Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2016 trường THPT Ân Thi, Hưng Yên (Lần 3)

TRƯỜNG THPT ÂN THI
——————

ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2015 - 2016 LẦN III
Môn: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
—————————

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y =

x
x+1

Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+1+

9
x+2

trên đoạn [0; 3]
Câu 3 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn 2z = 5i + iz , tính |i.¯
z + 2|
b) Giải phương trình log2 x.log2 (2x) − 2 = 0
1

(x − 1)(ex + 1)dx

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân sau: I =

0

Câu 5 (1,0 điểm). Trong hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I(2; −5; 6) và mặt phẳng (P ) có
phương trình x − 2y + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc
với mặt phẳng (P )? Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P )?
Câu 6 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình: cos 2x − sin x + 2 = 0
b) Có 100 vé xổ số, trong đó chỉ có 1 vé trúng thưởng 100000 đồng, 5 vé trúng thưởng
50000 đồng, 10 vé trúng thưởng 10000 đồng, còn các vé khác không trúng thưởng. Một
người mua 3 vé xổ số, tính xác suất để người đó trúng thưởng và có tổng số tiền thưởng
là 110000 đồng?
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
ABC bằng 1200 . Mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của CD. Tính theo
a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SA và BI ?
√ √

Câu 8 (1,0 điểm). Giải phương trình sau: (x2 + x + 1) x. 3x2 + 4x + 1 = 9x2 + 9x + 2
Câu 9 (1,0 điểm). Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung
điểm của AD, đường thẳng qua M vuông góc với M B cắt CD tại E , gọi H là hình chiếu
của M trên BE , gọi K là giao điểm của BD và AE . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
1 2
nhật ABCD biết M E : x − 3 = 0, H(−1; 2) và K − ;
5 5

Câu 10 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P =

1

1
1
1
1
1
+ 2+ 2+ 2
+ 2
+ 2
2
2
2
a
b
c
a +b
b +c
c + a2

——— Hết ———
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT ÂN THI

ĐÁP ÁN THI THỬ THPTQG NĂM 2015 – 2016 LẦN III
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề.
ĐÁP ÁN

ĐIỂM

x
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y 
x 1

TXĐ: D 

1,0

\ 1 ;

1
( x  1) 2
Hàm số đồng biến trên (; 1) và (1; )
Hàm số không có cực trị
lim y  1; lim y  1 , suy ra đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y' 

x 

0,25

0,25

x 

lim y  ; lim y   , suy ra đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x 1

x 1

Bảng biến thiên

x 

y'

1





y



0,25

1

1

Đồ thị hàm số đi qua O(0;0) và nhận điểm I (1;1) làm tâm đối xứng.
y

3

2

0,25

1

x
-3

-2

O

-1

1

2

-1

-2

Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  1 

9
trên
x2

1,0

[0;3]

TXĐ: D  \ 2
Ta có hàm số đã cho liên tục trên [0;3]
9
x2  4 x  5
y '  1

( x  2)2
( x  2) 2
 x  1 (0;3)
y'  0  
 x  5  (0;3)
11
29
y (0)  ; y(1)  5 ; y (3) 
2
5

max y 
[0;3]

29
(tại x  3 ); min y  5 (tại x  1 )
[0;3]
5

0,25

0,25

0,25

0,25


ĐÁP ÁN
Câu 3: a) Cho số phức z thỏa mãn 2 z  5i  iz , tính i.z  2

ĐIỂM
1,0

b) Giải phương trình log 2 x.log 2 (2 x)  2  0
5i
5i(2  i)
a) 2 z  5i  iz  (2  i) z  5i  z 
z
 z  1  2i
2i
5
i.z  2  i(1  2i)  2  4  i  17

0,25

b) ĐK: x  0
Ta có: log2 x.log 2 (2 x)  2  0  log 2 x. 1  log 2 x   2  0  log 22 x  log 2 x  2  0

0,25

x  2
log 2 x  1
(thỏa mãn)


x  1
log
2
x


 2
4


Vậy phương trình có hai nghiệm x  2; x 

0,25

0,25
1
4

1

Câu 4: Tính tích phân sau: I   ( x  1)(e x  1)dx

1,0

0

u  x  1
du  dx

Đặt 
x
x
dv  (e  1)dx v  e  x

0,5
1

 x x2 
3
I  ( x  1)(e  x)   (e  x)dx  1   e     e
0
2 0 2

0
Câu 5: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (2; 5;6) và mặt phẳng ( P) có phương trình
x  2 y  2 z  3  0 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng
( P) ? Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P) ?
2  10  12  3
Ta có d ( I , ( P)) 
9
3
Mặt cầu (S) có phương trình (S ) : ( x  2)2  ( y  5)2  ( z  6)2  81
Gọi M là tiếp điểm của (S) và (P). Ta có M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (P) có một vtpt là n(1; 2; 2) . Đường thẳng IM đi qua M có nhận n làm vtcp nên

x  2  t

có phương trình IM :  y  5  2t
 z  6  2t

M  IM nên M (2  t; 5  2t;6  2t )
M  ( P) nên 2  t  10  4t  12  4t  3  0  t  3
Vậy M (1;1;0)
Câu 6: a) Giải phương trình: cos 2 x  sin x  2  0
b) Có 100 vé xổ số, trong đó chỉ có 1 vé trúng thưởng 100000 đồng, 5 vé trúng thưởng
50000 đồng, 10 vé trúng thưởng 10000 đồng, còn các vé còn lại không trúng thưởng. Một
người mua 3 vé xổ số, tính xác suất để người đó trúng thưởng và có tổng số tiền thưởng là
110000 đồng?
a) cos 2 x  sin x  2  0  1  2sin 2 x  sin x  2  0  2sin 2 x  sin x  3  0
sin x  1


 x   k 2 , k 
3

sin x 
2
2

x

1

1

x

0,5

1,0

0,25
0,25

0,25

0,25

1,0

0,25
0,25




ĐÁP ÁN

 k 2 , k 
2
b) Xét phép thử: “Mua 3 vé xổ số trong 100 vé xổ số”
3
n()  C100
Gọi A là biến cố: “Người mua vé trúng thưởng được tổng số tiền là 110000 đồng”
TH1: Người mua vé mua được 1 vé trúng thưởng 100000 đồng, 1 vé không trúng thưởng và

1 vé trúng thưởng 10000 đồng
1
Trường hợp này có C11.C84
.C101 khả năng xảy ra
TH2: Người mua vé mua được 2 vé trúng thưởng 50000 đồng và 1 vé trúng thưởng 10000
đồng
1
Trường hợp này có C52 .C10
khả năng xảy ra

Vậy phương trình có nghiệm x 

1
1
1
Suy ra n( A)  C11.C84
.C10
 C52 .C10
 940
n( A) 940
47
Xác suất của biến cố A là P( A) 
 3 
n() C100 8085

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC bằng 1200 .
Mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , góc giữa SA và mặt
phẳng ( ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của CD. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa SA và BI
S

Gọi O  AC  BD
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy
(ABCD) nên SO  ( ABCD) .
Ta có ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC bằng
1200 nên tam giác ABD và tam giác BCD là tam
H
a2 3
B
C
giác đều cạnh a, suy ra S ABCD  2SABD 
G
2
I
O

ĐIỂM

0,25

0,25

1,0

0,25

120°

60°

A

D
F

E

Ta có AC là hình chiếu của SA trên (ABCD) nên (SA,( ABCD))  ( SA, AC )  SAC  600
SO  AO tan 600 

3a
;
2

1
1 3a a 2 3 a3 3
(đvtt)
VS . ABCD  SO.S ABCD  . .

3
3 2
2
4

Gọi G là giao điểm của BI và AC, suy ra G là trọng tâm tam giác BCD.
Dựng đường thẳng d qua A song song với BI cắt CD tại E. Khi đó ta có BI / /(SAE )
4
Suy ra d ( BI , SA)  d ( BI , ( SAE ))  d (G, ( SAE ))  d (O, (SAE ))
3
Dễ thấy ABIE là hình chữ nhật và D là trung điểm của IE. Dựng OF//CD (với F là điểm
thuộc AE) suy ra OF  AE (1)

Dựng OH vuông góc với SF tại H
(2)
Ta có SO  ( ABCD)  SO  AE (3)
Từ (1) và (3) ta có AE  OH (4)
Từ (2) và (4) suy ra OH  (SAE)  d (O,(SAE))  OH
1
3a
Ta có OF   AB  DE  
2
4
1
1
1
20
3a
Tam giác SOF vuông tại O nên


 2  OH 
2
2
2
OH
OS
OF
9a
2 5

0,25

0,25

0,25


ĐÁP ÁN

ĐIỂM

4
2a 5
Vậy d ( SA, BI )  OH 
3
5

Câu 8: Giải phương trình sau: ( x2  x  1) x 3x 2  4 x  1  9 x 2  9 x  2

x  0

x  0
  x  1
Điều kiện  2
 
 x0
3x  4 x  1  0
 x   1
 
3
Khi đó

( x2  x  1) x 3x 2  4 x  1  9 x 2  9 x  2  ( x 2  x  1) x ( x  1)(3x  1)  (3x  1)(3x  2)

1,0

0,25

0,25

 ( x  x  1) x  x  (3x  2) 3x  1
2

2

 ( x2  x) x2  x  x2  x  (3x  1) 3x  1  3x  1 (*)
Xét hàm số f (t )  t 3  t trên
Ta có f '(t )  3t 2  1  0, t  , suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên
Suy ra (*)  f



 

x2  x  f

3x  1

0,25



 x2  x  3x  1  x2  2 x  1  0  x  1  2 (vì x nhận giá trị không âm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1  2
Câu 9: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung điểm của AD,
đường thẳng qua M vuông góc với MB cắt CD tại E , gọi H là hình chiếu của M trên BE,
gọi K là giao điểm của BD và AE. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết
 1 2
ME : x  3  0 , H (1; 2) và K   ; 
 5 5
Gọi I  HD  ME , N  BM  CD
E
Dễ thấy ABM  DNM  BM  MN
H
Tam giác EBN có ME là đường cao cũng là đường trung
B
tuyến nên tam giác EBN cân tại E, suy ra HEM  MED
C
và BE  EN  DE  AB
K
I
Ta thấy hai tam giác vuông HME và DME có
D
HEM  MED và cạnh ME chung nên chúng bằng nhau,
A
M
suy ra HM=MD, EH=ED suy ra D đối xứng với H qua
ME
Đường thẳng HD đi qua H và vuông góc với ME nên có
N
phương trình y  2  0
I  HD  ME nên I (3; 2)

Vì I là trung điểm của HD nên D(7; 2)
BK AB
BK  KD AB  DE
BD BE
Ta có





 HK / / DE
KD DE
KD
DE
KD EH
 4 8
HK   ;  
 5 5
5
AD đi qua D nhận n  HK  1; 2  làm vtpt nên có phương trình là x  2 y  3  0
4

0,25

1,0

0,25

0,25

0,25


P N

M ME AD nờn M (3;0)
Vỡ M l trung im ca AD nờn A(1; 2)
AB i qua A nhn n lm vtcp nờn cú phng trỡnh 2 x y 4 0

BE i qua H nhn MH (4; 2) lm vtpt nờn cú phng trỡnh 2 x y 4 0
B AB BE suy ra B(2;0)
5
Gi F l tõm ca hỡnh ch nht ABCD, vỡ F l trung im ca BD nờn F ;1
2
Li cú F l trung im ca AC nờn C (6; 4)
Vy A(1; 2), B(2;0), C(6;4), D(7;2)
Cõu 10: Cho a, b, c l ba s dng tha món: a b c 3 . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu
1 1 1
1
1
1
thc P 2 2 2 2
2 2 2
2
a b c a b b c c a2
Ta cú
2
1 1
2
1

1
2 2
33 2 2 2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
a b
a b a b
a b (a b )

a 2 b2
ab.ab.
2
ab

2
3 ab
2

.
2
2

1 1
2
12
hay 2 2 2
(1)

2
a b a b
( a b) 2
Bng cỏch chng minh tng t ta cú
1 1
2
12
(2)
2 2 2
2
b c b c
(b c)2
1 1
2
12
(3)
2 2

2
2
a c c a
(c a)2

T (1), (2) v (3) ta cú
1
1 1 1
1
1
1
1
1
P 2 2 2 2
2 2 2
6


2
2
2
2
2
a b c a b b c c a
(a b) (b c) (c a)
18 3

1

(a b)(b c)(c a)

Vy P nh nht bng

2

1

18
3

2a 2b 2c


3



6

9
, khi a b c 1
2

Phaùm Trung Haỷo THPT An Thi, Hửng Yeõn



9
2

IM

0,25

1,0

0,25

0,25

0,25

0,25