Luận văn về biểu diễn wigner cửa sổ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (439.31 KB, 26 trang )
Biểu diễn Wigner - cửa số
1.1 Giao thoa trong biếu diễn Wigner - cửa số
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ
Mục lục
NỘI 2
Bảng kỷ hiệu và viết tắt
Lời cam
cảm đoan
ơn
Mỏ đầu
Chu Thị Hồng Lam
Một số khái niệm và kết quả ban đầu
1.1 Một số khổng gian hàm .................................
1.1.1
Không
gian
Banach
.......................
Luận
văn
"Về
diễn
Wigner
cửa Cường,
sổ" được
hoànthầy
thành
Tôi xin
bàytốttỏnghiệp
lòng
cảm
ơnbiểu
sâu
sắc
đến
TS. Bùi-Kiên
người
đã
1.1.2
Khống
gian
L ptôi trong
dưới
sự hướng
dẫn
tận
tình,
nghiêm
khắc suốt
của thầy
TS. tập
Bùi và
Kiên
Cường.
tận tình
hướng
dẫn
động
viên
quá giáo
trình - học
nghiên
cứu
1.1.3đoan
Không
gian
các
hàm
kiểm
tra và
đối
ngẫi
1 . .tôi.
.
VỀ
BIỂU
DIỄN
WIGNER
- CỬA
Tôihọc
xinđểcam
luận
văn
nàynày.
là công
trình
nghiên
cứusổcủa riêng
khoa
hoàn thành
luận
văn
1.1.4 Không gian Sobolev ............................................................
Trong
nghiên
và hoàn
đã tích,
thừa khoa
kế những
Tôi xinquá
cảmtrình
ơn các
thầy cứu
cô giáo
trongthành
tổ bộ luận
môn văn
Toántôi
Giải
Toán
1.2 Biến đổi Fourier .................................................................................
thành
của các
và dạy,
đồnggiúp
nghiệp
vớitạo
sự điều
trân kiện
trọngcho
và
trườngquả
Đạikhoa
học học
Sư phạm
Hà nhà
Nộikhoa
2 đã học
giảng
đỡ và
Chuyên
Giảivà
tích
Mãđổisố:
60 46 ngượ
01 02 Ngườc i. hướng
1.2.1ngành:
Biến đổiToán
Fourier
biến
Fourier
..
biết
ơn. thành tốt luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh
tôi hoàn
dẫn: TS.
1.2.2 Biến đổi Fourier
thờiBùi
gianKiên
ngắnCường
(STFT)
chị và các bạn lớp cao
học
đã
giúp
đỡ
tôi
trong
quá Học
trìnhviên
nghiên cứu của mình.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
1.3 Biểu diễn Wigner.................................................................
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng
1.4 Lớp phân bố Cohen ............................................................................
nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học
1.5 Biểu diễn tích phân T-Wigner ..........................................................
tập và nghiên cứu.
1.5.1 Các đinh nghĩa ......................................................................
Chu12Thị
Hồng
Lam
Hà Nội, tháng
năm
2015
1.5.2 Một số tính chất của biểu diễn T-Wigner
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • •Học
• viên
1.6 Toán tử giả vi phân
Chu Thị Hồng Lam
Hà Nội - 2015
64 93527
X8
plp Cohen
l
lp
Cohen.
Dng
tng
quỏt
ca
l
a
n
Vớ
d ta
1.1.17.
13.
< Vúi
pK
00,
/ gian
LtMnh
(Mn),
ỏnh
xx
rng
trong
2,
kớ
hiu
l<
ty
yỡ).
Vi
mi
aZ,
phộp
toỏn
o
hm
l
ỏnh
tuyn
tc
t
vit
Cho
(E).
Mnh
Bin
1.1.6.
Nu
toỏn
tDớch
phõn
1.1.22.
tr ờn
G i
L 2(M
s tớnh
)liờn
vi
Khi
K(x,y)
ú
1.2.2
i
Fourier
thi
ngn
(STFT)
phộp
ng
bin
i
Four
ier
T,u. xỏc
2. Hm
Mc 2ớch
nghiờn
cu
nrng vn
Gthỡ
V'
(ớỡ)
tỏc
ng
lờn
mi
)- khụng
G
V(ớ ỡ)
cbit
vit cỏc
l (/,hm
ớp). tng
Tụ (1)
6. cu
lun
votrỳc
ôS(Kn).
Kí
HIU
VIT
Khụng
gian
(E,i),
trong
ú
ta
phõn
E
Lsuy
(R
(i)
XJgJU
R/n)BNG
K Jg+U
l
toỏn
, ,g)
tV
H=ilber
t TT
Schm
idt.
Q
nh ngha 1.2.5. cnh
A/nh
: ^ bi
(/,Ơ>)
mt57(f)
hm
= J =gf (/
V
)e2'
0Ơi:t
(gi
{x)dx,
l
hm
ip
ca
Khi
ú
bin
i
f(x)dx,
ớ 6 K"
pụ
trờn
V'
(ớl)
l
tụ
pụ
i
ngu
ca
tụ
pụ
trờn
V(ớỡ)
ng
nhau
(ngha
l
bng
nhau
hu
khp
ni),
l
mt
khụng
gian
vộc
()
JQ
U
=
u.
+ Nm
c
nhng
khỏi ,nim
cgian
bn,s cỏc
nhng
tớnh nh
chtsau:
ca mt s biu din
Tp
(Rn)
mt
trong
khụng
(Rn).
Lun
vn
gmtrự
hai
chng
cca
th
gm
chng
Fourier
ngn
(STFT)
mt
hm
i Wigner
vi g c
nh ngha bi
JR"
R-Wig
" ca
Biu
din
Wigner
s
trong
úthi
2.1.1
Ggian
tS'(R2n)
l
nhõn
v
bin
c in
1.1.3
Khụng
gian
cỏc
hm
kim
tralv
i/ i
ngu
30
t
nh
chun,
vi
chun
xỏc
nh
bi:
N
Tp
s
t
nhiờn
thi
gian
tn
s
v
toỏn
t
gi
vi
phõn
trong
tng
thớch
vi
mt
s
lp
gii
Vi
mi
M
E Kin
N,
hm
lnh
mt
hm
suy
rng
tng
chm.
Do
ỏnh
x
/
I>
A/
l
n
ỏnh
nờn
ta
cú
th
l
n chun
Chng
1:
thc
b.
ngha
1.1.11.
Khụng
gian
cỏc
hm
gim
nhanh,
kớ
hiu
l
s
(Rn)
l
tp
Chng
1
Mt
s
khỏi
nim
v
kt
qu
ban
u
nh hm
lý 1.1.23.
J lbt
t
phộp
ng
c t
H s ,p(W ) vo Hs
+t,p(M.n).
mi
ip GGim
*S(M
) mtha
món
2.1.2
giao
thoa
trong
W
Mn.
n
32
Vgf(x,w
)
=
J
f(t)g(x
t)e~2'
ù
ùit'
w
dt
vi
x,w
e
R
nh
ngha
1.1.7.
Cho
ri
l
mt
tp
con
m
ca
Khụng
gian
vộc
t C^(ri)
tớch
thi /gian
-A.
tndin
s. Wigner
ng
nht
vi
Cng
nh
vy
cỏc
hm
gim
nhanh
cng
l
cỏc
hm
suy
Chng
2:
Biu
ca
s.
hp
N gha
l, t liờn kt vi
Rn
ò(
2.2
biu =
din
Wigner
ca\D
s
2 (i +-)
38
(<)
sup
P
()|
M
uToỏn
bao
gm
chm
trờn
ri
cú
trong
Cựng
vi tụ
xỏcdin
nhthi
bi
/(*)
=
[jiw
egiao
ô/(K.
Wig(f,g)(
x,w
) =giỏ
tng
ecompact
2l
f{x
+j Q.
)g(x
- )dt
(2)
N*
Tp
s
t
nhiờn
khỏc
khụng
11/11
=
\
f\pd
.
+
H
thng
húa
vic
gim
hin
thoa
i
vi
mt
spụ
biu
rng
tng
chm.
JR"
nu tớch phõn ú tn ti.
S(Rn)
=Tp
{
hi
t
ca
dóy:
gian
-súng
tn
sgúp
v
tớnh
cht
mt
s
lp
gi
viny
phõn
thớch
vi
xỏc
nh
mt
na
chun
ớS(Mn)
htoỏn
na
chun
xỏctng
nhrng
tụ
pụ
ca
7.1.1
Nhng
ca
titrờn
Mt
khụng
hm
Vớ
d f,g&S{Rn).
1.1.18.
rng
ca
v
cỏc liờn
ov
hm
castnú
l chớnh
cỏc
hm
suy
tng
43
Kt
lun
vi
Do
ú
T
lHm
m gian
tsuy
s ong
ỏnh
s ong
tc t
vo
nú.
n
Ký
hiu
T
l
phộp
dch
chuyn
dc
theo
vộc
t
X,
tc
l
T
(y
)
=
T
{x
y)
nh
ngha
1.1.3.
Gi
s
ớ
c
Rn
l
mt
tp
m
trong
Mn,
1
<
p
<
00.
nh
lý
1.1.24.
Hs
,p(M
.
)
khụng
gian
Banach
t
ng
ng
vi
chun
xhi
x
Dóy
(Pj
c
^(ớ)
c
gi
l
hi
t
v
0
trong
C
(Q
),
nu
tn
ti
vi
khỏi
nim
t
c
nh
ngha
nh
sau
R; s lp giiTp
thc
dng
mt
tớchsthi
gian
- tn s.
ớS(Mn).
chm.
Vi
biu
din
Wigner,
tớnh
cht
khụng
tri
theo
thi
gian
v
tn
s
c
Lun
vn
l
mt
cụng
trỡnh
nghiờn
cu
tng
quan
v
vic
gim
hin
tng
rix
1.
Lý
do
chn
i(Plancherel).
ti
1.1.1
Khụng
gian
Banach
44
Dóy
v
Hm
{liu
>k}
flý
l
: tham
Q
phộp
kL
Ơ
xoay
trong
c Kc
gi
nhl
bi
thuc
c
Mỗu(x)
gi
(fj
(ri)
l
hi
e 2 mi
t
nú^u(x).
n
o
If G sLebesgue
( ) Gnu
v
nh
1.2.3
mt
tp
compact
ớ
sao
cho
supp
c =nu
vi
j c
Nv
Ti
kho
M
Tp
scxỏc
phc
n
tha
món,
nhng
li
gõy
ra
hin
tng
giao
thoa
hay
hin
tng
búng
ma
nh
lý
1.1.13.
Khụng
gian
s
(R
)
l
y
.
giao thoa i vi mt s biu din thi gian - tn s v tớnh cht ca mt s lp
1.1.4
nh
ngha
Khụng
1.1.1.
gian
Khụng
Sobolev
gian
Banach
l
cỏc
khụng
vect
nh
y
cú
chun
akhụng
t
trờn
K
vier
0.
c
gi
gian
hm
kim
trachun
(trờn
2 m cỏc
Bin
i
Four
: sa D
>
c
trG
in
t
duy
nht
thnh
u
Tp
s
thc
hoc
n sk phc
2n Z.
3. Nhim
v
nghiờn
lim
cu
sup
\x
^tc
ip
()
lthỏc
xliờn
D
^/ip
()
I gian
=trong
0,cỏch
\/a,ò
Cho
trc
mt
tớnTC^(ri)
hiu,
l
mt
hm
Lu
(Md)
ca
bin
thi
gian
Xớ),
B
1.2.6.
Nu
f,gÊ
L
2(
R
)
thỡ
Vgf
tc
R
v
giatmt
cp tn
s thớch
thc trờn
mt phng
thitớch
gian
- tn
s- (xem
[2],
13J). ó
fc->0
IRằ
toỏn
vi
phõn
tng
vi
nhng
lp
gii
gian
tn
s
ú.
n thi
nh
ngha
1.1.14.
Cho
hm
suy
rng
/
e
V(M.
).
Hm
suy
rng
/
c
gi
l
2
n
1.2 Ký
Bin
iV().
Fourier
.
iu
ny
cúng
ngha
mt
khụng
gian
Banach
l mt
khụng gian vect V
hiu
n
mt
ng
cl ca
Tn
2 str
ờnvi
L (M
f,g
ng
trũn
v
tõm
gc
ta
s 1 ngha
nh
1.1.19.
Cho
oo
<
<
oo
vny
u).leV
L pi(M.
),L
ta2(M.n),
nh
Rd,
phõn
bcu
nng
lng
tớn
hiu
theo
thi
gian
v ngha
tn sJc
biu
s l toỏn
cú
nhiu
c
gng
tỡm
kim
nhng
biu
din
thi
gian
Ký
hiu
s
_
lim
=
by
tng
quan
v
vic
gim
hin
tng
giao
thoa
i
vi
mt
s
biu
Vgf{
x,w
)
=
(/
T
xflw)
(1.3)
hm
suy
rngustng
chm
nu
mt s
t nhiờn
m
vcho
mtmi
s phn
dng
ca
sao
trờn
trng
thc
hay
phc
||.||
sao
dóy bự
Cauchy
n Giỏ
00
supp
ca
mt
hm
u tn
Ê vi
L2ti
tng
ioc(u
jchun
) c
xỏc
nh
nh
l
2
R
Khụng
gian
Euclide
n
chiu
din
c
in
bi
1/(2;)|
v
|/(Ê)|
ng.
Mt
khỏc,
phõn
b
Q
f(x,w
)
xỏc
t
c
xỏc
nh
bi
x
p
d
x
1.2.1
Fourier
v
bin
i
Fourier
ngc
itn
idin
/ H l p(ớ s
) =thi
[ nhm
\ Bin
f gian
( )gim
\ i
thiu
hin
tng
[|J).
Cohen
chớnh
mt thớch
cỏch
sf(x)g(x)dx
=ny
f= (xem
- metric
tn
v
tớnh
cht
ca
mt
s
lpLp
toỏn
t viV.
phõn l
tng
,M
T,g)
(1.4)
cho
(tng
viKhụng
d(x,y
) =hm
||a;cú
y\
\)
cú
gii
trong
Ctp
hỳ
ý n1.1.12.
n
m
lnmt
nht
m jRn
uthi
trit
tiờu,
vit:
\n
(R
) ng
gian
cỏc
ly
tha
bc hn
ptkh
tớch
trờn
M
nh
trờn
phng
gian
- ta
tncú
sth
XJRn
lm
sỏng
theo
mt
cỏch
no
ú
s
1
s
=
(2?r)^y
eihm
x*(Ê)ự(Ê)dÊ,
lc
ca lp
bin
iBin
Wigner,
bi khi
chn
nhõn
/ phự
tng
giao bi
thoa
nh
ngha
1.2.1.
iu)(x)
Fourier
ca
e L hp
(Mn)hin
c
xỏc nh
vi
nhng
gii
tớch
thi
gian
- tn
smt
ú.
=
(/,
hu
hn.
Hm
nhanh,
ngha
l
vi
mi
G Z
cú
I e, c
i f ) (Rn)
I supp
{vhm
(lu{i
+ kh
H2)
\Tv
Dv M^
tn
t2pớg)s
0r)|}
,ớVy?
e Vla,ò
(R).
00 ip
(fi)
Khụng
gian
cỏc
vitrong
vụ
hn
trong
phõn
b nng
lng
/gim
c
thi
gian
v
c
gi
phõn
b (1.5)
hay
u
=
ớ
\
m
I
u\
0}.
w =
R"
s gim Khụng
( [14J ).gian
õy,
bng^\2dx
cỏch
biờn
Wigner bi hai bin i
\f(x)
=ci
' iJ^. i
1.1.2
2 /(0ibin
xeK.n
'
*
Trng
hp
pc a=ò-00,
hm
/ hm
thuc
L
nú
c
btrong
chn
ctbiu
I biu
xa 0D()
^din
ớp ()
I<
,tn
Rn
khi
v
ch
khi
JRằ
J (ri)
Rn
Khụng
gian
cỏc
kh
vi
vụ
hn
cú o
giỏ
compact
thi
gian
s.
Mt
iu
kin
tnu
nhiờn
c
yờuvcu
i vi
B
1.2.7.
Mi
khi
Vgf
xỏc
nh,
ta
cú
Wigner
ca
s
xỏc
nh
bi:
trong
ú
4. i
tng
phm
vi
nghiờn
B
1.1.8.
1) hm
Ch
o suy
R
>rng
r >cu
0. gian
Tn
ilmt
hm
X Ttrờn
R
( Xmt
) 2tt^(M
vi
Khụng
gianv
cỏc
tng
chm
khụng
gian
vộct
cỏcn ) hm
nh
ngha
1.1.2.
Cho
mt
khụng
Etv
o
fi
c
n
Vi
fmi
Lgian
1ln
2aòthỡ
=s,
J~fn
i m i hm f e L (M ), dóy (Jyu,
ngha
a)din
m
EL
l
Z
cú
avithi
ch
a =H(ô
1, na,
, av
-Lz+,
tn
s
n) N
cỏc
tớnh
cht
: tp Kớ
<7(0
= (1e~2niu+c
lớl2)"/2.
ớ esR.
suy s
rng
tng
chm.
S'
(Mn).
i
T trờn
cỏc
conhiu
ca
cỏc
hm
/-u,w
(X ) cú lu
bc p (1
2E. H
n) = tt
(
,/)(,
wVgf{x
) tha
dx
,N
w
Gs,
Mn
(Ib
N)f))
hi
trong
Lgii
(M
)
v
Ti
khi
>
oo.
i
tng
nghiờn
cu:
tớch
thi
gian
tn
toỏn -tTgi
vi phõn. (1.6)
|a| +{ 0dng,
n
Tớnh
tc
ltQ f(x
,
w)
>
0
vi
mi
X
,
w.
ò g){x,w) = e~27ợỹwợp(t) f{x + )g(x - )d t (3)
II/IIL(è)
= esssup
I/,p
(a:)|
oo,
(lCho
+ca
|;c|2)
\D
=1.1.20.
1 vi
|z|
<
ra,
Xr
Rtớch
e5otj
nh
ngha
oo
<=(fi
<()|
oo
1m j ò
ta nh ngha H s p (M .n)
Cp
|a|
< hỳ
pXr,R
<ý oo)
ca
mụ
un
kh
trờn
E,
Rn
C
1.1.15.
xeớ
+
Phm
vi
nghiờn
cu:
Cỏc
bi
bỏo
v
cỏc
ti
liu
trong v
ngoi nc
liờn
Tớnh
cht
khụng
tri,
lbi
Nu
supp
c I vi
khong
n ta
j=
nh
lý
trờn,
cng
gi
Ti
l1/ bin
i mt
Fourier
ca I c pRd nthỡ
/ n^supp
L 2(Mn)
vi
X,
u,w,)
G<
R\x\
. tc
c
t:minh
Nh
Kt
thỳc
chng
[0;
1]
vúi
r
<
R
Xr,R
lhay
tp
hp
tt
c
cỏc
hm
suy
rng
u
m
Ju
l
mt
hm
thuc
L
(R
).
SFourier
Khi
mnh
mt
tớnhhm
tỏc
trongta
úmun
esssup^Q
c
nh
cn
di
ca
cỏc
hng
s
Khụng
hm
gnhn
* suy
f I/
,nghiờn
g (a:)|
)rng
( x ,rng
w
tng
) =bin
2i
nngha
iS'
tXw
poo
(Ơt )M^),
fll
( wkhụng
+ ỳng
v
) g toỏn
(tng
wgian
- t
tp
)cỏc
dtuyn
t nu
(4phim
) visupp
quan
tng
cu.
J chm
\egiao
\pdi
<(Mn)
^(/)
cn
Igian
(i
UWi
t,
/c
x l phộp chiu trc
v
cng
ký
hiu
l
J7/
hay
/.
b) vi
>z+R.cú
= 0mi
vim
|x|
1
s , p (:r)|
ng
trờn
mt
khụng
gian
hm,
taX
T fc
thay
cho
/.T
M
sao
cho
I/
M
hu
khpNúi
ri.
bit
(f)
khụng
giannú
cỏcmt
hm
Rừ
rng
H
(R
n)<
l
IVg{TuMv)
mt
khụng
gian
\ cvit
=GJ.
IVgf(x
vect
nờn
-u,wcú
th
)\.lltrang
b gian
cho
tuyn
tớnh
liờn
tc
trờn
s n^supp
(Rn).
cỏch
khỏc,
S'taL(Mn)
khụng
i
ngu
E
Jf,g,ip
vi mt
khong
J
c
thỡ
/
n
G
S{R
).
n
2)
Tnh
n phõn
ti
hm
h tuyt
e Ê(M
tha mn:
lý 1.2.4
(HausdorffYoung).
ò L y 1 < p < 2 vp' s ao cho -+^7 =
cú
tớch
hi
t
i )vi
+p ||2^
^2
\D
tp ()I
< Trong
, \/ bin
chun
\\.\
\ s pl,
tc
tr^1
thnh
khụng
gian
nh
ú=i .
2h trc
tụ
pụ
ca
khụng
gian
s(f)(x,w)dx
(IRn).
Tng
t
cụng
thc
Paseval
ta cú
quan
ca
Fourier
Tớnh
cht
l
/ Q(E,
=vect
|/(ô;)
v chun.
f Q giao
(f)(x,w)dw
gi
l
khụng
gian
L
).
Trong
cụng
thc
'
úng
vai
trũ
hm
ca
s
theo
bin
tn
s
trong
bin i
\\u
\\Sj
P=
\\
J-Su\\p,
u
H
s
,p(M.n).
supp
h
=
5(0,1),
h(x
)
>
0
d
vi
|ớcI
<
1,
h(x)dx
=
1.
\ò\<
K hi ú T : {Rn) -+ LP' {Rn ) v \\ f\\p l < |/| P.
Rd
1 nghiờn cu
5. Phng
phỏp
kc bn sau:
thi
gian
ngn.
nh
lý
1.2.2.
Bi
n
i
Four
ier
cú
cỏc
tớnh
cht
Tụ
pụ
trờn
s
cũn
cú
th
xỏc
nh
nh
khỏi
nim
hi
t
ca
dóy:
Cho
fk,
f G s1
Khi
E
l
tp
o
c
Lebesgue
trong
R
,
v
i
l
o
Lebesgue,
l/(^)ớ2s,p
n
,p
n
Wig
.
Ta
thng
gi,H/X
(R.
) ,l(p,
s.1,2,...
Hin tnhiờn
H tớnh
(R. )liờn
=
Vi
mi
Gv
x
s (Rn)
dm=
nu
\khụng
\ f:\Ipk,
\(p
L 'gian
(!->
) Ê=Sobolev
\ f ( xl,)biu
\bc
xt.cỏch
nh
lý ý:
1.1.9.
nh
da
daip
toỏn
tuyn
Chỳ
Beckner
Brascamp
Lieb
ó
phỏt
khỏc
ca nh
(Rn),
=
1,2
,....
Dóy
{fk}ợ
gi
l
hi
t
trong
n
hm
f Ê
=chc
1 c
Tuy
nhiờn,
nguyờn
lý
khụng
chn
i
vi
gii
tớch
thi
gian
tn
s
+ S
dng
cỏc
kin
thc
phng
phỏp
caú
gii
tớch
gii
iu
s L 2 cu
s , 2Vg.fj
l
Trong
[3],
gi
óvnghiờn
vkhi
tớnh
cht
giao
thoa
ca tớch
cỏc
nh
lý[2],
1.2.8.
G2cỏc
i
stỏc
ký
/i,/
,i,ớ?2
(Mn),
Êhm,
L 2 (M2n)
vibin
jó=
2hiu
Lp(Mn).
Khi
p
=
thỡ
ta
H
(M
.n)
thay
cho
H
(W
).
nh
ngha
1.1.4.
Cho
H
l
mt
khụng
gian
Hilbert.
Toỏn
t
tuyn
tớnh
liờn
tc
tcHausdorfftrong T >{i).
nh
iu
ny
cng
cho D a.
lý
Youngôs_
sau
lim
s _ỳng
lim 'mi
S'
(Kn),
kớ
hiu
ôS'_
lim
f
f,
vi
s
,
dóy
k(
t
v
ch
ra
rng
cỏc
iu
kin
trờn
khụng
tng
thớch,
v
iu
ny
ó
ch
ra
vic
hũa
tip cn
vns.v ;>00
i
Wigner
- 1ca
tớnh cht ca cỏc
1,2 v
ktoỏn
Ơoo t n liờn h vi cỏc bin i
x
A n
:Vi
Hi
ằ
Hf JÊc
gi
l^1
t
nu
tn
tit
mt
stớnh
trcs
mi
ỏnh
MfHilbert
ttc
toỏn
tuycngian
Bi
Four
ttoỏn
toỏn
tTu,
: Beckner.
tuy
n
t
khụng
Mnh
1.1.21.
u(r)
=hng
T~ m
+x
|^|2^
vI^
i- Schmidt
mtớnh
i
uliờn
úm
Ap
= (^x)2
l
s
BabenkoKhi
sier
f{ (p).
phi
phỏt
trin
mt
khung
cnh
rng
hn
v
gii
tớch
thi
gian
4Thu
thp
v
nghiờn
cu
cỏc
ti
liu
cú
liờn
quan,
c
bit
l
cỏc
bi
bỏo
mi
Wigner
ca
s
ú.
Vi
mong
mun
hiu
bit
v
lnh
vc
toỏn
hc
lý
thỳ
ny
pp
thỡ
chun
(ej)trong
ca
sao
chomón
ll^"'ejl| 2 < liờn
tc
viy
ỡ).
vo chớnh
nú H
v
tha
(^1/^/2>Ê2(2ằ)
= (,/2> (91,92)(1.7)
tn
sv
1.1.16.
xp
xnc
nhng
yờu
cu
mt
ngha
rngKiờn
hn
nipk)
sv
_vn
lim
(Xớ
fktrờn
+lun
=
+ti.
flno
ip.
trong
ngoi
vn
cp
v
thc
hin
lun
tt
nghip,
c
s\ip
hng
dnú.
caMt
tinlp
s Bựi
nh
lý
Khụng
gian
S'm
(IR
)theo
lvn
y
.
>oo
Mnh
biu
1.1.5.
Mi
toỏn
trng
Hthi
ilber
tmt
- -Schm
l trong
toỏn
com/ pac
t.
V
ngha
1.1.10.
Ta
núif
/ f
l d,l
suyu
rng
ritnu
l (1.2)
mt
ca
cỏc
ton
tn
bit
n s.
Cng,
tụi ódin
mnh
dnphng
chn
ti gian
v biu
din c
Wigner
- ca
phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn vi yỡ). Khụng gian hm suy
vi m i a ch s cc, /3.
1
11
10
Hệ quả 1.2.9. Nếu f,geL 2 (ir) thì \\Vg f\\L 2 = ỵịịM^ - D ặc
biệt, nếu
w (/,\\g\\
g ) ( x L, 2w )== 1Ị fthì
{ x +\\f
ị ) g\(\x 2- ị=) \\Vg f\\L 2, V/
г
Mệnh đề 1.2.10. G iả s ử g, 7 € L 2(Mn) và (g, 7) ^ 0. Khỉ đó với mọi h à m f
= 2”! f ( u ) g ( x - ị )
(1.10)
€ L 2 (M n ) ; t a c ó
R"
L
2 n Jx,w)MwT
f{u)g(-(ux'Ỵ
- 2x))
f = —[ Ị=Vgf(
dwdx.
e -^ ™ ẢU -X)du
(7:9) Rn
J JR2n
__ r>n „4iĩix.w / f H/Г
rp 'T„\
1.3 Biểu diễn Wigner
(1.8)
= 2ne^xw(f,M2wT2xlg)
2 n e ị 7 ĩWigner
i x - w v l g f { 2wf
x , 2 wcủa
) . một hàm / £ L 2 (M. n ) được xác
Định nghĩa 1.3.1. Biểu= diễn
□
định bởi
Với Bổ đề |l.3.2| những đặc tính có thể dễ dàng chuyển đổi từ STFT sang
biểu diễn Wigner.
Các w)
đặc =
tínhJ đó
định- đầy
trong hệ quả sau:
Wf(x,
f{xđược
+ xác
ị)f(x
ị)-ìe-2đủni».tdị'
Mệnh đề 1.3.3.rVới f,g e L 2(Mn), biểu diễn Wigner chéo có các tính chất
s au: sự phân cực biểu thức bậc hai này, ta nhận được biểu diễn Wigner chéo
Bằng
( a )của
w (f,g
li2ên
tục đều trong M2n và
f,g) là
&L
(Mn):
\ \ w ự ,=
g ) \ \Ị0 0ỉ(x
< 2 " \+\ f \ \ịux2 \ \ g \ \ị^
2 . -2' ™ 'dt.
W(f,g)(x,w)
Rn
(1.9)
đề)1.3.2.
Với mọi
2(M.n)
( b )BỔ
w (f,g
= w(g,f).
Đặc f,g
biệte Lwf
có giá tr ị thực.
( c ) Vớ i И,
ta có = 2neMx- wVIgf(2x,2w)
Wự,g)(x,w)
w (Tu M n f , TvM r ĩg)(x, w)
trong đó Z g(x ) = g(— x) là toán t ứ đối x ứng.
=
_ u± v_^
w
_ »7_+7^
ặc biệmt inh.
wf là
hiệpphép
biến,
CDhứng
Dùng
thếtức
u =làX + I trong (1.9) ta thu được
w (TuMr ìf)( x: w) = w f(x -u,w - r i).
( d ) W{ f,g){x,w ) = Wự,g)(- w,x)
( e ) Đ ẳng thức Moyal: Với /i, gi, /2, #2 € L 2(M.n),
(W {f и д г ),\у {f 2 , g2)} 2 2n = (fi j 2 }(vgug2)L
{R
(1.12)
12
C hứng m inh. Phần (a) suy ra trực tiếp từ Bổ đề (1.3.2). Phần (b) và
(c) là dễ dàng tính được. Vì Xg = Xg , ta có (d) sau khi dùng đẳng thức Parseval
wự,g)(x,w) = 2"e4™-» (/, M2.r 2lIj)
= 2"e 4 “» (f, M2lT.2wIg)
= 2”e-4'“ ” = w (/ , g ) ( — w, x )
Hơn nữa đẳng thức Moyal tương ứng với quan hệ trực giao của STFT và ta thu
được như sau:
í í W(f1,g1)(x,w)W(f2,g2)( x,w)dxdw
J J R2n
= 22n í ỉ Vig ifi(2x,2w) Vig2 f2{2x,2w)dxdw J
JR2n
= ƠI,/2) (Igulg2)
= ơb/2) (91,92 ),
ở đây hằng số 22n triệt tiêu sau khi thế (2x , 2w) — > (x,w ).
□
Trong biểu diễn Wigner chéo có một nhân tử tương tự nhân tử của STFT
trong bổ đề (1.3.2). Đặt % là phép đổi tọa độ đối xứng xác định bởi T s F(x, ì)
= F(x + ị, X — ị) và đặt biến đổi Fourier theo biến thứ hai.
BỔ đề 1.3.4. C h o f , g £ L 2 ( R n ) . K h i đ ó w { f , g ) = T 2 Ts { ỉ ® g ) .
Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu tính chất giá và mật độ biên của phân bố
Wigner để hiểu tại sao phân bố Wigner lại được coi là biểu diễn thời gian-tần
số tối ưu.
Tính chất giá. Để đơn giản ta xét trường hợp số chiều n = 1.
Bổ đề 1.3.5. G iả s ử f G L 2 (Rn).
N ếu supp f Ç [a, 6] thì Wig (/) (x,uj) = 0 với X ị [a, 6].
N ếu supp f Ç [a, ß] th ì Wig (/) (X,Où) = 0 với U I Ệ [cc,ß\.
13
15
14
2
Nu
hnlýG
xộ
Ta
thy
phõn
bKhi
Wigner
bo
ton
ca
b) N
nh
1.3.9.
Lt 21.3.6.
(RG2ni
) cú
s giỏ
fL
com
(Rn).
pact,
thỡú
tnWig
ti(/)
f ( XL ,2tớnh
C(M
J )ncht
)>sao
0 giỏ
vi
cho
m i/ v /.
NgcGli,
rng
giỏ ca
/ vỡdng
Vgf ph thuc
(x,ui)
M 2nbin
khii
v Fourier
ch khithi
f lgian
m tngn
hmm
G aus
s tng
quỏt
l
Wig =
(/)e~
(ổ,2 l TOè XJ)
0. chp ca /.
vo hm ca s g v vỡ Vgf
- u
(/(ổ,
* OJ)
*)dxdớv
(X ) l
G GL (t, C) l m t m a tr n kh nghch cp n X n tr ờn c v i
Hõy
qu A1.3.12.
phn
nh
dng
v b V/
G c n,Lc2G(]R
c. 2n) v V l tp cú o
a) N
uffthc
Wig xỏc
(/)
( X,
B
1.3.7.
Nu
f,ĩ/J)G dxdỹỹ
L 1 L 2>0,
(Mn) G
thỡ
V quyt tớnh dng ca phõn b Wigner ngi ta ly giỏ tr trung bỡnh
gii
hu hn thỡ \v\ > 1.
Wi g (/ ) { x , u ) ) d u ) = \ f ( x ) \ 2 ,
(1.14)
ti tng im thụng qua tớch1 chp ca Wig(f ) vi mt hm trn cú tõm
ti
b ) N gc li, nu V l tp cú o hu hn thỡ JJ Wig (/) > 0 khụng
I"
(0,0).
V
xy r a{Wig{f)*)(
vi V/ L 2 x,uj)
(Rn). = J ớWi
g
{
f
)
{
x
,
u
)
)
d
x
=
7'
(c
)
.
w
] )(x t,u) ] )dtdr] (1.15)
R"
N hn xộ t 1.3.13. Nh vy, phõn b Wigner khụng th xem xột l phõn b
c bi
Wi g )(/ ) ti
( , ự)( X,V
dxdỹỹ
= II /I I 2khú
xỏc(1.16)
c xem nh l giỏ tr trung
bỡnht l
caj jWig(f
). Rt
nh
nng lng trờn cỏc tp b chn.
R2" nu l hm Gauss thỡ li tho món.
Wig(f ) * khụng õm nhng
Nhn xột: T b trờn chỳng ta suy ra nh lý Plancherel
a b (x,uj) = e ^ b' = ip (x) ifb (c)
22
= J J1wthỡ
i g {Wig
f ) ( x(/)
, u*; )a
d x d u>=0 vi
Wiig f{ G) L 2 (Rn).
d u d x = I I/ II 2
a ) N uDoab
ht tớnh
dng 6ca
phõn m
b Wigner v cỏc vn xy ra sau ú
/ s=thiu
R2n
R2n
ó
dn
n
vic
nghiờn
cu
cỏc
biu
dinmthi
b ) N u ab > 1 thỡ Wig (/) * a b > 0 vi
i gian-tn
G L 2 (Msn).bc hai khỏc. nh lớ
lý 1.3.10.
G i s
1.4 inh
Lp phõn
b Cohen
1.5.6
chol
mt
phiờn
ca
) m
trỡ
cỏc dng
dao ng
qu
ca
1.3.7
, giỏ
chỳng
taõmsuy
ra mt
yu a
ca
N
uNh
ab
Wig
(/)bn
*
6 trn
cúớ/l
lyWig(f
tr
. hoón
aB
phng
v
tho
món
lớ phõn
khụng
chn.
ta xem
nguyờn
khụng
chcnguyờn
chn
cho
Wigner.
Tip lý
theo
l nguyờn
lớ khụng
chcbchc
chn
trong H
vnthng
cnh hoỏ
ca ngi
cỏc hm
suy
xột cỏc
biu din thi gian-tn s bc hai di dng tớch chp ca phõn b
rng
B trn.
1.3.8. Nu Ê > 0 v u ầ M2n s ao cho
Wigner vi mt hm ht nhõn .
nh lý 1.3.11.
Wi g (/ ) ( X , ( j ) d x d c > ( 1 - e ) \ \ f \ \ )
nh
1.4.1.
2n Cohen l tp hp tt c cỏc biu din c (/)
II gi
a) G
i sngha
r ng
vi Ta
L 1lp
n Lphõn
2 (Mb
), chỳng ta cú
hoc Q f c dng
wig (/) (x, U)) (a;, ự) dxduỳ > 0
thỡ \u\ > (1 -ố) 2 ~n.
R2"
Tớnh dng. T b
1.5.3 chỳng ta thy phõn b Wigner tho món hu ht
Q liờn
f = Wig
(/) *tha
m ón
vụi m i f G L 2 (M n). Khi cú(/)=l
tc v
cỏc tớnh cht ca mt biu din thi gian-tn s lớ tng. Tuy nhiờn, gii
vi e S' (M2n) c gi l hm ht nhõn.
thớch nh mt mt nng lng hay mt xỏc sut ng thi thỡ nú phi
khụng
sausca
b Wigner
Sau õm.
õy nh
ta xột lý
mt
tớnhHudson
cht cacho
lpthy
phõnphõn
b Cohen.
Tớnhhu ht l khụng
õm ngoi tr cỏc hm Gauss.
cht:
16
Cho f,g e L 2 (Rn) ,ơ£S' (Mn) thì lớp phân bố Cohen có các tính chất
sau:
1. Qa { T xMuf) = T {XjU ;)Q ơf.
2. Đẳng thức
J J Q ơf (x, L ú ) dxduj = 11/11
llĩ2n
R
xảy ra khi và chỉ khi
J J ơ (x, Cd) dxduú — 1.
R2"
3. Với f , g eL 2 (Mn), khi đó
2
( Q a f , Q a 9) L 2(R2n) = \ ( f , g } \
xảy ra khi và chỉ khi |(7 (X, cư)Ị = 1 hầu khắp nơi
C hứng m inh.
1. Từ (1.12), chúng ta suy ra
Wig cT XMJ) = T MWig (/)
Vì vậy
Qa (T xMuf) = Wig (T XMJ ) * ơ =
(T MWigự))*ơ =
( Wig (/) * a)
= T ịa:jU )Q ơf.
Do đó tất cả biểu diễn thời gian tần số trong lớp Cohen đều là hiệp biến.
1918
17
n được
Áp
Bổ
với dụng
m ọiRihaczek
f,gđềe1.3.7
L 2liên
(Rta
) hợp
(hoặc
trong
m ậtdiễn
của
Biểu
diễn
của hai
hàmmột
/, g không
kí hiệu gian
là R* con
(/, g) trlàù biểu
J Jdạng
Q af(x,uj)d
xduj=
Ị (Wigf*cr
xdcơ
2(M.n)).
Khỉ
đó tồn
tại m ột) (x,cu)d
hàm suy
r ộng tăng chậm ơ G
K2"
R2"
s ao cho
R* ư, 9 ) {x, w) = R {g, /) (x, u) = e2lĩ ixu)g {x)f (w).
(1.20)
Q f — Wỉg(f
ơ vớ i (x,üj)
m ọi f dxdüj\
G S(M.n).
= ( )[[* Wigf
ị í í ơ (x,üj)dxdüü\
Định nghĩa 1.5.3. Một biểu \R2n
diễn thời gian tần số Ỹ (/)
( X , U J ) được gọi là/
/ \R2n
thỏa
mãn
điều
tính
chất lề thời gian và tần số, điều kiện bảo toàn năng
1.5
Biểu
diễn
tíchkiện
phân
T-Wigner
= II /I Ỉ 2 Ị / f ơ ( x , u ) ) d x d u \ .
lượng nếu
\R2"biểu diễn Wigner
/ cho ta thấy một tần số
Theo các kết quả đã nghiên cứu,
Áp
Moyal
công
thức
Parseval
(/, g)gian),
= là tần số ảo
, g'hoặc
j (1-21)
chúng
giả dụng
ở giữacông
bất thức
kìỸhai
tần
sốvàthực,
số(biên
này thời
được
gọi
tần
(/)
(x,uj)duj
=các
\f tần
{x)\
ta có
số
giao thoa. Điều này tạo ra những khó khăn trong việc giải thích ý nghĩa vật
2
lí của phân
bố Wigner.
Từ đó, (Wig(f)
người ra*
rộng
nghiên
(Q af,Q
a9)L
2(R2„)
* ơ)cứu phân bố T-Wigner
Ỹ (/)
(x,üj)= dx
= f (cư) (biên
tần số)
(1.22)
phụ thuộc tham số T £ [о, 1].
= (r-1 (wĩgữ)õ) (ww{g).d))
= (wig(f), Wig(g). \ơ\2^
Các định nghĩa
(x, cư) dx ==II/ỊỊ2
lượng)
(1.23)
(, wf,w(bảo
w îtoàn
{ gnăng
) ) phân
Định nghĩa 1.5.1. Với T E [ 0,1]
g) ,&
sg (Kn),
bố T-Wigner của hàm /
và
1.5.1
kí hiệu Wig T (/) được định =
nghĩa
bởi
(Wigự),Wig(g))
với mọi / G L 2 (Mn).
2
Wi g ( f ) { x , u j ) = J e=~ 2\(f:9)
l ĩ i u ; tIf -( x + T t ) f ( x - (1 - r ) t ) d t .
(1.17)
Định nghĩa 1.5.4. Giả sử HK"(supp /) là bao lồi của suppf và H ^supp / là bao □
lồi của supp
/. GiảТ-Wigner
sử lia; và nw làcủa
những
phép
trực
giao
theođịnh
thành phần
g kí
hiệuchiếu
Wigtruyền
được
bởi
T (/, g)thống
Để mô Phân
tả về bố
lớp Cohen đãchéo
có mệnh/,đề
mang
tính
rằng nghĩa
mọi biểu
thứ nhất và thứ hai trong M" X M” tương ứng. Một biểu diễn ^ được gọi là có
n i u t thuộc lớp Cohen. Định lí sau là một
diễn thời gian-tần
bậc hai hiệp
Wigsố
= Jbiến
e~ 2đều
f (x + T Ì) g (x - (1 - r) t)dt. (1.18)
T {f,g){x,u)
tính chất giá nếu
Rn
trường hợp cụ thể.
T
Để cho gọn, chúng ta sử dụng kí hiệu vắn tắt Wỉg T thay cho các kí hiệu chi
Định lý 1.4.2. G iả s ử m
ột biểu
thời
giantần s ố bậc hai Q f hiệp
nxsupp
V Ựdiễn
)CH
(supp
/) và
tiết ở trên.
biến và li ên tục yếu, nwsupp
tứ c là v Ự ) C H (supp f j
Định nghĩa 1.5.2. Với f : g € s (Mn), chúng ta định nghĩa các biểu diễn sau:
Biểu diễn Rihaczek của hai hàm /, g kí hiệu là R (/, g) là biểu diễn có dạng
Một số tính chất củaQbiểu
diễn=T-Wigner
Địnhs)lý
(T,MJ)
T M Q f !<?(/>
R (/, g) (x, U ỉ) = e~2™ “ f (x) fỤ ).
(1.19)
1.5.5. Vớ i TỄ [0,1], /, g € s (Rn), chúng ta có
1.5.2
ỉ. Wigi- T if,g) = WigT (gj{0,
). 0)1 < ||/||2 ||g||2
Wigi-r Ự) (U ỉ, -X) = WỉgT (/) (x,ửj).
20
C hứng m inh.
Dễ thấy khi chúng ta thay T bởi 1 — T trong (1.18)
2. Sử dụng công thức biến đổi Fourier và
(1.17), chúng ta được
Wỉgi- T (/) ( U J, -x) = J e27r ix tf (cư + (1 - r)
T t)dt
R”
= Ị e - 2 n M y - z ) e 2 n i t ( x - y + T ( y - z ) ) f ^ J Ẹ) d t d y d z
R3"
= J e-2KÌuĩe2KÌ t(x+T Ĩ)e-2*i tyf ịỳ} f ( y _
Z )dydtdJ
R3n
= /e—V(* + T ĩ)/ (*-(l-r) ^
= Wí0T (/) (x,w) .
Định lý được chứng minh.
□
Từ phần 1 của Định lý 1.5.5 chúng ta thấy
Wigi-r (/)
là hai số phức liên hợp của nhau, do đó, Wig T
vàWig T (/)
(/) chỉnhận giá trị thực
khi và chỉ khi T = 1/2.
n
Hệ quả 1.5.6. Với T e [0,1], / e s (R ), thì ỉWig T (/) + Wi 9 l - T (/) = 2Re (Wig T (/)).
2. Wig T (/) - Wt0i_T (/) = 2tlm (Wt0T (/)).
Định lý sau nói lên mối quan hệ của biểu diễn T-Wigner với biểu diễn
Rihaczek, Rihaczek liên hợp và với phân bố Wigner.
Định lý 1.5.7. Vớ i các biểu diễn đã được đưa r a trong Đ ịnh nghĩa
1.5.1 và Đ ịnh nghĩa 1.5.2 chúng ta có
Wigi = Wig (Phẫn bố Wigner ).
Wigo = R (Biểu diễn Riha cz ek).
21
Wigi = R* (Bi ểu diễn R li ên hợp).
C hứng m inh. Bằng cách thay lần lượt r bằng |,0,1 vào (1.17) và đổi biến lấy
tích phân ta sẽ được điều phải chứng minh.
□
Sau đây chúng ta nghiên cứu một số tính chất của biểu diễn T-Wigner.
Định lý 1.5.8. Biểu diễn T-Wign er thỏa m ãn điều ki ện phẫn phối biên
với m ọi T €E [0,1].
C hứng m inh. Với T e [0,1] thì
f ( x + T Ì ) f ( x — (1 — r) t ) d t d x
J WigT (/) (z, uj)dx = J e
R"
R2n
= J e- 2"“7 (y) f ( y - t)dtdy
R2"
= /e
R2n
-2niuyj ^ e-2^sf (s^dsdy
(1.24)
/ni •
Theo Định lý
1.5.5
thì Wigi-r (cơ, — x) = Wig T (/) (X,U J ). Sau đó áp
dụng (1.24) c núng ta được
J WÌ 9 T (/) (x,u))dx = Ị Wigi- r ựỳ (uj,- x)du)
ă"
I"
/(-z)
= |/(s)|2-
Định lý được chứng minh.
□
Định lý 1.5.9. Biểu diễn T-Wign er có tính chất giá với m ọi T £ [0,1].
C hứng m inh. Nếu Wig T (/) (£,u;) Ỷ 0, từ định nghĩa của T— Wigner tồn tại t
e R n sao cho X + T t và X — (1 — r) t nằm trong supp /. Đặt
22
p = X + T t và q = X — (1 — r) t thì X = rq + (1 — r) p, với p, q € supp /
và X e H (supp /), điều này dẫn đến
11, supp Wí0T (/) c H (supp /).
Để có
nwsupp Wig T (/) c H (supp fj
ta áp dụng Định lý 1.5.5 và chứng minh tương tự như trên.
Bổ đề 1.5.10. Ta l u ô n có f e
□
d y d p = 1.
R2"
2,KÌyp
Định lý 1.5.11. Bi ểu diễn T-Wigner thuộc l ớ p Cohen, vôi m ọ i T € [0,1],
nghĩa là
WigT (/,g) (X,U J ) = (ơr * Wig(f,g )) (x,u), Vf,g € s (M n ) (1.25)
với
|2r —1|
Ổ
’' ' 2
,T=|.
(1.26)
C hứng m inh.
+ Trường hợp T = ị , theo Định lý
1.5.7thì
Wigi (f,g) = Wỉg ự,g).
Do đó Wig 1 thuộc lớp Cohen.
+ Trường hợp r Ỷ \- Áp dụng T ~ x (A* B) =
(T ~ X B ) vào
fll.25| ) chúng ta được F~ l (Wig r (/, g)) (í, í) = (J-V) (í, t)- T~ l (Wig (/, s)) (í,
í) (1.27) với mọi f,g £ s (Mn). Bây giờ chúng ta tính từng số hạng ở vế phải
của
23
(p7| )
9n /*
_ „ j
R2"
(-F-V) (£,«) =
= T— í e2nixt e2ĩĩ iute27ĩ i 27^ 1 Х Ш dxdu)
|2r — 1Ị J
R2n
2n
r
:>27ri(^Ta;+i)-(?VL£
~^w J
+a')p_7ri(2T
1 2 Г - R2"
Đặt у =
+
thì
ívà p
=
+ tư,
(^"V) (£,í) = e-,ri(2T-1)ÍỄ J e
R2"
2niy
iypdyd
và áp dụng Bổ đề 1.5.10 suy ra
(•F'V) (f,í) = е-7Г*(2т-1)^.
(1.28)
Ta xét toán tử sau
Ts (f(x,t)) = / (Æ+2’Æ_ 2) ’
như trong Bổ đề 1.5.1 chúng ta có ^
(г(1т), № 0 »)) (*■ “)) =
= / T(|-r), № (/ ® ã)) (*> í)-e-2"‘“dí
R"
= J Taự®g)( x- Q - t, tj .e~2ni t“ dt
R"
e~2lĩituldt
=
I ^ \ ~ \2 — T/ 2/ \ — \2 — T/ — 2/
R"
= J f ( x + T Ì ) g ( x — (1 — r) t ) . е ~ 2 ж и ш d t
R"
= Wì0T (/,ỡ) (я,а>) .
(1.29)
24
ỏ đó (/ <8> g) (x, t) = f (z) .g (í). Áp dụng (jl.29| ), (jl.28| ), (Ị1.27Ị ), suy ra
=
(rỊỊ'_r)l ( T, (/ ® s») (í, í)
= Jvi{
(T. (/® 9») (í, í)
=
{T. (/®s)))(í,i)
= e-”<2T-»‘í
ự t ^ T, (/ ® ã))) (í, í)
= F- 1ư((,,f)T-1(Wig( í,g))(ị,t).
(1.30)
Trong đó
(/, ớ) = Ft^ >u>Ts (/ <8> ớ) •
Định lý được chứng minh.
□
Định lý 1.5.12. ơỉả s ử T & [0,1] cố định, thì WigT có thể đượ c s ử dùng
để biểu thị toàn bộ lớp Cohen, nghĩa là m ọi bi ểu diễn c trong lớp
C ohen có thể đượ c viế t dướ i dạng
c (/) = o' * Wỉg T (/)
vói ơ' G S' (M 2n) phù hợp.
C hứng m inh. Giả sử c (/) = ơ * Wig (/) với ơ € S' (M2n) là biểu diễn của c
(/) trong lớp Cohen. Theo Định lý 1.7.5 thì
Wig T (/) = ov * Wig (/).
Mà ta có Ơ T * Ơ ị — T — ỗ .
Nên
<7i_T * Wig T (/) = Wig (/).
Thay vào biểu diễn của c (/) ta được
c (/) = (ơ * <7i_T) * Wig T (/).
25
Ta phải chứng minh ơ * Ơ I - T € S' (R2n).
Vì ơ * Ơ1_T = 7 7-1 (ÍTÍTi_T) và cr e ổ1' (R2n).
Do
R2"
Suy ra <7i_T G 5" (R2n)
Từ đó chúng ta có ơ * Ơ I - T G S" (M2n).
Đặt cr' = (7 * 0"i_T ta được điều phải chứng minh.
□
1.6 Toán tử giả vi phân
Định nghĩa 1.6.1. Cho ơ là một hàm đo được hoặc một hàm suy rộng tăng
chậm trên M2n. Khi đó toán tử
Kơf{x) = J ơ(x,w)f(w) e27ĩi XAVdw
Rn
(1.31)
được gọi là toán tử giả vi phân với biểu trưng ơ.
Định nghĩa 1.6.1 cho ta nghĩ tới ánh xạ xác định trên lớp các biểu trưng
trên mặt phẳng thời gian - tần số vào lớp các toán tử giả vi phân. Để phân biệt
toán tử giả vi phân K ơ với các kiểu toán tử giả vi phân khác, ánh xạ ơ !-> K ơ
được gọi là tương ứng Kohn-Nirenberg và biểu trưng ơ được gọi là biểu trưng
Kohn-Nirenberg.
C hú ý 1.6.2. 1. Nếu f,g €
f(w )g(x ) thuộc íS(M2n). Khi đó, với mỗi ơ G
biểu
thức
{ơ>U f.g) = (Kaf:9)
là hoàn toàn xác định. Do đó K ơ f e
vào
và K ơ là ánh xạ từ tS(Mn)
Hơn nữa, sự tương ứng ơ !->■ K ơ là xác định với các biểu
26
trưng ơ €
Af ix) = ơẢx)D af(x) í 1-32)
\
a\
nhờ biến đổi Fourier, chúng ta có thể
đưa về toán tử tích phân dạng
. >2
Af( x) = Ị
(1.33)
với biểu trưng ơ ( x , w ) = T l ị a ị< N ơ a (x)(2' KÌw) a thuộc lớp C°°(Rn) và thỏa
mãn điều kiện tăng trưởng: |cr(a:,ií;)| = 0 ( \ w \ N ) . Đây chính là một điều kiện
điển hình của lớp biểu trưng cổ điển xác định bởi:
S" = {ơ e C“((iỉ)2”) : IDĨD Í
Lớp biểu trưng này là phù hợp để nghiên cứu các vấn đề phát sinh từ phương
trình vi phân và do đó được sử dụng hầu như sâu hơn trong giải tích của toán
tử giả vi phân.
Để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng (1.32), thì cần thiết
phải tìm công thức ngược của toán tử (|1.33| ). Nhờ Định nghĩa Ịl.6.1 và các kết
quả về giải phương trình đạo hàm riêng hệ số hằng, thì chỉ cần đầu tư vào khả
năng kết nối giữa A~ x với toán tử giả vi phân K i Ị f { x ) — f a(x,g)( — 1 )
ơ
f(x i)e 2 ’ K Ì X ^d^ . Ý tưởng này đã được chứng minh là rất có lợi và là trọng tâm
của nhiều kết quả sâu sắc và hấp dẫn trong lý thuyết phương trình đạo hàm
riêng. Có thể chỉ ra rằng A~ l bằng K l Ị ơ sai khác một toán tử có cấp nhỏ.
Ví dụ 1.6.3. 1. Nếu biểu trưng chỉ phụ thuộc vào X , là ơ ( x , w ) = m ( x ) thì
K f{x) = J m(x)f(x)e27ĩixwdw =
K"
ơ
27
như vậy K ơ là một toán tử nhân. Đặc biệt, nếu ơ(x , w) = c thì K ơ = cl.
Nếu ơ(x,w) = Ị JÌ ( W ) thì
Kơf(x)= í ỊjL (w)f(w)e27ĩ ixwdw = J7~1(ỊjL f)( x)
J Rn
như vậy K ơ là một nhân tử Fourier. Dưới một giả thiết phù hợp về /i ta
có toán tử tích chập K ơ f = h * f , ở ă ố f = ịi
Nếu ịi{w) = Y l\a \
) và nếu / = /i thì
Kơf = m.T ~l{ịJb ị) = m (h * /)
Đây gọi là toán tử tích chập.
Với cái nhìn sâu hơn nữa vào sự tương ứng Kohn- Nirenberg ta thu
được hai đẳng thức tương đương của K ơ .
Thứ nhất, thế f(w ) = / f{y) e~ 2 l ĩ y.wdw vào (:
1.31) và thay đổi thứ tự
R"
của tích phân. Theo cách đó K ơ trở thành toán tử tích phân:
K f{x) = J ịỊ ơ(x, w)e~
ơ
r \R"
27ri{y
~ - dw \ f{y)dy
x)
w
/
(1.35)
= J Kx,y)ỉ( v)dy
Rn
Lấy o là phép đổi tọa độ: X a F(x ĩ y) = F(x,y — X) và lấy là phép biến đổi
Fourier riêng theo biến thứ hai thì hạt nhân k của tích phân K ơ có thể xem như:
k(x, y) = F2Ơ{X, y - x) = XaJr2ơ{x.y)
(1.36)
Vì cả ZQ và T 2 đều là đẳng cấu trong íS(M2n), íS^M2”), L 2(M2n) và một số
không gian khác, việc biến đổi giữa toán tử giả vi phân và toán tử tích
28
phân biểu diễn bởi K ơ là xác định tốt đối với biểu trưng trên S,S' ,L 2 và không
gian khác.
Thứ hai, (1.35) có thể xem như tích chập của f(y ) với hàm
K { y ) = J ơ(x,w)e2ĩr iy wdw = T 2 1ơ(x,y),
RK
tức là:
K ff f(x) = f *hx(x) = Ị f(y)h x(x — y)dy = J T 2 1ơ(x, X - y)f(y)d y.
R"
R"
(1.37)
Với bước biến đổi cuối cùng của K ơ ta dùng các đẳng thức T 2 Ơ =
và viết lại hạt nhân k là
K(x,y ) = T 2ơ{x,y- X )
= F^ lơ(x, y- X )
y ~ x)e2nir ì Xdr]
(1.38)
I
R"
Thế (1.38) vào (1.35) ta được
K f{x) = JJ ơ(r},y- x)e2iriri'x f (y)dr]dy
R2"
ơ
=
II uìe27ĨÌT I' Xf(x + u)dudr ì (1.39)
R2"
= J J <7(77, u)Mr ] T-uf(x)dudr ]
R2"
Như vậy, toán tử giả vi phân K ơ xuất hiện như là một sự chồng chất của các
biến điệu thời gian - tần số
K" = ỉí ơ(ĩ], u)(M ĩ]T_u du dr ].
R2"
29
Hàm trọng <7 đôi khi còn được gọi là phân bố của toán tử K ơ .
N
hận xé2t Biểu
1.6.4.diễn
Từ các
biểu -diễn
Chương
Wigner
cửa khác
sổ nhau của toán tử giả vi phân như phân
tích bên trên (các công thức(|1.3Íj ), (Ịl.35 ) và (1.39)), chúng ta nhận thấy rằng
toán tử giả vi phân có thể:
Xem như là một toán tử giả vi phân với biểu trưng Kohn-Nirenberg ơ €
«S'(K2n), hoặc
Xem như là một toán tử tích phân với nhân к = Т а Т %а^ hoặc
2.1 Giao thoa trong biểu diễn Wigner - cửa sổ
Xem như là sự chồng chất của các biến điệu với phân bố ờ G
2.1.1
2.1.1. Mỗi tích phân dưới đây
Wi g * { f , g ) { x , w ) = Ị e ~ 2 7 ĩ i t w ' i p { t ) ) f { x + ụ g { x - ị ) d t
(2.1)
Wigị{f,g){x,w ) = Ị e~2l ĩitwIp ịt)f {w + ị)g{w - ị)dt
(2.2)
i!
với f, g, ĩp e
được gọi là biến đổi Wigner- cửa sổ. Hàm số, ĩp đóng
vai trò hàm cửa sổ theo biến thời gian trong biến đổi Wỉg 1 / ) , còn nhờ công
thức:
Wig(f,g)(x,w ) = Wig(f, g)(w, — x)
ta suy ra ĩị) đóng vai trò hàm cửa sổ theo biến tần số trong biến đổi Wig;.
Bổ đề 2.1.2. Các biến đổi Wig1p và Wigị xảy r a hệ thức
Wig*Ặf,g){x,w ) = Wigị(f ,g)(w, — x).
Sau đây, chúng ta trình bày một số tính chất của hai biểu diễn Wigner
cửa sổ
30
(2.3)
32
31 33
Mệnh
2.1.3.
Vớ
m
ọi
€ thời
€ và
L€1(Mn);
và đề
U)i
trong
hai
khoảng
gian
không
nhausao
[sao
h,cho
h cho
+ĩj)ß]
[Ả;,
k + a\,
Hệ
quả
2.1.4.
Vói
mi ọi
f €f
' ộ ĩp
& € liền
ĩj)
L 1(Mn);
c h úvới
n gta
кt a+cócаó< h. Ta có thể viết / dưới dạng
chúng
( a ) Ị Wi g ^ { f ) { x , w ) d w = 1/ ( 201X 0) ,
/ — /1 + /2
Ị Wi g ^ ( f ) ( x , w ) d x d w = Ị Wigị(f)(x,w)d
xdw = ||/|||a^(0).
(2.6)
2
n i t u i o J Wigỉp( f)(x, w)dw 2=
với /1 (t) = e 2(a})
x ị k ĩ k + a (t) và f 2 {t) = e n i t uị i lX
x [ |/|
(t), ở đó X[ a,b] là hàm đặc
h M ß(a;),
Đặc biệt, nếu ip(0) = 1, chúng ta có công th ức bảo toàn năng lượng
trưng trên đoạn [a,b]. Xét theo biến đổi Wigner cổ điển, vì Wig(f,g) =
cho cả wigị và
ị. (f)(x, w)dw = ậ X |/| 2(:r),
( b )wig
Ị Wig^
Wig(g,f), ta có
Sau đây, chúng(b’)
tôi liệt
kê các
tính chất không
trải, tính chất thuộc lớp
Ị Wigị(
f)(x,w)dw
= \ f{w)\2ĩp(0).
Wig(f J) = WigU
uh)
+ mwig( iuh)
+ Wig(h,h) (2.7)
Cohen của các biểu diễn Wigner - cửa sổ
C hứng
m inh.
Chúng
bắt đầu
chứng
(a) và (a’).
Sự giao
thoa
(bóngtama)
đượcbằng
chỉ việc
ra bởi
biến minh
đổi Wigner
nằmQuan
giữa hai tần số
n
sát thấy
mỗi
F,G
«S'(Mn)
cho Bây
F,G giờ
£chúng
Mệnh
đề rằng
2.1.5.
Với
mọi
f € 2$lWỉg{
S(M.
),ìpsao
được
biểuvới
diễn
số
hạng
ĩi,€ /2).
ta đi ta
xem
№г д фta
(/,có:
/) với
FG
Ị F{s
- t)Ò
{t)dt = J F(s )ds Ị Ò {s )ds .
Ф = JX[
-R{s
]. Ta=ccó
kếtupp
quả
sau:
ĩ R )ds
Ilxs upp
C(s
/),
U ws upp (Wỉgị(f )) c supp (ÿ)+C(s upp /),
HơnMệnh
nữa, vì
ề(w)dw
với mọi e íS^M 71), nên chúng ta có
đề Ị2.1.7.
G iả=s ử$(0)
r ằng
ĩỉxs upp Ọ Wig* Ậf )) c s uỹỹ (ÿ)+C(s upp /), ĩlws upp {Wig^ {f)) c C(s upp ị)
wh ĩ—
ị){t)ĩ
+ t/2) ĩß {x
к < {x
m ax{2a,
— -t/2)
а}.
(2.8)
tJr oWig
n g ị(f)(x,w)dw
đ ó l à b a o l ồ=i Ịc ủT at^ ri.
= j T t^ w í ị;(t)f (x + t /2) f (x - ]
K hi đó tồn tạ i R > 0 sao cho:
Mệnh đề 2.1.6. Các biểu diễn Wig ị và Wigị thuộc lớp Cohen. Cụ thể là,
(i)
ỉ{s )ds =
với m ọi f,g € »S(R n),'0 € = \f( x)\2 J chúng
ta|/(a;)|V(0).
có
x
x
Chúng ta cóx[ -R,R\{ t)ìj{? +ị)ưÁ x - ụ = f Ả + ị f j ( - M
Wigí,( f, 9 ) = (S®ị)* Wig(f,g)
(2.4)
với m ọi t, x £ Ш và j = 1,2
J Wig1p{f){ x,w)dw = Ị ị j
dx
e- 2 n i t w ĩP(t) f (X + t/2) f ( x - t/2)d t
và (Ü) __________________________________________
X[ -R,R] {t)h{x + ị)(f2(x - ụ = 0.
Wigị
= ỊỰ,g)
e - 2 *=i t{ậ®S)*Wig(f,g)
w e 2 * i t ( n + t ) e - ĩ * ỉ t ^ ) ‘ ộ { t ) f ị X ) ỉ { r ỉ ) d(2.5)
rịdÌdtdx
Phátbiểu của mệnh đề
là một chứng minh trong
[2], ở đó một biểu
trong đó iỊ)(x) = ĩị){—
x).
ií«, etrước.
,r«^+20
^ d £tính
e -2 Wcho
e -2 W +sự
d t d r ì dtoán
x
diễn hình học cũng= J là
Bằng
đơn giản ta có với
2.1.2
mọi f,g
Giảm bớt giao=thoa
+ ỉ)dỊdt
dx
Wigỳ{g, f) = Wig s ự, g) ỏ đó
= Ị e"‘^
\mra
\2didt
này, chúng
ta m
đưa
một vài đặc tính
liên quan đến sự
Đặc diễn
biệt, đặt ìp
= X[ -RR} ta có
thoa của
= { ịbiểu
* ự \ 2 ) {Wigị
w ) . và Wig ị. Trong [1], [2] đã chỉ ra
Wigị R{g,f) = Wig^ R{ĩ,g).
rằng với sự lựa chọn đặc biệt của trong Wỉgị cho thấy không còn hiện tượng
Trong mục
:=
giảmiỊj(i)
bớt giao
"bóng
ma".thức
Cụ thể
xem
xétsuy
mộtratín
hiệu
/ với
tầnthức
số CƯQ
Các công
(b), là,
(b’)
được
trực
tiếp
nhờhai
công
(2.3) và các
công thức (a), (a’).
□
35
34
Khi R
đó,->•
với00.
mỗi
/ như
(2.6),RỰơ,
nếu (2.7)
và fơ,
chọnf )R\ \ như
trong
khi
H ơn
nữatrong
\ \Wig*ơ
f ) \ \ thỏa
2 vàmãn
\\Wig(
2 không
ơ
L
ơ
L
(2.1.7)
ta cóvào ơ.
phụ
thuộc
= Wigi, R(f1,f1' ) + 2Ũ Wig ịR(f i,f2) + Wigt R(f2, /2)
(ii) Xem xé t hai tần s ố Wo , W ị £ R nghĩa là fw0(t) = e 2 7 ĩ i W o t X ị a b - ị ( t )
= Wig(f l,fl) + Wig(f2 J2)
và fWl( t ) = e2*iW ltx[ aM{ t), Vói R cố định, \\WigịR ựWoì f ) \ \ 2 -> 0
(2.9)
với \wq — Wi\ to+oo. H ơn nữa, vớ i Iw0 — W ị \ > R ta có
So sánh (2.9) và (2.6) ta quan sát thấy tác động của Wigị trên lớp tín hiệu này
Wl
L
{b
\\Wig;R(fw„fW l)\ \L, < ỵ i R/2),
~jL=.
là để bỏ số hạng
và trên thực tế đồ thị của (2.11)
тгу { WQ - w i) 2 - R2
Wỉgị(f , /) không còn tần số ma.
2
Bây giờ
ta đi(i)xem
Wig
C hứng
m inh,
Vớixét
f , biểu
g E Ldiễn
(M)
ta ф.
có Vì
X[ -R,R] {t) f{w + ị)g{w- ị),
Wig*ệ{ f,g){x,w) = Wigÿ(f , g)(w, — x)
Áp đó,
dụngvì Mệnh đề (2.1.7) trên phương diện biến đổi Fourier và kết luận được
khi
rằng tín hiệuWig*fR(
/ mà biến
trên hai
khoảng không
f,g)đổi
= Fourier của nó được chứa
+ ị)Mw
- ọ)’
liền kề [ k,k + a] và [ h, h + ß] , nếu điều kiện (2.7) là thỏa mãn thì ta chọn
ta
ĩp Rcó= Xị- R Я] với một giá trị R phù hợp sao
choWig Ф
IIW
i ggiao
Ị , R Ựthoa
, g ) \trong
\ 2 L i biến
= đổi Fourier.+ Mặt
ị ) g khác,
( w - ị )\\ 2
không
còn
2
L
yêu cầubiến đổi
(2.12)
Fourier / của tín hiệu / có giá compact có nghĩa là một tín hiệu tự nó không
thể
= Ị Х[-Д,Д](*)\ Ỉ ( + ị ) ấ ( w - ị ) \ d t d w.
có giá compact theo thời gian và do đó nó không là một tín hiệu đúng nghĩa.
W
Quan
thấy
kiện -(2.7)
có nghĩa
là khoảng
lặng
giữa
haikhắp
thành
2
Vì
X [-sát
R , R]
{ t )rằng
\ f {w điều
+ I)g(w
f)|2 tiến
đến If(w
+ I)g(w
- f)|
hầu
nơiphần
và
fl và /2 của tín hiệu phải đủ rộng (rộng hơn khoảng thời gian tồn tại của
chúng). Chúng ta muốn quan sát tình hình tương tự đối với tần số. Khi đó, ta
w
2
X
[ - R tích
, R ] {biểu
t ) \ f {diễn
+ ịWig
) g { ịwđối
- ị với
)\2 <
Iị {tín
w +hiệu
ị ) gchứa
( w - hai
^)| 2 tần
G L^M
) (2.13)
phân
một
số khác
nhau, với
có
khoảng
xa. Ta
xáctụ
định
mọi
R >lặng
0, từđủđịnh
lý hội
trội Lebesgue, ta suy ra
аМ(^, — í/2)||^2.
\\ Wig; R (f,g)\ \lm2 =
-> е2*ш
||/(ги Х[
+ t/2)g(w
(2.14)
với ơ £ (R) cố định và 0 < а < b. Ta có kết quả sau:
Bây giờ,
Định lý 2.1.8. CỐ đ ị n h îpR( t) = X[ -Rj R] :R > 0.
(i) C ho \\hw
f,g là+ hai
L 2- -ị)\\L
hàm*; =khi
đóJ{w + |))ổ(w - ị)\ \L *
ị)9{w
\ựt^
\\Wi9;R(f,9)\\L>
^ - \\Wig(f,g)\\L>
= \\Wig{f,g){w
x ) \ \ 2 = \\Wig{f,g)\ \L 2(2.10)
,
L
(2.15)
36
và từ (2.13) và (2.15) ta có kết luận. Bây giờ chúng ta xem xét tính độc lập của
chuẩn \ \Wig^ R (f ơ ,f ơ )\\ và \ \ W i g ( f ơ , f ơ )\ \ đối vơi ơ. Ta chỉ ra đối với phép
dịch chuyển và phép xoay T 0 và M ị , tương ứng cho bởi, với tham số thực a và
6 và hàm / e L 2 , T a f(x ) = f(x — a ) và Mbf(x ) = e 2 ĩ ĩ i b x f(x). Khi đó ta viết f ơ (s )
= M ơ X ị a b ] { s ) . Từ (2.12) và những tính chất của biến đối Fourier ta có
II^Ịiỉ(/ ơ) /a)||Ỉ2 = J X[ -R,R] {t) \{T ơX[ aíb] )(w + ị)(T ơX[ a,b] )(w - ị)\2d tdw
[ /
t
= I *[-«,«](í)l(X[«,6])(w -ơ + ịìi XịaM)^ ~ơ~ ị)\2d tdw
/
w
= /x[-fl,fl](*)l(x[«1ò])(^ + ị ) { x [ a , b ] ) ( - ị)\ 2 dtdw
và như vậy \\Wig^ R (f ơ , f ) \ \ 2 không phụ thuộc ' ệ. Tương tự, ta cũng
ơ
L
chứng minh được cho \ \ Wi g ị R ( f , f ) \ \ 2 không phụ thuộc ơ .
ơ
ơ
L
Chú ý rằng (2.10) cũng đúng với hàm /,g e L 2(Mn),n > 1, lấy hàm hạt
là hàm có dạng ĩỊ) = íp R = X[ -R,R \ n
(ii) Từ (2.12) ta có
ịịV Vigl RÌL ^L MỈ* = U R{ Ì ) ỈW 0 { U + ị)fw0{u - ị)\\Ì2
fR f°° -í— t __________ ĩ~
= J Ị \U Ảu + iỳU Ảuiỳ\2dwdt.
.ị
~ /7 ^ ^___J_ s 1_ „1_ X 1 . T_ 7
Do đó, bởi phép đổi biến U J + I = £ và dùng tính chất cơ bản của biến đổi
Fourier ta có
/
/
R p+00
--------
R r + oo
-------/ IU Áí)(M,ujm 2didt
R J — oo
~
/
I
R /* + 00
7
ll*^
s->f(/w 0 )\2ds *dt ,
* (MtfWl))(s
(2.16)
t
37
ở đó g ( x ) = g ( x ) . Bây giờ ta đi tính
(/„„ * (M,/„ 1))(S ) = e~2*i yt' Wo~Wl ^ Xịa,b] (— y)Xịa,b] (s v)dy. Quan sát rằng
/
0
nếu s ị [ a — b , b —
a]
X [ a , b ] ( - y ) X [ a , b ] ( S - y ) = { X [ - b , s - a ] { y )nếu s
e
[ a - b , 0]
ta có là với SỆ [ a — b , b — a ] , ( f * () = 0. Liên hệ đến trường hợp khác,
Wo
ta nhắc lại rằng với mọi a < ß ta có
__ —Tri(a — ß)z(ß — a)sinc(it(ß — a)z)
f. e ~ 2 l ĩ i y z d y = e
*/
a.
ở đó s i n c x là mở rộng liên tục trên M của hàm Do đó, với s € [a — b , 0] ta
có
(/«. * {MtfWl)){s ) = ^ ÌWoS [ °
J-b
dy
,-2iĩiy(w0-w1t]
= е 2 п г т 8 е - 1 П ( 8 - а - Ь ) ( то - т 1 - 1 ) ( 3 _ a +
- а + b)(w0 - wx - t))
Lập luận tương tự với sẽ [0, b — a ị và sử dụng s i n c x là hàm chẵn ta
có
(/«„ * (Mt/Wl))00 =__ e2iĩỉwữs
° e — ĩri(s — a—b)(w0
-w0 +—
W iW1
)), 27ĩiw
s
ở đó
0
(p{s) =
Ta có từ (2.16) rằng
nếus ị [ a — b , b —
(2.17)
a\
s —а +b
nếus G
[ a — ö, 0]
—s — a + b
nếus G [0, b — a ] .
38
w i g l R { f W ữ , f W l ) \ \ L > = [ í \ ụ > ( s ) s i n c ( ĩ T ( p ( s ) ) ( t — w ữ + Wi ) \ 2 d s d t
J — R J — 00
2
R—(w Q — Wi) rb—a
Ị \(p(s )s in c(7ĩ(p(s )y)\2ds dy.
R— ( WQ — W I ) Ja — b
/
(2.18)
VÌ hàm
— (w ữ — W ị ) , R — (w ữ — W i ) ] không giao nhau với \ w 0 — W ị \ đủ
lớn. Khi đó ta kết luận được
\\w ig; R(f,0,fw JII1, -m
khi Iw 0 — W ị \ — > +00.
Đánh giá (2.11) được suy ra từ (2.6), thực ra, với Iw 0 — W i \ > R, L 2
chuẩn của Wi g ^ ( f , f W l ) có thể đánh giá như sau
— rb—a
H-{W0-W ij I'D—a 1
/
~^ ds ay )*
R—(w0 —
R
Wo
/
7ĩ V (w0 -
W
Wi)
1 ) 2 - R2
□
2.2 Toán tử liền kết với biểu diễn Wigner - cửa sổ
Chúng ta nhắc lại một kết quả liên quan đến sự tồn tại của một song ánh
giữa các toán tử giả vi phân và các dạng tuyến tính liên hợp.
Mệnh đề 2.2.1. Cho E,E I ,E2 là ba không gian Banach và giả s ử r ằng
E2 là phản xạ
( i ) G iả s ử if : Ei XE2 E là ánh xạ tuyến t ính lệch, bị chặn. Khi đó tồn
40 39
"vô tại
hướng"
, Wigmì p(g,
/)),xạ
dùng
phéptính,
đổi biến
thích hợp
ta có:
duy (a
nhất
ột ánh
tuyến
bị chặn
a e E*
!->■ Ta e B{E i,ED
/ as(ao
x , wcho
) Ị với m ọi eV~ 2e 7E2
ĩiwtĩp(t)g(x + -)f(x — -) I dxdw
J R2"
in e2 xEị.
= 2 n Ị a ( x , w ) Ị Ị e - ^(Tau,v)
i v i t ( 2 u -=2 x(a,) w(pVìu),
ĩ p ị 2 u '—
) g ( u ) f ( 2 x — u(2.19)
)duj
dxdw
(ii)
G
ánh xạ a G E* I—Ta €E B{Ei, Eị) là tuyến tính
JRiả2 n s ử r ằng R"
/ li ên
tục,
= 2 nkhi
1 đó
a ( x(2.19)
, w ) t p (xác
2 u —định
2 v ) e 2một
' K Ìánh
W t f 'xạ
u ~tuyến
v ì w g (tính
u ) f (l2ệch
x — ubị) dchặn
u d x d :wEị x E2 —>• E
J R3n
rằng các
không gian
đối ngẫu
dùng vdudw.
được xem như là những
= í Quan sát thấy
w)ĩỊ)(u
— v)e27ĩ
i(' u~vìw
f(v)g(u)d
J R3ngian2 các phiếm hàm liên hợp tuyến tính, vì thế kí hiệu (.,.) có thể thác
không
Khi đó
triển thành một tích vô hướng trong L 2 .
í «(—4—,
<u)lHu - v)e 2 ' ^-'> f(v)dvdw
Qua r;/M
Mệnh= đề
2.2.1 ta
2 có thể hạn chế vào toán tử liên kết với các phân bố
JR"^
Wỉg^
\. Chính
hơn, viết T ậ và U ị là toán tử tương ứng liên kết
làWỈỌ
toánịtửvàmà
chúng
ta tìm xác
kiếm.
với
Wgiờ
Ỉ Ọ ịxem
và Wỉg*ị
I, ta có
kếtWig^
quả (f,
saug).
đây:Như trước, chúng ta bắt đầu
Bây
xét trường
hợp
bằng
việc
rõ Vớ
kết iquả
f , g)):
2
d
Mệnh
đềviết
2.2.2.
m ọicủa
f,gtích
€ Lvô
(Rhướng
) và (a,
a € wig*Ậ
Ị a(x,w) ị / e27T ÌWt,ộ(t)g(w- ị —)f{w--------dt)\ dxdw
(T;fìg) =2 (aìWig ìP(g,f))
J R2«
yj
2
j ì
(2.20)
= với
2n a(x:w) ( / e27r ix(2u~2w' )ip(2u — 2w)g(u)f(2w — u)du 1 dxdw
v/r2" \J R"
/
nj2 l ĩ i________
= 2n 1 a ( x , w ) ì p ( 2 ru —OI
2 w_|_
)e~
x('2u~2w'1 g(u) f (2w — u)dudxdw
r;/M
=
/
a{
^-,
w)ệ(u - v)e2’ i<- '‘-^f(v)dvdw.
(2.21)
J R 3n
, —
J
R2"
^
= ị a ( x , —— —)V (w v ) e ~ 2 w' i x ( ' u ~ v ì f ( v ) g ( u ) d u d v d x .
R
J R3n
2
2 ị
Bây giờ, để làm nổi bật tích vô hướng giữa toán tử và hàm g , cần
(■U ỉf,g) = (a,Wi9; ư,g ))
thiết để viết ra biểu thức của / và g\ khi đó
ị với
a ( x , ^ — u ) i p ( u — v)e~ 2 ĩ r i x ( u ~ v ì e 2 7 r i u m f ( s ) g ( m ) d m d s d u d v d x
+ lĩl
)e27r iy{m s )f(s )ds dydx.
J K5" uỉĩ{m
2 ) = í ( 1 y)^ ix - J
R3"
^
= [ a{x,yỹỹụ)e-27ĩixze-27ĩix{yỉ ) s em2inh.
w i { y Ta
+ ^ xem
m f { sxét
) g { trường
m ) d m dhợp
s d u Wiỹị.
d v d x Để có sự biểu diễn của toán tử
C hứng
J R 5n
liên kết với Wỉg ì Ị ) ta bắt đầu bằng cách viết rõ ràng bên trong tích
= í a(x, y)x — S-^-r^e2lĩiy^m~s'>ĩ(s)g{m)dmdsdydx
J R5"
^
a
x
41
Cuối cùng ta có
т
Щ 1 { ) = Ị a(x,y)ĩp(xlà toán tử liên kết với Wỉg* é .
s + m
^ e2^ y(m S)f(s )ds dydx J R 3 " ^
□
4'
tỉ
Quan sát rằng, có thể viết lại toán tử liên kết với Wig Ф để chỉ ra tương ứng
với toán tử Weyl. Cụ thể hơn, giả sử a ẽ íS(M2n), ta đặt b(x,w ) = a(— w,x).
Khi đó
(a,Wigl{g, /)) = (b(w, -X ), Wj.Jw, -x))
= J b ( w, — x ) ị ^ J e 2 w i x t i p ( t ) g ( w + t / 2 ) f ( w — t / 2 ) d t ^ d x d w
= 2n ị b(w: —х)ф(2и — 2v)e~2ĩĩi('u~vìx g(u)f(2w —
u)dudxdw
J R3"
= í b {———, — x ) e 2 ĩ r i í ' u ~ v ^ ~ x ì ĩ p ( u — v ) f ( v ) g ( u ) d u d v d x
J R 3"
2
và viết dạng hiện của g(u), ta có toán tử liên kết được cho bởi biểu thức
u ;í(u )= [ ъС^,хШи - v)e 2 ’ i ^f(v)d vd x ds , (2.22) J R3"
^
ở đó b(x,w ) = a(— w,x).
N hận xé t 2.2.3. 1. Nếu ф = 1 thì
/ G
i w )
JR2n V 2 J
e2ni{u-v)wf( v)dvdw
đó là toán tử giả vi phân Weyl.
2. Lấy Ф = ỏ, liên quan tới Wigị, chúng ta có toán tử liên kết T ĩ f ( v ) =
J a ( v, w ) f ( v ) d w = A ( v ) f ( v )
là toán tử nhân với A(v ) = J a(v,w)dw. Liên hệ tới Wig ф, từ (2.22), chọn Ф
= ỏ, suy ra
U Ị f { s ) = f b{u,x)e2l ĩis uị{u)dxdu = í B(u)e27r is uf{u)du,
J R2"
J R"
đó là toán tử nhân Fourier liên kết với Wig Ф với B(u) = Ị b(u, x)dx.
