02 cong thuc logarith p2 BG

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log a bm = m.log a b , (5)
Chứng minh:

(

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b

)

m

= a m.loga b

Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm

log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6

Ví dụ 1: [ĐVH].

1

log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 =

1
5
log 2 32 =
4
4

Ví dụ 2: [ĐVH].
−4
1
62.45
1
Ta có 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1
= log 1 81 = log 1   = −4.
2 3
3
3
3
3
3
3 20
3
3 3
1
50 3
Ví dụ 3: [ĐVH]. log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5
= log 5 25 = 2.
2
2 3
1
3

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho biết log a b = ;log a c = Tính giá trị của log a x với
2
4
3 2
ab c
a) x =
...............................................................................................................................................................
4 2
a bc 3
........................................................................................................................................................................................
b) x =

ab3 a 3bc
.....................................................................................................................................................
bc3

........................................................................................................................................................................................

Công thức 6: log a n b =
Chứng minh:

( )

Đặt log a n b = y ⇒ a n

y

1
log a b , (6)
n

= b ⇔ a ny = b

Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y =
hay log a n b =

1
log a b
n

1
log a b ⇒ dpcm
n

1
log 2 16 = 2.4 = 8.
1
22
2
Ví dụ 1: [ĐVH].
1
log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30.
1
25
5
m
Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m = log a b
n
3
1

9
Ví dụ 2: [ĐVH]. log 3 5 4 125 = log 1 ( 53 ) 4 = 4 log 5 5 = ; log 2
1
4
53
3
log 2 16 = log 1 16 =

( 32 2 ) = log( ) ( 2 )

11

2

2

3

=

11
log
3

2

2=

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

11
.
3


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị biểu thức A =

log 3 3 27 = log 3

3

(3 3 )

 27 
log 1  5  = log − 1
3 2
3  9 

log

3

 33

 52
3

 27 

log 3 3 27 + log 1  5 
9
3 
1
1
log 3 + log 1  
81
3
3  

4

Facebook: LyHung95

.

Hướng dẫn giải:
2

=2

 1
13
13
26
=
log 3 3 5 = −2. = − .
1

5

5
 −
2

1
= log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8 
→A=
81
32

 27 
log 3 3 27 + log 1  5 
3  9 

1
1
log 3 + log 1  
81
3
3 
log c b
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b =
, (7)
log c a
Chứng minh:

(

4

26
5 = 4.
=
−8 + 4 5
2−

)

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b =

log c b
⇒ dpcm
log c a

Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log a b = log a c.log c b
log b b
1
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b =
=
.
log b a log b a
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho log 2 14 = a 
→ A = log 2 49 = ?
b) Cho log15 3 = a 
→ B = log 25 15 = ?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1.

Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .

1
1− a

log 3 5 = − 1 =

1
1

a
a
b) Ta có log15 3 = a ⇔ a =
=

→
a
log 3 15 1 + log 3 5
log 3 =
5
1− a


1
1
log 3 15
1
1
B = log 25 15 =
= a = a =


→B =
.
log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a )
2 (1 − a )
a

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho log a b = 3. Tính
a) A = log

b
a

b
.
a

b) B = log

ab

b
.
a

Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a =

a) A = log

b
a

b
= log
a

b
a

b − log

b
a

1

a=

3

.

1
1
−
=
 b
 b  log
log b 

 log a 

 a 
 a 

b

1
b − log

a
b

−

log

a

1
b − log

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

a

a

=

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
=

Facebook: LyHung95

1
1
1
1
3 −1
3 −1
−
=
−
=

→A=
.
1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2
3 −2
3−2
3 −2
3

b
2
log a
 b
log a b − 1

b
3 −1
a
Cách khác: Ta có được A = log b
= log
=
=
2 
 = log b =
 b 
b
a log
log a b − 2
a
3−2

  a 
a2
a
a 2
 a 
a
b
1
1
1
1
b) B = log ab
−
=

−
. = log ab b − log ab a =
a
log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log
b

a

1
1
1
1
2 3 −1
2 3 −1
−
=
−
=

→B =
.
1
1 1 + log a b
1
1 1+ 3
3
+
1
3
+

1
log b a +
+
2
2
2 3 2
b2
2
log a
2
b
 b 
b
a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 .
Cách khác: Ta có B = log ab
= log
= log ab
=
2 

( ab )  a 
a log a ab 1 + log a b
a
1+ 3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
log 2 3 + 3 log 5 5
 14 − 12 log9 4
log125 8 
log 7 2

1+ log 4 5
2
+ 25
a)  81
b) 16
+4
 .49


1
log 7 9 − log 7 6

− log 4 
c) 72  49 2
d) 36log 6 5 + 101− lg 2 − 3log9 36
+5 3 


Hướng dẫn giải:
1 1
1
1
1
2 .3log5 2 

 − log9 4

 4 − log 4  2log 23 
3


log 4
a)  814 2
+ 25log125 8  .49log7 2 = ( 3)  4 2 9  + 5 53  72log7 2 =  31− log3 4 + 5 3
 7 7 =  + 4  4 = 19
4








=

1

log2 3+3log5 5

b) 161+log4 5 + 4 2
= 42(1+log4 5) + 2log2 3+6log5 5 = 16.25 + 3.26 = 592
 1 log7 9− log7 6
1
− log 4 
 9
c) 72  49 2
+ 5 5  = 72 7 log7 9− 2 log7 6 + 5−2 log5 4 = 72  +  = 18 + 4,5=22,5
 36 16 



log6 5
log9 36
log6 25
1−lg2
log5
d) 36 +10 −3 = 6 +10 = 25+ 5 = 30
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10
b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45
2
3
3
3

(

1
c) C = log 36 2 − log 1 3
2
6

)

d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3)
4

Hướng dẫn giải:
15.18
1

3
a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log 9
= log 9 33 = log 3 33 =
10
2
2
1
 36.45 
2
4
b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 
 = log 1 9 = − log 3 3 = −4
2
20

3
3
3
3 
3
1
1
1
1
1
c) C = log 36 2 − log 1 3 = log 6 2 + log 6 3 = log 6 2.3 =
2
2
2
2

2
6
1
1
d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) = − log 4 ( log 2 3.log 3 4 ) = − log 4 ( log 2 4 ) = − log 2 2 = −
2
2
4

Ví dụ 5: [ĐVH]. Hãy tính :
1
1
1
1
a) A =
+
+
+ .......... +
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x
b) Chứng minh :
log a b + log a x
+ log ax ( bx ) =
1 + log a x

( x = 2011!)

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

b

=


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
+

Facebook: LyHung95

k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a2 x
log ak x 2 log a x

Hướng dẫn giải:
a) A =

1
1
1
1
+
+
+ .......... +
= log x 2 + log x 3 + ... + log x 2011 = log x 1.2.3...2011 = log x 2011!

log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x

Nếu x = 2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = 1

log a b + log a x
1 + log a x
log a bx log a b + log a x
Ta có log ax bx =
=
⇒ đpcm.
log a ax
1 + log a x
b) Chứng minh : log ax ( bx ) =

Chứng minh :

k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a2 x
log ak x 2 log a x

VT = log x a + log x a 2 + ...log x a k = (1 + 2 + 3 + ... + k ) log x a =

k (1 + k )

2log a x

= VP

Ví dụ 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng :
a) Nếu : a 2 + b 2 = c 2 ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ 1 , thì log c + b a + log c −b a = 2 log c + b a.log c −b a
b) Nếu 0log a N log a N − log b N
=
( a, b, c ≠ 1)
log c N log b N − log c N
2log a x.log c z
c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì log b y =
log a x + log c z
a + b ln a + ln b
d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : a 2 + b 2 = 7ab . Chứng minh : ln
=
3
2
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết a 2 = c 2 − b 2 = ( c − b )( c + b ) ⇒ 2 = log a ( c − b ) + log a ( c + b )
⇔2=

1
1
+
⇔ 2log c −b a.log c + b a = log c + b a + log c −b a
log c − b a log c + b a

b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b 2 = ac

1
1
1
1
Lấy logarith cơ số N hai vế ta được 2log N b = log N a + log N c ⇔
−
=
−
log b N log a N log c N log b N
log a N − log b N log b N − log c N
log a N log a N − log b N
. ( đpcm )
⇔
=
⇔
=
log a N .log b N
log c N .log b N
log c N log b N − log c N
c) Nếu log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng thì log x a + log z c = 2log y b
⇔

2log a x.log c z
1
1
2
+
=
⇔ log b y =
log a x log c z log b y

log a x + log c z

d) Nếu : a + b = 7 ab ⇒ ( a + b )
2

2

a + b ln a + ln b
a+b
= 9ab ⇔ 
=
.
 = ab ⇒ ln
3
2
 3 
2

2

Ví dụ 7: [ĐVH]. Tính
a. A = log 6 16 . Biết : log12 27 = x
b. B = log125 30 . Biết : lg 3 = a;lg 2 = b
c. C = log 3 135 . Biết: log 2 5 = a;log 2 3 = b
d. D = log 6 35 . Biết : log 27 5 = a;log 8 7 = b;log 2 3 = c
e. Tính : log 49 32 . Biết : log 2 14 = a
Hướng dẫn giải:
log 3 27
3
3

3− x
3− x
a) A = log 6 16 . Từ : log12 27 = x ⇔
(*)
=
= x ⇒ log 3 4 = − 1 =
⇔ log 3 2 =
log 3 12 1 + log 3 4
x
x
2x

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Do đó : A = log 6 16 =

Facebook: LyHung95

2 ( 3 − x ) .2 x 12 − 4 x
log 3 24
4log 3 2
=
. Thay từ (*) vào ta có : A=
=
log 3 6 1 + log 3 2
x ( x + 3)
x+3

log 2 5
a
a + 3b
+3= +3=
log 2 3
b
b
1
1
d) Ta có : a = log 27 5 = log 3 5 ⇒ log 3 5 = 3a; b = log 8 7 = log 2 7 → log 2 7 = 3b (*)
3
3
log 2 5.7 log 2 5 + log 2 7 log 2 3.log 3 5 + log 2 7 b.3a + 3b 3b ( a + 1)
Suy ra : D = log 6 35 =
=
=
=
=
log 2 2.3
1 + log 2 3
1 + log 2 3
1+ b
b +1
e) Ta có : log 2 14 = a ⇔ 1 + log 2 7 = a ⇒ log 2 7 = a − 1

c) Từ : C = log 3 135 = log 3 5.33 = log 3 5 + 3 =

Vậy : log 49 32 =

log 2 25

5
5
=
=
2
log 2 7
2log 2 7 2 ( a − 1)

Ví dụ 8: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức
a) A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1
1
b) B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log x ( log2 x +1) + log 22 x 4
2
c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p

Hướng dẫn giải:
2

 log a b + 1 
a) A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1 = 
 (1 − log ab a ) − 1 =
 log a b 
2

2

2

 log a b + 1  
 log a b + 1  


 log a b + 1   log a b 
log a a 
1

 1 −
 −1 = 
 1 −
 −1 = 
 
 −1
 log a b   log a ab 
 log a b   1 + log a b 
 log a b   1 + log a b 
log a b + 1
1
=
−1 =
= log b a
log a b
log a b
1
1
2
b) B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) x log x ( log 2 x +1) + log 22 x 4 = 1 + 2log 2 x + ( log 2 x )( log 2 x + 1) + ( 4log 2 x ) =
2
2
2
2
2

= 1 + 3log 2 x + ( log 2 x ) + 8 ( log 2 x ) = 9 ( log 2 x ) + 3log 2 x + 1

c) C = log a p + log p a + 2 ( log a p − log ap p ) log a p =
=

( log a p + 1) 
log a p

log a2 p 

 log a p =
 1 + log a p 

(

log a p

)

( log a p + 1)
2
a

log p

2


log a p 
 log a p −

 log a p =
1 + log a p 


3

Ví dụ 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng
1
a) log ( a − 3b ) − log 2 = ( log a + log b ) với : a > 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab
2
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
b
c
+) log 2a = log a2
c
b
+) log a b.log b c.log c a = 1
c
a
b
+) Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
b
c
a
b
c
a
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết a > 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b 2 = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab
2

2

2

Ta lấy log 2 vế : 2log ( a − 3b ) = 2log 2 + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log 2 =

2

1
( log a + log b )
2

b
c
= log a2 .
c
b
−1
2
b
c
b 
c
c
c
* Thật vậy : log a = log a   = − log a ⇒ log a2 =  − log a  = log a2
c
b
b

c
b
b
 



b) Chứng minh : log 2a

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

* log a b.log b c.log c a = 1 ⇔ log a b.log b a = log a a = 1
2

c
a
b 
b
c
a
* Từ 2 kết quả trên ta có log log 2b log 2c =  log a .log b log c  = 1
b
c c
a a
c a

a b
 bc
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
2
a
b

Ví dụ 10: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 6 3.log 3 36 = ......................................................................
b) log 3 8.log 4 81 = ......................................................................
1
.log 25 3 2 = .................................................................
5
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho log a b = 7. Tính
a
a) A = log a b
.
b3

c) log 2

b) B = log b 3 ab 2 .
a

Ví dụ 12: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
49
a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b 
→ P = log 3 5
=?
8

b
b) Cho log ab a = 2 
→ Q = log ab
=?
a
Công thức 8: a logb c = c logb a , (8)
Chứng minh:

(

Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c

Ví dụ 1: [ĐVH]. 49log7 2 = 2log7 49 = 22 = 4;

( )
2

log 2 27

= 27 log 2

)

logb a

= c logb a ⇒ dpcm

1

2

= 27 2 = 3 3...

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 36log6 5 + 3

log3 4

− 3log9 36 = ..........................................................................................................

32 − log3 2.4 2
= .............................................................................................................................
27 log3 4
c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = .........................................................................................................
log

3

b) B =

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!