ∈ D(A).

17


Định lý 1.8. Giả sử rằng X và X ∗ là các không gian Banach lồi đều, X có
tính xấp xỉ, ánh xạ đối ngẫu J là liên tục yếu theo dãy, toán tử A : X → 2X
là J-đơn điệu với miền xác định D(A) = X và tồn tại r > 0 sao cho với
mỗi x mà ||x|| = r, tồn tại y ∈ Ax thỏa mãn

y − f, Jx ≥ 0.
Khi đó phương trình (1.1) có ít nhất một nghiệm suy rộng x
¯ với ||¯
x|| ≤ r.
Chú ý 1.1. Nếu toán tử A trong định lý 1.8 là J-đơn điệu chặt, thì phương
trình toán tử tương ứng có duy nhất nghiệm.
Chương sau chúng tôi sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov cho phương trình phi tuyến với toán tử loại J-đơn điệu.

18


Chương 2
Phương pháp hiệu chỉnh
Browder-Tikhonov
Chương này gồm hai mục. Mục 2.1 trình bày về phương pháp hiệu chỉnh
Browder-Tikhonov khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục yếu theo dãy
và khi nó không có tính chất này. Trong mục 2.2, chúng tôi giới thiệu về
phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich kết hợp với phương pháp
hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Các kết quả được tham khảo từ các tài liệu
[4], [8] - [11] và [14].

2.1

Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử
loại J-đơn điệu

Trong không gian Banach X có tính chất xấp xỉ, A : X → X là toán
tử J-đơn điệu và hemi-liên tục, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X ∗ là
liên tục và liên tục yếu theo dãy trong X. Ta xét phương trình

Ax = f

(2.1)

với f ∈ X. Giả sử tập nghiệm S là khác rỗng và ta chỉ biết xấp xỉ (Ah , fδ )
của (A, f ), trong đó Ah : X → X cũng là toán tử J-đơn điệu và hemi-liên
tục với mọi h > 0, D(Ah ) = D(A) = X và fδ ∈ X với mọi δ > 0. Ta giả
thiết rằng

||fδ − f || ≤ δ

(2.2)

||Ax − Ah x|| ≤ g(||x||)h ∀x ∈ X,

(2.3)

và

19

ở đây g(t) là hàm không âm liên tục với mọi t ≥ 0. Khi đó ta có phương
trình hiệu chỉnh như sau

Ah x + αx = fδ .

(2.4)

Từ tính J-đơn điệu của toán tử Ah ta có

Ah x + αx, Jx = Ah x − Ah (θX ) + Ah (θX ) + αx, Jx
= Ah x − Ah (θX ), J(x − θX ) + Ah (θX ), Jx + αx, Jx
≥ α||x||2 − ||Ah (θX )|| ||x|| = ||x||(α||x|| − ||Ah (θX )||).
(2.5)
Do đó, toán tử T = Ah + αI là bức nên theo định lý 1.7 phương trình
(2.4) có một nghiệm xδ,h
α , với mọi α > 0. Nó cũng là nghiệm duy nhất vì
T là J-đơn điệu mạnh (xem chú ý 1.1). Như vậy,
δ,h
Ah xδ,h
α + αxα = fδ

(2.6)

Định lý sau chỉ ra sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh.
δ+h
Định lý 2.1. Nếu điều kiện
→ 0 khi α → 0 được thỏa mãn thì
α
¯∗ ∈ S, trong đó x¯∗ là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1)

xδ,h
α → x
thỏa mãn bất phương trình

x¯∗ , J(¯
x∗ − x∗ ) ≤ 0 ∀x∗ ∈ S.

(2.7)

Chứng minh
Giả sử tồn tại x
¯∗∗ ∈ S thỏa mãn x¯∗∗ = x¯∗ và

x¯∗∗ , J(¯
x∗∗ − x∗ ) ≤ 0 ∀x∗ ∈ S.

(2.8)

Thay x∗ bởi x
¯∗∗ và x¯∗ lần lượt trong (2.7) và (2.8) rồi cộng hai bất đẳng
thức lại, ta được

||¯
x∗ − x¯∗∗ ||2 = x¯∗ − x¯∗∗ , J(¯
x∗ − x¯∗∗ ) ≤ 0.
Điều này dẫn đến x
¯∗ = x¯∗∗ . Như vậy x¯∗ là duy nhất.
Lấy x∗ ∈ S bất kỳ. Từ (2.1) và (2.6) ta có
∗
δ,h

∗
δ,h
∗
δ,h
∗
Ah xδ,h
α − Ax , J(xα − x ) + α xα − x , J(xα − x )
∗
∗
δ,h
∗
= fδ − f, J(xδ,h
α − x ) − α x , J(xα − x )

20

(2.9)


Vì toán tử Ah là J-đơn điệu và (2.3) nên ta có
∗
δ,h
∗
δ,h
∗
δ,h
∗
Ah xδ,h
α − Ax , J(xα − x ) = Ah xα − Ah x , J(xα − x )
∗

+ Ah x∗ − Ax∗ , J(xδ,h
α −x )
∗
≥ −hg(||x∗ ||) ||xδ,h
α − x ||.

Mặt khác
∗
δ,h
∗
δ,h
∗ 2
α xδ,h
α − x , J(xα − x ) = α||xα − x || ;
∗
δ,h
∗
fδ − f, J(xδ,h
α − x ) ≤ δ||xα − x ||;

và
∗
∗
δ,h
∗
−α x∗ , J(xδ,h
α − x ) ≤ α||x || ||xα − x ||.

Do vậy, ta suy ra
∗

||xδ,h
α − x || ≤

h
δ
+ g(||x∗ ||) + ||x∗ || ∀x∗ ∈ S,
α α

hoặc

||xδ,h
α || ≤

h
δ
+ g(||x∗ ||) + 2||x∗ || ∀x∗ ∈ S.
α α

(2.10)

Do vậy dãy {xδ,h
¯. Không
α } là bị chặn nên có một dãy con hội tụ yếu tới x
mất tổng quát ta coi xδ,h
α

x¯ ∈ X khi α → 0. Cũng từ tính J-đơn điệu

của Ah và (2.6) ta được
δ,h

δ,h
δ,h
Ah x − Ah xδ,h
α , J(x − xα ) = Ah x + αxα − fδ , J(x − xα ) ≥ 0 ∀x ∈ X.

Vì J là liên tục yếu theo dãy nên cho α → 0 trong giới hạn trên thì

Ax − f, J(x − x¯) ≥ 0 ∀x ∈ X.

(2.11)

Theo định lý 1.5 toán tử A là J-đơn điệu cực đại, thì từ (2.11) ta suy ra

f = A¯
x nên x¯ ∈ S.
Trong (2.9) thay x∗ bởi x
¯ ta suy ra ước lượng sau
||xδ,h
¯||2 ≤
α −x

h
δ δ,h
||xα − x¯|| + g(||¯
x||)||xδ,h
¯|| − x¯, J(xδ,h
¯) .
α −x
α −x
α

α
21


Do dãy {xδ,h
¯ ∈ S , từ bất phương trình trên
α } bị chặn và hội tụ yếu tới x
ta suy ra {xδ,h
¯ khi α → 0. Từ (2.9) ta có
α } hội tụ mạnh tới x
∗
δ,h
∗
δ,h
δ,h
∗
δ,h
∗
Ah xδ,h
α − Ax , J(xα − x ) + α xα , J(xα − x ) = fδ − f, J(xα − x )
∗
δ,h
δ,h
∗
δ,h
∗
⇒ −hg(||x∗ ||)||xδ,h
α − x || + α xα , J(xα − x ) ≤ δ||xα − x ||
δ
h

δ,h
∗
∗
∗
⇔ xδ,h
+ g(||x∗ ||) ||xδ,h
α , J(xα − x ) ≤
α − x || ∀x ∈ S.
α α
Cho α → 0 ta được

x¯, J(¯
x − x∗ ) ≤ 0 ∀x∗ ∈ S,
do đó x
¯ = x¯∗ . Vậy dãy {xδ,h
¯∗ .
α } hội tụ mạnh tới x

✷
Hệ quả 2.1. Cho phương trình hiệu chỉnh

Ah x + α(x − x+ ) = fδ ,
δ+h
→ 0 khi α → 0 thì nghiệm
α
của nó hội tụ mạnh tới nghiệm x
¯∗ ∈ S thỏa mãn bất phương trình
trong đó x+ ∈ X là một phần tử cố định,

x¯∗ − x+ , J(¯

x∗ − x∗ ) ≤ 0 ∀x∗ ∈ S.
Bây giờ ta xét bài toán trên khi thêm điều kiện X là không gian Banach
phản xạ lồi chặt và có tính xấp xỉ, không gian liên hợp của nó X ∗ cũng lồi
chặt. Gọi xδα là nghiệm của phương trình

A(x) + αx = fδ ;

(2.12)

và xα là nghiệm của phương trình

A(x) + αx = f.

(2.13)

δ
Theo [4] ta biết rằng xδ,h
α , xα và xα tồn tại và duy nhất.

Bổ đề 2.1. Giả sử A : D(A) = X → X là J-đơn điệu và khả vi Frechet
trong X và L = A (h), h ∈ X, và α là số thực dương. Khi đó

||(αI + L)−1 || ≤

1
; ||(αI + L)−1 L|| ≤ 2.
α
22

Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ được đưa ra trong
định lý sau.
Định lý 2.2. Cho J : X → X ∗ là liên tục yếu theo dãy và A : D(A) → X
là toán tử J-đơn điệu với D(A) = X. Khi đó {xα } hội tụ tới x
¯∗ là nghiệm
duy nhất của phương trình (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức

x¯∗ , J(¯
x∗ − x∗ ) ≤ 0 ∀x∗ ∈ S.
Ngoài ra nếu A thỏa mãn các điều kiện sau:
1. A là khả vi Frechet trong X, và tồn tại một số dương K0 , để với bất
¯r (¯
kỳ v ∈ X, x ∈ B
x∗ ), trong đó r = ||¯
x∗ ||, tồn tại một phần tử

k(x, x¯∗ , v) ∈ X và ||k(x, x¯∗ , v)|| ≤ K0 ||v|| ||x − x¯∗ || sao cho (A (x) −
A (¯
x∗ ))v = A (¯
x∗ )k(x, x¯∗ , v);
2. Tồn tại ω ∈ X thỏa mãn x
¯∗ = A (¯
x∗ )ω.

¯∗ || ≤ O(δ 1/2 + h1/2 ) khi
Khi đó, nếu α = O(δ 1/2 + h1/2 ), ta có ||xδ,h
α −x
δ → 0, h → 0.
Chứng minh
Để chứng minh dãy {xα } hội tụ tới x

¯∗ ta chứng minh tương tự như trong
định lý 2.1.
Bây giờ ta sẽ ước lượng cho ||xα − x
¯∗ ||. Ký hiệu xt = x¯∗ + t(xα − x¯∗ ), 0 ≤
¯r (¯
t ≤ 1 thì ||xt − x¯∗ || ≤ ||xα − x¯∗ || ≤ ||¯
x∗ ||. Vì vậy xt ∈ B
x∗ ) và
∗

∗

1

∗

A(xα ) − A(¯
x ) = A (¯
x )(xα − x¯ ) +

(A (xt ) − A (¯
x∗ ))(xα − x¯∗ )dt

0
∗

1

∗

= A (¯
x )(xα − x¯ ) +

A (¯
x∗ )k(xt , x¯∗ , xα − x¯∗ )dt

0

Từ (2.13) và A(¯
x∗ ) = f , ta có
∗

∗

1

∗

(αI + A (¯
x ))(xα − x¯ ) = −α¯
x −

A (¯
x∗ )k(xt , x¯∗ , xα − x¯∗ )dt (2.14)

0

Theo bổ đề 2.1, ta biết rằng ||(αI + A (¯
x∗ ))−1 A (¯
x∗ )|| ≤ 2. Từ hai giả

thiết của định lý và (2.14) ta có
∗

∗

−1

1

∗

xα −¯
x = −α(αI+A (¯
x )) A (¯
x )ω−
0

23

(αI+A (¯
x∗ ))−1 A (¯
x∗ )k(xt , x¯∗ , xα −¯
x∗ )dt.