Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên tỉnh hưng yên năm học 2016 2017(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề gồm có: 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Văn, sử, địa, anh)
Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề

Bài 1(1,0điểm).
Rút gọn biểu thức A =

36 − 28 +

4
3− 7

2
Bài 2(2,0điểm). Cho đường thẳng (d): y = 2x + m + 4 (m là tham số)
a Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm M(- 1; 6)
b Tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành
2
2
độ x1;x 2 thỏa mãn x1.x 2 + x1 .x 2 = −10
Bài 3(2,0đ).
3
4
− = −2

a Giải phương trình: x + 1 x
 x ( x − 3) + y = x 2 + 1

2x + y ( y + 1) = y 2 + 6
b Giải hệ phương trình: 

Bài 4(1,0điểm).
Một xe lửa dự định đi từ ga A đến ga B cách nhau 60 km với vận tốc không đổi.
Thực tế, xe khởi hành muộn 10 phút nên để đến ga B đúng giờ, thì xe đã tăng thêm vận tốc
5 km/h. Tính vận tốc dự định của xe lửa.
Bài 5(3,0điểm). Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kì trên cạnh BC
(M không trùng với B và C). Gọi P và Q theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến
AB và AC, O là trung điểm của AM.
a Chứng minh các điểm A, P, M, Q cùng nằm trên một đường tròn.
a) Chứng minh tứ giác OPHQ là hình thoi.
b) Xác định vị trí của M trên BC để đoạn PQ nhỏ nhất.
Bài 6(1,0điểm). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = xyz . Tìm giá trị lớn

1
1
1
+
+
nhất của biểu thức : P = x + 2y + 3 y + 2z + 3 z + 2x + 3
---------Hết----------


Hướng dẫn
Bài 5.

b) Khi M thuộc đoạn BH (các trường hợp khác tương tự) tam giác AQM, tam giác AMH,
tam giác AMP là 3 tam giác vuông và O là trung điểm cạnh huyền AM => OQ = OM =
OH = OP và ∠QOM= 2∠ QAM, ∠HOM=2∠HAM. Cộng vế với vế ta được ∠QOH = 2
∠QAH= ∠BAC=600. Từ đó suy ra tam giác QOH đều. Tương tự ta cũng suy ra được tam
giác HOP đều, nên OP=OQ=HQ=HP => tứ giác OPQH là hình thoi.
c) Gọi K là trung điểm PQ.
OQ=AM,OK=OH=AM
PQ=2QK=2AM. Do AM
=> PQ AH. Dấu bằng xảy ra khi M trùng H.
Bài 6
Bổ đề: Với a, b dương ta có (a+b)( (dễ cm)
Áp dụng bổ đề ta có: . Tương tự cho hai phân thức còn lại ta có:
Pxy +yz+zx = xyz suy ra
Mà khi x = y = z = 3 thì ta có P = và
Nên max P =

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề gồm có: 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, tin, lí, hóa, sinh)
Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề


Bài 1(1,0điểm).

Rút gọn biểu thức A =
Bài 2(2,0điểm).

27 − 48 + 4 − 2 3

2
Cho Parobol (P): y = x và đường thẳng (d): y = mx − m + 2 (m là tham số)
a) Với m = 2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)

b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x 2

1
đều lớn hơn 2
Bài 3(2,0đ).
 x 2 = y + 1
 2
a) Giải hệ phương trình:  y = x + 1
2
b) Giải phương trình x + 3 = 4x + 5x − 1
Bài 4(1,0điểm).
Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi
người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn người thứ hai
là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc.
Bài 5(3,0điểm). Cho (O;R) và đường thẳng d cố định, khoảng cách từ tâm O đến đường
thẳng d là 2R. Điểm M thuộc đường thẳng d, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A,
B là tiếp điểm).
a) Chứng minh các điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi D là giao điểm đoạn OM với (O). Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABM
c) Điểm M di động trên đường thẳng d. Xác định vị trí điểm M sao cho diện tích

tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6(1,0điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc ≥ 1 . Chứng minh:
1
1
1
3
+ 5 2
+ 5
≤ 2
2
2
2
2
2
a +b +c
b +c +a
c +a +b
a + b2 + c2
---------Hết---------5

HƯỚNG DẪN
Bài 3.


x 2 = y + 1
 2
a) Giải hệ pt  y = x + 1

2
2

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta có: x − y = y − x ⇔ ( x − y ) ( x − y + 1) = 0
x = y
x = −y − 1
Nên 
1+ 5 1+ 5 
1− 5 1− 5 
;
;

÷ 
÷
2
2
2
2
 và 

Với x = y ta tính được nghiệm là 

Với x = - y – 1 ta tính được nghiệm là (-1; 0) và (0; -1).

b) Giải phương trình:
ĐK: x ≥ −3

x + 3 = 4x 2 + 5x − 1
2

2

1

9
1 
3

⇔ x + 3 + x + 3 + = 4x 2 + 6x + ⇔  x + 3 + ÷ =  2x + ÷
4
4
2 
2

PT
1
3

 x + 3 + 2 = 2x + 2
⇔
 x + 3 + 1 = −2x − 3

2
2
Giải lần lượt các trường hợp ta được nghiệm của phương trình là
−3 + 41
−7 − 33
x1 =
; x2 =
8
8
Bài 5.

c) Khi M di động trên d xác định vị trí của M để diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.

Gọi H là giao điểm của MO và AB, K là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d
Ta có MH vuông góc với AB, HA = HB, OK = 2R


AM.AO R OM 2 − R 2
AH =
=
2
2
2
2
OM
OM 2
AM = OM − OA = OM − R ;
;
2
2
2
AM
OM − R
MH =
=
OM
OM
OM 2 − R 2 ) R OM 2 − R 2
(
1
SMAB = MH.AB = MH.HA =
2
OM 2

Khi đó:
3
2
2
2 

  R  
 R 
 R  ÷
= R 1 − 
÷  .OM. 1 − 
÷ = R.OM. 1 − 
÷
OM  ÷
 OM 

  OM  


2
R
1
 R  3
⇔0<
≤ ⇒1− 
÷ ≥
OM
2
OM


 4
≥
OK
=
2R
Với M thuộc đường thẳng d ta có: OM
3

 3  3 3R 2
SAMB ≥ R.2R.
÷=
4
4


Suy ra
(đvdt)
Vậy diện tích tma giác AMB nhỏ nhất khi M trùng với K.
Bài 6.
 1

;b;c ÷

a 5 ;b;c
 ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho bộ số
và  a
1
+ b 2 + c2
2

( a 5 + b2 + c2 )  1a + b2 + c2 ÷ ≥ ( a 2 + b2 + c2 ) ⇒ a 5 + b12 + c2 ≤ a2 2 2 2
(a +b +c )

(

Chứng minh tương tự ta có:
1
+ c2 + a 2
1
≤ b
2
5
2
2
b +c +a
( a 2 + b2 + c2 )

và

)

1
+ a 2 + b2
1
≤ c
2
5
2
2
c +a +b

( a 2 + b 2 + c2 )

Do đó:
1 1 1
+ + + 2 ( a 2 + b 2 + c2 )
1
1
1
+ 5 2
+ 5
≤a b c
2
5
2
2
2
2
2
a +b +c
b +c +a
c +a +b
( a 2 + b2 + c2 )
abc ≥ 1 ⇒

1
1
1
1 1 1
≤ bc; ≤ ac; ≤ ab ⇒ + + ≤ ab + bc + ac
a

b
c
a b c

Mặt khác ta có:
2
2
2
Mà ab + bc + ac ≤ a + b + c

3( a 2 + b2 + c2 )
1
1
1
3
+ 5 2
+ 5
≤
= 2
2
5
2
2
2
2
2
2
2
a +b +c
b +c +a

c +a +b
( a 2 + b2 + c2 ) a + b + c

Suy ra
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề gồm có: 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, tin)
Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề

Bài 1(2,0điểm).
1
1
a b
− = a + b + + +1
b a
a) Đặt a = 2;b = 2 . Chứng minh rằng: a − b b
3

3
28 + 1 − 3 28 − 1 + 2 . Tính giá trị của biểu thức P = x 3 − 6x 2 + 21x + 2016

b) Cho x =
Bài 2(2,0điểm).
1
1
d2 ) : y = x −
(
d
:
y
=
−
3x
+
3
2
2
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng ( 1 )
;

( d3 ) : y = −ax + a 3 − a 2 −

1
3 . Tìm a để 3 đường thẳng đồng quy

và
b) Tìm tất cả nghiệm nguyên dương (x, y, z) của phương trình:
xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2015 thỏa mãn x ≥ y ≥ z ≥ 8 .
Bài 3(2,0đ).

 x 2 y 2 − 2x + y 2 = 0

 2
3
2x
−
4x
+
3
=
−
y


a) Giải hệ phương trình:

(
b) Giải phương trình

)(

)

2x + 5 − 2x + 2 1 + 4x 2 + 14x + 10 = 3

Bài 4(0,5điểm).
0
·
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 1 cm, ABC = 60 . Tính thể tích hình tạo
được khi cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh BC.
Bài 5(2,5điểm). Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung
gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O1) và (O2) tại C và D. Qua A kẻ đường

thẳng song song với CD lần lượt cắt (O1) và (O2) tại M và N. Các đường thẳng CM và DN
cắt nhau tại E. Gọi P là giao điểm của BC và MN, Q là giao điểm của BD và MN. Chứng
minh rằng:
a) Đường thẳng AE vuông góc với CD.
BD BC MN
+
=
BQ
BP
PQ
b)

c) Tam giác EPQ là tam giác cân.


Bài 6(1,0điểm). Trong hình vuông cạnh 10 cm, người ta đặt ngẫu nhiên 8 đoạn thẳng mỗi
đoạn thẳng có độ dài 2 cm. Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 điểm trên hai đoạn thẳng khác
14
cm
3
nhau trong 8 đoạn thẳng đó mà khoảng cách của chúng không vượt quá
.
HƯỚNG DẪN
Câu 1.
1
1
a b
a b 
1
− = a + b + + + 1 ⇔ 1 = ( a − b )  + a + b + + + 1÷

b a
b a 
b
a) Ta có a − b b
a
a 2 b2
2
2
−1 + a − b + −
b a
VP = b
a 2 b3
b2
2 a
= = b ; = ⇒ VP = −1 + a 2 = −1 + 2 = 1 = VT
3
b a
Do a = 2;b = 2 nên b b

( x − 2) =
3

b) Ta có:
=

(

) (

28 + 1 −

(

3

28 + 1 −

) (

28 − 1 − 3

28 − 1

3

)(

28 + 1

)

3

)(

28 − 1

3

28 + 1 −

)

28 − 1 = 20 − 9x

3

⇒ x 3 − 6x 2 + 21x = 28 ⇒ P = 2044
Câu 2.
a) Gọi A(x;y) là giao điểm của (d1) và (d2) nên (x;y) là nghiệm của hệ phương trình:
 y = −3x + 3
x = 1

⇒ A ( 1;0 )

1
1 ⇔
y
=
0
y
=
x
−


2
2
Để (d ), (d ) và (d ) đồng quy thì A ∈ ( d 3 )
1

2

3

(

)

3
1
1
3
a 3 − a 2 − a − = 0 ⇔ 4a 3 = a 3 + 3a 2 + 3a + 1 ⇔ a 3 4 = ( a + 1) ⇒ a = 3
3
4 −1
Khi đó ta có:
1
a= 3
4 − 1 thì (d1), (d2) và (d3) đồng quy.
Vậy
b) Ta có xy ( z + 1) + y ( z + 1) + x ( z + 1) + ( z + 1) = 2016 ⇔ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 2016
⇔ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 25.32.7 do vậy nghiệm (x,y,z) của phương trình là (15;13;8).
Câu 3.
2x
 2
y = x2 + 1
⇔
 y3 = −2 ( x − 1) 2 − 1


a) Hệ phương trình đã cho
2x
x 2 + 1 ≥ 2x ⇒ 2
≤ 1 ⇒ y 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1 ( 1)
x +1
Ta có
3
−
2
x
−
1
−
1
≤
−
1
⇔
y
≤ −1 ⇔ y ≤ −1 ( 2 )
(
)
Mà
Từ (1) và (2) suy ra y = - 1 nên x = 1. Thử lại thì thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1;-1)
2


b) ĐK: x ≥ −1 . Đặt 2x + 5 = a; 2x + 2 = b (với a ≥ 0;b ≥ 0 )
a 2 − b 2 = 3; 4x 2 + 14x + 10 = ( 2x + 5 ) ( 2x + 2 ) = ab

Ta có:
a − b ) ( 1 + ab ) = ( a 2 − b 2 ) ⇔ ( a − b ) ( 1 − a ) ( 1 − b ) = 0
(
Thay vào phương trình ta được:
1
x=−
2
Giải các trường hợp ta được nghiệm của phương trình là:
Câu 4.
3
cm
Ta tính được đường cao AH = 2
; BC = 2 cm.
Hình tạo thành là hai hình nón có bán kính đáy là AH, chiều
cao là HB và HC.
1
π
BC.π.AH 2 = ( cm 3 )
2
Thể tích hình tạo thành là: 3

Câu 5.

a) Ta có:
MN // CD nên góc EDC = góc ENA; mà góc CDA = góc DNA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung AD) suy ra góc EDC = góc CDA suy ra DC là
phân giác góc EDA.
Tương tự ta có CD là phân giác góc ECA.

Suy ra tam giác ACD = tam giác ECD suy ra DA = DE suy ra tam giác ACE cân tại D suy
ra đường phân giác CD là đường cao nên CD vuông góc với AE.
b) Ta có DC là trung trực của AE và CD // MN nên CD là đường trung bình của tam giác
MEN suy ra CD = ½ MN.
BC BD CD
BC BD 2CD MN
=
=
⇒
+
=
=
BP
BQ
PQ
BP
BQ
PQ
PQ
Lại có CD//PQ nên
c) Do PQ//CD nên AE vuông góc với PQ (*)
Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra tam giác AID đồng dạng với DIB suy ra:
ID IB
=
⇒ ID 2 = IA.IB
IA ID
2
Tương tự IC = IA.IB do đó IC = ID
ID
IB IC

=
=
⇒ AP = AQ
AQ
AB
AP
Do CD//PQ theo định lý Ta lét ta có:
(**)
Từ (*) và (**) suy ra tam giác EMP cân tại E.
Câu 6.