30 bài tập tích phân cực hay có lời giải chi tiết

30 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
Bài 1
Tìm nguyên hàm

6x 3 + 8x + 1

I=

dx

(3x 2 + 4) x 2 + 1

Lời giải:
Ta có

6x 3 + 8x + 1
1
= 2x + 2
2
3x + 4
3x + 4
=⇒ I =
2x

Tính I 1 =
Đặt

x2 + 1

2x +

1

1
3x 2 + 4

x2 + 1

dx =

x2 + 1

1

dx +

(3x 2 + 4) x 2 + 1

dx

dx

x 2 + 1 = t , x 2 + 1 = t 2 , 2t dt = 2x dx =⇒ I 1 = 2
1

Tính I 2 =

2x

t dt
= 2t = 2

t

x2 + 1

. dx
(3x 2 + 4) x 2 + 1
x2 + 1
4t 2 − 1
1
Đặt t =
, xt = x 2 + 1, x 2 t 2 = x 2 + 1, x 2 = 2
, 3x 2 + 4 = 2
x
t −1
t −1
t dt
dx
t dt
dx
dt
x dx = − 2
,
=− 2
,
=
2
2
2
2
(t − 1) xt

(t − 1) x t
x2 + 1 1 − t
t 2 − 1 dt
dt
1
1
1
1 2t + 1 1 2 x 2 + 1 + x
I2 =
=
=
−
d
t
=
ln
= ln
4t 2 − 1 1 − t 2
1 − 4t 2 2
2t + 1 2t − 1
4 2t − 1 4 2 x 2 + 1 − x
1 2 x2 + 1 + x
Vậy
I = 2 x 2 + 1 + ln
+C
4 2 x2 + 1 − x

Bài 2
Tìm nguyên hàm

I=

cos2 x
sin x + 3 cos x

dx

Lời giải:
Dùng pp hệ số bất định cos2 x = (a sin x + b cos x)(sin x + 3 cos x) + c(sin2 x + cos2 x)
cos2 x =

3
1 −1
1
−1
sin x +
cos x (sin x + 3 cos x) + =
(sin x − 3 cos x)(sin x + 3 cos x) +
4
4
4
4
4
−1
4 (sin x −

3 cos x)(sin x + 3 cos x) + 14

dx
sin x + 3 cos x

−1
1
1
=
(sin x − 3 cos x) dx +
dx
4
4 sin x + 3 cos x
1
1
1
= (cos x + 3 sin x) +
dx
4
4 sin x + 3 cos x
cos(x − π6 )
1
dx
1
dx
1
Ta tính J =
=
=
dx
4 sin x + 3 cos x 8 cos(x − π6 ) 8 1 − sin2 (x − π6 )
Đặt t = sin(x − π6 ) =⇒ dt = cos(x − π6 ) dx
sin(x − π6 ) + 1
1
dt

1
1
1
t +1
1
1
=⇒ J =
−
d
t
=
ln
=
ln
=
8 1 − t 2 16
t +1 t −1
16 t − 1 16 sin(x − π6 ) − 1
sin(x − π6 ) + 1
1
1
ln
+C
Vậy
I = (cos x + 3 sin x) +
4
16 sin(x − π6 ) − 1
I=

Bài 3

Tìm nguyên hàm

I=

Lời giải:

1

x3 + x2
4

4x + 5

dx


x3 + x2

I=
=

4

1
20

4x + 5

x4 + x3

dx =

4x 5 + 5x 4

4

− 14

4x 5 + 5x 4

dx

d(4x 5 + 5x 4 ) =

1
15

4

(4x 5 + 5x 4 )3 +C

Bài 4
Tìm nguyên hàm

I=

Lời giải:
Ta có

cos 2x + 2 cos x +

π
4

e sin x+cos x+1 dx

cos 2x + 2 cos x + π4 = (cos x − sin x)(sin x + cos x + 1)
I=

(cos x − sin x)(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 dx

=

(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 d (sin x + cos x + 1)

=

(sin x + cos x + 1) d e sin x+cos x+1

=(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 −

e sin x+cos x+1 d (sin x + cos x + 1)

=(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 − e sin x+cos x+1 +C
=(sin x + cos x)e sin x+cos x+1 +C

Bài 5
Tìm nguyên hàm

I=

3

3x − x 3 dx

Lời giải:
3

3
−9t 2 dt
3x − x 3
=⇒ x 2 = 3
=⇒ 2x dx = 3
x
t +1
(t + 1)2
3
3
3x − x
1
3
−9
t 3 dt
1
3t
3
I=
=
2x dx =
td 3

=
−
3
2
3
2
x
2
(t + 1)
2
t +1
2(t + 1) 2
d(t + 1)
1
dt
=
= (ln 3(1 − t ) − 2 ln 3t + ln(1 + t ))
Tính J =
t3 +1
(t + 1)[(t + 1)2 − 3(t + 1) + 3] 2
3
3
3
1 3
3
3x − x 3
3x − x 3
3x − x 3
Vậy I = x 3x − x 3 − ln 3 1 −
− 2 ln 3

+ ln 1 +
+C
2
4
x
x
x

Đặt t =

dt
t3 +1

Bài 6
Tìm nguyên hàm

1

I=

x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 7x + 4

dx

Lời giải:
Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên đa thức ở mẫu nhận x = −1 làm nghiệm
dx
1 (x + 1)3 + 3 − (x + 1)3
1
dx

(x + 1)2
I=
=
d
x
=
−
dx
3
3
3
(x + 1)[(x + 1) + 3] 3
(x + 1)[(x + 1) + 3]
3
x +1
1
1
d((x + 1)3 )
1
1
= ln |x + 1| −
= ln |x + 1| − ln |(x + 1)3 + 3| +C
3
3 (x + 1)3 + 3
3
9

(x + 1) + 3

Bài 7

1

Tính tích phân

I=

0

x ln x + 1 + x 2
x + 1 + x2

dx

Lời giải:
Đặt u = ln(x + x 2 + 1),
1+

Suy ra du =

x

dv =

x dx
x + x2 + 1

= x( x 2 + 1 − x) dx

1
3

dx
1
1
x2 + 1
dx =
, v=
(1 + x 2 ) 2 d(1 + x 2 ) − x 2 dx = [(1 + x 2 ) 2 − x 3 ]
2
2
2
3
x + x +1
x +1
1
1
3
1
1
dx
2 32
3
2
I = [(1 + x ) − x ] ln(x + 1 + x 2 ) −
[(1 + x ) 2 − x 3 ]
3
3 0
0
1 + x2

2

Mà

J=

dx

x 3d x

dx
−
1 + x2

1
= arctan x − (x 2 − 2) x 2 + 1
3
1 + x2
1 + x2
1
1
1
1
1
1
3
I = [(1 + x 2 ) 2 − x 3 ] ln(x + 1 + x 2 ) − arctan x + (x 2 − 2) x 2 + 1
3
3
9

0
0
0
π 1
1
+ (2 + 2)
I = ( 8 − 1) ln(1 + 2) −
3
12 9
3

[(1 + x 2 ) 2 − x 3 ]

Nên
Vậy

=

Bài 8
Tính tích phân

1
2

I=

x ln

0

1+x
dx
1−x

Lời giải:
Với u = ln

1+x
,
1−x

dv = x dx

2
1
dx,
v = x2
2
1−x
2
1
2
2 1−x −1
x2
1
d
x
=
ln
3

+
dx
1 − x2
8
1 − x2
0

nên du =
1
2

1
1+x
I = x 2 ln
2
1−x

1
2

−

0

0
1
2

1
1 1

= ln 3 + −
8
2 2

0

Bài 9

π

Tính tích phân
Lời giải:

I=

π

I=

0

e −x cos 2x dx = −

= e −π + 1 + 2

π
0

1
2

1
1
1
1 1 1+x
+
dx = ln 3 + − ln
1+x 1−x
8
2 2 1−x

π
0

0

=

1 3
− ln 3
2 8

e −x cos 2x dx

0

π

cos 2x d(e −x ) = −e −x cos 2x

sin 2x d(e −x ) = e −π + 1 + 2e −x sin 2x

π
0

0

π

−2

−4

e −x sin 2x dx

0
π

0

e −x cos 2x dx =

1 −π
(e + 1)
5

Bài 10
3

Tính tích phân

I=

x 5 + 2x 3
x2 + 1

0

dx

Lời giải:
3

I=

x(x 4 + 2x 2 )
x2 + 1

0

I = (x 4 + 2x 2 )

Tính

3

dx =

x2 + 1

0

=4

(

x 2 + 1)4 d(

I = (x 4 + 2x 2 )

Nên

(x 4 + 2x 2 ) d(
3

3

x 2 + 1 d(x 4 + 2x 2 ) =

J=

0

−

x 2 + 1)

x 2 + 1 d(x 4 + 2x 2 )

0

4x(x 2 + 1)

x(x 2 + 1)2

x 2 + 1 dx = 4

4
x 2 + 1) = (x 2 + 1)2 x 2 + 1
5
3
4
x2 + 1
− (x 2 + 1)2 x 2 + 1
5
0

x2 + 1
3
0

Bài 11
e

Tính tích phân

I=

1

1 + x 2 ln x
dx
x + x 2 ln x

Lời giải:
e

I=

1

1 + x 2 ln x
dx =
x + x 2 ln x

e

=

1

e

dx −

1

d

e

1

1
+ ln x
x2
dx =
1
+ ln x
x

e
1

1
+ ln x
x
dx +
1
+ ln x
x

1
+ ln x
e
1
x
= x − ln
+ ln x
1
x

1
+ ln x
x

3

e
1

e
1

= e − 1 − ln

1
1
−
2
x
x dx
1
+ ln x
x
1
+1
e

dx

Bài 12
Tìm nguyên hàm
Lời giải:
Đặt

I=

2(1 + ln x) + x ln x(1 + ln x)
dx
1 + x ln x

u = 1 + x ln x =⇒ du = (1 + ln x) dx
(2 + x ln x)(1 + ln x)
u +1
dx =
du = u + ln |u| +C = 1 + x ln x + ln |1 + x ln x| +C
1 + x ln x
u

I=

Bài 13
Tính tích phân

I=

π
4

0

Lời giải:

x 2 (x 2 sin 2x + 1) − (x − 1) sin 2x
dx
cos x(x 2 sin x + cos x)

π

4
2
4 2x sin 2x + 2x − 2x sin x + 2 sin 2x
x 4 sin 2x + x 2 − (x − 1) sin 2x
d
x
=
dx
x 2 sin x cos x + cos2 x
x 2 sin 2x + cos 2x + 1
0
π
2 2
2
4 2x (x sin 2x + cos 2x + 1) − (x sin 2x + cos 2x + 1)
=
dx
x 2 sin 2x + cos 2x + 1
0
π
π

2
4
4 d(x sin 2x + cos 2x + 1)
=
2x 2 dx −
x 2 sin 2x + cos 2x + 1
0
0
π
π
π3
2 3 4
π2
4
2
− ln |x sin 2x + cos 2x + 1| =
= x
+ ln 2 − ln
+1
3
96
16
0
0

I=

Bài 14
Tìm nguyên hàm

I=

(x 2 + 1) + (x 3 + x ln x + 2) ln x
dx
1 + x ln x

Lời giải:
I=
=

(x 2 + ln x) + x ln x(x 2 + ln x) + (1 + ln x)
(x 2 + ln x)(1 + x ln x) + (1 + ln x)
dx =
dx
1 + x ln x
1 + x ln x
d(1 + x ln x) 1 3
(x 2 + ln x) dx +
= .x + x ln x − x + ln |1 + x ln x| +C
1 + x ln x
3

Bài 15
Tìm nguyên hàm

I=

x 2 (x 2 sin2 x + sin 2x + cos x) + sin x(2x − 1 − sin x) + 1
dx
x 2 sin x + cos x

Lời giải:
Vì x 2 (x 2 sin2 x + sin 2x + cos x) + sin x(2x − 1 − sin x) + 1 = (x 2 sin x + cos x)2 + (x 2 sin x + cos x)
d(x 2 sin x + cos x)
I = (x 2 sin x + cos x) dx +
= x 2 sin x dx + sin x + ln |x 2 sin x + cos x|
2
x sin x + cos x

Tính J =

2

x sin x dx = −

2

x d(cos x) = −x 2 cos x + 2

J = −x 2 cos x + 2x sin x − 2

x cos x dx = −x 2 cos x + 2

x d(sin x)

sin x dx = −x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x

I = −x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + sin x + ln |x 2 sin x + cos x| +C

Vậy

Bài 16
Tìm nguyên hàm I =

x(x + 2)(3 sin x − 4 sin3 x) + 2 cos x(cos x − 2 sin x) + 3x 2 cos 3x − 1 e x dx

Lời giải:
x(x + 2)(3 sin x − 4 sin3 x) + 2 cos x(cos x − 2 sin x) + 3x 2 cos 3x − 1 e x
= x 2 sin 3x + (x 2 sin 3x) + cos 2x + (cos 2x) e x
=⇒ I = (x 2 sin 3x + cos 2x)e x

Bài 17
Tìm nguyên hàm

I=

Lời giải:
4

2x 4 ln2 x + x ln x(x 3 + 1) + x − x12
1 + x 3 ln x

dx


2

2x 6 ln2 x + x 6 ln x + x 3 ln x + x 3 − 1 2[(x 3 ln x) − 1] + x 3 (x 3 ln x + 1) + (x 3 ln x + 1)
=
x 2 + x 5 ln x
x 2 (1 + x 3 ln x)

3
3
(x ln x + 1)(2x ln x + x 3 − 1)
1
=
= 2x ln x + x − 2
2
3
x (1 + x ln x)
x
1 2 1
1
1 2 1
I=
2x ln x + x − 2 dx = x + + 2x ln x dx = x + + ln x d(x 2 )
x
2
x
2
x
1 2 1
1
2
2
I = x + + x ln x − x dx = + x ln x +C
2
x
x

Nên

Bài 18
Tìm nguyên hàm
Lời giải:
Đặt x = e t , ln x = t ,
=⇒ I =

x 2 sin(ln x) dx

I=

dx = e t dt
e 3t sin t dt = −e 3t cos t +

3e 3t cos t dt = −e 3t cos t + 3e 3t sin t −

=⇒ 10I = 3e 3t sin t − e 3t cos t =⇒ I =

9e 3t sin t dt

1
3.e 3 ln x sin(ln x) − e 3 ln x cos(ln x) +C
10

Bài 19
Tìm nguyên hàm

e x (x − 1) + 2x 3 + x 3 (e x + x(x 2 + 1))
dx
e x .x + x 2 (x 2 + 1)

I=

Lời giải:
1 (x 3 + x + e x )
e x (x − 1) + 2x 3 + x 3 (e x + x(x 2 + 1)) x 3 − 1 3x 2 + e x + 1
2
=
x
−
=
+
+ 3
e x .x + x 2 (x 2 + 1)
x
x3 + x + ex
x
x + x + ex

Do đó

I=

x3
− ln |x| + ln |x 3 + x + e x | +C
3

Bài 20
Tính tích phân
Lời giải:

I=

π
3
π
6

I=

π
3

π

ln(tan x) dx=đổi biến (x= 2 −x)

π
6

π
3
π
6

ln(cot x) dx =⇒ 2I =

ln(tan x) dx

π
3

π
6

ln(tan x. cot x) dx = 0 =⇒ I = 0

Bài 21
Tìm nguyên hàm

I=

dx
3

sin x + cos3 x

Lời giải:
1

Ta có

3

I=

=

(sin x + cos x)
2

=

(sin x + cos x)
(1 + sin 2x)(1 − sin x cos x)

(sin x + cos x) (1 − sin x cos x)
1− t2
t = sin x − cos x, sin x cos x =
, dt = (cos x + sin x) dx
2
dt
dt
2
1
1
=2
=
+
dt
2
2
2
2
(2 − t )(1 + t ) 3
2−t
1+ t2
1−t
2
(2 − t ) 1 −
2
dt

dt
2
2
I=
+
2
3 2−t
3 1+ t2

sin

Đặt

x + cos3 x

Bài 22
0

Tính tích phân

I=

−π
4

sin 4x
dx
(1 + sin x)(1 + cos x)

Lời giải:

2(1 + sin x)(1 + cos x) = (sin x + cos x + 1)2 =

Đặt t = cos x + sin x,

sin 2x = t 2 − 1, dt = (cos x − sin x) dx,

5

4 sin 2x(cos x + sin x)(cos x − sin x)
(sin x + cos x + 1)2
−π
x=
, t = 0, x = 0, t = 1
4


1

I=

4(t 2 − 1)t
(t + 1)

0

2

dt = 4

1 t2 − t

1

dt = 4

t +1

0

0

1

I = 2t 2 − 8t + 8 ln(t + 1)

0

2
dt
t +1

t −2+

= 2(4 ln 2 − 3)

Bài 23
3

Tính tích phân

I=

dx
1 + x 2 + x 98 + x 100

1
3

Lời giải:
3

I=

1
3

dx

3

1

(1 + x 2 )(1 + x 98 )

=x= x

1
3

x2 1 +

=⇒ I =

1
2

1
x2
3

1
3

x 98 dx

3

dx

=

1
x 98

1+

1
3

(x 2 + 1)(x 98 + 1)

dx
1 + x2

Bài 24
5
4 dx
(2x + 1)4

x 2 − 3x +

Tìm nguyên hàm

I=

7

Lời giải:
1
4
1
I=
8
1
I=
8
I=

I=

4x 2 − 12x + 5
4

dx

(2x + 1) 7
−4

(2x + 1)2 − 8(2x + 1) + 12 (2x + 1) 7 d(2x + 1)
3

10

(2x + 1) 7 − 8(2x + 1) 7 + 12(2x + 1)

−4
7

d(2x + 1)

17
10
3
7
7
9
(2x + 1) 7 − (2x + 1) 7 + (2x + 1) 7 +C
136
10
14

Bài 25
Tìm nguyên hàm

2x 3 + 5x 2 − 11x + 4
dx
(x + 1)30

I=

Lời giải:
I=

2(x + 1)3 − (x + 1)2 − 15(x + 1) + 18
(x + 1)30

2(x + 1)−27 − (x + 1)−28 − 15(x + 1)−29 + 18(x + 1)−30 dx

=
=−

dx

1
1
15
18
+
+
−

+C
13(x + 1)26 27(x + 1)27 28(x + 1)28 29(x + 1)29

Bài 26
Tìm nguyên hàm

I=

x 3 − 3x 2 + 4x − 9
dx
(x − 2)15

Lời giải:
I=
=
=−

(x − 2)3 + 3(x − 2)2 + 4(x − 2) + 3
(x − 2)15

dx

(x − 2)−12 + 3(x − 2)−13 + 4(x − 2)−14 + 3(x − 2)−15 dx
1
1
4
3
−
−
−

+C
11
12
13
11(x − 2)
4(x − 2)
13(x − 2)
14(x + 1)14

Bài 27
Tìm nguyên hàm

I=

Lời giải:
Ta có
6

(x − 1)2 (5x + 2)15 dx


25(x − 1)2 = 25x 2 − 50x + 25 = 25x 2 + 20x + 4 − 70x − 28 + 49 = (5x + 2)2 − 14(5x + 2) + 49

Nên

1
(5x + 2)17 − 14(5x + 2)16 + 49(5x + 2)15 dx
25
1 (5x + 2)18 14(5x + 2)17 49(5x + 2)16
I=

−
+
+C
25
90
85
80
I=

Bài 28
8

Tính tích phân

I=

4

x 2 − 16
dx
x

Lời giải:
Đặt x =

−4 cos t
4
, dx =
dt ,
sin t

sin2 t

Ta được

4
sin t

2

x = 4, t = π2 ;

− 16 = 4 cot t
π

π
6

2
4 cot t −4 cos t
dt = 4
I=
cot2 t dt = 4
2
π
π
4
sin
t
2
6

sin t
π
4π
2
= 4(− cot t − t ) π = 4 3 +
3
6

π
2
π
6

x = 8, t =

π
6

(1 + cot2 t − 1) dt

Bài 29
1

Tính tích phân

I=

1
3

(1 + x 2 )5
dx
x8

Lời giải:
Đặt x = tan t , dx =

dt
cos2 t

1
,
cos10 t

5

(1 + x 2 ) =

,

1

x=

3

Ta được
I=

1

cos10 t dt
=
tan8 t cos2 t

π
4
π
6

π
4

,t =

d(sin t )
8

π
6

si n t

π
,
6

1
7

π

4

x = 1, t =

dt = sin7 t

π
4
π
6

=

128 − 8 2
7

Bài 30
2

Tính tích phân

I=

Lời giải:
Đặt x = u + 1, dx = du,
Ta được

x = 1, u = 0,
1

I=

1

=

0

x2 + 1
1+ 2

du
u2 + 1

−

1

1

= arctan u − 2 ln
0

x+

x 2 − 2x + 2

dx
x 2 − 2x + 2

x = 2, u = 1

u + 1 − u2 + 1
x +1

0

1

x − x 2 − 2x + 2

du
u2 + 1

1

=

2 dt
t (t + 1)

t
t +1

u2 + 1

1

−

0

( với t = u +

1+ 2
1

0

du

=

π
− ln 2
4

7

2 du
u 2 + 1(u +
u 2 + 1, dt =

u 2 + 1 + 1)
u2 + 1 + u
u2 + 1

du)