TOAN HOC HDC HSG 9 2012 2013 doc

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

Câu

HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS
Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Đáp án

Điểm

1. (2.0 điểm)
∆ = (4m + 1)2 − 8(m − 4)

0.5

= 16m 2 + 8m + 1 − 8m + 32 = 16m 2 + 33

0.5

Vì ∆ = 16m + 33 > 0 ∀m ∈ ¡ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
với mọi m.
2. (2.0 điểm)
Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với ∀m nên
 x1 + x 2 = −(4m + 1)
theo định lý Vi-ét ta có 
 x1.x 2 = 2(m − 4)
2
2
Theo ycbt: x1 − x2 = 17 ⇔ ( x1 − x2 ) = 289 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 289

2

1
(4.0 điểm)

⇔ (4m + 1) − 8(m − 4) = 289 ⇔ 16m + 33 = 289 ⇔ 16m = 256 ⇔ m = ±4
Vậy m = ±4 là giá trị cần tìm.
1. (2.0 điểm)
2

x ( x 3 − 1)
−
P=
x + x +1

=
2
(4.0 điểm)

2

2

x (2 x + 1) 2( x − 1)( x + 1)
+
x
x −1

x ( x − 1)( x + x + 1)
− 2 x − 1 + 2( x + 1)

x + x +1

= x − x +1
2. (2.0 điểm)
P = 3 ⇔ x − x +1 = 3 ⇔ x − x − 2 = 0

t = −1 ( L)
2
x = t, t ≥ 0 ta được pt t − t − 2 = 0 ⇔ 
t = 2 (TM )
Với t = 2 ta được x = 2 ⇔ x = 4 (thỏa mãn ĐK).
Đặt

3
(4,0 điểm)

Vậy x = 4 thì P = 3.
1. (2.0 điểm)
( x + 1)3 ( y + 1)3 = 512
( x + 1)( y + 1) = 8
⇔
⇔
3
3
3
3
3
3
( x + 1) + ( y + 1) = 72
( x + 1) + ( y + 1) = 72

( x + 1) + ( y + 1) = 72

1.0

0.5
0.5
0.75
0.25
0.75
0.75
0.5
0.5
1.0
0.25
0.25

 xy + y + x + 1 = 8

HPT ⇔ 

 ab = 512
 a + b = 72

Đặt (x+1)3 = a và (y +1)3 = b ta có hệ 

0.75
0.25

Giải hệ (2) ta được : (a;b) = (64;8) hoặc (a;b) = (8;64)

0.25

3
x +1 = 4
x = 3
( x + 1) = 64
Với (a;b) = (64;8) ⇒ 
⇔
⇔
3
( y + 1) = 8
 y +1 = 2
y =1

0.25

3
x +1 = 2
x = 1
( x + 1) = 8
Với (a;b) = (8;64) ⇒ 
⇔
⇔
3
( y + 1) = 64
 y +1 = 4
y = 3

Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là: (3;1); (1;3)

0.25
0.25


2. (2.0 điểm)
ĐKXĐ của phương trình là: x ≥ - 2
Đặt x + 5 = u ≥ 0, x + 2 = v ≥ 0 ta có: uv =

x 2 + 7 x + 10, u 2 − v 2 = 3
Thay vào phương trình ta được: (u − v)(1 + uv ) = u 2 − v 2
u = v
⇒ (u − v)(1 + uv) = (u − v)(u + v ) ⇔ (u − v)(1 − u )(1 − v) = 0 ⇔ u = 1

 v = 1
* Với u = v ta có x + 5 = x + 2 ⇒ PT vô nghiệm
* Với u = 1 ta có x + 5 = 1 ⇔ x = −4 (loại)
* Với v = 1 ta có x + 2 = 1 ⇔ x = −1 (TM)
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = -1

0.25
0.25

0.5

0.25
0.25
0.25
0.25

4

(5.0 điểm)

1. (2.0 điểm)

·AMB = ·ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ B là trực tâm của tam giác AEF ⇒ AB ⊥ EF
·
·
⇒ ·NEF = NAB
(cùng phụ với góc NFE
)
⇒ ∆ vuông NEF ∆ vuông NAB (g.g)
EF NE
·
= tg600 = 3
⇒
=
= tg NAE
AB NA

2. (2.0 điểm)
·
·
·
là góc ở tâm cùng chắn cung MN ⇒ MON
MON
= 2MAN
= 1200
·
·

EMF
= ENF
= 900 ⇒ tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF tâm K

·
·
⇒ MKN
= 2MEN
= 2.300 = 600
·
·
⇒ MON
+ MKN
= 1800 ⇒ OMKN là tứ giác nội tiếp

3. (1.0 điểm)

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5


Gọi I là giao điểm của AC và MD.
·
·

·
Ta có: MCA
= NCM
= 600 ⇒ ACD
= 600
⇒ tam giác MCD có CI vừa là đường cao vừa là phân giác
⇒ ∆MCD cân tại C

0.25

1
2

⇒ SMCD = 2.SMCI = 2. .MI.CI = MI .CI
0
0
·
·
= ( MC sin MCI
)( MCcos MCI
) = ( MC sin 60 )( MCcos60 ) =

MC 2 3
4

⇒ SMCD lớn nhất ⇔ MC lớn nhất ⇔ MC là đường kính của (O)

0.5
0.25

1. (1.5 điểm)

3m 2
(1) ⇔ (m + n + p)2 + (m - p )2 + (n - m)2 = 2
2
2
⇔ (m + n + p) = 2 - (m - p)2 - (n - m)2 ≤ 2 ⇒ S 2 ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ S ≤ 2
2
2
S= 2 ⇔ m=n=p=
;S=- 2 ⇔ m=n=p=3
3
n2 + np + p2 = 1 -

⇒ maxS = 2 khi m = n = p =

5
(3.0 điểm)

2
2
; minS = − 2 khi m = n = p = 3
3

2. (1.5 điểm)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
2
2
2


 
 
 
a
b
c
2
2
2
 ( a ) + ( b ) + ( c )  


  ab + a + 1 ÷ +  bc + b + 1 ÷ +  ca + c + 1 ÷ 
 
 
 


0.5
0.5
0.25
0.25

0.5

2



a

b
c
≥
+
+

 (ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1) 
2
a.bc
b
c.b


=
+
+
 ab.bc + abc + bc bc + b + 1 cab + bc + b 
2

1
b
bc 

=
+
+
=1
 b + 1 + bc bc + b + 1 1 + bc + b 
a
b

c
1
+
+
≥
2
2
2
(ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1)
a+b+c
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.
⇒

0.5

0.25
0.25

Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang
điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám
khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------