Trụ composite chịu tác động của áp suất và nhiệt độ

MỤC LỤC
Trang
Mở đầu ……………………………………………………………………... 2
Chương 1 – Các phương trình cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính
1.1 Quan hệ ứng suất, biến dạng và nhiệt độ ………………………5
1.2 Phương trình truyền nhiệt………………...…………………….6
1.3 Đặt bài toán theo chuyển dịch.....................................................8
Chương 2 – Trụ composite chịu tác động của áp suất và nhiệt độ
2.1 Đặt bài toán……..………………...…………………………...10
2.2 Phương pháp giải ……………….…………………………….14
2.2.1 Xác định trường nhiệt độ……………………………………15
2.2.2 Xác định trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất…………20
Chương 3 – Tính toán số
3.1 Thông số đầu vào ……………….…………………………… 22
3.2 Các kết quả số và thảo luận…………………………………...23
3.2.1 Sự phân bố của chuyển vị…..………………………………24
3.2.2 Sự phân bố của biến dạng…………………………………..25
3.2.3 Sự phân bố của ứng suất……………………………………29
Kết luận …………………………………………………………………...36
Các bài báo, báo cáo khoa học đã được công bố…………………………37
Tài liệu tham khảo …………………………………………………………38
Phụ lục ……………………………………………………………………...42

1


MỞ ĐẦU
Vật liệu composite là vật liệu được chế tạo từ hai hay nhiều thành phần
khác nhau, nhằm tạo ra một vật liệu mới có những tính năng ưu việt hơn
những vật liệu ban đầu (bền, nhẹ, khả năng chịu va đập, chịu tải cơ, chịu tải
nhiệt, chịu tải cơ – nhiệt, …cao).

Ngày nay, vật liệu composite được ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực
của nền kinh tế quốc dân từ công nghiệp dân dụng, y tế, thể thao, giao thông
vận tải, xây dựng, cho đến các ngành công nghiệp nặng (chế tạo máy, khai
thác chế biến dầu khí, đóng tàu, điện lực, hoá chất,…), đặc biệt là trong ngành
hàng không vũ trụ, trong việc cải tiến, hiện đại hoá và thiết kế chế tạo các vật
thể bay. Việc nghiên cứu, chế tạo vật liệu mới và các kết cấu từ chúng là một
trong những thành tựu quan trọng nhất của tiến bộ khoa học. Vì vậy, ngành
khoa học vật liệu mới là một trong những mũi nhọn then chốt trong sự nghiệp
công nghiệp hóa, hiện đại hóa của nước ta.
Với ưu điểm bền cơ học, bền với các môi trường hóa học và nhiệt độ, lại
nhẹ, dễ thi công, các ống kỹ thuật composite được sử dụng rộng rãi trong các
ngành dầu khí, đô thị và công nghiệp. Hiện nay, các loại ống này đã và đang
được sản xuất và sử dụng rất nhiều ở Việt Nam. Ngoài yếu tố vật liệu ra, độ
bền của chúng chịu ảnh hưởng rất lớn từ các tác nhân cơ – nhiệt. Vì vậy, việc
nghiên cứu ứng xử cơ - nhiệt của dạng kết cấu này đã thu hút sự quan tâm của
nhiều tác giả trong và ngoài nước. Một loạt bài báo và công trình nghiên cứu
về các bài toán cơ - nhiệt của trụ đã được công bố.
N.T.T. Hà [3] đã thu được nghiệm giải tích của ứng suất, biến dạng trong
trụ composite đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng có tính đến quá trình truyền
nhiệt dừng. Valentin R.A. và Carey J.J. [26] đã đưa ra nghiệm chuyển vị và
ứng suất nhiệt dừng của trụ tròn đặc, hữu hạn, thuần nhất, đẳng hướng.

2


Ahmed S.M. và Zeiden N.A. [7] đã nghiên cứu bài toán ứng suất nhiệt trong
trụ tròn vô hạn đẳng hướng ngang, không thuần nhất chịu các điều kiện biên
nhất định bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Bhattacharyya A. và Appiah
E.J. [8] đã thu được nghiệm chính xác đáp ứng đàn dẻo của trụ composite dài
vô hạn chịu tải theo hướng kính. Chao C.K. và nhóm cộng sự [10] đã nghiên

cứu bài toán ứng suất nhiệt của trụ composite ba pha đàn nhớt. Iyengar
K.T.R.S. và Chandrashekhara K. [11] đã thu được ứng suất nhiệt dừng của trụ
rỗng hữu hạn chịu nhiệt đối xứng ở các đầu. Ứng suất động lực học – nhiệt –
từ trong một trụ rỗng không thuần nhất cũng đã được nghiên cứu bởi Kong T.
và nhóm cộng sự [15].
Các bài toán ứng suất nhiệt tức thời của trụ tròn đa lớp cũng như trụ rỗng
composite đã được nghiên cứu trong [9, 14, 23, 24]. Sự mất ổn định nhiệt đàn
hồi, động lực học, tĩnh học ba chiều của trụ composite mỏng thuần nhất đã
được phân tích trong [22]. Thời gian gần đây, các bài toán ứng suất nhiệt của
trụ làm từ vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) cũng được nghiên cứu trong
[12, 13, 17, 20, 21, 25].
Trong các bài toán đã nghiên cứu ở trên chỉ có một số bài toán truyền
nhiệt dừng là đưa ra được nghiệm dạng giải tích, còn lại thường ở dạng số.
Các bài toán truyền nhiệt không dừng lại có ý nghĩa thực tiễn hết sức quan
trọng, tuy nhiên quá trình giải các bài toán này gặp khó khăn lớn về mặt toán
học. Cho đến nay, bài toán ứng suất nhiệt không dừng của trụ composite vẫn
chưa được các tác giả quan tâm đến.
Mục đích chính của luận văn là
1. Tiếp nối bài toán của N.T.T. Hà [3], tác giả luận văn đặt và giải bài
toán trụ composite chịu tác động của áp suất và trường nhiệt không dừng.
Vật liệu nền đàn hồi đồng nhất với các hạt độn hình cầu là một trong
những mô hình cơ bản nhất của cơ học vật liệu composite. Mô hình vật liệu

3


composite mà luận văn đề cập đến được giả thiết là có cấu trúc tuần hoàn và
được độn bởi những hạt hình cầu giống nhau [4].
2. Thông qua nghiệm tìm được, luận văn phân tích làm rõ vai trò của
thành phần hạt độn đến sự phân bố của chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong

trụ.
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1. Các phương trình cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính
Chương 2. Trụ composite chịu tác động của áp suất và nhiệt độ
Chương 3. Tính toán số
Qua đây cho em gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy PGS. TSKH
Nguyễn Đình Đức, thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện
luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong bộ môn Cơ
học và các thầy cô trong khoa Toán – Cơ – Tin học đã trang bị kiến thức giúp
em hoàn thành luận văn này.
Các kết quả chính của luận văn đã được trình bày và thảo luận tại Hội
nghị Khoa học toàn quốc “Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10”. Tác giả đã
nhận được những góp ý bổ ích từ các thành viên của Hội nghị. Tuy nhiên, do
bước đầu tiếp cận nghiên cứu khoa học về lĩnh vực vật liệu composite, chắc
chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong tiếp
tục nhận được những đánh giá và góp ý của các thầy cô giáo và các bạn để
luận văn được hoàn thiện hơn. Luận văn thực hiện với sự hỗ trợ của đề tài
trọng điểm QGTĐ 09.01 của Đại học Quốc gia Hà Nội.
Hà Nội, tháng 11 năm 2010
Học viên
Nguyễn Thị Thuý

4


CHƯƠNG 1
CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA
NHIỆT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
1.1 Quan hệ ứng suất, biến dạng và nhiệt độ [1, 2, 16]
Để nghiên cứu quá trình biến dạng đàn hồi nhiệt trong vật thể dưới tác

dụng của lực ngoài và đốt nóng không đều từ nhiệt độ Τ0 đến nhiệt độ Τ , ta
cần thiết lập các phương trình cơ bản của lý thuyết nhiệt đàn hồi tuyến tính.
Nếu tính đến hiệu ứng nhiệt thì các thành phần tenxơ biến dạng

ε kj (k , j = 1, 2, 3) có thể xem như tổng của hai thành phần:

ε

kj

= ε

(S )
kj

+ ε

(T )
kj

,

(1.1)

trong đó ε kj( S ) là biến dạng sinh ra do lực ngoài tác dụng, còn ε kj(T ) sinh ra do
trường nhiệt độ biến thiên. Các thành phần biến dạng sinh ra do sự thay đổi
nhiệt độ từ Τ0 đến Τ khi không có lực ngoài xác định bởi công thức:

ε kj( T ) = α (T − T 0 ) δ kj ,

(1.2)

ở đây δ kj là ký hiệu Kronecker với
⎧1 khi k = j
, δ kk = 3 .
≠
0
khi
k
j
⎩

δ kj = ⎨

Đặt k = j trong hệ thức (1.2) ta được

ε kk( T ) = 3α (T − T 0 ) ,

(1.3)

là độ thay đổi thể tích tương đối do nhiệt gây ra, vì vậy α được gọi là hệ số
dãn nở tuyến tính do nhiệt.
Biến dạng ε

(S )
kj

liên hệ với ứng suất σ kj theo hệ thức

ε kj( S ) =

⎞
1 ⎛
3λ
σδ kj ⎟ ,
⎜ σ kj −
2µ ⎝
3λ + 2 µ
⎠

5

(1.4)


trong đó λ , µ là các hằng số Lamé, σ =

σ nn
3

(n = 1, 2, 3) (lấy tổng theo n).

Khi đó định luật cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính có dạng

ε kj =

⎞
1 ⎛
3λ
σδ kj ⎟ + α (T − T0 )δ kj ,

⎜ σ kj −
2µ ⎝
3λ + 2 µ
⎠

(1.5)

từ đây ta biểu thị ngược lại ứng suất qua biến dạng

σ kj = λθδ kj + 2 µε kj − (3λ + 2 µ )α (T − T0 )δ kj ,

(1.6)

trong đó θ = ε kk (lấy tổng theo k).
Đây chính là mối liên hệ ứng suất, biến dạng và nhiệt độ trong bài toán
nhiệt đàn hồi tuyến tính.

1.2 Phương trình truyền nhiệt [1, 2, 16]
Tính truyền nhiệt trong môi trường đàn hồi đẳng hướng tuân theo định
luật truyền nhiệt Fourier
c j = −k

∂T
∂x j

( j = 1, 2 ,3 ),

(1.7)

trong đó c j (j = 1, 2, 3) là các thành phần của véc tơ dòng nhiệt truyền vào

trong một đơn vị diện tích mặt trong một đơn vị thời gian do truyền nhiệt; k là
hệ số truyền nhiệt.
Quá trình nhiệt đàn hồi là thuận nghịch, nên định luật thứ hai nhiệt
động học có dạng

dq = Tds

(1.8)

và phương trình năng lượng dẫn đến

dε kj
du 1
ds
= σ kj
+T ,
dt ρ
dt
dt
ở đây

(1.9)

dq
1 ∂c j
(lấy tổng theo j) là dòng nhiệt trên một đơn vị khối
=−
dt
ρ ∂x j

lượng; u, s và ρ lần lượt là năng lượng trong riêng, Entrôpi và mật độ khối.

6


Gọi f = u − Ts là hàm năng lượng tự do, nó là hàm của biến dạng và
nhiệt độ f = f (ε kj , T ) , đặt hàm f vào (1.9) dẫn đến
⎛
⎜ σ kj − ρ ∂f
⎜
∂ε kj
⎝

⎞ d ε kj
∂ f ⎞ dT
⎛
⎟
= 0,
− ρ⎜ s +
⎟
⎟ dt
∂
T
dt
⎠
⎝
⎠

từ đây suy ra

σ kj = ρ

∂f
,
∂ε kj

s=−

∂f
.
∂T

(1.10)

Phương trình (1.8) có thể viết dưới dạng

dq
ds ⎛⎜ ∂s dε kj ∂s dT ⎞⎟
1 ∂c j
≡−
=T
=
+
=0
dt
dt ⎜⎝ ∂ε kj dt
∂T dt ⎟⎠
ρ ∂x j

⎛ dε kj

⎞
∂s
= C ( C là tỷ
từ đây ta thấy khi biến dạng không đổi ⎜⎜
= 0 ⎟⎟ , thì T
∂T
⎝ dt
⎠
nhiệt khi biến dạng không đổi). Sử dụng các biểu thức của σ kj , s theo (1.10)
và C đưa phương trình trên về dạng

−

⎛ 1 ∂σ kj dε kj C dT ⎞
⎟⎟ = 0 .
= ρT ⎜⎜ −
+
∂x j
∂
T
dt
T
dt
ρ
⎝
⎠
∂c j

(1.11)

Thông qua (1.6) ta tính được

∂ σ kj
∂T

= −α (3 λ + 2 µ )δ kj .

(1.12)

Thay (1.7) và (1.12) vào (1.11) ta nhận được phương trình truyền nhiệt
của nhiệt đàn hồi
k∆ T = ρ C

∂T
∂θ
+ (3λ + 2 µ ) α T
,
∂t
∂t

(1.13)

∂2
(lấy tổng theo j) là toán tử Laplace.
trong đó ∆ =
∂x j ∂x j

Nếu trong vật thể có nguồn nhiệt q~ thì phương trình (1.13) được có dạng

7

∂T
∂θ
+ (3λ + 2µ ) αT
k∆T + q~ = ρC
.
∂t
∂t

(1.14)

Đây chính là phương trình vi phân phi tuyến đối với T cho ta mối liên
hệ giữa nhiệt độ T và tốc độ biến dạng

∂θ
.
∂t

1.3 Đặt bài toán theo chuyển dịch

Trong trường hợp tổng quát, bài toán nhiệt đàn hồi được thiết lập như
sau: cần phải xác định 16 ẩn hàm của tọa độ và thời gian: σ kj , ε kj , u k , T

(k , j = 1, 2, 3) thỏa mãn các phương trình dưới đây
• Ba phương trình chuyển động
∂σ kj

∂ 2uk
+ ρFk = ρ 2 ,

∂x j
∂t

(1.15)

trong đó Fk (k = 1, 2, 3) là các thành phần của véc tơ lực khối.

• Hệ phương trình xác định quan hệ giữa tenxơ ứng suất và tenxơ biến dạng

σ kj = λθδ kj + 2 µε kj − (3λ + 2 µ ) α (T − T0 )δ kj .

(1.16)

• Hệ thức Cauchy liên hệ giữa tenxơ biến dạng và tenxơ chuyển dịch

ε kj =

1 ⎛⎜ ∂ u k ∂ u j
+
2 ⎜⎝ ∂ x j ∂ x k

⎞
⎟.
⎟
⎠

(1.17)

∂T
∂θ

+ (3λ + 2 µ ) α T
.
∂t
∂t

(1.18)

• Phương trình truyền nhiệt

k∆ T + q~ = ρC

Thay (1.16) có tính đến (1.17) vào hệ phương trình (1.15) dẫn tới hệ ba
phương trình

∂ 2u j
∂(T − T0 )
∂θ
(λ + µ ) + µ∆u j + ρFj = ρ
+ (3λ + 2µ )α
.
∂x j
∂t
∂x j

(1.19)

Hệ phương trình gồm (1.18) và (1.19) lập thành hệ kín 4 phương trình
chứa 4 ẩn hàm: chuyển vị u1, u2, u3 và nhiệt độ T.

8

Lực khối, nguồn nhiệt nung nóng, dòng nhiệt trao đổi qua mặt S giới hạn
bởi miền thể tích V, cùng với điều kiện đầu là nguyên nhân gây ra trong vật
thể trường chuyển vị cũng như trường nhiệt độ kèm theo.
• Điều kiện biên cơ học có thể được cho bởi một trong 3 dạng điển hình sau
- Trên mặt biên cho trước chuyển dịch: u j = u bj

(1.20)

- Hoặc trên mặt biên cho trước lực mặt: σ kj n j = Σ k

(1.21)

- Hoặc một phần biên cho trước lực mặt, phần còn lại cho trước chuyển dịch
• Điều kiện biên nhiệt độ có thể cho bởi một trong 3 dạng sau [16]
- Nhiệt độ trên biên là hàm đã biết của tọa độ và thời gian:
T (x, t ) = f (x, t ) trên S,

(1.22)

trong đó x = (x1 , x2 , x3 ) .
- Dòng nhiệt qua mặt vật thể là hàm đã biết của tọa độ và thời gian
q (x , t ) = − k

∂T
trên S,
∂n

(1.23)

ở đây n là véc tơ pháp tuyến đơn vị của mặt biên S.
Khi q = 0, ta có điều kiện biên cách nhiệt
∂T
= 0 trên S.
∂n

(1.24)

- Quy luật trao đổi nhiệt đối lưu giữa mặt biên và môi trường xung quanh
−k

∂T
= β (T − ϑ ) trên S ,
∂n

(1.25)

trong đó β là hệ số trao đổi nhiệt và ϑ là nhiệt độ môi trường xung quanh.
• Điều kiện đầu là
u j ( x, t )

t = t0

= f j ( x ),

T ( x, t ) t = t = h( x ).
0

9

(1.26)


CHƯƠNG 2
TRỤ COMPOSITE CHỊU TÁC ĐỘNG CỦA ÁP SUẤT VÀ NHIỆT ĐỘ
2.1 Đặt bài toán

Xét một trụ dài vô hạn, được làm từ vật liệu composite với các hạt độn hình
cầu [5], có bán kính trong a và bán kính ngoài b, chịu áp suất trong p1 và áp suất
ngoài p 2 . Đồng thời trụ chịu tác động của trường nhiệt độ phẳng, đối xứng,
không dừng T(r, t).
Để đơn giản hóa bài toán, luận văn đưa vào các giả thiết sau:
Composite là vật liệu đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng; bỏ qua tương tác giữa
pha nền và pha hạt, các hằng số vật liệu độc lập với nhiệt độ. Trong trụ không
có nguồn nhiệt, bỏ qua các dòng nhiệt sinh ra do biến dạng và các hiệu quả
động lực do đốt nóng không dừng; ảnh hưởng của lực khối là không đáng kể.
Xét mặt cắt ngang của trụ có dạng như hình 1

P2

T(r,t)
P1

a
b

Hình 1.
Với những giả thiết đã nêu trong bài toán thì bài toán mà luận văn đang
giải quyết chính là bài toán nhiệt đàn hồi tựa tĩnh học, trong đó không tính

đến số hạng liên quan cơ học trong phương trình truyền nhiệt và số hạng quán

10


tính trong phương trình cân bằng. Bài toán nhiệt đàn hồi tựa tĩnh học có ý
nghĩa thực tiễn lớn lao vì trong các điều kiện trao đổi nhiệt thông thường, các
dòng nhiệt sinh ra do biến dạng và các hiệu quả động lực do đốt nóng không
dừng đều không lớn lắm [1].
Các mô đun đàn hồi và vật lý của composite với các hạt độn hình cầu
đã được một số tác giả quan tâm giải quyết. Dưới đây luận văn xin đưa ra các
công thức mà các tác giả đã thu được [5, 6, 27]

⎛
⎛ G ⎞ ⎞
⎜
15(1 − ν m ) ⎜⎜1 − c ⎟⎟ ξ ⎟
⎜
⎝ Gm ⎠ ⎟,
G = Gm ⎜1 −
Gc ⎟
⎟
⎜ 7 − 5ν m + 2(4 − 5ν m )
⎜
Gm ⎟
⎠
⎝
(K c − K m ) ξ
K = Km +
,

−1
4
⎛
⎞
1 + (K c − K m ) ⎜ K m + Gm ⎟
3
⎝
⎠
K c (3K m + 4Gm )
α = α m + (α c − α m )
,
K m (3K c + 4Gm ) + 4(K c − K m ) Gmξ

(2.1)

λ
9 KG
3K − 2G
=
, ν=
,
3K + G
2(λ + µ ) 6 K + 2G
Ei
Ei
Ki =
, Gi =
(i = m, c ),
3(1 − 2ν i )
2(1 + ν i )

E=

N

trong đó ξ =

∑V

j

j =1

V

là tỷ số phân bố thể tích các hạt độn (với N là số hạt độn

hình cầu, V j là thể tích hạt thứ j ( j = 1,2,...,N ), V là tổng thể tích của
composite); (λ , µ ) , G, K, α , E, ν lần lượt là hệ số Lamé, mô đun trượt, mô
đun nén thể tích, hệ số dãn nở nhiệt, mô đun đàn hồi Young, hệ số Poát-xông
của composite; các ký hiệu tương ứng có chỉ số dưới là m và c lần lượt là của
pha nền và pha hạt.

11


Từ các phương trình cơ bản tổng quát đã nêu ra trong chương 1, ta có
thể dẫn ra các hệ thức cơ sở trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z) đối với bài toán trên
như sau [1, 2]:
Do tính chất đối xứng suy ra mọi điểm chỉ chuyển dịch theo hướng
kính, trường chuyển vị có dạng

u r = u ( r , t ),

u z = uθ = 0 .

(2.2)

Hệ thức Cauchy (1.15) được viết thành

u
∂u r
, ε θθ = ,
∂r
r
= ε rz = ε θz = ε rθ = 0 .

ε rr =
ε zz

(2.3)

Mối liên hệ giữa ứng suất - biến dạng (1.16) bao gồm

σ rr = λθ + 2 µε rr − (3λ + 2 µ ) α (T − T0 ),
σ θθ = λθ + 2 µε θθ − (3λ + 2 µ ) α (T − T0 ),
σ zz = λθ − (3λ + 2 µ )α (T − T0 ),
τ r θ = τ rz = τ z θ , θ =

(2.4)

∂u u

+ .
∂r r

Khi bỏ qua biến dạng nhiệt do thay đổi thể tích và trong trụ không có nguồn
nhiệt thì phương trình tuyền nhiệt (1.18) trở thành

k∆ T = ρC
trong đó ∆ =

∂T
,
∂t

(2.5)

∂2 1 ∂
+
; k , ρ , C được giả thiết tính theo các công thức sau
∂r 2 r ∂r

k = (1 − ξ ) k m + ξk c ,

ρ = (1 − ξ ) ρ m + ξρ c ,
(1 − ξ ) C m ρ m + ξC c ρ c .
C=
(1 − ξ ) ρ m + ξρ c

12

(2.6)

Vì bỏ qua lực khối và số hạng quán tính nên hệ phương trình (1.15) trong hệ
toạ độ trụ được thu gọn thành
∂σ rr 1
+ (σ rr − σ θθ ) = 0 .
r
∂r

(2.7)

Thay (2.4) vào (2.7) có tính đến (2.3) ta được phương trình sau
∂ 2u 1 ∂u u
3λ + 2 µ ∂ T
.
+
−
=
α
∂r
λ + 2µ
∂r 2 r ∂r r 2

(2.8)

Đưa vào các ký hiệu
E1 =

E
ν

,
ν
=
, α1 = α (1 + ν ) .
1
1 −ν
1 −ν 2

(2.9)

Khi đó, phương trình (2.8) được viết lại dưới dạng

∂ ⎛1 ∂
(ru )⎞⎟ = (1 + ν 1 )α1 ∂T .
⎜
∂r ⎝ r ∂ r
∂r
⎠

(2.10)

Hệ phương trình gồm (2.5) và (2.10) cho ta hệ kín xác định trường nhiệt T và
trường chuyển vị u.
Điều kiện đầu và điều kiện biên đối với nhiệt độ được cho dưới dạng
T (r , 0 ) = [T (r , t )] t = 0 = T0 ,
⎡ ∂T β1
⎤
= 0,
⎢⎣ ∂ r − k (T − ϑ1 )⎥⎦
r=a

⎡ ∂T β 2
⎤
= 0,
⎢⎣ ∂ r + k (T − ϑ 2 )⎥⎦
r=b

(2.11)

trong đó ϑ1 , β1 là nhiệt độ môi trường xung quanh và hệ số trao đổi nhiệt trên
biên r = a; ϑ2 , β 2 là nhiệt độ môi trường xung quanh và hệ số trao đổi nhiệt
trên biên r = b (T0, ϑ1 ,ϑ2 được coi là hằng số).
Điều kiện biên tĩnh học là

σ rr r =a = p1 ,
σ rr r =b = p2 .

13

(2.12)


2.2 Phương pháp giải

Để giải được bài toán nhiệt đàn hồi tựa tĩnh có các hệ thức cơ sở nêu trên,
ta phải chia bài toán thành 2 giai đoạn
Giai đoạn đầu: Tìm trường nhiệt độ T (r , t ) bằng cách giải phương trình
truyền nhiệt không dừng (2.5) với điều kiện (2.11). Khi đó, thời gian t chỉ
đóng vai trò tham số trong phương trình (2.10).
Giai đoạn sau: Tìm chuyển vị u bằng cách giải phương trình (2.10) với
điều kiện (2.12).

2.2.1 Xác định trường nhiệt độ T (r , t )

Dưới đây luận văn xin trình bày chi tiết phương pháp xác định nghiệm
tổng quát của phương trình (2.5) với điều kiện (2.11) của tác giả Kovalenko
A.D. [16].
Phương trình (2.5) có thể được viết lại dưới dạng sau
∂T
∂ 2T
1 ∂T
,
+
=
2
∂τ
R ∂R
∂R

(2.13)

và điều kiện (2.11) trở thành

[T (R,τ )]τ = 0 = T0 ,
⎡ ∂T
⎤
= 0,
⎢⎣ ∂R − γ 1 (T − ϑ1 )⎥⎦
R = R1

(2.14)

⎡ ∂T
⎤
= 0.
⎢⎣ ∂R + γ 2 (T − ϑ2 )⎥⎦
R =1

trong đó
R=

βb
β b
ηt
r
a
k
, R1 = , τ = 2 , γ 1 = 1 , γ 2 = 2 , η =
.
b
b
k
k
ρC
b

Sử dụng phép biến đổi Laplace vào (2.13) và (2.14) ta được

14

(2.15)

⎛
T ⎞
d 2T * 1 dT ∗
+
+ ω 2 ⎜⎜ T ∗ − 0 ⎟⎟ = 0
2
R dR
p⎠
dR
⎝

(2.16)

và điều kiện biên khi đó là
⎡ dT ∗
⎛
ϑ ⎞⎤
= 0,
− γ 1 ⎜⎜ T ∗ − 1 ⎟⎟ ⎥
⎢
p ⎠⎦ R = R
⎝
⎣ dR
1
⎡ dT ∗
⎛
ϑ ⎞⎤
= 0,
+ γ 2 ⎜⎜ T ∗ − 2 ⎟⎟ ⎥

⎢
p ⎠⎦ R = 1
⎝
⎣ dR

(2.17)

trong đó
∞

∫

T = Te − pτ dτ , ω = i p (p là đại lượng phức, i 2 = −1 ).
∗

0

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (2.16) với điều kiện biên (2.17) có
dạng
T∗ =

T0
+ C1 J 0 (ω R ) + C 2Y0 (ω R ) ,
p

(2.18)

trong đó J 0 ( x) và Y0 ( x) lần lượt là các hàm Bessel cấp không loại 1 và loại 2.
(Chú ý rằng, các hàm Bessel cấp m loại 1 và loại 2 tương ứng được cho bởi
các công thức sau [4]

∞

(− 1)k

⎛ x⎞
J m ( x) =
⎜ ⎟
k! Γ ( m + k + 1) ⎝ 2 ⎠
m =0

∑

Y m( x ) = lim

υ →m

2k +m

,

J υ ( x ) cos(υx ) − J −υ ( x )
,
sin(υx )

(2.19)

∞

∫

trong đó Γ ( m + k + 1) = e − x x m + k dx được gọi là hàm Gama, Jυ (x) có dạng
0

giống với J m (x) với υ là số thực tùy ý).
C1, C2 được xác định từ điều kiện biên (2.17) và chú ý đến

15


dJ 0 ( x )
= − J 1 ( x ),
dx

dY0 ( x )
= −Y1 ( x ),
dx

(2.20)

trong đó J1 ( x) và Y1 ( x) được xác định theo (2.19) với m = 1.
Thay (2.18) vào (2.17) ta được
γ1
γ2
1 ⎧
⎡
⎤
⎡
⎤⎫
⎨γ 2 (ϑ 2 − T0 )⎢Y1 (ω R1 ) + Y0 (ω R1 ) ⎥ + γ 1 (ϑ1 − T0 )⎢Y1 (ω ) − Y0 (ω ) ⎥ ⎬,
Ω⎩

ω
ω
⎣
⎦
⎣
⎦⎭
⎡
⎤
⎡
⎤⎫
γ
γ
1 ⎧
C 2 = − ⎨γ 2 (ϑ 2 − T0 )⎢ J 1 (ω R1 ) + 1 J 0 (ω R1 ) ⎥ + γ 1 (ϑ1 − T0 )⎢ J 1 (ω ) − 2 J 0 (ω ) ⎥ ⎬,
Ω⎩
β
β
⎣
⎦
⎣
⎦⎭

C1 =

(2.21)
trong đó

Ω = p[γ 2 u0 (ω ) − ω u1 (ω )],
γ
γ

⎡
⎤
⎡
⎤
um ( x) = ⎢Y1 (ωR1 ) + 1 Y0 (ωR1 )⎥ J m ( x) − ⎢ J1 (ωR1 ) + 1 J 0 (ωR1 )⎥Ym ( x), (m = 0, 1).
ω
ω
⎦
⎣
⎦
⎣
(2.22)
Khi đó biểu thức (2.18) được viết thành
T∗ =

T0 A( p )
+
,
p B( p )

(2.23)

trong đó
A( p) = γ 2 (ϑ2 − T0 ) u0 (ωR) + γ 1 (ϑ1 − T0 ) w0 (ωR ),

B( p) = p[γ 2 u0 (ω ) − β u1 (ω )],

(2.24)

với hàm w m (x ) được xác định bởi

γ
γ
⎡
⎤
⎡
⎤
wm ( x) = ⎢Y1 (ω ) − 2 Y0 (ω ) ⎥ J m ( x) − ⎢ J1 (ω ) − 2 J 0 (ω ) ⎥Ym ( x ), (m = 0, 1). (2.25)
ω
ω
⎦
⎣
⎦
⎣
Theo lý thuyết hàm khai triển ta tìm T dưới dạng:
∞

T =

A( p )

∑ B ′( p
n =1

n

16

)

e pn τ ,

(2.26)


trong đó B ′( p n ) =

∂B ( p n )
( pn là nghiệm của phương trình B ( p ) = 0 ).
∂p

Phương trình B( p ) = 0 có các nghiệm là p1 = 0 và p n +1 = −ω n2 ( n = 1, 2,...) ,
với ωn là nghiệm của phương trình
ω u 1 (ω )
= γ2.
u 0 (ω )

(2.27)

Khi đó T được viết như sau
∞

T = T0 +

A(0)
+2
B ′(0)
n =1

∑

A( −ω n2 )
⎫
⎧ d
ω n ⎨ [γ 2 u 0 (ω ) − ωu1 (ω )]⎬
⎭ω = ω n
⎩ dω

2

e − ω nτ ,

(2.28)

trong đó

γ (ϑ − T0 ) u 0 (ω R ) + γ 1 (ϑ1 − T0 ) w0 (ωR )
A( 0 )
= lim 2 2
B ′( 0) ω → 0
γ 2 u 0 (ω ) − ω u1 (ω )
γ 1 R1 (1 − γ 2 ln R )
−T .
= ϑ 2 + (ϑ1 − ϑ 2 )
γ 2 + γ 1 R1 (1 − γ 2 ln R1 ) 0

(2.29)

Dựa vào (2.20) và
J ( x)

dJ1 ( x)
= J 0 ( x) − 1 ,
dx
x

dY1 ( x)
Y ( x)
= Y0 ( x) − 1 ,
dx
x

(2.30)

ta tính được
d
[γ 2 u 0 (ω ) − ω u1 (ω ) ] = −ω u 0 (ω ) − γ 2 u1 (ω ) +
dω
γ ⎞
⎛
+ ω ⎜ R1 − 12 ⎟ w0 (ω R1 ) − (1 + R1γ 1 )w1 (ω R1 ).
ω ⎠
⎝

(2.31)

Từ (2.22) suy ra
u1 (ω R1 ) = −

γ1
u (ω R1 ) .

ω 0

17

(2.32)


Phương trình (2.27) có thể được viết lại dưới dạng sau:
γ1
γ2
⎡
⎤⎡
⎤
+
−
ω
ω
ω
Y
(
R
)
Y
(
R
)
J
(
)
J 0 (ω ) ⎥ −

1
1
0
1
1
⎢⎣
⎥
⎢
ω
ω
⎦⎣
⎦
γ
γ
⎤⎡
⎤
⎡
− ⎢ J 1 (ω R1 ) + 1 J 0 (ω R1 ) ⎥ ⎢Y1 (ω ) − 2 Y0 (ω ) ⎥ = 0.
ω
ω
⎣
⎦⎣
⎦

(2.33)

Từ tính chất đã biết của hàm Bessel
J 1 ( x )Y0 ( x ) − J 0 ( x )Y1 ( x ) =

2

.
πx

(2.34)

Dẫn đến
u 0 (ω R1 ) = Y1 (ω R1 ) J 0 (ω R1 ) − Y0 (ω R1 ) J 1 (ω R1 ) = −

2
,
πω R1

(2.35)

kết hợp với (2.33) ta được
u 0 (ω ) = −

γ1
J (ω R1 )
2
ω 0
.
γ2
πω
J 1 (ω ) −
J (ω )
ω 0

J 1 (ω R1 ) +

Từ đó suy ra
γ2
J 0 (ω )
R1u 0 (ω R1 )
ω
.
=
γ1
u 0 (ω )
J 1 (ω R1 ) +
J (ω R1 )
ω 0
J 1 (ω ) −

(2.36)

Trong (2.25) cho x = ωR và sử dụng (2.33) và (2.36) ta thu được:
wm (ω R ) =

R1u 0 (ω R1 )
u m (ω R ) , (m = 0, 1).
u 0 (ω )

(2.37)

Theo công thức (2.37) ta có thể tính được các hàm w0 ( ω R ) , w0 ( ω R1 ) và
w1 ( ω R1 ) lần lượt là

R1u 0 (ω R1 )
u 0 (ω R ),

u 0 (ω )

R1u 02 (ω R1 )
,
u 0 (ω )

18

R1u 0 (ω R1 )
u1 (ω R1 ).
u 0 (ω )

(2.38)


Các hàm u1 (ω ) được tính từ (2.27) và hàm u1 (ω R1 ) được tính theo (2.32).
Thay các hàm u1 (ω ), w1 (ωR1 ), w0 (ωR ), w0 (ωR1 ), w1 (ωR1 ) vừa tính được
ở trên vào (2.24) và (2.31), rồi thay các kết quả thu được cùng với (2.29) vào
(2.28). Cuối cùng ta thu được biểu thức cho trường nhiệt độ T như sau:
∞
2
γ 1 R1 (1 − γ 2 ln R )
T = ϑ2 + (ϑ1 − ϑ2 )
−2
An u 0 (ω n R ) e − ω n τ ,
γ 2 + γ 1 R1 (1 − γ 2 ln R1 )
n =1

∑

(2.39)

trong đó

γ 2 (ϑ 2 − T0 ) u 0 (ω n ) + γ 1 R1 (ϑ1 − T0 ) u 0 (ω n R1 )
.
(γ 22 + ω n2 )u 02 (ω n ) − R12 (γ 12 + ω n2 )u 02 (ω n R1 )

An =

(2.40)

2.2.2 Xác định trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất

Bằng cách tích phân phương trình (2.10) liên tiếp hai lần, ta thu được
D
(1 + ν 1 )α1
u = D1r + 2 +
r
r

r

∫ [T − T (a, t )] rdr,

(2.41)

a

trong đó T (a, t ) = [T (r, t )]r = a ; D1 , D2 là các hằng số tích phân được xác định từ

điều kiện biên.
Thay (2.41) vào (2.3), rồi thay vào phương trình thứ nhất của (2.4) ta được
E
E D
Eα
σ rr = 1 [D1 + α1 (T0 − T (a, t ) )] − 1 22 − 1 2 1
1 −ν1
1 +ν1 r
r

r

∫ [T − T (a, t )] rdr,

(2.42)

a

Thay (2.42) vào điều kiện biên (2.10), ta xác định được các hằng số D1 , D2
b
⎤
1 −ν 1 ⎡ p1a 2 − p 2 b 2
E1α1
[
]
(
,
)
T
T

a
t
rdr
+
−
D1 =
⎢
⎥ − α1 [T0 − T (a, t )],
2
2
E1 ⎢ b 2 − a 2
b
a
−
⎥⎦
a
⎣
b
⎤
1 + ν 1 ⎡ ( p1 − p 2 )a 2 b 2 E1α1a 2
[
]
T
T
(
a
,
t
)
rdr

+
−
D2 =
⎢
⎥,
2
2
E1 ⎢ b 2 − a 2
b
a
−
⎥⎦
⎣
a

∫

∫

19

(2.43)


Thay (2.43) vào (2.41), ta thu được biểu thức của chuyển vị kính
u=

1 −ν1 p1a 2 − p2b2 1 +ν1 a 2b2 p1 − p2
r+
− α1[T0 − T (a, t )] r

E1
E1 b2 − a 2 r
b2 − a 2
+

α1 ⎧⎪(1 −ν1 )r 2 + (1 +ν1 ) a 2
⎨
r ⎪
⎩

b2 − a 2

(2.44)

⎫
[T − T (a, t )] rdr + (1 +ν1 ) [T − T (a, t)]rdr⎪⎬.
⎪⎭
a
a

b

r

∫

∫

Thay (2.44) vào (2.3) ta thu được các thành phần biến dạng tương ứng
1 − ν 1 p1a 2 − p2b 2 1 + ν 1 a 2b 2 p1 − p2

−
+ α1 [ν 1 (T − T (a, t ) ) + (T − T0 )]
E1 b 2 − a 2 r 2
E1
b2 − a 2

ε rr =

+

α1 ⎧⎪ (1 − ν 1 )r 2 − (1 + ν 1 )a 2
⎨
r2 ⎪
⎩

b2 − a 2

b

r

⎫

a

a

⎪⎭

⎪

∫ [T − T (a, t )] rdr − (1 + ν 1 )∫ [T − T (a, t )] rdr ⎬,

(2.45a)
ε θθ =

1 −ν 1 p1a 2 − p2b 2 1 +ν 1 a 2b 2 p1 − p2
+
− α1 [T0 − T (a, t )]
E1
E1 b 2 − a 2 r 2
b2 − a 2
+

α1 ⎧⎪ (1 −ν 1 )r 2 + (1 +ν 1 )a 2
⎨
r2 ⎪
⎩

b2 − a2

⎫
[T − T (a, t )] rdr + (1 +ν 1 ) [T − T (a, t )] rdr ⎪⎬.
⎪⎭
a
a

b

r

∫

(2.45b)

∫

Thay (2.45a) và (2.45b) vào (2.4) ta thu được biểu thức của các thành phần
ứng suất nhiệt trong trụ tương ứng là
p1a 2 − p2b 2
a 2b 2 p1 − p2
σ rr =
− 2 2
+
b2 − a 2
b −a
r2
E1α1 ⎧⎪ r 2 − a 2
+ 2 ⎨ 2 2
r ⎪⎩b − a

σ θθ

⎫
[T − T (a, t)] rdr − [T − T (a, t )] rdr⎪⎬,
⎪⎭
a
a

b

∫

r

∫

p1a 2 − p2b 2
a 2b 2 p1 − p2
=
+ 2
+
b2 − a2
b − a2 r 2
b
r
⎫
E1α1 ⎧ r 2 + a 2
2⎪
[
]
[
]
[
]
−
+
−
−
−
T

T
(
a
,
t
)
rdr
T
T
(
a
,
t
)
rdr
T
T
(
a
,
t
)
r
+ 2 ⎨ 2
⎬,
r ⎩b − a 2 a
⎪⎭
a

∫

(2.46a)

∫

20

(2.46b)


σ zz

2ν 1 p1a 2 − p2b 2 E1α1 ⎧⎪ 2ν 1
=
+
⎨
1 +ν 1 b 2 − a 2
1 +ν 1 ⎪ b 2 − a 2
⎩

b

⎫

a

⎪⎭

⎪
[

]
[
]
(
)
T
T
(
a
,
t
)
rdr
ν
T
T
(
a
,
t
)
T
T
−
−
−
−
−
⎬,
1

0
∫

(2.46c)
Thay biểu thức của T theo (2.39) vào các biểu thức (2.44) – (2.46), tính
các tích phân, cuối cùng ta đưa các biểu thức của các thành phần chuyển vị,
biến dạng và ứng suất về dạng sau
u=

1 −ν 1 p1a 2 − p2b 2
1 +ν 1 a 2b 2 p1 − p2
r
+
E1
r
E1 b 2 − a 2
b2 − a2
+

α1 ⎧⎪ (1 −ν 1 )r 2 + (1 +ν 1 )a 2 ⎛⎜
⎨
r ⎪⎩

⎛
+ (1 +ν 1 ) ⎜⎜ Q2 +
⎝

ε rr =

⎜ Q1 +

⎝

b2 − a2

2 ⎞
An M n e −ωnτ ⎟⎟
n=1
⎠

∞

∑

(2.47)

⎫⎪
2 ⎞
An Ln e −ωnτ ⎟⎟ − [T0 − T (a, t )] r 2 ⎬.
⎪⎭
n=1
⎠
∞

∑

1 − ν 1 p1a 2 − p2b 2 1 + ν 1 a 2b 2 p1 − p2
−
E1
E1 b 2 − a 2 r 2
b2 − a 2

+

α1 ⎧⎪ (1 − ν 1 )r 2 − (1 + ν 1 )a 2 ⎛⎜
⎨
r 2 ⎪⎩

ε θθ =

⎜ Q1 +
⎝

b2 − a 2

⎛
− (1 + ν 1 ) ⎜⎜ Q2 +
⎝

∞

2 ⎞
An M n e −ωnτ ⎟⎟
n=1
⎠

∑

(2.48a)

⎫⎪
2 ⎞

An Ln e −ωnτ ⎟⎟ + [ν 1 (T − T (a, t )) + (T − T0 )] r 2 ⎬,
⎪⎭
⎠
n=1
∞

∑

1 −ν 1 p1a 2 − p2b 2 1 +ν 1 a 2b 2 p1 − p2
+
E1
E1 b 2 − a 2 r 2
b2 − a 2

+

α1 ⎧⎪(1 −ν 1 )r 2 + (1 +ν 1 )a 2 ⎛⎜
⎨
r ⎪⎩
2

2

b −a

⎛
+ (1 +ν 1 ) ⎜⎜ Q2 +
⎝

⎜ Q1 +

⎝

2

∞

∑A L e
n n

n=1

−ωn2τ

2 ⎞
An M n e −ωnτ ⎟⎟
n=1
⎠

∞

∑

⎫
⎞
⎟ − [T0 − T (a, t )] r 2 ⎪⎬,
⎟
⎪⎭
⎠

21

(2.48b)


σ rr =

p1a 2 − p2b 2
a 2b 2 p1 − p2
−
+
b2 − a2
b2 − a2 r 2
E α ⎧⎪ r 2 − a 2
+ 12 1 ⎨ 2
r ⎪⎩ b − a 2

σ θθ

⎛
⎜ Q1 +
⎜
⎝

∞

∑A M e
n

n

− ωn2τ

n =1

⎞ ⎛
⎟ − ⎜ Q2 +
⎟ ⎜
⎠ ⎝

∞

∑A L e
n

n

− ωn2τ

n =1

⎞ ⎫⎪
⎟ ⎬,
⎟⎪
⎠⎭

(2.49a)

p1a 2 − p2b 2
a 2b 2 p1 − p2
=

+
+
b2 − a 2
b2 − a2 r 2
E1α1 ⎧ r 2 + a 2 ⎛⎜
+ 2 ⎨ 2
Q1 +
r ⎩b − a 2 ⎜⎝

∞

∑

An M n e

n=1

−ωn2τ

⎞ ⎛
⎟ + ⎜ Q2 +
⎟ ⎜
⎠ ⎝

⎫⎪
2 ⎞
An Ln e −ωnτ ⎟⎟ − [T − T (a, t )] r 2 ⎬,
⎪⎭
⎠
n=1

∞

∑

(2.49b)
∞
⎫⎪
⎞
2ν1 p1a 2 − p2b2 E1α1 ⎧⎪ 2ν 1 ⎛⎜
−ωn2τ ⎟
[
]
(
)
+
+
−
−
−
−
σ zz =
Q
A
M
e
ν
T
T
(
a

,
t
)
T
T
⎨
⎬,
1
1
0
n
n
⎟
1 +ν1 b2 − a 2
1 +ν1 ⎪⎩b2 − a 2 ⎜⎝
⎪⎭
n=1
⎠

∑

(2.49c)
trong đó Q1 , Q2 , M n , Ln được xác định theo các công thức sau
⎧
⎫
b2 − a2
+ b 2 ln R1 ⎪
⎪
1⎪
⎪

2
Q1 = ⎨γ 1γ 2 R1 (ϑ1 − ϑ 2 )
⎬,
2⎪
γ 2 + γ 1 R1 (1 − γ 2 ln R1 )⎪
⎪⎭
⎪⎩
⎧
⎫
r2 − a2
+ r 2 (ln R1 − ln R )⎪
⎪
1⎪
⎪
Q 2 = ⎨γ 1γ 1 R1 (ϑ1 − ϑ 2 ) 2
(2.50)
⎬,
2⎪
γ 2 + γ 1 R1 (1 − γ 2 ln R1 ) ⎪
⎪⎩
⎪⎭
2b
[bu 1 (ω n ) − au 1 (ω n R1 ) ] ( n = 1, 2,...),
M n = (b 2 − a 2 )u 0 (ω n R1 ) −

ωn

Ln = ( r 2 − a 2 )u 0 (ω n R1 ) −

2b

ωn

[ru1 (ω n R ) − au 1 (ω n R1 ) ] ( n = 1, 2,...).

Khi p1 = p2 = 0 ta thu được nghiệm chuyển vị, biến dạng và ứng suất
trong trụ composite chỉ chịu tác động của trường nhiệt độ phẳng, đối xứng,
không dừng.

22


CHƯƠNG 3
TÍNH TOÁN SỐ

Mục đích của chương này là khảo sát ảnh hưởng của thành phần hạt
độn đến sự phân bố của các thành phần chuyển vị, biến dạng và ứng suất của
trụ composite.
Sử dụng lập trình Matlab, giải phương trình (2.27) để tìm ra các nghiệm

ωn (n = 1, 2, …) ứng với mỗi giá trị của tỷ lệ hạt độn ξ (xem phụ lục 1).
Sau đó, thay các nghiệm ωn ứng với mỗi giá trị ξ vào các biểu thức
(2.47) – (2.50) và tiếp tục lập trình để tìm ra sự phân bố của chuyển vị, biến
dạng và ứng suất dựa trên các thông số đầu vào (xem phụ lục 2 – 3).
3.1 Thông số đầu vào

Xét ống hình trụ dài vô hạn, được làm từ vật liệu composite độn các hạt
hình cầu có các đặc trưng hình học, cơ học và vật lý như sau:
a = 10 cm; b = 10.5 cm; T0 = 290 0 K , p1 = 1.5 MPa , p2 = 2 MPa , β1 = 400
W/m2.K, β 2 = 200 W/m2.K.

Vật liệu nền PVC: Em = 3 GPa; ν m = 0.2 ; α m = 8 x10 −5 /K ; k m = 0.16
W/m.K; C m = 900 J/kg.K; ρ m = 1380 kg/m3.
Hạt Titan: Ec = 100 GPa ; ν c = 0.34 ; α c = 4.8 x10 −6 / K ; kc = 22.1
W/kg.K; Cc = 523 J/kg.K ; ρ c = 4500 kg/m3.
3.2 Các kết quả số và thảo luận

Để làm rõ vai trò của thành phần hạt độn, luận văn sẽ khảo sát sự phân
bố của chuyển vị, biến dạng và ứng suất của trụ composite theo thời gian và

23


bán kính tại các tỷ lệ hạt độn khác nhau ( ξ = 0.1, ξ = 0.2, ξ = 0.3 ) trong hai
trường hợp:
Trường hợp 1: Nhiệt độ môi trường bên trong trụ cao hơn nhiệt độ môi
trường bên ngoài trụ ((a): ϑ1 = 3300 K, ϑ2 = 3000 K ).

Trường hợp 2: Nhiệt độ môi trường bên ngoài trụ cao hơn nhiệt độ môi
trường bên trong trụ ((b): ϑ1 = 300 0 K, ϑ2 = 330 0 K ).
Các kết quả được thể hiện trên các bảng số và các đồ thị dưới đây.
3.2.1 Sự phân bố của chuyển vị

Sự phân bố của chuyển vị kính theo thời gian (bán kính) tại các tỷ lệ
hạt độn khác nhau được thể hiện trên bảng 1 và hình 2 (bảng 2 và hình 3).
Bảng 1. Chuyển vị kính ( u.10 −4 m ) theo thời gian tại r = 10.25 cm
t, s

1

10

50

(a)

(b)

(a)

(b)

u ξ =0.1

0.5699

0.4870

1.6256

u ξ =0.2

0.4696

0.4116

1.3604

u ξ =0.3

0.3974

0.3543

1.1180 0.8704

(a)

150
(b)

(a)

(b)

1.2914 2.6454

2.0624

2.6937

2.0989

1.0617 2.2386

1.6973

2.2829

1.7293

1.4064

1.9157

1.4382

1.8711

Bảng 2. Chuyển vị kính ( u.10 −4 m ) theo bán kính tại t = 1000 s
r, m

0.10
(a)

0.102
(b)

0.104

0.105

(a)

(b)

(a)

(b)

(a)

(b)

u ξ =0.1 2.7113 2.1391

2.6977

2.1061

2.6802

2.0799

2.6699

2.0692

u ξ =0.2 2.3007 1.7645

2.2866

1.7359

2.2712

1.7110

2.2629

1.6999

u ξ =0.3 1.9343 1.4706

1.9195

1.4444

1.9043

1.4206

1.8964

1.4097

(a): ϑ1 = 330 0 K, ϑ2 = 300 0 K , (b): ϑ1 = 300 0 K, ϑ2 = 330 0 K .

24


-4

x 10

chuyen vi kinh (m)

1
2
1
3

2

2

3
ο

ο

ο

ο

ϑ1 = 330 Κ, ϑ2 = 300 Κ

1

ϑ1 = 300 Κ, ϑ2 = 330 Κ
1. ξ = 0.1, 2. ξ = 0.2, 3. ξ = 0.3,

r = 10.25 cm
0

0

50

100

150

thoi gian (s)

Hình 2. Sự phân bố của chuyển vị kính theo thời gian tại r = 10.25 cm
-4

2.8

x 10

2.6

ο

ο

ϑ = 330 Κ, ϑ = 300 Κ
1

2

ο

ο

chuyen vi kinh (m)

ϑ = 300 Κ, ϑ = 330 Κ
2.4

1

2

1
1. ξ = 0.1
2. ξ = 0.2
3. ξ = 0.3

t = 1000 s

2
2.2

1
2

3
1.8

2
1.6

1.4
0.1

3
0.101

0.102

0.103

0.104

0.105

0.106

ban kinh (m)

Hình 3. Sự phân bố chuyển vị kính theo bán kính tại t = 1000 s
3.2.2 Sự phân bố của biến dạng

25