02 3 ki thuat danh gia giai he phuong trinh baigiang moon

Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

y +1
 x −1
 y − 1 = x2 − 2 x + 3

 x − 3 + x2 − x − y = x − 2 + 3 − x

 x 2 − x + x + y = y 2 + y + 2 y + 1

2
3
8 ( x − 1) ( y + 1) − 4 = 8 − 4 x − 2 y
2x
x + 3y


+

5 x 2 − 6 xy + 5 y 2
6 x 2 − 8 xy + 6 y 2

2
2

−
−
+
+
=4
x
2
y
x
x
y

 2
2
2
2
 x − 2 xy + 4 y + 4 x − 2 xy + y =

 2
2
2 x + 6 xy + 3 y = 11

2x
x + 3y

+

2
2
2
5 x − 6 xy + 5 y
6 x − 8 xy + 6 y 2

2
2

x
2
y
x
x
y
−
−
+
+
=4


(

) (

(

) (

=3

)

x 2 + 11
3 ( x + y)
=3

)

 x ( 2 x − y ) + 2 y ( 3 x − y ) = 3
Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 3 x − 2 + 2 y − 1 + x + y − 1 = 3
Lời giải.
2
1
Điều kiện x ≥ ; y ≥ . Từ điều kiện ta có 2 x − y ≥ 0;3 x − 2 y ≥ 0 .
3
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
x + 2 x − y 2 y + 3x − y
x ( 2 x − y ) + 2 y (3x − y ) ≤
+
= 3x .
2

2
x = 2x − y
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
⇔ x= y.
2 y − 3x − y
Phương trình thứ hai trở thành

3x − 2 + 2 2 x − 1 = 3 ⇔ 3x − 2 − 1 + 2
⇔
Vì

(

)

2x −1 −1 = 0

2 ( 2 x − 2)
3x − 3
3
4


+
= 0 ⇔ ( x − 1) 
+
=0
3x − 2 + 1
2x −1 +1
2 x − 1 + 1

 3x − 2 + 1
3
4
+
> 0 ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = y = 1 . Kết luận hệ có nghiệm duy nhất.
3x − 2 + 1
2x −1 +1

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

) (

(

Facebook: LyHung95

1

2
x 1+ y +1 =
y x +1 − x

Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2 ( x + 3) 3

= 2 − x2 + 8
 x +1 +

y
y

Lời giải:

)

)

(

x +1 + x
1 
1 
=
+1
 1 +
x
x 
x
t2
Xét hàm số f ( t ) = t 1 + t 2 + 1 trên ( 0; +∞ ) ta có: f ' ( t ) = 1 + t 2 + 1 +
>0
t2 +1
1
 1 
Do vậy hàm số f ( t ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) ta có: f ( y ) = f 
⇔ y=
x
 x

ĐK: x ≥ 0; y ≠ 0 . Khi đó ta có: PT (1) ⇔ y 1 + y 2 + 1 =

(

)

x + 1 + 2 x 2 + 6 x = 3x − x 2 + 8
x−3
2 x 2 + 6 x − 36
⇔ x + 1 − 2 + 2 x2 + 6 x − 6 = x (3 − x ) ⇔
+
= x (3 − x ) ⇔ x = 3
x +1 + 2
2x2 + 6x + 6
 1 
Vậy nghiệm của PT là: ( x; y ) =  3;

3


Thế vào PT(2) ta có:

 x3 x − 3 y
= 9 xy
 +
y
Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  y
 3
2

3
2
 x + 1 + x + 18 y + 27 y = 2 x + 7
Lời giải:
x3
x
ĐK: y > 0; x ≥ −1; x 2 + 18 y ≥ 0 . Khi đó ta có: PT (1) ⇔ − 3 y = 9 xy −
. Do x = 0 không phải nghiệm
y
y
nên ta có:
1
3
3
x2 3 y
x
PT ⇔
−
= 9y −
. Đặt u =
;3 y = v ⇒ u 2 − = v 2 −
u
v
y
x
y
y
3
Xét hàm số f ( t ) = t 2 − liên tục và đồng biến trên ( 0; +∞ ) do đó f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v
t

Do đó: x = 3 y thế vào PT(2) ta có:

x3 + 1 + x 2 + 6 x + x3 − 2 x 2 = 7

⇔ x3 + 1 − 3 + x2 + 6 x − 4 + x 2 ( x − 2 ) = 0 ⇔

x3 − 8

x +1 + 3
 x + 2x + 4

x+8
2
⇔ ( x − 2) 
+
+ x 2  = 0 ⇔ x = 2; y =
3
3
x2 + 6x
 x +1 + 3

 2
Vậy nghiệm của HPT đã cho là: ( x; y ) =  2; 
 3
3

+

x 2 + 6 x − 16
x + 6x

2

+ x2 ( x − 2) = 0

2

4 x + 2 y + x + y = 8
Ví dụ 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x ( x − 2 ) + 2 y + y = 2 xy
Lời giải:
2
ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0; x − 2 x + 2 y ≥ 0
Khi đó ta có: PT ( 2 ) ⇒ x ( x − 2 ) + 2 y − xy + y − xy = 0 ⇔

x 2 − 2 x + 2 y − xy
x ( x − 2 ) + 2 y + xy

+

y 2 − xy
=0
y + xy

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

⇔

( x − 2 )( x − y )
x ( x − 2) + 2 y +

xy

+

Facebook: LyHung95

y ( y − x)

x−2
y 
= 0 ⇔ ( x − y) 
−
 = 0 ( 2)
y + xy
 MS y + xy 

Do x; y ≥ 0 . Từ PT(1) ta có: 4 x ≤ 8 ⇔ x ≤ 2 . Do vậy ( 2 ) ⇔ x = y
Khi đó: 6 x + 2 x = 8 ⇔ x = 1 = y

Vậy nghiệm của PT đã cho là: ( x; y ) = (1;1)
2

 x + 1 + x − ( x + y ) = y + ( x + 1)( y + 2 )
Ví dụ 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
3
 y x − 1 + y + 3 x + 6 = x + 6
Lời giải:

2
ĐK: x ≥ 1; y ≥ 0; x ≥ x + y

(

Khi đó: PT (1) ⇔ x + 1

⇔ x + 1.

(

)

)

x + 1 − y + 2 + x2 − ( x + y ) − y = 0

x2 − y 2 − ( x + y )
x − y −1
+
=0
x +1 + y + 2
x2 − ( x + y ) + y



x +1
x+ y

 = 0 ⇔ x = y + 1 thế vào PT(2) ta có:

⇔ ( x − y − 1)
+
2
 x +1 + y + 2
x − ( x + y ) + y 

x+6
= 0 ( do x = 1 không là nghiệm)
( 2 ) ⇒ ( x − 1) 2 x − 1 + 3 3 x + 6 = x + 6 ⇔ 2 x − 1 + 3 3 x + 6 −
x −1
x+6
Xét hàm số f ( t ) = 2 x − 1 + 3 3 x + 6 −
đồng biến trên (1; +∞ )
x −1
Mặt khác ta có f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ x = 2; y = 1 là nghiệm duy nhất của HPT đã cho.

(

)

3

2
2
2
2
2
2
 7 x − 10 xy + 7 y + x − xy + y = 2 ( 4 x + 3 xy − 5 y )
Ví dụ 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 

2
 x + y − 2y + y = x
 4 x + 7 y
Lời giải.
Điều kiện 4 x + 7 y ≠ 0 .
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
x + y − 2 y 2 = ( x − y )( 4 x + 7 y ) ⇔ x + y − 2 y 2 = 4 x 2 + 3xy − 7 y 2 ⇔ x + y = 4 x 2 + 3xy − 5 y 2 .
Phương trình thứ nhất trở thành

7 x 2 − 10 xy + 7 y 2 + x 2 − xy + y 2 =

3
( x + y) .
2

Nhận xét

7 x 2 − 10 xy + 7 y 2 = ( x + y ) + 6 ( x − y ) ≥ ( x + y )
2

2

4 x 2 − 4 xy + 4 y 2 = ( x + y ) + 3 ( x − y ) ≥ ( x + y )
2

2

2

2

Dẫn đến
 7 x 2 − 10 xy + 7 y 2 ≥ x + y
3
3

⇒ 7 x 2 − 10 xy + 7 y 2 + x 2 − xy + y 2 ≥ x + y ≥ ( x + y )
 2
x
+
y
2
2
 x − xy + y 2 ≥

2
Do vậy hệ có nghiệm khi các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra tức là
x = y
 x = y; x + y ≥ 0
x = y = 0

⇔  x ≥ 0; y ≥ 0 ⇔ 

2
2
x = y =1
 x + y = 4 x + 3 xy − 5 y
 2
2 x = 2 x
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm duy nhất x = y = 1 .

x2 + y 2 + 9 y + 1
2
2
2
2
7
x
+
2
xy
+
7
y
+
3
x
+
y
=

2
Ví dụ 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 

2
2
( x − 1) + ( y − 1) = 5 x − 6 y + 1

Lời giải.
Điều kiện x; y ∈ ℝ . Phương trình thứ hai tương đương với

x2 + y2 − 2 x − 2 y + 2 = 5x − 6 y + 1 ⇔ 7 x + 5 y = x2 + y 2 + 9 y + 1 ⇔
Phương trình thứ nhất trở thành

7 x 2 + 2 xy + 7 y 2 + 3 x 2 + y 2 =

7x + 5y
.
2

7 x + 5 y x2 + y 2 + 9 y + 1
=
.
2
2

7 x 2 + 2 xy + 7 y 2 = 4 ( x + y )2 + 3 ( x − y )2 ≥ 4 ( x + y ) 2
Nhận xét 
2
2
2
2
2
12 x + 4 y = ( 3 x + y ) + 3 ( x − y ) ≥ ( 3 x + y )

3x + y
3x + y 7 x + 5 y
≥ 2x + 2 y +
=
.
Dẫn đến 7 x 2 + 2 xy + 7 y 2 + 3 x 2 + y 2 ≥ 2 x + y +
2
2
2
Phương trình thứ hai có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra tức là
x = y
 x ≥ 0; y ≥ 0
x = y = 1


⇔ x = y
⇔
 x + y ≥ 0;3 x + y ≥ 0
1
x = y =

 2
2
2

2
7 x + 5 y = x + y + 9 y + 1  2 x + 1 = 3 x
1 1
Thử lại nghiệm ta thấy hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) ,  ;  .
2 2

 x x2 + y 2 + 1 = y − 1 + 2

Ví dụ 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
x
x+ y
+
=1

2
2
2
2
5
x
+
2
xy
+
2
y
7
x
−
2
xy
+
4
y


Lời giải.
Điều kiện y ≥ 1 . Từ phương trình thứ nhất của hệ x x 2 + y 2 + 1 =

y −1 + 2 ≥ 2 ⇒ x > 0 .

5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = ( 2 x + y )2 + ( x − y )2 ≥ ( 2 x + y ) 2
Nhận xét 
2
2
2
2
2
7 x − 2 xy + 4 y = ( 2 x + y ) + 3 ( x − y ) ≥ ( 2 x + y )
Dẫn đến

5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ≥ 2 x + y = 2 x + y ⇒
7 x 2 − 2 xy + 4 y 2 ≥ 2 x + y = 2 x + y ⇒
Do đó

x
5 x 2 + 2 xy + 2 y 2

+

x+ y
7 x 2 − 2 xy + 4 y 2

≤

x

5 x 2 + 2 xy + 2 y 2
x+ y
7 x − 2 xy + 4 y
2

2

≤

x
2x + y

≤

x+ y
2x + y

x+ x+ y
= 1.
2x + y

x = y

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x > 0; y ≥ 1 ⇔ x = y = 1 (Thỏa mãn hệ).
y =1

Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất.
 x 2 − xy + y 2 + 2 x 2 − 3 xy + 2 y 2 = x + y
Ví dụ 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2

 x − 2 x − 3 y + 14 = 6 x + 18 + 2 y − 2
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Lời giải.

Điều kiện x ≥ −3; y ≥ 1 . Ta có

( x + y)

x − xy + y + 2 x − 3 xy + 2 y =
2

( x + y)

2

2

Facebook: LyHung95

2

( x + y)

2

2

x+ y

2

+ 3( x − y )

2

+

4

x+ y

( x + y)

2

+ 7( x − y)

2

4

x+ y
= x+ y
4
4
2

2
2
Do đó phương trình thứ nhất của hệ có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa là x − y = 0 ⇔ x = y .
≥

+

=

+

≥ 2.

Phương trình thứ hai của hệ trở thành x 2 − 5 x + 14 = 6 x + 18 + 2 x − 2 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
x +3+ 6 x +9
6 x + 18 = 6 ( x + 3) ≤
=
2
2
2 + x −1 x +1
2 x − 2 = 2 ( x − 1) ≤
=
2
2
x + 9 + x +1
= x+5.
Suy ra 6 x + 18 + 2 x − 2 ≤
2
2

Lại có x + 5 ≤ x + 5 + ( x − 3) = x 2 − 5 x + 14 ⇒ 6 x + 18 + 2 x − 2 ≤ x 2 − 5 x + 14 .

x −1 = 2
Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 
⇔ x =3.
x + 3 = 6
Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 3 .

) (

(

 x + 4 y2 +1 − x + 4 = y y − x + 3

Ví dụ 15: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x 2 ( y 2 − 1) − 2 x + 1 = 3 x 2 + 6 y 2 − 17

Lời giải:
+) ĐK : x ≥ −3
+) Xét pt( 1) :

)

x + 4 y2 +1 + y x + 3 = y2 + x + 4


x + 4 + y2 +1
2
 x + 4 y + 1 ≤
y2 + x + 3

2
2
Ta có 

→
x
+
4
y
+
1
+
y
x
+
3
≤
≤ y2 + x + 4
2
2
y x +3 ≤ y + x +3

2
Xảy ra dấu bằng khi y = x + 3
+) Thế vào pt(2) ta được x3 + 2 x 2 − 2 x + 1 = 3 x 2 + 6 x + 1 ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = x 2 + 6 x + 1 + 3 x 2 + 6 x + 1
3

x = 0
⇒ x + 1 = x + 6 x + 1 ⇔  x = −3 
→ ( x; y ) = (1; 2 ) , 0; 3 ,( −3; 0 )

 x = 1
3

2

{

(

)

}

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015