Bài tập lớn môn học Phân tích phi tuyến kết cấu sử dụng phần mềm CALFEM 3.4 TS Ngô Hữu Cường Cao học Chuyên ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa TP.HCM

TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

TIỂU LUẬN
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU
CAO HỌC NGÀNH: XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH
DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP KHÓA 2012
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I. Tìm tải tới hạn đàn hồi bằng phương pháp phương trình vi phân
1. Cột hai đầu khớp
a. Giả thiết
- Cột thẳng tuyệt đối
- Lực tác dụng đúng tâm
- Bỏ qua biến dạng do cắt
- Mặt cắt ngang trước biến dạng vẫn còn phẳng sau biến dạng
- Vật liệu tuân theo định luật Hooke
- Chuyển vị nhỏ
b. Sử dụng phương trình vi phân bậc 2

Hình 1.1. Cột hai đầu khớp
Phương trình cân bằng:

NHÓM 04

Trang 1


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

 M int  Py  0
 EIy ''  Py  0
 y ''  k 2 y  0
Với: k 2 

1.1

P
EI

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) là:

y  A sin kx  B cos kx

1.2 

Xác định các hệ số A và B:
Các điều kiện biên:

 y (0)  0


 y ( L)  0

1.3a 
1.3b 

Từ các điều kiện (1.3a) và (1.3b), suy ra:

 B0

 A sin kL  0

1.4 

Giả phương trình (1.4), nếu:
-

Với A  0 thì phương trình (1.4) có nghiệm tầm thường → y = 0 (cấu hình không biến
dạng, đường cơ bản).

-

Với sin kL  0 thì phương trình (1.4) có nghiệm không tầm thường: kL  n , n = 1, 2,
3,…

k

n
n 2 2 EI
P
L
L2

Lực tới hạn ứng với giá trị nhỏ nhất của n (n = 1):

Pcr 

 2 EI

L2

→ Lực Euler

Cấu hình biến dạng:
y  A sin

x
L

2. Cột một đầu ngàm, một đầu tự do
a. Sử dụng phương trình vi phân bậc 4

NHÓM 04

Trang 2


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

Hình 2.1. Cột một đầu ngàm, một đầu tự do
Xét một đoạn cột như hình 2.1, ta có:
Phương trình cân bằng:

NHÓM 04

Trang 3

TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG


dM 

  M b  Qdx  Pdy  M   M  dx dx   0




 F  Q   Q  dQ dx   0


 y
dx 


 2.1
 2.2 

Từ phương trình (2.1), suy ra:

dM
dy
P
dx
dx

2
dQ d M
d2y


P 2
dx
dx 2
dx
Q

Từ phương trình (2.2), suy ra:

dQ d 2 M
d2y


P 2 0
dx
dx 2
dx

 2.3

Ta có:

M   EI

d2y
dx 2

 2.4 

Thay giá trị (2.4) vào phương trình (2.3), ta được:
d4y
d2y

P
0
dx 4
dx 2
 y IV  k 2 y ''  0
EI

Với: k 2 

 2.5 

P
EI

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.5) là:

y  A sin kx  B cos kx  Cx  D

 2.6

Xác định các hệ số A, B, C và D:
Các điều kiện biên ở hai đầu:
-

Tại chân cột

 y (0)  0
 '

 y (0)  0

-

 2.7a 
 2.7b 

Tại đầu cột

NHÓM 04

Trang 4


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

 2.8a 

 y '' ( L)  0


dM

d3y
dy
V



EI
P

3
dx
dx
dx


 2.8b 

Từ các điều kiện (2.7a) và (2.7b), suy ra:

 BD 0

 Ak  C  0

 2.9 

Từ các điều kiện (2.8a) và (2.8b), suy ra:

 A sin kL  B cos kL  0

C 0



 2.10 

Ta có thể viết dưới dạng ma trận từ các biểu thức (2.9) và (2.10) như sau:

1
1   A  0 
 0
   
 k
0
0  B   0

sin kL cos kL 0  D  0

 2.11

Để hệ phương trình (2.11) có nghiệm không tầm thường thì:

1
1
 0
det  k
0
0   0
sin kL cos kL 0 
 k cos kL  0

 2.12 

Với k  0 thì:

cos kL  0
n
2
n
k 
2L
 kL 

Với n = 1, 3, 5,…
Lực tới hạn ứng với giá trị nhỏ nhất của n (n = 1):

Pcr  k 2 EI 

 2 EI
4 L2

Trường hợp tổng quát khi tính toán Pcr của cột chịu nén đúng tâm với các điều kiện
biên khác nhau là:

Pcr 

NHÓM 04

 2 EI

 KL 

2

Trang 5


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

với K là hệ số chiều dài tính toán phụ thuộc dạng liên kết, lấy theo bảng sau:
Bảng hệ số chiều dài tính toán K

3. Khung một tầng, một nhịp:
Xét khung chịu tải như hình sau

NHÓM 04

Trang 6


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

Hình 3.1. Khung một tầng, một nhịp
Xét cột, phương trình cân bằng:
 M int  Pyc  0

 EI c yc''  Pyc  0
 yc''  kc2 yc  0

Với: kc2 

3.1

P
EI c

Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) là:
NHÓM 04

Trang 7


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

yc  A sin kc xc  B cos kc xc

3.2 

Xác định các hệ số A và B:
Các điều kiện biên:

3.3a 
3.3b 


 yc (0)  0



 yc ( Lc )  

Từ các điều kiện (3.3a) và (3.3b), suy ra:
 B0



 A  sin k L
c c


3.4 

Thay giá trị (3.4) vào biểu thức (3.2), ta được độ võng ngang của cột:
yc 


sin kc xc
sin kc Lc

3.5 

Mô men M B tại đầu cột:

3.6 

M B  P
Từ phương trình (3.6), ta có độ lệch ngang  :


MB
P

3.7 

Thay giá trị (3.7) vào phương trình (3.5), ta được:
yc 

MB
sin kc xc
P sin kc Lc

3.8 

Ta có:

 yc' 

kc M B
cos kc xc
P sin kc Lc

3.9 

Thay xc  Lc vào biểu thức (3.9), ta được:

 yc'  Lc  

kc M B

P tan kc Lc

3.10 

Xét dầm, phương trình cân bằng:

NHÓM 04

Trang 8


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

 M int 
 M int 

2M B
xb  M B  0
Lb

2M B
xb  M B
Lb
2M B
xb  M B
Lb

 EI b yb'' 
 yb'' 

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

M B  2 xb 
 1

EI b  Lb


3.11

Nghiệm tổng quát của phương trình (3.11) là:

yb  Cxb  D 

M B  xb3 xb2 
 

EI b  3Lb 2 

 3.12 

Xác định các hệ số C và D:
Các điều kiện biên:

 yb (0)  0


Lb
 yb ( )  0
2



3.13a 
3.13b 

Từ các điều kiện (3.13a) và (3.13b), suy ra:
 D0


M B Lb
C  6 EI
b


3.14 

Thay giá trị (3.14) vào biểu thức (3.12), ta được độ võng ngang của cột:

M B Lb
M B  xb3 xb2 
yb 
xb 
 

6 EI b
EI b  3Lb 2 

3.15



M B Lb M B  xb2
y 

  xb 
6 EI b EI b  Lb


 3.16 

Ta có:
'
b

Thay xb  0 vào biểu thức (3.16), ta được:
 yb'  0  

M B Lb
6 EIb

3.17 

Theo điều kiện liên tục tại nút B, ta có:

NHÓM 04

Trang 9


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

yc'  Lc   yb'  0 


kc M B
M L
= B b
P tan kc Lc
6 EI b


kc
L 

 b MB  0
 P tan kc Lc 6 EI b 
kc
L

 b 0
P tan kc Lc 6 EI b

 3.18 

 6kc Lc  kb2 Lb Lc tan kc Lc  0

Với: kb2 

P

EI b

Trường hợp đặc biệt:

 Lb  Lc  L

 kb  kc  k

3.19 

Thay giá trị (3.19) vào phương trình (3.18), ta được:

 6kL   kL  tan kL  0
2

 kL  1,35
k 

1,35
L

3.20 

Lực tới hạn đàn hồi Pcr :
2

EI
 1,35 
Pcr  k 2 EI  
 EI  1,82 2

L
 L 
II. Tìm tải tới hạn đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn
- Hệ phương trình cân bằng có xét đến phi tuyến hình học:

F   ke  k g   

 A
 
 
 
 
E
F    
L
 
 
 
 
 
 

NHÓM 04

0
12 I
L2

0
6I

L

A

4I

0

0

A

 symm

0
12 I
 2
L
6I
L
0
12 I
L2






2 I  Fx 2

 L
0 

6I
 
L
4 I 
0
6I
L

1














0
6
5

0
L
10
2 L2
15

1
0
0
1

 symm

0
6
5
L

10
0
6
5

0 

L  
10    u1 
 
L2    v1 
   

30   1 
. 
0   u2 

L    v2 
 
10    2 


2 L2  
15  

Trang 10


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU
-

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

Tăng dần tải trọng, xác định ma trận độ cứng tổng thể có xét điều kiện biên Kred . Tải
trọng tương ứng khi Kred suy biến là tải tới hạn Pcr.

B. ÁP DỤNG TÍNH TOÁN
1. Ví dụ 1: Cột hai đầu khớp chịu nén đúng tâm (hình 1.1)
a. Kết quả giải tích
Các thông số đầu vào:

 A  4.103 m2 ; I  3,301.106 m4 ; E  199.106 kN m2


 P  100kN ; L  4m;
Lực tới hạn đàn hồi Pcr :

Pcr 

 2 EI
L2



 2 199.106  3,301.106
42

 405, 21 kN 
Hình 1.1

b. Kết quả CALFEM

Bảng 1.1 : Giá trị Pcr theo CALFEM
Số phần tử

1

2

3

4

5

6

7

a

4,927

4,083

4,059

4,055

4,053

4,053

4,053

P (kN)

492,7

408,3

405,9

405,5

405,3

405,3

405,3

cr

NHÓM 04

Trang 11


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

c. Kết quả SAP2000 V14

Bảng 1.2 : Giá trị Pcr theo SAP2000
Số phần tử

1

2

3

4

5

6

7



4,9506

4,09354

4,06848

4,06377



4,06183

4,06158

P (kN)

495,06

409,354

406,848

406,377



406,183

406,158

cr

d. Biểu đồ so sánh kết quả và khảo sát sự hội tụ: (hình 1.2)
e. Bảng so sánh với kết quả
(1)

(2)

(3)

So sánh (%)

GIẢI TÍCH

SAP2000

CALFEM

(1) & (2)

(1) & (3)

(2) & (3)

405,21

406,158

405,3

0,23

0,022

0,21

P. PHÁP

P (kN)
cr

NHÓM 04

Trang 12


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

Hình 1.2: Giá trị Pcr cột hai đầu khớp (ví dụ 1)

2. Ví dụ 2: Cột một đầu ngàm, một đầu tự do chịu nén đúng tâm ( hình 2.1)
a. Kết quả giải tích
Các thông số đầu vào:

 A  4.103 m2 ; I  3,301.106 m4 ; E  199.106 kN m2

 P  10kN ; L  4m;
Lực tới hạn đàn hồi Pcr :

Pcr 

 2 EI

 KL 

2



 2 199.106  3,301.106

 2  4

2

 101,3  kN 
Hình 2.1

b. Kết quả CALFEM
Bảng 2.1 : Giá trị Pcr theo CALFEM

Số phần tử

1

2

3

4

5

6

7

a

1,021

1,014

1,014

1,014

1,014

1,014

1,014

P (kN)

102,1

101,4

101,4

101,4

101,4

101,4

101,4

cr

NHÓM 04

Trang 13


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

c. Kết quả SAP2000 V14

NHÓM 04

Trang 14


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

Bảng 2.2 : Giá trị Pcr theo SAP2000
Số phần tử

1

2

3

4

5

6

7

a

1,02503

1,01782

1,01739

1,01731

1,01729

1,01728

1,01727

P (kN)

102,503

101,782

101,739

101,731

101,729

101,728

101,727

cr

d. Biểu đồ so sánh kết quả và khảo sát sự hội tụ: (hình 2.2)

Hình 2.2: Giá trị Pcr cột một đầu ngàm – một đầu tự do (ví dụ 2)
e. Bảng so sánh với kết quả

P. PHÁP
P (kN)
cr

NHÓM 04

(1)

(2)

(3)

So sánh (%)

GIẢI TÍCH

SAP2000

CALFEM

(1) & (2)

(1) & (3)

(2) & (3)

101,3

101,727

101,14

0,42

0.16

0,58

Trang 15


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

3. Ví dụ 3 : Cột một đầu ngàm – một đầu ngàm trượt (hình 3.1)
a. Kết quả giải tích
Các thông số đầu vào:

 A  4.103 m2 ; I  3,301.106 m4 ; E  199.106 kN m2

 P  10kN ; L  4m;
Lực tới hạn đàn hồi Pcr :

Pcr 

 2 EI

 KL 

2



 2 199.106  3,301.106

 0,5  4 

2

 1620,84  kN 
Hình 3.1

b. Kết quả CALFEM
Bảng 3.1 : Giá trị Pcr theo CALFEM
Số phần tử

2

3

4

5

6

7



16,43

16,57

16,34

16,27

16,24

16,23

P (kN)

1643

1657

1634

1627

1624

1623

cr

c. Kết quả SAP2000 V14

NHÓM 04

Trang 16


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

Bảng 3.2 : Giá trị Pcr theo SAP2000
Số phần tử

2

3

4

5

6

7



16,502

16,6437

16,4093



16,3216

16,3009

P (kN)

1650,2

1664,37

1640,93



1632,16

1630,09

cr

d. Biểu đồ so sánh kết quả và khảo sát sự hội tụ: (hình 3.2)
e. Bảng so sánh với kết quả
P. PHÁP
P (kN)
cr

(1)

(2)

(3)

So sánh (%)

GIẢI TÍCH

SAP2000

CALFEM

(1) & (2)

(1) & (3)

(2) & (3)

1620,84

1630,09

1623

0,57

0,13

0.43

Hình 3.2: Giá trị Pcr cột một đầu ngàm – một đầu ngàm trượt (ví dụ 3)

NHÓM 04

Trang 17


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

4. Ví dụ 4: Cột một đầu ngàm – một đầu khớp (hình 4.1)
a. Kết quả giải tích
Các thông số đầu vào:

 A  4.103 m2 ; I  3,301.106 m4 ; E  199.106 kN m2

 P  10kN ; L  4m;
Lực tới hạn đàn hồi Pcr :

Pcr 

 2 EI

 KL 

2



 2 199.106  3,301.106

 0, 7  4 

2

 826,96  kN 
Hình 4.1

b. Kết quả CALFEM
Bảng 4.1 : Giá trị Pcr theo CALFEM
Số phần tử

1

2

3

4

5

6

7

a

12,317

8,503

8,341

8,307

8,297

8,294

8,292

P (kN)

1231,7

850,3

834,1

830,7

829,7

829,4

829,2

cr

c. Kết quả SAP2000 V14

NHÓM 04

Trang 18


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

Bảng 4.2 : Giá trị Pcr theo SAP2000
Số phần tử

1

2

3

4

5

6

7

a

12,3765

8,5434

8,3808

8,3468

8,3369

8,3332

8,3316

P (kN)

1237,65

854,34

838,08

834,68

833,69

833,32

833,16

cr

d. Biểu đồ so sánh kết quả và khảo sát sự hội tụ: (hình 4.2)

Hình 4.2: Giá trị Pcr cột một đầu ngàm – một đầu khớp (ví dụ 4)
e. Bảng so sánh với kết quả
P. PHÁP
P (kN)
cr

NHÓM 04

(1)

(2)

(3)

So sánh (%)

GIẢI TÍCH

SAP2000

CALFEM

(1) & (2)

(1) & (3)

(2) & (3)

826,96

833,16

829,2

0,75

0,27

0,48

Trang 19


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

5. Ví dụ 5: Khung một tầng, một nhịp (hình 5.1)
a. Kết quả giải tích

Hình 5.1
Các thông số đầu vào:
3 2
5
4
6
2

 Ac  Ab  4.10 m ; I c  I b  6,572.10 m ; E  199.10 kN m ;


 P  500kN ; Lc  Lb  4m;

Lực tới hạn đàn hồi Pcr :

Pcr  1,82

EI
199.106  6,572.105

1,82

 1487, 65  kN 
L2
42

b. Kết quả CALFEM

NHÓM 04

Trang 20


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

Bảng 5.1 : Giá trị Pcr theo CALFEM
Số phần tử

3

6

9

a

2,966

2,959

2,958

P (kN)

1483

1479,5

1479

cr

c.

Kết quả SAP2000 V14

Bảng 5.2 : Giá trị Pcr theo SAP2000
Số phần tử

3

6

9

a

2,97637

2,96758

2,96695

P (kN)

1488,185

1483,79

1483,475

cr

d. Biểu đồ so sánh kết quả và khảo sát sự hội tụ: (hình 4.2)
e. Bảng so sánh với kết quả
P. PHÁP
P (kN)
cr

NHÓM 04

(1)

(2)

(3)

So sánh (%)

GIẢI TÍCH

SAP2000

CALFEM

(1) & (2)

(1) & (3)

(2) & (3)

1487,65

1483,475

1479

0,28

0,58

0,3

Trang 21


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

Hình 5.2: Giá trị Pcr khung một tầng – một nhịp (ví dụ 5)
C. KẾT LUẬN
-

Bảng kết quả so sánh:
Giá trị P (kN)
cr

Phương
pháp
tính

Cột

Khung

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Ví dụ 4

Khớp-Khớp

Ngàm –Tự do

Ngàm –Ngàm trượt

Ngàm –Khớp

Giải tích

405,21

101,3

1620,84

826,96

1487,65

Calfem

405,3

101,4

1623

829,2

1479

405,158

101,727

1630,09

833,16

1483,475

Sap

Ví dụ 5

-

Từ bảng kết quả trên, ta thấy: giá trị tải tới hạn đàn hồi tính theo 3 phuơng pháp không
có sự chênh lệch lớn ( < 1%).

-

Số phần tử khảo sát càng lớn thì kết quả bài toán sẽ tiến gần về nghiệm chính xác.

-

Khi điều kiện biên càng yếu ( K càng lớn), giá trị Pcr càng nhỏ.

-

Khi điều kiện biên càng khỏe ( K càng nhỏ), giá trị Pcr càng lớn

NHÓM 04

Trang 22


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

CHÚ Ý KHI MÔ HÌNH TRÊN PHẦN MỀM SAP2000:
Để tránh sự chênh lệch lớn giữa kết quả SAP và kết quả giải tích, cần khai báo các hệ số
hiệu chỉnh như sau:

NHÓM 04

Trang 23


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

D. PHẦN PHỤ LỤC
1. Ví dụ 1: Cột hai đầu khớp
% COT PHI TUYEN 2 DAU KHOP - 1 PHAN TU
%--------------------------------------------------------------% PURPOSE
%
Buckling analysis of a plane frame.
%--------------------------------------------------------------% REFERENCES
%
Susanne Heyden 95-11-01
%
Karl-Gunnar Olsson 96-01-23
%
Ola Dahlblom 2004-09-24
%--------------------------------------------------------------clc
clear

echo off
% ----- Topology ----Edof=[1

4

5

6

1

2

3 ];

% ----- Element properties and global coordinates ----E=199e9;
A=4e-3;
I=3.301e-6;
ep=[E A I];
Ex=[0 0];
Ey=[4 0];
bc=[1 0;2 0;4 0];
% ----- Initial loads ----f0=zeros(6,1);
f0(5)=-100e3;
% ----- Increase loads until det(K)=0 ----j=0;
for alpha=1:0.001:15
j=j+1;
N=0;
N0=1;
% ----- Iteration for convergence ----eps=0.0001;

n=0;
NHÓM 04

Trang 24


TL PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KẾT CẤU

GVHD: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG

while(abs((N-N0)/N0)>eps)
n=n+1;
K=zeros(6,6);
f=f0*alpha;
Ke=cot2g(Ex,Ey,ep,N);
K=assem(Edof,K,Ke);
[a,r]=solveq(K,f,bc);
Ed=extract(Edof,a);
es=cot2gs(Ex,Ey,ep,Ed,N);
N0=N;
N=es(1,1);
if(n>20)
disp(['Alpha= ',num2str(alpha),': The solution doesn''t
converge.'])
break
end
end
if(n>20)
break
end

% ----- Check determinant for buckling ----Kred=red(K,bc(:,1));
if (det(Kred)<=0)
disp(['Alpha= ',num2str(alpha),': Determinant <= 0,
buckling load passed.'])
break
end
disp(['Alpha= ',num2str(alpha),' is OK! ', int2str(n), ...
' iterations are performed.'])
%disp([' '])
% ----- Save values for plotting of results ----deform(j)=a(4);
M(j)=r(3);
loadfact(j)=alpha;
bmode=a;
end
% ----- Plot results ----figure(1), clf, axis off
eldraw2(Ex,Ey,[2,3,0]);
Ed1=extract(Edof,bmode);
NHÓM 04

Trang 25