Tài liệu chứng minh vô nghiệm liên hợp Hậu liên hơp

x

Bài 1: Giải phương trình:

x3  x2  1  x  1



1
x2  2  2

1

(Câu hỏi của bạn Đoàn Quốc Việt)
Nhận xét: Phương trình trên vô nghiệm và LHS < RHS
Có lẽ bài toán này bạn Việt muốn chứng minh vô nghiệm sau hệ quả
của phép nhân liên hợp nào đó !
Bài giải: Sử dụng TABLE quét từ 2 đến 7 ta thấy mỗi phân thức đều
bé hơn 0.5 do đó hướng giải quyết là quy đồng mỗi phân thức với 0.5:



1
x
1
1

 
0
2

x3  x2  1  x  1 2
x2  2  2


2



x3  x2  1  1  x

 2

x  x 1  x 1
3

2



Công việc là chứng minh:

x2  2
x 2 2
2



0

x3  x2  1  x  1 .

Nhận thấy nếu x  1 , bất phương trình luôn đúng
Còn nếu x  1 (Thêm một điều kiện có lợi), khi đó ta có:

x3  x2  1   x  1  x3  2x  0 (Luôn đúng khi x  1 ).
2

Vậy phương trình trên vô nghiệm.
Bài 2: Giải bất phương trình:

x3  2x2  x2  2x  5  2 4x  5  5x  4
(Câu hỏi của bạn Phạm Bằng)
Nhận xét: Nếu đây là phương trình không phải bất phương trình sẽ có
nghiệm x  1 . Trong bài toán này, ta sẽ chỉ liên hợp với số rồi chứng
minh vô nghiệm mà không sài các phương pháp lắt léo khác.


Bài giải
BPT  x3  2x2  5x  4 

 



x2  2 x  5  2  2



4x  5  3  0



x 1
8
  x  1  x2  x  4 

  0
2
4
x

5

3
x

2
x

5

2


Sử dụng TABLE ta nhận xét được rằng:

x2  x  4 

x 1
x  2x  5  2

2

Sử dụng TABLE ta nhận xét:

8



4x  5  3

x 1
x2  2 x  5  2

0
8

 1,

4x  5  3



8
3

Do đó sử dụng liệu pháp quy đồng ta có:



 x  1  x



2

x4

x 1
x2  2 x  5  2




0
4x  5  3 
8


 8

1 
x 1
8
  x  1  x2  x    1 




  0



3 
4x  5  3  
x2  2 x  5  2   3


2

1
1
x2  2 x  5  3  x
8 4x  5

  x  1  x    


2  12
3 4x  5  3
x2  2x  5  2





Ta chứng minh:



x2  2 x  5  3  x  0  x 2  2 x  5  x  3 .

Thật vậy nếu x  3 , không còn gì để nói.

Còn nếu x  3 , bình phương 2 vế ta được: x  1 (Luôn đúng).


0





Bài 3: Giải phương trình:

3x2  2x  3  2 3x  1  x3  2x2  5x  2
(Câu hỏi của thầy Nguyễn Văn Hoàng)
Nhận xét: Phương trình có nghiệm duy nhất x  1 .
Bài giải:



 



3x 2  2 x  3  2  2

 3x  1 x  1
3x  2 x  3  2
2



6  x  1
3x  1  2



3x  1  2  x 3  2 x 2  5 x  4



  x  1 x2  x  4



Trường hợp 1: x  1
Trường hợp 2: x2  x  4 

3x  1
3x 2  2 x  3  2



6
3x  1  2

0

Đến tình huống này đánh giá vô nghiệm tương tự như Bài 2:

 


1 3
3x  1
6
 x2  x    

3



0

4 4
3x  1  2 
3x 2  2 x  3  2  
2


1  3 3x2  2 x  3  2  12 x 3 3x  1
 x  

0
2
3x  1  2

4 3x 2  2 x  3  2





Ta chứng minh 3 3x2  2x  3  12x  2 .

1
1
không còn gì để nói. Nếu x 
thì bình phương 2 vế ta
6
6
1
23
được: 27 x2  18x  27  144x2  48x  4    x 
3
39
Nếu x 


Điều này không đúng với mọi x 



chúng ta tạo hằng đẳng thức  x 



1
. Điều này được sinh ra là bởi
6
2

1

để lấy phần dương là hơi quá
2 

mạnh tay! Đến đây ta nên đặt tiếp căn là ẩn phụ t và tìm cách chứng
minh vô nghiệm.
2

 t2  1   t2  1 

 
4
 3   3 

 t 4  5t 2  40 





t2



2

 t2  1 
 t2  1 
3
  2
3 2

 3 
 3 

6
0
t2

54
27

0
t  2 6  3t 4  12t 2  12

 





 t 4  5t 2  40 t  2  6  3t 4  12t 2  36  54 6  3t 4  12t 2  36  27 t  2   0



 6t 5  12t 4  30t 3  60t 2  213t  102  t 5  2t 4  5t 3  10t 2  40t  26



3t 4  12t 2  36  0

Ta chứng minh: 6t 4  12t 3  30t 2  60t  213  0 với t  0 .

Quá đơn giản, tách các biểu thức ra các bậc 2 có delta bé hơn 0:



 

6t 4  12t 3  30t 2  60t  213  12t 3  6t 4  36t 2  54  6t 2  60t  159
Vậy: 6t 5  12t 4  30t 3  60t 2  213t  102





2
2
 t  12t 3  6 t 2  3  6  t  5   9   102  0, t  0



Đồng thời ta chứng minh: t 5  2t 4  5t 3  10t 2  40t  26  0
Quá đơn giản, làm tương tự như trên ta có:








2

2
t 5  2t 4  5t 3  10t 2  40t  26  t  2t 3  t 2  3   t  5   4   26  0



Vậy phương trình vô nghiệm!
Bình luận tý: Không biết cách của tác giả là như thế nào nhưng cứ trâu
bò kinh điển, bạn sẽ không bao giờ nuối tiếc!
Bài 4: Giải phương trình:



1  x x2  1  x2  x  1 1  x2  x  2



(Câu hỏi của bạn Tình Thế)
Nhận xét: Phương trình có nghiệm duy nhất x  1 .
Bài giải: Bài này giống hàm đặc trưng không hoàn toàn lắm, giải cách
này là chết ngay nhưng thôi, cứ giải theo kiểu liên hợp để dạy các em
cách chứng minh vô nghiệm nhé:
Trước tiên để dễ chứng minh vô nghiệm, khai thác chặt chẽ điều kiện:





1  x x2  1  x2  x  1 1  x2  x  2 

3

1
 1  2    1  x  0
4
4

Vậy yên tâm rồi nha! Liên hợp mạnh mẽ lên nào:



1  x x2  1  x2  x  1 1  x2  x  2








x2  x  1  1  x2  x  1 x 2  x  2  x x 2  1  0



x
2 x2  x  2
  x  1 

  0
2
x2  x  1 x2  x  2  x x2  1 
 x  x 1 1

Sử dụng TABLE thấy biểu thức trong ngoặc luôn âm, ta phải chứng
minh thôi! Sử dụng TABLE với

f  x 

x
x2  x  1  1

 

, g  x 

2 x2  x  2
x2  x  1 x2  x  2  x x2  1

 

Ta thấy: f x  1, g x  1 . À há! Quá rõ như ban ngày!



x
2 x2  x  2
  x  1 
1 1
  0
2
2

2
2
x

x

1

1
x

x

1
x

x

2

x
x

1







x2  x  1 x2  x  2  x x2  1  2 x2  x  2
x  1  x2  x  1
  x  1 


x2  x  1  1
x2  x  1 x2  x  2  x x2  1


   0



Ta chứng minh: x  1  x2  x  1  0  x2  x  1  x  1
Nếu x  1 không còn gì để nói.
Với x  1 bình phương 2 vế ta được: x  0 (Luôn OK!)
Ta chứng minh:

x2  x  1 x2  x  2  x x 2  1  2x 2  x  2

Cái tình huống này thử sài hằng đẳng thức nhé!

2 x2  x  2  x 2  x  1 x 2  x  2  x x 2  1  0

 4 x2  2 x  4  2 x 2  x  1 x 2  x  2  2 x x 2  1  0







 x2  x  1  2 x 2  x  1 x 2  x  2  x 2  x  2  x 2  1  2x x 2  1  x 2  0





x2  x  1  x2  x  2

 
2



x2  1  x

  0 (ĂN MAY KINH!)
2


CÁI NÀY NGƯỜI TA GỌI LÀ TRỜI THƯƠNG NHỮNG NGƯỜI
KHÔNG NGỪNG CỐ GẮNG!
KẾT LUẬN
Trên đây là một số ví dụ điển hình cho phương pháp chứng minh vô
nghiệm bằng dò TABLE + Biến đổi tay!
Chẳng cần kiến thức cao siêu!
Chẳng cần tuyệt kỹ phi phàm!
Chỉ cần bạn và tôi cùng cố gắng hết sức, trâu hết lòng và sâu hết mình,
bạn sẽ không bao giờ thất bại!

Một điều cuối: ĐỪNG BAO GIỜ BỎ CUỘC!
Thân ái!
Casio Man – Đoàn Trí Dũng