ĐỀ TOÁN 2 các năm hay

SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT (Lần 1)
Năm học: 2011 – 2012
MÔN: TOÁN
Ngày thi thứ hai 12/10/2011
(Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang

Câu 1 ( 5 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
ab + bc + cd + da + ac + bd 3 abc + bcd + cda + dab
≥
6
4

Câu 2 (5 điểm)
Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn (a,b,c) = 1. Chứng minh rằng tồn
tại số nguyên dương n sao cho a k + b k + c k M2n với mọi số tự nhiên k.
Câu 3 (5 điểm)
Cho hai đa thức với hệ số nguyên dương P(x), Q(x) và hai số nguyên dương
a, b thỏa mãn: a < b, P(a) = Q(a), P(b) = Q(b). Chứng minh rằng: Nếu tất cả các hệ
số của P(x) đều nhỏ hơn b thì P(x) = Q(x) với mọi số thực x.
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD. Kẻ đường
thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm O tại D, cắt đường thẳng BC tại I. Đường
thẳng qua I và O cắt các đường thẳng AB, AC thứ tự tại M, N.
Chứng minh rằng OM = ON.

------ HẾT -----Họ và tên thí sinh:...........................................; Số báo danh.....................................

Chữ kí giám thị 1:.......................................; Chữ kí giám thị 2:................................