Luận văn về biểu diễn wigner cửa sổ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (758.11 KB, 54 trang )
B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2
C h u T h ị H ồng L am
V Ề B IỂ U D IỄ N W I G N E R - C Ử A s ổ
Chuyên ngành:
Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn:
TS. Bùi Kiên Cường
LUẬN
VĂN THẠC
SĨ TOÁN HỌC
•
•
•
H à N ộ i - 2015
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến T S . B ù i K iê n C ư ờ n g , người
thầy đã tận tình hướng dẫn động viên tôi trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán Giải tích, khoa
Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ và tạo
điều kiện cho tôi hoàn th àn h tố t luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi
lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong
quá trình nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các
đồng nghiệp luôn động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
H ọ c v iê n
C h u T h ị H ồng L am
Lời cam đoan
Luận văn tố t nghiệp " V ề b iể u d i ễ n W i g n e r - c ử a s ổ " được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo - TS. Bùi
Kiên Cường.
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã thừ a kế
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
H ọ c v iê n
C h u T h ị H ồng L am
M ục lục
B ả n g k ỷ h iệ u v à v iế t t ắ t
M ỏ đầu
1
M ộ t số k h á i n iệ m v à k ế t q u ả b a n đ ầ u
1.1
1.2
....................
1.1.1
Không gian B a n a c h .................
1.1.2
Khống gian Lp
1.1.3
Không gian các hàm kiểm tra và đối ngẫi1
1.1.4
Không gian Sobolev
.
.
.
...............................................
Biến đổi F o u rie r.......................................................................
1.2.1
Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngượ c . . .
1.2.2
Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)
1.3
Biểu diễn W ig n e r ......................................................
1.4
Lớp phân bố C o h e n ................................................................
1.5
Biểu diễn tích phân T -W ig n e r............................................
1.6
2
Một số khổng gian hàm
1.5.1
Các đinh n g h ĩ a .........................................................
1.5.2
Một số tính chất của biểu diễn T-Wigner
Toán tử giả vi phân
B iể u d iễ n W ig n e r - c ử a số
2.1
Giao thoa trong biếu diễn Wigner - cửa số
V
2.2
2.1.1
Biếu diễn W igner - cửa sỗ
30
2.1.2
Giảm bớt giao thoa trong WỈỌị
32
Toán tử liên kết với biểu diễn W igner - cửa sổ
38
K ế t lu ậ n
43
T ài liệ u th a m k h ả o
44
B Ả N G K Ý H IỆ U VÀ V IẾ T TẮT
N
Tập số tự nhiên
N*
Tập số tự nhiên khác không
м
Tập số thực
r
;
Tập số thực dương
С
Tập số phức
К
Tập số thực hoặc phức
s1
Đường tròn đơn vị với tâm là gốc tọa độ
Rn
Không gian Euclide n - chiều
ư (Rn)
Không gian các hàm có lũy thừ a bậc p khả tích trên Mn
Ơ 00 (fi)
Không gian các hàm khả vi vô hạn trong íĩ
С 0°°(П)
Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong
a
Là đa chỉ số, a = (« 1, • • • , a n) € N
n
Cấp của a , |a | =
otj
j= 1
Kết thúc chứng minh
|a |
□
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cho trước một tín hiệu, tức là một hàm / G L 2(Md) của biến thời
gian X € R d, phân bố năng lượng của tín hiệu này theo thời gian và tần
số được biểu diễn cổ điển bởi 1/ ( 2;)|2 và |/ ( £ ) |2 tương ứng. M ặt khác,
phân bố Q f ( x , w ) xác định trên m ặt phẳng thời gian - tần số
X
làm sáng tỏ theo một cách nào đó sự phân bố năng lượng của / cả về
thời gian và tần số và được gọi là phân bố hay biểu diễn thời gian - tần
số. Một điều kiện tự nhiên được yêu cầu đối với biểu diễn thời gian - tần
số là
- Tính dương, tức là Q f ( x , w) > 0 với mọi X, w.
- T ính chất không trải, tức là Nếu supp / c I với một khoảng I c R d
th ì n ^ su p p ^ ( / )
c
I
( U x là p h é p c h iế u t r ự c g i a o
tương tự, nếu supp / c J với m ột khoảng J c
X
—¥ M ^ ), v à
th ì n ^ su p p / c J.
- Tính chất lề, tức là / Q ( f ) ( x , w ) d x = |/(« ;)Ị 2 và f Q ( f ) ( x , w ) d w =
ủd
Rd
l/(^ ) í2Tuy nhiên, nguyên lý không chắc chắn đối với giải tích thời gian - tần số
đã chỉ ra rằng các điều kiện trên không tương thích, và điều này đã chỉ
ra việc phải phát triển một khung cảnh rộng hơn về giải tích thời gian
- tần số để xấp xỉ những yêu cầu trên theo m ột nghĩa nào đó. Một lớp
rộng hơn của các biểu diễn toàn phương thời gian - tần số được biết đến
là lớp Cohen. Dạng tổng quát của lớp Cohen là
Q ư , g ) =
(1)
trong đó ơ G tS'(R2n) là nhân và W ig là biến đổi W igner cổ điển
W i g ( f , g ) ( x , w ) = Ị e 2lĩiịwf { x + ị ) g ( x - ị ) d t
(2 )
với f , g & S { R n).
Với biểu diễn Wigner, tính chất không trải theo thời gian và tần số
được thỏa mãn, nhưng lại gây ra hiện tượng giao thoa hay hiện tượng
bóng m a ở giữa m ột cặp tần số thực trên m ặt phẳng thời gian - tần số
(xem [2], 13J). Đã có nhiều cố gắng tìm kiếm những biểu diễn thời gian
- tần số nhằm giảm thiểu hiện tượng này (xem [|J). Lớp Cohen chính là
một cách để lọc của biến đổi Wigner, bởi khi chọn nhân ơ phù hợp hiện
tượng giao thoa sẽ giảm ( [14J). ở đây, bằng cách cải biên biến đổi Wigner
bởi hai biến đổi W igner - cửa sổ xác định bởi:
g){x,w) = Ị e~27îüwîp(t)f{x + ị ) g ( x - ị ) d t
Wi g * Ặ f , g ) ( x , w ) = Ị e2nitwĩ p(t )f( w
+
ị)g(w - ị)dt
(3)
(4)
với f, g ,i p G S { R n).
Trong công thức
'ộ đóng vai trò hàm cửa sổ theo biến tần số trong
biến đổi W i g ị .
Trong [2], [3], các tác giả đã nghiên cứu về tính chất giao thoa của các
biến đổi W igner - cửa sổ và tính chất của các toán tử ẩn liên hệ với các
biến đổi W igner - cửa sổ đó. Với mong muốn hiểu biết về lĩnh vực toán
học lý thú này và để thực hiện luận văn tố t nghiệp, được sự hướng dẫn
của tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi đã m ạnh dạn chọn đề tài v ề b iể u d iễ n
W ig n e r - c ử a sổ.
2. M ục đích nghiên cứu
+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của m ột số
biểu diễn thời gian - tần số và toán tử giả vi phân trong tương thích với
một số lớp giải tích thời gian - tần số.
+ Hệ thống hóa việc giảm hiện tượng giao thoa đối với m ột số biểu diễn
thời gian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử giả vi phân tương
thích với một số lớp giải tích thời gian - tần số.
3. N h iệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan về việc giảm hiện tượng giao thoa đối với một
số biểu diễn thời gian - tần số và tính chất của một số lớp toán tử vi
phân tương thích với những lớp giải tích thời gian - tần số đó.
4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử giả vi
phân.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước
liên quan đến đối tượng nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, giải tích
điều hòa để tiếp cận vấn đề.
4- Thu th ập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài
báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
X
6. c ấ u trúc luận văn
Luận văn gồm hai chương , cụ thể gồm các chương như sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Biểu diễn W igner - cửa sổ.
7. N hữ ng đóng góp của đề tài
Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về việc giảm hiện
tượng giao thoa đối với m ột số biểu diễn thời gian - tần số và tính chất
của một số lớp toán tử vi phân tương thích với những lớp giải tích thời
gian - tần số đó.
Chương 1
M ột số khái niệm và kết quả ban
đầu
1.1
1.1.1
M ột số không gian hàm
K h ô n g g ia n B a n a c h
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1. Không gian Banach là các không gian vectơ định
chuẩn đầy đủ. Điều này có nghĩa là một không gian Banach là một không
gian vectơ V trên trường số thực hay phức với m ột chuẩn ||.|| sao cho
mọi dãy Cauchy (tương ứng với m etric d ( x , y ) = ||a; — y\\) có giới hạn
trong V.
1.1.2
K h ô n g g ia n ư
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2. Cho một không gian E và m ột độ đo fi trên m ột ơ
- đại số T trên các tập con của E. Họ tấ t cả các hàm số / (X) có luỹ
thừ a bậc p (1 < p < oo) của mô đun khả tích trên E , tức là
J
\ỉ\pdịi < oo
E
gọi là không gian Lp (E, ụ).
Khi E là tập đo được Lebesgue trong R k, và ịi là độ đo Lebesgue,
1
2
th ì ta viết ư (E).
Không gian ư (E ,ịi), trong đó ta không phân biệt các hàm tương
đương nhau (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi), là m ột không gian véc
tơ định chuẩn, với chuẩn xác định bởi:
11/11 = ị j
\f\pd ự j
.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3. Giả sử íĩ c R n là một tập mở trong Mn, 1 < p < 0 0 .
Hàm f : Q —¥ c được gọi là thuộc ư (ri) nếu nó đo được Lebesgue và
có chuẩn
ii/H lp(íĩ) =
[ị
\n
\f ( x )\pdx
hữu hạn.
Trường hợp p = 00 , hàm / thuộc L°° (ri) nếu nó đo được và bị chặn
cốt yếu, nghĩa là
II/IIl °°(íì) = esssup I/ (a:)| < oo,
xeíĩ
trong đó esssup^Q I/ (a:)| được định nghĩa cận dưới đúng của tập các
hằng số M sao cho I/ (:r)| < M hầu khắp
X
G ri. Đặc biệt L 1 (fỉ) là
không gian các hàm có tích phân hội tụ tuyệt đối với
\\f\\L'(ũ) = Ị \ f ( x ) \ d x .
ũ
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.4. Cho H là m ột không gian Hilbert. Toán tử tuyến
tính liên tục A : H —»• H được gọi là toán tử Hilbert - Schmidt nếu tồn
tại một cơ sở trực chuẩn (ej) của H sao cho
ll^"'ejl |2 < °°-
M ệ n h đ ề 1.1.5. Mọi toán tử Hilbert - Schmidt đều là toán tử compact.
3
M ệ n h đ ề 1.1.6. Nếu K ỉà toán tử tích phân trên L 2(M.n) với nhân
K ( x , y ) €E L 2(Rn X R n) thì K là toán tử Hilbert - Schmidt.
1.1.3
K h ô n g g ia n các h à m k iể m t r a v à đ ố i n g ẫ u
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.7. Cho ri là một tập con mở của Mn. Không gian véc
tơ C^°(ri) bao gồm c°°- hàm trên ri có giá compact trong Q. Cùng với
tô pô xác định bởi sự hội tụ của dãy:
Dãy (Pj c ơ^°(íỉ) được gọi là hội tụ về 0 trong C™(Q), nếu tồn tại
một tập compact K c íỉ sao cho supp (fj c
với mọi j
G Nvà
tụ đều trên K về 0. C^°(ri) được gọi là không gian các hàm kiểm tra
(trên íỉ), Ký hiệu V ( ũ ) .
Giá supp u của một hàm u £ Lị ioc(uj) được xác định như là phần bù
của tập mở lớn nhất mà u triệt tiêu, ta có thể viết:
supp u = íỉ \ u{iư mở trong íĩ I u\w = 0 }.
B ổ đề 1.1.8. 1) Cho R > r > 0. Tồn tại một hàm
x tr (x )
€ ơ^°(Mn)
với các tính chất :
Xr,R = 1 với |z| < r
XrĩR e [0; 1] vói r < \x\ < R
Xr,R = 0 với |x| > R.
2) Tồn tại hàm h e ơ£°(Mn) thỏa mẫn:
supp h = 5 ( 0 , 1), h ( x ) > 0 với |ícI < 1, Ị h(x)dx = 1 .
Đ ịn h lý 1.1.9. Ánh xạ da : (p !->■ daip là một toán tử tuyến tính liên tục
trong T>{ỹi). Điều này cũng đúng cho D a.
Với mọi f £ ơ°°(rỉ) ánh xạ M f :
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.10. Ta nói rằng / là m ột hàm suy rộng trong ri nếu /
là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên v iy ì ) . Không gian hàm suy
4
rộng trong Г2, kí hiệu là tyịyì).
Hàm suy rộng / G V '(íì) tác động lên mỗi Ц) G V ( íì ) được viết là (/, íp).
Tô pô trên V'(íl) là tô pô đối ngẫu của tô pô trên V (íì )
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.11. Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là s (Rn)
là tập hợp
S ( R n) = {+}
với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau
Dãy {ự>k}kLi trong
fc->0о I Ẽ R»
Ký hiệu s _ lim
Chú ý 1.1.12.
1. Hàm ip e c°° (Rn) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi a , ß G Z™ có
Ix aD^íp (ж) I < ca ß , Уж Ễ R n khi và chỉ khi
a) với mỗi m E z + , ß € Z™ có
( l + |;c|2)
\Dß(fi (ж)| < cmjß , Ух G R n,
hay
b) với mỗi m ẽ z + có
^1 + |ж|2^
^ 2 \Dßtp (ж) I < ст , \/х е м п.
\ß\ < т
2 . Với mỗi Л, /X G С , (pỵ, Ipk,
ф £ s (Rn) , к = 1 ,2 ,... nếu
«s_ lim
>00
s _ lim 'фк — Ф
k—
¥oo
thì
s _ lim (Xífk + ựipk) = \ip + flip.
к —>oo
5
3. Với mỗi a ẽ Z Ị , phép toán đạo hàm D a là ánh xạ tuyến tính liên tục
từ
5. Với mỗi M
e
N, hàm
рм(<р) ■= sup Ị ( i + № )
\Dß(P (ж)|
е
xác định một nửa chuẩn trên íS(Mn) và họ nửa chuẩn này xác định tô
pô của íS(Mn).
Đ ịn h lý 1.1.13. Không gian s (Rn) là đầy đủ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.14. Cho hàm suy rộng / e V(M.n). Hàm suy rộng /
được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và
m ột số dương С sao cho
Iự,
if) I < с sup { ( l + H 2) ” \D‘ tp 0 r)|} , Vy? e V (R ” ) .
xeK.n ^ '
'
*
Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ tấ t cả các
hàm suy rộng tăng chậm. Kí hiệu S ' (Mn).
Chú ý 1.1.15.
1. Không gian hàm suy rộng tăng chậm S ' (Mn) là không gian các phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên s (Rn). Nói cách khác, S ' (Mn) là không
gian đối ngẫu tô pô của không gian s (IRn).
2. Tô pô trên s 1 còn có thể xác định nhờ khái niệm hội tụ của dãy: Cho
fk, f G s 1(Rn) , к = 1,2,.... Dãy { f k } î =1 được gọi là hội tụ trong
6
V í d ụ 1.1.17. Cho 1 < p < 0 0 , / € Lp (Mn), ánh xạ
A/ :
^ (/,¥>) =
J
f (x ) ¥ {x)dx, ip €
R"
là một hàm suy rộng tăng chậm. Do ánh xạ / I— > A/ là đơn ánh nên ta
có thể đồng nhất / với AỊ. Cũng như vậy các hàm giảm nhanh cũng là
các hàm suy rộng tăng chậm.
V í d ụ 1.1.18. Hàm suy rộng ỏ và các đạo hàm của nó là các hàm suy
rộng tăng chậm.
1.1.4
K h ô n g g ia n S o b o le v
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.19. Cho —oo < s < oo và u e Lp(M.n), ta định nghĩa
J s là toán tử được xác định bởi
ụ su)(x) = ( 2 ? r ) ^ y eix*ơ(£)ù(£)d£,
R"
trong đó
<7(0 = (1 + líl2) " ‘/2. í e R ” .
Đ ịn h n g h ĩa 1.1.20. Cho —oo < 5 < oo và 1 < p < 0 0 , ta định nghĩa
H s’p(M.n) là tập hợp tấ t cả các hàm suy rộng u mà J - Su là m ột hàm
thuộc Lp(Rn).
Rõ ràng H s,p(Rn) là một không gian vectơ nên ta có thể trang bị cho
nó m ột chuẩn \\.\\sp để trở th àn h không gian vectơ định chuẩn. Trong
đó
\\u\\SjP= \\J-Su\\p, u € H s,p(M.n).
Ta thường gọi H s,p(R.n) là không gian Sobolev bậc s. Hiển nhiên H ữ,p(R.n) =
Lp(Mn). Khi p = 2 th ì ta ký hiệu H s(M.n) thay cho H s,2(Wl).
M ệ n h đ ề 1.1.21. Jsu = T ~ x ^1 + |^|2^
T u , với mọi u €
7
M ệ n h đ ề 1 . 1 . 2 2 . Giả sử u €
(ỉỉ) J qU = u.
Đ ịn h lý 1.1.23. Jị là một phép đẳng cự từ H s,p(Wl) vào H s+t,p(M.n).
Nghĩa là,
(1.1)
Đ ịn h lý 1.1.24. H s,p(M.n) ỉà không gian Banach tương ứng với chuẩn
1.2
B iến đổi Fourier
1.2.1
B iế n đ ổ i F o u rie r v à b iế n đ ổ i F o u rie r n g ư ợ c
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. Biến đổi Fourier của một hàm / e L 1(Mn) được xác
định bởi
d x , w G Mn
Rn
Khi ta muốn nhấn m ạnh rằng biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính
tác động trên m ột không gian hàm, ta viết T f thay cho / .
Đ ịn h lý 1.2.2. Biến đổi Fourier có các tính chất cơ bản sau:
2. Biến đổi Fourier ỉà một toán tử tuyến tính ỉiên tục từ không gian
vào chính nó và thỏa mãn
với mọi đa chỉ số cc, /3.
s
8
3. Vói phép đồng biến đổi Fourier T , xác định bởi
5 7 (f) = /
JR
"
e2' i:tỉf ( x ) d x , í 6 K"
mọi hàm ip G *S(Mn) thỏa mãn
/( * ) = [ e2™ « / ( Ỉ K .
JR"
Do đó T là một song ánh song liên tục từ s vào chính nó.
Đ ịn h lý 1.2.3 (Plancherel).
1. Biến đổi Fourier T : s —> s được thác triển một cách duy nhất thành
một đẳng cấu đẳng cụ T 2 trên L 2 (Mn). Với f , g € L 2(M.n),
Ị f(x)g(x)dx = f
jR n
JRn
Ị \ f ( x ) \ 2dx = Ị iJ-2/ ( 0 i2^ .
J R»
J Rn
2. Với f ẽ L 1 n L 2 thì
= J~f- Hơn nữa, với mỗi hàm f e L 2(Mn),
dãy (J-(Ib {0 N)f)) hội tụ trong L 2(Mn) về T i ĩ khi N —>■oo.
Nhờ định lý trên, ta cũng gọi T i ỉ là biến đổi Fourier của / € L 2 (Mn)
và cũng ký hiệu là J 7/ hay / .
Đ ịn h lý 1.2.4 (Hausdorff- Young). Lấy 1 < p < 2 vàp' sao cho - + ^ 7 =
1. Khi đó T : Ư { R n) -+ LP'{Rn) và \\f\\pl < |Ị/Ị|P.
Chú ý: Beckner và Brascam p Lieb đã phát biểu cách khác
của định
lý Hausdorff- Young như sau
1
Đ ặt Ap = (^ x )2 là hằng số Babenko- Beckner. Khi đó
pp
ị ị f V < A ị ị ị f ị ị d, l < p < 2 .
( 1 .2 )
9
1.2.2
B iế n đ ổ i F o u rie r th ờ i g ia n n g ắ n (S T F T )
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.5. c ố định m ột hàm g ф 0 (gọi là hàm cửa sổ). Khi đó
biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của m ột hàm / đối với g được
định nghĩa bởi
V g f ( x , w ) = J f ( t ) g ( x — t)e~2'ïïit'wdt với x , w e R n
Rn
nếu tích phân đó tồn tại.
Ký hiệu Tx là phép dịch chuyển dọc theo véc tơ X, tức là Tx (y) =
T {x — y) và Mệ là phép xoay xác định bởi Mçu(x) = e2ĩrix^u(x).
B ổ đ ề 1 . 2 . 6 . Nếu f , g £ L 2(R n) thì Vgf liên tục đều trong R 2n và
V g f{ x , w ) = ( / ■T x ÿ f l w )
(1.3)
= ự,M „T,g)
(1.4)
= ( / , Tv M ^ g )
(1.5)
BỔ đ ề 1.2.7. Mỗi khi Vgf xác định, ta có
Уд(ТиМ г,/)(х,ю) = e~2niu-wVgf{x - u , w - Tị)
(1.6)
với X, u,w ,ĩ) G R n. Đặc biệt:
IVg{TuM vĩ ) \ = IVgf(x - u , w -
tị)\.
Tương tự công thức Paseval ta có quan hệ trực giao của biến đổi
Fourier thời gian ngắn.
Đ ịn h lý 1.2.8. Giả sử / i , / 2,ỡ i,í ?2 € L 2 (Mn), khi đó Vg.fj £ L 2 (M2n)
với j = 1,2 và
( ^ 1/ ь ^ а/ 2>£2(К2») = ( Л , / 2> (91,92)-
(1.7)
10
H ệ q u ả 1.2.9. Nếu f , g e L 2 ( i r ) thì \\Vgf \ \ L2 = ỵ ị ị M ^ Dặc biệt, nếu \\g\\L2 = 1 thì \ \ f \ \ L 2 = \\Vgf\\L2, V /
hàm f € L2(Mn); ta có
f = —
[ Ị V g f ( x , w ) M wTx'Ỵdwdx.
(7 :9) J JR2n
1.3
( 1 .8 )
B iểu diễn W igner
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1. Biểu diễn W igner w f của m ột hàm / £ L 2(M.n)
được xác định bởi
W f ( x , w) =
J
f { x + ị ) f ( x - ị-)ì e -2 ni».tdị'
r
Bằng sự phân cực biểu thức bậc hai này, ta nhận được biểu diễn W igner
chéo của f , g & L 2(Mn):
W ( f , g ) ( x , w ) = Ị ỉ ( x + ị u x - ị ^ - 2'™ 'dt.
Rn
BỔ đ ề 1.3.2. Với mọi f , g e L 2(M.n)
W ự , g ) ( x , w ) = 2neM x -wVIgf ( 2 x , 2 w )
trong đó Z g ( x ) = g(—x) là toán tứ đối xứng.
Chứng minh. Dùng phép thế u =
X
+ I trong (1.9) ta thu được
(1.9)
11
w g)(x, w) = Ị f{x + ị)g(x - ị)
(/,
г
=
2 f(u)g(x - ị)
”!
R"
= 2 n J f { u ) g ( - ( u - 2x)) e -^™ẢU-X)du
(1 .10)
Rn
= 2ne ^ xw(f,M2wT2xlg)
= 2neị7ĩix-wvlgf{2x,2w).
__ r>n „ 4i ĩ i x . w / f
H/Г
rp
'T„\
□
Với Bổ đề |l.3.2| những đặc tính có thể dễ dàng chuyển đổi từ STFT
sang biểu diễn Wigner. Các đặc tính đó được xác định đầy đủ trong hệ
quả sau:
M ệ n h đ ề 1.3.3. Với f , g e L 2(Mn), biểu diễn Wigner chéo có các tính
chất sau:
(a) w ( f , g ) là liên tục đều trong M2n và
\\wự,g)\\00<2"\\f\\2\\g\\2.
(b) w ( f , g ) = w ( g , f ) . Đặc biệt w f có giá trị thực.
(c) Với И,
ta có
w (TuM nf , TvMrĩg)(x, w)
=
_ u±v_^ w _ »7_+7^
Dặc biệt w f là hiệp biến, tức là
w (TuM rìf ) ( x : w) = w f ( x - u , w - ri).
(d) W { f , g ) { x , w ) = W ự , g ) ( - w , x )
(e) Đẳng thức Moyal: Với / i , gi, / 2, #2 € L 2(M.n),
( W {f и дг) , \ у {f 2 , g2)} L 2 { R 2n = ( f i j 2 }(vgug2)-
(1.12)
12
Chứng minh. Phần (a) suy ra trực tiếp từ Bổ đề (1.3.2). Phần (b) và
(c) là dễ dàng tính được. Vì Xg = X g , ta có (d) sau khi dùng đẳng thức
Parseval
w ự , g ) ( x , w ) = 2 "e4™-» ( / , M 2. r 2l I j )
= 2"e4“ » (f, M 2lT . 2wI g )
= 2 ”e - 4' “ ”
=
w
(/,
g) ( —w, x)
Hơn nữa đẳng thức Moyal tương ứng với quan hệ trực giao của STFT
và ta thu được như sau:
í í
J
W ( f 1,g1) ( x , w ) W ( f 2,g2)(x,w )dxdw
J R2n
= 22n í ỉ Vigifi(2x,2w)Vig2f 2{2x,2w)dxdw
J JR2n
= Ơ I, / 2) ( I g u l g 2)
= ơ b / 2) (91,92),
ở đây hằng số 2 2n triệt tiêu sau khi thế (2 x , 2 w) —> (x , w ).
□
Trong biểu diễn W igner chéo có m ột nhân tử tương tự nhân tử của
ST FT trong bổ đề (1.3.2). Đ ặt % là phép đổi tọa độ đối xứng xác định
bởi TsF (x, ì) = F ( x + ị, X — ị) và đặt
biến đổi Fourier theo biến thứ
hai.
BỔ đ ề 1.3.4. Cho f , g £ L 2(Rn). Khi đó w { f , g ) = T 2Ts{ỉ ® g).
Tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu tính chất giá và m ật độ biên của
phân bố W igner để hiểu tại sao phân bố W igner lại được coi là biểu diễn
thời g ian -tần số tối ưu.
T ín h c h ấ t g iá. Để đơn giản ta xét trường hợp số chiều n = 1.
B ổ đ ề 1.3.5. Giả sử f G L 2 (Rn).
Nếu supp f Ç [a, 6] thì W i g ( /) (x,uj) = 0 với X ị [a, 6].
Nếu supp f Ç [a, ß ] thì W i g ( / ) (X, Où) = 0 với UI Ệ [cc,ß\.
13
Nhận xét 1.3.6. Ta thấy phân bố W igner bảo toàn tính chất giá của /
và / . Ngược lại, biến đổi Fourier thời gian ngắn mở rộng giá của / vì
Vgf phụ thuộc vào hàm cửa sổ g và vì Vgf = e~2lTÌX-ul ( / * М шд*) (X) là
tích chập của / .
T ín h c h ấ t lề
B ổ đ ề 1.3.7. Nếu f , / G L 1 П L 2 (Mn) thì
1
Wig
(/)
{x,u))du) = \ f ( x ) \ 2,
(1.14)
7 '(cư ) .
(1.15)
I"
J Wig{f){x,u))dx =
R"
Đặc biệt là j j W i g
( / ) ( ж , ù) dxdüü = I I / I I 2•
(1.16)
R 2"
N h ậ n x é t: Từ bổ đề trên chúng ta suy ra định lý Plancherel
/
=
J J w i g { f ) (x,u;)dxdu= Ị Ị Wig { ĩ )
R 2n
dudx
= I I / I I 2•
R 2n
Như là một hệ quả của Bổ đề 1.3.7, chúng ta suy ra m ột dạng yếu
của nguyên lý không chắc chắn cho phân bố Wigner.
B ổ đ ề 1.3.8. Nếu £ > 0 và u Ç M2n sao cho
II
Wig
( / ) ( X, (j) dxdcơ > ( 1 - e )
\\f\\)
и
thì \u\ > (1 - è ) 2 ~n.
T ín h d ư ơ n g . Từ bổ đề 1.5.3 chúng ta thấy phân bố W igner thoả
m ãn hầu hết các tính chất của một biểu diễn thời g ian -tần số lí tưởng.
Tuy nhiên, để giải thích như một m ật độ năng lượng hay m ật độ xác
suất đồng thời th ì nó phải không âm. Định lý sau của Hudson cho thấy
phân bố W igner hầu hết là không âm ngoại trừ các hàm Gauss.
14
Đ ịn h lý 1.3.9. Giả sử f € L 2 (Rn). Khi đó W i g ( /)
( x , cj )
> 0 với mọi
(x,ui) G M2n khi và chỉ khi f là một hàm Gauss tổng quát dạng
ở
đây A
G
GL
(tỉ,
C)
là
một
ma
trận khả nghịch cấp
trên
n X n
c
với
phần thực xác định dương và b G c n, c G c .
Để giải quyết tính dương của phân bố W igner người ta lấy giá trị
trung bình tại từng điểm thông qua tích chập của W i g ( f ) với một hàm
trơn có tâm tại (0 ,0 ).
{W ig{f)*ơ)(x,uj) = ỉ í
w
ĩ])ơ(x — t,u) — ĩ])dtdr]
được xem như là giá trị trung bình của W i g ( f ) tại (x , ív). R ất khó để
xác định ơ để W i g ( f ) * ơ không âm nhưng nếu ơ là hàm Gauss thì lại
thoả mãn.
Đ in h lý 1.3.10. Giả sử
ơ ab
(x,uj) = e
^°
b' = ipọ (x) ifb
’
2
(cư)
2
a) Nếu ab = 1 thì W i g ( / ) * ơa 6 > 0 với mọi f G L 2 (Rn).
b) Nếu ab > 1 thì W i g ( /) * ơa b > 0 với mọi ĩ G L 2 (Mn).
c) Nếu ab < 1 thì W i g ( /) * ơa 6 có í/lể lấy giá trị âm.
Tiếp theo là nguyên lí không chắc chắn trong văn cảnh của các hàm
suy rộng trơn.
Đ ịn h lý 1.3.11.
a) Giả sử rằng với ơ € L 1 n L 2 (M2n), chúng ta có
Ị Ị w i g ( /) (x, U))ơ (a;, ù ) dxduú > 0
R2"
vôi mọi f G L 2 (Mn). Khi đó ơ là liên tục và thỏa mãn
15
b) Nếu ơ G L 2 (R 2n) có giá compact, thì tồn tại f € L 2 (Mn) sao cho
W i g ( / ) (æ, oj) ơ (æ, oj) dxdív < 0.
H ệ q u ả 1.3.12.
a) Nếu f f W i g ( /) (x , üj) dxdüü > 0 , V / G L 2 (]R2n) và V là tập có độ đo
V
hữu hạn thì \v\ >
1.
b) Ngược lại, nếu V là tập có độ đo hữu hạn thì J J W i g ( / ) > 0 không
V
xảy ra với V / € L 2 (Rn).
Nhận xét 1.3.13. Như vậy, phân bố W igner không thể xem xét là phân
bố năng lượng trên các tập bị chặn.
1.4
Lớp phân bố C ohen
Do sự thiếu hụt tính dương của phân bố W igner và các vấn đề xảy
ra sau đó đã dẫn đến việc nghiên cứu các biểu diễn thời g ian -tần số bậc
hai khác. Định lí 1.5.6 cho ta một phiên bản đủ trơn của W i g ( f ) m à trì
hoãn các dao động địa phương và thoả mãn nguyên lí không chắc chắn.
Hệ thống hoá người ta xem xét các biểu diễn thời g ian -tần số bậc hai
dưới dạng tích chập của phân bố W igner với m ột hàm hạt nhân ơ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1. Ta gọi lớp phân bố Cohen là tập hợp tấ t cả các biểu
diễn c ( / ) hoặc Qơf cố dạng
c ( / ) = Qơf = W i g ( / ) * ơ
với ơ e S' (M2n) được gọi là hàm hạt nhân.
Sau đây ta xét m ột số tính chất của lớp phân bố Cohen.
T ín h c h ấ t:
