Đề thi tuyển sinh toán 10 chuyên long an năm học 2016 2017(có đáp án)

SỞ GD&ĐT LONG AN
---------------ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN
NĂM HỌC 2016-2017
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (1,5 điểm).
1

Cho biểu thức P =

+

10

-

5

x + 1 2 x + 1 2x + 3 x + 1
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x để P là số nguyên tố.
Câu 2 (2,0 điểm).

với điều kiện x ³ 0.

Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x - 2m + 5 = 0 (với m là tham số).
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 + x2 + 2x1x2 = 26.

Câu 3 (1,0 điểm).

(

)

Giải phương trình: 2 x2 + 2 = 5 x3 + 1 .
Câu 4 (2,5 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao BE và nội tiếp đường tròn ( O ) .
Tiếp tuyến của ( O ) tại B và C cắt nhau tại S , BC và OS cắt nhau tại M .
a) Chứng minh: AB .BM = AE .BS .
·
·
b) Chứng minh: AME
.
= ASB
Câu 5 (1,0 điểm).
Số A được tạo thành bởi các chữ số viết liền nhau gồm các số nguyên dương từ
1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: A=12345678910…..585960. Ta xóa 100
chữ số của số A sao cho số tạo thành bởi các chữ số còn lại là số nhỏ nhất
(không thay đổi trật tự các chữ số ban đầu). Hãy tìm số nhỏ nhất được tạo
thành đó.
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác.
Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =

abc
(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)

Câu 7 (1,0 điểm).

·
·
Cho tứ giácABCD có BAD
= 600;BCD
= 900 . Đường phân giác trong của
·
·
cắt BD tạiE . Đường phân giác trong của BCD
cắt BD tạiF .
BAD
Chứng minh:

3
2
1
1
1
1 .
+
=
+
+
+
AE CF
AB BC CD DA
--------HẾT--------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm


Họ và tên thí sinh:……………………….Số báo danh:…………….Chữ ký…… ……
Chữ ký cán bộ coi thi 1:………………………

SỞ GD & ĐT LONG AN

KỲ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUYÊN LONG AN
NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (Chuyên)
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Ghi chú:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm .

CÂU

NỘI DUNG

Câu 1a
(0,75 điểm) P =

P =

P =
Câu 1b

(

)

( x + 1)( 2 x + 1)

2 x + 1+ 10 x + 1 - 5

(

12 x + 6

)(

(2,0 điểm)

0,25
0,25

)

x +1 2 x +1

0,25

6
x +1

Vì P là số nguyên tố nên

x + 1 = 2 hoặc x + 1 = 3

(0,75 điểm) Vậy x = 1;x = 4
Câu 2

ĐIỂM

0,5
0,25

D ' = m2 - 2m + 1+ 2m - 5 = m2 - 4

0,5

Phương trình có nghiệm Û D ' ³ 0

0,25

Û m2 - 4 ³ 0 (*)

0,25

ìï x + x = 2m - 2
2
ï 1
2
Với m - 4 ³ 0, theo định lý Vi-et ta có: í
ïï x1x2 = - 2m + 5
î

0,25

x1 + x2 + 2x1x2 = 26 Û 2m - 2 - 4m + 10 = 26

0,25

Û m=- 9
So với (*) thì m = - 9 thỏa yêu cần đề bài

0,25
0,25


Câu 3
(1,0 điểm)

(

)

0,25

2 x2 + 2 = 5 x3 + 1

(

)

(

)

Û 2 x2 - x + 1+ x + 1 = 5 ( x + 1) x2 - x + 1
Û 2

x +1
x2 - x + 1

- 5

x +1
x2 - x + 1

0,25

+2= 0

é x +1
ê
=2
ê 2
x
x
+
1
ê
Û ê
ê x +1 = 1
ê 2
ê
ë x - x +1 2
x +1
x2 - x + 1

0,25

0,25

= 2 Û 4x2 - 5x + 3 = 0 (vô nghiệm)

é
êx = 5 - 37
ê
x +1
1
2
2
ê
=
Û
x
5
x
3
=
0
Û
2
ê
2
x - x +1
êx = 5 + 37
ê
2

ë
Kết luận phương trình có nghiệm x = 5 -

2

37 ,

x=

5 + 37
2

Câu 4a
B

(1,0 điểm)

O
M

A

S
E
C

·
·
a) Ta có : AEB
= 900; BMS

= 900(tính chất hai tiếp tuyến cắt
nhau)

0,25


1
·
·
» )
(cùng bằng số đo BC
BAE
= SBM
2

0,25

Suy ra: tam giác ABE đồng dạng tam giác BSM

0,25

Suy ra:
Câu 4b
(1,5điểm)

Vì

0,25

AB

AE
hay AB .BM = AE .BS
=
BS
BM

AB
AE
BC
AB
AE
; MB = ME =
nên
=
=
BS
BM
2
BS
ME

·
·
·
·
ABS
= ABO
+ 900 ; AEM
= BEM
+ 900

(1)
(2)

Vì tam giác ABE đồng dạng tam giác BSM nên

0,25

0,25
0,25

·
·
·
.
ABE
= BSM
= OBM
·
·
·
Suy ra: ABO
= EBM
= BEM

·
·
Từ (2) và (3) suy ra: ABS
= AEM

(3)

(4)

Từ (1) và (4) ta có tam giác ABS đồng dạng tam giác AEM

0,25

0,25
0,25

·
·
Suy ra: AME
= ASB
Câu 5
(1,0 điểm)

Số chữ số của A là 9 + (60 – 10 + 1).2 = 111 chữ số.
Suy ra xóa 100 chữ số thì còn lại11 chữ số.
Để số mới có 11 chữ số nhỏ nhất thì ta phải chọn 5 chữ số đầu tiên bên
trái là chữ số 0 ( nghĩa là xóa hết các chữ số khác 0 từ 1 đến 50)

0,25

11 chữ số còn lại sau khi xóa 100 chữ số là 00000123450

0,25

Vậy số cần tìm là: 123450

0,25

(b + c - a)(c + a - b) £
Câu 6
(1,0 điểm)

0,25

1
(b + c - a + c + a - b) = c
2

Tương tự:

0,25
0,25

(c + a - b)(a + b - c) £ a ; (a + b - c)(b + c - a) £ b
abc
³ 1
(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)
Giá trị nhỏ nhất của Q là 1. Khi đó a = b = c
Suy ra Q =

0,25
0,25


Câu 7

A

( 1,0 điểm)
K
B

F

E

D

C

Gọi K là hình chiếu vuông góc của E lên AB

0,25

Diện tích tam giác ABE là :

K E .AB
AE .sin300.AB
AE .AB
=
=
2
2
4
Diện tích tam giác ADE là :

AE .AD
4
0

Diện tích tam giác ABD là : AB .sin60 .AD =

2

3AB .AD
4

Ta có : Diện tích tam giác ABE + Diện tích tam giác ADE =
Diện tích tam giác ABD . Suy ra:

Tương tự như trên ta tìm được

Từ (1) và (2) ta có:

0,25

3
1
1 (1)
=
+
AE
AB AD

2

1
1 (2)
=
+
CF
CB CD

3
2
1
1
1
1
+
=
+
+
+
AE CF
AB BC CD DA

-------HẾT-------

0,25

0,25