Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp a + d = 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

TĂNG THỊ ĐỨC

HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC
TUYẾN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d|

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI - 2016

2


Mục lục

1


Lời nói đầu
Toán học giải tích là một trong những chuyên ngành nghiên cứu quan trọng
hàng đầu của toán học hiện đại. Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi người
quan tâm, nghiên cứu. Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất nhiều

ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dương
học, hình học và nhiều lĩnh khác. Ngày nay các nhà khoa học vẫn đang cố gắng
khám phá ra những kết quả có tầm quan trọng nhằm nâng cao được ứng dụng
của nó.
Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về trường hợp đặc biệt biến đổi tích
phân Fourier và ứng dụng của nó trong quang học.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu.
Chương mở đầu là kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại biến đổi chính tắc
tuyến tính và các trường hợp biến đổi đặc biệt của biến đổi này, hàm riêng của
biến đổi Fourier phân thứ, một số kết quả đẫ được xây dựng về các hàm riêng
của LCT. Cuối cùng ta trình bày hai tính chất quan trọng sẽ được dùng trong
suốt luận văn.
Chương hai, phần đầu ta trình bày hàm riêng của LCT trong trường hợp
|a + d| = 2. Trong trường hợp này ta trình bày hàm riêng của LCT khi a + d = 2

và b = 0; a + d = −2 và b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}; a + d = 2 và b = 0;
a + d = −2 và b = 0. Phần hai, ta trình bày hàm riêng của LCT trong trường

hợp |a + d| > 2. Trong trường hợp này ta trình bày hàm riêng của LCT khi
{a, b, c, d} = {±σ −1 , 0, 0, ±σ}; a + d > 2; a + d < −2.

Trong chương cuối ta trình bày quan hệ của LCT với hệ quang học và giải
quyết bài toán tạo ảnh .
Các kết quả chính của luận văn dựa trên bài báo "Eigenfuntions of linear
3


canonical transform" Soo-Chang Pie và Jian-Jiun Ding.
Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn

tận tình của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học trường đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giúp
đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một
cách tốt đẹp. Bên cạnh đó còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô phòng
Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành các thủ tục bảo
vệ, các thầy cô và các bạn trong seminar Toán Giải Tích đã có những góp ý hữu
ích để tôi hoàn thành luận văn tốt nhất. Cuối cùng, tôi xin gửi lời biêt ơn tới
gia đình, người thân đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian học tập
và hoàn thành khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tăng Thị Đức

4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT)[1]-[4] là biến đổi tích phân với bốn
tham số {a, b, c, d}. Biến đổi LCT được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1970 [5],
[6]. Một số phép toán như, biến đổi Fourier (Fourier transform-FT), biến đổi
Fourier phân thứ (fractional Fourier transform-FRFT)[7]-[9], biến đổi Fresnel
[10] và phép toán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT. Trong một số bài
báo, phép biến đổi LCT được gọi là phép biến đổi Fourier afin (affine Fourier
transform-AFT) [2],[11], biến đổi Fresnel tổng quát [12], công thức Collins [6],
biến đổi ABCD [3] (ABCD transform), hoặc biến đổi Fourier và biến đổi Fresnel.
Phép biến đổi LCT được ứng dụng trong phân tích hệ rada, phân tích hệ môi
trường Grin, thiết kế máy lọc và nhiều ứng dụng khác.
Ta xét một số trường hợp đặc biệt của LCT. Ví dụ, hàm riêng của FRFT là

hàm Hermite được nhân thêm với exp(−t2 /2). Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} =
{1, b, 0, 1} (trường hợp này LCT trở thành biến đổi Fresnel) là hàm tuần hoàn

(hàm tuần hoàn này gọi là hiệu ứng Talbot[16],[17]). Trong trường hợp {a, b, c, d} =
{1/d, 0, 0, 1} (trong trường hợp này LCT trở thành phép toán co giãn) hàm riêng

là hàm Frac [18],[19] (fractal). Những hàm này bất biến với phép toán co giãn.
Trong luận văn này ta sẽ tổng quát các kết quả đã được xây đựng và suy ra
hàm riêng của LCT cho tất cả các trường hợp. Sau đó, hàm riêng của LCT được
sử dụng để giải thích hiện tượng tạo ảnh trong quang học.
Ta sử dụng ký hiệu OF (a,b,c,d) hoặc OF(a,b,c,d) cho biến đổi chính tắc tuyến tính.
Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức về
biến đổi chính tắc tuyến tính, hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ và một
số kết quả đã được xây dựng về các hàm riêng của LCT, tính chất suy ra hàm
5


riêng của LCT.

1.1

Biến đổi chính tắc tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1. Biến đổi chính tắc tuyến tính được định nghĩa như sau
(a,b,c,d)
OF
(f (t))

=

1 (i/2)(d/b)u2
e
.
i2πb

∞

2

e−i(u/b)t e(i/2)(a/b)t f (t)dt
−∞

nếu
b = 0,
√
2
(a,b,c,d)
OF
(f (t)) = d.e(i/2)cdu f (d.u) nếu b = 0,

(1.1)

.
LCT thỏa mãn tính chất cộng tính
(a ,b1 ,c1 ,d1 )

OF 1

(a ,b2 ,c2 ,d2 )

OF 2

(a ,b3 ,c3 ,d3 )

(f (t)) = OF 3

(f (t)),

trong đó
a3 b 3
a b
a b
= 2 2 . 1 1 .
c3 d3
c2 d 2
c1 d1

(1.2)

Tính chất cộng tính của LCT được suy ra từ phép toán ma trận trong công thức
(1.2), ta thường biểu diễn LCT với tham số {a, b, c, d} bởi ma trận
a b
.
c d

Tiếp theo ta trình bày một số phép toán là trường hợp đặc biệt của LCT
chẳng hạn như biến đổi Fourier (FT), biến đổi Fourier phân thứ (FRFT), biến
đổi Fresnel, phép toán co giãn.
a) Biến đổi Fourier (FT). Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) là biến đổi
Fourier khi {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0},

(0,1,−1.0)

OF

(f (t)) =

1 (i/2)(0/1)u2
e
i2π

(0,1,−1,0)
OF
(f (t))

√

(0,1,−1,0)
i.OF
(f (t))

∞
−∞

1
i2π

=

2

e−i.u.t .e(i/2)(0/−1)t .g(t)dt
∞

e−i.u.t .g(t)dt
−∞

= FT(f (t))
1
2π

=
6

∞

e−i.u.t .g(t)dt.
−∞


b) Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT). Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT)
là biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) khi {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α}
[7]-[9]
(cos α,sin α,− sin α,cos α)

OF

(f (t)) =

2
1

e(i/2)(cos α/ sin α).u
2π sin α

∞

×

OFα (f (t)) =

2

e−i(u/ sin α).t e(i/2)(cos α/ sin α)t f (t)dt,
−∞

1 − i cot α (i/2) cot α.u2
e
2π
∞

×

2

e−i. csc α.ut e(i/2) cot αt f (t)dt. (1.3)
−∞

Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) là biến đổi tổng quát của biến đổi Fourier
(FT). Biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn tính chất cộng tính
OFα OFβ (f (t)) = OFα+β (f (t)).

Biến đổi Fourier phân thứ với hiệu số pha không đổi
OFα (f (t)) =

√
(cos α,sin α,− sin α,cos α)
(f (t)).
eiα .OF

(1.4)

Biến đổi Fourier phân thứ có ứng dụng trong phân tích hệ quang học, giải
phương trình vi phân,...
c) Biến đổi Fresnel. Biến đổi Fresnel là phép toán mô tả việc truyền ánh sáng
đơn sắc qua môi trường trong suốt. Biến đổi Fresnel được định nghĩa như sau
z
OFresnel
(f (x, y))

ei2πz/λ
=
.
iλz

∞

∞

ei(π/λz)((u−x)
−∞

2

+(v−y)2 )

f (x, y)dxdy,

(1.5)

−∞

f (x, y) là hàm phân bố của nguồn ánh sáng đơn sắc, λ là bước sóng và z là

khoảng cách. Công thức (1.5) có thể được biểu diễn dưới dạng hợp thành của
hai biến đổi Fresnel
z
z
OFresnel
(f (x, y)) = OFresnel(y)
OFz resnel(x) (f (x, y)) .

Biến đổi chính tắc tuyến tắc tuyến tính LCT là biến đổi Fresnel 1-D khi

7


{a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1}
(1,zλ/2π,0,1)
OF
(g(t))

1 (i/2)(2π/zλ)u2
e
izλ

=

ei2πz/λ
√

=

iλz

−∞

ei(π/λz) .eu

.

2

e−i(2πu/zλ)t .e(iπ/zλ)t g(t)dt

∞

ei2πz/λ
√
.
iλz

z
OFresnel(t)
(g(t)) =

∞

2

−2ut+t2

−∞
∞

g(t)dt

2

ei(π/λz).(u−t) g(t)dt.

(1.6)

−∞

Biến đổi Fresnel 1-D với hiệu số pha không đổi
(1,zλ/2π,0,1)

z
OFresnel(t)
(f (x)) = eiπz/λ .OF

(f (t)).

(1.7)

Hệ thức liên hệ giữa tham số b và khoảng cách z là
zλ
.
2π

b=

(1.8)

d) Phép toán co giãn. Biến đổi chính tắc tuyến tính LCT là phép toán co giãn
khi {a, b, c, d} = {σ −1 , 0, 0, σ}
(σ −1 ,0,0,σ)

OF

(g(t)) =

√

σ.e(i/2).0.σ.u g(σ.u)

=

√

σ.g(σ.u).

2

(σ −1 ,0,0,σ)

σ
OSc
(g(t)) =

sgn(σ).OF

(g(t)).

Như vậy, biến đổi Fourier, biến đổi Fourier phân thứ, biến đổi Fresnel và phép
toán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT.

1.2

Hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ (FRFT)

Trong [7], Namias chỉ ra biến đổi Fourier phân thứ có hàm riêng
φm (t) =

1

−t
√ .e
m
2 m! π

2

/2

.Hm (t)

m ∈ [0, 1, 2, 3, ...],

(1.9)

ở đây Hm (t) là hàm Hermite cấp m
2

Hm (t) = (−1)m .et

dm −t2
e
,
dtm

và giá trị riêng tương ứng của φm (t) là exp(−imα)
OFα (φm (t)) = e−i.m.α .φm (t).
8

(1.10)


Hàm riêng của FRFT có tính chất trực giao
∞

φm (t).φn (t)dt = δm,n .
−∞

Công thức (1.9) chỉ là các hàm riêng của FRT khi α/2π không là số hữu tỷ. Khi
α/2π là số hữu tỷ biến đổi FRFT có hàm riêng khác công thức (1.9). Ví dụ, khi
α = 0 (trong trường hợp này biến đổi FRFT trở thành phép toán đồng nhất) tất

cả các hàm sẽ là hàm riêng của biến đổi FRFT. Khi α = π (trong trường hợp
này FRFT trở thành phép toán nghịch đảo) cả hàm chẵn và hàm lẻ là hàm riêng
của biến đổi FRFT và khi α = ±π/2 (trong trường hợp này FRFT trở thành FT
nghịch đảo) các hàm sau là hàm riêng của FRFT (xem [20, chương 22])
∞

1)
p=−∞

2) sin
3)
4)

x
√
2π
x
√
2π

5) sech

√

δ x − p 2π ;
π
x
2

∞

p=−∞

√
δ x − (p + 0.5) 2π ;

−1/2

;
−1/2

sgn(x);
π
.x .
2

Trong nhiều tài liệu (như [21] và [22]) trong trường hợp khi α =

2πN
M

trong đó

N,M là số nguyên thì FRFT cũng có các hàm riêng khác công thức(1.9).

Hàm riêng của FRFT (hàm riêng của FRFT được gọi là hàm Fourier phân
thứ) được ứng dụng trong phân tích hệ quang học và sự lan truyền sóng. Đặc
biệt, trong phân tích hiện tượng tạo ảnh [17] và hiện tượng cộng hưởng [23].
Ta cũng chỉ ra rằng FRFT là LCT với tham số {cos α, sin α, − sin α, cos α} được

nhân thêm với (eiα )1/2 [10]. LCT với tham số {cos α, sin α, − sin α, cos α} cũng có
các hàm riêng như công thức (1.9) nhưng giá trị riêng là (e−iα )1/2 . exp(−imα)
(cos α,sin α,− sin α,cos α)

OF

(φm (t)) = (e−iα )1/2 e−i.m.α .φm (t).

9


1.3

Một số kết quả đã được xây dựng về các hàm riêng của
LCT

Trong [12] hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) với tham số
{a, b, c, d}
φm (t) =

1

√ exp
σ.2m m! π

t
(1 + iτ )t2
,
.Hm
2
2σ
σ

−

m = 0, 1, 2, 3...

(1.11)

trong đó Hm (t) là hàm Hermite [18], có giá trị riêng tương ứng là
λm = exp(−iαm + εα ),

(1.12)

εα là hằng số phụ thuộc vào α và giá trị của σ, τ, α lần lượt là
σ2 =
τ =

2b
4 − (a + d)2
a−d
4 − (a + d)2

α = cos−1

,
,

a+d
.
2

Ngược lại, tham số gốc {a, b, c, d} biểu diễn bởi {σ, τ, α}
a = cos α + τ sin α,
c = −(τ 2 + 1).

sin α
,
σ2

b = σ 2 sin α,
d = cos α − τ sin α.

Vì vậy, hàm riêng của LCT được xây dựng như hàm riêng của FRFT nhưng
khác phép co giãn và phép nhân. Ta chú ý rằng có ba tham số {σ, τ, α} trong
công thức (1.11) và (1.12). Ba tham số {σ, τ, α} tương ứng với ba biến tự do của
LCT (LCT có bốn tham số {a, b, c, d} và một ràng buộc ad − bc = 1, bậc tự do
bằng 3). Tham số σ, τ xác định hàm riêng và tham số α xác định giá trị riêng.
Cần chú ý rằng, các kết quả trong [12] là phù hợp với trường hợp |a + d| < 2.
Tuy nhiên, trong trường hợp |a + d| < 2 các kết quả trong công thức (1.11)-(1.12)
cũng là chưa đầy đủ. Nội dung của luận văn sẽ trình bày hoàn chỉnh cho các
trường hợp hàm riêng của LCT. Hình 1.1 7 trường hợp để thảo luận hàm riêng
của LCT.

10

|a + d| < 2
a+d=2
b=0
a + d = −2

|a + d| = 2

a+d= 2
b=0
a + d = −2
a+d>2

|a + d| > 2
a + d < −2
Hình 1.1: 7 trường hợp để thảo luận hàm riêng của LCT.

Phần cuối chương trình bày lại các tính chất quan trọng được sử dụng trong
luận văn.

1.4

Một số tính chất quan trọng

Tính chất 1.4.1. Giả sử
ad − bc = a1 d1 − b1 c1 = a2 d2 − b2 c2 = 1,

và
a b

c d

−1

=

a1 b 1
c1 d 1

a2 b 2
c2 d2

a1 b 1
c1 d 1

=

a1 b 1
c1 d 1

a2 b 2
c2 d2

d1 −b1
.
−c1 a1

Khi đó
a + d = a2 + d 2 .

Chứng minh. Thật vậy,
a1 b 1
c1 d 1

=

a2 b 2
c2 d2

d1 −b1
−c1 a1

a1 a2 d1 + b1 c2 d1 − c1 a1 b2 − c1 b1 d2
−a1 a2 b1 − c2 b21 + a21 b2 + a1 a2 d2
.
a1 c1 d1 + c2 d21 − c21 b2 − c1 d1 d2
−a2 b1 c1 − b1 c2 d1 + a1 b2 c1 + a1 d1 d2
11

(1.13)


Khi đó,
a + d = a1 a2 d1 + b1 c2 d1 − c1 a1 b2 − c1 b1 d2
− a2 b1 c1 − b1 c2 d1 + a1 b2 c1 + a1 d1 d2
= a1 a2 d1 + a1 d1 d2 − b1 c1 a2 − b1 c1 d2
= a1 d1 (a2 + d2 ) − b1 c1 (a2 + d2 )
= (a2 + d2 )(a1 d1 − b1 c1 )
= a2 + d 2 .

Tính chất 1.4.2. Giả sử {a, b, c, d}, {a1 , b1 , c1 , d1 } và {a2 , b2 , c2 , d2 } có ràng buộc
như công thức (1.13) và
ad − bc = a1 d1 − b1 c1 = a2 d2 − b2 c2 = 1.

LCT với tham số {a, b, c, d} có thể được viết lại như sau
(a,b,c,d)

OF

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

(f (t)) = OF 1

(a ,b2 ,c2 ,d2 )

(d ,−b1 ,−c1 ,a1 )

OF 2

OF 1

(f (t))

.

(1.14)

Nếu ta biết e(t) là hàm riêng của LCT với tham số {a2 , b2 , c2 , d2 } với giá trị riêng
tương ứng λ, tức là
(a ,b2 ,c2 ,d2 )

OF 2
(a ,b1 ,c1 ,d1 )

OF 1

(e(t)) = λ.e(t),

(e(t)) sẽ là hàm riêng của LCT với tham số {a, b, c, d} với giá trị riêng

tương ứng cũng là λ, khi đó
(a,b,c,d)

OF

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

OF 1

(e(t))

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

= OF 1

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

= λ.OF 1

(a ,b2 ,c2 ,d2 )

OF 2

(e(t))

(e(t)).

Tính chất (1.4.2) là một tính chất quan trọng, đưa ra một cách xây dựng
hàm riêng cho các phép biến đổi LCT. Cụ thể, thay vì xây dựng hàm riêng cho
với bộ tham số {a, b, c, d} bất kỳ ta chỉ cần xây dựng hàm riêng cho LCT với
bộ tham số {a2 , b2 , c2 , d2 }. Trong đó các tham số {a2 , b2 , c2 , d2 } được lựa chọn sao
cho hàm riêng của LCT tương ứng là dễ dàng được xây dựng. Xuyên suốt phần
trình bày của luận văn, tính chất này sẽ được sử dụng để xây dựng cho hàm
riêng của LCT.
12


Tùy theo các trường hợp cụ thể của bộ tham số {a, b, c, d} mà ta lựa chọn các
bộ tham số {a2 , b2 , c2 , d2 } phù hợp. Cụ thể, trong các trường hợp luận văn xét
đến ta lựa chọn các bộ tham số tương ứng như sau:
1. a + d = 2, b = 0 ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } = {1, b, 0, 1}.
2. a + d = −2, b = 0 ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } = {−1, b, 0, −1}.
3. a + d > 2 ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } = {σ −1 , 0, 0, σ}.
4. a + d < −2 ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } = {−σ −1 , 0, 0, −σ}.
Trong đó hàm riêng của LCT tương ứng với các bộ tham số {1, b, 0, 1},{−1, b, 0, 1},

{σ −1 , 0, 0, σ}, {−σ −1 , 0, 0, σ} là dễ dàng được xây dựng.

Chương 2 của luận văn sẽ đi vào trình bày chi tiết việc xây dựng hàm riêng
cho LCT trong các trường hợp cụ thể.

13


Chương 2

Hàm riêng của biến đổi chính tắc
tuyến tính OF (a,b,c,d) cho trường hợp
|a + d| 2
2.1

Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2

Đối với trường hợp |a + d| = 2, chúng ta xét các trường hợp sau đây trong các
mục tương ứng
1. a + d = 2 và b = 0 (Mục 2.1.1).
2. a + d = −2 và b = 0 (Mục 2.1.2).
3. a + d = 2 và b = 0 (Mục 2.1.4).
4. a + d = −2 và b = 0 (Mục 2.1.5)
Trước tiên ta xét trường hợp |a + d| = ±2 và b = 0 vì chúng là trường hợp đơn
giản nhất. Sau đó, ta sử dụng kết quả này và Tính chất (1.4.1) để suy ra hàm
riêng cho trường hợp {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} và {−1, b, 0, −1}. Trong trường hợp
này LCT trở thành biến đổi Fresnel và biến đổi Fresnel kết hợp với phép toán
nghịch đảo.Ta biết hàm hầu tuần hoàn cũng là hàm riêng của biến đổi Fresnel
trừ hàm tuần hoàn. Ta sử dụng biến đổi Fresnel và biến đổi Fresnel kết hợp với
phép toán nghịch đảo để xét hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2.

14

2.1.1

Trường hợp a + d = 2 và b = 0

Từ ad − bc = 1, trong trường hợp a + d = 2 và b = 0, tham số {a, b, c, d} của
LCT có dạng
a b
1 0
=
.
c d
c 1

Trong trường hợp này LCT trở thành phép nhân
(1,0,c,1)

OF

(f (t)) = ei.c.u

2

/2

.f (u).

Hàm riêng của phép toán nhân có dạng
ϕ(t) =

√

∞

E −1
n=−∞

ở đây

An .δ(t − tn ),

∞

E=
n=−∞

|An |2 .

Nếu sn thỏa mãn điều kiện
2

2

2

2

· · · = e(i/2)c.s−1 = e(i/2)c.s0 = e(i/2)c.s1 = e(i/2)c.s2 = · · · ,

thì
(1,0,c,1)

OF

2

(ϕ(t)) = ei.c.s0 /2 .ϕ(u).

Do đó, ta kết luận hàm riêng của LCT trong trường hợp a + d = 2 và b = 0 phải
có dạng
φc,h
B (t)

=

√

∞

E −1 .
n=0

4nπ
+h
|c|

An .δ t −

∞

+

Bm .δ t +
m=0

0

h<

4π
,
|c|

4mπ
+h
|c|

, (2.1)

An , Bm tùy ý
∞

E=
n=0

|An |2 + |Bn |2 ,

với giá trị riêng tương ứng là
λc,h = exp
15

ich
.
2

(2.2)


2.1.2

Trường hợp a + d = −2 và b = 0

Trong trường hợp này ta có tham số {a, b, c, d} có dạng sau
a b
−1 0
=
.
c d
c −1

Khi đó, công thức của LCT trong trường hợp này trở thành
(1,0,c,1)

OF

(f (t)) = (−1)1/2 .e−i.c.u

2

/2

.f (−u).

Đây là sự tổ hợp của phép nhân và phép nghịch đảo. Hàm riêng trong trường
hợp này là đối xứng hoặc phản đối xứng
φc,h
C (t)

=

√

∞

E −1 .
n=0

An . δ t −

4nπ|c|−1 + h
+δ t+

4nπ|c|−1 + h

, (2.3)

−δ t+

4nπ|c|−1 + h

, (2.4)

hoặc
φc,h
C (t) =

√

∞

E −1 .
n=0

ở đây 0

h<

4π
c ,

An . δ t −

4nπ|c|−1 + h

An tùy ý
∞

E=2
n=0

|An |2 ,

với giá trị riêng tương ứng cho công thức (2.3) và (2.4) lần lượt là
λc,h = (−1)1/2 exp
λc,h = −(−1)1/2 exp
2.1.3

ich
,
2
ich
.
2

(2.5)

Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}

Ta biết rằng với tham số {a, b, c, d} là biến đổi 1-D Fresnel [xem công thức
(1.7) và (1.8)]. Biến đổi Fresnel mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong
suốt. Từ lý thuyết của hiệu ứng Talbot [16], [17], nếu giả thiết ánh sáng đầu vào
là hàm tuần hoàn f (x, 0). Khi đó, f (x, 0) = f (x + q, 0) sau khi qua môi trường
16


trong suốt cường độ ánh sáng ở khoảng cách N.z tương tự cường độ ánh sáng
lúc ban đầu

z=

2q 2

λ

|f (x, N.z)| = |f (x, 0)|,

khoảng cách Talbot, N là số nguyên.

Như vậy, kết hợp công thức (1.7) và (1.8) ta có thể kết luận e(t) tuần hoàn với
2

chu kỳ của q . Khi đó, hàm riêng của LCT với tham số {1, Nπq , 0, 1}, N là số
nguyên, có dạng
(1,Sq 2 /π,0,1)

OF

(e(t)) = τ.e(t) nếu e(t) = e(t + q).

(2.6)

Xét ma trận
A=

1
0

b
.
1

Đa thức đặc trưng của A

det(A − λE2 ) =

1−λ
0

b
= (λ − 1)2 .
1−λ

Đa thức có đủ nghiệm thực λ1 = λ2 = 1. Khi đó, phương trình trên có thể viết
lại như sau
(1,b,0,1)

OF

(e(t)) = e(t),

nếu e(t) = e t +

|b|π
N

(N là số nguyên).

(2.7)

Kết quả trên tìm được từ hiệu ứng Talbot. Kết quả này có thể tổng quát
được.
2

N
Giả sử g(t) = g(t + q) và g0 (v) là LCT của g(t) với tham số {1, qπM
, 0.1}, chu

N
kỳ ánh sáng đơn sắc qua khoảng cách zT M
, trong đó zT là khoảng cách Talbot,

khi đó [26]
(1,(q 2 N/πM ),0,1)

g0 (v) = OF
1
=
M

M −1

n=0

(g(t))

pq
g v−
.
M

M −1
2

ei(2π/M )(pn−N n ) .

(2.8)

n=0

Trong đó g0 (v) là tổ hợp tuyến tính của g(v −

pq
M ).

Đây được gọi là hiệu ứng

Talbot phân thứ (fractional Talbot effect) [26]-[28]. Hiệu ứng Talbot điểm là
trường hợp đặc biệt khi M = N = 1.
17


Từ công thức (2.8), ta có thể tổng quát kết quả trong công thức (2.6) và (2.7).
Giả sử [1, a1 , a2 , · · · , aM ]T là véc tơ riêng cuả ma trận sau







cM −1 cM −2 · · · c1
c0
cM −1 · · · c2 

c1
c0
· · · c3 


c0
c1
c2

..
.

..
.

..
.

...

.. 
.

cM −1 cM −2 cM −3 · · · c0
1
cp =
M

M −1
2

ei(2π/M )(pn−N n ) ,

(2.9)

n=0

với giá trị riêng tương ứng là λ.
Nếu g(x) = g(x + q) và
g(x) : g x +

q
M

:g x+

2q
M

: ... : g x +

= 1 : a1 : a2 : ... : aM −1 ,

x ∈ 0,

(M − 1)q
M

q
M

2

q
ta chỉ ra rằng g(x) là hàm riêng của LCT {1, N
πM , 0, 1} với giá trị riêng tương ứng

cũng là λ. Mặc dù, không có biểu thức đơn giản cho véc tơ riêng của ma trận
trong công thức (2.9) nhưng giá trị riêng có thể biểu diễn dưới dạng
λk = exp

−i2πN k 2
,
M

k = 0, 1, 2, ..., M − 1.

Trong công thức (2.7) ta tìm được hàm riêng với chu kỳ q =

|b|π
N

là hàm

riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1}. Ở đây, ta cũng chỉ ra hàm với chu kỳ
q=

|η|πM
cũng là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1} nếu thỏa mãn
N

ràng buộc đối xứng.
Trên thực tế, LCT với tham số {1, b, 0, 1} và biến đổi Fresnel cũng có một số
hàm riêng không tuần hoàn .
Ta áp dụng hàm riêng của LCT với tham số {1, 0, c, 1} trong mục (2.1.1) với
Tính chất (1.4.1) và (1.4.2) để suy ra hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1}.
Từ đó
1 b
0 1
1 0
0 −1
=
.
.
.
0 1
−1 0
−b 1
1 0

Như vậy, từ Tính chất (1.4.2) ta sử dụng biến đổi Fourier cho hàm riêng của LCT
với tham số {1, 0, −b, 1} thì cũng là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1}.
18


Khi đó, từ công thức (2.1) LCT với tham số {1, b, 0, 1} có hàm riêng như sau
ψ b,h (t) = FT φ−b,h
(t)
B
=

∞

1
.
2πE

An . exp
n=0

∞

+

− i.t

Bm . exp
m=0

ở đây 0

h<

4π
,
|b|

i.t

4nπ

+h
|b|

4mπ
+h
|b|

,

(2.10)

An , Bm tùy ý
∞

|An |2 + |Bn |2 ,

E=
n=0

(2.11)

với giá trị riêng tương ứng cũng là giá trị riêng của LCT với tham số {1, 0, −b, 1}
[xem công thức (2.2)]
−

λb,h = exp

ibh
.
2

(2.12)

Phương trình (2.12) là tổng quát của hàm riêng LCT với tham số {1, b, 0, 1}.
Phương trình (2.10) thì không tuần hoàn. Phương trình (2.10) gọi là hàm hầu
tuần hoàn.
zλ
Khi đó biến đổi Fresnel là biến đổi LCT với tham số {1, 2π
, 0, 1} nhân với hiệu

số pha không đổi [xem công thức (1.7) và (1.8)], từ công thức (2.10) hàm riêng
tổng quát của biến đổi Fresnel là
ψ

b,h

(t) =

1
.
2πE

∞

An . exp

i2πt

n=0

2n
+h
zλ
∞

+

Bm . exp
m=0

ở đây 0

h<

8π 2
zλ ,

− i2πt

2m
+h
zλ

, (2.13)

An , Bm tùy ý, E xác định bởi công thức (2.11) với giá trị riêng

tương ứng là
λz,h = exp

iπ.z izλh
−
,
λ
4π
z là khoảng cách truyền ánh sáng.

Từ định lý của hiệu ứng Talbot [16],[17] và hiệu ứng Talbot phân thứ [26]-[28] ta
biết rằng hàm tuần hoàn là hàm riêng của biến đổi Fresnel nhưng từ công thức
19


(2.13) ta tìm được một số hàm hầu tuần hoàn cũng là hàm riêng của biến đổi
Fresnel. Hàm không tuần hoàn sẽ giải thích hiện tượng tạo ảnh qua môi trường
trong suốt. Hiệu ứng Talbot là trường hợp đặc biệt của công thức (2.13) khi
h = 0,

An = Bm = 0,

n, m = N 2 , N là số nguyên.

Sau đó, ta sẽ thảo luận hàm riêng của LCT với tham số {−1, b, 0, −1}. Tương
tự như trên, ta có thể áp dụng hàm riêng của LCT với tham số {−1, 0, c, −1}
(2.1.2) và Tính chất (1.4.1) và (1.4.2). Từ đó
−1 b
0 1
−1 0
0 −1
=
.

.
,
0 −1
−1 0
−b −1
1 0

kết quả biến đổi của FT cho hàm riêng của LCT với tham số {−1, 0, −b, −1}
[xem công thức (2.3) và (2.4)] là hàm riêng của LCT với tham số {−1, b, 0, −1}
lần lượt là
µb,h (t) = FT φ−b,h
C (t)
=

1
.
2πE

∞

t

4nπ
+h ,
|b|

(2.14)

An sin

t

4nπ
+h ,
|b|

(2.15)

∞
2
n=0 |An | ]

.

An cos
n=0

hoặc
µb,h (t) = FT φ−b,h
C (t)
=

ở đây 0

h<

4π
,
|b|

1
.
2πE

∞

n=0

An tùy ý
E=

[

2

Phương trình (2.14) gọi là hàm đối xứng hầu tuần hoàn và phương trình (2.15)
gọi là hàm phản đối xứng hầu tuần hoàn . Giá trị riêng tương ứng lần lượt cho
công thức (2.14) và (2.15) lần lượt là
λb,h = (−1)1/2 exp

−ibh
,
2

λc,h = (−1)1/2 exp

−ibh
.
2

20


Như vậy, hàm riêng của LCT với tham số {±1, b, 0, ±1} đã được tìm ra, ta
có thể dùng kết quả này để suy ra hàm riêng của LCT cho các trường hợp
|a + d| = ±2 và b = 0.
2.1.4

Trường hợp a + d = 2 và b = 0

Trong trường hợp này, từ Tính chất (1.4.1), a2 + d2 = 0 và áp dụng Tính chất
(1.4.2) để tìm hàm riêng của LCT với tham số {a2 , b2 , c2 , d2 }. Thật vậy, ta thay
{1, η, 0, 1} bằng {a2 , b2 , c2 , d2 } trong công thức (1.13). Khi đó
a b
c d

=

a1 b 1
1 η
d1 −b1
.
.
c1 d1
0 1
−c1 a1

=

1 − a1 c 1 η

a21 η
.
−c21 η
1 + a1 c 1 η

Nghiệm tổng quát của phương trình trên là a1 , d1 tùy ý, a1 = 0 thỏa mãn
η=

b
,
a21

d−a
a1 ,
2b

c1 =

b1 =

2b(d1 − a−1
1 )
, khi a = d.
d−a

(2.16)

Khi a = d giá trị của {a, b, c, d} phải bằng {1, b, 0, 1}. Trường hợp này được thảo
luận trong phần sau.
Áp dụng Tính chất (1.4.2) ta kết luận rằng khi a + d = 2 và b = 0, nếu f (t) là

hàm riêng của LCT với tham số {1, ab2 , 0, 1}
(1,b/a21 ,0,1)

OF

(f (t)) = λ.f (t).

(2.17)

Khi đó, LCT với tham số {a, b, c, d} sẽ là hàm riêng
φD (t) = OF

a1 ,2b(d1 −a−1
1 )/(d−a),((d−a)a1 /2b),d1

(f (t)),

(2.18)

ở đây a1 , d1 tùy ý với giá trị riêng tương ứng cũng là λ. Từ mục (2.1.3), f (t) là
hàm tuần hoàn như
f (t) =

1
.
2πE

∞

An . exp

n=0

i.t

4na21 π
+h
|b|
∞

+

Bm . exp
m=0

0

h<

4πa21
,An , Bm
|b|

− i.t

4ma21 π
+h
|b|

, (2.19)

tùy ý, E xác định bởi công thức (2.11) và giá trị riêng tương

ứng xác định bởi công thức (2.17) là λ = exp(−ibh/2a21 ).
21


Từ công thức (2.16) ta có
1

a1 b 1
=
c1 d 1

d−a
2b

0
1

a1 0
.
0 a−1
1

1 a1 b 1
0 1

Vì thế, công thức (2.17) có thể viết lại như sau
φD (t) =

1

∞

2

i2πa21 b1

ei((d−a)/4b)t .

ei((t−x)

2

/2a1 b1 )

−∞

f

x
dx.
a1

Khi đó, ta được hàm mới g(t) và định nghĩa một tham số mới ρ như sau
g(t) =

1
f
|a1 |

t
,
a1

ρ = a1 b 1 =

2b(a1 d1 − 1)
.
d−a

Sau kết quả ở trên, ta có thể chỉ ra tham số a1 bất biến. Bởi vì a1 , d1 tùy ý,
nếu ta dùng tham số ρ thay cho a1 , d1 thì ρ tùy ý. Kết quả trong công thức
(2.17)-(2.19) được viết lại đơn giản như dưới đây.
Nếu g(t) là hàm riêng của LCT với tham số {1, b, 0, 1}
g(t) =

1
.
2πS

∞

Cn . exp

i.t

n=0

4nπ

+h
|b|
∞

+

Dm . exp
m=0

ở đây 0

h<

4πa21
|b|

− i.t

4mπ
+h
|b|

, (2.20)

, Cn , Dm tùy ý
∞

S=
n=0

(|Cn |2 + |Dn |2 ),

(2.21)

khi đó LCT với tham số {a, b, c, d} trong trường hợp a + d = 2 và b = 0 sẽ là hàm
riêng như
(b,ρ)

φD (t) = √

2
1
ei((d−a)/4b)t .
i2πρ

∞

2

ei((t−x)

/2ρ)

g(x)dx,

(2.22)

−∞

ở đây ρ được chọn tự do (nhưng khi a = d ta phải chọn ρ = 0). Giá trị riêng

tương ứng là
λb,h = exp

−

ibh
.
2

(2.23)

Vì vậy ,ta có thể kết luận khi a + d = 2 và b = 0 hàm riêng của LCT là phép
nhân của một hàm hầu tuần hoàn (hàm trong công thức (2.20) là hàm hầu tuần
hoàn). Đặc biệt, ta có thể chọn
ρ = 0,
22


cho nên
1
(x1 − x2 )2
lim √
exp i
ρ→0 i2πρ
2ρ

= δ(x1 − x2 ),

(2.24)

ta có thể đơn giản hàm riêng của LCT khi a + d = 2 và b = 0 , khi đó
2

(b,ρ)

φD (t) = ei((d−a)/4b)t .g(t).
2.1.5

Trường hợp a + d = −2 và b = 0

Trong trường hợp này ta chọn {a2 , b2 , c2 , d2 } bằng {−1, η, 0, −1} và công thức
(1.13) trở thành
a b
c d

=

a1 b1
−1 η
d1 −b1
.
.
c1 d 1
0 −1
−c1 a1

=

−1 − a1 c1 η
a21 η

.
2
−c1 η
−1 + a1 c1 η

(2.25)

Khi a = d nghiệm của {a1 , b1 , c1 , d1 } và η thì giống công thức (2.16). Khi a = d
giá trị của {a, b, c, d} phải bằng {−1, b, 0, 1}, trường hợp này đã thảo luận (2.1.3).
Từ tính chất (1.4.2) và công thức (2.25) ta có thể kết luận rằng
(−1,b/a21 ,0,1)

OF

(g(t)) = λ.g(t),

a1 tùy ý

g(t) là hàm riêng của LCT với tham số {−1, ab2 , 0, −1}. Khi đó
1

(a ,(2b(d1 −a−1
1 )/(d−a)),((d−a)a1 /2b),d1 )

φE (t) = OF 1

g(t),

d1 tùy ý

sẽ là hàm riêng của LCT khi a + d = 2 và b = 0 với giá trị riêng tương ứng cũng
là λ.
Ta có thể đơn giản kết quả ở trên trong trường hợp a + d = 2 và b = 0. Từ
cách tìm như công thức (2.20)-(2.23) ta được kết quả sau. Nếu a + d = −2 , b = 0
và g(t) là hàm riêng của LCT với tham số {−1, b, 0, −1}, g(t) thỏa mãn [từ công
thức (2.14) và (2.15)]
g(t) =

1
.
2πS

hoặc
g(t) =

1
.
2πS

∞

Cn cos t

4nπ|b|−1 + h ,

(2.26)

Cn sin t

4nπ|b|−1 + h ,

(2.27)

n=0

∞

n=0

23


ở đây 0

h<

4π
b

và Cn tùy ý
S=

∞
2
n=0 |Cn |

2

,

khi đó LCT với tham số {a, b, c, d} sẽ là hàm riêng
(b,ρ)

φE

(t) = √

2
1
ei((d−a)/4b)t
i2πρ

∞

ei((t−x)

2

/2ρ)

g(x)dx,

(2.28)

−∞

ở đây ρ tùy ý nhưng khi a = d ta phải chọn ρ = 0. Giá tri riêng tương ứng cho
công thức (2.26) và (2.27) lần lượt là
λ(b,h) = (−1)1/2 exp

−

ibh
,
2

(2.29)

λ(b,h) = (−1)1/2 exp

−

ibh
.
2

(2.30)

Phương trình (2.28)-(2.30) là hàm riêng và giá trị riêng của LCT khi a + d = −2
và b = 0. Từ công thức (2.26)-(2.28) ta có thể kết luận khi a + d = −2 và b = 0
hàm riêng của LCT là phép nhân của hàm hầu tuần hoàn đối xứng (hoặc hàm
hầu tuần hoàn phản đối xứng).
Để đơn giản công thức (2.28) ta chọn ρ = 0. Khi đó công thức (2.28) có thể
được đơn giản như
(b,ρ)

φE

2

(t) = ei((d−a)/4b)t .g(t).

Trong trường hợp này hàm riêng của LCT khi a + d = −2 và b = 0 được đơn
giản như phép nhân của hàm tuần hoàn đối xứng/ hàm hầu tuần hoàn phản đối
xứng.

2.2

Hàm riêng của LCT khi |a + d| > 2

Như trong nhiều trường hợp khác ta sử dụng Tính chất (1.4.1) và (1.4.2) để
tìm hàm riêng của LCT khi |a + d| > 2. Nếu ta muốn phân tích LCT với tham số
{a, b, c, d} như công thức (1.14), sau đó từ a2 + d2 = a + d trong trường hợp này

ràng buộc |a2 + d2 | > 2 phải thỏa mãn . Áp dụng Tính chất (1.4.2) hàm riêng
của LCT với tham số {a, b, c, d} đã được biết. Vì vậy, trong công thức (1.14) ta
chọn
{a2 , b2 , c2 , d2 } = {σ −1 , 0, 0, σ}

(σ > 0)

{a2 , b2 , c2 , d2 } = {−σ −1 , 0, 0, −σ}
24

khi a + d > 2,

(σ > 0)

khi a + d < 2.

Trước khi thảo luận hàm riêng của LCT khi |a + d| > 2 ta thảo luận hàm

riêng của LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ} và {−σ −1 , 0, 0, −σ} trước.
2.2.1

Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±σ −1 , 0, 0, ±σ}

Biến đổi LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ} là phép toán co giãn và LCT với tham

số {−σ −1 , 0, 0, −σ} là sự tổ hợp của phép toán co giãn và phép toán nghịch đảo
(σ −1 ,0,0,σ)

OF

(−σ −1 ,0,0,−σ)

OF

(f (t)) = σ 1/2 .f (σ.u),
(f (t)) = (−σ)1/2 .f (−σ.u)
(σ −1 ,0,0,σ)

= (−1)1/2 .OF

(f (−t)).

Gần đây, với phát triển của lý thuyết phân số, nhiều hàm với tính chất bất
biến co giãn như đưới đây đã được tìm thấy
f (σ.t) = λ.f (t).

(2.31)

Những hàm bất biến co giãn được gọi là hàm đồng dạng hoặc hàm Frac (fractal).
Những hàm thỏa mãn tính chất bất biến co giãn trong công thức (2.31) sẽ là
hàm riêng của LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ}.
Hàm bất biến co giãn đơn giản nhất là hàm hằng, hàm bậc thang, hàm xung,
hàm lũy thừa của t.
√
σ.C;
−1
√
(σ ,0,0,σ)
(s(t)) =
s(t) : OF
σ.s(u);
(σ −1 ,0,0,σ)

(a) hằng số
(b)

(s(t) = 1
(c)

khi

OF

t

0,

s(t) = 0

(σ −1 ,0,0,σ)

δ(t) : OF
(d)

(σ

tn : OF

−1

=

(2.33)

t < 0);

√
σ −1 .δ(u);

(2.34)

(tn ) = σ (1/2)+n .un .

(2.35)

(δ(t)) =

,0,0,σ)

khi

(2.32)

Có nhiều hàm bất biến co giãn khác là hàm riêng của LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ}
được phát triển từ lý thuyết phân số. Những hàm này thì cũng là hàm riêng của
LCT với tham số {σ −1 , 0, 0, σ}.
Ta thảo luận hàm riêng của LCT với tham số {−σ 1 , 0, 0, −σ}. Hàm riêng thỏa

mãn hai ràng buộc sau sẽ là hàm riêng của LCT với tham số {−σ −1 , 0, 0, −σ}
(a)

f (σ.t) = λ.f (t),

(b)
25

f (t) = ±f (−t).

(2.36)