PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Định nghĩa phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Công thức Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Điều kiện đủ để tồn tại gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.3

Tính tích phân Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.4

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
2.1

15

Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.1

Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.2

Tính chất đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.3

Các định lý dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.4

Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.5

Ảnh của hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2

Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3

Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1

Định lý về tích phân gốc

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2

Định lý về tích phân ảnh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4

Tích chập các hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.5

Tích phân Duhamel

36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và
tích phân

38
1


3.1

Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.1.1

Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.1.2

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng

. . . . .

39

3.1.3

Phương trình vi phân với hệ số là đa thức . . . . . . . . . . . .

42

3.1.4

Giải phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp tích
phân Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.1.5
3.2


PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
TÍCH PHÂN

Nguyễn Thị Bích Hạnh
Hà Nội, 2010


LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian làm luận văn, tôi đã nhận được sự hướng dẫn rất tận tình và
chu đáo của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Thầy đã cho tôi những lời khuyên quý
báu không chỉ về các vấn đề xoay quanh luận văn mà còn về phương pháp học tập và
nghiên cứu khoa học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
đã cung cấp cho tôi những tri thức khoa học cũng như những bài học cuộc sống giản
dị trong suốt thời gian học tập tại Khoa.
Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp
đã luôn ở bên động viên, khích lệ. Đó cũng là động lực rất lớn để tôi hoàn thành bản
luận văn này.
Hà Nội, ngày 06 tháng 12 năm 2010
Nguyễn Thị Bích Hạnh

i


LỜI MỞ ĐẦU
Leonard Euler là người đầu tiên đã đưa ra ý tưởng về phép biến đổi tích phân (vào
các năm 1763 và 1769), ông đã nghiên cứu các phép biến đổi này trong khi sử dụng
phép biến đổi Laplace ngược để giải các phương trình vi phân thường tuyến tính bậc
hai. Sau đó, Laplace cùng với Euler giới thiệu về phép biến đổi tích phân trong cuốn
sách Théorie analytique des probabilités (1812). Năm 1878, Spitzer là người đã gắn tên
của Laplace với biểu thức mà Euler đã sử dụng
b

esx Φ(s)ds.

y=
a

Biểu thức này có thể được coi là phương trình vi phân nếu thay y là một hàm chưa
biết của biến x.
Vào nửa cuối thế kỷ 19, phép biến đổi Laplace đã được mở rộng thành dạng phức
bởi Poincare và Pincherle, mở rộng cho trường hợp hai biến bởi Picard, được Abel và
nhiều người khác tiếp tục nghiên cứu.
Ứng dụng đầu tiên của phép biến đổi Laplace hiện đại xuất hiện trong tác phẩm của
Bateman (1910), người đã biến các phương trình trong các công trình của Rutherford
nghiên cứu về sự phân rã phóng xạ
dP
= −λi P,
dt
bằng cách đặt

∞

e−xt P (t)dt

p(x) =
0

và thu được phương trình biến đổi. Năm 1920, trong bài viết của mình về hàm theta,
Bernstein đã sử dụng biểu thức
∞

e−su Φ(u)du

f (s) =
0

và gọi đó là biến đổi Laplace. Vào những năm 1920 và 1930, Doetsch đã ứng dụng biến
đổi Laplace vào các phương trình vi phân, tích phân và phương trình vi - tích phân.
Nói về phép biến đổi Laplace, ta không thể không nhắc đến những công trình nghiên
cứu của Oliver Heaviside, người đã đưa ra một loạt những vấn đề liên quan đến phép
ii


tính toán tử, chủ yếu trong lĩnh vực vật lý. Và Bromwich đã đưa ra khái niệm về phép
biến đổi Laplace ngược
γ+i∞

1
X(t) =
2πi

ets κ(s)ds
γ−i∞

với γ thuộc bên phải các đường kỳ dị của κ.
Đến ngày nay, ta thấy phép biến đổi Laplace có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
của Toán học, Vật lý, Cơ học,... Chẳng hạn, trong Toán học, ta có thể sử dụng phép
biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương
trình vi tích phân,... (xem [4], [5], [6]). Tư tưởng cơ bản của phép tính toán tử là phép
thay các hàm được nghiên cứu (hàm gốc) bởi những hàm khác nào đó (hàm ảnh) theo
những quy tắc nào đó (mà thường là phép biến đổi Laplace).
Luận văn trình bày những kiến thức cô đọng nhất của phép biến đổi Laplace và ứng
dụng trong giải phương trình vi phân và tích phân. Luận văn được chia thành 3 chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• Chương 2: Các tính chất của phép biến đổi Laplace
• Chương 3: Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và

tích phân
Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong
nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn.

iii


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Các phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả
cách thức một đại lượng nhất định thay đổi theo thời gian, ví dụ như dòng điện trong
mạch điện, sự dao động của lớp màng đang rung, ... Các phương trình này thường đi
kèm với các điều kiện mô tả trạng thái ban đầu của hệ.
Một kỹ thuật rất mạnh để giải các bài toán này là phép biến đổi Laplace, biến đổi
phương trình vi phân ban đầu thành biểu thức đại số sơ cấp. Biểu thức đại số này lại
có thể được biến đổi thành nghiệm của bài toán ban đầu. Kỹ thuật này được gọi là
"phép biến đổi Laplace". Chương này xây dựng cơ sở lý thuyết và các tính chất cơ bản
của phép biến đổi Laplace.

1.1

Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử rằng f là một hàm nhận giá trị thực hoặc phức của biến
(thời gian) t > 0 và s là một tham số thực hoặc phức. Biến đổi Laplace của hàm f là
∞

τ
−st

F (s) = L(f (t)) =

e

e−st f (t)dt

f (t)dt = lim

τ →∞

0

(1.1.1)

0

nếu giới hạn này tồn tại (là một số hữu hạn).
Khi đó, tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ. Nếu giới hạn này không tồn tại, tích phân
được gọi là phân kỳ và f không có biến đổi Laplace. Ký hiệu L(f ) được gọi là biến đổi
Laplace của f và tích phân này là tích phân Riemann thông thường.
Tham số s thuộc miền xác định nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt phẳng
phức. Ta sẽ chọn s thích hợp để đảm bảo tính hội tụ của tích phân (1.1.1). Về mặt
toán học và kỹ thuật, miền xác định của s khá quan trọng. Tuy nhiên về mặt thực
1


hành, khi giải các phương trình vi phân, miền xác định của s thường bị bỏ qua. Khi s
là số phức, ta sử dụng ký hiệu s = x + iy.
Ký hiệu L là biến đổi Laplace tác động lên hàm f = f (t) và sinh ra một hàm mới,
F (s) = L(f (t)).

Ví dụ 1. Nếu f (t) ≡ 1 với t ≥ 0, thì
∞

e−st 1dt =

L(f (t)) =

1
s

(1.1.2)

0

với điều kiện là s > 0 (nếu s là số thực). Do đó ta có
1
(s > 0).
(1.1.3)
s
Nếu s ≤ 0 thì tích phân sẽ phân kỳ và sẽ không có biến đổi Laplace của hàm này. Nếu
1
ta lấy s là một biến phức, tính toán tương tự với (s) > 0, ta cũng được L(1) = .
s
Ví dụ 2. Tính L(eiωt ), L(e−iωt ).
L(1) =

Giải
Ta có

∞

iωt

L(e

−st iωt

)=

e

e

e(iω−s)t
dt = lim
τ →∞ iω − s

0

τ

=
0

1
,
s − iω

do lim |eiωτ e−sτ | = lim e−xτ = 0, với điều kiện x = (s) > 0.
τ →∞
τ →∞

1
Tương tự, L(e−iωt ) =
.
s + iω

1.2

Sự hội tụ

Mặc dù toán tử Laplace có thể được áp dụng cho rất nhiều hàm nhưng có những
hàm tích phân (1.1.1) không hội tụ.
2

Ví dụ 3. Đối với hàm f (t) = et ,
τ

τ
t2

2 −st

e−st e dt = lim

lim

τ →∞

et

τ →∞

0

dt = ∞

0

với mọi s, vì miền lấy tích phân tăng vô hạn khi τ → ∞.
Hai kiểu hội tụ của tích phân Laplace.
Hội tụ tuyệt đối: Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
τ

|e−st f (t)|dt

lim

τ →∞
0

2


tồn tại.
Nếu L(f (t)) hội tụ tuyệt đối thì
τ

τ
−st

e

|e−st f (t)|dt → 0

f (t)dt ≤

τ

τ

khi τ → ∞, với τ > τ. Điều này suy ra rằng L(f (t)) hội tụ.
Hội tụ đều: Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ đều với s thuộc miền xác định Ω ⊂ C
với bất kỳ ε > 0, tồn tại số τ0 > 0 sao cho nếu τ > τ0 , thì
∞

e−st f (t)dt < ε
τ

với mọi s ∈ Ω.

1.3

Điều kiện hội tụ

Chúng ta có thể tính biến đổi Laplace cho một số hàm, nhưng cũng có hàm không
2

có biến đổi Laplace, ví dụ như hàm et . Ta sẽ xây dựng một lớp các hàm có biến đổi
Laplace.
Định nghĩa 1.3.1. Điểm t0 được gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàm f nếu hai giới
hạn

lim− f (t) = f (t−
0 ) và

t→t0

lim+ f (t) = f (t+
0)

t→t0

+
tồn tại (là các số hữu hạn) và f (t−
0 ) = f (t0 ).

1
không liên tục tại t = 3, nhưng t = 3 cũng không phải là
t−3
điểm gián đoạn loại 1 vì lim− f (t) và lim+ f (t) đều không tồn tại.
Ví dụ 4. Hàm f (t) =

t→3

t→3

Ví dụ 5. Hàm
f (t) =

 2
e− t2

nếu

0

t > 0,

nếu t < 0.

có điểm gián đoạn loại 1 tại t = 0 và liên tục hầu khắp nơi.
Ví dụ 6. Hàm
f (t) =


cos 1

nếu

t

0

t > 0,

nếu t < 0.

gián đoạn tại t = 0, nhưng lim+ f (t) không tồn tại, vì vậy t = 0 không phải là điểm
t→0

gián đoạn loại 1 của hàm f .
3

Định nghĩa 1.3.2. Hàm f được gọi là liên tục từng mảnh trên [0, ∞) nếu:
(i) lim+ f (t) = f (0+ ) tồn tại;
t→0

(ii)f liên tục trên mỗi khoảng hữu hạn (0, b), có thể trừ ra một số hữu hạn các điểm
τ1 , τ2 , ..., τn trong (0, b) là các điểm gián đoạn loại 1 của hàm f .
Một kết quả quan trọng của tính liên tục từng mảnh là trên mỗi khoảng con hàm
f cũng bị chặn, tức là,
|f (t)| ≤ Mi , τi < t < τi+1 , i = 1, 2, ..., n − 1,
với các hằng số Mi hữu hạn.
Để tích phân hàm liên tục từng mảnh từ 0 đến b, người ta có thể lấy tích phân trên
mỗi khoảng con và lấy tổng của các tích phân này, tức là
τ1

b

f (t)dt =
0

τ2

f (t)dt + · · · +

f (t)dt +
0

b

τ1

f (t)dt
τn

vì f vừa liên tục và bị chặn trên mỗi khoảng con nên trên mỗi khoảng con đó đều xác
định tích phân Riemann.
Đặc điểm thứ hai của lớp các hàm có biến đổi Laplace mà chúng ta cần xem xét
đó là tốc độ tăng của hàm. Trong định nghĩa
∞

e−st f (t)dt,

L(f (t)) =
0

khi ta lấy s > 0 (hoặc

(s) > 0) thì tích phân sẽ hội tụ miễn là f không tăng quá

nhanh.
Định nghĩa 1.3.3. Hàm f được gọi là có bậc mũ α nếu tồn tại hằng số M > 0 và số
α sao cho với t0 ≥ 0,
|f (t)| ≤ M eαt , t ≥ t0 .
Rõ ràng hàm mũ eat có bậc mũ α = a, trong khi đó tn có bậc mũ α với α > 0 và
n ∈ N bất kỳ. Các hàm bị chặn như sin t, cos t, . . . có bậc mũ 0, còn e−t có bậc mũ −1
(xem [1]).
Chú ý rằng nếu β > α thì từ bậc mũ α suy ra bậc mũ β, vì eαt ≤ eβt , t ≥ 0.
Ta thường coi bậc mũ là giá trị nhỏ nhất của α mà |f (t)| ≤ M eαt , M > 0, t ≥ t0 ≥ 0.
Định lý 1.3.1. 1. Nếu f liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ α, thì biến đổi

Laplace L(f ) tồn tại và hội tụ tuyệt đối với

(s) > α.

2. F (s) = L(f (t)) là hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng phải
là bậc mũ của hàm f.
4

(s) > α, trong đó α


Chứng minh. 1. Trước tiên, do f có bậc mũ α nên
|f (t)| ≤ M1 eαt , t ≥ t0
với số thực α nào đó. Mặt khác, f liên tục từng mảnh trên [0, t0 ] và do đó bị chặn trên
đó, tức là
|f (t)| ≤ M2 , 0 < t < t0 .
Vì eαt có giá trị nhỏ nhất dương trên khoảng [0, t0 ], hằng số M có thể được chọn đủ
lớn sao cho
|f (t)| ≤ M eαt , t > 0.
Do đó,
τ

τ

|e−st f (t)|dt ≤ M
0

e−(x−α)t dt =

M

M e−(x−α)τ
−
.
x−α
x−α

0

Cho τ → ∞ và chú ý rằng

(s) = x > α ta được
∞

|e−st f (t)|dt ≤

M
.
x−α

(1.3.1)

0

Do đó tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối (và do đó hội tụ) với

(s) > α.

(s) > α là πα . Để chứng minh F (s) là hàm chỉnh hình

2. Ta ký hiệu nửa mặt phẳng

trong nửa mặt phẳng πα (hay F (s) ∈ H(πα )), ta cần chứng minh rằng hàm F (s) có
đạo hàm tại điểm bất kỳ của πα .
Ta lấy điểm tùy ý s = x + iy ∈ πα , (s) = x > α và xét tỷ số
∞

∆F (s)
F (s + ∆s) − F (s)
=
=
∆s
∆s

∆F (s)
. Ta có
∆s

e−(s+∆s)t − e−st
f (t)
dt
∆s

0
∞

f (t)e−st

=
0
∞

−st

=

f (t)e

e−∆st − 1
dt
∆s
1
(∆s.t)2 (∆s.t)3
− ∆s.t +
−
+ · · · dt
∆s
2!
3!

0
∞

f (t)e−st t − 1 +

=

∆s.t (∆s.t)2
−
+ · · · dt
2!

3!

0
∞

tf (t)e−st dt + δ,

=−

(1.3.2)

0

5


trong đó

∞

tf (t)e−st

δ = ∆s

t
∆s.t2
−
+ · · · dt.
2!
3!

0

Ta cần chứng minh rằng δ → 0 khi ∆s → 0. Thật vậy, ta có
∞

|δ| = |∆s|

tf (t)e

−st

t
∆s.t2
−
+ · · · dt
2!
3!

0
∞

t|f (t)||e−st |

≤ |∆s|
0
∞

2

< |∆s|

t |f (t)|e

−xt

t
|∆s|.t2
+
+ · · · dt
2!
3!
|∆s|t (|∆s|.t)2
+
+ · · · dt
1+
1!
2!

0

e|∆s|t
∞

t2 e−(x−α−ε)t .e|∆s|t dt

< M |∆s|
0
∞

t2 e−(x−α−ε−|∆s|)t dt,

= M |∆s|
0

trong đó ta sử dụng ước lượng |f (t)| ≤ M e(α+ε)t với α là bậc mũ của f , còn ε > 0 là
số bé tùy ý. Bằng phép tích phân từng phần ta có thể chứng minh rằng tích phân
∞

e−βt t2 dt
0

hội tụ và bằng

2
nếu β > 0. Do đó khi
β3
x − α − ε − |∆s| > 0 ⇔ (s) = x > α + ε + |∆s|

thì

∞

t2 e−(x−α−ε−|∆s|)t dt =

2
.
(x − α − ε − |∆s|)3

0

Như vậy
δ<

2M |∆s|
(x − α − ε − |∆s|)3

và do đó δ → 0 khi ∆s → 0 và từ (1.3.2) thu được
∞

∆F (s)
lim
=−
∆s→0
∆s

tf (t)e−st dt
0

6


hay là

∞

tf (t)e−st dt.

F (s) = −
0

Do vậy hàm F (s) có đạo hàm tại điểm s bất kỳ của nửa mặt phẳng (s) > α + ε + |∆s|
cũng tức là trong nửa mặt phẳng

(s) > α + ε (vì ∆s có thể lấy bé tùy ý).

Vì ε > 0 bé tùy ý nên kết luận đúng trong nửa mặt phẳng πα : (s) > α.
Ví dụ 7. Cho f (t) = eat , a thực. Hàm này liên tục trên [0, ∞) và có bậc mũ a. Khi đó
∞

e−st eat dt =

at

L(e ) =

e−(s−a)t
−(s − a)

0

Kết quả trên cũng đúng với a là số phức và

∞

=
0

1
s−a

( (s) > a).

(s) > (a).

Ví dụ 8. Áp dụng tích phân từng phần đối với hàm f (t) = t (t ≥ 0), hàm này liên
tục và có bậc mũ, ta được
∞

L(t) =

−te−st
te−st dt =
s

0

với điều kiện là

∞
0

∞

1
+
s

1
1

e−st dt = L(1) = 2 ,
s
s
0

(s) > 0.

Thực hiện tích phân từng phần hai lần, ta được
L(t2 ) =

2
s3

( (s) > 0).

Bằng quy nạp, ta có thể tính được
L(tn ) =

n!
sn+1

(1.3.3)

với n = 1, 2, 3, ...
Định nghĩa 1.3.4. Lớp L là tập tất cả các hàm nhận giá trị thực hoặc phức mà xác
định trên khoảng mở (0, ∞) và biến đổi Laplace của mỗi hàm (được định nghĩa theo
nghĩa của tích phân Riemann) tồn tại với giá trị nào đó của s.
Như vậy, nếu hàm f thuộc lớp L thì:
• f (t) ≡ 0 nếu t < 0;
• Khi t ≥ 0, trên mọi đoạn thẳng hữu hạn của trục t, hàm f liên tục từng mảnh

và lim+ f (t) = f (0+ );
t→0

7


• Hàm f có bậc mũ α.
∞

e−st f (t)dt là hàm ảnh.

Khi đó, ta gọi hàm f (t) là hàm gốc và hàm F (s) = L(f (t)) =
0

Ta đã biết rằng nếu F (s) = L(f (t)) tồn tại với giá trị s0 nào đó, thì F (s) cũng tồn tại
với mọi s mà

(s) > (s0 ), tức là biến đổi Laplace cũng tồn tại trong nửa mặt phẳng

phải. Theo định lý (1.3.1), các hàm liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ thì
thuộc lớp L. Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đã đúng.
2

2

Ví dụ 9. Xét hàm f (t) = 2tet cos(et ).
Hàm này liên tục trên [0, ∞) nhưng không có bậc mũ. Tuy nhiên, biến đổi Laplace của
f (t),
∞
2

2

e−st 2tet cos(et )dt,

L(f (t)) =
0

tồn tại do tích phân từng phần thu được
∞

∞
t2

L(f (t)) = e−st sin(e )

2

0

2

e−st sin(et )dt = − sin(1) + sL(sin(et )) ( (s) > 0).

+s
0
2

và biến đổi Laplace L(sin(et )) tồn tại theo định lý (1.3.1). Ta có một hàm liên tục,
không có bậc mũ nhưng vẫn có biến đổi Laplace.

Định lý 1.3.2 (Điều kiện cần). Nếu f liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ
α, thì
F (s) = L(f (t)) → 0
khi

(s) → ∞.

Chứng minh. Theo (1.3.1) ta có
∞

e−st f (t)dt ≤

M
,
x−α

( (s) = x > α),

0

cho x → ∞ thu được điều cần chứng minh.
Nhận xét: Ta thấy nếu biến đổi Laplace tồn tại, tức là f ∈ L, thì F (s) → 0 khi
s − 1 es
(s) → ∞. Ngược lại, mọi hàm F (s) mà F (s)
0 khi (s) → ∞, ví dụ như
, ,
s+1 s
hoặc s2 không thể là biến đổi Laplace của bất kỳ hàm f nào.
Hội tụ đều. Các hàm f mà liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ thì tích phân
Laplace hội tụ đều.

Thật vậy, giả sử rằng
|f (t)| ≤ M eαt ,
8

t ≥ t0 .


Khi đó
∞

∞

e−xt |f (t)|dt

e−st f (t)dt ≤
t0

t0

∞

e−(x−α)t dt

≤M
t0

=

M e−(x−α)t0
,

x−α

với điều kiện là x = (s) > α. Lấy x ≥ x0 > α, ta suy ra
M e−(x−α)t0
M
≤
e−(x0 −α)t0 .
x−α
x0 − α

(1.3.4)

Bằng cách chọn t0 đủ lớn, ta có thể làm cho vế phải của (1.3.4) nhỏ tùy ý; tức là, với
bất kỳ ε > 0, tồn tại T > 0 sao cho
∞

e−st f (t)dt < ε,

với t0 ≥ T.

(1.3.5)

t0

với mọi s mà
đều trong miền

1.4

(s) ≥ x0 > α. Đây chính là điều kiện cần để tích phân Laplace hội tụ

(s) ≥ x0 > α.

Phép biến đổi Laplace ngược

Để ứng dụng biến đổi Laplace vào các bài toán vật lý, ta cần phải nghiên cứu biến
đổi Laplace ngược. Nếu L(f (t)) = F (s) thì phép biến đổi Laplace ngược được ký hiệu
bởi
L−1 (F (s)) = f (t),

t ≥ 0,

mà ánh xạ ảnh Laplace của một hàm trở về hàm ban đầu.

1.4.1

Công thức Mellin

Định lý 1.4.1 (Mellin). Giả sử hàm chỉnh hình F (s) trong miền

(s) > α0 là ảnh

của hàm f (t) trơn từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của tia [0, ∞) với bậc mũ α0 . Khi
đó tại các điểm liên tục của hàm f (t) ta có
x+i∞

1
f (t) =
2πi

est F (s)ds,

x−i∞

Công thức (1.4.1) được gọi là công thức Mellin.
9

x > α0 .

(1.4.1)


Chứng minh. Giả sử x > α0 . Ta xét hàm bổ trợ
φ(t) = e−xt f (t).
Hàm φ(t) có các tính chất sau đây:
1. Hàm φ(t) trơn từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của tia [0, ∞).
2. Hàm φ(t) khả tích tuyệt đối. Thật vậy, ta có
∞

∞

|e−xt f (t)|dt

|φ(t)|dt =
0

0
∞

≤M

∞

e

−xt (α0 +ε)t

e

e−(x−α0 −ε)t dt.

dt = M

0

(1.4.2)

0

Chọn ε > 0 đủ bé sao cho x − α0 − ε > 0. Khi đó tích phân ở vế phải của (1.4.2) hội
tụ. Điều này có nghĩa là hàm φ(t) khả tích tuyệt đối trên [0, ∞).
Từ hai điều kiện vừa chứng minh suy ra hàm φ(t) thỏa mãn mọi điều kiện để biểu diễn
hàm thành tích phân Fourier.
∞

∞

φ(u)ei2πv(t−u) dudv

φ(t) =

(đặt ξ = 2πv)

−∞ −∞
∞ ∞

=

1
2π

φ(u)eiξ(t−u) dudξ.

(1.4.3)

−∞ 0

(vì φ(ξ) = 0 khi ξ < 0). Thay biểu thức φ(t) = e−xt f (t) vào (1.4.3) ta có
∞

1
e−xt f (t) =
2π

∞

−∞

hay

0

∞

1
f (t) =
2π

f (u)e−xu e−iξu du,

eiξt dξ

∞
t(x+iξ)

e

f (u)e−u(x+iξ) du.

dξ

−∞

0

Đặt s = x + iξ, ds = idξ ta thu được
∞

x+i∞

1
f (t) =

2πi

f (u)e−su du

st

e ds
0

x−i∞

F (s)
x+i∞

1
=
2πi

est F (s)ds.
x−i∞

10


Như vậy, với nghĩa nào đó công thức Mellin là phép biến đổi Laplace ngược vì nó
biểu diễn gốc qua ảnh đã cho.

1.4.2

Điều kiện đủ để tồn tại gốc

Công thức Mellin (1.4.1) cho phép ta tìm gốc của một hàm ảnh bất kỳ cho trước.
Nhưng đối với hàm chỉnh hình bất kỳ đã cho F (s), ta không thể nào biết trước nó có
phải là hàm ảnh của một hàm nào đó hay không?
Định lý sau về điều kiện đủ để hàm biến phức F (s) là ảnh của hàm gốc f (t) nào đó.
Định lý 1.4.2 (Điều kiện đủ để tồn tại gốc). Giả sử hàm F (s) thỏa mãn các điều kiện
i. Hàm F (s) chỉnh hình trong nửa mặt phẳng
ii. Trong miền

(s) > α0 ;

(s) ≥ x > α0 , hàm F (s) dần đều đến 0 đối với arg s ∈

−

π π
,
2 2

khi

|s| → ∞;
iii. Với mọi giá trị

(s) = x, x > α0 tích phân suy rộng sau đây hội tụ
∞

|F (x + iy)|dy ≤ M.
−∞

Khi đó với

(s) > α0 hàm F (s) là ảnh và hàm gốc của nó được xác định bởi tích phân

Mellin
x+i∞

1
f (t) =
2πi

est F (s)ds,

x > α0 .

(1.4.4)

x−i∞

Công thức (1.4.4) được gọi là công thức nghịch đảo.
Định lý 1.4.3 (Định lý duy nhất). Nếu hàm F (s) là ảnh của các gốc f (t) và f1 (t) thì
các gốc này bằng nhau tại mọi điểm mà chúng liên tục và chúng chỉ sai khác nhau bởi
các giá trị của chúng tại các điểm gián đoạn.
Chứng minh. Theo định lý Mellin, giá trị của gốc tại điểm t bất kỳ mà tại đó hàm
f (t) liên tục được biểu diễn qua ảnh F (s) nhờ công thức Mellin. Giả sử f1 (t) là gốc chỉ
khác f (t) bởi các giá trị tại các điểm gián đoạn của f (t). Khi đó theo định lý Mellin,
gốc f1 (t) có ảnh F (s). Từ đó suy ra rằng mỗi ảnh F (s) đều tương ứng với vô số gốc
phân biệt nhau chỉ bởi giá trị tại các điểm gián đoạn.
Tức là nếu ta chỉ xét các hàm liên tục trên [0, ∞) thì biến đổi Laplace ngược
L−1 (F (s)) = f (t)

11


được xác định một cách duy nhất.
Vì rất nhiều hàm mà chúng ta quan tâm là nghiệm của các phương trình vi phân và
do đó liên tục, giả thiết trên hoàn toàn được xác định.

1.4.3

Tính tích phân Mellin

Trước hết, ta nhắc lại Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư và Bổ đề Jordan.
Định lý 1.4.4 (Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư). Giả sử hàm f (z) chỉnh hình
trong miền D ∪ ∂D ⊂ C trừ ra một số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1 , a2 , . . . , an
nằm trong D (nhưng không nằm trên ∂D). Khi đó
n

f (z)dz = 2πi

Res[f ; ak ]
k=1

∂D

Bổ đề 1.4.1 (Bổ đề Jordan). Giả sử hàm f (z) chỉnh hình trong mặt phẳng phức trừ
ra một số hữu hạn điểm bất thường cô lập và dần đều đến 0 đối với arg z khi |z| → ∞.
Khi đó
1. Nếu λ < 0 và γ1 (R) là cung tròn {z : |z| = R, (z) > δ} trong nửa mặt phẳng
bên phải

(z) > δ thì
f (z)eλz dz

lim

R→∞

= 0.

γ1 (R)

2. Nếu λ > 0 và γ2 (R) là cung tròn {z : |z| = R, (z) < δ} trong nửa mặt phẳng
bên trái

(z) < δ thì
f (z)eλz dz

lim

R→∞

= 0.

γ2 (R)

Định lý 1.4.5. Giả sử hàm F (s) biến phức s thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Hàm F (s) được cho trong nửa mặt phẳng

(s) = x > α0 và thỏa mãn các điều kiện

i − iii của định lý (1.4.2) là có thể thác triển giải tích ra toàn mặt phẳng phức s.
2. Thác triển giải tích của hàm F (s) vào nửa mặt phẳng

(s) ≤ α0 là thỏa mãn các

điều kiện của Bổ đề Jordan.
Khi đó ta có công thức
x+i∞

1
2πi

n
st

Res[F (s)est ; ak ]

F (s)e ds =
x−i∞

trong đó t > 0 và s = ak ,

(1.4.5)

k=1

k = 1, n là những điểm bất thường cô lập của thác triển

giải tích của hàm F (s) vào nửa mặt phẳng
12

(s) ≤ α0 .


Chứng minh. Ta dựng đường tròn với tâm tại điểm (x, 0) và bán kính R sao cho mọi
điểm bất thường cô lập a1 , a2 , . . . , an của hàm đã được thác triển giải tích vào nửa mặt
phẳng

(s) ≤ α0 là nằm trong nửa hình tròn bên trái đường thẳng

(s) = x. Ta ký

hiệu
γ(R) = {s ∈ C : |s − x| = R},
I(R) = [x − iR, x + iR],
Γ(R) = γ(R) ∪ I(R).
Theo định lý Cauchy về thặng dư ta có
x+iR

n
st

st

F (s)e dt +
x−iR

Res[F (s)est ; ak ].

F (s)e ds = 2πi

(1.4.6)

k=1

γ(R)

Bằng cách áp dụng Bổ đề Jordan, khi t > 0 ta thu được
lim

R→∞
γ(R)

F (s)est ds = 0.

(1.4.7)

Qua giới hạn đẳng thức (1.4.6) khi R → ∞ và từ (1.4.7) ta thu được (1.4.5). Định lý
được chứng minh.
Chú ý rằng L−1 tuyến tính, tức là
L−1 (aF (s) + bG(s)) = af (t) + bg(t)
nếu L(f (t)) = F (s), L(g(t)) = G(s). Điều này suy ra từ tính chất tuyến tính của L và
đúng trong miền xác định chung của F và G.

1.4.4

Một số ví dụ

Ví dụ 10. Tìm hàm gốc f (t) của hàm F (s) =

s2

1
.
+1

Giải. Ta có, khi t > 0 thì
est
est
f (t) = Res 2
, i + Res 2
, −i
s +1
s +1
eit e−it
=
+
= sin t.
2i −2i
Vậy L−1

s2

1
+1

= sin t.

13

1
.
− 1)
Giải. Hàm F (s) chỉnh hình trong mọi nửa mặt phẳng (s) > 1 và F (s) → 0 khi

Ví dụ 11. Tìm hàm gốc f (t) của hàm F (s) =

s2 (s2

s → ∞. Đặt s = x + iσ, tích phân
1
dσ
− 1)

s2 (s2
R

hội tụ, x > 1.
Hàm F (s) có các cực điểm là a1 = −1, a2 = 0 và a3 = 1. Ta dựng đường tròn với
tâm tại điểm (x, 0), x > 1 bán kính R đủ lớn sao cho các điểm a1 , a2 và a3 nằm trong
Γ(R) = γ(R) ∪ I(R); I(R) = [x − iR, x + iR]. Theo Định lý Cauchy về thặng dư ta có
3
st

st

e F (s)ds +
γ(R)

Res[est F (s), ak ].

e F (s)ds = 2πi

(1.4.8)

k=1

I(R)

Theo Bổ đề Jordan
lim

R→∞
γ(R)

est F (s)ds = 0

và khi R → ∞ thì
x+iR

lim

R→∞
I(R)

st

x+i∞
st

e F (s)ds = lim

R→∞
x−iR

est F (s)ds = 2πif (t).

e F (s)ds =

(1.4.9)

x−i∞

Từ (1.4.8) và (1.4.9) suy ra
x+i∞

1
f (t) =
2πi

3
st

Res[est F (s), ak ].

e F (s)ds =

(1.4.10)

k=1

x−i∞

Ta tính được
Res[est F (s), 0] = −t,
Res[est F (s), ±1] =

e±t
.
±2

Từ (1.4.10) và (1.4.11) thu được
f (t) = −t +

et e−t
−
= −t + sinh t.
2
2

14

(1.4.11)


Chương 2
Các tính chất của phép biến đổi
Laplace
Có rất nhiều bài toán khác nhau bao gồm phương trình vi phân thường, phương

trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân có thể giải được nhờ phép biến
đổi Laplace. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu hàm Gamma; hàm tuần hoàn; đạo
hàm, tích phân của hàm ảnh và hàm gốc; cũng như phép tích chập.

2.1
2.1.1

Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace
Tính chất tuyến tính

Nếu L(fi (t)) = Fi (s), (s) > αi , i = 1, 2, . . . , n trong đó αi là bậc mũ của hàm
fi (t), i = 1, n và ci là những hằng số (thực hoặc phức) thì
n

L

n

ci fi (t)

=

i=1

ci Fi (s) = F (s),
i=1

(s) > max αi .
1≤i≤n

Chứng minh. Ta có
∞

n

L

ci fi (t)

n

ci fi (t) e−st dt

=

i=1

i=1

0

∞

n

=

fi (t)e−st dt

ci

i=1

0

n

=

ci Fi (s).
i=1

15

(2.1.1)


∞

fi (t)e−st dt hội tụ trong nửa mặt phẳng

Nếu tích phân

(s) > αi thì tích phân

0
∞

n

ci fi (t) e−st dt

0

hội tụ trong nửa mặt phẳng

i=1

(s) > max αi . Từ đó suy ra rằng hệ thức (2.1.1) thỏa
1≤i≤n

mãn khi
(s) > max αi .
1≤i≤n

Ví dụ 12. Tính L(cos ωt), L(sin ωt).
Giải.
Ta có
L(cos ωt) =

1
1
1
L(eiωt ) + L(e−iωt )
=
+
2
2 s − iω s + iω

=

s2

s
,
+ ω2

(2.1.2)

và
L(sin ωt) =

L(eiωt ) − L(e−iωt )
1
1
1
=
−
2i
2i s − iω s + iω

=

s2

ω
, ( (s) > 0).
+ ω2
(2.1.3)

Ví dụ 13. Xét hàm cosin hyperbolic có
L(cosh wt) = L(

ewt + e−wt
)
2

1
= [L(ewt ) + L(e−wt )]
2
1
1
1
=
+
2 s−w s+w
s
.
= 2
s − w2
Tương tự,
L(sinh wt) = L(

ewt − e−wt
w
)= 2
.
2
s − w2

Ví dụ 14. Nếu f (t) = a0 + a1 t + · · · + an tn là một đa thức bậc n, khi đó
n

n
k

L(f (t)) =

ak L(t ) =
k=0

∞

Nhưng đối với chuỗi vô hạn,

k=0

ak k!
.
sk+1

an tn , nói chung không thể thu được biến đổi Laplace

n=0

của chuỗi bằng cách lấy biến đổi Laplace của từng số hạng.
16


Ví dụ 15.

∞

f (t) = e

−t2

(−1)n t2n
,
n!

=
n=0

−∞ < t < ∞.

Lấy biến đổi Laplace từng số hạng ta thu được
∞

n=0

(−1)n
L(t2n ) =
n!
=

∞

(−1)n (2n)!
n! s2n+1

n=0

∞

1
s

(−1)n (2n)...(n + 2)(n + 1)
.
s2n

n=0

Mà
lim

n→∞

un+1
2(2n + 1)
= lim
= ∞,
n→∞
un
|s|2

và chuỗi đã cho phân kỳ với mọi s.
2

2

Tuy nhiên, L(e−t ) tồn tại vì e−t liên tục và bị chặn trên [0, ∞).

Vì vậy khi nào ta có thể thu được biến đổi Laplace của chuỗi vô hạn bằng cách lấy
biến đổi từng số hạng?
Định lý 2.1.1. Nếu

∞

an tn

f (t) =
n=0

hội tụ với t ≥ 0, với
|an | ≤

Kαn
,
n!

với mọi n đủ lớn và α > 0, K > 0, khi đó
∞

∞
n

L(f (t)) =

an L(t ) =
n=0

2.1.2

n=0

( (s) > α).

Tính chất đồng dạng

Nếu L(f (t)) = F (s) với

(s) > α0 thì
L(f (αt)) =

với

an n!
sn+1

1
s
F
α α

(s) > αα0 , trong đó α là số dương bất kỳ.

Chứng minh. Đối với hàm f (αt) ta có
∞

e−st f (αt)dt.

L(f (αt)) =

0

17


Mặt khác, khi α > 0 thì hàm f (αt) là hàm gốc có bậc mũ αα0 . Đổi biến, đặt u = αt ⇒
du
ta có
dt =
α
∞

1
L(f (αt)) =
α

s

e− α u f (u)du =

s
1
F
,
α α

( (s) > αα0 ).

0

Ví dụ 16. Tìm ảnh của các hàm cos2 αt, sin2 αt, sin αt cos βt.
Giải.
1. f (t) = cos2 αt =

1 + cos 2αt
1 1
s
s2 + 2α2
⇒ L(f (t)) =
+ 2
=
.
2
2 s s + 4α2
s(s2 + 4α2 )

2. f (t) = sin2 αt =

1 − cos 2αt
1 1
s
2α2
⇒ L(f (t)) =
− 2
=
.
2
2 s s + 4α2
s(s2 + 4α2 )

1
3. f (t) = sin αt cos βt = [sin(α − β)t + sin(α + β)t]
2
1
α−β
α+β
+ 2
2
2
2 s + (α − β)
s + (α + β)2
α(s2 + α2 − β 2 )
.
= 2
[s + (α − β)2 ][s2 + (α + β)2 ]

⇒ L(f (t)) =

2.1.3

Các định lý dịch chuyển

Định lý 2.1.2 (Định lý dịch chuyển thứ nhất). Nếu F (s) = L(f (t)) với (s) > α0 ,
thì
F (s − a) = L(eat f (t))

(a ∈ C, (s − a) > α0 ).

(tức là phép tịnh tiến ảnh một vectơ a sẽ tương ứng với phép nhân gốc một đại lượng
eat ).

Chứng minh. Với

(s) > a,
∞

e−(s−a)t f (t)dt

F (s − a) =
0
∞

e−st eat f (t)dt

=
0

= L(eat f (t))

18


Định lý vừa chứng minh còn được gọi là định lý tắt dần, thường được sử dụng để
nghiên cứu các hiện tượng vật lý gắn liền với dao động tắt dần (trong trường hợp này
biến độc lập t được hiểu là thời gian).
1
1
Ví dụ 17. Vì L(t) = 2 ( (s) > 0) nên L(teat ) =
và nói chung L(tn eat ) =
2
s

(s − a)
n!
, n = 0, 1, 2, ... ( (s) > a).
(s − a)n+1
Từ đây ta có một nghịch đảo rất hay sử dụng
L−1
Ví dụ 18. Vì L(sin wt) =
Nói chung,

s2

1
(s − a)n+1

=

1 n at
t e ,
n!

t ≥ 0.

w
3
.
nên L(e2t sin 3t) =
2
+w
(s − 2)2 + 9

s−a
( (s) > a);
(s − a)2 + w2
w
( (s) > a);
L(eat sin wt) =
(s − a)2 + w2
s−a
L(eat cosh wt) =
( (s) > a);
(s − a)2 − w2
w
( (s) > a).
L(eat sinh wt) =
(s − a)2 − w2
L(eat cos wt) =

Ví dụ 19.
L−1

s2

s
+ 4s + 1

s
(s + 2)2 − 3
s+2
2
= L−1

− L−1
2
(s + 2) − 3
(s + 2)2 − 3
√
√
2
= e−2t cosh 3t − √ e−2t sinh 3t.
3
= L−1

Định lý 2.1.3 (Định lý dịch chuyển thứ hai). Nếu F (s) = L(f (t)), (s) > α0 và
a > 0 bất kỳ, thì L(ua (t)f (t − a)) = e−as F (s)(a ≥ 0).
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có
∞

∞

e−st [ua (t)f (t − a)]dt =

L(ua (t)f (t − a)) =
0
∞

e−st f (t − a)dt (đặtτ = t − a)
a
∞

e−s(τ +a) f (τ )dτ = e−as

=
0

=e

−as

e−sτ f (τ )dτ
0

F (s)

19