Tính toán dao động của dầm bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp (ma trận truyền

Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

MỤC LỤC
MỤC LỤC..........................................................................................................
1. Tính cấp thiết của đề tài............................................................................................
1.1 Các vấn đề nghiên cứu động lực học công trình cầu.............................................
1.1.1 Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết......................................................................... 4
1.1.2 Những vấn đề nghiên cứu ứng dụng........................................................................4

1.2 Các phương pháp nghiên cứu về động lực học công trình cầu..............................
1.2.1 Phương pháp nghiên cứu trên mô hình vật lý..........................................................4
1.2.2 Phương pháp nghiên cứu mô hình toán..................................................................4

1.3 Các thành tựu nghiên cứu chuyên sâu về động lực học công trình cầu
.......................................................................................................................................
1.4 Đặt vấn đề nghiên cứu của đề tài............................................................................
2.1 Phương pháp ma trận chuyển tiếp..........................................................................
2.1.1 Ma trận chuyển tiếp của đoạn dầm có tiết diện không đổi chịu dao động uốn........7
2.1.2 Ma trận độ cứng của 1 đoạn dầm chịu dao động uốn............................................12
2.1.3 Lập ma trận chuyển tiếp cho các phần tử rời rạc...................................................12

2.2 Áp dụng để tính tần số riêng của các loại dầm.....................................................
2.2.1 Dầm có tiết diện không đổi, hai đầu gối tựa cứng..................................................15
2.2.2 Dầm có tiết diện không đổi, 2 đầu ngàm...............................................................17
2.2.3 Dầm có 2 gối tựa đàn hồi ở hai đầu mút................................................................18
2.2.4 Dầm gối trên nhiều gối tựa cứng...........................................................................21
2.2.5 Dầm liên tục có công xon ở 2 đầu.......................................................................... 23

3.1 Trình tự tính toán cụ thể.......................................................................................
3.2 Lập chương trình tính toán bằng phần mềm Mathlab..........................................
3.3 Tính toán kiểm tra thực tế.....................................................................................

3.3.1 Tính toán tần số dao động tự do cho cầu Bùng......................................................26
3.3.2 Tính toán tần số dao động tự do cho cầu Đông Hà, Quảng Trị...............................28

1.Kết luận...................................................................................................................

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 1


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Việt Nam là một đất nước đang phát triển, đời sống kinh tếxã hội đang ngày càng
được cải thiện và nâng cao.Các ngành công nghiệp trong nước cũng đang từng bước
phát triển mạnh mẽ.Ngành xây dựng trong nước cũng đang có những bước phát triển
đáng kể. Các công trình xây dựng và giao thông ngày càng được thiết kế với kiến trúc
đa dạng và hiện đại, đòi hỏi phần kết cấu phải theo kịp để đáp ứng yêu cầu kiến trúc và
chất lượng công trình. Trước kia, các kết cấu có tiết diện thay đổi thường được đơn
giản hóa, tính toán như các kết cấu có tiết diện không đổi tương đương. Nhưng ngày
nay, yêu cầu cần phải phát triển và hoàn thiện công nghệ tính toán các công trình xây
dựng nói chung và các công trình kỹ thuật đặc biệt nói riêng để nâng cao độ chính xác
trong quá trình thiết kế kết cấu. Việc tính toán các kết cấu phải có sự chính xác cao và
thuận tiện cho việc sử dụng máy vi tính. Mặc dù vấn đề tính toán kết cấu là rất quan
trọng và đã được nhiều nhà khoa học quan tâm, và đã có nhiều công trình nghiên cứu,
song vẫn còn nhiều vấn đề về phương pháp tính toán các kết cấu vẫn chưa được giải
quyết triệt để. Một trong những vấn đề cần được nói đến đầu tiên là dao động của dầm,
khung.
Hiện nay đã có những công trình tính toán dao động của dầm sử dụng phương

pháp phần tử hữu hạn, tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu tính toán động lực học
của hệ thanh, vòm, khung, việc áp dụng ma trận chuyển tiếp để tính toán rất có hiệu
quả, ngay đối với một hệ phức tạp, việc áp dụng cũng rất thuận lợi. Phương pháp này
còn thích hợp và thuận lợi cho việc dùng máy tính điện tử, vì các phép tính lặp đi lặp
lại nhiều lần. Chính vì những lý do này mà em đưa đến việc nghiên cứu đề tài khoa
học: “Tính toán dao động của dầm bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp (ma trận
truyền)”
2. Mục đính nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết tính toán dao động của dầm. Áp dụng các công thức, lập
thuật toán và xây dựng chương trình tính bằng phần mềm Mathcad để tính toán dao
động của dầm theo phương pháp ma trận chuyển tiếp.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 2


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

Đối tượng nghiên cứu là dao động của dầm bằng phương pháp ma trận chuyển
tiếp.
Phạm vi nghiên cứu là lấy công trình cầu Bùng, Nghệ An và cầu Đông Hà,
Quảng Trị
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp thu thập số liệu, khảo sát thực địa, phương pháp chuyên gia được
sử dụng để tích lũy kiến thức, biết tổng quan tìm vấn đề nghiên cứu, bổ sung, kiểm tra
số liệu và kết quả tính toán.
Phương pháp mô hình toán được sử dụng để xác định dao động của dầm trong
công trình thực.
5. Đóng góp mới của đề tài

Dựa trên việc sử dụng ma trận chuyển tiếp, tác giả đã đề xuất và lập trình trên
Mathcad, Mathlab nhằm tự động hóa việc tính toán dao động của dầm. Qua đó có thể
phục vụ cho việc thiết kế, tính toán kết cấu trong xây dựng nói chung và trong xây
dựng cầu đường nói riêng.

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 3


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

Chương 1

GIỚI THIỆU CHUNG
1.1 Các vấn đề nghiên cứu động lực học công trình cầu
1.1.1 Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết

- Nguyên lý làm việc của các loại công trình cầu.
- Mô phỏng chế độ dao động của công trình cầu.
- Tính toán tần số dao động tự do và cưỡng bức của các bộ phận cũng như của cả
kết cấu tổng thể.
1.1.2 Những vấn đề nghiên cứu ứng dụng

- Xác định các phương án bố trí không gian cho công trình cầu, tính toán kết cấu
và ổn định công trình.
- Đánh giá dao động của công trình cầu.
1.2 Các phương pháp nghiên cứu về động lực học công trình cầu

Các nghiên cứu về cầu vượt sông thường tiến hành nhiều nhất bằng các thí

nghiệm trên mô hình vật lý (MHVL), những năm gần đây mới bắt đầu có những
nghiên cứu trên mô hình toán (MHT).
1.2.1 Phương pháp nghiên cứu trên mô hình vật lý

Với những vấn đề lý thuyết cơ bản, các thí nghiệm thường được tiến hành trong
các phòng thí nghiệm thủy lực.Đối với những nghiên cứu ứng dụng, thường tiến hành
trên các mô hình thực tế, với các điều kiện có tính địa phương tại khu vực xây cầu.
Các thí nghiệm về cầu thường được quy định hệ số biến hình để không ảnh
hưởng đến tính tương tự.
1.2.2 Phương pháp nghiên cứu mô hình toán

Mô hình toán có thể thay thế mô hình vật lý đối với bài toán dao động. Với
những vấn đề dao động cho các công trình cầu, mô hình toán cũng đang phát triển quá
phức tạp, do điều kiện biên quá phức tạp và chưa được nghiên cứu đầy đủ, do đó còn
phải tốn nhiều công sức để làm cho mô hình toán 3D ứng dụng được vào thực tế.

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 4


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

Điểm còn tồn tại của các nghiên cứu trên mô hình toán là để mở rộng phạm vi sử
dụng của mô hình toán, nâng cao độ chính xác tính toán, bảo đảm tính ổn định và hội
tụ của các nghiệm, giảm thiểu dung lượng bộ nhớ và tăng tốc độ tính toán cũng cần
được nghiên cứu.
Trên thế giới, những công trình cầu lớn đều được nghiên cứu trên mô hình toán
và mô hình vật lý.Ở nước ta, mô hình vật lý thì không phải dễ dàng thực hiện.Những
mô hình toán lớn hiện nay lại rất khó ứng dụng cho loại công trình cầu vì kích thước

trụ cầu, mố cầu thường quá nhỏ so với lưới tính toán. Những công trình do chưa
nghiên cứu dự báo tốt hiệu quả kỹ thuật của nó, nên không phát huy tác dụng hoặc dẫn
đến những hậu quả xấu.
1.3 Các thành tựu nghiên cứu chuyên sâu về động lực học công trình

cầu
- Chế độ dao động tổng thể của cả công trình.
- Chế độ dao động của từng bộ phận (trụ tháp, dầm cầu...).
- Khoảng cách hữu hiệu giữa bộ phận (trụ cầu, mố cầu, trụ tháp...).
- Hình dạng kết cấu các bộ phận (trụ cầu, trụ tháp, mặt cắt dầm...).
- Tính toán dự báo hệ quả kỹ thuật của công trình.
1.4 Đặt vấn đề nghiên cứu của đề tài

Trong tính toán động lực học công trình cầu, quan trọng nhất là xác định các tần
số dao động tự do và cưỡng bức. Với nhận thức này trong phạm vi đề tài, tác giả sẽ đi
sâu nghiên cứu vấn đề sau đây:
Việc tính toán dao động thường thực hiện theo các phương pháp gần đúng (Ritz,
Rayleigh...), đối với dự án lớn mới có điều kiện thí nghiệm trên mô hình vật lý. Các
mô hình toán với các cách chia lưới khác nhau (hình chữ nhật, cong, tam giác….) cũng
đều có khó khăn trong khai báo công trình vì kích thước công trình nhỏ hơn lưới tính
toán điều đó dẫn đến kết quả còn hạn chế trong mô phỏng tác dụng của công trình. Đề
tài sẽ đi sâu nghiên cứu sử dụng phương pháp ma trận chuyển tiếp (ma trận truyền) để
tính toán dao động tự do của cầu, sau đó sẽ tính toán cho các công trình thực tế là cầu

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 5


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

Bùng – Nghệ An, cầu Đông Hà – Quảng Trị rồi so sánh với kết quả tính toán từ
phương pháp giải tích hoặc phương pháp ma trận độ cứng động lực để rút ra nhận xét

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 6


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

Chương 2

Cơ sở lý thuyết
2.1 Phương pháp ma trận chuyển tiếp
2.1.1 Ma trận chuyển tiếp của đoạn dầm có tiết diện không đổi chịu dao động
uốn

Xét một đoạn thẳng chiều dài l, ký hiệu đoạn thẳng bằng chữ j, đầu bén phải của
đoạn thẳng ký hiệu (j+1) và bên trái ký hiệu (j). Lực cắt và mô men uốn ở hai đầu mút
được biểu diễn theo hình (hình 2.1)
(F,M)j

j

(F,M)j+1

l

Hình 1.1. Biểu diễn đoạn dầm

Phương trình vi phân của dầm khi dao động tự do.
EJ

∂4 z
∂2z
+
m
=0
∂x 4
∂l 2

(2.1)

Trong đó:
z - chuyển dịch uốn của dầm khi dao động
EJ: Độ cứng của dầm khi uốn
m - Khối lượng đơn vị của dầm
Chuyển dịch uốn của dầm khi dao động có thể biểu diễn
z=y(x).sinωt

(2.2)

Thay (2.2) vào (2.1) ta nhận được phương trình dao động tự do, uốn của đoạn
thẳng dưới dạng
y(x) - β4y(x) = 0
Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

(2.3)
Trang: 7

Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

ω 2m

Trong đó: β4 = EJ
ω - tần số vòng dao động tự do của dầm
Nghiệm của phương trình 2.3 có thể dưới dạng:
y(x) = a1(chβx + cosβx) + a2(shβx + sinβx) + a3(chβx - cosβx) + a4(shβx sinβx)

(2.4)

Dạng 2.4 được gọi là dạng Krylôv; ở đây a1, a2, a3, a4 là những hằng số
Bây giờ lần lượt lấy đạo hàm 2.4 theox


+ a3 β ( shβ x + sin β x) + a1 β (chβ x − cos β x )

2
2
y ''( x ) = a1 β (chβ x − cos β x ) + a2 β (sh β x − sin β x ) + 

a3 β 2 (chβ x + cos β x ) + a4 β 2 ( shβ x + sin β x ) 
y'''(x) = a1 β 3 (chβ x + sin β x) + a2 β 3 ( chβ x − cos β x + 

+ a3 β (chβ x − sin β x) + a1 β 3 (chβ x + cos β x)
y'(x) = a1 β ( shβ x − sin β x) + a2 β (chβ x + cos β x +

(2.5)

Thay x = l vào y(x), y'(x), y''(x), y'''(x) và tập hợp lại thành hệ thống sau:


y '(l ) = a1 β ( S − s ) + a2 β ( S + s) + a3 β ( S + s ) + a2 β (C − c )


2
2
2
2
y ''(l ) = a1 β (C − c) + a2 β ( S − s ) + a3 β (C + c ) + a4 β (C + c ) 
y '''(l ) = a1 β 3 ( S + s ) + a2 β 3 (C − c ) + a3 β 3 ( S − s ) + a4 β 3 (C + c ) 
y (l ) = a1(C + c ) + a2 ( S + s ) + a3 (C − c ) + a4 ( S − s )

(2.6)

Trong đó ký hiệu
C=chβl

c = cosβl

S = shβl

s = sinβl

Đưa hệ phương trình 4.6 về dạng ma trận sau:
S+s
C −c
S −s
  a1 

 y (l )  C + c
 
 y '(l )   β ( S − s )
β (C + c) β ( S + s)
β (C − c )   a2 

 
.

= 2
2
  
 y ''(l )   β (C − c) β 2 ( S − s ) β (C + c) β ( S + s )   a3 
 y '''(l )   β 3 ( S + s) β 3 (C − c) β 3 ( S − s) β (C + c)   a 

  4

(2.7)

hoặc rút gọn
Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 8


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

yj+ 1 = A.a

(2.8)

Trong đó:
S+s
C −c
S −s
C + c

 β ( S − s)
β (C + c) β ( S + s )
β (C − c)

A=  2
β (C − c) β 2 ( S − s ) β 2 (C + c) β ( S + s) 
 3

3
3
β (C + c) 
 β ( S + s ) β (C − c) β ( S − s )

a1 
 
a2 
a=  
a3 
a 
 4

y 
 y' 

 
; y=  
 y' ' 

 y ' ' '


2.8 là hệ phức biểu diễn dưới dạng ma trận véc tơ y j+1 của đoạn thẳng ở mút bên
phải (x=1). Để tìm hệ thức trên của đoạn thẳng ở đầu mút bên trái, thay x = 0 vào hệ
phương trình .24 và 2.5 và tập hợp dưới dạng ma trận.
 y (0)   2
 y '(0)  0

 

=
 y ''(0)  0
 y '''(0)  0


0
2β

0
0

0

2β 2

0

0

 a1 
  
 .  a2 
 
0   a3 

2 β 2  a4 

0
0

(2.9)

hoặc viết thu gọn
yj = B.a
Từ 2.10 rút ra

a = B-1.yj

(2.10)
(2.11)

B-1 là ma trận nghịch đảo của B
0
0
1 / 2 0


0

1/ 2β 0
0
−1


B =
2
0

0
1 / 2Β 0


0
0
1 / 2Β 3 
0

(2.12)

Thay a từ 2.11 vào 2.8 đưa đến hệ thức liên hệ giữa yj+1 và yj
yj+1 = A.B-1 .yj

(2.13)

Trong thực tế tính toán thường gặp ma trận cột

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 9


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

y 
φ 
 
r= 
M 

Q 


(2.14)

Để tìm liên hệ giữa r và y chúng ta để ý đến liên hệ lực cắt và mômen uốn của
dàm với y'' và y''
M = EJ.y''(x)
F = -EJ.y'''(x)

(2.15)

Lập hệ thức giữa y và r
 y  1
φ   0
  
 =

 M  0
Q   0

0
1
0
0

0  y 
0   y ' 
. 
0   y '' 

− EJ   y '''

0
0
EJ
0

(2.16)

hoặc viết gọn dưới dạng
r = R = T.y

(2.17)

Từ 2.17 rút ra
y = T-1 .r

(2.18)

Trong đó T-1 là ma trận nghịch đảo của T
1
0
T −1 = 
0

0

0
1
0
0

0
0
EJ
0

0 
0 
.
0 

− EJ 

(2.19)

Thay 2.18 vào 2.13

T-1.rj+1=A. B-1.T-1.rj
hoặc
rj+1 = T . A.B-1 . T-1 .rj

(2.20)

rj+1 = C. rj

(2.21)

Viết ký hiệu dưới dạng

C = T.A.B-1.T-1 là ma trận chuyển tiếp của đoạn thẳng từ mút (j+1)→(j)
Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 10


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

Hệ thức 2.21 gọi là hệ thức chuyển tiếp của đoạn thẳng 1 khi chịu dao động uốn.
Thay thế các ma trận T, A, B-1 từ 2.17, 2.7, 2.12, 2.19 để tính C, kết quả sau khi
nhân liên tiếp 4 ma trận trên, nhận được.
 (C + c )
(S + s) / β

(C + c)
1 ( S − s) β
C = 
2 (C − c) EJβ 2

( S − s) EJβ

3
− ( S + s) EJβ
(C − c ) EJβ 2

(C − c) / β 3 FJ − ( S − s) β 3 EJ 

( S + s ) / β EJ − (C − c) / β 2 EJ 
 (2.22)
(C + c )
− (S + s) / β


( S − s) β
(C + c)

Đặt ký hiệu
1
F1 = (C + c)
2
1
F2 = ( S + s )
2
1
F3 = (C − c)
2
1
F4 = ( S − s )
2

Ma trận C có dạng
 F1

βF4
C= 
2
 EJβ F3
− EJβ 2 F
2


F2 / β

F3 / β 2 EJ

F1

F2 / βEJ

EJβF4

F1

− EJβ 2 F3

− βF4

- F4 / β 2 EJ 


− F3 / β 2 EJ 

− F2 / β


F1


(2.24)

Ma trận chuyển tiếp C được dùng để tính toán tần số riêng của hệ dầm, khung khi
dao động uốn, sẽ được áp dụng để tính toán ở phần sau:
Các hàm F1, F2, F3, F4 có thể triển khai thành dạng chuỗi số

λ4 λ8 λ12
+ +
+ ...
4! 8! 12!

λ4 λ8

F2 / λ = 1 + + + ... 

5! 9!

4
8
1 λ
λ
2

F3 / λ = + +
+ ... 

2 6! 10!

4
8
1 λ
λ

F4 / λ 3 = + +

6 7! 11!
F1 = 1 +

(2.25)

Trong đó
Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 11


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

λ=βl
2.1.2 Ma trận độ cứng của 1 đoạn dầm chịu dao động uốn
j+1

EJ

j

l

Hình 1.1. Đánh số đoạn dầm chịu dao động uốn
Xét một đoạn thẳng chiều dài l có độ cứng EJ, nếu ta bỏ qua khối lượng của đoạn
thẳng mà chỉ kể đến độ cứng của nó, thì ma trận chuỷen tiếp của đoạn thẳng trong
trường hợp này gọi là ma trận độ cứng (λ = βl = 0). Thay β= 0 và chú ý đến dạng triển
khai (2.25) vào ma trận C ở 2.24 ta nhận được ma trận độ cứng chuyển tiếp
1

0
0
C =
0

0

l

l 2 / 2EJ

1

l / EJ

0
0

1
0

-l3 / 6 EJ 

− l 2 / 2 EJ 

−l

1


(2.26)

2.1.3 Lập ma trận chuyển tiếp cho các phần tử rời rạc

Khi tính toán một hệ thống dao động thường gặp những phần tử rời rạc như khối
lượng tập trung, độ cứng tập trung (các lò xo). Ta sẽ lần lượt lập ma trận chuyển tiếp
của các phần tử đó.

Hình 1.1. Biểu diễn phần tử rời rạc
a) Ma trận chuyển tiếp có khối lượng tập trung M, momen quán tính θ. Chuyển
dịch thẳng và góc ở 2 phía của j
yj+1 = yj
ϕj+1 = ϕj
Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

(2.27)
Trang: 12

Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

Cân bằng lực tại điểm j
Fj = Fj+1 + F = 0
2
F = - ω My j − lực quán tính của khối lượng M. Thay F vào biểu thức trên và rút

ra
2
Fj+1 = Fj - ω My j

(2.28)

Mô men cân bằng tại j
Mj - Mj+1 + M0 = 0
2
M = - ω θϕ j - mô men quán tính của khối lượng M. Thay M 0 vào biểu thức trên

và rút ra.
2
Mj+1= Mj ω θϕ j

(2.29)

Từ các biểu thức 2.27, 2.28, 2.29 ta có thể lập dạng hệ thức chuyển tiếp
0
 y  1
ϕ  0
1

 =
 M  0
− ω 2θ
   2
0
 F  − ω M

0
0
1
0

0  y 
0 ϕ 
. 
0  M 

1   F 

(2.30)

Viết ký hiệu 2.30 thành dạng
rj+1 = CM.rj

(2.31)

Trong đó CM ký hiệu ma trận chuyển tiếp của khối lượng M
0
1
0

1
CM = 
0
− ω 2θ
 2
0
− ω M

0
0
1
0

0
0
0 

1 

(2.32)

b) Ma trận chuyển tiếp của các dạng lò xo
Ma trận dạng này thường gặp khi tính dầm, trục gối trên gối tựa đàn hồi thẳng và
quay, độ cứng k biểu diễn độ cứng thẳng đứng, K - độ cứng quay.

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 13

Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

J

κ

K

(F,M)J+1

(F,M)J

Hình 1.2. Dạng lò xo

Chuyển dịch thẳng đứng và quay ở trái và phải của j

y j +1 = y j

ϕ j +1 = ϕ j
Phương trình cân bằng lực momen tại j:

− F j +1 + E j + Q = 0
− M j +1 + M j + M = 0
Và

Q = ky j
M = Kϕ j
Nên rút ra được

F j +1 = F j + ky j

M j +1 = M j + Kϕ j
Lập hệ thức chuyển tiếp

 y  1 0
ϕ   0 1
  
 =
M  0 K
 F   k 0

0
0
1
0

0  y 
0  ϕ 
 
0 M 

1   F 

j

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 14


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

Viết ký hiệu dưới dạng

rj +1 = C k rj
Trong đó C k - ma trận chuyển tiếp của các phần tử độ cứng tập trung

1
0
k
C =
0

k

0 0
0 0

1 0

0 1

0
1
K
0

c) Ma trận chuyển tiếp của hệ có độ cứng và khối lượng tập trung
J

κ

K

(F,M)J+1

(F,M)J

Hình 1.3. Hệ có độ cứng và khối lượng tập trung
Ma trận được lập bằng cách cộng 2 ma trận CM và Ck ký hiệu ma trận hỗn hợp

1


0
C%= 

0

2
k − ω M

0
1
K − ω 2ϕ
0

0 0
0 0

1 0


0 1

2.2 Áp dụng để tính tần số riêng của các loại dầm
2.2.1 Dầm có tiết diện không đổi, hai đầu gối tựa cứng

EJ
J
l

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 15


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

Hình 1.1. Dầm đơn giản kê trên gối tựa
Hệ thức chuyển tiếp ở hai đầu từ phải đến trái của dầm
C11
y 

φ 
  = C21

M 
C 321
 
Q  j +1 C41

C12

C13

C22

C23

C32

C14   y 
  
φ 
C24  
.



C34   M 
 
C44  Q  j

C33

C42

C43

(1)

Các phần tử của ma trận C jk (j, k = 1,2,3,4) ký hiệu tương ứng với ma trận C ở
2.24
Điều kiện biên
y 
 y  0
  =  = 
M  j +1 M  j 0

(2)

Thay (2)vào (1)
C11
y 

φ 
  = C21

0 
C 321
 
Q  j +1 C41

C12

C13

C22

C23

C32
C42

C14  0 

C24  φ 
. 
C34  0 
 
C44  Q  j

C33
C43

(3)

Từ đó rút ra
0  C12
 =
0  C32

Vì

Thay

M 
 ≠
Q 

C14  φ 

 
C34  Q  j

(4)

0 
  nên từ phương trình 11 ta có
0 

C13

C14

C 23

C 24

=0

(5)

Khai triển thành
C12 C34 − C32 C14 = 0

(6)

đó là phương trình tần số của dầm cho ở trên

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 16


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

C12 = F2 / β

Thay

C14 = − F4 / β 3 .EJ
C32 = F4 EJβ
C34 = − F2 / β

Vào 6 ta nhận được phương trình
shβl.sinβl = 0

(7)

Vì shβl ≠0 khi βl ≠0 nên chỉ có sinβl = 0, nghiệm của phương trình tần số có
dạng:

βl = nπ (n là số nguyên)

Từ đó, tần số vòng
ωn =

n 2 .π 2
l2

EJ

m

(8)

(n = 1, 2, ...)
2.2.2 Dầm có tiết diện không đổi, 2 đầu ngàm

Điều kiện bên phải và trái của dầm
EJ
J
l

Hình 1.1. Dầm tiết diện không đổi 2 đầu ngàm
y
 y  0
  =  = 
ϕ  j +1 ϕ  j 0

(9)

Thay 9 vào hệ thức chuyển tiếp 1 ta có
C12 ...
C14 
0  C11


0 
C22 ...
C24 
  C21

 =

 M  ................................ 
Q  C
C44 
 41 C42 ....

0 
0 
 
 
M 
Q 

(10)

Từ đó rút ra

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 17


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

0  C12
 =
0  C23

M 

F 

C14   M 
  
C24  Q  j

(11)

0
0

Vì   ≠   nên từ phương trình 11 ta có
C13

C14

C 23

C 24

=0

(12)

Thay
C13 = F3 / β 2 EJ
C14 = − F4 / β 3 EJ
C 23 = F2 / β EJ
C 24 = − F3 / β 2 EJ

Vào định thức 12 và triển khai phương trình tần số nhận được
chβl.cosβl = 1

(13)

Giải phương trình 13 tìm được:
βl = 4,73
Từ đó, tần số riêng bậc 1
ωl = (

4,73 2 EJ
)
l
m

Dùng hệ thức chuyển tiếp 1 với các điều kiện khác nhau, ta có thể tìm được tần
số riêng của dầm có điều kiện thay đổi.
2.2.3 Dầm có 2 gối tựa đàn hồi ở hai đầu mút
EJ
l

k1

k2

l

Hình 1.1. Dầm kê trên gối đàn hồi
Điều kiện biên
Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 18


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

- Trái:

- Phải:

Q1 = k1 . y1
M1 = 0
Q2 = k2 . y2

(14)

M2 = 0

Hệ thức chuyển tiếp từ phải sang trái của dầm
 y  C11
φ  C
  =  21
 M  C 321
  
Q  2 C41

C12

C13

C22

C23

C32

C33

C42

C43

C14   y 


C24  
φ 
.
  
C34   M 
 
C44  Q 1

(15)
Thay điều kiện biên M1 = M2 = 0 vào (15)
C12
.....
C14   y 
 y  C11
  

φ  
C22
......
C24  φ 
  = C21
. 
 0  ....................................................  0 

  
C42
......
C44  Q 1
Q  2 C41

(16)

Từ hằng thức thứ nhất của (16) , rút ra
y 
 
C14  . φ 
Q 
 1

(17)

y 
 
y2 .k2 = C11.k2 .C12 .K 2 C14 .k 2  . φ 
Q 
 1

(18)

y2 = C11 C12

Nhân (17) với k2

Từ hàng thứ 4 của (16) rút ra.
F2 = C41 C42

y 
 
C44  . φ 
Q 
 1

(19)

Vì F2 = y2k2 nên trừ (18) và (19) với nhau ta được

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 19


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

y 
 
0 =  k2 .C11 − C41.K 2 C12 − C42 .k2 C14  . φ 

Q 
 1

(20)

Lập hệ thức
 y  1 0 
  
 y
φ  = 0 1  .  
Q  k 0  φ 1
 1  1 

(21)

Thay (21) vào (20) ta nhận được
0 = [ k2 C11 − C41 + k1 (k 2 C14 − C44 ) k 2 C12 − C42 ] 
ϕ 1
y

(22)

Mặt khác, từ hàng thứ 3 của (16), rút ra
0 = C31 C32

y 
 
C34  . φ 
Q 
 1

(23)

Thay (21) vào (23) ta có

[

0 = C310 + k

1 C 34

C 32

].ϕy 

(24)

1

Kết hợp (24) và (22) thành liên hệ ma trận
 y
C31 + k1 C34
0 
.  
 =
0 k 2 C11 − C41 + k1 ( k 2 C14 − C 44 ) k 2 C12 − C42  ϕ 1

y

(25)

0

Vì   ≠   nên phương trình (25) chỉ thoả mãn khi:
ϕ 1 0
C31 + k1 C34

C32

k 2 C11 − C41 + k1 (k 2 C14 − C44 ) k 2 C12 − C42

=0

(26)

Đó là phương trình tần số của hệ dầm có 2 gối tựa đàn hồi. Các phần tử C 31, C34,
C32, C11 ... áp dụng từng trường hợp cụ thể của dạng dầm . Nếu dầm phức tạp như dạng
trục ở ví dụ 2.3 thì các phần tử C ij của (26) lấy từ ma trận kết quả C 81. Nếu dầm dạng
đơn giản, có tiết diện không đổi, độ cứng EJ thì C ij có thể lấy trực tiếp từ công
thức2.24

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 20


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

2.2.4 Dầm gối trên nhiều gối tựa cứng

Các ma trận chuyển tiếp đã lập được trong các tiết trước không thể dùng tính trực
tiếp cho trường hợp trục hoặc dầm gối trên nhieue gối tựa cứng. Trong phần này chúng
ta sẽ tìm một dạng ma trận để có thể giải quyết được bài toán này.
Cho một dầm có tiết diện không đổi, tựa trên n gối tựa cứng được đánh số từ 1
đến n - Xem hình 2-7

j

Mj

Mj+1

Hình 1.1. Dầm trên gối tựa cứng
Cắt dầm thành nhiều đoạn ở các điểm có gối tự - xem hình 2-7b. Ta có thể lập
ma trận chuyển tiếp của đoạn thẳng ở 2 đầu có gối tựa cứng, với điều kiện biên.
y j +1 = y j = 0

(2.38)

Theo công thức (2.21) ta lập liên hệ chuyển tiếp của đoạn thẳng j, viết dưới dạng
ký hiệu sau:
C11
y 

φ 
  = C21

M 
C 321
 

Q  j +1 C41

C12

C13

C22

C23

C32

C33

C42

C43

C14   y 

C24  φ 
. 
C34   M 
 
C44  Q  j

(2.39)

Thoả mãn điều kiện biên ở trên, hệ thức (2.39) trở thành
 C12

0 

φ 
  =  C22

M 
 C32
 
Q  j +1  C42

C13
C23
C33
C43

C14 
 φ 
C24   
 . M 
C34   
Q  j

C44 

(2.40)

Từ hàng thứ 1 của (2.40) rút ra

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 21


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

0 = [C12 C13

ϕ 
 
C14 .M 
F 
 j

]

(2.41)

và từ hàng 2 và 3 rút ra.
 C22
φ 
M  = 
  j +1  C32

C23
C33

φ 
C24   
 . M 
C34   

Q  j

(2.42)

Từ (2.41) có thể viết và biến đổi như sau:
0 = C12

φ 
C13  .   + C14 .Q j
M  j

Từ đó
 C
C 
Q j =  − 12 − 13  .
 C14 C14 

φ 
 
M  j

(2.43)


0 
φ 
1  . 
 Q  j
C13 
−

C14 

(2.44)

Với Fj tìm được ở (2.43), lập hệ thức

 1
φ 

M  = 
0
 

Q  j +1  C12
−
 C14


Thay hệ thức vừa lập vào (2.42) ta có:

 C 22
ϕ 
=

M 
  j +1  C32

C 23
C33



1
C 24  
 . 0
C34  
 − C12
 C14




0 
ϕ 
1  
 M  j
C13 
−
C14 

Sau khi nhân 2 ma trận với nhau, hệ thức chuyển tiếp của dầm j với 2 đầu có gối
tựa cứng có dạng

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 22


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014


C12
C13 
C22 − C24 C C23 − C24 C 
ϕ 
14
14  ϕ 

 
M  = 
C12
C13  M  j
  j +1
C33 − C34
C32 − C34

C14
C14 


(2.45)

Hoặc viết gọn
ϕ 
∆
M  = C j
  j +1

[ ] . ϕM 


(2.46)

j

Trong đó:

[C ] = C
∆
j

11

C21

C12 
(cC − 1) / β EJ 
1 cS − sC
=


cS − sC
C22  S − s − 2 sSβ EJ


(2.47)

[ ]

∆

Nếu bỏ qua khối lượng của bản thân dầm, ma trận C j trở thành

[C ] = −− 62EJ / l
∆
j



− l / 2 EJ 
− 2 

(2.48)

2.2.5 Dầm liên tục có công xon ở 2 đầu

a) Lập ma trận chuyển tiếp của dầm công xon ở phía trái
3

2

1

M2
2
Hình 1.1. Dầm liên tục có conson
Hệ thức chuyển tiếp của đoạn dầm 1
 y  C11 .................. C14 

φ  
  C21...................C24 

  =

 M  .......................... 
Q  C .................. C 
2
 41
44 

y 
φ 
 
 
M 
Q 
1

(2.49)

Điều kiện biên:

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 23


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

 M  0 
y2 = 0,   −  
Q 1 0 

(2.50)

Thay (4.50) vào (4.49)
 y  C11 C12 ........C14 

ϕ  
  C21 C22 .........C24 
  =

M  .......................... 
 F  C C ...... C 
2
44 
 41 42

y
ϕ 
 
 
0 
0 

(2.51)

1

Từ hàng thứ 2 và 3 của (2.51), rút ra
ϕ  C12
 =

M  C21

C22   y 
. 
C32  ϕ 1

(2.52)

Từ hàng thứ 1 của (4.51), rút ra
0 = C11 y1 + C12ϕ1
Do đó
y1 = −

C12
ϕ1
C11

Lập liên hệ:
 C 
 y  C21 C22  − 12 
. C11 .ϕ1
  =
ϕ 2 C31 C32  
 1 

(2.53)

Thay (2.53) vào (2.52) ta có
hoặc


C12 
C 22 − C 21 .

C1 
C11 
ϕ 

  =
.ϕ1 =  .ϕ1
C 2 
C
 M 1 
C − C 31 . 12 
 32

C11 


(2.54)

Các phần tử C22, C21, C12, C11, C32, C31 tính từ ma trận C ở (2.24) đối với dầm có
tính đến trọng lượng bản thân) hoặc (2.26) với dầm bỏ quan trọng lượng bản thân.
Với dầm có trọng lượng bản thân
Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

Trang: 24


Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên năm học 2013-2014

1 − cC





C
ϕ
   1
C+c
  =  ϕ1 = 
.ϕ1
M  2 C2 
 (cS − sC ) EJβ 
 C + c


(2.55)

Với dầm bỏ qua trọng lượng bản thân
ϕ 
1 
  =  .ϕ1
M  2 0

Tính toán dao động tự do của cầu bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp

(2.56)

Trang: 25