Luận văn thạc sĩ nhóm hữu hạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

DƯONG THỊ THẢO

NHÓM HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI
HỌC
Chuyên ngành: Đại số

DƯƠNG THỊ THẢO

NHÓM HỮU HẠN

Hà Nội - 2015

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI
HỌC

Người hướng dẫn khoa học
Chuyên ngành: Đại số
Ths. Dương Thị Luyến


TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

Hà Nội - 2015

Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới cô Dương Thị Luyến,
cô đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Em cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số và toàn thể
các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý cộng tác giúp đỡ em trong
suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận .
Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp
nên nội dung khóa luận này còn nhiều thiếu sót. Em kính mong nhận được
sự phê bình góp ý của thầy cô cùng toàn thể các bạn để nội dung khóa luận
trở nên hoàn thiện hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn.
Hà Nội, ngày...tháng...năm 2015.
Sinh viên

Dương Thị Thảo


Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà
khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì
công trình nào khác.

Hà Nội, ngày... tháng....năm 2015.
Sinh viên

Dương Thị Thảo


MỤC LỤC

1.1
1.1.1

Định lí Lagrange

10


1.1.2.....................................................................................................
1.1.3
1.1.4

Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa

học toán học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại.
Ngày nay, khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển, toán học nói chung và
Đại số nói riêng cũng có những tiến bộ vuợt bậc. Những tu tuởng, phuơng
pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của
toán học, từ tôpô và hình học tới giải tích và xác suất luợng tử, cũng nhu
một số lĩnh vục của cơ học, vật lí lí thuyết, hóa học luợng tử... Có thể nói
mọi ngành của toán học hiện đại ngày nay trong quá trình phát triển đều
cần tới cấu trúc đại số và những hiểu biết về cấu trúc này. Trong đó, nhóm
là một trong những đối tuợng cơ bản nhất và cổ điển nhất của toán học.
Nhóm hữu hạn là một nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng vào thục
tiễn.
1.1.5

Với lòng yêu thích, niềm say mê muốn đuợc nghiên cứu,

tìm hiểu về Đại số nói chung và cấu trúc nhóm nói riêng, em đã chọn đề

tài “Nhóm hữu hạn” để nghiên cứu.
1.1.6

Nội dung khóa luận gồm 2 chuơng:

1.1.7

Chuơng 1 : Kiến thức chuẩn bị


1.1.8

Ở chuơng này trình bày những kiến thức cơ bản về nhóm,

tổng trực tiếp, tích trực tiếp của hai hay nhiều nhóm.
1.1.9 Chương 2: Nhóm hữu hạn
1.1.10 Đưa ra khái niệm nhóm hữu hạn, các tính chất, định lí, hệ quả
của một số nhóm hữu hạn thường gặp và các bài tập áp dụng.
1.1.11 Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song do chưa có kinh nghiệm, thời
gian cũng như năng lực còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót.
1.1.12 Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô
và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.


1.1.13 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Nhóm
1.1.1

Định nghĩa

1.1.14 Cho X là một tập họp khác rỗng, (.) là một phép toán hai ngôi
trên X. X là một nhóm khi và chỉ khi các điều kiện sau đuợc thỏa mãn:
i) (;xy)z = *(yz) với mọi x,y,z e X.
ii) Tồn tại phần tử e e Xcó tính chất: ex = xe = x,Vx G X.
iii) VisX có một phần tử x'eX sao cho xx' = x'x = e.
1.1.15 Vỉ dụ. Tập họp các số nguyên z cùng với phép cộng thông
thuờng là nhóm cộng các số nguyên.
1.1.16 Cũng vậy, ta có nhóm cộng các số hữu tỉ,nhóm cộng các số
thực, nhóm cộng các số phức.
1.1.17 Chú v:
•

Phần tử e đuợc gọi là phần tử đơn vị của X.

•

Phần tử x' thoả mãn (iii) đuợc gọi là phần tử nghịch đảo của X.

•

Nhóm X đuợc gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Aben) nếu thoả mãn
điều kiện sau : xy = yx;Vx, y e X.

•

Một nhóm X đuợc gọi là nhóm hữu hạn hay vô hạn nếu tập X hữu hạn
hay vô hạn các phần tử.

1.1.2

Tính chất

1.1.18 Cho X là một nhóm. Ta có các khắng định sau:
a)Phần tử đơn vị e của X đuợc xác định duy nhất.
b)Mỗi phần tử X e X chỉ tồn tại duy nhất 1 phần tử nghịch đảo x'.
c) Trong nhóm có luật giản uớc có nghĩa là:
1.1.19 xy =


zy=>x = z xy =
xz=>y = z.
d) Trong nhóm phưong trình ax = b (tưong ứng ya = b ) có nghiệm
duy nhất x = a~1b( tưong ứng y = bã1).
e) Với mọi xvx2,x3,...........,xneX ta có:
1.1.20

(....

*2 V •

Đặc biệt (x") =('x_1) =

1.1.21

=x.

1.2 Nhóm con
1.2.1

Định nghĩa nhóm con và các điều kiện tương đương

a) Định nghĩa
1.1.22 Cho X là một nhóm, A là bộ phận ổn định của nhóm X. Khi
đó, A được gọi là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh
lập thành 1 nhóm.
1.1.23 Vỉ du. Mỗi nhóm (G,.,e)có hai nhóm con hiển nhiên là G và
[e]. Nhóm con ỊeỊ gọi là nhóm con tầm thường.
b) Tính chất
•

Giao của một họ tùy ý các nhóm con của X là nhóm con của X.

•

Hợp của 1 họ khác rỗng các nhóm con nói chung không phải là nhóm
con của X.

c) Điểu kiện tương đương
1.1.24 Cho X là một nhóm, AcX .Khi đó A là nhóm con của X
khi và chỉ khỉ:
(i) A là một bộ phận ốn định của nhóm X: Jt, y e A, Jty e A .
(ii) X e Athì 1 e A(với x_1là phần tử nghịch đảo của X trong X).


d) Hệ quả
1.1.25 Cho X- là nhóm, A ^ 0, A c: X .Các điều kiện sau tuông đuơng:
i. A là nhóm con của X.
ii. Với mọi x,y e Athì xy e A,*-1 e A.
iii. Với mọi X, ỵ e Athì xy~l e A.
1.2.2

Nhóm con chuẩn tắc
a) Định nghĩa
1.1.26 Cho (X,.) là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi đó A đuợc
gọi là nhóm con chuẩn tắc của X nếu và chỉ nếu :
1.1.27 Với mọi jceX,ae A:jc_1íwce A.
1.1.28 Nhóm X đuợc gọi là nhóm đơn nếu nó không có nhóm con
chuẩn tắc nào khác ịe) và X .
1.1.29 Vỉ du. l)Mỗi nhóm (G,.,e)có hai nhóm con chuẩn tắc hiển nhiên
là G và ịe).
1.1.30

2) Mọi nhóm con của nhóm Aben là chuẩn tắc.

b) Điểu kiện tương đương
1.1.31 Cho A là một nhóm con của X. Khi đó ta nói nhóm A là một
nhóm con chuẩn tắc của nhóm X khi và chỉ khi với mọi X e X ta có JCA = AJC
với xA = Ixa\a e Aj và Ax = ịaxịa e AỊ .
1.1.32 Chú ý :
•

Một nhóm X với phần tử đơn vị e bao giờ cũng có ít nhất 2 nhóm con
chuẩn tắc là {eỊ và X.

•

Nếu X là nhóm Aben thì mọi nhóm con của X đều là nhóm con chuẩn
tắc.


1.3 Nhóm thương

Định nghĩa:
1.1.33 Nếu A là 1 nhóm con chuẩn tắc của X thì:
i) Quy tắc cho tuơng ứng cặp (xA, yA) với lớp trái xyA là một
1.1.34

ảnh xạ

ii) X/^cùng với phép toán 2 ngôi : (xA,yA) —>xyA là một
1.1.35

nhóm gọi là nhóm thuơng của X trên A.

1.1.36 Vỉ du\ z là nhóm cộng các số nguyên, ÚL là nhóm con chuẩn tắc
của Zgồm các số nguyên là bội của một số tự nhiên n cho truớc. Khi đó

1.4 Tập sinh của nhóm, nhóm
xyclỉc a) Định nghĩa tập sinh
của nhóm
1.1.37 Cho (X, . )là một nhóm , Ư czX :
i) Giao của tất cả các nhóm con của X chứa u là nhóm con nhỏ nhất
trong số các nhóm con của X chứa U.KÍ hiệu là <u>.
ii) Nếu tồn tại u,

<u> = X thì u đuợc gọi là tập sinh của X.

iii) Neu X không đuợc sinh bởi một tập con thực sự nào của u thì ta nói u
là tập sinh cực tiểu của X.
1.1.38 Nhân xét:
1.1.39 • <0 >= {eỊ ,<s> = s nếu s là một nhóm .
1.1.40 • Một nhóm con có thể có 2 tập sinh cực tiểu với số phần tử

khác
1.1.41

nhau: Ví dụ: Z6 = <1 > = <

>.


1.1.42

b) Nhómxycüc

i. Nhóm X được gọi là nhóm xyclic,nếu X được sinh bởi một phần tử a e
X, phần tử a được gọi là phần tử sinh của X.
1.1.43

Kí hiệu: X = (à).

ii. Neu X là nhóm bất kì,a e X thì ^a)là 1 nhóm xyclic sinh
1.1.44 bởi phần tử a ,nó được gọi là nhóm con xyclic của nhóm X sinh
bởi a.
1.1.45 Vỉ du. Nhóm (Z+,+) gồm các số nguyên dương là xyclic với
phần tử sinh là 1.
1.1.46 Nhân xét:
•

Nếu phép toán ngôi trong X là phép cộng thì:(a) =
{&a|&ezj.

•

Nếu phép toán 2 ngôi trong X là phép (.) tổng quát thì (a) = |
a*/fcez|.

1.5 Cấp của nhóm,cấp của phần tử trong nhóm
Định nghĩa
i) Cấp của một nhóm X là số phần tử của X nếu X có hữu hạn phần tử
hay bằng vô cùng nếu X có vô hạn phần tử .
1.1.47

Kí hiệu: Cấp của nhóm X là: \x I hoặc Card (X).

ii) Cấp của a G X là cấp của(a).
1.1.48 Nhân xét :
•

Nếu am^an (Vm,n e z,m ^ «)thì ịa) = 00.
1.1.49

• Neu 3m e z+ nhỏ nhất : am = 1 thi(fl) = m. Kí hiệu Ord


(a) để chỉ cấp của a.
1.6 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp của các nhóm
1.6.1
Tổng trực tiếp tích trực tiếp của hai
nhóm Định nghĩa :
i) Giả sử A và B là các nhóm với phép toán (.) . Trên tập tích Đề-các :
AxB = {(a,b) / a e A,b e B}. Ta định nghĩa các phép toán
1.1.50 nhu sau: (a,b){c,ấ) = ịac,bd).

1.1.51

Khi đó A xB cùng với phép toán hai ngôi lập thành một

nhóm gọi là tích trực tiếp của A và B. Kí hiệu là : AxB.
ii) Tổng trực tiếp của các nhóm A và B cũng đuợc gọi là tổng trực tiếp của
hai nhóm này. Kí hiệu là A© B.
1.6.2
Tích trực tiếp, tổng trực tiếp của nhiều nhóm
a) Định nghĩa
1.1.52 Giả sử G . là một nhóm ( nhân) với mỗi i e I . Trên tập tích Y\Gt = {(«,)
1.1.53

t

: ữ, e G;,ỉ e / j. Ta định nghĩa phép nhân nhu sau :

íe/

1.1.54 (°1.1.55
í'e/

1.1.56
Tổng trực tiếp của họ nhóm

1.1.59

nhóm{Gj. Ị và đuợc kí hiệu là

.

1.1.57 í'e/

1.1.58 , kí hiệu ©G. là nhóm con của m gồm tất cả các phần tử
te/

¿e/

te/

1.1.60 (fl¿ ). sao cho a ; = e ; (đon vị) đối với hầu hết trừ ra 1 số hữu hạn chỉ số
i.
1.1.61 Các khái niệm tổng trực tiếp, tích trực tiếp chỉ khác nhau khi
chúng đuợc áp dụng cho một họ vô hạn các nhóm.


b) Tính chất
i) AxB = Bx Anhờ đẳng cấu ịa,b)—>ịb,a).
ii) (Axfl)xC = Ax(ZỉxC) nhờ đẳng cấu
1.1.62

(\a,b ),c )).

iii) Có thể đồng nhất A( tương ứng với B) với mỗi nhóm con AxỊ^Ị (tương
ứng với [eA]y.B )củaAxB nhờ đơn cấu.
1.1.63 A-»Axfí
1.1.64
1.1.65

a->(a,eB)

[b->(eA,b)/

Với phép đồng nhất trên mỗi phần tử của A giao hoán với

mọi phần tử củaB trong AxB\ab = {a,eB){eA,tì) = {a,tì) = {eA,tì){a,eB) = ba.
iv) A nfi = ịe } trong AxB.
v) Nhóm A X B sinh bởi tập AuB.
vi) A,B là các nhóm chuẩn tắc của A X B.
1.1.1
1.1.66
1.1.67 Nhân xét:
1.1.68

i) Giả sử N là 1 nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Nói chung

1.1.69

G0N*(%).

ii) Nếu các số nguyên dương m và n là nguyên tố cùng nhau thì
1.1.70 z/ xz/ = z/
1.1.71
/m /n / mn'
iii) Giả sử A và B là các nhóm con chuẩn tắc trong G sao cho
1.1.72

AnB = và G là nhóm sinh bởi AuB. Khi đó G = AXB.
1.1.73 CHƯƠNG 2. NHÓM HỮU HẠN

2.1 Định nghĩa
1.1.74
Nhóm X được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử.
1.1.75 Ngược lại ,nếu nó có vô hạn phần tử thì gọi là nhóm vô hạn.
2.2 Tính chất
2.2.1

Định lí Lagrange

1.1.76

Giả sử G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của

nó. Khi đó |G| là bội của \H\.
1.1.77 Chứng minh:
1.1.78
và Ha

Trước hết ta chứng minh: ịaỉỉị = \Ha\ = |//| với aH là lớp kề trái

1.1.79 là lớp kề phải của H trong X.
1.1.80

Thật vậy:

• Cho X là một phần tử tùy ý của X . Xét ánh xạ:
1.1.81

H^>Hx

1.1.82

h\-^hx

> F là đơn ánh vì với mọi h,h'&H giả sử:
1.1.83

hx = h'x =>h = h'

> Dễ thấy f cũng là 1 toàn ánh.
1.1.84

Vậy f là song ánh.
1.1.85

• Tương tự g :
1.1.87
1.1.88

1.1.86

H^xH
cũng là một song ánh.
h I—> xh

Do vậy |fl//| = |//fl| = |//|.
Hơn nữa tất cả các lớp kề trái

( hoặc phải ) lập thành một phân hoạch trên nhóm hữu hạn X. Do vậy X = [J
aH =

Ha tức là |x I là bội của \H\ .


2.2.2

Hệ quả

2.2.2.1
1.1.89

Hệ quả 1
Cấp của mọi phần tử của một nhóm hữu hạn G đều là uớc số của

cấp của G.
1.1.90 Chứng minh:
1.1.91

Với mọi XGG, cấp x= cấp <x>, cấp<x> là uớc của cấp X.

1.1.92 *Định nghĩa sổ mũ của nhóm:
1.1.93

Giả sử G là một nhóm.

i. Nếu đối với phần tử a e G, có số m nguyên duơng sao cho am = e thì m
đuợc gọi là số mũ của a.
ii. Số nguyên duơng m đuợc gọi là 1 số mũ của nhóm nếu nó là số mũ của

mọi phần tử của G.
2.2.2.2
1.1.94

Hệ quả 2
Cấp của một nhóm hữu hạn G là một số mũ của nó.
1.1.95

1.1.96

2.2.23 Hệ quả 3

Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic. Nói cách

khác ,trên một tập hợp hữu hạn với số phần tử là một số nguyên tố có duy
nhất (sai khác đẳng cấu ) một cấu trúc nhóm , là nhóm xyclic.
1.1.97 Chứng minh:
1.1.98

Giả sử nhóm X có cấp \x

1.1.99

Vì P>1 nên có phần tử trong a^e trong X . Nhóm xyclic

I =p là một số nguyên tố.

<a> sinh bởi a có cấp n>l( vì a ^ e) và n là một uớc của p. Nhung p
nguyên tố nên ta có n = p.

1.1.100 Do đó x=<a>.
1.1.101 2.22.4 Hệ quả 4
1.1.102 Mọi nhóm với 4 phần tử đều đẳng cấu với 1 trong 2 nhóm Z4 và
Z2 X Z2. Hai nhóm này không đẳng cấu với nhau.
1.1.103

Chứng minh:

1.1.104 Z4 có một phần tử cấp 4 trong khi đó mọi phần tử khác không
trong Z2 X Z2 đều có cấp 2.VÌ thế hai nhóm này không đẳng cấu với nhau. Giả
sử G là nhóm cấp 4.
1.1.105 Nếu G chứa một phần tử cấp 4 thì nó là nhóm xyclic cấp 4, do
đó G = Z4. Trái lại thì mọi phần tử của G trừ đơn vị e đều có cấp 2(theo hệ quả
1). Trong truờng họp này G đẳng cấu với Z2 X Z2.
1.1.106 2.22.5 Hệ quả 5 ( Định lí nhỏ của Fecma )
1.1.107 Nếu p là một số nguyên tố , a là số nguyên bất kì thì ap - a chia
hết
1.1.108

cho p.

1.1.109

Chứng minh:

1.1.110..............................................................................Truớc
hết
chứng minh rằng ỵỹ/ j = { 1,2,..........................................,n } lập thành
1.1.111

một nhóm với phép nhân đuợc định nghĩa nhu

sau: x.ỵ = xy Thật vậy :
•

Phép nhân đuợc xác định nhu trên có tính chất kết hợp và có đơn vị là
1.

•

Vì p là một số nguyên tố nên (p,x)=l( nếu trái lại thì X = õ trong ).
1.1.112 Do đó có các số nguyên k và 1 để cho kx+lp=l. Tức là k.x = 1

ta


hay (*) =k trong V.
1.1.113 Nếu a không chia hết cho p thì a e j . cấp của a là một ước của
p-1 ( số phần tử của nhóm ịy ) )• Do đó (ã) =ĩ trong
1.1.114 1 hay là ap 1 -1 chia hết cho p nên ap -a = a.(ap 1 -1) cũng vậy.
Còn nếu a chia hết cho p thì ap - a = a.(ap~l -1) cũng chia hết cho p.
2.2.2.6
Tổng quát hóa của định lí Lagrange
1.1.115 Giả sử A là một nhóm con của B và B là một nhóm con của X,
trong đó X là một nhóm hữu hạn. Khi đó:
1.1.116

[X : A] = [X : B] [B : A].

1.1.117 Chứng minh:
1.1.118 Đây là một chứng minh không sử dụng kết quả của định lí 3.2.1.
1.1.119........................■ỉỳL = {x1B,x2B, ,xmB}
1.1.120
Giả sử ỵ trong đó m = [X:B],« =
[B: A] .
1.1.121........................YA = {yỉA,y2A,
,y„A}
1.1.122.....................................Và X = rjBur2Bu
1.1.123..............................B = ylA U y2A u
1.1.124

uyA.

Suy ra:
1.1.125.....................................xiB = xiylAuxiy2Au u Xị yn A
1.1.126 m n
1.1.127 X UU v ' V
1.1.128 ¿=1 7=1

1.1.129
tập các đại diện của các lớp

Vậy Ị Xị yJ / i = 1, m, j = 1,

là

một

1.1.130

ghép trái của A trong X. Do đó [x : A] = mn = [x : B][B : A].


2.3Một số nhóm thường gặp
2.3.1

Nhóm đối xứng

2.3.1.1

Định nghĩa

a) Định nghĩa nhóm đối xứng
1.1.131 Giả sử X là một tập nào đó. Kí hiệu:
1.1.132

S(X) = {f / f:X là song ánh}.

i. S(X) cùng với phép toán nhân ánh xạ lập thành một nhóm gọi là
nhóm đối xứng trên X. Nhóm con của S(X) gọi là nhóm các phép
thế trên X.
ii. Nếu |x| = n, không giảm tính tổng quát ta xét x={ 1,2,...................,n}
1.1.133

thì S(X) đuợc gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử . Kí hiệu

sn.

1.1.134

Mỗi phần tử a G Sn ta có thể biểu thị nhu sau:
1.1.135 ị 1 2

1.1.136

..n'

ữ=

[a(l) a(2) . . a(n)/

b) Định nghĩa xích( hay chu trình)
1.1.137...........................Giả sử Xi,x2, ,xk là các phần tử đôi một khác nhau
trong
1.1.138...(1,2,3,
,n} . Phép thế a e Sn đuợc gọi là một chu trình ( hay xích )
1.1.139.............................................................với độ dàik trên tập nền (xi,x 2,
..........................................................................,xn} nếu:
X,
i=k.
khi
1.1.140 JC;+1 khi 1 1.1.141 Xị khi i > k
1.1.142...................................Kí hiệu \a = {xy,x2,
c) Định nghĩa phép thế sơ cấp

,jcn).

1.1.143
thế sao cho:

Ta gọi một phép thế so cấp( hay phép chuyển trí) là một phép


1.1.144

/(*<) = *,

Với i ^ j;k ^ i,j thì

1.1.145■ /(*;)=*<
1.1.146

2.3.1.2

{/(*.)=**

Tính chất

a) Mệnh để 3.3.1
1.1.147........................Sa\ = n\ = 1.2
1.1.148

n.

Chứng minh:

1.1.149

• Ta cần tính xem có bao nhiêu phép thế khác nhau a&Sn.

1.1.150............................................................................................Có

n

khả

năng cho việc chọn a( 1) từ n phần tử (1,2,...................................,n}.
1.1.151

Khi đó cố định ữ(l):

>

Có n-1 khả năng chọn a(2) từ tập {1,2,..................,nj/a(l).

>

Có n-2 khả năng chọn a(3) từ tập {l,2,.........................,«}/ ịava2).

1.1.152

> Cứ tiếp tục quá trình trên đến khi :

■ Có 2 khả năng chọn a{n -1).
■ CÓI khả năng chọn a(n).
1.1.153

• Số cách chọn ( hay số khả năng chọn) a{2 ), chính là số

phần tử của Sn.
1.1.154 Do đó số phần tử của Sn là:
1.1.155..............................|5n| = n.(«-l)(«-2)

2.1 = «!.

,a(n)


b) Định lí3.3.1
1.1.156 Với mọi phép thế a e Sn đều là tích của tất cả các xích khác nhau
của nó . Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau của tập (1,2,3,
..................,n}.
1.1.157

Chứng minh :

1.1.158.................................• Với mọi e {1,2,
(Xi) là một xích
1.1.159

,n} , nếu a(^) = xl thì

của a.

1.1.160 Trái lại, nếu «(xJ * Xx, tađặt x2=a(xl).
1.1.161.........................................Giả sử JC15 x2 = a(x^, ,xk = ot{xk_^) là

những phần tử đôi
1.1.162..........một khác nhau còn a(xk) thì trùng với một trong các phần tử
Xi,x2,...............,xk.

1.1.163 T a khẳng định rằng a{xk) = xl.
1.1.164 Thật vậy, nếu a(xk) = xi với Ĩ>1 thì a(xk) = a(xi_l). Do đó
1.1.165...................................................................................... i-1 = k • Điều này
mâu thuẫn với giả thiết rằng Xi,x ,..................................................................,x đôi một
X

2

1.1.166

x

k

khác nhau.

1.1.167....................Vậy (xi,x2, ,xn) là một xích của a.
1.1.168.............................................• Mỗi phần tử của tập (1,2, n}

đều

thuộc một tập con , là
1.1.169

tập nền của một xích của a. Hai tập con nhu thế nếu có thì phải

trùng nhau. Thật vậy , phuong trình = y hoàn toàn xác định y theo X và X theo y
(do a là một song ánh).
1.1.170 Khi viết một phép thế của sn như là tích của các xích rời rạc ,
tức là các xích với tập nền rời nhau, thì thứ tự của các xích ở trong tích là
không quan trọng.
c) Định lí3.3.2
1.1.171 Cấp của một phép thế a bằng bội chung nhỏ nhất của độ dài các
xích rời rạc của a.
1.1.172

Chứng minh:

1.1.173...................Giả sử (xi,x2,
là một xích của a. Khi đó:
1.1.174

,xk)
ở

đây i+ j được lấy theo modulo k , tức là không phân biệt i+ j với

phần dư của nó trong phép chia cho k. Do đó, atịxi) = xi ( với mọi i) nếu và
1.1.175..................................................................................chỉ nếu t là một bội
của k. Vì thế a' (*) = JC(VJC e {1,2,.........................................,«}) nếu và chỉ
1.1.176

nếu t là một bội của độ dài của mọi xích của a. số dương nhỏ

nhất có tính chất đó chính là cấp của a.

d) Mệnh đề 3.3.2
1.1.177 Mọi phép thế đều là tích của một số phép thế sơ cấp.
1.1.178

Chứng minh:

1.1.179 Theo định lí 3.3.1 ta chỉ cần chứng minh mệnh đề trên cho
các phép thế có dạng xích. Ta có :
1.1.180...............( 1’ 2’...........................>*n) = (*l>
X

1.1.181

—

X

(■*•*-!» ■*•*)■

’**-1

)(**-!’**)


1.1.182 Ở đây , phép thế bên phải tác động trước theo định luật họp
thành các ánh xạ.
e) Hệ quả 3.3.1
1.1.183 Nhóm sn được sinh ra bởi các phép thế sơ cấp trong nó, Vn
> 2.

1.1.5
1.1.9

1.1.10
II

f) Bổ để 3.3.1
1.1.184 Cho hai phép thế avà Ị3 như sau:
1.1.2
1.1.3..............•••a 1.1.4...............
®
\r){a2V
(ữml’...............’ant
(^11’" ......................
’ữ2s í ) ’
1.1.6
1.1.7
1.1.8
Khi đó:
1.1.11......................1.1.12.......•’^2 s)..... 1.1.13..
.......’^lr)(^21’.........(pml’........
Ar )•
1.1.14 Chứng minh:
1.1.15
1.1.185
1.1.186 Ta có Pap-l[b^ = Pa[a^ = p(aij+l) = bij+l.

1.1.187 Trong đó j+l được lấy theo modulo độ dài của xích chứa air
1.1.188

h) Mệnh đề 3.3.3

1.1.189 Hai phép thế liên họp với nhau trong nhóm đối xứng khi và
chỉ khi chúng có cùng số xích rời rác với mỗi độ dài đã cho.
1.1.190
Chứng minh:
• Điều kiện cần : được suy ra từ bố đề 3.3.1.
•

Điều kiện đủ:
1.1.191 Giả sử rằng:
1.1.192.......

a =

( ữ U ’ ...............................’ ữ l r ) { a 21’ .................................

1.1.193

là hai phép

1.1.194.......y=(K........A)(V...........A,)-(

.............’*»)
1.1.195

b

^

thế có cùng số xích với mỗi độ dài đã cho . Khi đó, ta định

nghĩa phép thế p bởi công thức /?(ữý ) = btj.