Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập tích phân

Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân

Bài 1. Tính các tích phân sau đây (sử dụng tích phân từng phần):
e

π
2

x2 + 1
ln xdx ;
x

a. I = ∫
1
2

k. I = ln(sin x)dx (*) ;
∫
0

b. I = ∫ ln(1 + x)dx ;

π

2
l. I = ∫ x sin x cos xdx ;

1

e3

0

1 
 1
dx ;
c. I = ∫  2 −
ln x ln x 
e

π
4

m. I = x tan 2 xdx ;
∫

2

ln x
dx ;
x2
1

d. I = ∫

0

1

n. I = ∫ sin x dx ;

2

ln( x + 1)
e. I = ∫
;
x2
1

0

π
3

o.

e

f. I = ∫ x ln xdx ;
2

I =∫
π

x
dx ;
sin 2 x

4

1

e

π
3

p. I = ∫ x sin2 x dx ;

2
g. I = ∫ (ln x) dx ;
1
5

0

cos x

π
2

h. I = ∫ 2 x ln( x − 1)dx ;

q. I = e x cos xdx ;
∫

2
π
3

0

ln(sin x)
dx ;
i. I = ∫
2
π cos x

1

3 x
r. I = ∫ x e dx ;
2

0

6

π

2

2
s. I = ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx

j. I = ∫ cos(ln x)dx ;

0

1

1

2 x2
dx (*).
2 2
−1 (1 + x )

t. I = ∫
Hướng dẫn:
e

Câu a: I = ∫
1

e

e

x +1
ln x
ln xdx = ∫ x ln xdx + ∫
dx
x
x
1
1
2

1

e

e
du = dx
e

u = ln x
x 2 ln x
xdx  x 2 ln x x 2 
e2 + 1

x
⇒
.
I
=
−
=
−
=
Tính I1 = ∫ x ln xdx . Đặt 
1


2
2 1 ∫1 2
4 1
4
dv = xdx v = x dx
 2
1


2
e

e

e

e
ln x
ln 2 x
1
dx = ∫ ln xd (ln x) =
= .
Tính I 2 = ∫
2 1 2
1 x
1

Vậy I = I1 + I 2 =

e2 + 1 1 e2 + 3
+ =
.
4
2
4

2

Câu b: I = ∫ ln(1 + x)dx .

1

dx

2
u = ln(1 + x) du =
2
⇒
.
I
=
(
x
+
1
)
ln(
1
+
x
)
−
1+ x
Đặt 

∫1 dx = 3 ln 3 − 2 ln 2 − 1 .
1
dv = dx
v = x + 1

Nguyễn Phước Duy

Trang 1


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
e3

e3

e3

e3

1 
1
1
1
 1
dx = ∫ 2 dx − I1
dx = ∫ 2 dx − ∫
Câu c: I = ∫  2 −
ln x 
ln x
e  ln x
e ln x
e
e ln x
1
−1



e3
dx du =
dx
1
u =
1
x
2
dx. 
ln x ⇒ 
dx =
x ln x . Suy ra: I1 = ∫
Tính: I1 = ∫
ln x
ln x
ln x
e
dv = dx
v = x
e
e3

e3

e3

1
1

x
Vậy suy ra: I = ∫ 2 dx − I1 = ∫ 2 dx −
ln x
e ln x
e ln x

e

e

3

e3

e

e3

1
dx .
2
ln
x
e

+∫

e3

e3

1
−x
− e3
− ∫ 2 dx =
=
+e.
ln x e
3
e ln x

2

ln x
dx .
x2
1

Câu d: I = ∫

dx

du =
u = ln x
2
2
2




ln x
− ln x
dx 1
x
+ ∫ 2 = (1 − ln 2)
Đặt 
. I = ∫ 2 dx =
dx ⇒ 
x 1 1x
2
dv = x 2
v = − 1
1 x
x

dx

u = ln( x + 1) du =
2
2
2
ln( x + 1)
dx
8
ln( x + 1)


x +1
⇒
⇒

I
=
−
+
= ln
Câu e: I = ∫
…Đặt 
dx

∫
2
x
x ( x + 1)
x
3 3
1
1
1
dv = x 2
v = − 1

x
2

e
du = ln xdx
e
2
e


u = ln x
x 2 ln 2 x

x
2
⇒
⇒I=
− x ln xdx .
Câu f: I = ∫ x ln xdx …Đặt 
2
2 1 ∫1
dv = xdx v = x
1

2
dx

e
e
e
e
e
du1 = x
u1 = ln x
x 2 ln x
x
x 2 ln x
x2
⇒
⇒ ∫ x ln xdx =

− ∫ dx =
−
Đặt 
2
2
2
2
41
dv1 = xdx v = x
1
1
1
1
 1 2
e

e

e

e

e
x 2 ln 2 x
x 2 ln 2 x
x 2 ln x
x2
1
− ∫ x ln xdx =
−

+
= (e 2 − 1) .
Suy ra I =
2 1 1
2 1
2 1 4 1 4

2 ln x

e
e
e
u = ln 2 x du =
2
⇒
⇒
I
=
x
ln
x
−
2
ln
xdx
=
e
−
2
I

=
(ln
x
)
dx
x
Câu g:
… Đặt 

∫1
∫1 ln xdx
∫1
1
dv = dx
v = x
1

e
e
u = ln x du = dx
e
⇒
⇒
I
=
x
ln
x
−
ln

xdx
x
Tính ∫
… Đặt 

∫1 dx = 1
1
dv
=
dx

1
v = x
e

2

e

e

Vậy I = x ln 2 x 1 − ∫ 2 ln xdx = e − 2.
1

5

Câu h: I = ∫ 2 x ln( x − 1)dx . Đặt
2

dx


5
5
5
5
u = ln( x − 1) du =
( x 2 − 1)dx
2
2
⇒
x − 1 ⇒ I = ( x − 1) ln( x − 1) 2 − ∫
= ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1)dx

2
x −1
dv = 2 x
2
2
v = x 2 − 1

5

 x2

27
= ( x − 1) ln( x − 1) −  + x  = 24 ln 4 −
.
2
2
 2

2
2

5

Nguyễn Phước Duy

Trang 2


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
π
3

ln(sin x)
dx .
cos2 x

Câu i: I = ∫
π
6

π

cos x
u = ln(sin x) 
π
3
dx
cos x. tan x


du =
dx
sin x ⇒ I = tan x ln(sin x) π3 − ∫
Đặt 
dx ⇒ 
sin x
π
6
dv = cos 2 x
v = tan x
6
π
3

 3
 3 π
3 1 π π 
−
= tan x ln(sin x) − ∫ dx = 3 ln
ln −  −  = 3 ln 3  − .

2 3 6
π
 2  3
 4 6
π
3
π
6

6

2

Câu j: I = ∫ cos(ln x)dx
1

− sin(ln x)

2
2
dx
u = cos(ln x) du =
2
⇒
⇒ I = ∫ cos(ln x) dx = x cos x(ln x ) 1 + ∫ sin(ln x)dx .
x
Đặt 
dv = dx
1
1
v = x
cos(ln x )

2
2
u = sin(ln x) du =
2
⇒

⇒ ∫ sin(ln x)dx = x sin x 1 − ∫ cos(ln x)dx .
x
Lại đặt: 
dv = dx
1
1
v = x
2

Vậy I = x cos(ln x) 1 − x sin x 1 − ∫ cos(ln x) dx ⇒ I = x cos(ln x) 1 − x sin x 1 − I
2

2

2

2

1

2

2

⇔ 2 I = x cos(ln x) 1 − x sin x 1 ⇔ I = sin(ln 2) + cos(ln 2) −

1
2

π

2

Câu k: I = ln(sin x)dx (*)
∫
0

π

π
cos x

2
π
2
dx
π
u = ln(sin x) du =
x
cos
x
⇒
dx = x ln(sin x) 2 − x cot xdx
Đặt 
sin x ⇒ I = x ln(sin x) 02 − ∫
∫0
0
sin x
dv = dx
0
v = x

π
2

π

π

2
2
π
du = dx
Đặt u = x
⇒
⇒ ∫ x cot xdx = x ln(sin x ) 02 − ∫ ln(sin x )dx
dv = cot xdx v = ln(sin x)
0
0

Tính: x cot xdx .
∫
0

π
2
0

π
2

Vậy: I = x ln(sin x) − x cot xdx

∫
0

π
2
0

π
2

π
2
0

π
2

π
2

0

0

= x ln(sin x) − ∫ x cot xdx = x ln(sin x ) − x ln(sin x) + ∫ ln(sin x)dx
0

π

2

Câu l: I = ∫ x sin x cos xdx
0

π
du = dx
π
π
u = x
x cos3 x
cos3 x

2
3
⇒
+
dx
Đặt 
cos x ⇒ ∫ x sin x cos xdx = −
2
3 0 ∫0 3
dv = sin x cos xdx v = −
0
3

π

π

π

π

x cos3 x
1
x cos3 x
1  sin 3 x
π

=−
+ ∫ ( cos 3 x + 3 cos x )dx = −
+ 
+ 3 sin x  =
3 0 12 0
3 0 12  3
0 3

Nguyễn Phước Duy

Trang 3


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
π
4

π
4

0

0

π
4

π
4

0

0

Câu m: I = x tan 2 xdx = x(tan 2 x + 1 − 1)dx = x(tan 2 x + 1)dx − xdx
∫
∫
∫
∫
π
4

π

π

4
4
π
π
u=x
du = dx

d (cos x )
2
Đặt 
4
4
⇒
⇒ ∫ x(tan x + 1)dx = x tan x 0 − ∫ tan xdx = x tan x 0 − ∫
2
cos x
dv = (tan x + 1)dx v = tan x 0
0
0

π

π

= x tan x 04 − ln cos x 04 .
π
4

π
4

π
4

0

0

0

π
4
0

π
4
0

Vậy x tan 2 xdx = x(tan 2 x + 1)dx − xdx = x tan x − ln cos x − x
∫
∫
∫

π
2 4

2

0

π
2 π2
= + ln
−
4
2
32

1

Câu n: I = ∫ sin x dx
0

1
x = 1
t = 1
⇒
Đặt t = x ⇒ t = x ⇒ 2tdt = dx . Đổi cận: 
. Vậy I = ∫ 2t.sin tdt
 x = 0 t = 0
0
1
u = 2t
du = 2
1
1
1
⇒
⇒ I = − 2t cos t 0 + 2∫ cos tdt = − 2t cos t 0 + 2 sin t 0 = 2(sin 1 − cos1)
Đặt: 
dv = sin tdt v = − cos t
0
2

π
3

Câu o: I = ∫
π
4

x
dx
sin 2 x
π

π

u = x
π
π
3
3
du = dx
cos x

⇒ I = − x cot x π3 + ∫ cot xdx = − x cot x π3 + ∫
dx
Đặt 
dx ⇒ 
v = − cot x
π
π sin x
4
4
dv = sin 2 x
4

4
π
3

π
3
π
4

= − x cot x + ∫
π
4

d (sin x ) π (9 − 4 3 )
=
+ ln sin x
sin x
36

π
3
π
4

=

π (9 − 4 3 ) 1 3
+ ln
36
2 2

π
3

Câu p: I = x sin x dx
∫ 2
0

cos x

π

π

π
u = x
du = dx
3
x 3 3 dx
π
cos xdx


⇒
−∫
=
−∫
sin x
1 ⇒I=
Đặt 

cos x 0 0 cos x 3 cos π 0 cos 2 x
dv = cos 2 x dx v = cos x
3
π
3

π

π
3

π

cos xdx
π
d (sin x)
π
1 sin x − 1 3
π
1
3−2
=
−∫
=
−∫
=
− ln
=
+ ln
2

2
π 0 1 − sin x
π 0 1 − sin x
π 2 sin x + 1 0
π 2
3+2
3 cos
3 cos
3 cos
3 cos
3
3
3
3
π
2

Câu q: I = e x cos xdx
∫
0

Đặt u = e

π
2

π
2

π

2

π
2

du = e dx
⇒
⇒ ∫ e x cos xdx = e x sin x − ∫ e x sin xdx = e − ∫ e x sin xdx .
dv = cos xdx v = sin xdx
0
0
0
x

x

π
2
0

π

π

π

x
π
2
2

2
du = e x dx
x
x
Lại đặt: u = e
⇒
⇒ ∫ e sin xdx = −e cos x 2 + ∫ e x cos xdx =1 + ∫ e x cos xdx
0
dv = sin xdx v = − cos xdx
0
0
0

Nguyễn Phước Duy

Trang 4


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
π
2

π
2

π
2

π
2

π
2

π
2

π
2

π
2

π

2
Vậy: e x cos xdx = e − e x sin xdx = e − 1 − e x cos xdx ⇒ 2 e x cos xdx = e − 1 ⇒ e x cos xdx = e − 1
∫0
∫0
∫0
∫0
∫0
2
1

1

3 x
2
x

Câu r: I = ∫ x e dx = ∫ x xe dx
2

0

0

Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx ⇒
1

2

dt
= xdx . Đổi cận:
2

 x = 0 t = 1
⇒
.

x = 1
t = 0

1

dt 1 1 t
=
t.e dt .
Suy ra ∫ x xe dx = ∫ t.e
2 2 ∫0

0
0
x2

2

t

1
1
u = t
du = dt
t
t 1
t
t 1
⇒
⇒
t
.
e
dt
=
te
−
e
dt
=
te
− et

Đặt 

∫
∫
t
t
0
0
dv = e dt v = e
0
0

1
0

1

= 1 . Suy ra

∫x e

3 x2

0

dx =

1
.
2

π

2
Câu s: I = ∫ ( x + 2 x + 3) cos xdx
0

π
π
π
u = x + 2 x + 3  du = (2 x + 2)dx
2
⇒
⇒
I
=
(
x
+
2
x
+
3
)
sin
x
−
2
(
x

+
1
)
sin
xdx
=
−
2
( x + 1) sin xdx .
Đặt 

∫
∫
0
v
=
sin
x
dv
=
cos
xdx


0
0
π
π
u = x + 1
du = dx

π
⇒
⇒ ∫ ( x + 1) sin xdx = − ( x + 1) cos x 0 + ∫ cos xdx s
Lại đặt 
dv = sin x v = − cos x
0
0
π
π
= − ( x + 1) cos x 0 + sin x 0 = π + 2 . Vậy suy ra I = −2(π + 2)
2

u = x
du = dx
1
1
−x
dx
2 x2


+∫
dx . Đặt 
2 xdx ⇒ 
Câu t: I = ∫
.
−1 ⇒ I =
2
2 2
1 + x −1 −11 + x 2

−1 (1 + x )
dv = (1 + x 2 ) 2
v = 1 + x 2

π
π
 π
t=
1
2
4

x
=
1

dx
(1 + tan t )dt 4
π
 4
2
⇒
⇒∫
= ∫
= ∫ dt = .
Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan t )dt . Đổi cận 
2
2
1+ x
1 + tan t

2
 x = −1 t = − π
π
π
−1
−
−

4
4

4
π
Vậy I = −1 + .
2
1

Bài 2. Tính các tích phân sau: (sử dụng tích phân hàm hữu tỉ)
2

2

dx
a. I = ∫ 2
;
x − 8x + 16
0
1

g. I = ∫

1
1

3dx
3 ;
0 1+ x

dx
;
x −x−2

h. I = ∫

dx
c. I = ∫ 2
;
x + x +1
0

i. I = ∫

b. I = ∫
0

2

1

1

5

d. I = ∫
3

dx
;
x(x 4 + 1)

0
2

dx
;
( x − 2)( x + 1)

j. I = ∫
0
4

1

dx
e. I = ∫ 4
;
x + 4x 2 + 3
0

k. I = ∫
3

1

4

dx
f. I = ∫ 2
;
1 x (x + 1)

l. I = ∫
0

x
dx ;
x + x2 + 1
4

2x + 3
dx ;
x + 2x + 4
2

5x − 3
dx ;
x − 3x + 2
2

4 x + 11
dx .
x + 5x + 6

2

Hướng dẫn:
Nguyễn Phước Duy

Trang 5


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
2

2

2

dx
dx
1
1
=∫
=−
=
Câu a: I = ∫ 2
2
x − 8 x + 16 0 ( x − 4)
x−40 4
0
1

1

dx
dx
1 x−2
I =∫ 2
=∫
= ln
2
2
Câu b:
x −x−2 0 
3 x +1
1  3
0
x −  − 
2 3

1

1

1

=
0

3
ln 4
4

1

dx
dx
dx
I =∫ 2
=∫
=∫
2
2
2
x + x +1 0 
1 3 0 
Câu c:
0
1  3 .
x
+
+



 x +  + 
2 4

2   2 

 π
t = 3
x = 1

1
3
3
2
⇒
Đặt x + =
.
tan t ⇒ dx =
(tan t + 1)dt . Đổi cận: 
2
2
2
 x = 0 t = π

6
π
π
π
3
(tan 2 t + 1)dt
3
3
2
3
3
(tan
t
+
1
)

dt
3
4
π 3
2
I
=
=
=
.
dt =
Vậy
.
∫π 3 2
∫
∫
2 π 3 (tan 2 t + 1) 2 3 π
9
(tan t + 1)
6
6 4
6
4
5
dx
Câu d: I = ∫
( x − 2)( x + 1)
3
1
A

B
A( x + 1) + B ( x − 2) ( A + B ) x + A − 2 B
=
+
=
=
Ta có:
.
( x − 2)( x + 1) x − 2 x + 1
( x − 2)( x + 1)
( x − 2)( x + 1)
1

A=

A + B = 1

3
⇔
Suy ra ( A + B) x + A − 2 B = 1 ⇒ 
.
A
−
2
B
=
0

B = − 1


3
5

5

5

5

dx
1 5 dx
1 5 dx
1
1
1 x−2
1
= ∫
− ∫
= ln x − 2 − ln x + 1 = ln
= ln 2 .
Vậy I = ∫
3 3 x − 2 3 3 x +1 3
3
3 x −1 3 3
3
3
3 ( x − 2)( x + 1)
1

Câu e: I = ∫

0

dx
.
x + 4x 2 + 3
4

1
1
1 ( x 2 + 3) − ( x 2 + 1)
x2 + 3
x2 + 1
=
=
.
=
−
Ta có: 4
x + 4 x 2 + 3 ( x 2 + 1)( x 2 + 3) 2 ( x 2 + 1)( x 2 + 3)
2( x 2 + 1)( x 2 + 3) 2( x 2 + 1)( x 2 + 3)
1
1
=
−
.
2
2
2( x + 1) 2( x + 3)
1



dx
1
1
11 1
11 1


=
−
dx
=
dx
−
dx .
Suy ra ∫ 4
2
∫0  2( x2 + 1) 2( x2 + 3) 
2 ∫0 x 2 + 1
2 ∫0 x 2 + 3
0 x + 4x + 3
1

1

Tính

∫x
0

1
dx
+1

2

π
π
 π
1
4
2
x
=
1
t
=

dx
(1 + tan t )dt 4
π .
⇒
4 ⇒
Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan 2 t )dt . Đổi cận 
=
=
dt
=

x

=
0
2
2

1 + x 0 1 + tan t
4
t = 0
0
0

∫

1

1
dx . Tương tự như tính
Tính ∫ 2
0 x +3

Nguyễn Phước Duy

1

1
∫0 x 2 + 1 dx .

1

∫x

0

2

∫

∫

1
3
dx = π
.
+3
18

Trang 6


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
dx
1 π π 3  π
 = (9 − 2 3 ).
=  −
2
2 4
18  72
0 x + 4x + 3
4
4 2
4

4 2
dx
x − 1 − x2
( x − 1)( x + 1) − x 2
x − ( x − 1)( x + 1)
= −∫ 2
dx = − ∫
dx = ∫
dx
Câu f: I = ∫ 2
2
x ( x + 1)
x 2 ( x + 1)
1 x ( x + 1)
1 x ( x + 1)
1
1
1

Vậy I = ∫

4

4

4

4

4

4

4

4

x2
( x − 1)( x + 1)
dx
x −1
d ( x + 1)
xdx
dx
=∫ 2
dx − ∫
dx = ∫
− ∫ 2 dx = ∫
−∫ 2 +∫ 2
2
x ( x + 1)
x +1
1 x ( x + 1)
1
1 x +1
1 x
1
1 x
1 x
4

4

d ( x + 1) 4 dx 4 dx 
1
3
5
=∫
− ∫ + ∫ 2 = ln x + 1 − ln x −  = + ln .
x +1
x1 4
8

1
1 x
1 x
2
x = 1
t = 1
dx
x 3dx
dt
⇒
=
. Đặt t = x 4 ⇒ = x 3dx . Đổi cận: 
.
4
4
4
∫

4
x = 2
t = 16
1 x ( x + 1)
1 x ( x + 1)
dt
16
16
16
16
dt
1 1
1 
1
t
1 32
4 =1
Vậy I =
∫1 t (t + 1) 4 ∫1 t (t + 1) = 4 ∫1  t − t + 1 dt = 4 ln t + 1 1 = 4 ln 17
2

Câu g: I = ∫

1

3dx
3 .
0 1+ x

Câu h: I = ∫

3
3
A
Bx + C
=
=
+ 2
⇒ 3 = A( x 2 + x − 1) + ( x + 1)( Bx + C )
3
2
1+ x
( x + 1)( x + x − 1) x + 1 x + x − 1
2
⇒ 3 = Ax + Ax − A + Bx 2 + Cx + Bx + C ⇔ 3 = ( A + B ) x 2 + ( A + B + C ) x − A + C .
A + B = 0
A = 1


Áp dụng đồng dư thức, suy ra  A + B + C = 0 ⇔ B = −1 .
− A + C = 3
C = 2



Ta có:

1

1

1

1

1

1
3dx
−x+2 
dx
2−x
x−2
 1
= ∫
+ 2
+∫ 2
dx = ln x + 1 0 − ∫ 2
dx .
dx = ∫
Vậy I = ∫
3
1+ x
x + 1 x + x −1
x +1 0 x + x −1
x + x −1
0
0
0
0

1

1
1 1 ( x 2 + x − 1)
31
dx
1
31
dx
2
= ln x + 1 0 − ∫ 2
dx + ∫ 2
= ln x + 1 0 − ln x + x − 1 + ∫
2
2
2 0 x + x −1
2 0 x + x −1
2
20
0
1  3

 x −  + 
2   2 

1
dx
2
∫
1

3
3
2
Tính 0  1   3  . Đặt x − =
tan t ⇒ dx =
(tan 2 x + 1)dt .


x−  +
2
2
2
2   2 

π
π
3
2
 π
1
(tan
x
+
1
)
dt
6
t
=
dx

2 6
2π

2
x = 1
6
= ∫
=
dt =
2
⇒
∫
Đổi cận: 
. Suy ra ∫
2
3 π
3 3
0 
1   3  − π 3 (tan 2 x + 1)
x = 0
t = − π
−


x
−
+


6

6
4

6
2   2 

1

1

1
3dx
1
3 2π
π
= ln x + 1 0 − ln x 2 + x − 1 + .
= ln 2 +
Vậy I = ∫
.
3
2
2 3 3
3
0
0 1+ x
1

1

Câu i:

I =∫
0

1

x
xdx
dx = ∫
2
4
2
2
x + x +1
0  2
1  3

 x +  + 
2   3 


Nguyễn Phước Duy

Trang 7


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
 π
t = 3
x = 1

1
3
3
2
2
⇒
Đặt x + =
.
tan t ⇒ 2dx =
(tan x + 1)dt . Đổi cận: 
2 2
2
 x = 0 t = − π

6
π
π
3
1
1
(tan 2 x + 1)dt
3
3
x
xdx
3
π 3
4
I
=

dx
=
=
=
dt
=
2
4
2
∫
∫
∫
∫
Suy ra
2
3 π
18 .
0 x + x +1
0  2
1   3  π 3 (tan 2 x + 1)


x +  +
6
6
4
2   3 

2
2

2
2
2x + 3
2x + 2 +1
2x + 2
dx
I
=
dx
=
dx
=
dx
+
Câu j:
∫0 x 2 + 2 x + 4 ∫0 x 2 + 2 x + 4 ∫0 x 2 + 2 x + 4 ∫0 x 2 + 2 x + 4
2

2
2
d ( x 2 + 2 x + 4) 2
dx
dx
2
=∫ 2
+∫
= ln x + 2 x + 4 + ∫
2
2
0

x + 2x + 4
0
0 ( x + 1) + 3
0 ( x + 1) +
2

Tính

2

( 3)

= ln 3 + ∫

2

0

dx
( x + 1) 2 +

( 3)

2

.

 π
t=
x = 2 

3
2
⇒
3 tan t ⇒ dx = 3 (tan x + 1)dt . Đổi cận: 
.
2 . Đặt x + 1 =
x
=
0
3

t = − π

6

dx

∫ (x + 1) + ( )
2

0

2

Suy ra:

∫ ( x + 1) + ( 3 )
2

0

4

Câu k:

∫x
3

π
3

dx

=∫

2

π
6

π

6

6

4

2

π

3 (tan 2 x + 1)dt
33
3 3 π 3
π 3
=
dt
=
t =
. Vậy I = ln 3 +
.
2
∫
3(tan x + 1)dt
3 π
3 π
18
18
4

4

4
4
5x − 3
5x − 3
7
2
3

dx = ∫
dx = ∫
dx − ∫
dx = 7 ln x − 2 3 − 2 ln x − 1 3 = − 2 ln + 7 ln 2
( x − 1)( x − 2)
x−2
x −1
2
− 3x + 2
3
3
3

1
1
1
1
2x + 5
dx
d ( x 2 + 5 x + 6)
2 dx = 2
Câu l: 4 x + 11 dx = 2
dx
+
=
2
∫0 x 2 + 5 x + 6
∫0 x 2 + 5 x + 6
∫0 x 2 + 5 x + 6 ∫0 x 2 + 5x + 6 ∫0 x 2 + 5 x + 6 +
1

1

1

2x + 5 +

1

1

1
1
1
dx
dx
dx
9
2
=
2
ln
x
+
5
x
+
6
+∫
−∫

= 2 ln 2 + ln x + 2 0 − ln x + 3 0 = ln .
∫0 ( x + 2)( x + 3)
0
x+2 0 x+3
2
0

Bài 3. Tính các tích phân sau: (sử dụng tích phân hàm hữu tỉ)
1

a. I = ∫
0

1

x2
dx ;
4 − x2

x
dx ;
3
0 ( 2 x + 1)

g. I = ∫

5

2

3x + 4
dx ;
b. I = ∫
3 x−2

x2
dx ;
h. I = ∫ 2
x − 7 x + 12
1
1

1

x
dx ;
c. I = ∫
3
0 ( x + 1)
1

i. I = ∫
0

4x − 1
dx ;
x + 2 x2 + x + 2
3

2

1 − x2
dx
4
1
+
x
1

3

x
dx ;
d. I = ∫ 2
3
0 ( x + 1)

j. I = ∫

1

x3
I
=
e.
∫0 x + 1 dx ;

k. I =

1+ 5

2

∫
1

2

dx
f. I = ∫
;
5
1 x (x + 1)

x2 + 1
dx .
4
2
x − x +1

Hướng dẫn:

Nguyễn Phước Duy

Trang 8


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
1

1

1

1

1

1

(2 − x) + (2 + x)
x2 − 4 + 4
x2 − 4
4dx
4dx
dx = ∫
dx + ∫
= − ∫ dx + ∫
= −1+ ∫
dx
Câu a: I = ∫
2
2
2
4− x
4− x
4− x
(2 − x )(2 + x)
(2 − x)(2 + x)
0
0

0
0
0
0
1

= −1 + ∫
0

1

1

1

1
1
dx
dx
dx
dx
+∫
= −1 − ∫
+∫
= − 1 − ln x − 2 0 + ln 2 + x 0 = ln 3 − 1 .
2−x 0 2+ x
x−2 0 2+ x
0
5

5

5

5

5

5

3x + 4
3( x − 2) + 10
3( x − 2)dx
10dx
dx
dx = ∫
dx = ∫
+∫
=3∫ dx + 10 ∫
Câu b: I = ∫
x−2
x−2
x−2
x−2 3
x−2
3
3
3
3
3

5

5

3

3

5
dx
5
= 3 x 3 + 10 ln x − 2 3 = 3.5 − 3.3 + 10 ln 3 − 10 ln 1 = 6 + 10 ln 3 .
x−2

= 3∫ dx + 10∫
1

x
x
A
B
C
A( x + 1) 2 + B ( x + 1) + C
dx
=
+
+
=
.
Ta

có:
3
( x + 1)3 ( x + 1) ( x + 1) 2 ( x + 1)3
( x + 1)3
0 ( x + 1)

Câu c: I = ∫

A = 0
A = 0


⇒ x = Ax + (2 A + B) x + A + B + C ⇔ 2 A + B = 1 ⇔  B = 1 .
A + B + C = 0
C = −1


2

Vậy

x
1
1
=
−
.
3
2
( x + 1)

( x + 1)
( x + 1)3
1

1

1
1
1
1

x
dx
dx
d ( x + 1)
d ( x + 1)  − 1
1
1
dx
=
−
=
−
=
+
=
Suy ra I = ∫
3
2
3

2
3
2
∫
∫
∫
∫
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
 x + 1 2( x + 1)  0 8
0
0
0
0
0
 π
1
t=
x = 1
x3
2
dx . Đặt x = tan t ⇒ dx = (tan t + 1) dt . Đổi cận: 
⇒
4.
Câu d: I = ∫ 2
3
 x = 0 t = 0

0 ( x + 1)


π
4

Vậy I = ∫
0

π
4

π
4

tan t.(tan t + 1)dt
tan t
=∫
dt = ∫
2
3
2
2
(tan t + 1)
(tan
t
+
1
)
0

0
3

π
4

= ∫ sin 3 td (sin t ) =
0

2

4

π
4

sin x
1
= .
4 0 16

3

π
4

3

sin t
 1 

cos 3 t.
2 
 cos t 

2

dt = ∫ sin 3 t cos tdt
0

“Ngoài ra có thể đặt t = x 2 + 1 ”.
1

1
 x3 x 2

x3
1 
5
 2
I
=
dx
=
x
−
x
+
1
−
dx

=
−
+
x
−
ln
x
+
1
= − ln 2 .
Câu e:




∫0 x + 1 ∫0 
x +1
2
3
0 6
1

2

Câu f: I = ∫
1

2

2

2

2

2

2

dx
( x5 + 1 − x5 )
( x 5 + 1)
x5
dx
x4
=
dx
=
dx
−
dx
=
−
∫1 x( x5 + 1) ∫1 x( x 5 + 1) ∫1 x ∫1 x 5 + 1dx
x( x 5 + 1) ∫1 x( x 5 + 1)
2

2

dx 1 d ( x 5 + 1) 

1
1 33

=∫ − ∫ 5
= ln x − ln x 5 + 1  = ln 2 − ln
x 5 1 x +1
5
5 2

1
1
1

1

1

1

1

1

x
1 2x + 1 − 1
1 2x + 1
1
dx
1
dx

1
dx
dx = ∫
dx = ∫
dx − ∫
= ∫
− ∫
3
3
3
3
2
(2 x + 1)
2 0 (2 x + 1)
2 0 (2 x + 1)
2 0 (2 x + 1)
2 0 (2 x + 1) 2 0 ( 2 x + 1) 3
0

Câu g: I = ∫

1

1
1

1 d (2 x + 1) 1 d (2 x + 1) 1  − 1
1
1
= ∫

− ∫
= 
+
= . “Ngoài ra có thể đặt t = 2 x + 1 ”.
2
3
2
4 0 (2 x + 1)
4 0 (2 x + 1)
4  2 x + 1 2(2 x + 1)  0 18
2

2

2

2

2

x2
7 x − 12 
16
9

dx = ∫ 1 + 2
dx − ∫
dx
Câu h: I = ∫ 2
dx = ∫ dx + ∫

x − 7 x + 12
x − 7 x + 12 
x−4
x−3
1
1
1
1
1
= [ x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ] 1 = 1 + 25 ln 2 − 16 ln 3 .
2

Nguyễn Phước Duy

Trang 9


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
1

Câu i: I = ∫
0

4x − 1
dx
x + 2x2 + x + 2
3

4x − 1
4x − 1

Ax + B
C
( Ax + B )( x + 2) + C ( x 2 + 1)
=
=
+
=
.
x 3 + 2 x 2 + x + 2 ( x + 2)( x 2 + 1)
x2 + 1 x + 2
( x + 2)( x 2 + 1)
⇒ 4 x − 1 = ( Ax + B )( x + 2) + C ( x 2 + 1) ⇔ 4 x − 1 = ( A + C ) x 2 + (2 A + B ) x + 2 B + C
9

A = 5
A + C = 0

4x − 1
9x + 2
9
2


=
−
⇒ 2 A + B = 4 ⇔  B =
. Do đó 3
2
2
x + 2 x + x + 2 5( x + 1) 5( x + 2)

5
2 B + C = −1 

−9

C = 5


Ta có:

1

1
1
1
 9x + 2
4x − 1
9 
9x + 2
9 dx
dx = ∫
dx = ∫ 
−
dx − ∫
Vậy I = ∫ 3
x + 2x2 + x + 2
5( x 2 + 1) 5( x + 2) 
5( x 2 + 1)
50 x+2
0

0
0
1

1

1

1

1

1

9 d ( x 2 + 1) 2 dx
9 dx
9
9
2 dx
= ∫ 2
+ ∫ 2
− ∫
= ln x 2 + 1 − ln x + 2 + ∫ 2
.
10 0 x + 1
5 0 x + 1 5 0 x + 2 10
5
5 0 x +1
0
0

1

dx
Tính ∫ 2 . Đặt x = tan t ⇒ dx = (tan 2 x + 1)dt . Đổi cận:
x +1
0
π
4

π
4

 π
x = 1
t = 4 .
x = 0 ⇒ 

t = 0

4x − 1
27
9
π
dx
(tan x + 1)dt
π . Vậy I =
dx =
ln 2 − ln 3 +
Suy ra
3

2
∫
=
=
dt
=
∫0 x 2 + 1 ∫0 tan 2 x + 1 ∫0 4
x + 2x + x + 2
10
5
10
0
1

2

1

1
1
−1
−1
2
2
2
1 − x2
x
x2
I
=

dx
=
dx
=
Câu j:
∫1 1 + x 4
∫1 1 2 ∫1  1 2 dx .
+x
x+  −2
x2
x

2

1
1

1

Đặt x + = t ⇒ dt = 1 − 2 dx ⇒ −dt =  2 − 1dx . Đổi cận:
x
 x 
x

5
2

5

2

dt
Vậy I = ∫ −2 dt = − ∫
2
2
2 t −2
2 t −

( )

Câu k: I =

1+ 5
2

∫
1

2

x +1
dx =
x − x2 + 1
2

4

t− 2
=−
ln
2 2 t+ 2

1

1+ 5
2

∫
1

5
2

2

=

t = 2
x = 1

x = 2 ⇒  5 .
t=

 2

1
2− 2 .
ln
2 2(3 − 2 2 )

1
1

1
1+ 5
1+ 5



x 2 1 + 2 
d x − 
1 + 2 
2
2
x 
x

 x  dx =

dx = ∫
2
∫
1
1

 2
1
1
1 
x2  x2 − 1 + 2 
 x −1+ 2 
 x −  +1
x

x




x


x = 1
t = 0
1
1

2

Đặt x − = tan t ⇒ d  x −  = (tan t + 1)dt . Đổi cận:  1 + 5 ⇒  π .
x
x
t=

x=
4

2

1
1+ 5
π
π


d x − 
2
4
2
π
(tan t + 1)dt 4
π
x

4 =
I
=
=
=
dt
=
t
.Vậy
.
∫1  1 2
∫1 tan 2 t + 1 ∫1
0
4
 x −  +1
x


Nguyễn Phước Duy

Trang 10

Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân

Bài 4. Tính các tích phân sau: (sử dụng tích phân hàm vô tỉ)
2

2
a. I = ∫ x x + 3dx ;
1
16

l. I =

0

2
m. I = ∫ x + 1dx (*) ;
0

3

dx
;
2 + x +1

e. I = ∫

dx
;

x +1 + x

0

1

−1
2
2

o. I =

0

0

∫

e x − 1dx ;

15
8
q. I = ∫ x 1 + 3 x dx ;
0
e

r. I = ∫

2 + ln x
dx ;

x

s. I = ∫

x − x +1

1
1

2

0
1

0

t. I = ∫

1

2
j. I = ∫ 1 − x dx ;

0
π
2

0

dx

2

4 − x dx ;
2

0

;

dx
9x2 − 2x +1

cos x.dx
u. I =
∫

2

k. I = ∫ x

;

0

i. I = ∫ x 1 − x dx ;

2

4 x 2 + 12 x + 5

1

1

3

dx

∫ (2 x + 3)

ln 2

p. I =

x
dx ;
2x + 1

h. I = ∫

1
2

1
−
2

x 2 dx ;
1 − x2

∫
1

2 3
n. I = ∫ (1 − x ) dx ;

dx
;
x +1 + x −1

f. I = ∫
g. I =

1

0

d. I = ∫
2
1

1+ x ;
dx
1− x

1

23
3
c. I = ∫ x 1 + x dx ;

2
7

∫
0

dx
;
x+9 − x

b. I = ∫

2
2

7 + cos 2 x

;

.

0

Hướng dẫn:
2

2

2

2

1

1
1
1
1
Câu a: I = ∫ x x + 3dx = ∫ x 2 + 3d ( x 2 + 3) = ∫ ( x 2 + 3) 2 d ( x 2 + 3) = ( x 2 + 3)3 = ( 73 − 43 )
21
21
3
3
1
1
2

16

Câu b: I =

∫
0

16

16

dx
( x + 9 + x )dx

( x + 9 + x )dx
=∫
=∫
=
9
x + 9 − x 0 ( x + 9 − x )( x + 9 + x ) 0

1
16 1
 2
1
=  ∫ ( x + 9) 2 d ( x + 9) + ∫ x 2 dx  =
9 0
0
 27
16

42

23
3
Câu c: I = ∫ x 1 + x dx =
0

7

Câu d: I = ∫
2

42

[

( x + 9)3 + x 3
42

]

16

=
0

2
27

[

16
16

1
x
+
9
dx
+
x dx 
∫
∫

9 0
0


]

253 − 93 + 163 − 03 = 12 .
42

1

1 3
1
1
1 + x 3 d (1 + x 3 ) = ∫ (1 + x 3 ) 3 d (1 + x 3 ) = 3 (1 + x 3 ) 4
∫
30
30
4

dx
. Đặt t = 2 + x ⇒ t 2 = 2 + x ⇒ 2tdt = dx . Đổi cận:
2 + x +1

=
0

3111751
.
4

 x = 2 t = 2
 x = 7 ⇒ t = 3 .



3
3
3
3
3
3
2tdt
(t + 1 − 1)dt
t +1
dt
dt 
3
 = 2( t − ln t + 1 ) = 21 + ln 
= 2∫
= 2∫
dt − 2 ∫
= 2 ∫ dt − ∫

2
t +1 2
t +1
t +1
t +1  2
t + 1

4

2
2
2
2
3

Vậy I = ∫

1

Câu e: I = ∫
0

1

1
1
1
1 1
3
3
3


dx
( x + 1 − x )dx
2
2

=∫
= ∫ ( x + 1) 2 dx − ∫ x 2 dx = ( x + 1) 2 + x 2  =  2 2 − 2 
1
3
x +1 + x 0
0
0
0 3


Nguyễn Phước Duy

Trang 11


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
1

1
dx
. Tích phân không tồn tại vì hàm số f ( x) =
không
x +1 + x −1
x −1
−1 x + 1 +
xác định tại x = 0 ∈ [−1;1] .
2
x = 0
t = 0
2

2

x
dx
⇒
Câu g: I =
∫0 1 − x 2 . Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt . Đổi cận:  x = 2 t = π .
4

2


Câu f: I = ∫

2
2

Vậy: I =

x dx

∫

1− x

0

π
4

π
4

2

=∫

2

2

sin t cos tdt
1 − sin t
2

0

π
4

π

π
4

π
4

2

2

π
4

π
4

sin t cos tdt
sin t cos tdt
1
=∫
= ∫ sin 2 tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt
cos t
cos t
20
0
0
0

=∫
π

4
1
1
1 4 1
π 1
= ∫ dt − ∫ cos 2tdt = t − sin 2t = − .
20

20
2 0 4
8 4
0
1

x
dx . Đặt t = 2 x + 1 ⇒ t 2 = 2 x + 1+ ⇒ tdt = dx . Đổi cận:
2x +1

Câu h: I = ∫
0

Vậy

1

∫
0

3

x
dx =
2x + 1

∫
0

t = 3

x = 1
.
x = 0 ⇒ 

t = 1

(t 2 − 1)
3
.tdt
3
1
1 t3 
1
2
2
= ∫ (t − 1)dt =  − t  = .
t
2 0
23 0
3
x = 1

1

t = 0

3
2
⇒
Câu i: I = ∫ x 1 − x dx . Đặt t = 1 − x 2 ⇒ t 2 = 1 − x 2 ⇒ −tdt = xdx . Đổi cận: 

.
 x = 0 t = 1
0
1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

3
2
2
2
2
2
2

2
4
Vậy I = ∫ x 1 − x dx = ∫ x x 1 − x dx = ∫ (1 − t )t (−tdt ) = ∫ t (1 − t )dt = ∫ (t − t )dt =
1

Câu j: I = ∫
0

Vậy

1

∫
0

 π
t=
x = 1
⇒
1 − x dx . Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt . Đổi cận: 
2.
 x = 0 t = 0


2
15

2

π

2

π
2

π
2

π
2

0

0

0

0

π
2

1 + cos 2t
dt
2
0

1 − x 2 dx = ∫ 1 − sin 2 t cos tdt = ∫ cos 2 t cos tdt = ∫ cos t cos tdt = ∫ cos 2 tdt = ∫

π

2

π
2

π

π

2
1
1
1 2 1
π
= ∫ dt + ∫ cos 2tdt = t + sin 2t = .
20
20
2 0 4
4
0

 π
 x = 2 t =
4 − x dx . Đặt x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt . Đổi cận: 
⇒
2.
 x = 0 t = 0


2

Câu k: I = ∫ x

2

2

0

2

π
2

π
2

π
2

π
2

0

0

0

0

Vậy I = x 2 4 − x 2 dx = 4 sin 2 t 2 cos t.2 cos tdt = 4 4 sin 2 t cos 2 tdt = 4 sin 2 2ttdt = 2 (1 − cos 4t )dt
∫
∫
∫
∫
∫
0

π
2

 1

= 2t − sin 4t  = π .
 4
0

Câu l: I =

2
2

∫
0

 π

2
t = 4

1 + x . Đặt x = cos t ⇒ dx = − sin tdt . Đổi cận:  x = 2 ⇒ 
.
dx

π

1− x
t=
 x = 0

2

Nguyễn Phước Duy

Trang 12


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
π
4

π
4

1 + cos t
sin t.dt = − ∫
1 − cos t
π

Vậy I14 = − ∫

π
2

2

π
π
t
4
4
2 sin t.dt = − cot 2 t sin t.dt = − cot t sin t.dt
∫ 2
∫
x
2
π
π
2 sin 2
2
2
2

2 cos 2

π
π
t
π
4
4

t
t
t
2 sin cos .dt = −2 cos 2 .dt = − (1 + cos t ).dt = − [ t + sin t ] 4 = π + 1 − 2
= −2 ∫
.
π
∫ 2
∫
t
2
2
4
2
π sin
π
π
2
2
2
2
2
π
4

cos

1

2

Câu m: I = ∫ x + 1dx (*) . Sử dụng tích phân từng phần
0

xdx
xdx

=
u = x 2 + 1 u 2 = x 2 + 1 udu = xdx du =
u
⇒
⇒
⇒
Đặt 
x2 + 1 .
v
=
x
dv
=
dx
dv = dx


v = x

1
1
1
1
1

x.xdx
x.xdx
x 2 dx
2
2
I
=
x
+
1
dx
=
x
x
+
1
−
=
2
−
=
2
−
Vậy
∫0
∫0 x 2 + 1
∫0 x 2 + 1
∫0 x 2 + 1 .
0


I = 2 − ∫  x 2 + 1 −
0
1

1

Suy ra 2 I = 2 + ∫
0

1

Tính

∫
0

1

∫
0

dx
x +1
2

dx
x +1
2

π

4

=∫

1
1
1

dx
dx
dx = 2 − ∫ x 2 + 1dx + ∫
= 2−I +∫
2
2
x +1 
x +1
x2 + 1
0
0
0
1
dx
2 1
dx
⇒I=
+ ∫
2 2 0 x2 + 1
x2 + 1

. Đặt x = tan t ⇒ dx = (1 + tan 2 t )dt

(1 + tan t )dt
2

tan 2 t + 1

0

1

π
4

=∫
0

π
π
π
π
π
dt
dt
4
4
4
4
4
2
2

d (sin t )
cos t = cos t = dt = cos tdt = d (sin t ) =
2
2
∫
∫
∫
∫
∫
1
cos t 0 cos t 0 1 − sin t 0 (1 − sin t )(1 + sin t )
1
0
0
2
cos t
cos t

π

π

π

1 4 (1 − sin t ) + (1 + sin t )
14
1 + sin t
14
1 − sin t
= ∫

d (sin t ) = ∫
d (sin t ) + ∫
d (sin t )
2 0 (1 − sin t )(1 + sin t )
2 0 (1 − sin t )(1 + sin t )
2 0 (1 − sin t )(1 + sin t )
π
4

π
4

π
4

π
4

1 d (sin t ) 1 d (sin t )
1 d (sin t ) 1 d (sin t ) 1 1 + sin t
= ∫
+ ∫
=− ∫
+
= ln
2 0 1 − sin t 2 0 1 + sin t
2 0 sin t − 1 2 ∫0 1 + sin t 2 sin t − 1

π
4

0

π
1
4 − 1 ln 1 + sin 0 = 1 ln − 3 − 2 2 − 1 ln − 1 = 1 ln 3 + 2 2 .
= ln
π
2 sin − 1 2 sin 0 − 1 2
2
2
4
1
2 1
dx
2 1
I
=
+
=
+ ln 3 + 2 2 .
Vậy
∫
2
2 0 x2 + 1
2 4
1 + sin

1

Câu n: I = ∫

0

t = 0
x = 1
(1 − x ) dx . Đặt x = cos t ⇒ dx = − sin tdt . Đổi cận: 
⇒ π
t =
x
=
0

2

2 3

Nguyễn Phước Duy

Trang 13


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
1

π
2

π
2

π

2

π
2

0

0

0

0

40

Vậy I = (1 − x 2 )3 dx = (1 − cos 2 x)3 sin tdt = sin 6 t sin tdt = sin 4 tdt = 1 (1 − cos 2t ) 2 dt
∫
∫
∫
∫
∫
=

π
2

π
2

π

2

1 
1
1 
1
1 3
1



2
1 − 2 cos 2t + cos 2t dt = ∫ 1 − 2 cos 2t + (1 + cos 4t )  dt = ∫  − 2 cos 2t + cos 4t  dt
∫
4 0
2
40
2
4 0 2
2



π

1 3
1
 2 3π .
=  t − sin 2t + sin 4t  =
4 2

8
 0 16
1
2

dx

∫ (2 x + 3)

Câu o: I =

−

4 x 2 + 12 x + 5

1
2

Đặt t = 4 x 2 + 12 x + 5 ⇒ t 2 = 4 x 2 + 12 x + 5 ⇒ 2tdt = (8 x + 12)dx ⇒ dt = 2( 2 x + 3)dx .

x =
Đổi cận: 
x =


−1
2 ⇒ t = 02
. Ta có: (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9 = 4 x 2 + 12 x + 5 + 4 = t 2 + 4 .

1

t
=
2
3

2

1
2

∫ (2 x + 3)

Vậy I =

−

1
2

dx
4 x + 12 x + 5
2

1
2

(2 x + 3) dx

∫ (2 x + 3)

=

−

1
2

2

4 x + 12 x + 5
2

=

1
2

2 3

∫
0

tdt
1
=
2
(t + 4)t 2

2 3

∫
0

dt
.
t +4
2

u = 0
t = 0
⇒
Lại đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2(1 + tan u )du . Đổi cận: 
.
u = π
t
=
2
3

3

2

Suy ra: 1
2

π
3

π

3

π

dt
1 2(1 + tan u )du 1
1 3 π . Vậy I = π .
=
=
du
=
u =
12
t 2 + 4 2 ∫0 4(tan 2 u + 1)
4 ∫0
4 0 12

2 3

∫
0

2

ln 2

∫

Câu p: I =

e x − 1dx .

0

Đặt t = e x − 1 ⇒ t 2 = e x − 1 ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx =
ln 2

Suy ra I =

∫
0

1

1

2tdt 2tdt
= 2
. Đổi cận:
ex
t +1

1

x = 0
t = 0
 x = ln 2 ⇒ t = 1 .



1

t.2dt
dt
dt
= 2 ∫ dt − 2 ∫ 2
= 2 − 2∫ 2
.
2
t +1
t +1
t +1
0
0
0
0

e x − 1dx = ∫

u = 0
t = 0 
⇒
Lại đặt t = tan u ⇒ dt = (1 + tan u )du . Đổi cận: 
.
u = π
t = 1
4

2

π
4

π
4

Suy ra: 2dt = (1 + tan u2 )du = du = π . Vậy I =
∫0 t + 1 ∫0 (1 + tan u ) ∫0
4
1

2

ln 2

∫

e x − 1dx = 2 − 2.

0

π
π
= 2− .
4
2

1

15

8
Câu q: I = ∫ x 1 + 3 x dx .
0

8
2
8
7
7
Đặt t = 1 + 3 x ⇒ t = 1 + 3 x ⇒ 2tdt = 24 x dx ⇒ x dx =

Nguyễn Phước Duy

1
tdt .Đổi cận:
12

 x = 0 t = 1
 x = 1 ⇒ t = 2 .



Trang 14


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
1

Vậy I = ∫ x

1

1 + 3 x dx = ∫ x

15

8

0

 t 2 −1 1
t. tdt
1 + 3 x x dx = ∫ 
3  12
1
2

8

0

8

7

2

1
1  t5 t3 
29

4
2
 −  =
=
(
t
−
t
)
dt
=
.
∫
36 1
36  5 3  1 18
2

e

e

1
2

(2 + ln x)
2 + ln x .d (ln x) = ∫ (2 + ln x) .d (ln x) =
3
1
2

Câu r: I = ∫
1

e

3
2

3 e

2
1
= (2 + ln x) 2 = (3 3 − 2 2 )
3
3
1
1

.
1

2

1− t2
2dt
t
−
x
=
x

−
x
+
1
⇒
x
=
⇒I =∫
= ln 3 .
.
Đặt
2
2t + 1
2t − 1
x − x +1
1
dx

Câu s: I = ∫
0

1

2

dx

Câu t: I = ∫

9x2 − 2x +1

0

.

2
2
2
2
2
Đặt t − 3 x = 9 x − 2 x + 1 ⇒ t − 6tx + 9 x = 9 x − 2 x + 1 ⇒ t − 1 = x(6t − 2) ⇒ x =

t2 −1
.
2(3t − 1)

2 2
 x = 0 t = 1
dt
1 6 2 −1
⇒
= ln
Đổi cận: 
. Vậy I = ∫
.
3t − 1 3
2
x = 1
t = 2 2
1

π
2

cos x.dx
Câu u: I =
∫

7 + cos 2 x

π
2

π
2

cos x.dx

=∫

cos x.dx

=∫

7 + 1 − 2 sin x 0 8 − 2 sin x
x = 0
t = 0
Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Đổi cận:  π ⇒ 
.
x=

t = 1
2

1
1
1
dt
1
dt
=
Suy ra: I =
.
∫
∫
2
2
2 0 4−t
2 0 2 − t2
0

2

0

Lại đặt t = 2 sin u ⇒ dt = 2 cos udu .
Suy ra I = 1
2

1

∫
0

dt

1
=
2
22 − t 2

π
6

∫
0

2

1
2

=

π
2

∫
0

cos x.dx .

4 − sin 2 x

u = 0
t = 0 
⇒
4 − t = 4 − 4 sin u = 4 cos u . Đổi cận: 
u = π
t = 1
6

2

2

2

π
6

π
6

π

2 cos udu
1
1 6
π .
=
=

du =
u =
∫
∫
2 0 2 cos u
2 0
2 0 6 2
4 cos 2 u

2 cos udu

Bài 5. Tính các tích phân sau: (tích phân hàm lượng giác)
π
4

a. I = sin 2 xdx ;
∫
0
π
2

b. I = cos 2 2 xdx ;
∫
0

π
4

c. I = ∫ tan xdx ;
π

3

π
4

2
d. I = ∫ tan xdx ;

π
3

π
2

e. I = ∫
π
3

π
4

f. I = ∫
π
3

Nguyễn Phước Duy

1
dx ;
sin x

1
dx ;
cos x

Trang 15


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
π
3

g. I = ∫
π
4
π
4

π
3

2

sin x
dx ;
cos 6 x

n. I = ∫
π
4
π

2

dx
h. I =
∫ 4 ;
0

o. I = cos 4 xdx ;
∫

cos x

0
π
2

π
3

dx
i. I =
∫ 3 ;
0
π
4

dx
;
sin x cos 2 x
2

p. I = sin 4 xdx ;
∫

cos x

0
π
2

x
dx ;
1
+
cos
2
x
0

q. I = cos 4 x. cos 2 xdx ;
∫

j. I =
∫

0
π
2

π

6

1
dx
π ;
π cos x cos x +


3
4


r. I = cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx ;
∫

π
3

s. I = sin 3 xdx ;
∫

k. I = ∫

0
π
2

dx
π;


π
sin
x
sin
x
+


6
6


l. I = ∫

π
3

m. I = ∫
π
4

0
π
2

t. I = sin 4 x cos 5 xdx ;
∫
0
π
2

cos 3x
dx ;
sin x

u. I = sin 2 x cos 3 xdx .
∫
0

π
4

Câu a: I = sin 2 xdx
∫
0

π
2

π
2

π
2

Câu b: I = cos 2 2 xdx = 1 (1 + cos 4 x)dx = 1  x + 1 sin 4 x  = π .
∫
∫



20

0
π
4

2

π
4

4

sin x
1
dx = − ∫
d (cos x) =− ln cos x
Câu c: I = ∫ tan xdx = ∫
π
π cos x
π cos x
3
π
4

3

4

0

π
4

π
4
π
3

= ...

3

π
4

π
4

π
4

π
4
π
3

π
4
π

3

Câu d: I = ∫ tan xdx = ∫ (tan x + 1 − 1)dx = ∫ (tan x + 1)dx − ∫ dx = tan x − x = ...
2

2

π
3

2

π
3
π
2

π
3

π
3

π
2

π
2

3

π
4

3
π
4

3
π
4

π
4

π
4

π
4

3

3

3

3

3

π
3

1
sin x
d (cos x )
d (cos x)
dx = ∫ 2 dx = − ∫
=∫
= ...
2
2
π sin x
π sin x
π 1 − cos x
π 1 − cos x

Câu e: I = ∫
Câu f: I = ∫
π
3

2

1
cos x
d (sin x )
d (sin x) 1 d (sin x) 1 d (sin x)
dx = ∫
dx = ∫

=∫ 2
= ∫
−
= ...
2
2
cos x
2 π sin x − 1 2 π∫ sin x + 1
π cos x
π 1 − sin x
π sin x − 1

Nguyễn Phước Duy

Trang 16


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân

π

x=

t = 3
sin x
dx
3
⇒
Câu g: I = ∫ 6 dx . Đặt t = tan x ⇒ dt =
. Đổi cận: 

.
2
cos x
π cos x
x = π
t = 1
4

4
π
3

2

π
3

π
3

3

3
t5 t3 
sin x
1
dx
1
dx
42 3 − 8

2
2 2
Vậy I = ∫ 2 . 2 . 2 = ∫ tan x 2 . 2 = ∫ t (t + 1)dt =  +  =
.
cos x cos x 1
15
 5 3 1
π cos x cos x cos x
π
2

4

4

π
4

π
4

Câu h: I = dx =
∫ 4 ∫
cos x

0

π
4

π
4

dx
dx
4
= ∫ (1 + tan 2 x)
= ∫ (1 + tan 2 x)d (tan x) =
2
2
cos x. cos x 0
cos x 0
3
0
2

π
3

dx
Câu i: I =
∫ 3 . Dùng phương pháp tích phân từng phần:
cos x

0

1

π
π

sin xdx

π
u = cos x
3
3
− du =
3
dx
tan x
tan x sin xdx
⇒
cos x 2 . Vậy I =
Đặt 
=
−
−
3
∫
∫
dx
dv =
v = tan x
cos x 0 0
cos 2 x
0 cos x
2

cos x
π

3

π
3

π
3

π
3

π
3

1 − cos x
sin xdx
dx
dx
dx
=2 3−∫
dx = 2 3 − ∫
+∫
=2 3−I +∫
3
3
3
cos x
0 cos x
0
0 cos x

0 cos x
0 cos x
2

=2 3−∫

π
3

2

π
3

cos xdx
cos xdx
1 sin x − 1
=2 3−I +∫
=2 3−I +∫
= 2 3 − I − ln
2
2
2 sin x + 1
0 cos x
0 1 − sin x
1
2

Vậy I = 2 3 − I − ln
π

4

π
3
0

1
3−2 .
= 2 3 − I − ln
2
3+2

3−2
1
3−2
1
3−2
⇔ 2 I = 2 3 − ln
⇔ I = 3 − ln
.
2
4
3+2
3+2
3+2
π
4

π
4

x
x
1
x
dx = ∫
dx = ∫
dx .
2
2
1
+
cos
2
x
2
cos
x
2
cos
x
0
0
0

Câu j: I =
∫

u = x
du = dx


Đặt 
. Vậy
dx ⇒ 
v = tan x
dv = cos 2 x
π
4
0

π
4

= x tan x + ∫
0

π
4

x

∫ cos

2

0

d (cos x )
= [ x tan x + ln cos x ]
cos x

π
4
0

x

π
4
0

π
4

π
4
0

π
4

dx = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x − ∫

=

0

0

sin x

dx
cos x

π 1
− ln 2.
8 4

2dx
2
1
2dx
2dx
dx = ∫
=∫
= ∫ cos
Câu k: I = ∫
2
π
π cos x cos x +
π cos x (cos x − sin x )
π cos x − sin x cos x
π 1 − tan x


3
3
3
3
4


π
6

π
6

= − 2∫
π
3

π
6

d (1 − tan x)
= − 2 ln 1 − tan x
1 − tan x

Nguyễn Phước Duy

π
6

π
6
π
3

= − 2 ln

π

6

− 3
3
= − 2 ln
.
3
2

Trang 17


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
π
3

π
3

dx
dx
dx
=∫
= 2∫
π π
π
π

3 sin x + cos x
π sin x sin  x +

π sin x

 6 sin x sin x cos + cos x sin 
6
6
6
6
6


π
π
dx
π
3
3
2
dx
d ( 3 + cot x)
2
sin
x
= 2∫
= −2 ∫
= − 2 ln 3 + cot x π3 = − ln
2
3
3 sin x + sin x cos x
3 + cot x
3 + cot x

π
π
6

Câu l: I = ∫
π
3

= 2∫
π
6

π
3

6

π
3

π
3

4

4

(

)

6

π
3

π
3

[

]

cos 3x
4 cos x − 3 cos x
cos x(4 cos x − 3)
cos x 4(1 − sin 2 x) − 3
dx = ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx
Câu m: I = ∫
sin x
sin x
sin x
π sin x
π
π
π
π

3

=∫

[4(1 − sin

3

2

4

4

π
3

]

π
3

x) − 3
(1 − sin 2 x)
3d (sin x)
d (sin x ) =4 ∫
d (sin x) − ∫
= ....
sin x
sin x

sin x
π
π

π
4

2

4

π
3

π
3

4

π
3

π
3

dx
(sin x + cos x)dx
dx
dx
=∫

=∫ 2 +∫
= [ tan x − cot x ]
Câu n: I = ∫ 2
2
2
2
2
sin x cos x
π sin x cos x
π
π sin x
π cos x
4

2

2

4

β

4

β

π
3
π
4

=

2 3
.
3

4

β

β

dx
(sin x + cos x) dx
sin xdx
cos 2 xdx
=
=
+
...
m
n
m
n
m
n
m
n
∫

∫
∫
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
α
α
α
α

“Note”: I = ∫
π
2

2

2

π
2

2

π
2

Câu o: I = cos 4 xdx = 1 (1 + cos 2 x) 2 dx = 1 (1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x)dx
∫
∫
∫
4

0

4

0

0

π
2

π

1 3
1

1
1

3
 2 3π .
= ∫  + 2 cos 2 x + cos 4 x dx =  x + sin 2 x + sin 4 x  =
4 02
2
4
32

8
 0 16
π
2

π
2

π
2

Câu p: I = sin 4 xdx = 1 (1 − cos 2 x) 2 dx = 1  3 − 2 cos 2 x + 1 cos 4 x dx
∫
∫
∫
4

0

4 02

0

4



π

1
1
3
 2 3π .
=  x − sin 2 x + sin 4 x  =
4
32
8
 0 16
π
2

π

π

π

2
2

2
Câu q: I = cos 4 x. cos 2 xdx = 1 cos 4 x(1 + cos 2 x)dx = 1 cos 4 xdx + 1 cos 4 x cos 2 xdx
∫0
2 ∫0
2 ∫0
2 ∫0

=

π
2

π
2

π
2

π
2

π
2

1
1 1
1
1
1
cos 4 xdx + ∫ ( cos 6 x + cos 2 x ) dx = ∫ cos 4 xdx + ∫ cos 6 xdx ∫ cos 2 xdx

∫
20
202
20
40
40
π

4
1
1
2
=  sin 4 x + sin 6 x + sin 2 x  = 0 .
24
4
8
0
π
2

Câu r: I = cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx .
∫
0

1
2

4
4
2

2
2
2
2
2
Ta có sin x + cos x = (cos x + sin x) − 2 sin x cos x = 1 − sin 2 x = 1 −

Nguyễn Phước Duy

1 − cos 4 x 3 cos 4 x
= +
4
4
4

Trang 18


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
π
2

π
2

0

0

π

2

Vậy I = cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx = cos 2 x 3 + cos 4 x dx =  3 cos 2 x + cos 4 x cos 2 x dx
∫
∫
∫
π
2

π
2

4

π
2



4

0



4

π
2



4

π
2

π
2

3 cos 2 x
cos 4 x cos 2 x
3
1
7
1
dx + ∫
dx = ∫ cos 2 xdx + ∫ (cos 6 x + cos 2 x)dx = ∫ cos 2 xdx + ∫ cos 6 xdx
4
4
40
80
80
80
0
0

=∫

π

1
7
2
=  sin 2 x + sin 6 x  = 0 .
48
16
0
π
2

π
2

π

π
2

3

2
Câu s: I = sin 3 xdx = sin x(1 − cos 2 x)dx = − (1 − cos 2 x)d (cos x) = − cos x − cos x  = 2 .
∫0
∫0
∫0
3 0 3


π

2

π
2

π
2

0

0

Câu t: I = sin 4 x cos 5 xdx = sin 4 x cos 4 x cos xdx = sin 4 x(1 − sin 2 x) 2 cos xdx
∫
∫
∫
0

π
2

π
2

π
2

0

0

= ∫ sin 4 x(1 − sin 2 x) 2 d (sin x) = ∫ sin 4 x(1 − 2 sin 2 x + sin 4 x)d (sin x) = ∫ (sin 4 x − 2 sin 6 x + sin8 x)d (sin x)
0

π
2

 sin 5 x
sin 7 x sin 9 x 
8
.
=
−2
+
 =
5
7
9
315

0
π
2

π
2

π
2

π
2

0

0

0

Câu u: I = sin 2 x cos 3 xdx = sin 2 x cos 2 x cos xdx = sin 2 x(1 − sin 2 x)d (sin x) = (sin 2 x − sin 4 x)d (sin x)
∫
∫
∫
∫
0

π
2

 sin 3 x sin 5 x 
2
=
−
 = .
5  0 15
 3

Bài 6. Tính các tích phân sau:
π
2

3

a. A = 4 sin x dx ;
∫
0
π
3

b. B = ∫
π
6
π
4

1 + cos x

dx
;
sin x cos x
4

π
2

d. D = ∫
π
3
π
2

2

cos xdx
;
(1 − cos x) 2

dx
;
2
cos
x
+
sin
x
+
3
0

e. E =
∫
π
2

f. F = sin 3 xdx ;
∫
0

cos x + 1

Nguyễn Phước Duy

x + cos x
dx (*) ;
2
x

∫π 4 − sin

g. G =

−

2
π
2

h. H = sin x + 7 cos x + 6 dx ;
∫
0

dx
;
2
sin
x
+
2
sin
x

cos
x
−
cos
x
0

c. C =
∫

π
2

4 sin x + 3 cos x + 5

π
4

dx
;
2
(sin
x
+
2
cos
x
)
0

i. I =
∫

π
3

4
j. J = ∫ tan xdx ;

π
4
π
4

k. K =
∫
0
π
4

dx ;
tan x + 1

l. L = tan 3 xdx ;
∫
0

Trang 19

Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
π
3

π
2

n. N = 5 cos x − 4 sin x3 dx.
∫

3
m. M = ∫ cot xdx ;

π
6

0

(sin x + cos x)

Hướng dẫn giải
x = 0
t = 1
Câu a: A = 4 sin x dx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . Đổi cận:  π ⇒ 
. Suy ra
∫0 1 + cos x
x=
t = 0

2

π
2

3

π
2

0

0
0
0
 t2 
4 sin 2 x. sin x
4(1 − t 2 )
4(1 − t )(1 + t )
A=∫
dx = − ∫
dt = − ∫
dt = − ∫ 4(1 − t )dt = − 4 t −  = 2 .
1 + cos x
1+ t
1+ t
 2 1
0
1
1
1


π

3
x=
t =

dx
3
2
⇒
Câu b: B = ∫ 4
. Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx . Đổi cận: 
. Suy ra
π
sin
x
cos
x
1

π
x =
6
t = 2
6

π
3

π
3

π
3

π
3

dx
cos xdx
cos xdx
B=∫ 4
=∫ 4
=∫ 4
=
2
2
π sin x cos x
π sin x cos x
π sin x (1 − sin x )
6

=

3
2

∫t
1

2

=

3
2

∫
1
2

6

1− t
dt +
(1 − t 2 )
4

4

(1 + t )
dt +
t4
2

3
2

6

3
2

∫t

3
2

4

4

1
2

t
dt =
(1 − t 2 )

∫

3
2

3
2

dt

∫ (1 − t

1
2

2

)

=

dt

∫t

4

1
2

+

1
2

(1 − t )(1 + t )
dt +
t 4 (1 − t 2 )
2

dt

∫t

2

1
2

+

3
2

2

1
2

∫
1
2

dt
=
4
t (1 − t 2 )
dt

∫ (1 − t
1
2

2

)

=

2

∫
1
2

∫
1
2

(1 − t 4 ) + t 4
dt
t 4 (1 − t 2 )

(1 + t )
dt +
t4
2

3
2

dt

∫ (1 − t
1
2

2

)

 −1 1 1 t −1 
− 26
1 3( 3 − 2)
=  3 − − ln
=
3 − ln

)  3t t 2 t + 1  1
27
2
3+2
2

dx
dx
cos 2 x
Câu c: C =
=
∫0 sin 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x ∫0 tan 2 x + 2 tan x − 1
π
4

3
2

3
2

3
2

dt

∫ (1 − t

3
2

3
2

π
4

 π
(vì x ∈ 0 ;  ⇒ cos x > 0) .
 4

x = 0
t = 0
dx

Đặt t = tan x ⇒ dt =
. Đổi cận:  π ⇒ 
.
2
x=
cos x
t = 1
2

π
dx
1
1
1
1
4
dt
dt
dt
dt
cos 2 x
Vậy C =
∫0 tan 2 x + 2 tan x − 1 = ∫0 t 2 + 2t − 1 = ∫0 t 2 + 2t + 1 − 2 = ∫0 (t + 1) 2 − 2 = ∫0 (t + 1)2 − ( 2 )2
t +1− 2
=
ln
2 2 t +1+ 2
1

π

2

Câu d: D = ∫
π
3

1

=
0

1
2 2

ln

2− 2
.
2+ 2

cos xdx
.
(1 − cos x) 2

π


x=
3


x
1 2 x 
t=
2dt
3

⇒
Đặt t = tan ⇒ dt =  tan + 1dx ⇒ dx = 2 . Đổi cận: 
3 .

2
2
2 
t +1
x = π
t = 1

2

Nguyễn Phước Duy

Trang 20


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
1− t2
1− t2
1− t2
1 − t 2 2dt
dt

dt
dt
.
1
1
1
1
2
2
cos xdx
(1 + t 2 ) 2
(1 + t 2 ) 2
(1 + t 2 ) 2
1
+
t
1
+
t
=2∫
=2∫
=2∫
2
2
Vậy D = ∫ (1 − cos x) 2 = ∫
2 2
2
2
2
4t 4







π
1− t
2t
3
3 (1 + t ) − (1 − t )
3
3
1 −

3

3 
3 
3 
3 (1 + t 2 ) 2
2 
2
1+ t2
 1+ t 


1 + t 
π
2

1

1

1− t 2
1
∫ t 4 dt = 2
3

1  1 1
1 1
∫  t 4 − t 2 dt = 2 − 3t 3 + t 
3

3

3

3

1 − t 2 (1 + t 2 ) 2
1
=2∫
.
dt =
2 2
4
2
(1 + t )

4t
3

1

1
3
3

12
 1
=  − 0 = .
23
 3

π
2

x
1 2 x 
2dt
dx
. Đặt t = tan ⇒ dt =  tan + 1dx ⇒ dx = 2 .
2
2
2 
t +1
2 cos x + sin x + 3
0

Câu e: I =
∫

π
2dt
x = 0
1
1
2
2
t = 0
dx
2dt
t
+
1

=∫
=∫ 2
Đổi cận:  π ⇒ 
. Vậy I = ∫
2
2t
2 cos x + sin x + 3 0 2(1 − t )
t + 2t + 5
x=
t = 1
0
+
+3 0

2

2
2
1+ t
1+ t
1
1
2dt
2dt
=∫ 2
=∫
2
2 .
0 t + 2t + 1 + 4
0 (t + 1) + 2

π

u=
t = 1
1

⇒
4 với tan α = .
Đặt t + 1 = 2 tan u ⇒ dt = 2(tan u + 1)du . Đổi cận: 

2
t = 0
u = α

2

π
4

π
4

π
2dt
4(tan u + 1)du
π
4 =
=
=
du
=
u
− α.
2
2
2
∫
∫
α
4
0 (t + 1) + 2
α 4(tan u + 1)
α

1

Vậy I =
∫

π
2

2

π
2

π
2

π
2

2
Câu f: I = sin 3xdx = 3 sin x − 4 sin x dx = (3 − 4 sin x) sin xdx = ( −1 + 4 − 4 sin x) sin xdx
∫
∫
∫
∫

cos x + 1

0

π
2

=∫

0

3

cos x + 1

[− 1 + 4(1 − sin x)] sin xdx = −
2

cos x + 1

0

2

cos x + 1

0

0

cos x + 1

π
2

(1 − 4 cos2 x) sin xdx .
∫0
cos x + 1

x = 0
t = 1
Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . Đổi cận:  π ⇒ 
.
x=
t = 0
2

π
2

0
0
2
2
Vậy I = − (1 − 4 cos x) sin xdx = (1 − 4t )dt =  4t − 4 + 3 dt =[ 2t 2 − 4t + 3 ln t + 1 ] 0 = −2 + 3 ln 2
∫
∫
∫
1

cos x + 1

0

Câu g: I =

π
2

∫π

−

1

t +1

1



t +1

x + cos x
dx (*) “ tích phân dạng I = α
4 − sin 2 x

2

π
2

∫α f ( x)dx , đặt

x = −t ”.

−

−π

 π
x = 2
t = 2
⇒
Đặt x = −t ⇒ dx = −dt . Đổi cận: 
.
x = π
t = − π


2
2
−

Vậy I =

π
2

∫

π
2

− t + cos− t
(−dt ) =
4 − sin 2 − t

Nguyễn Phước Duy

π
2

π

∫π

2
− t + cos t
− x + cos x
dt
=
dx .
2
2
∫
4 − sin t
π 4 − sin x

2

2

−

−

Trang 21


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân

Ta có 2 I =

π
2

−

=

x + cos x
dx +
2
x

∫π 4 − sin
2

1 sin x − 2
ln
4 sin x + 2

−π

2

π
2

=

π
2

∫π

−

− x + cos x
dx =
4 − sin 2 x

2

π
2

cos x

∫π 4 − sin

−

2

x

dx =

π
2

−

2

d (sin x)
=
2
x

∫π 4 − sin
2

−

π
2

d (sin x)
2
x − 22

∫

π sin
2

1
ln 3 .
2

π
2

Câu h: I = sin x + 7 cos x + 6 dx .
∫

4 sin x + 3 cos x + 5
sin x + 7 cos x + 6
4 cos x − 3 sin x
C
= A+ B
+
Ta có
4 sin x + 3 cos x + 5
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5
⇔ sin x + 7 cos x + 6 = A(4 sin x + 3 cos x + 5) + B(4 cos x − 3 sin x) + C
4 A − 3 B = 1
A = 1


⇔ sin x + 4 cos x + 6 = (4 A − 3B ) sin x + (3 A + 4 B ) cos x + 5 A + C ⇔ 3 A + 4 B = 7 ⇔  B = 1 .
5 A + C = 6
C = 1



0

π
2

π

π
2

π
2

π
2

0
π
2

0

2
1

Vậy I = sin x + 7 cos x + 6 dx = 1 + 4 cos x − 3 sin x +
∫0 4 sin x + 3 cos x + 5 ∫0  4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 dx

= ∫ dx + ∫
+∫
0

1
π
dx = + ln 4 sin x + 3 cos x + 5
4 sin x + 3 cos x + 5
2

Tính

π
2

4 cos x − 3 sin x
1
d ( 4 sin x + 3 cos x + 5)
dx + ∫
dx = x + ∫
4 sin x + 3 cos x + 5
4 sin x + 3 cos x + 5
0 4 sin x + 3 cos x + 5
0
π
2
0

π
2

π
2
0

π
2

+∫
0

1
dx .
4 sin x + 3 cos x + 5

1

∫ 4 sin x + 3 cos x + 5 dx .
0

x = 0
t = 0
x
1 2 x 
2dt
Đặt t = tan ⇒ dt =  tan + 1dx ⇒ dx = 2 . Đổi cận:  π ⇒ 
.
2
2
2 

x=
t +1
t = 1

2
π
2dt
1
1
1
1
2
2
1
2dt
dt
dt
1
+
t
dx = ∫
=∫ 2
=∫ 2
=∫
Vậy ∫
2
2t
1− t
4 sin x + 3 cos x + 5
2t + 8t + 8 0 t + 4t + 4 0 (t + 2) 2

0
0
0
4.
+
3
.
+
5
1− t2
1+ t2
1

1

d (t + 2)
1
1
=∫
=−
= .
2
(t + 2)
t+20 6
0
π
2

Vậy suy ra: I = π + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 +
∫

π
2
0

2

0

1
π
9 1
dx = + ln + .
4 sin x + 3 cos x + 5
2
8 6

π
4

2
dx
. Chia tử và mẫu cho cos x,
2
0 (sin x + 2 cos x )

Câu i: I =
∫
π
4

π
4

π
4

 π
(∀x ∈ 0 ;  ⇒ cos x ≠ 0) .
 4
π

4
dx
dx
d (tan x + 2)
1
1
Ta có I =
=
=
=
−
∫0 (sin x + 2 cos x) 2 ∫0 cos 2 x(tan x + 2) 2 ∫0 (tan x + 2) 2 tan x + 2 0 = 6 .

Nguyễn Phước Duy

Trang 22


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân

π
3

π
3

π
3

π
4

π
4

π
3

π
4
π
3

π
3

π
3

π

4

π
4

π
4

π
4

4
2
2
2
2
Câu j: I = ∫ tan xdx = ∫ tan x. tan xdx = ∫ (tan x + 1 − 1). tan xdx

= ∫ (tan 2 x + 1) tan 2 xdx − ∫ tan 2 xdx = ∫ tan 2 x.d (tan x ) − ∫ (tan 2 x + 1 − 1)dx
3

tan x
=
3

π
3
π
4

π
3

π
3

3

tan x
− ∫ (tan x + 1)dx + ∫ dx =
3
π
π
2

4
π
4

4

π
4

dx

π
4

dx

π
3
π
4

π
3
π
4

− tan x + x
π
4

dx

π
3
π
4

=

2 π
+ .
3 12

cos x.dx

=∫
=∫
Câu k: I = ∫ tan x + 1 = ∫ sin x
.
sin
x
+
cos
x
sin x + cos x
0
0
0
+1 0
cos x

cos x

π
4

sin x.dx .
sin x + cos x
0

Ta đặt J =
∫

π
4

cos x.dx
Ta có: I + J =
∫

sin x + cos x

0
π
4

π
4

π
4

π
4

sin x.dx
sin x + cos x.dx
π
=∫
= ∫ dx = .
sin x + cos x 0 sin x + cos x
4
0
0

+∫

π
4

π

Lại có: I − J = cos x − sin x dx = d (sin x + cos x) = ln sin x + cos x 4 = ln 2 .
∫
∫
0
0

sin x + cos x

Vậy ( I + J ) + ( I − J ) =
π
4

0

sin x + cos x

π
π
π 1
+ ln 2 ⇔ 2 I = + ln 2 ⇔ I = + ln 2 .
4
4
8 2

π
4

π
4

π
4

0

0

Câu l: I = tan 3 xdx = tan x.[(tan 2 x + 1) − 1]dx = tan x(tan 2 x + 1)dx − tan xdx
∫
∫
∫
∫
0

0

π
4

π
4

π
4

π
4

π
4


sin x
d (cos x )  tan x
1
2
dx = ∫ tan x.d (tan x) + ∫
=
+ ln cos x  = + ln
.
cos x
cos x
2
 2
0 2
0
0
0

= ∫ tan x.d (tan x ) − ∫
0

2

π
3

π
3

π
3

π
3

π
6

π
6

π
6

π
3

π
3

6

6

3
2
2
Câu m: I = ∫ cot xdx = ∫ cot x[(cot x + 1) − 1]dx = ∫ cot x(cot x + 1)dx − ∫ cot xdx

π
3

π
3

π
3

π
6
π
3

π
6

π
6

π
6

π

6

= ∫ cot x (cot 2 x + 1)dx − ∫ cot xdx = ∫ cot xd (cot x) − ∫

cos x
d (sin x)
dx = − ∫ cot xd (cot x) − ∫
sin x
sin x
π
π

π
3

 cot 2 x

= −
− ln sin x  = 1 − ln 2 .
2

π
6

π
2

π

π

2
2
cos x
sin x
Câu n: N = 5 cos x − 4 sin x3 dx. Đặt N1 =
và
d
x
N
=
2
∫0 (sin x + cos x)
∫0 (sin x + cos x)3
∫0 (sin x + cos x)3 d x .

x = 0
 π
t=
π

Đặt t = − x ⇒ −dt = dx . Đổi cận:  π ⇒  2 .
x=
2

2
t = 0

Nguyễn Phước Duy

Trang 23


Hướng dẫn giả bài tập Tích Phân
π

π

π
cos − t 
cos − t 
2
cos x
2 
2 
− dt = ∫
dt
3
3
Vậy N 2 = ∫ (sin x + cos x) 3 d x = ∫
π 
π

π

π

π

0

0 
− t  + cos − t 
2 sin 
sin  2 − t  + cos 2 − t 
 2 



 2 
 
π
2

0

π
2

π
2

sin t
sin x
dt = ∫
d x = N1 . Suy ra:
3
3
[
cos
t

+
sin
t
]
[
cos
x
+
sin
x
]
0
0

=∫

π
2

π
2

π
2

π
2

cos x
sin x

dx
dx + ∫
dx = ∫
=
3
3
(sin x + cos x)
(sin x + cos x)
(sin x + cos x) 2 ∫0
0
0
0

N1 + N 2 = 2 N1 = ∫

π

π
d x − 
1 
π4
1
4

=∫
= tan x −  = 1 . Suy ra N1 = N 2 = .
π 2 
4 0
2
0 2 cos 2  x −



4


dx
π

2 cos 2  x − 
4


π
2

π
2

π
2

π
2

5 cos x
4 sin x
1
Vậy N = 5 cos x − 4 sin x dx =
∫0 (sin x + cos x)3 ∫0 (sin x + cos x)3 dx − ∫0 (sin x + cos x)3 dx =5 N 2 − 4 N1 = 2 .

Nguyễn Phước Duy

Trang 24