G khung và g cơ sở riesz trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

BẠCH HỒNG NHUNG

G -K H U N G VÀ G-CƠ SỞ RIESZ
TR O N G K H Ô NG G IA N HILBERT

LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ TO Á N HỌC

H À N Ộ I, 2015


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

BẠCH HỒNG NHUNG

G -K H U N G VÀ G-CƠ SỞ RIESZ
TR O N G K H Ô NG G IA N HILBERT
C h u y ê n n g à n h : T o á n g iả i t í c h
M ã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ TO Á N HỌC

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a học:
TS. N G U Y Ễ N Q U Ỳ N H N G A

H À N Ộ I, 2015

Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS. Nguyễn
Quỳnh Nga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015
T ác giả

Bạch H ồng N hung


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015
T ác giả

Bạch H ồng N hung


M uc luc

Mở đầu

1

1

K h u n g và cơ sở R ie sz t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t

4

1.1

Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert . . .

4

1.2

Khung trong không gian H i l b e r t .........................................

8

1.3

Cơ sở Riesz trong không gian H i l b e r t ...............................

22

1.4

Các đặc trưng của khung và cơ sở R i e s z ...........................

27

2

G - k h u n g và g-cơ sở R ie sz t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t
2.1

32

Khái niệm và các ví dụ về g-khung và g-cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert

..............................................................

32

2.2

Toán tử g-khung và g-khung đối n g ẫ u ...............................

37

2.3

Các đặc trưng của g-khung , g-cơ sở Riesz và g-cơ sở trực

2.4
2.5

c h u ẩ n .............................................................................................

43

Độ dư của g - k h u n g .................................................................

56

ứ n g dụng của g-khung
2.5.1

2.5.2

..........................................................

61

Phân giải nguyên tử của các toán tử tuyến tính bị
c h ặ n ...............................................................................

61

Xây dựng các khung qua các g - k h u n g ...................

62

K ế t lu ậ n
T ài liệu t h a m k h ả o

65

66


M ở đầu

1. Lí do chọn đ ề tà i
Trong khi nghiên cứu các không gian vectơ, một trong những khái niệm
quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhò đó mỗi vectơ trong không gian
có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở, nhò đó
mỗi vectơ trong không gian có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các
phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên, điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt:
không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở.
Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí là không tìm được các cơ sở
thỏa mãn một số điều kiện bổ sung. Đây là lý do để chúng ta đi tìm
một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là một công cụ như vậy.
Khung cho phép ta biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ
hợp tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng không đòi hỏi tính
độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung.
Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [5] trong
khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã
không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải m ất gần
30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young
[10] đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong
ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của
Daubechies,Grossmann và Meyer [3] ra đời, lý thuyết khung mới bắt
1


đầu được quan tâm rộng rãi. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín
hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ liệu...

Gần đây có một số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được
đưa ra, ví dụ như các khung của các không gian con [1] (Frames of sub­
spaces), các giả khung [6] (Pseudo frames). Tất cả các khái niệm tổng
quát hóa này đều đã được chứng minh là hữu ích trong nhiều ứng dụng.
Các khái niệm này đều có thể xem như các trường hợp đặc biệt của gkhung và nhiều tính chất cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g-khung.
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về g-khung và g-cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert trên, nhò sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô
giáo TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu
"G-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert 11 thực hiện luận
văn tốt nghiệp.

2. M ụ c đích n gh iên cứu
Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về các g-khung và g-cơ sở Riesz trong
không gian Hilbert.

3. N h iệm vụ n gh iên cứu
Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung
trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử
khung và khung đối ngẫu, mối liên hệ giữa khung và cơ sở Riesz, các
đặc trưng của khung và cơ sở Riesz. Khái niệm và các ví dụ về g-khung
và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử g-khung và g-khung
đối ngẫu, mối liên hệ giữa g-khung và g-cơ sở Riesz, số dư của g-khung,
ứng dụng của g-khung.

2


4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm vi n gh iên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz, g-khung và
g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert.

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên
quan đến g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian Hilbert.

5. P h ư ơ n g pháp n gh iên cứu
Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề. Thu
thập tài liệu các bài báo về g-khung và g-cơ sở Riesz trong không gian
Hilbert. Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.

6. Đ ó n g góp m ới
Luận văn trình bày một cách tổng quan về g-khung và g-cơ sở Riesz
trong không gian Hilbert.

3


Chương 1
K hung và cơ sở R iesz tron g không
gian H ilbert
Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [6] trong
khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã
không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30
năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young [10]
đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh
chuỗi Fourier không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies,
Grossmann và Meyer [4] ra đòi, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan
tâm rộng rãi. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết
mật mã, nén dữ liệu...

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn
bị cho chương sau. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài

liệu tham khảo [2]-[5], [9], [10].

1.1

Toán tử tu y ế n tín h bị chặn trên k h ôn g gian
H ilb ert

Toán tử tuyến tính

T từ

không gian Hilbert

J~c vào

không gian Hilbert

X là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0

4


sao cho
||Tæ|| < c ||æ|| , với mọi X G K
‘ .

(1.1)

Ký hiệu L(íK,Dc) là tập tấ t cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ J-C
vào X . Khi J-C = X thì L(J-C,X) được ký hiệu đơn giản là L(J-C).

Chuẩn của T G L(íK, X ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
mãn (1.1). Nói một cách tương đương,
||T|| = sup{||T æ || : X G X , ||æ|| < 1}
= sup { ||T æ ||: æ G i K ,||æ || = l } .
M ệ n h đ ề 1.1.1. Giả sứ X , L , X là các không gian Hilbert. Nếu T G

L(x,x)

thì tồn tại duy nhất một phần tứ T* G

L(x,x)

sao cho

(T*x, y) = {x, T y ) , (x G X , y G JC)
Hơn nữa,

%) (aS + bTỴ = ãS* + bT*.
n) (RSỴ = S*R*.
in) (T*y = T.
iv) I * = I.
V) Nếu T khả nghịch thì T* cũng khả nghịch và (T -1 )* = (T*) 1,
trong đó S , T G L (Jí, X ), R G L ( X , L ) t/àữ,Ò G c .
Toán tử T* ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử
T.
M ệ n h đ ề 1.1.2. Giả sử T G L ị ĩ í , x ) và
i) \\Tx\\ < ||T|| ||a:|| ,\/x G JC.

n) lisril < ||S||||r||.
H i) r i l = ||T *||.

tv) | | r r * | | = ||T ||2.

5

s G L (X ,L ).

Khi đó


Cho T G L(!K). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T, là
unita nếu T * T = TT* = I. T được gọi là chuẩn tắc nếu T * T = T T * .
T được gọi là dương (ký hiệu T > 0) nếu (T x , x ) > 0 với mọi X G K
“.
T , K G L (íK ),T > K nếu T — K > 0. T được gọi là xác định dương
nếu tồn tại M > 0 sao cho ( T x , x ) > M ||æ ||2, Væ G K
“.
Chú ý rằng với mỗi T G L(íK) thì (T * T x , x) = (T x , T x ) > 0 với mọi
X G ÍK. Do đó T * T là dương.
M ệ n h đ ề 1.1.3. Giả sử T G L(íK). Khi đó
i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu ( T x , x ) là thực với mọi X G K
‘ .
Đặc biệt, toán tử dương là tự liên hợp.
ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hướng) từ J-C lên J-C.
Ui) T là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu \\Tx\\ = ||T*æ|| với mọi X G J-C.
M ệ n h đ ề 1.1.4. Giả sử T G L(íK). Khi đó các điều sau đây là tương
đương
i) T là dương.
ii) T = s 2 trong đó s là toán tứ dương,

ni) T = v * v trong đó V G L(íK).
Toán tử s trong ii), là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T ,
ký hiệu là Ta.
M ệ n h đ ề 1.1.5. Nếu U G L(df) là toán tứ tự liên hợp thì \\u\\ =
sup \{Uf, f)\ .
11/11=1
Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán
tử mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp. Bổ đề dưới đây đưa ra
một điều kiện để đảm bảo sự tồn tại của một nghịch đảo phải.

6


B ổ đ ề 1.1.1. Cho K
“ ,% là các không gian Hilbert, và giả sử rằng ư :
% —ì J-C là một toán tứ bị chặn với miền giá trị đóng R ụ . Khi đó tồn
tại một toán tử bị chặn

: Ji —> X mà
U U 'f = f, V f e R ụ .

C h ứ n g m in h . Xét hạn chế của ư trên phần bù trực giao của hạt nhân
của ư , tức là
ữ := ư ịN±
Rõ ràng u là tuyến tính và bị chặn, u cũng là đơn ánh: nếu U X = 0,
theo đó ï G N y n N ụ = {0}. Bây giò ta chứng minh rằng miền giá trị
của ư bằng với miền giá trị của ư . Cho y G R u , tồn tại
U x = y. Bởi

X

X

G X sao cho

= X\ + X 2 , trong đó X\ G N y , X 2 G N y , ta có được
U X\ = ƯXi = ư ( x i + x 2) = U x = y.

Mà ư có một nghịch đảo bị chặn
([/)

: R u —> N y .

~ _1
Thác triển ([/)
bằng cách cho bằng 0 trên phần bù trực giao của
R u ta có được một toán tử bị chặn

: Ji —> X mà u u ^ f = / với mọi

/ € RuToán tử

n
được xây dựng trong chứng minh Bổ đề 1.1.1 được gọi là

giả nghịch đảo của u . Trong các tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo
của một toán tử

u với miền giá trị đóng

R u được định nghĩa là toán tử

duy nhất thỏa mãn
N ut = R ị,, R ut = N ¿ v i í / c / t / = / , V / e R u.
định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên. Bổ đề sau cho ta
một số tính chất của

và mối quan hệ của nó với u .

7


B ổ đ ề 1.1.2. Cho ư : X —> Ji là một toán tứ bị chặn với miền giá trị
đóng. Khi đó
i) Phép chiếu trực giao của Ji lên R u được cho bởi ư ư ^ .
ii) Phép chiếu trực giao của X lên R ụ t được cho bởi u ^ u .
iii) ư* có miền giá trị đóng, và (ỉ/*)t = (ỉ/t)*.
iv) Trên R ụ , toán tử ư t được cho rõ ràng bởi

[/t = U*(UU*)~l.
Đ ị n h lý 1.1.1. Cho V : X —> TC là toán tứ tuyến tính toàn ánh, bị
chặn. Với mỗi y G Tí, phương trình VX = y có một nghiệm duy nhất có
chuẩn cực tiểu, cụ thể là

X

= v^y

C h ứ n g m in h . Do v v ^ x =
X

X

.

với mọi

X

thuộc miền giá trị của V nên

= V^y là nghiệm của phương trình V x = y. Tất cả các nghiệm của

phương trình V x = y phải có dạng

X

= v^y +

z

trong đó

z

thuộc nhân

K e r V của V. Do v ^ y G (K e r V ) 1 nên
lla'l|2 = II V ^y + z ||2 = II v ^ y II2 + ||z||2.
Từ đó

X

có chuẩn cực tiểu khi và chỉ khi

1.2

K h u n g tro n g k h ôn g gian H ilb ert

z

= 0.

□

Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan
trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian
như một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên
điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính
giữa các thành phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực
giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc
thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là
lý do người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn.
8


Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian vectơ được
trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian
được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,
nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần

thiết.
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết
khung cần đến cho chương 2. Các kết quả ở mục này có thể tham khảo
ở các tài liệu [2]-[5], [10].
Cho J-C là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng (•, •) tuyến
tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần
thứ hai.

Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.1. Dãy

trong K
“ được gọi là dãy Bessel nếu

3B > 0 : E \(f, / ,} |2 < B ll/ ll2 , V / s X .
i=1
B được gọi là cận Bessel của
Một dãy Bessel

(1.2)

•

là một khung nếu
00

3A > 0 : A ||/||2 < E | ( / , / , ) | 2,V / e X .
i=1

(1.3)

Vậy ta có định nghĩa khung như sau.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.2. Một dãy { / 1 }°°! trong J~c là một khung nếu tồn tại
hai hằng S0 O < A < B < 0 0 sao cho
00

^ll/l|2 < £ l ơ , / . > | 2
(1.4)

i=1
Các số A , B được gọi là các cận của khung. Chúng không là duy nhất.
Cận khung dưới tối ưu là superemum trên tấ t cả các cận khung dưới và
9


cận khung trên tối ưu là infimum trên tấ t cả các cận khung trên. Chú ý
rằng, các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung { / 1 } ° ^ được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval
nếu A = B = 1.
M ệ n h đ ề 1.2.1. Cho một dãy
chiều V. Khi đó

trong không gian Hilbert hữu hạn

là một khung cho span

.

C h ứ n g m in h . Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả các fi đều
bằng không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với

B =
tục

m

2

\\fj\\ . Bây giò lấy w := span

và xem xét ánh xạ liên

j=i
m

:= E \{f, fi)\23= 1

Mặt cầu đơn vị trong w là compact, vì vậy ta có thể tìm g G w với
11<711 = 1 sao cho

m
A:=Ẽ\{9,fj)\
j=i

I m
= inf \ Ẽ \ { f , f j ) \
U=1

I
■f € w , ll/ll = 1 > .

J

Rõ ràng là A > 0. Bây giò ta lấy / G w , / 7^ 0, ta có
AL

O

3j ==11

AL
=1
3j=1

/

f

'11/11

\

\f\r>A\\f\

'

□

Mệnh đề được chứng minh.

H ệ q u ả 1 . 2 . 1 . Một họ các phần tứ { f j } m=1 trong không gian Hilbert

hữu hạn chiều V là một khung của V khi và chỉ khi span { f j } m=1 = V .
Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần
tử cần thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu { f j } k=ì là một khung của V và
là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì { f j } k=ìC { g j} m=ì
cũng là một khung của V.
10


Vz 1

V í d ụ 1.2.1. Lấy J-C = R 2, t \ = (0, 1)T, e 2

e3 =

'\/3

T ’ 2

1

{ei, e 2 , 63} là một khung chặt với cận khung là —.
T hật vậy, với

Ể |
X

= (íEi, æ2)T G R 2 bất kì, ta có
V3

ej )\2 = x 22 +

V3

2 æi + 2æ2

j=i

+

I " 2 ~Xl

■ 2*2

= I [æi2 + æ22]
= 3 „2
2 æ '
V í d ụ 1.2.2. Giả sử {efc}^°=1 là một cơ sở trực chuẩn của K
“.
(i) {efc}^°=1 là khung Parseval.
(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {Cfc}^°=1 hai lần ta thu được
{ A K L i = {ei> e i> e2; e2; ■■■ } khi đó {/fc}fc°=i là khung chặt với cận
khung A = 2.
00

T hật vậy, ta có

E

00

E

l ơ , A}| = 2

k= 1

l ơ , efc>|2 = 2 | | / | | 2, V / g 3t.

fc=l

Nếu chỉ ei được lặp lại ta thu được {/fc}fc°=i = {ei, ei, e 2 , e 3 , ... } khi
đó {/fc}fc°=i là khung với cận A = 1, B = 2. T hật vậy, ta có
00

00

E l ơ , / O I 2 = lơ > e0 Ị 2 + E l ơ , eO I2
fc=l

fc=l
00

00

< E l ơ , efc)|2+ E l ơ , eO I2
fc=l

fc=l

00

= 2 E l ơ , eO I2
fc=i

= 2 ||/||2.
00

00

Mặt khác l ơ , e0 12 + E l ơ , eOI2 > E l ơ , eOI2 = ll/ll2fc=l

fc=l

11


D o đó

/l|2< £ l ơ , /fc)|2 < 2||/||2, V/ e Jí.
fc= l

Vì vậy

là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận

khung trên là 2.

/

1

1

1

1

1

1

(iii) Giả sử {fk}ĩ= i '■= Ị ei) -ụ ^ e 2, ự ^ e 2, ự ^ e 3, ự ^ e 3, ự ^ e 3, .. . Ị,

1

v

nghĩa là {/fc}^! là dãy mà mỗi véc tơ ự=efc được lặp lại k lần. Khi đó
với mỗi / G J-C có
00

E i ơ .

fc=i

00

/*>I2 = I >
fc=i

Vì thế {/fc} là một khung chặt của J-C với cận khung Ả = 1.
V í d ụ 1.2.3. Cho K = L 2( T ) trong đó T là đưòng tròn đơn vị với độ
đo Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó {eins : n G z } là một cơ sở trực chuẩn
tiêu chuẩn cho K = L 2(T). Nếu E c T là tập đo được bất kỳ thì
{eins\E : n € z } là một khung Parseval cho L 2{E).
T hật vậy, trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau.
B ổ đ ề 1.2.1. Cho Ji là không gian Hilbert và X là không gian con đóng
của J~c. Gọi p là phép chiếu trực giao từ J~c lên X và

là một cơ

sở trực chuẩn của 3~c. Khi đó {P e ị} ieI là một khung Parseval của X .
C h ứ n g m in h . Gọi / là một phần tử thuộc X bất kỳ. Khi đó P f = f .
Ta có

E lơ. Pe<)I2 = E lơ/. ƠI2 = E lơ, e,)i2 = II/II2.
iel

iel

iel

Do đó { P e ị} ieI là một khung Parseval của X .
Bây giờ ta sẽ chứng minh {ei ns\

□

„ là môt khung Parseval cho L 2(E).

—
~
f f ( t ) nếu t G E
Cho / G L 2(E). Đặt f ( t ) = ị
.
.
i 0 nếu t G T \ E .
12


Khi đó f ( t ) G L 2(T). D o đó bằng cách đồng nhất / và / ta có thể coi
L 2( E) là một không gian con đóng của L 2(T). Gọi p là phép chiếu trực
giao từ L 2{T ) lên L 2(E). Khi đó p { e ins) = eins\E . Do {eins} eZ là cơ
sở trực chuẩn của L 2{T ) nên, theo Bổ đề 1.2.1 {eins\£)}

z là khung

Parseval cho L 2(E).
Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.3. Dãy {fk}™=1 được gọi là đầy đủ trong K
“ nếu
spõn{/fc}“= 1 = ÍK.
B ổ đ ề 1.2.2. Nếu {fkYkLi là một khung của K
“ thì {fkYkLi là một dãy
đầy đủ trong J-C.
C h ứ n g m in h . Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g Ỷ 0
thuộc % sao cho <7_Lspan {fk}kL\- Khi đó (g, f k) = 0, Vfc. Khi đó
|(<7,/fc)|

= 0. Mặt khác, do {/fc} là một khung nên tồn tại 0 <

fc=i
Ả < + 0 0 sao cho A | | / | | 2 <

|( /j/f c ) |2j V / G ÍK. Cho / = g ta được
fc=i

A||<7||2 <

\(g, /fc)|2 = 0. Do g Ỷ 0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên chứng
fc=i '
tỏ span{/fc}“=1 = K
‘ .
□
Đ ị n h lý 1.2.1. Giả sử { f k}^=ì là một dãy trong 'K. Khi đó { f k}^=ì là
một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
00

T ■{Cfc}“=1 -> 5 > fc/ fc
fc=i

(1.5)

là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ /2(N) vào J~c và
||T|| < Ự b .
C h ứ n g m in h . Trước hết, giả thiết { f k}^=ì là dãy Bessel với cận Bessel
B. Giả sử {Cfc}“=1 G /2(N). Ta phải chỉ ra T { c k}™=1 là hoàn toàn xác

13

00

định, tức là E ckfk là hội tụ. Xét m , n G N, n > ra. Khi đó
fc=i
n

m

ckf k
fc=l

E

Cfc/fc

ckf k

fc=m+1

fc=l

sup
l|p|| = l
<

(.

E

Ckỉkì 9 /

'fc = m + l

'

sup
£
|cfc(/fc, g)\
IPII= 1 fc=m+1
1/2

< (

Ề

|cfc|2)

'fc = m + l

'

_ /
< V

bỉ

sup
IlPII= 1

(

Ề

\(fk, g ) I2)

'fc = m + l

'

n

\l/2
w ’
\A
*=m-I-1
'
ẻ

Do {cfc}~=1 G /2(N), ta biết rằng I £ |cfc|2 Ị
là dãy Cauchy trong
U=1
J n=i

(

71

1

c.

00

Tính toán trên chỉ ra rằng ị £ Cfc/fc f
là một dãy Cauchy trong Ji
U =1
J n= l
và do đó hội tụ.
Vậy T{cfc}^°=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T là tuyến tính. Từ
llT { * K L ill = SUP KT
M=1

, 9)\,

tính toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và ||T|| < y/B .
Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T : l2 (N) —> H được xác định bởi
(1.5) là hoàn toàn xác định và ||T|| < y /B . Gọi T* : H —> l2 (N) là toán
tử liên hợp của T . Gọi

{ e j }°°=1

là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 (N),

tức là hệ gồm các véctơ ej, bằng 1 ở vị trí thứ j , bằng 0 ở các vị trí còn
lại. Từ (1.5) ta suy ra T (efc) = f k. Khi đó
( T ' f , e k) = ư , T e k) = { f , f k) .
Từ đó
T ' f = { ( / , / * ) } “.!
14

và
rj-\*

T||2||/||2 < 5 ||/ ||2.

E K /./* > l* = P " / l f <
fc=l

Do đó

□

là dãy Bessel với cận Bessel B.
00

H ệ q u ả 1.2.2. Nếu

là một dãy trong !K và

Ckfk hội tụ với
k=1

mọi {cjfc}^°=1 G /2(N) thì

là một dãy Bessel.
00

Đ ị n h n g h ĩa 1.2.4. Chuỗi

Ọk trong không gian Banach X được gọi
k=1
00

là hội tụ không điều kiện nếu

9ơ{k) hội tụ tới cùng một phần tứ với
k=1

mọi hoán vị ơ.
00

H ệ q u ả 1.2.3. Nếu

là một dãy Bessel trong "K, thì XI ckfk hội
k=1
tụ không điều kiện với mọi {Cfc}^°=1 G /2(N).
Do một khung { f k } ^ =i là một dãy Bessel nên toán tử
00

T : i2(N) -> K, T {cfc}~ ! = x ; ct f t
k=1
bị chặn bởi Định lý 1.3.1. T được gọi là toán tử tổng hợp.
Gọi T* : Ji —> /2(N) là toán tử liên hợp của T và {ej}°°=1 là cơ sở trực
chuẩn chính tắc của l2 (N).
Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có

(T'f, ej) = Từ đó T * f = { ( /,

T* được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành

của T và T* được gọi là toán tử khung

s : 3Í -►X, S f = T T ' Ỉ = x ; (/, f t ) f k.
k=1
15


M ệ n h đ ề 1.2.2. Giả sứ {/fc}^! là một khung với toán tứ khung s và
các cận khung A, B . Khi đó ta có các khẳng định sau.
(i) s tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tứ dương;
(ii) {S' 1/fc}^°_1 là khung với các cận B 1, A 1, nếu A, B là các cận tối
ưu của

thì các cận B ~ l , A ~ l là tối ưu của

. Toán tứ

khung của { s -1 f k } ^ =1 là S'- 1 .
C h ứ n g m in h , (i) s bị chặn như một sự hợp thành của hai toán tử bị
chặn. Ta có:
\\s\\ = \\TT*\\ < \\T\\ . \\T* II = ||T ||2 < B .
Do s* = ( T T * y = TT * = s , toán tử s là tự liên hợp. Bất đẳng thức

A|i/ii2<EK/,A>i2<.Bimi2
có thể viết thông qua toán tử s là

A\\ff < (Sf, f) < B||/||2, V/ e Jí.
Từ đó A I < s < B I , do đó s dương.

B - A
Ngoài ra, 0 < I — B 1S < --------- / và vậy thì

||/ - B-'SlI = sup |((/ - B~ls) f , f )I <

< 1.

11/11= 1

a

Do đó, ta có s là khả nghịch.
(ii) Chú ý rằng với f E TC,
oo

T

00

1

E |</,S-‘A>| = E Ks-'/./PI2
fc=l

fc=l

< Bị ị s ^ ỷ ị ị 2

< ổ ||s-1||2||/||2.
Nghĩa là, { s ~ 1f k}™ ì là một dãy Bessel. Từ đó kéo theo toán tử khung

của {5'_1/ f c } ^ 1 hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa nó tác động lên
f e ĩ í bởi
16


00

00

E (/.s-'/Ps-'A = s - 1 Ẽ {s-'f, h)h

k=1

fc= l

= S-'SS-'f = 5 - 7 .
Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của {<5'_7fc}^°_1 bằng S'-1 . Toán
tử S'-1 giao hoán với cả s và I. Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức
A I < s < B I với S'-1 , điều này cho ta:
ß - 1/ < 5 - 1 < A ~ l I.
Tức là

-B-1||/||2 < (5 -1/ ,/ > < j4-1||/||2, V / s Jt.
Ta có
00

S-1II/II2< Ẽ K/,s-7*>|: îiA-'Wff.Vfex.
k= 1

Vì vậy, {<5'_7fc}^°=1 là một khung với các cận khung B~l , A~l .

Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp A, B là các
cận tối ưu của {/fc}fc°=i)’ siử sử A là cận dưới tối ưu của {/fc}fc°=i và giả
I
thiết rằng cận trên tối ưu của {<5'_7 fc }fc_ 1 là c <
Bằng cách áp dụng điều ta vừa chứng minh cho khung {<5'_7 fc }fc=1
toán tử khung s ~ l , ta thu được

= |( 5 ' _1) 1*S'_7 f c |

có cận

dưới là — > A, nhưng điều này là mâu thuẫn,
ty
Vì vậy, { s ~ 7fc}r=

có cận trên tối ưu là —. Lập luận tương tự cho cận

dưới tối ưu.

□

Khung { 5 - 7 7 được gọi là khung đối ngẫu của {/fc}.
Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan
trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {/fc} là một khung của “
K thì mọi phần
tử trong J~c có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các
phần tử khung. Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy
rộng.
17

Đ ị n h lý 1.2.2. Giả sứ {/fc}^! là một khung với toán tứ khung là s .
Khi đó
00

/ = E
(1 .6)

fc=l

chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f £ !K.
C h ứ n g m in h . Giả sử / G K
“ . Sử dụng các tính chất của toán tử khung
trong Mệnh đề 1.2.2 ta có
00

00

/ = S 5 - 1/ = £

U ) U = Y .
i=l

Do

i=l

là một dãy Bessel và { ( / ,

s~lỊk) }^°_1 G /2(N), theo

1.2.3 chuỗi hội tụ không điều kiện.
B ổ đ ề 1.2.3. Giả sử

hệ quả
□

là một khung của K
“ và f G K
“ . Nếu f có

00

biểu diễn f = E Ckfk với các hệ số {Cfc}^°=1 nào đó thì
k=1
00

Ẻ

00

M 2= E

fc=l

00

l</ , •S"1A > |2 + E

fc=l

h

- < / . 5-1 A > |2-

(1.7)

fc=l

C h ứ n g m in h . Ta có thể viết
ck = c k - { f , S - ‘ A> + 00

Do

E

00

Ckfk =

fc=l

E

(/,

s _1/fc) /fc nên

fc=l
00

T, (ck- { f , s - 1h) ) h = 0.

(1.8)

fc=l

Gọi

T là

toán tử tổng hợp tương ứng với dãy

{fk}^=i- Khi

tương đương với
T ( ị c „ - ị f , s - ' f k) } ~=1) = 0
18

đó (1.8)


hay {cfc — ( / ,

s - 1 fk)}™=1 G N

(T ) trong đó N (T) ký hiệu là hạt nhân

của T.
Mặt khác

{</,•S'-1A>}” 1 = {(S'-1/ , /*>}“ , =r* (5-7) g RỢ"),
trong đó R (T*) ký hiệu là miền giá trị của T * .
Do R (T*) = N (T )1 nên {cfc - ( / , s _1/fc)}r= 1 vuông góc vai { ( / , s _1/fc)}r=r
Từ đó

M 2 =i(/,s-7P i 2 + h - ( / , s - i./t>i2.
Từ đó ta suy ra (1.7)

□

Như một hệ quả của Bổ đề 1.2.3 ta thu được một công thức cho toán
tử giả nghịch đảo của toán tử tổng hợp.
Đ ị n h lý 1.2.3. Giả sử
toán tứ khung

s.

là một khung với toán tử tổng hợp T và

Khi đó T"1f = { ( / , 5'_1/fc)}^°=1 .

M ệ n h đ ề 1.2.3. Các cận tối ưu của khung

là A, B được cho

bởi A = I l s - 1!!“ 1 = ||T t ||“ 2 , B = IISII = ||T ||2 .

C h ứ n g m in h . Theo định nghĩa ta có
B = sup Ễ |( /,/f c ) |2 = sup \ ( S f J ) \ = ||S||
11/11=1 fc=i
11/11=1
Sử dụng kết quả này cho khung đối ngẫu {£'-1 / f c } ^ 1 (có toán tử khung

s~l và cận trên tối ưu —
theo Mệnh đề 1.2.2 ) ta thu được — = \\s~l II.
_
A
__
_ A
_
11
Để chứng minh phần còn lại, từ s = T T * kéo theo IIS'il = IlTT* Il =
||T ||2. Cuối cùng theo Định lý 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.2,
oo
*1

iiTt/ii2= Ễ K/.s-'A>r< 711/ 112

A-

fc=l

1
n .„2
1
mà — là hằng số dương nhỏ nhất có the nên T T = — .

19

□


Đ ị n h lý 1.2.4. Việc loại bỏ véc tơ f j ra khỏi một khung

của J-C

sẽ tạo thành một khung khác hoặc một dãy không đầy đủ. Cụ thể hơn, nếu
( f j , S ~ 1f j ) Ỷ 1 thì { f k } k^j là một khung của K
‘ , nếu (f j , s -1 /,-) =
1 thì { f k} k-ij là một dãy không đầy đủ.
C h ứ n g m in h . Chọn bất kỳ j G N . Bởi sự phân tích khung,
00

/,= Ẽ ( ỉ i . s^t ì h.

k=1

00

Đặt ak = ( f j , S ~ 1f k) vì thế f j = E akf k. Rõ ràng, ta cũng có
fc=i
ôj fc/fc vì thế Bổ đề 1.2.3 mang lại quan hệ sau giữa ôj,k và ak.

kỶi
00

00

1= E
fc=i

00

= E KI
fc=i

+ E K - ỗj,kI
fc=i

= K | 2 + E la fc|2 + I

— 1|2 + E K | 2-

kỶó
Ta xét từng trường hợp CLj = 1 và CLj Ỷ 1 • Đầu tiên, cho ũj = 1 , từ
công thức trên E K | 2 = 0 , vì vậy mà
ak = ( S - 1f ] , f k) = 0 , V k ^ j .
Từ CLj = (51-1 f j , f j ) = 1, ta biết
tử khác không

s~lf j

s~lf j

Ỷ 0- Vì vậy, ta tìm được phần

mà trực giao với { f k} k^j, vì thế {/fc}fc/ j là không

đầy đủ.
Bây giờ cho CLj Ỷ 1) thì f j = — -— E ữfc/fc. Với bất kỳ / G K
‘ , bất
1 - CLj k^j
đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta

20