luận văn thạc sĩ toán về một số không gian hàm thường gặp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------

VŨ THỊ TUYỂN

VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội 2014
1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------------

VŨ THỊ TUYỂN

VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS Phan Viết Thư

Hà Nội 2014
2

Mục lục

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS. TS Phan Viết Thư, người đã tận tình
giúp đỡ, hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Tác giả cũng xin chân thành cảm
ơn tập thể các thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại học Khoa học Tự nhiên –
3


ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia đình đã giúp đỡ, động viên
và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của
các thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song không tránh khỏi những hạn chế,
thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô, các bạn
để bản luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014
Học viên

Vũ Thị Tuyển

LỜI NÓI ĐẦU
Bản luận văn giới thiệu về các không gian hàm . Các không gian là các không
gian hàm được định nghĩa thông qua việc sử dụng một chuẩn tổng quát hóa một cách tự
nhiên từ chuẩn p của không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng được gọi là các
không gian Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên bởi Riesz Frigyes
(nhà toán học gốc Hungary). Các không gian lập nên một lớp quan trọng của các
không gian Banach trong giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô, chúng có ứng dụng quan

trọng trong vật lí, xác suất thống kê, toán tài chính, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác.
Mặc dù là lớp không gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các giáo
trình giải tích hàm cũng như lí thuyết độ đo và tích phân cơ bản, các không gian này chưa
4


được mô tả chi tiết. Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như đi sâu nghiên
cứu về các không gian , nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này một cách có hệ
thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là:
“Về một số không gian hàm thường gặp”.
Luận văn được chia thành 3 chương:
Chương I: Các kiến thức cơ sở.
Chương II: Các không gian hàm.
Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều.
Trong chương I, tác giả nêu các khái niệm và các định lí cơ bản của giải tích hàm. Đó
là khái niệm về không gian metric, không gian đo với khái niệm về độ đo, hàm đo được
cùng với các tính chất hội tụ và khả tích, khái niệm về không gian định chuẩn, các khái
niệm trong không gian tô pô. Đây là những kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng trong
chương II và chương III của luận văn này.
Mục đích chính của chương II là thảo luận về các không gian hàm
và
các tính chất. Điều đặc biệt là ta coi các không gian đó là không gian con của một không
gian lớn hơn gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được. Chính vì vậy,
các không gian hàm lần lượt được trình bày là không gian , không gian (không gian các
hàm đo được khả tích), không gian (không gian các hàm bị chặn cốt yếu), không gian
(không gian các hàm số có lũy thừa bậc p của mô đun khả tích trên X). Các không gian
này được trình bày một cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra cấu
trúc thứ tự, xét chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài không gian con trù mật
quan trọng, áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng luôn là
mở rộng cho không gian phức.

Trong chương III, tác giả mô tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các không
gian . Đó là sự hội tụ theo độ đo trong và hội tụ yếu trong . Ngoài ra trong chương này,
tác giả cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp các tập khả tích đều
trong hay .
Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức còn hạn chế nên trong khóa luận
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và
sự góp ý chân thành của các bạn đọc.

Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014
Học viên

5


Vũ Thị Tuyển

Chương I. Các kiến thức cơ sở
1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ
các số thực, thỏa mãn các điều kiện:

6


i)
ii)
iii)

Tập hợp X cùng với khoảng cách d đã cho trong X, được gọi là không gian metric, kí
hiệu là (X,d).
Hàm
là một metric trong tập
Không gian metric tương ứng gọi là đường thẳng thực.

(khoảng cách thông thường).

Định nghĩa 1.2.

a) Dãy

trong không gian metric X gọi là dãy cơ bản nếu:

∀ε > 0, ∃N (ε ), ∀ m, n ≥ N suy ra d (x m , x n ) < ε

b) Không gian metric X gọi là không gian metic đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của
không gian X đều hội tụ đến một phần tử nào đó của không gian này.
Chẳng hạn, không gian Euclide ¡
gian đầy đủ.

n

là không gian đầy đủ. Không gian

C[ a ,b]

là không

Định nghĩa 1.3. Giả sử E là một tập con của X. Tập hợp tất cả các điểm dính của E,

được gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu E
Định nghĩa 1.4 Giả sử E là một tập con của X. Tập E gọi là:

i)
ii)

Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó
Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.

Tập hợp tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, kí hiệu int E

iii)

Tập hợp E được gọi là trù mật trên tập hợp A nếu như bao đóng của E chứa A.

Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong không gian X thì E gọi là trù mật khắp nơi trong X.

1.2 Không gian đo và Độ đo
Định nghĩa 1.5.
1) Cho tập
rỗng, một họ
mãn các điều kiện sau:

các tập con của X được gọi là một σ - đại số nếu nó thỏa

7


i.

và nếu

thì

trong đó

ii. Hợp của đếm được các tập thuộc cũng thuộc .
là σ - đại số các tập con của X thì cặp

2) Nếu

(đo được với

hoặc

gọi là một không gian đo được

- đo được)

Định nghĩa 1.6. Cho một không gian đo được

1) Một ánh xạ

được gọi là một độ đo nếu:

i)
ii)

có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa:

2) Nếu

là một độ đo xác định trên

Định nghĩa 1.7. Cho

a)

thì bộ ba

gọi là một không gian đo.

là một không gian đo. Khi đó

là độ đo đủ, hay

là không gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi

và

thì

nghĩa là mọi tập con bỏ qua được của X là đo

được.

b)

là không gian xác suất nếu
Trong trường hợp này,

c)

gọi là một xác suất hay độ đo xác suất.

là độ đo hoàn toàn hữu hạn, hay

gọi là không gian đo hoàn toàn hữu

hạn nếu

d)

là độ đo
tại dãy

- hữu hạn, hay

gọi là không gian đo

sao cho:
8

- hữu hạn nếu tồn


,

e)

là độ đo nửa hữu hạn, hay
mọi

f)

và

là một không gian đo nửa hữu hạn nếu với

thì tồn tại

thỏa mãn

là độ đo khả địa phương hóa, hay

(ii)

.

là một không gian đo khả địa

phương hóa nếu nó là nửa hữu hạn và với mọi
mãn:

(i)

và

, tồn tại một

thỏa

là bỏ qua được với mọi
Nếu
được.

và

là bỏ qua được với mọi

thì

là bỏ qua

Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của

g) Một tập

gọi là một nguyên tử đối với

và với mỗi tập F thỏa mãn

,

hay

thì

trên .

- nguyên tử nếu
là bỏ qua được.

P (X) = { A : A ⊂ X }
µ * : Σ → [ 0, ∞ ]
Định nghĩa 1.8. Một ánh xạ
xác định trên
được gọi
là một độ đo ngoài nếu thỏa mãn các điều kiện

i)

µ * (A) ≥ 0, ∀ A ⊂ Σ

ii)
iii)

Nếu

thì

Định lí 1.1 (Carathéodory). Giả sử
tập con A của X sao cho:

là một độ đo ngoài trên X và

là lớp tất cả các

(*)
Khi đó

là một σ - đại số và hàm tập

µ = µ* Σ
9

(thu hẹp của

trên

) là một độ đo


trên

Độ đo

gọi là tập

gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài

. Tập A thỏa mãn điều kiện (*)

- đo được.

Định lí 1.2 (thác triển độ đo).
đặt .

Giả sử m là một độ đo trên đại số . Với mỗi A ⊂ X , ta

là một độ trên X và đồng thời mọi tập thuộc σ - đại số đều

thì

1.3

đo được.

Độ đo Lebesgue

1.3.1

Độ đo Lebesgue trên

Tồn tại một σ - đại số

các tập con của

theo Lebesgue (hay (L) – đo được) và một độ đo
Lebesgue trên

i)

mà mỗi

gọi là một tập đo được

xác định trên

(gọi là độ đo

) thỏa mãn các tính chất sau:

Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng … là (L) – đo được. Nếu
I là khoảng với đầu mút a, b (

) thì

ii)

Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L) – đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0

iii)

Tập

là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi

mở G sao cho

iv)

tồn tại tập đóng F, tập

,

Nếu A là tập (L) – đo được thì các tập

cũng là tập (L) – đo được và

,

v)
1.3.2

Độ đo Lebesgue là đủ và σ – hữu hạn.

Độ đo Lebesgue trên

Trong không gian Euclid k chiều
σ - đại số

Độ đo

độ đo m có thể khuếch thành độ đo
này gọi là độ đo Lebesgue trên

10

trên một

và các tập


hợp thuộc lớp

gọi là tập đo được (L) trong

F (Ck ) chính là σ - đại số Borel

trong

1.4

Hàm số đo được

Định nghĩa 1.9. Cho một không gian X, một σ - đại số
tập

gọi là đo được trên tập A đối với σ - đại số

. Một hàm số

Khi trên σ - đại số
– đo được.

những tập con của X, và một

có một độ đo μ ta nói f(x) đo được đối với độ đo μ hay μ

Trong trường hợp
(σ - đại số Borel trong
theo nghĩa Borel, hay f(x) là một hàm số Borel.

1.4.1

nếu

) thì ta nói f(x) là đo được

Cấu trúc của hàm số đo được

Định nghĩa 1.10. Cho một tập bất kì A trong không gian X, ta gọi hàm chỉ tiêu của A là
hàm số

xác định như sau:
0 khi x ∉ A
χ A (x) = 
1 khi x ∈ A

Định nghĩa 1.11. Một hàm số f(x) gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được và chỉ
lấy một số hữu hạn giá trị. Gọi
thì các tập

là các giá trị khác nhau của nó và nếu
đo được, rời nhau và ta có

Ngược lại, nếu f(x) có dạng đó và các tập
hàm đơn giản

đo được, rời nhau thì f(x) là một

Định lí 1.3. Mỗi hàm số f(x) đo được trên tập đo được A là giới hạn của một dãy hàm
đơn giản

,

11

Nếu
mọi n và ∀x ∈ A

thì có thể chọn các

sao cho f n (x) ≥ 0 và f n +1 (x) ≥ f n (x) với

1.4.2 Các dạng hội tụ
Định nghĩa 1.12. Trong không gian X bất kì, cho một σ - đại số
trên

và một độ đo μ

. Ta nói hai hàm số f(x) và g(x) bằng nhau hầu khắp nơi (h.k.n), viết
nếu:
và
Hai hàm số f(x), g(x) bằng nhau thì gọi là tương đương với nhau. Dĩ nhiên, hai
hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng tương đương với
nhau.

Định lí 1.4. Nếu μ là một độ đo đủ thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm số đo
được f(x) cũng đều đo được.
Định nghĩa 1.13. Dãy hàm
gọi là hôi tụ hầu khắp nơi về hàm số f(x) trên A ∈ Σ nếu
lim f (x) = f (x)
tồn tại B ⊂ A, B ∈ Σ, µ (B) = 0 sao cho n→∞ n
với mọi ∀x ∈ A \ B
Định nghĩa 1.14. Cho những hàm số
Ta nói dãy

và f(x) đo được trên một tập A.

hội tụ theo độ đo μ tới f(x) và viết

nếu

Giả thiết μ là một độ đo đủ, ta có định lí sau nói về sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo
và hội tụ hầu khắp nơi
Định lí

1.5. Nếu một dãy

số f(x) thì f(x) đo được và nếu

đo được trên một tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một hàm
thì

12


1.5

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.15. Giả sử E là không gian vec tơ trên trường vô hướng K, các số thực
hay các số phức
điều kiện sau:

. Hàm

xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó thỏa mãn các

i)

và

ii)

với mọi

iii)
Định nghĩa 1.16. Không gian véc tơ E cùng với một chuẩn
định chuẩn.

trên nó là một không gian

Có thể chứng minh không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng
cách sinh bởi chuẩn

Chú ý: Ta kí hiệu

thay cho

và gọi là chuẩn của véc tơ x.

Nếu không gian metric này là đầy đủ thì E gọi là không gian Banach.
Ví dụ: Không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn

, kí hiệu

là một

không gian Banach vì nó là đầy đủ đối với chuẩn:
Định lí 1.6 (Hausdorff). Tập con X trong không gian Banach E là compact nếu và chỉ
nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn.
Định nghĩa

1.17. Không gian định chuẩn E gọi là khả ly nếu E có một tập con đếm được

trù mật trong E, nghĩa là tồn tại một dãy

sao cho với mọi

tồn tại một dãy

con
Định nghĩa 1.18 Cho X là tập con của không gian định chuẩn E, ta nói X là:

i)

Tập bị chặn nếu
13


ii)

Hoàn toàn bị chặn nếu với mọi

iii)

Com pắc nếu mọi dãy

Nhận xét: a) Tập con hữu hạn

tồn tại tập hữu hạn

sao cho:

có một dãy con

hội tụ tới một phần tử

thỏa mãn (ii) gọi là một

- lưới hữu hạn của X

b) Dễ chứng minh mọi tập hoàn toàn bị chặn X là bị chặn.
Định nghĩa 1.19. Cho X là một không gian vectơ. Một hàm số f(x) xác định trên X và
lấy giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là không gian thực hoặc phức) gọi là một
phiếm hàm trên X. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:

i)

với mọi

ii)

với mọi

và mọi số

Giả sử X là một không gian định chuẩn, khi ấy, một phiếm hàm tuyến tính f gọi là bị
chặn nếu có một hằng số

Số
là

để cho

nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm hàm và kí hiệu
. Dễ dàng chứng minh

Trong nhiều vấn đề quan trọng , người ta thường xét không gian định chuẩn lập
thành bởi tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian đối
ngẫu (hay còn gọi là không gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X*.
Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra, với
mỗi phần tử f thuộc X*, đặt
thì X* trở thành một không gian định
chuẩn. Hơn nữa X* còn là không gian Banach.
14


Định nghĩa 1.20. Cho
cộng tính hữu hạn
a)

được gọi là liên tục tuyệt đối đối với
thỏa mãn

b)

với mọi

là một phiếm hàm

(thường viết

) nếu

, tồn tại

và

được gọi là thực sự liên tục đối với
là hữu hạn và

1.6

là một không gian đo và

nếu

, tồn tại

,

thỏa mãn

với

Tích phân Lebesgue

f : A → [ −∞, ∞ ]
Định nghĩa 1.21. Cho A là tập đo được,
là hàm đơn giản, đo được
trên A. Gọi f1 , f 2 , f 3 ,..., f n là các giá trị khác nhau đôi một của f(x). Đặt
Ak = { x ∈ A : f (x) = f k } , k = 1, 2,..., n
n

A= ∪

k =1

và

Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo
Định lí 1.7. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm
đó, tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được
trên A.

là số
là hàm đo được. Khi
hội tụ h.k.n về f(x)

Định nghĩa 1.22. Tích phân của hàm f(x) không âm trên A đối với độ đo

Định nghĩa 1.23. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm
A. Khi đó ta có:
với
15

là:

là hàm đo được trên


Các hàm số

có tích phân tương ứng trên A là

Nếu hiệu

,

có nghĩa thì tích phân của f(x) trên A là :

Các định lí sau cho ta các điều kiện qua giới hạn dưới dấu tích phân (đối với tích
phân Lebesgue)
Định lí 1.8 (định lí hội tụ đơn điệu Beppo Levi).
tăng đến f(x) trên A thì

Định lí 1.9 (định lí Dini). Nếu
hàm f(x) liên tục trên

thì

Định lí 1.10 (Bổ đề Fatou). Nếu

Nếu

và

đơn điệu

là dãy hàm liên tục, đơn điệu, hội tụ điểm đến một
hội tụ đều đến f(x).
thì

Định lí 1.11 (định lí hội tụ bị chặn Lebesgue). Nếu

, g(x) khả tích và

( hội tụ h.k.n) hay hội tụ theo độ đo trên A thì

1.7 Không gian tô pô
Định nghĩa 1.24. Cho một tập X bất kì. Ta nói một họ
pô (hay xác định một cấu trúc tô pô) trên X nếu:
16

những tập con của X là một tô


i)

Hai tập

ii)

đều thuộc

kín đối với phép giao hữu hạn, nghĩa là giao của một số hữu hạn tập thuộc
họ

iii)

thì cũng thuộc họ đó.
kín đối với phép hợp bất kì, nghĩa là hợp của một số bất kì (hữu hạn hoặc vô

hạn) tập thuộc họ
Tập X cùng với một tô pô
X). Các tập thuộc họ

thì cũng thuộc họ đó.
trên X gọi là không gian tô pô

(hay không gian tô pô

gọi là tập mở.

Định nghĩa 1.25. Cho X, Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f đi từ X vào Y gọi là
liên tục tại
điểm

nếu với mọi lân cận

sao cho

của điểm

, nghĩa là

đều có một lân cận

của

Ánh xạ f gọi là liên tục

nếu nó liên tục tại mọi
Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không gian
metric vào một không gian metric khác.
Định lí 1.12. Một ánh xạ f đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y là liên tục
khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

(i)
(ii)

Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X)
Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X)

Cho f là một ánh xạ đi từ tập X vào Y. Nếu trên Y cho một tô pô thì do toán tử
bảo toàn các phép toán tập nên
tô pô

sẽ là một tô pô trên X. Nếu X vốn đã có sẵn một

thì định lí 1.12 cho biết rằng f là ánh xạ liên tục khi và chỉ khi

nghĩa là khi nghịch ảnh của tô pô trên Y (tức
) yếu hơn tô pô trên
. Cũng

từ đó ta thấy, nếu trên Y có một tô pô mà trên X chưa có tô pô thì có thể biến X thành
không gian tô pô bằng cách gán cho nó tô pô
sự lien tục của ánh xạ f.
17

đó là tô pô yếu nhất đảm bảo cho


Sự hội tụ của dãy điểm trong tô pô được định nghĩa tương tự như trong không gian
metric. Tuy nhiên, ở đây cần đưa vào một khái niệm rộng hơn khái niệm dãy hội tụ.
Một họ S những tập con không rỗng của một tập X gọi là một lọc trên X nếu:

(i)
(ii)
Bây giờ cho một tô pô X. Ta nói một lọc S trên X hội tụ tới x nếu mỗi lân cận của x
đều bao hàm một tập thuộc S. Một ánh xạ f đi từ một không gian tô pô X vào không
gian tô pô Y liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi lọc

ta đều có

Chú ý rằng trong không gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất, còn
với tô pô thì không nhất thiết. Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta xét các
không gian tô pô đặc biệt, thỏa mãn tiên đề tách sau đây: Với mọi cặp điểm
đều có hai lân cận
của
sao cho
Một không gian tôpô thỏa mãn
điều kiện đó gọi là không gian Housdorff (không gian tách), tô pô của nó gọi là tô pô
Housdoff (tô pô tách).
Định lí 1.13. Trong không gian tô pô Housdorff , một lọc chỉ có thể hội tụ tới nhiều nhất

một điểm.
Định nghĩa 1.26. Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều có
một lọc mạnh hơn hội tụ.

Chương II. Các không gian hàm
Mục đích chính của chương này là thảo luận về các không gian , và
trong ba
mục tương ứng dưới đây. Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là các không
gian con của một không gian lớn hơn
như) đo được.

2.1

gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu

Không gian và
18


Nguyên tắc gần như đầu tiên của lý thuyết độ đo chính là các tập có độ đo không
thường được bỏ qua. Tương tự, hai hàm trùng nhau hầu khắp nơi có thể thường (không
luôn luôn!) được xem như là đồng nhất với nhau. Ý tưởng của phần này là thành lập
không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng hai hàm số là tương
đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua được.

2.1.1

Không gian

Định nghĩa 2.1. Giả sử

là một không gian đo bất kỳ. Ta viết , hay
, là
không gian của các hàm nhận giá trị thực xác định trên phần bù của các tập con bỏ qua
được của
Nếu

, Nghĩa là:
,

là tập

( đo được đối với
2.1.2

- không thì hạn chế của f trên E, kí hiệu

- đại số bổ sung theo

là

- đo được

)

Tính chất cơ bản

Nếu
là một không gian đo bất kỳ, khi đó chúng ta có những điều sau đây,
tương ứng với những tính chất cơ bản của hàm đo đươc.
(a) Một hàm hằng nhận giá trị thực xác định hầu khắp nơi trong

(b)
(c)

với mọi

(nếu

với mọi

, thì

là đo được).

.

(d)

với mọi

(e) Nếu

và

(f) Nếu

là một dãy trong

.
là Borel đo được, thì

giá trị thực) hầu khắp nơi trong
(g) Nếu

và

thuộc vào

là một dãy trong

giá trị thực) hầu khắp nơi trong

và
, thì

được xác định (như là một hàm nhận
.

và
, thì

.

được xác định (như là một hàm nhận
.
19


(h) Nếu

là một dãy trong

giá trị thực) hầu khắp nơi trong
(i) Nếu

và
, thì

là một dãy trong

và

giá trị thực) hầu khắp nơi trong

, thì

(j) Nếu

là một dãy trong

.
được xác định (như là một hàm nhận
.

và

nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong
(k)

được xác định (như là một hàm nhận

được xác định (như là một hàm
, thì

.

thực chất là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của

nhau hầu khắp nơi đối với một hàm

- đo được từ

vào

bằng

nào đó.

2.1.3 Không gian
Định nghĩa 2.2.

Giả sử

quan hệ tương đương trên
dưới quan hệ “

là một không gian đo bất kỳ. Khi đó “
Viết

“. Với

, hoặc là
viết

“ là một

, là tập các lớp tương đương trong
là lớp tương đương trong

2.1.4 Cấu trúc tuyến tính của
Giả sử

là không gian đo bất kỳ, và đặt

(a) Nếu

và

thì

chúng ta có thể định nghĩa phép cộng trong

(b) Nếu

và

.
. Tương tự

bởi cách đặt

thì

định nghĩa phép nhân vô hướng trên

,

với mọi
bởi cách đặt

20

với tất cả

. Tương tự chúng ta có thể
với tất cả


(c)

là một không gian tuyến tính trên

tập xác định là

và nhận giá trị

, với phần tử không

ở đây

, và phần tử đối

Thật vậy
(i)

với tất cả

vì vậy
(ii)

với tất cả
với mọi

vì vậy
(iii)

với mọi
với mọi

vì vậy

với mọi
với tất cả

vì vậy

với mọi

(vi)

và

và

.

với tất cả

vì vậy

(viii)

,

với mọi

(iv)

(vii)

.

với mọi

vì vậy

(v)

,

với tất cả
với tất cả

với tất cả

vì vậy
vì vậy

với tất cả

21

với tất cả

là hàm có


2.1.5 Cấu trúc thứ tự của
Giả sử

là không gian đo bất kỳ và đặt

(a) Nếu

,

và

ta có thể xác định một quan hệ

(b)

trên

là một thứ tự một phần trên

thì

Tương tự
do

vì vậy nếu
(c)

với

và

và

và

Mặt khác, nếu
và

,
thì

và

thì

thì

là một không gian tuyến tính thứ tự một phần, nghĩa là, một không gian

tuyến tính với một thứ tự

thỏa mãn:

(i) nếu

thì

với mọi

(ii) nếu

thì

với mọi

Thật vậy, nếu

và

thì
(d)

nếu và chỉ nếu

Thật vậy, nếu

Cuối cùng, nếu

và

Vì vậy chúng

bằng cách nói rằng

với

với mọi

, thì

thì

Nếu

và

với mọi
là một không gian Riesz hay dàn véctơ, nghĩa là, một không gian tuyến tính thứ tự

một phần thỏa mãn

được xác định với tất cả

Chứng minh:
Lấy

sao cho

Khi đó

,

ta viết
với

22


(domf là miền xác định của hàm số f).
Với

bất kỳ, ta có

Suy ra với

bất kỳ, ta có

Do vậy

trong

(e) Với bất kỳ

ta có

; và nếu

thì

vì vậy

với tất cả
(f) Nếu
với

là một hàm nhận giá trị thực, đặt
suy ra

23

thì

Nếu


tất cả các hàm này đều xác định trên

Tương tự trong

đặt các toán tử

và ta có

(g) Hiển nhiên, nếu
lấy

trong

bất kỳ sao cho

2.1.6

tồn tại một
và đặt

trong

sao cho

Thật vậy

thì

Các tính chất quan trọng của

Định nghĩa 2.3.
(a) Một không gian Riesz
),

có một

là Ác-si-mét nếu với bất kỳ

(nghĩa là,

và

sao cho

(b) Một không gian Riesz

là Dedekind

mọi tập khác rỗng đếm được

-đủ (hay

-thứ tự-đủ, hay

đủ) nếu với

bị chặn trên đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở

trong
(c) Một không gian Riesz là Dedekind đủ (hay thứ tự đủ, hay đủ) nếu với mọi tập khác
rỗng

bị chặn trên trong

Định lý 2.1.
(a)

Giả sử

đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong
là một không gian đo. Đặt

là Ác-si-mét và Dedekind

-đủ.

(b) Nếu
là nửa-hữu hạn, thì
địa phương hóa.

là Dedekind đủ nếu và chỉ nếu

Chứng minh:
Đặt

24

là khả


(a)

(i) Nếu

và

, viết

đó

như là

và

như là

trong đó

Khi

là không bỏ qua được. Khi đó tồn tại

sao cho

là không bỏ qua được, vì
khác

Vì

và

là tùy ý nên

(ii) Giả sử

là Ác-si-mét .

là một tập khác rỗng đếm được có một cận trên

như là

trong đó

Đặt

là một dãy trong

. Khi đó ta có
sao cho

vậy

Đặt

với mọi

Nếu

, lấy

(b)

(i) Giả sử rằng

như là

Viết

trong đó

tại điểm bất kỳ

trong đó

; vì

khi đó

với mỗi
với mỗi

Vì A là bất kỳ,

là Dedekind

-đủ.

là địa phương hóa.

là một tập khác rỗng bất kỳ có cận trên
là một hàm đo được từ X vào
khi đó mọi phần tử của

trong

nghĩa là, với hầu hết

với hầu hết

trong

và

xác định trên

với mọi

Do vậy

Mặt

có dạng

với

Đặt
,
nào đó. Với mỗi

con của X có thể biểu diễn dưới dạng

với
25

là họ các tập

nào đó; khi đó