Kỹ thuật sử dụng CASIO ( Thầy Đặng Việt Hùng Moon.vn )

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

NHẬP MÔN CASIO
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: Giải phương trình ( x − 1) 3 x − 2 + ( 2 x − 5 ) x − 2 = 2 x 2 − 7 x + 4 .
Lời giải:

Đặt t = x − 2 ( t ≥ 0 ) ta có: 2 ( t + 2 ) − 7 ( t + 2 ) + 4 = ( 2t 2 − 1) t + ( t 2 + 1) 3t 2 + 4
2

2

2

⇔ 2t 4 + t 2 − 2 = 2t 3 − t + ( t 2 + 1) 3t 2 + 4

)

(

Xét 2t 4 − 4t 3 + t 2 − t − 2 + ( t 2 + 1) 2t − 3t 2 + 4 = 0 ⇔ ( t − 2 ) ( 2t 3 + t + 1) + ( t 2 + 1) .


t 2 + 1) ( t + 2 ) 
(
3
 = 0 ⇔ t = 2 ( do t ≥ 0 ).
⇔ ( t − 2 )  2t + t + 1 +
2



2
t
+
3
t
+
4


Với t = 2 ⇒ x = 6 là nghiệm duy nhất của PT đã cho.

t2 − 4
2t + 3t 2 + 4

= 0.

Ví dụ 2: Giải phương trình ( x3 + 3 x 2 − 3) x 2 + 3 + x 4 = −3 ( x 3 − x − 1) .
Lời giải:

Ta có : PT ⇔ ( x + 3 x − 3) x + 3 + x ( x + 3 x − 3) = 3 .
3

(

2

2

3

2

)

⇔ x + x 2 + 3 ( x3 + 3 x 2 − 3) = 3 ⇔ x 3 + 3 x 2 − 3 = x 2 + 3 − x

⇔ x3 + 3 x 2 − 4 + x + 1 − x 2 + 3 = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 2 ) +

2x − 2

2

x + 1 + x2 + 3

= 0.



2
2
⇔ ( x − 1) ( x + 2 ) +
 = 0 ⇔ x = 1.
x + 1 + x2 + 3 

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất là: x = 1 .
Ví dụ 3: Giải phương trình 3

( 2 x − 1)

3

− 6 x + 4 = x 5 − 4 x2 .
Lời giải:

5
1
≥ x ≥ . Với ĐK trên ta có :
2
2
1
+) Với x = là 1 nghiệm của PT đã cho.
2
1
+) Với x > : PT ⇔ 3 2 x − 1 2 x − 1 − 2 x − 1 + x 3 − 2 x − 5 − 4 x 2 + 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 .
2
4 x2 − 6 x + 2
8 x 2 − 12 x + 4
⇔ 3 2 x − 1.
+ x.
+ 2 x 2 − 3x + 1 = 0
2
2x −1 + 2x −1
3 − 2x + 5 − 4x

ĐK :

(

) (

)

 3 2x −1 4x

⇔ ( 2 x 2 − 3 x + 1) 
+
+ 1 = 0 (*) .
MS 2 
 MS1
1

x = ( loai )
5
1
3 2x −1 4x
2

Với ĐK
≥ x > ta có:
+
+ 1 > 0 do vậy (*) ⇔ 2 x − 3 x + 1 = 0 ⇔
.
2

2
2
MS1
MS 2

x = 1
1
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x = ; x = 1 .
2
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Ví dụ 4: Giải phương trình x 2 − x + 1 − x 5 x − 1 + ( x + 1) x − 1 = 0.
ĐK: x ≥ 1

Lời giải
(*)

Khi đó (1) ⇔ ( x + 1)

(

) (

)

x − 1 − 1 + x x + 1 − 5x − 1 − ( x − 2) = 0

( x + 1)( x − 1 − 1) + x. ( x + 1) − ( 5 x − 1) −
2

( x − 2) = 0
x + 1 + 5x −1

x ( x 2 − 3x + 2 )
x − 2 )( x + 1)
(
⇔
− ( x − 2) +
=0
1 + x −1
x + 1 + 5x − 1
( x − 2 )( x + 1) − x − 2 + x ( x − 2 )( x − 1) = 0
⇔
(
)
1 + x −1
x + 1 + 5x −1
x ( x − 1) 
 x +1
⇔ ( x − 2) 
−1 +
(2)
=0
x + 1 + 5x −1 
 1 + x −1
Với x ≥ 1 ⇒ x 2 − x + 1 = x ( x − 1) + 1 > 0 ⇒ x 2 > x − 1 > 0 ⇒ x > x − 1
⇔

x −1 + 1

x +1
x +1
>1⇒

−1 > 0
1+ x −1
1+ x −1
x ( x − 1)
x +1
⇒
−1 +
> 0, ∀x ≥ 1.
1 + x −1
x + 1 + 5x −1
Do đó (2) ⇔ x = 2, thỏa mãn (*)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

⇒ x + 1 > 1+ x −1 > 0 ⇒

Ví dụ 5: Giải phương trình x + 1 + 3 x 2 − x + 2 = ( x + 1) x − 1 + 3 x 2 − 2 x + 4.
ĐK: x ≥ 1

Lời giải
(*)

Khi đó (1) ⇔ ( x + 1)

(

)

x −1 − 1 = 3 x2 − x + 2 − 3 x2 − 2 x + 4
x2 − x + 2) − ( x2 − 2 x + 4)
x + 1)( x − 1 − 1)

(
(
⇔
= 3.
⇔

x −1 + 1
( x − 2 )( x + 1)

x2 − x + 2 + x2 − 2 x + 4
3( x − 2)

=
1 + x −1
x2 − x + 2 + x2 − 2 x + 4
x = 2
⇔  x +1
3

=
2
1 + x − 1
x − x + 2 + x2 − 2 x + 4
Với x ≥ 1 ⇒ x 2 − x + 1 = x ( x − 1) + 1 > 0 ⇒ x 2 > x − 1 > 0 ⇒ x > x − 1

⇒ x + 1 > 1 + x −1 > 0 ⇒

(2)

x +1

> 1 ⇒ VT (2) > 1
1 + x −1

Với x ≥ 1 ⇒ x 2 − x + 2 + x 2 − 2 x + 4 = x ( x − 1) + 2 +

( x − 1)

2

(3)

+3 ≥ 2 + 3 >3

3

< 1 ⇒ VP (2) < 1.
x2 − x + 2 + x2 − 2 x + 4
Kết hợp với (3) ⇒ VT (2) > VP (2) ⇒ (2) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.
⇒

Ví dụ 6: Giải phương trình 2 x 2 + 4 x − 7 = x 8 x − 7 + ( 2 x − 1) 4 x − 7.
Lời giải
ĐK: x ≥

7
4

(*)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Khi đó (1) 4 x 2 + 4 x − 7 − x 8 x − 7 − ( 2 x − 1) 4 x − 7 = 0

(

)

(

)

⇔ x x + 1 − 8 x − 7 + ( 2 x − 1) x − 1 − 4 x − 7 − ( x 2 − 6 x + 8 ) = 0

( x + 1) − (8 x − 7 ) +
⇔ x.
2

( x − 1) − ( 4 x − 7 ) − x 2 − 6 x + 8 = 0
( 2 x − 1) .
(
)
2

x + 1 + 8x − 7
x −1 + 4x − 7
2

2
x ( x − 6 x + 8) ( 2 x − 1) ( x − 6 x + 8 )
⇔
+
− ( x 2 − 6 x + 8) = 0
x + 1 + 8x − 7
x −1+ 4x − 7
x
2x −1


⇔ ( x2 − 6 x + 8) 
+
− 1 = 0
 x + 1 + 8x − 7 x −1 + 4x − 7 

(2)

Ta có x 2 − ( 4 x − 7 ) = ( x − 2 ) + 3 > 0 ⇒ x 2 > 4 x − 7 ≥ 0 ⇒ x > 4 x − 7
2

2x −1
>1
x −1 + 4x − 7
x
2x −1
7
⇒
+
− 1 > 0, ∀x ≥ .

4
x + 1 + 8x − 7 x − 1 + 4 x − 7
x = 2
Do đó (2) ⇔ x 2 − 6 x + 8 = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x = 4
2 ( 2 x − 1)
x
Ví dụ 7: Giải phương trình
+
=1
33 x 2 − 32 x + 8
20 x 2 − 12 x + 1
Lời giải:
2
33 x − 32 x + 8 > 0
1
1
Điều kiện: 
⇔ x > hoặc x < .
2
2
10
20 x − 12 x + 1 > 0
2 ( 2 x − 1)
x
+
=1
Phương trình đã cho tương đương với
2

2
2
x + 8 ( 2 x − 1)
( 2 x − 1) + 8 x ( 2 x − 1)
⇒ 2x −1 > x −1 + 4x − 7 > 0 ⇒

Chú ý

x 2 + 8 ( 2 x − 1) ≥ x ≥ x ⇒
2 ( 2 x − 1)

( 2 x − 1)

2

+ 8 x ( 2 x − 1)

>0⇔ x>

x
Đặt t =
> 0 , khi đó ( ∗) ⇔
2x − 1

⇔

x

2

x + 8 ( 2 x − 1)
2

2

( ∗) .

< 1 nên suy ra

1
.
2
x
2x −1
2

 x 

 +8
 2x − 1 

+

2
=1⇔
8x
+1
2x − 1

2

t2 + 8 − t
2
8
=
⇔
=
⇔ t2 + 8
2
2
2
8t + 1
8t + 1
t +8
t +8 t +8 +t

(

)

t
t2 + 8

(

+

2
=1.
8t + 1

)

t 2 + 8 + t = 4 8t + 1

⇔ t 2 + 8 + t t 2 + 8 = 4 8t + 1 ⇔ 3t 2 + 24 + 3t t 2 + 8 − 12 8t + 1 = 0

) (

(

)

⇔ 4t 2 − 8t + 4 + t 3 t 2 + 8 − t − 8 + 4 4t + 5 − 8t + 1 = 0
⇔ 4 ( t − 1) +
2

8t ( t − 1)

2

3 t2 + 8 + t + 8

+

64 ( t − 1)

2

4t + 5 + 8t + 1

=0


8t
64
x
2
⇔ ( t − 1)  4 +
+
= 1 ⇔ x = 1.
 = 0 ⇔ t =1⇔
2
2x − 1
3 t + 8 + t + 8 4t + 5 + 8t + 1 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

7 x 2 + 20 x − 86 + x 31 − 4 x − x 2 = 3x + 2
Lời giải:
2
7 x + 20 x − 86 ≥ 0
Điều kiện: 
2
31 − 4 x − x ≥ 0

Ví dụ 8: Giải phương trình

)

(

Phương trình đã cho tương đương với:  7 x 2 + 20 x − 86 − ( 2 − x )  + x 31 − 4 x − x 2 − 4 = 0


2
2
2
2
x (15 − 4 x − x )
6 ( x + 4 x − 15 )
x ( x 2 + 4 x − 15 )
7 x + 20 x − 86 − ( 2 − x )
⇔
+
=0⇔
−
=0
7 x 2 + 20 x − 86 + 2 − x
31 − 4 x − x 2 + 4
7 x 2 + 20 x − 86 + 2 − x
31 − 4 x − x 2 + 4
 x = −2 − 19
 x 2 + 4 x − 15 = 0


⇔

⇔
6
x
6
x
=
=
( ∗)
2
2
2
 7 x + 20 x − 86 + 2 − x
 7 x + 20 x − 86 + 2 − x
31 − 4 x − x + 4
31 − 4 x − x 2 + 4

Ta có ( ∗) ⇔ 6 31 − 4 x − x 2 + 24 = x 7 x 2 + 20 x − 86 + 2 x − x 2 mà
7 x 2 + 20 x − 86 = 3 x + 2 − x 31 − 4 x − x 2
Suy ra

(

)

6 31 − 4 x − x 2 + 24 = x 3 x + 2 − x 31 − 4 x − x 2 + 2 x − x 2 ⇔ ( x 2 + 6 ) 31 − 4 x − x 2 = 2 x 2 + 4 x − 24
⇔ ( 31 − 4 x − x 2 ) + ( x 2 + 6 ) 31 − 4 x − x 2 − x 2 − 7 = 0 ⇔

(

)(

31 − 4 x − x 2 − 1

)

31 − 4 x − x 2 + x 2 + 7 = 0

7 x 2 + 20 x − 86 ≥ 0
⇔ 31 − 4 x − x = 1 ⇔  2
⇔ x = −2 + 34
 x + 4 x − 30 = 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = −2 + 34; x = −2 − 19 .
2

(

Ví dụ 9: Giải phương trình 4 ( x 3 + 1) = x + x 2 − 2 x + 2

)

3

Lời giải:
Điều kiện: x − 2 x + 2 = ( x − 1) + 1 > 0; ∀x ∈ ℝ .
Phương trình đã cho tương đương với
2

2

4 ( x 3 + 1) = x 3 + 3 x 2 x 2 − 2 x + 2 + 3 x ( x 2 − 2 x + 2 ) + ( x 2 − 2 x + 2 ) x 2 − 2 x + 2

⇔ 4 x3 + 4 = x 3 + 3x 3 − 6 x 2 + 6 x + ( 4 x 2 − 2 x + 2 ) x 2 − 2 x + 2
6 x2 − 6 x + 4
4 x2 − 2 x + 2
2
2
x = 1
2 ( x − 1)
( x − 1)
= 2
⇔ 2
2
x2 − 2 x + 2 + 1 4 x − 2 x + 2
 x − 2 x + 2 = 2 x − x

⇔ 6 x2 − 6 x + 4 = ( 4 x2 − 2 x + 2) x2 − 2 x + 2 ⇔ x2 − 2 x + 2 =
2 ( x − 1)
⇔ x − 2x + 2 − 1 = 2
⇔
4x − 2x + 2
2

2

x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − x vào phương trình ban đầu, ta được:
x = 1
 x3 = 1
3
6
6

3

⇔
4 ( x + 1) = 8 x ⇔ 2 x − x − 1 = 0 ⇔ 3
x = − 1
x = − 1
3
2

2

1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x = − 3 .
2

Thế

Tham gia các khóa học online miễn phí tại group facebook
Đề thi thử moon,hocmai,uschool .Link : fb.com/dethithu


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

02. PHÂN TÍCH NHÂN TỬ BẰNG CASIO
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: Giải phương trình sau 3 x 2 − 5 x + 4 = ( x + 1) 3 x − 2
PHÂN TÍCH CASIO. Thấy vế trái của phương trình là tam thức bậc hai, còn vế phải của phương trình là
tích của một biểu thức bậc nhất với căn thức nên khi ta nâng lũy thứa hai vế của phương trình thì được

biểu thức có bậc cao nhất là bậc 4. Với biểu thức bậc 4 ta có thể phân tích thành nhân tử bằng cách tìm
nghiệm của phương trình rồi sử dùng Viet đảo.
Bình phương hai vế của phương trình ta được

( 3x

2

− 5 x + 4 ) = ( x + 1) ( 3 x − 2 ) ⇔ ( 3 x 2 − 5 x + 4 ) − ( x + 1) ( 3 x − 2 ) = 0
2

2

2

2

Ta thấy biểu thức trên khá phức tạp, nếu khai triển bằng tay thì khá khó khăn và dễ nhầm lẫn. Ta có thể
khai triển biểu thức trên bằng cách sử dụng máy tính casio như sau
Thay x = 100 vào biểu thức trên bằng cách gán 100 vào X , khi đó ta có

( 3 X − 5 X + 4 ) − ( X + 1) ( 3 X − 2 ) = 867446118 ≈ 900000000 = 9 X
( 3 X − 5 X + 4 ) − ( X + 1) ( 3 X − 2 ) − 9 X = −32553882 ≈ −33000000 = −33 X
( 3 X − 5 X + 4 ) − ( X + 1) ( 3 X − 2 ) − 9 X + 32 X = 446118 ≈ 450000 = 45 X
( 3 X − 5 X + 4 ) − ( X + 1) ( 3 X − 2 ) − 9 X + 32 X + 55 X = −3882 ≈ −3900 = −39 X
( 3 X − 5 X + 4 ) − ( X + 1) ( 3 X − 2 ) − 9 X + 32 X + 55 X + 38 X = 18
⇒ ( 3 X − 5 X + 4 ) − ( X + 1) ( 3 X − 2 ) = 9 X − 33 X + 45 X − 39 X + 18 = 0
2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

4

3

2

2

2

4

3

2

2

2

2

4

3

2

2

2

4

2

3

4

2

3

2

2

Sau khi khai triển biểu thức trên thì phương trình trở thành 9 x 4 − 33 x 3 + 45 x 2 − 39 x + 18 = 0 . Ta thấy
đây là phương trình bậc bốn, ta có thể giải phương trình này bằng cách tìm nghiệm của phương trình rồi
phân tích thành nhân tử. Ta sử dụng SHIFT SOLVE để tìm nghiệm của phương trình ta tìm được nghiệm
của phương trình là x = 1 và x = 2 , đó đó 9 x 4 − 33 x 3 + 45 x 2 − 39 x + 18 = 0 có nhân tử
( x − 1)( x − 2 ) = 0 hay x 2 − 3x + 2 = 0 .

Ta thấy 9 x 4 − 33 x 3 + 45 x 2 − 39 x + 18 = 0 là phương trình bậc bốn nên là tích của hai biểu thức bậc hai, ta
9 x 4 − 33 x 3 + 45 x 2 − 39 x + 18 = 0
tìm nhân tử còn lại của phương trình bằng cách chia đa thức sau
x 2 − 3x + 2
Ta thay x = 100 vào biểu thức trên bằng cách gán 100 vào X , khi đó ta có
9 X 4 − 33 X 3 + 45 X 2 − 39 X + 18
= 89409 ≈ 90000 = 9 X 2
X 2 − 3X + 2
9 X 4 − 33 X 3 + 45 X 2 − 39 X + 18
− 9 X 2 = −591 ≈ −600 = −6 X
2
X − 3X + 2
4
9 X − 33 X 3 + 45 X 2 − 39 X + 18
− 9X 2 + 6X = 9
2
X − 3X + 2
4
9 X − 33 X 3 + 45 X 2 − 39 X + 18

⇒
= 9X 2 − 6X + 9
2
X − 3X + 2
4
⇒ 9 X − 33 X 3 + 45 X 2 − 39 X + 18 = ( X 2 − 3 X + 2 )( 9 X 2 − 6 X + 9 )

2
3
Phương trình đã cho tương đương

LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥

( 3x

2

− 5 x + 4 ) = ( x + 1) ( 3 x − 2 ) ⇔ ( x 2 − 3 x + 2 )( 9 x 2 − 6 x + 9 ) = 0 ⇔ x ∈ {1; 2}
2

2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1; 2}
Ví dụ 2: Giải phương trình sau 2 x 2 − 3 x − 3 = ( x + 2 ) 5 x + 3
PHÂN TÍCH CASIO. Thấy vế trái của phương trình là tam thức bậc hai, còn vế phải của phương trình là

tích của một biểu thức bậc nhất với căn thức nên khi ta nâng lũy thứa hai vế của phương trình thì được
biểu thức có bậc cao nhất là bậc 4. Với biểu thức bậc 4 ta có thể phân tích thành nhân tử bằng cách tìm
nghiệm của phương trình rồi sử dùng Viet đảo.
Bình phương hai vế của phương trình ta được

( 2x

2

− 3 x − 3) = ( x + 2 ) ( 5 x + 3) ⇔ ( 2 x 2 − 3 x − 3) − ( x + 2 ) ( 5 x + 3) = 0
2

2

2

2

Thay x = 100 vào biểu thức bằng cách gán 100 vào X khi đó ta có

( 2 X − 3 X − 3) − ( X + 2 ) ( 5 X + 3) = 382738597 ≈ 400000000 = 4 X
( 2 X − 3 X − 3) − ( X + 2 ) ( 5 X + 3) − 4 X = −17261403 ≈ −17000000 = −17 X
( 2 X − 3 X − 3) − ( X + 2 ) ( 5 X + 3) − 4 X + 17 X = −261403 ≈ −260000 = −26 X
( 2 X − 3 X − 3) − ( X + 2 ) ( 5 X + 3) − 4 X + 17 X + 26 X = −1403 ≈ −1400 = −14 X
( 2 X − 3 X − 3) − ( X + 2 ) ( 5 X + 3) − 4 X + 17 X + 26 X + 14 X = −3
⇒ ( 2 X − 3 X − 3) − ( X + 2 ) ( 5 X + 3) = 4 X − 17 X − 26 X − 14 X − 3 = 0
2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

4

3

2

2

2

4

3

2

2

2

2

4

3

2

2

2

4

2

3

4

2

3

2

Khi đó phương trình trở thành 4 x 4 − 17 x 3 − 26 x 2 − 14 x − 3 = 0 . Ta sử dụng SHIFT SOLVE để tìm
nghiệm của phương trình ta thấy phương trình có nghiệm vô tỷ, với bài toán có nghiệm vô tỷ ta sẽ tìm
nghiệm rồi sử dụng Viet đảo để suy ra nhân tử.
Nhập phương trình 4 X 4 − 17 X 3 − 26 X 2 − 14 X − 3 = 0 vào máy. Ấn SHIFT SOLVE = ta tìm được
nghiệm X = 5,541381265 ta sẽ gán nghiệm này vào A . Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE -100 = ta tìm
được nghiệm X = −0, 541381265 ta sẽ gán nghiệm này vào B .

Ta có A + B = 5 và AB = −3 nên phương trình đã cho có nhân tử X 2 − 5 X − 3 = 0 . Ta thực hiện phép
4 X 4 − 17 X 3 − 26 X 2 − 14 X − 3
chia để tìm ra nhân tử còn lại của phương trình
X 2 − 5X − 3
Ta thay x = 100 vào biểu thức bằng cách gán 100 vào X , khi đó ta có
4 X 4 − 17 X 3 − 26 X 2 − 14 X − 3
= 40301 ≈ 40000 = 4 X 2
2
X − 5X − 3
4
4 X − 17 X 3 − 26 X 2 − 14 X − 3
− 4 X 2 = 301 ≈ 300 = 3 X
2
X − 5X − 3
4
4 X − 17 X 3 − 26 X 2 − 14 X − 3
− 4 X 2 − 3X = 1
X 2 − 5X − 3
4 X 4 − 17 X 3 − 26 X 2 − 14 X − 3
⇒
= 4 X 2 + 3X + 1

X 2 − 5X − 3
⇒ 4 X 4 − 17 X 3 − 26 X 2 − 14 X − 3 = ( X 2 − 5 X − 3)( 4 X 2 + 3 X + 1)

3
LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ − .
5
Phương trình đã cho tương đương
2
2 x 2 − 3 x − 3 ≥ 0
5 + 13
2 x − 3 x − 3 ≥ 0
⇔ 2
⇒x=
 2
2
2
2
2
( 2 x − 3 x − 3) = ( x + 2 ) ( 5 x + 3)
( x − 5 x − 3)( 4 x + 3 x + 1) = 0
 5 + 13 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 

 2 

Ví dụ 3: Giải phương trình sau 2 x + 2 = 2 x + 1 + 6 x + 5
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

PHÂN TÍCH CASIO. Phương trình đã cho có hai căn thức, biểu thức trong căn là biểu thức bậc nhất, vế
trái của phương trình đã cho cũng là biểu thức bậc nhất. Do đó khi ta bình phương hai vế của phương
trình thì ta thu được biểu thức với bậc cao nhât là bậc hai.
Bình phương trinh hai vế của phương trình ta được

( 2 x + 2)

2

=

(

⇔ 4 x2 − 2 = 2

2x + 1 + 6x + 5

)

2

⇔ 4 x2 + 8x + 4 = 2 x + 1 + 6 x + 5 + 2

( 2 x + 1)( 6 x + 5) ⇔ 2 x 2 − 1 =

( 2 x + 1)( 6 x + 5)

12 x 2 + 16 x + 5 (*)

Sau khi bình phương hai vế của phương trình ta được một phương trình mới có một căn thức, biểu thức ở
vế trái là biểu thức bậc hai, nên ta sẽ giải phương trình này bằng cách bình phương hai vế của phương
trình.
2
2 x 2 − 1 ≥ 0
 2 x − 1 ≥ 0
Phương trình (*) tương đương  2
⇔
 4
2
2
2
 x − 4 x − 4 x − 1 = 0
( 2 x − 1) = 12 x + 16 x + 5
Ta đưa được phương trình ban đầu về phương trình bậc bốn, ta sẽ giải phương trình này bằng cách tìm
nghiệm của phương trình rồi phân tích thành nhân tử.
Nhập phương trình x 4 − 4 x 2 − 4 x − 1 = 0 vào máy. Ấn SHIFT SOLVE = ta tìm được nghiệm
X = −0, 414213562 ta sẽ gán nghiệm này vào A . Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE 100 = ta tìm được
nghiệm X =, 414213562 ta sẽ gán nghiệm này vào B .
Ta có A + B = 2 và AB = −1 nên phương trình đã cho có nhân tử x 2 − 2 x − 1 = 0 . Ta thực hiện phép chia
X 4 − 4X 2 − 4X −1
đa thức để tìm nhân tử còn lại của phương trình
X 2 − 2X −1
Thay x = 100 vào biểu thức bằng cách gán 100 vào X , khi đó ta có
X 4 − 4X 2 − 4X −1
= 10201 ≈ 10000 = X 2
2
X − 2X −1
4
X − 4X 2 − 4X −1

− X 2 = 201 ≈ 200 = 2 X
2
X − 2X −1
4
X − 4X 2 − 4X −1
− X 2 − 2X = 1
2
X − 2X −1
X 4 − 4X 2 − 4X −1
⇒
= X 2 + 2 X + 1 ⇒ X 4 − 4 X 2 − 4 X − 1 = ( X 2 − 2 X − 1)( X 2 + 2 X + 1)
X 2 − 2X −1
1
LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ −
2
Phương trình đã cho tương đương

4x2 + 8x + 4 = 2x + 1 + 6x + 5 + 2

( 2 x + 1)( 6 x + 5 ) ⇔ 2 x 2 − 1 =

12 x 2 + 16 x + 5

2
2 x 2 − 1 ≥ 0
2 x − 1 ≥ 0
⇔ 2
⇔ 2
⇒ x = 1+ 2
2

2
2
( 2 x − 1) = 12 x + 16 x + 5
( x − 2 x − 1)( x + 2 x + 1) = 0

{

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 1 + 2

}

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 x 2 + 12 y 2 + 11xy − 11x − 19 y + 5
PHÂN TÍCH CASIO. Đa thức trên có chứa hai biến, bậc cao nhất của biến là bậc hai . Ta sẽ phân tích
đa thức đó thành nhân tử bằng cách thay y = 100 vào đa thức khi đó đa thức trở thành phương trình bậc
hai theo biến x . Ta sẽ phân tích phương trình bậc hai theo biến x đó thành nhân tử.
Thay y = 100 vào đa thức, khi đó ta có

2 x 2 + 12.1002 + 11x.100 − 11x − 19.100 + 5 = 0 ⇔ 2 x 2 + 1089 x + 118105 = 0 ⇔ ( 2 x + 299 )( x + 395 ) = 0

Ta thay 299 = 300 − 1 = 3 y − 1 , 395 = 400 − 5 = 4 y − 5 ta có

( 2 x + 299 )( x + 395) = ( 2 x + 3 y − 1)( x + 4 y − 5)

LỜI GIẢI. Ta có 2 x 2 + 12 y 2 + 11xy − 11x − 19 y + 5 = ( 2 x + 3 y − 1)( x + 4 y − 5 )
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 2 + 2 y 2 − x 2 y − xy 2 + x + 4 y − 6

PHÂN TÍCH CASIO. Đa thức trên có chứa hai biến, bậc cao nhất của biến là bậc ba. Ta sẽ phân tích đa
thức đó thành nhân tử bằng cách thay y = 100 vào đa thức khi đó đa thức trở thành phương trình bậc hai
theo biến x . Ta sẽ phân tích phương trình bậc hai theo biến x đó thành nhân tử.
Thay y = 100 vào đa thức, khi đó ta có
x 2 + 2.1002 − 100 x 2 − 1002 x + x + 4.100 − 6 = −99 x 2 − 9999 x + 20394 = 0 ⇔ −99 ( x − 2 )( x + 103)
Ta thay −99 = 1 − 100 = 1 − y , 103 = 100 + 3 = y + 3 ta có

−99 ( x − 2 )( x + 103) = (1 − y )( x − 2 )( x + y + 3)

LỜI GIẢI. Ta có x 2 + 2 y 2 − x 2 y − xy 2 + x + 4 y − 6 = (1 − y )( x − 2 )( x + y + 3)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 y 2 + x3 y + xy 2 − x 2 y + xy − x 2 − y − 1
PHÂN TÍCH CASIO. Đa thức trên có chứa hai biến, bậc cao nhất của biến là bậc năm. Ta sẽ phân tích
đa thức đó thành nhân tử bằng cách thay y = 100 vào đa thức khi đó đa thức trở thành phương trình bậc
hai theo biến x . Ta sẽ phân tích phương trình bậc hai theo biến x đó thành nhân tử.
Thay y = 100 vào đa thức, khi đó ta có
100 2 x3 + 100 x 3 + 1002 x − 100 x 2 + 100 x − x 2 − 100 − 1 = 10100 x3 − 101x 2 + 10100 x − 101
= 101(100 x3 − x 2 + 100 x − 1) = 101( x 2 + 1) (100 x − 1)

Ta thay 101 = 100 + 1 = y + 1 , 100 = y ta có 101( x 2 + 1) (100 x − 1) = ( y + 1) ( x 2 + 1) ( xy − 1)

LỜI GIẢI. Ta có x3 y 2 + x3 y + xy 2 − x 2 y + xy − x 2 − y − 1 = ( y + 1) ( x 2 + 1) ( xy − 1)

Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = ( x − y ) + ( x − y )( 2 xy + 1) + x 2 + y 2 + 1.
3

A.

Phân tích CASIO

Cho y = 100 khi đó P = ( x − 100 ) + ( x − 100 )( 200 x + 1) + x 2 + 10001.

3

Nhập vào máy tính ( X − 100 ) + ( X − 100 )( 200 X + 1) + X 2 + 10001 = 0
3

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 99 = y − 1
⇒ X − y + 1 = 0 ⇒ có nhân tử x − y + 1.
Nhập vào máy tính

(( X − 100) + ( X − 100)( 200 X + 1) + X
3

2

)

+ 10001 : ( X − 99 ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
B. Lời giải
Ta có P = x3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 + 2 x 2 y + x − 2 xy 2 − y + x 2 + y 2 + 1
= x3 − x 2 y + xy 2 − y 3 + x 2 + y 2 + x − y + 1

= x 2 ( x − y + 1) + y 2 ( x − y + 1) + ( x − y + 1)
= ( x − y + 1) ( x 2 + y 2 + 1) .

Đ/s: P = ( x − y + 1) ( x 2 + y 2 + 1)

Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x 4 − 2 y 3 + xy ( x + y − x 2 ) .
A.

Phân tích CASIO

Cho y = 100 khi đó P = x 4 − 2.1003 + 100 x ( x + 100 − x 2 ) .

Nhập vào máy tính X 4 − 2.1003 + 100 X ( X + 100 − X 2 ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 100 = y
⇒ X − y = 0 ⇒ có nhân tử x − y.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

(

)

Nhập vào máy tính X 4 − 2.1003 + 100 X ( X + 100 − X 2 ) : ( X − 100 ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = −25,9170414.
Con số này rất lẻ, ta thực hiện phân tích luôn.
B. Lời giải
Ta có P = x3 ( x − y ) + x 3 y + 2 y 2 ( x − y ) − 2 xy 2 + x 2 y + xy 2 − x3 y

= ( x − y ) ( x3 + 2 y 2 ) + xy ( x − y ) = ( x − y ) ( x3 + 2 y 2 + xy ) .

Đ/s: P = ( x − y ) ( x3 + 2 y 2 + xy )

Ví dụ 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x3 − 2 x 2 − xy 2 + y 2 + xy + x − y.
A.

Phân tích CASIO

Cho y = 100 khi đó P = x3 − 2 x 2 − 100 2 x + 1002 + 100 x + x − 100.
Nhập vào máy tính X 3 − 2 X 2 − 1002 X + 101X − 100 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = 1 ⇒ có nhân tử x − 1.
Nhập vào máy tính ( X 3 − 2 X 2 − 1002 X + 101X − 100 ) : ( X − 1) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = −99 = − y + 1
⇒ X + y − 1 = 0 ⇒ có nhân tử x + y − 1.

Nhập vào máy tính ( X 3 − 2 X 2 − 1002 X + 101X − 100 ) : ( ( X − 1)( X + 99 ) ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = 100 = y ⇒ có nhân tử x − y.

Nhập vào máy tính ( X 3 − 2 X 2 − 1002 X + 101X − 100 ) : ( ( X − 1)( X + 99 )( X − 100 ) ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Về mặt tư duy thì với 3 nhân tử trên, khi nhân vào ta được bậc của x là 3 (ứng với đề bài), do đó để nhanh
ta không nên nhập vào máy tính ở bước cuối, việc bấm đó chỉ mang tính chất tổng quát.
Như vậy P = ( x − 1)( x + y − 1)( x − y ) .
Ba nhân tử này thì x − 1 là đơn giản nhất, ta sẽ nhóm x − 1 trước.
B. Lời giải
Ta có P = x 2 ( x − 1) − x ( x − 1) − y 2 ( x − 1) + y ( x − 1)

= ( x − 1) ( x 2 − x − y 2 + y ) = ( x − 1) ( x − y )( x + y ) − ( x − y ) 

= ( x − 1)( x − y )( x + y − 1) .

Đ/s: P = ( x − 1)( x − y )( x + y − 1)

Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2 x3 − x 2 y − 2 xy 2 + y 3 + 3 x 2 − 3 xy + x − y.
A. Phân tích CASIO

Cho y = 100 khi đó P = 2 x3 − 100 x 2 − 2.1002 x + 1003 + 3 x 2 − 300 x + x − 100 = 0.
Nhập vào máy tính 2 X 3 − 100 X 2 − 2.100 2 X + 1003 + 3 X 2 − 300 X + X − 100 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = 49,5
⇒ 2 X = 99 = y − 1 ⇒ 2 X − y + 1 = 0 ⇒ có nhân tử 2 x − y + 1.

Nhập vào máy tính ( 2 X 3 − 100 X 2 − 2.100 2 X + 1003 + 3 X 2 − 300 X + X − 100 ) : ( X − 49,5 ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = 100 = y ⇒ X − y = 0 ⇒ có nhân tử x − y.

Nhập vào máy ( 2 X 3 − 100 X 2 − 2.100 2 X + 1003 + 3 X 2 − 300 X + X − 100 ) : ( ( X − 49,5 )( X − 100 ) ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện X = −101 = − y − 1
⇒ X + y + 1 = 0 ⇒ có nhân tử x + y + 1.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Nhập vào máy
( 2 X 3 − 100 X 2 − 2.1002 X + 1003 + 3 X 2 − 300 X + X − 100 ) : ( ( X − 49,5)( X − 100 )( X + 101) ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Về mặt tư duy thì với 3 nhân tử trên, khi nhân vào ta được bậc của x là 3 (ứng với đề bài), do đó để nhanh
ta không nên nhập vào máy tính ở bước cuối, việc bấm đó chỉ mang tính chất tổng quát.
Như vậy P = ( 2 x − y + 1)( x − y )( x + y + 1) .
Ba nhân tử này thì x − y là đơn giản nhất, ta sẽ nhóm x − y trước.
B. Lời giải
Ta có P = 2 x 2 ( x − y ) + xy ( x − y ) − y 2 ( x − y ) + 3x ( x − y ) + x − y
= ( x − y ) ( 2 x 2 + xy − y 2 + 3 x + 1)

= ( x − y )  2 x ( x + y + 1) − y ( x + y + 1) + x + y + 1

= ( x − y )( x + y + 1)( 2 x − y + 1) .

Đ/s: P = ( x − y )( x + y + 1)( 2 x − y + 1)

Chia sẻ bài giảng và tài liệu miễn phí chỉ có ở groups facebook
Đề thi thử hocmai ,moon,uschool- fb.com/groups/dethithu


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

03. KĨ THUẬT NÂNG LŨY THỪA VÀ DÙNG VI-ET ĐẢO
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Lý thuyết cơ bản.
• Nếu một đa thức f ( x ) có các nghiệm phân biệt x1 , x2 thì đa thức f ( x ) chia hết cho x 2 − Sx + P
trong đó S = x1 + x2 và P = x1 x2 .

•

•

•

Nếu đa thức f ( x ) chia hết cho thu được kết quả là đa

thức g ( x ) thì f ( x ) = ( x 2 − Sx + P ) g ( x ) .

Để tính gần đúng một nghiệm của phương đa thức bậc n
ví dụ ta cần giải phương trình hữu tỷ sau:
x 4 − 3 x3 + x 2 − 2 x + 1 = 0 . Ta sử dụng máy tính CASIO

theo các bước, đó là:
o Truy cập Mode 1, ta bấm X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + 1 = 0 .
o Bấm SHIFT + CALC. Máy tính hỏi giá trị của X ta có thể nhập một giá trị X bất kỳ, ví
dụ ta sẽ gán X = 0 ( Bấm 0, sau đó ấn “ = “ ).
o Đợi một lúc, màn hình máy tính sẽ hiện ra như sau
Và giá trị X = 0.476888865 chính là một nghiệm
của phương trình đã cho.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ cần áp dụng:
2
o ( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2
o
o
o

•

( a ± b ) = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3
2
( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca )
3
( a + b + c ) = a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( b + c )( c + a )
3

Các dạng toán thường gặp, đó là:
 f ( x ) .h ( x ) ≥ 0
 f ( x ) ≥ 0
o f ( x) = g ( x) ⇔  2
; f ( x) = h ( x) g ( x) ⇔  2
2
 f ( x ) = g ( x )

 f ( x ) = h ( x ) g ( x )
 f ( x ) ≥ 0
 
o
f ( x ) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ 0 ;

 f ( x ) = g ( x )

f ( x) q ( x) = h ( x)

 f ( x ) .h ( x ) ≥ 0

g ( x ) ⇔ q ( x ) ≥ 0 ( g ( x ) ≥ 0 )
 2
2
 f ( x ) .q ( x ) = h ( x ) .g ( x )

Chú ý:
Với tiêu đề NÂNG LŨY THỪA VÀ VIET ĐẢO, phương pháp này cho ta tìm nghiệm của một đa thức
bậc cao hay nói cách khác nghiệm của một phương trình vô tỷ có chứa căn thức. Tuy nhiên không phải
trường hợp nào cũng có thể nâng lũy thừa và giải quyết được, vậy ta quy ước như sau:
a) Bậc cao tối thiểu sẽ là 8 , tức là các bài toán dạng a. f n ( x ) + b. f n−1 ( x ) + ... + 1 = 0 với n ≤ 8 . Như
vậy sẽ dễ dàng hơn trong việc chúng ta khai triển đa thức.
b) Thường gặp sẽ là ở các bài toán đa thức bậc 4 và bậc 6 , bậc 6 ta có thể tách thành 6 = 4 + 2 tức
là thành đa thức bậc 4 nhân đa thức bậc hai 2 . Vậy trong trường hợp SHIFT + CALC mà đa thức
bậc 4 vô nghiệm ta sẽ làm như thế nào. Cụ thể sẽ ở cuối bài viết.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Cở sở của phương pháp là tìm được hai nghiệm của phương trình, thậm chí là ba nghiệm để xét tổng và
hiệu chính là x1 + x2 ; x1 x2 sau đó tìm được nhân tử x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 .
x2 + 4 x − 5
= ( x + 2) x + 3 − 2
( x ∈ ℝ)
x2 + 2
PHÂN TÍCH CASIO. Bài toán trên thực chất được phát biểu gần giống với đề toán THPT Quốc Gia
năm 2015. Bây giờ, trước hết ta sẽ dùng TABLE ( Mode 7 ) để khảo sát
miền nghiệm của bài toán trước.
• Nhập hàm số
X 2 + 4X − 5
F(X) =
− ( X + 2) X + 3 − 2
X2 +2
.
• Vì điều kiện bài cho là x ≥ −3 nên ta sẽ nhập các giá trị như sau:
o START = −3
o END = 5
o STEP = 0.5
• Dựa vào bảng bên ta có thể
thấy được rằng x = 1 và
x ∈ ( 2; 2.5) là các nghiệm
của phương trình đã cho.
• Bây giờ ta có thể tự tin dùng SHIFT + CALC cho
phương trình bài cho và lưu
ý là gán x ∈ ( 2; 2.5) .

(

Ví dụ 1. Giải phương trình

)

(

•
•

•

(

)

X 2 + 4X − 5
Nhập phương trình
= ( X + 2 ) X + 3 − 2 , sẽ gán X = 2.3 thì máy tính sẽ xuất
X2 +2
hiện nghiệm còn lại của phương trình đã cho, đó là:
Với hai nghiệm tìm được, ta sẽ thay vào căn
 X + 3 = 2
thức ta được 
 X + 3 = 2.0302775638 = X
Mặt khác: với x = 1 thì x 2 + 4 x − 5 = 0 nên ta sẽ tách được nhân tử chung với lượng x + 3 − 2
nên ta sẽ tìm được nghiệm x = 1 như sau:
( x + 5)( x − 1) = x + 2 x + 3 − 2
x2 + 4 x − 5
= ( x + 2) x + 3 − 2 ⇔
(

)
2
x +2
x2 + 2
 x +3 − 2 = 0 ⇔ x =1
( x + 5) x + 3 + 2 x + 3 − 2

⇔
=
x
+
2
x
+
3
−
2
⇔
(
)
x2 + 2
( x + 5 ) x + 3 + 2 = ( x 2 + 2 ) ( x + 2 )


(

(

•

)

)(

)

(

)

(

)

)

(

)

Vấn đề còn lại là giải quyết phương trình ( ∗) , và dễ thấy ta sẽ biến đổi ( ∗) về dạng

f ( x) = h ( x) g ( x)
như sau: ( x + 5 ) x + 3 = x3 + 2 x 2 − 6 . Khi đưa về dạng quen thuộc rồi, ta sẽ mạnh dạn bình

phương hai vế, ta được: ( x3 + 2 x 2 − 6 ) = ( x + 5 ) ( x + 3)
2

2

( i ) . Tiếp tục, theo bài trước, ta sẽ

dùng máy tính để phân tích nhân tử đa thức, đó là: gán x = 100 , ta sẽ thấy:

VP( i ) = ( x3 + 2 x 2 − 6 ) = ( x 3 + x 2 + x 2 − 6 ) = ( x3 + x 2 ) + 2 ( x 3 + x 2 )( x 2 − 6 ) + ( x 2 − 6 )
2

2

2

2

VT( i ) = ( x + 5 ) ( x + 3) = x3 + 13x 2 + 55 x + 75
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

( ∗)


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Nên ta xét

2 ( x 3 + x 2 )( x 2 − 6 ) + ( x 2 − 6 ) − VP( i ) = 2 ( x 3 + x 2 )( x 2 − 6 ) + ( x 2 − 6 ) − x3 − 13 x 2 − 55 x − 75
2

2

= 2 x5 + 3 x 4 − 13 x3 − 37 x 2 − 55 x − 39
Khi đó ( i ) ⇔ x 6 + 4 x 5 + 4 x 4 − 13x 3 − 37 x 2 − 55 x − 39 = 0 .

•

Với phương trình ( i ) dùng SHIFT + CALC ta tìm được hai nghiệm là x1 = −1.302775638 và

 x1 + x2 = 1
nghiệm còn lại là x2 = 2.302775638 . Từ đó xét tổng, tích là 
nên ta có nhân tử là
x
x
=
−
3
 1 2
2
( x − x − 3) , khi đó thực hiện phép chia đa thức
x 6 + 4 x5 + 4 x 4 − 13 x 3 − 37 x 2 − 55 x − 39
= x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 .
2
x − x−3
Và ta sẽ thấy rằng phương trình x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 = 0 (xem cách chứng minh ở dưới ).
Tuy nhiên, ta có thể nhìn nhận theo hướng hàm số như sau:
2
( ∗) ⇔  x + 3 + 2  x + 3 + 2 = ( x 2 + 2 ) ( x + 2 )



(

)

(

)

Xét hàm số f ( t ) = ( t 2 + 2 ) ( t + 2 ) , có f ' ( t ) = 2t ( t + 2 ) + t 2 + 2 = 3t 2 + 4t + 2 = t 2 + 2 ( t + 1) > 0; ∀t ∈ ℝ
2

nên suy ra f ( t ) là hàm số đồng biến trên ℝ mà

x ≥ 0
1 + 13
x + 3 = f ( x) ⇔ x = x + 3 ⇔  2
⇔x=
2
x − x − 3 = 0
1 + 13
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x =
.
2
f

(

)

Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5

( x ∈ ℝ)

 f ( x ) ≥ 0
PHÂN TÍCH CASIO. Đây là dạng phương trình cơ bản có dạng f ( x ) = g ( x ) ⇔  2
, nên
f
x
=
g
x
(
)
(
)

2
dễ thấy được điều kiện bài toán là 2 x − 6 x − 1 ≥ 0 . Và giải pháp mà ta hướng tới đó chính là nâng lũy

thừa hai vế, khi đó ta được phương trình đã cho ⇔ ( 2 x 2 − 6 x + 1) = 4 x + 5 ⇔ x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 + 2 x − 1 = 0 .
2

•

Phương trình trên, dùng chức năng SHIFT + CALC ta sẽ tính được gần đúng bốn nghiệm của
 x1 = 2.4142135262
phương trình ( vì nó là một đa thức bậc bốn ), các nghiệm đó là 
,
 x2 = −0.4142135262
 x3 = 3.732050808


 x4 = 0.2679491924

•

Nhưng để xét được tích và tổng, thì chú ý đến mỗi cặp nghiệm là hai nghiệm của một phương
trình bậc hai vì thế ta cần chia nghiệm để chia thành hai cặp nghiệm như thế nào ? Và ta cần chú ý
 x = 2.4142135262
đến các nghiệm có phần thập phân giống nhau như hai nghiệm  1
và sẽ xét
 x2 = −0.4142135262
 x + x2 = −2
được là  1
. Do đó ta được nhân tử x 2 − 2 x − 1 và hai nghiệm còn lại được nhân tử
 x1 x2 = −1
x 2 − 4 x + 1 . Và ta sẽ được:
x 4 − 6 x3 + 8 x 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ ( x 2 − 2 x − 1)( x 2 − 4 x + 1) = 0

5
TƯ DUY LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ − .
4
Phương trình đã cho tương đương với:
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
2
2 x 2 − 6 x + 1 ≥ 0
x = 1− 2
2 x − 6 x + 1 ≥ 0
2x − 6x + 1 = 4x + 5 ⇔  2

⇔
⇔

 2
2
2
 x = 2 + 3
( 2 x − 6 x + 1) = 4 x + 5
( x − 2 x − 1)( x − 4 x + 1) = 0
2

{

}

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 − 2; 2 + 3 .
Ví dụ 3. Giải phương trình 2 x ( x − 4 ) = ( x 2 − 6 x + 10 )

(

)

2x − 1 − 1

( x ∈ ℝ)

1
. Ta thấy phương trình được rút gọn lại thành:
2
2 x − 1 − x 2 + 6 x − 10 ⇔ 3 x 2 − 14 x − 10 = ( x 2 − 6 x + 10 ) 2 x − 1

PHÂN TÍCH CASIO. Điều kiện: x ≥
2 x 2 − 8 x = ( x 2 − 6 x + 10 )

( ∗)

Phương trình trên nằm trong các dạng phương trình cơ bản
 f ( x ) .h ( x ) ≥ 0
f ( x) = h ( x) g ( x) ⇔  2
mà đã giới thiệu ở trên, chính vì thế ta được
2
=
f
x
h
x
g
x
(
)
(
)
(
)

2
( 3 x − 14 x − 10 )( x 2 − 6 x + 10 ) ≥ 0
.
( ∗) ⇔  2
2

2
2
( 3 x − 14 x + 10 ) = ( 2 x − 1) ( x − 6 x + 10 )

Bây giờ sử dụng các kiến thức được cung cấp ở CHUYÊN ĐỀ 1 ta sẽ khai triển đa thức như sau:
•
•

Đa thức ( 3 x 2 − 14 x + 10 ) = 9 x 4 − 84 x3 + 256 x 2 − 280 x + 100 .
2

2
Đa thức ( 2 x − 1)  x 2 − ( 6 x − 10 )  = ( 2 x − 1)  x 4 − 2 x 2 ( 6 x − 10 ) + ( 6 x − 10 )  ( cách làm này là ta


đã tách bình phương ra sao cho khi phá ra để nhân với đại lượng 2 x − 1 xuất hiện bậc nhỏ nhất có
thể ).
2
= x 4 ( 2 x − 1) − 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) + ( 2 x − 1)( 6 x − 10 )
2

= 2 x5 − x 4 + ( 2 x − 1) ( 36 x 2 − 120 x + 100 ) − 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1)

Xét riêng với đa thức 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) , ta có thể làm như sau:
Gán x = 100 suy ra
2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) = 2348200000 ⇒ 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) − 24 x 4 = −51800000

⇒ 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) − 24 x 4 + 52 x 3 = 200000 ⇒ 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) − 24 x 4 + 52 x 3 − 20 x 2 = 0

Do đó suy ra ( 2 x − 1)  x 2 − ( 6 x − 10 )  = 2 x 5 − 25 x 4 + 124 x3 − 296 x 2 + 320 x − 100 .

2

Vậy nên ta có được

( 3x

2

− 14 x + 10 ) = ( 2 x − 1) ( x 2 − 6 x + 10 ) ⇔ 2 x 5 − 34 x 4 + 208 x3 − 552 x 2 + 600 x − 200 = 0 .
2

2

Bây giờ ta sẽ dùng chức năng SHIFT CALC để tìm nghiệm của phương trình bậc năm ở trên.
Nhập máy tính 2 X 5 − 34 X 4 + 208 X 3 − 552 X 2 + 600 X − 200 = 0 , gán các giá trị X bất kỳ ta sẽ được 5
nghiệm của phương trình là
x1 = 5; x2 = 3.414213562; x3 = 0.5857864376; x4 = 6.449489743; x5 = 1.550510257
Đến đây xuất hiện bốn nghiệm lẻ và ta cũng sẽ ghép cặp như ví dụ trên, ta thấy sẽ chọn tổng hai nghiệm
 x2 + x3 = 4
 x2 x3 = 2
sao cho tổng đó là một số hữu tỷ và có hai cặp nghiệm thỏa mãn chính là 
và 
. Khi
 x4 + x5 = 8
 x4 x5 = 10
đó ta nhóm được nhân tử là ( x − 5 ) ( x 2 − 4 x + 2 )( x 2 − 8 x + 10 ) . Hoặc khi ta phát hiện được một trong hai

nhân tử bậc hai là x 2 − 4 x + 2 hoặc x 2 − 8 x + 10 ta có thể thực hiện phép chia đa thức:
2 x 5 − 25 x 4 + 124 x3 − 296 x 2 + 320 x − 100 2 x5 − 25 x 4 + 124 x3 − 296 x 2 + 320 x − 100
;

x2 − 4x + 2
x 2 − 8 x + 10
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

1
.
2
Phương trình đã cho tương đương với 2 x 2 − 8 x = ( x 2 − 6 x + 10 ) 2 x − 1 − x 2 + 6 x − 10

LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥

⇔ 3 x 2 − 14 x − 10 = ( x 2 − 6 x + 10 ) 2 x − 1

x = 5
( 3 x 2 − 14 x − 10 )( x 2 − 6 x + 10 ) ≥ 0
( 3 x 2 − 14 x − 10 )( x 2 − 6 x + 10 ) ≥ 0



⇔
⇔
⇔
x = 2− 2


2
2

2
2
2
2
x
−
5
x
−
4
x
+
2
x
−
8
x
+
10
=
0
)(
)(
)
( 2 x − 1) ( x − 6 x + 10 ) = ( 3 x − 14 x − 10 )
x = 4 + 6
(

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm kể trên.
Ví dụ 4. Giải phương trình 3x 3 − 6 x 2 + 5 = 6 x ( x − 2 ) x 2 − x − 1

( x ∈ ℝ) .

 f ( x ) .h ( x ) ≥ 0
nên
PHÂN TÍCH CASIO. Phương trình đã cho có dạng f ( x ) = h ( x ) g ( x ) ⇔  2
2
 f ( x ) = h ( x ) g ( x )
ta sẽ chọn giải pháp nâng lũy thừa hai vế và ta được ( 3 x 3 − 6 x 2 + 5 ) = 36 x 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x − 1) .
2

2

•

Đa thức ( 3 x 3 − 6 x 2 + 5 ) để đơn giản hóa, ta sẽ tách thành như sau:

•

3x 3 − ( 6 x 2 − 5 )  = 9 x 6 − 6 x3 ( 6 x 2 − 5) + ( 6 x 2 − 5) = 9 x 6 − 36 x 5 + 30 x 3 + 36 x 4 − 60 x 2 + 25


2
Đa thức x 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x − 1) sẽ tách thành x 2 . ( x 2 − 4 x + 4 )( x 2 − x − 1) 
Vì ( x 2 − 4 x + 4 )( x 2 − x − 1) = x 4 − 5 x 3 + 7 x 2 − 4 nên suy ra

2

2

2

36 x 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x − 1) = 36 x 6 − 180 x 5 + 252 x 4 − 4 x 2
2

Do đó ( 3 x 3 − 6 x 2 + 5 ) = 36 x 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x − 1) ⇔ 27 x 6 − 144 x 5 + 216 x 4 − 30 x3 − 84 x 2 − 25 = 0 .
2

2

Nhập máy tính 27 X 6 − 144 X 5 + 216 X 4 − 30 X 3 − 84 X 2 − 25 = 0 , gán một giá trị X bất kỳ ta thu được
 x1 + x2 = 2
 x1 = 2.632993162

hai nghiệm phương trình đó là 
⇒
5 nên nhân tử là
 x2 = −0.6329931619  x1 x2 = −
3


5 1
= ( 3x 2 − 6 x − 5) .
3 3
Và ta sẽ tìm đa thức còn lại bằng phép chia đa thức, như sau:
27 x 6 − 144 x5 + 216 x 4 − 30 x 3 − 84 x 2 − 25
= 9 x 4 − 30 x3 + 27 x 2 − 6 x + 5
2
3x − 6 x − 5
Phương trình bậc bốn còn lại vô nghiệm.

x2 − 2 x −

Cũng với nghiệm như trên, ta sẽ có được 2 x 2 − x − 1 = x + 1 nên ta sẽ chọn giải phép ghép biểu thức liên
hợp hay vì nâng lũy thừa với số mũ to như vậy. Chia biểu thức như sau:
3x3 − 6 x 2 + 5 − 6 x ( x − 2 ) x 2 − x − 1

2 x − x −1 − x −1
2

Và chú ý 3 x 2 − 5 x + 1 + 2 x 2 − x − 1 =

(

)

2

= 5 x − 3x 2 − 1 − 2 x 2 − x − 1

x 2 − x − 1 + 1 + 2 ( x − 1) ≥ 0 .
2

Do đó phương trình đã cho

(

)(

)

⇔ 2 x 2 − x − 1 − x − 1 5 x − 3x 2 − 1 − 2 x 2 − x − 1 = 0 ⇔ 2 x 2 − x − 1 = x + 1 ⇔ x =
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =

3± 2 6
.
3

3± 2 6
.
3

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

TỔNG QUÁT. Phương pháp chứng minh phương trình bậc bốn vô nghiệm.
Đặt vấn đề. Giải phương trình f ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 .
Lời giải. Dùng SHIFT CALC hoặc TABLE ( mode 7 ) thấy phương trình vô nghiệm. Ta sẽ chứng minh
phương trình f ( x ) = 0 như sau:
2

•
•
•

•

•

ax


Tìm hằng số α ∈ ℝ sao cho x + ax + bx + cx + d −  x 2 +
+α  > 0.
2


3
2
Đạo hàm cấp 1 là f ' ( x ) = 4 x + 3ax + 2bx + c .
4

3

2

Giải phương trình f ' ( x ) = 4 x3 + 3ax 2 + 2bx + c = 0 ta được nghiệm x = x0 .

o Một nghiệm duy nhất suy ra đây chính là điểm rơi của bài toán.
o Nhiều nhiệm, ta cần thử xem nghiệm nào cho f ( x )min thì đó chính là điểm rơi của bài
toán.
a
Tìm α sao cho α ≈ − x02 − x0 nhất.
2
2
 2 ax

4

3
2
Sau khi tìm được α ta sẽ tìm được x + ax + bx + cx + d −  x +
+ α  = g ( x) > 0 .
2



Ví dụ xx. Giải phương trình x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 = 0 trên tập số thực.
Lời giải. Xét đạo hàm của hàm số f ( x ) = x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 , có f ' ( x ) = 4 x3 + 15 x 2 + 24 x + 14 .
Dùng máy tính CASIO ta có được f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1.178845902 .
Khi đó số α cần tìm là:

a
5
8
2
x0 = − ( −1.178845902 ) − . ( −1.178845902 ) = 1.557437094 =
2
2
5
2
2
5x 8 
255 x + 500 x + 1144

Do đó ta có x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 −  x 2 +
+  =
> 0.
2 5

100

Nên suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

α ≈ − x02 −

Ví dụ xx. Giải phương trình 9 x 4 − 30 x 3 + 27 x 2 − 6 x + 5 = 0 trên tập số thực.
Lời giải. Xét đạo hàm của hàm số f ( x ) = 9 x 4 − 30 x 3 + 27 x 2 − 6 x + 5 , có f ' ( x ) = 36 x3 − 90 x 2 + 54 x − 6 .

 x = 1.654057332
Dùng máy tính CASIO ta có được f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 0.7025109946 . Và ta thấy rằng f (1.654057332 ) min
 x = 0.1434316734
Khi đó số α cần tìm là:
a
30
1
2
α ≈ − x02 − x0 = − (1.654057332 ) + . (1.654057332 ) = 0.02085656246 =
2
18
50
2
2
30 3
6
5  2 30
1  12300 x − 10500 x + 12473
x + 3x2 −
x+
x+  =

Do đó ta có x 4 −
−x −
> 0.
9
27
27 
18
50 
67500
Nên suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 5. Giải phương trình x 2 + x − 1 = 2 x + 1.

A.

Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

(x

2

+ x − 1) = 4 ( x + 1) ⇔ x 4 + 2 x3 − x 2 − 6 x − 3 = 0
2

(2)

Nhập vào máy tính X + 2 X − X − 6 X − 3 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1, 618033989.
4

3

2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989 = A.

X 4 + 2X 3 − X 2 − 6X − 3
=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 618033988.
Bấm SHIFT STO B để gán −0, 618033988 = B.
Nhập vào máy tính

X 4 + 2X 3 − X 2 − 6X − 3
=0
( X − A )( X − B )
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
A + B =1
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (2) có nhân tử x 2 − x − 1 = 0.
A
B
=
−

.
1

B. Lời giải
Nhập vào máy tính

ĐK: x ≥ −1

(*)

Khi đó ta có ( x 2 + x − 1) = 4 ( x + 1) ⇔ x 4 + 2 x3 − x 2 − 6 x − 3 = 0
2

⇔ x 2 ( x 2 − x − 1) + 3 x ( x 2 − x − 1) + 3 ( x 2 − x − 1) = 0
2

3  3
⇔ ( x − x − 1)( x + 3 x + 3) = 0 ⇔ ( x − x − 1)  x +  +  = 0
2  4 

2

2

2

⇔ x2 − x −1 = 0 ⇔ x =
Thử lại ta được x =

Đ/s: x =

C.

1± 5
.
2

1+ 5
thỏa mãn.
2

1+ 5
2
Chú ý quan trọng

A + B
Nếu ở trên ta tính 
mà không đẹp thì ta sẽ thực hiện chia tiếp.
 A.B
X 4 + 2X 3 − X 2 − 6X − 3
Nhập vào máy tính
= 0.
( X − A )( X − B )
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra một giá trị của x.
Gán giá trị này bằng C bằng cách bấm SHIFT STO C.
 A + C B + C
Sau đó tính 
, 
 A.C
B + C
Nếu thấy giá trị đẹp thì ta suy ra được ngay nhân tử nếu không đẹp ta lại chia tiếp và cứ vậy.

Ví dụ 6. Giải phương trình x3 + x + 2 = 3 3 x + 2.
A. Phân tích CASIO
Bình phương hai vế phương trình ta được

(x

3

+ x + 2 ) = 9 ( 3 x + 2 ) ⇔ x 6 + 2 x 4 + 4 x 3 + x 2 − 23 x − 14 = 0
2

(2)

Nhập vào máy tính X 6 + 2 X 4 + 4 X 3 + X 2 − 23 X − 14 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1, 618033989.
Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989 = A.
X 6 + 2 X 4 + 4 X 3 + X 2 − 23 X − 14
=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 618033988.
Nhập vào máy tính

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Bấm SHIFT STO B để gán −0, 618033988 = B.
X 6 + 2 X 4 + 4 X 3 + X 2 − 23 X − 14

=0
( X − A)( X − B )
Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
A + B =1
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (2) có nhân tử x 2 − x − 1 = 0.
 A.B = −1
B. Lời giải

Nhập vào máy tính

ĐK: x ≥ −

2
3

(*)

Khi đó ta có ( x3 + x + 2 ) = 9 ( 3 x + 2 ) ⇔ x 6 + 2 x 4 + 4 x 3 + x 2 − 23 x − 14 = 0
2

⇔ x 4 ( x 2 − x − 1) + x3 ( x 2 − x − 1) + 4 x 2 ( x 2 − x − 1) + 9 x ( x 2 − x − 1) + 14 ( x 2 − x − 1) = 0
⇔ ( x 2 − x − 1)( x 4 + x3 + 4 x 2 + 9 x + 14 ) = 0

(3)

2

x  15 x 2


Mặt khác x + x + 4 x + 9 x + 14 =  x 2 +  +
+ 9 x + 14
2
4

4

3

2

2

2
9  43
 2 x   x 15
=  x +  + 
+
> 0.
 +
2  2
5
15 


Do đó (3) ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =

Thử lại ta thấy x =

Đ/s: x =

1± 5
.
2

1± 5
thỏa mãn.
2

1± 5
2

Ví dụ 7. Giải phương trình x 4 − x 2 + 1 = 2 3 x + 2.
A.

Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

(x

4

− x 2 + 1) = 4 ( 3 x + 2 ) ⇔ x8 − 2 x 6 + 3 x 4 − 2 x 2 − 12 x − 7 = 0
2

(2)

Nhập vào máy tính X 8 − 2 X 6 + 3 X 4 − 2 X 2 − 12 X − 7 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1, 618033989.

Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989 = A.
X 8 − 2 X 6 + 3 X 4 − 2 X 2 − 12 X − 7
Nhập vào máy tính
=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 618033988.
Bấm SHIFT STO B để gán −0, 618033988 = B.
A + B =1
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (2) có nhân tử x 2 − x − 1 = 0.
A
B
=
−
.
1

B. Lời giải

ĐK: x ≥ −

2
3

(*)

Khi đó ta có ( x 4 − x 2 + 1) = 4 ( 3 x + 2 ) ⇔ x8 − 2 x 6 + 3 x 4 − 2 x 2 − 12 x − 7 = 0
2

⇔ x 6 ( x 2 − x − 1) + x 5 ( x 2 − x − 1) + x 3 ( x 2 − x − 1) + 4 x 2 ( x 2 − x − 1) + 5 x ( x 2 − x − 1) + 7 ( x 2 − x − 1) = 0

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

⇔ ( x 2 − x − 1)( x 6 + x 5 + x3 + 4 x 2 + 5 x + 7 ) = 0

(a)

2
> −1 ⇒ x 6 + x5 + x 3 + 4 x 2 + 5 x + 7 > 0 − 1 − 1 + 4.0 − 5 + 7 = 0.
3
1± 5
Do đó (a) ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =
. Thử lại đã thỏa mãn (1).
2
1± 5
Đ/s: x =
2

Với x ≥ −

Ví dụ 8. Giải phương trình x3 − x 2 − 1 = 3 3x 2 + 6 x + 5.
A.

Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

(x

3

− x 2 − 1) = 9 ( 3 x 2 + 6 x + 5 ) ⇔ x 6 − 2 x 5 + x 4 − 2 x3 − 25 x 2 − 54 x − 44 = 0 (2)
2

Nhập vào máy tính X 6 − 2 X 5 + X 4 − 2 X 3 − 25 X 2 − 54 X − 44 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 3, 236067977.
Bấm SHIFT STO A để gán 3, 236067977 = A.
X 6 − 2 X 5 + X 4 − 2 X 3 − 25 X 2 − 54 X − 44
=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −1, 236067977.
Bấm SHIFT STO B để gán −1, 236067977 = B.
A + B = 2
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (2) có nhân tử x 2 − 2 x − 4.
 A.B = −4
B. Lời giải
Nhập vào máy tính

ĐK: 3 x 2 + 6 x + 5 ≥ 0 ⇔ 3 ( x + 1) + 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ
2

(*)

Ta có ( x3 − x 2 − 1) = 9 ( 3 x 2 + 6 x + 5 ) ⇔ x 6 − 2 x 5 + x 4 − 2 x3 − 25 x 2 − 54 x − 44 = 0
2

⇔ x 4 ( x 2 − 2 x − 4 ) + 5 x 2 ( x 2 − 2 x − 4 ) + 8 x ( x 2 − 2 x − 4 ) + 11( x 2 − 2 x − 4 ) = 0

⇔ ( x 2 − 2 x − 4 )( x 4 + 5 x 2 + 8 x + 11) = 0

(3)

Từ (1) ta có x3 = x 2 + 1 + 3 3x 2 + 6 x + 5 > 0 ⇒ x > 0 ⇒ x 4 + 5 x 2 + 8 x + 11 > 0.
Do đó (3) ⇔ x 2 − 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 1 ± 5.
Thử lại ta được x = 1 + 5 thỏa mãn (1)

Đ/s: x = 1 + 5

Bài giảng miễn phí chỉ có tại groups facebook
Đề thi thử hocmai,moon,uschool
fb.com/groups/dethithu
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

04. KĨ THUẬT LIÊN HỢP HAI NGHIỆM HỮU TỈ
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Lý thuyết cơ bản.
- Trong các chủ đề trên, đã đề cập đến vấn đề nâng lũy thừa rồi sử dụng Viet đảo trong các bài toán
phương trình vô tỷ chứa căn đơn giản như một căn bậc hai, hai căn bậc hai ở hai vế, … Và vấn đề
được đặt ra là trong các bài toán phức tạp hơn, nhiều căn thức thậm chí chứa cả phân thức việc
nâng lũy thừa sẽ tạo hệ số lớn dẫn đến khó có thể xử lý. Chính vì thế ta cần tư duy qua hướng liên
hợp.
- Tuy nhiên, để có thể liên hợp được thuận tiện thì ta cần sự hỗ trợ của công cụ đắc lực CASIO để
đoán nghiệm vô tỷ cũng như tìm nhân tử chung chứa nghiệm lẻ của bài toán.

- Các dạng biểu thức liên hợp:
f ( x) − g ( x)
•
.
f ( x) − g ( x) =
f ( x) + g ( x)
•

f ( x) − g ( x) =

•

3

•

-

f 2 ( x) − g ( x)

f ( x) + g ( x)

f ( x) ± 3 g ( x) =

f ( x) ± 3 g ( x) =

.

f ( x) ± g ( x)

( x) ∓ 3 f ( x) 3 g ( x) + 3 g 2 ( x)
f 3 ( x) − g ( x)
.
f 2 ( x) ∓ f ( x) 3 g ( x) + 3 g 2 ( x)
3

f

2

.

Dựa vào các căn thức của phương trình, ta lựa chọn các biểu thức liên hợp cho phù hợp.

Ví dụ 1. Giải phương trình

2 x 2 − x + 3 − 21x − 17 + x 2 − x = 0

( x ∈ ℝ) .

21x − 17 ≥ 0
17
PHÂN TÍCH CASIO. Trước hết, ta có điều kiện của bài toán là  2
⇔ x ≥ . Với bài toán
21
2 x − x + 3 ≥ 0
này, chứa hai căn thức bậc hai, việc lựa chọn giải pháp nâng lũy thừa không hẳn là sẽ không làm được
nhưng lại rất phức tạp về phần tính toán trong khi ta cũng chưa có nghiệm của nó. Chính vì thế hướng tư
duy bây giờ sẽ là tìm nghiệm của phương trình sau đó dùng phương pháp liên hợp nhân tử.
Ta

xét
hàm
số
f ( x ) = 2 x 2 − x + 3 − 21x − 17 + x 2 − x .
Sử dụng TABLE với
f ( X ) = X 2 − X + 2 X 2 − X + 3 − 21X − 17 .
X
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5

F(X)
0
- 0.608
0
1.3973
3.4603
6.1323
9.3824
13.191
17.547

22.441
27.866
33.818

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Start = 1 , End = 7 , Step = 0.5 . Ta có bảng giá trị như
Và đồ thị biểu diễn hàm số.

7

40.293

sau:

Như vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x = 1 hoặc x = 2 . Từ đó suy ra được nếu sử
dụng phương pháp nhân liên hợp, ta cần tìm được nhân tử ( x − 1)( x − 2 ) = x 2 − 3 x + 2 , ta thấy ngay là
không thể nhân và chia lượng liên hợp với hai căn đó ngay. Vậy thì làm thế nào để tách nhóm để tạo ra
x 2 − 3 x + 2 , ta thực hiện theo nguyên tắc sau: nếu phương trình có chứa căn g ( x ) và có hai nghiệm

α .a + b = g (α )

α , β , khi đó ta sẽ đặt ax + b = g ( x ) . Thay hai nghiệm vào đẳng thức đó ta được 
.
 β .a + b = g ( β )
Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được a, b đồng thời sẽ có được biểu thức liên hợp là

( ax + b −
•

)

g ( x ) . Và có thể áp dụng cho các căn bậc cao hơn. Vậy với bài toán trên, ta tư duy như sau:

x = 1
a + b = 2
a = 1
Với nghiệm 
, ta đặt ax + b = 2 x 2 − x + 3 nên có hệ phương trình 
⇔
x = 2
2a + b = 3
b = 1
nên ta có được nhân tử là

•

(

)

2 x2 − x + 3 − x − 1 .

x = 1
m + n = 2
m = 3
Với nghiệm 

, ta đặt mx + n = 21x − 17 nên có hệ phương trình 
⇔
x = 2
 2m + n = 5
 n = −1

(

)

nên ta có được nhân tử là 3 x − 1 − 21x − 17 .

21x − 17 ≥ 0
17
LỜI GIẢI. Điều kiện:  2
⇔x≥ .
21
2 x − x + 3 ≥ 0
Phương trình đã cho tương đương với: x 2 − 3 x + 2 +

⇔ x − 3x + 2 +
2

(

) (

)

2 x 2 − x + 3 − x − 1 + 3 x − 1 − 21x − 17 = 0

x 2 − 3x + 2
2 x2 − x + 3 + x + 1

+

9 ( x 2 − 3x + 2 )

3 x − 1 + 21x − 17

=0



1
9
⇔ ( x 2 − 3x + 2 ) 1 +
+
=0
2 x 2 − x + 3 + x + 1 3 x − 1 + 21x − 17 

 x 2 − 3x + 2 = 0
x = 1
⇔ 
⇔
1
9
1+
+
=0

x = 2

2 x 2 − x + 3 + x + 1 3 x − 1 + 21x − 17
17
1
9
Vì x ≥
nên 1 +
+
> 0.
21
2 x 2 − x + 3 + x + 1 3 x − 1 + 21x − 17
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = {1; 2} .

Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x + ( 3 x + 61) 3 x − 1 = 3 x 2 − 61

( x ∈ ℝ) .

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

PHÂN TÍCH CASIO. Tư tưởng vẫn giống như Ví dụ 1, nhưng ở ví dụ hai này mở rộng ra căn bậc ba
cùng với căn bậc hai. Với điều kiện x ≥ 0 ta sẽ tìm được hai nghiệm của phương trình là x = 0; x = 9 , do
đó ta sẽ tìm nhân tử như sau:
1

x = 0
b = 0

a =
• Với nghiệm 
, ta đặt ax + b = x nên có hệ phương trình 
⇔
3 nên ta có
x = 9
9a + b = 3
b = 0

(

)

1
1


được nhân tử là  x − x = 3 x − x  .
3
3


•

x = 0
Với nghiệm 
, ta đặt mx + n = 3 x − 1 nên có hệ phương trình
x
=
9



(

1

 n = −1
m =
⇔
3 nên ta

9m + n = 2
n = −1

)

1

 1

có được nhân tử là  x − − 3 x − 1  =  3 x − 1 − 3 3 x − 1  .
3

 3

LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ 0 .
Phương trình đã cho tương đương với 6 x + 3 ( 3 x + 61) 3 x − 1 = 9 x 2 − 183

(

)

⇔ 9 x 2 − 2 x + 2 x − 6 x + ( 3 x + 61) x − 3 − 3 3 x − 1 − ( 3 x + 61)( x − 3) − 183 = 0

(

)

(

)

⇔ 6 x 2 − 54 x + 2 x − 6 x + ( 3 x + 61) x − 3 − 3 3 x − 1 = 0
⇔ 6x ( x − 9) + 2 x
⇔ 6x ( x − 9) +
⇔ 6x ( x − 9) +

(

)

(

)

x − 3 + ( 3 x + 61) x − 3 − 3 3 x − 1 = 0

2 x ( x − 9)
x +3
2 x ( x − 9)

x +3

+

+

( 3x + 61) ( x − 3)
( x − 3)

2

3

− 9 ( x − 1) 


+ 3 ( x − 3) x − 1 + 9
3

(

3

x −1

)

=0

2

( 3x + 61) x 2 ( x − 9 )
2
2
( x − 3) + 3 ( x − 3) 3 x − 1 + 9 ( 3 x − 1 )

=0



x x ( 3 x + 61)
2 x

=0
⇔ x ( x − 9) 6 x +
+
2

x + 3 ( x − 3)2 + 3 ( x − 3) 3 x − 1 + 9 3 x − 1 


x x ( 3 x + 61)
2 x
Vì 6 x +
+
> 0; ∀x ≥ 0 nên phương trình trên tương đương
2
x + 3 ( x − 3)2 + 3 ( x − 3) 3 x − 1 + 9 3 x − 1

(

(

vớ i

)

)

x = 0
x ( x − 9) = 0 ⇔ 
là hai nghiệm của phương trình đã cho.
x = 9

Ví dụ 3. Giải phương trình

3

7 x − 8 + 2 = x 2x − 1 − 5 x − 1

( x ∈ ℝ) .

PHÂN TÍCH CASIO. Tư tưởng vẫn giống như các ví dụ trên, nhưng ở ví dụ này mở rộng ra tới ba căn
thức gồm các căn bậc ba cùng với căn bậc hai. Với điều kiện x ≥ 1 , ta sẽ khảo sát nghiệm bằng TABLE
cũng như chức năng tìm nghiệm SHIFT CALC đồng thời có được đồ thị như sau:
X
1
1.5
2
2.5

3
3.5
4

F(X)
0
4.7714
5.353
5.2416
4.7141
3.8783
2.7916

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

4.5
1.4905
5
0
5.5
-1.661
6
- 3.479
Dựa vào các yếu tố trên, ta tìm được các nghiệm là x = 1; x = 5 . Và sẽ tìm nhân tử liên hợp cho cả ba căn
thức như sau:
1


a
=

x = 1
a + b = 0
2 nên ta
• Với nghiệm 
, ta đặt ax + b = x − 1 nên có hệ phương trình 
⇔
x
=
5
5
a
+
b
=
2


b = − 1

2
có được nhân tử là x − 1 − 2 x − 1 .

(

•

)

1

m
=

x = 1
m + n = 1
2 nên
Với nghiệm 
, ta đặt mx + n = 2 x − 1 nên có hệ phương trình 
⇔
x
=
5
5
m
+
n
=
3
1


n =

2

(

)

ta có được nhân tử là x + 1 − 2 2 x − 1 .
•

x = 1
Với nghiệm 
, ta đặt px + q = 3 7 x − 8 nên có hệ phương trình
=
5
x


(

 p + q = −1  p = 1
⇔
nên

5 p + q = 3
q = −2

)

ta có được nhân tử là x − 2 − 3 7 x − 8 .

LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ 0 .
Phương trình đã cho tương đương với 2 x 2 x − 1 − 10 x − 1 − 2 3 7 x − 8 − 2 = 0

(

) (
Tuy nhiên xét đến biểu thức − x ( x + 1 − 2

( ∗)
) (
)
2 x − 1 ) nếu liên hợp sẽ xuất hiện dấu âm, vì thế ta sẽ gặp khó

⇔ 2 x − 2 − 3 7 x − 8 + 5 x − 1 − 2 x − 1 − x x + 1 − 2 2x − 1 + x2 − 6x + 5 = 0

khăn trong việc đánh giá biểu thức còn lại có vô nghiệm hay không, hay nói cách khác là có luôn âm, hay

(

)

luôn dương hay không. Chính vì thế, ta sẽ tách đến biểu thức − x x + 1 − 2 2 x − 1 + x 2 − 6 x + 5 thành
như sau:

(

)

− x x + 1 − 2 2 x − 1 + x 2 − 6 x + 5 = 2 x 2 x − 1 − 7 x + 5 . Do đó, ta có được:

( ∗) ⇔ 2 ( x − 2 − 3 7 x − 8 ) + 5 ( x − 1 − 2

) (

)

x − 1 + 2x 2x − 1 − 7x + 5 = 0

Chú ý đến các biểu thức liên hợp, ta có:
•

x − 2 − 3 7 x − 8 = ( x − 5 ) x − 1.

(

2x x − 1

( x − 2)

)

x −1 − 2 x −1 = x −1

•

2 x 2 x − 1 − 7 x + 5 = ( x − 5 ) x − 1.

Do đó, ta có nhân tử chung là ( x − 5 )

2x x − 1

( x − 2)

2

+ ( x − 2) 7 x − 8 +
3

x − 1 − 2 = ( x − 5 ) x − 1.

•

Vì f ( x ) =

2

+ ( x − 2) 3 7 x − 8 +

(8x − 5)

(

3

7x − 8

)

2

.

1
.

x −1 + 2

x −1

.
x + 1 + 2 2x − 1
 x −1 = 0
x = 1
x − 1. f ( x ) = 0 ⇔ 
⇔
x = 5
x − 5 = 0

(

3

7x − 8

)

2

+

( 8 x − 5 ) x − 1 > 0; ∀x ≥ 1 .
1
+
x − 1 + 2 x + 1 + 2 2x − 1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x = 5 .

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

5x2
+ 4 − x = x + 1+ x + 1− x
( x ∈ ℝ)
4
PHÂN TÍCH CASIO. Quan sát thấy phương trình chứa nhiều căn thức, ta có thể sử dụng phương pháp
đặt ẩn phụ hoặc nhân liên hợp. Tuy nhiên, để làm được điều đó ta cần xét nghiệm của phương trình trước,
vẫn với cách tìm nghiệm ở các ví dụ trên, bây giờ ta sẽ quan sát ĐỒ THỊ cũng như bảng TABLE hay
chức năng SHIFT CALC tại các giá trị nghiệm như sau:
X
F(X)
-1
3.0718
-0.8
2.002
-0.6
1.2973
-0.4
0.7398
-0.2
0.3095
0
0
0.2

-0.19
0.4
-0.26
0.6
-0.203
0.8
0
1
0.5678
Ví dụ 4. Giải phương trình

4
4

, thì nhân tử ta cần tìm đó là x  x −  = x ( 5 x − 4 ) .
5
5

2
5x
1
− x = x ( 5 x − 4 ) nên đại
Nhưng để ý kỹ một chút thì phương trình bài cho đã xuất hiện nhân tử
4
4
lượng còn lại sẽ chính là biểu thức liên hợp hay nói cách khác ta sẽ giải phương trình
x = 0
4 − x − 1 + x − 1 − x = 0 . Mặt khác, ta thấy rằng với 
thì 4 − x = 1 + x + 1 − x , do đó ta sẽ
x = 4

5

liên hợp như sau:
5x2 − 4 x
4 − x − 1+ x − 1− x =
4 − x + 1 + x + 1 − x 2 1 − x2 + 2 − x

Sau khi tìm được hai nghiệm là x = 0; x = 0,8 =

(

Cũng với nhận xét bên trên

)(

)

4 − x = 1 + x + 1 − x ⇔ 4 − x = 2 + 2 1 − x 2 ⇔ 2 − x = 2 1 − x 2 . Thì ở

(

)

đây hai biểu thức cân bằng và nếu tìm được hàm số thỏa mãn f ( 2 − x ) = f 2 1 − x 2 ta cũng sẽ tìm
được nghiệm của phương trình đã cho. Quan sát vế phải, ta chú ý đến hằng đẳng thức bậc hai

2 + 2 1 − x 2 = 1 + x + 1 − x , và đại lượng cân bằng với nó chính là căn thức còn lại
4 − x = 2 + ( 2 − x ) . Biểu thức còn lại chính là 5 x 2 − 4 x nên ta sẽ dùng phương pháp đồng nhất hệ số

(

5x 2 − 4 x = a ( 2 − x ) − b 2 1 − x 2
2

(

)

2

( 2 − x ) + 4 2 + ( 2 − x ) = 2 1 − x2
2

⇔ a = b = 1 . Do đó phương trình đã cho được viết lại thành

)

2

+ 2 + 2 1 − x 2 . Với hàm số đại diện ở đây chính là

f ( t ) = t 2 + 4 2 + t với điều kiện t > 0 .

LỜI GIẢI. Điều kiện: 4 ≥ x ≥ 1 .
Cách 1. Nhân liên hợp. Phương trình đã cho tương đương với:

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

5x − 4 x + 4
2

(

)

4 − x − 1 + x − 1 − x = 0 ⇔ 5x − 4x +



⇔ (5x − 4x ) 1 +


2

2

4

(

4 − x + 1+ x + 1− x

)(

(

4 (5x2 − 4 x )

4 − x + 1+ x + 1− x

) (2

1 − x2 + 2 − x


x = 0
 = 0 ⇔ 5x 2 − 4 x = 0 ⇔ 

x = 4
2 1 − x2 + 2 − x 
5



)

Vì 1 ≥ x ≥ −1 nên suy ra 2 1 − x 2 + 2 − x > 0 , do đó phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.
Cách 2. Phương pháp hàm số. Phương trình đã cho tương đương với:
5 x 2 + 4 4 − x = 4 x + 4 1 + x + 4 1 − x ⇔ 4 − 4 x + x 2 + 4 4 − x = 4 (1 − x 2 ) + 4 1 + x + 4 1 − x

(

⇔ ( 2 − x ) + 4 2 + ( 2 − x ) = 2 1 − x2
2

) +4
2

(

2 + 2 1 − x2 ⇔ f ( 2 − x ) = f 2 1 − x2

)

x = 0
1 ≥ x ≥ −1
1 ≥ x ≥ −1

⇔ 2 − x = 2 1− x ⇔ 
⇔ 2
⇔
4
2
2
x =
5 x − 4 x = 0
( 2 − x ) = 4 (1 − x )
5

4
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0; x = .
5
2

Ví dụ 5. Giải phương trình x 2 − x + 5 = 5 x − 1 + 7 x + 2.
A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính X 2 − X + 5 − 5 X − 1 − 7 X + 2 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2

(

)

(

)

Nhập vào máy tính X 2 − X + 5 − 5 X − 1 − 7 X + 2 : ( X − 2 ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1

Nhập vào máy tính X 2 − X + 5 − 5 X − 1 − 7 X + 2 : ( ( X − 2 )( X − 1) ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Như vậy (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = 2 ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1)( x − 2 ) = x 2 − 3x + 2.
Ta cần cân bằng ax + b = 5 x − 1 khi biết hai nghiệm x = 1, x = 2

a.1 + b = 5.1 − 1 = 2
⇒
⇒ a = b = 1.
a.2 + b = 5.2 − 1 = 3
Ta cần cân bằng cx + d = 7 x + 2 khi biết hai nghiệm x = 1, x = 2
c.1 + d = 7.1 + 2 = 3
c = 1
⇒
⇒
c.2 + d = 7.2 + 2 = 4 d = 2
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

1
(*)
5
Khi đó (1) ⇔ x + 1 − 5 x − 1 + x + 2 − 7 x + 2 − 2 x − 3 + x 2 − x + 5 = 0

ĐK: x ≥

(

) (

)

( x + 1) − ( 5 x − 1) + ( x + 2 ) − ( 7 x + 2 ) + x 2 − 3x + 2 = 0
⇔
2

2

x + 1 + 5x −1
x + 2 + 7x + 2
2
2
x − 3x + 2
x − 3x + 2
⇔
+
+ x 2 − 3x + 2 = 0
x + 1 + 5x −1 x + 2 + 7 x + 2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

)

=0