đề thi thử thpt quốc gia môn toán DE332 sở GD tỉnh bắc giang (l2)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

KỲ THI THỬ LẦN 2 THPT QUỐC GIA NĂM 2016
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 18/06/2016
Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề

(đề
trang)
Đthi
Ề gồm
S Ố01332

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  4 .
x 1
Câu 2 (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
biết tiếp tuyến song
2x 1
song với đường thẳng d có phương trình y  3 x  2016 .
Câu 3 (1,0 điểm).

3 cos 2 x  3sin x  3 .
10
b) Giải phương trình 3x 1  31 x  .
3
a) Giải phương trình

e





Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I   x 2 x 2  ln x dx
1

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  z  1  0 ,
x  2 y 1 z
đường thẳng d :

 và điểm A(2; 1;0) . Tìm tọa độ điểm B là giao điểm của d và
1
1
2
(P). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, đi qua A và tiếp xúc với (P).
Câu 6 (1,0 điểm).
a) Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết (2  3i ) z  5i  z  2i 2 .
b) Một nông dân chỉ nuôi 03 con gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen để đẻ trứng. Ba con gà
cùng có khả năng đẻ trứng vào ngày 01/7. Biết xác suất để các con gà đẻ trứng vào ngày
1 2 3
hôm đó lần lượt là: ; ; . Tính xác suất để ngày 01/7 người nông dân đó có gà đẻ trứng.
2 3 4
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC); góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
và tính khoảng cách giữa AC và SB.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp
đường tròn (T) có phương trình x 2  y 2  6 x  2 y  5  0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
trên BC. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tìm tọa độ điểm A và viết
phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình: 20 x  10 y  9  0 và điểm H có
hoành độ nhỏ hơn tung độ.







 x3  3x 2 x  y  y y 2  1  1
x2  1 1

Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
 x, y   
 2 y  1 1  x   2 y  1 1  x  2 y
Câu 10 (1,0 điểm).
x3  y 3    x 2  y 2 

Cho hai số thực x  1 và y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
 x  1 y  1
----------HẾT---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:..............................................................., SBD:.....................................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM 2016
MÔN THI: TOÁN
(Bản hướng dẫn chấm có 05 trang)

Câu

Nội dung trình bày

Điểm

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  4 .

1,0

*) TXĐ: D  .
*) Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim y  ; lim y   .

0,25

x 

x 

Suy ra đths không có tiệm cận
1
-

x  0
Ta có y '  3 x 2  6 x ; y '  0  
 x  2
Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 2), (0; ). Nghịch biến trên (2;0).

-Bảng biến thiên

x 
y



2
0
0





0
0





*) Vẽ đúng đồ thị.

0,25

x 1
biết tiếp tuyến song song
2x 1
với đường thẳng d có phương trình y  3 x  2016 .

1,0

Hệ số góc tiếp tuyến: k  3 . Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  3x  b  b  2016 

0,25

 x 1
1
 2 x  1  3 x  b

Điều kiện tiếp xúc: 
có nghiệm
3



3
2


2
  2 x  1
x  0
2
 2    2 x  1  1  
x  1
Với x  0 có b  1 . Suy ra phương trình tiếp tuyến: y  3x  1
Với x  1 có b  5 . Suy ra phương trình tiếp tuyến: y  3 x  5
Kết luận
a) Giải phương trình

3 cos 2 x  3sin x  3 .

3 cos 2 x  3sin x  3  3sin x  3 1  cos 2 x   0  3sin x  2 3 s in 2 x  0
3

0,25

4

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2

0,25



sin x  0
x   k 2

3

 x  k hoặc 
(k  )
sin x  3
2

x
 k 2


2

3
Kết luận.

0,25

0,25

0,25

0,5
0,25

0,25


b) Giải phương trình 3x 1  31 x 
3x 1  31 x 

10
.
3

0,5

10
2 x 1
 3.3    10.3x 1  3  0
3

0,25

3x 1  3
x  2
  x 1 1  
3 
x  0

3
Kết luận

0,25

e

 



Tính tích phân I  x 2 x 2  ln x dx

1,0

1

e

e

e

I   x  2 x  ln x  dx  2  x dx   x ln xdx .
2

3

1

1

1

e

e

4

0,25

2 x 3 dx 
1

1 4
1
x   e 4  1
2 1 2

e

e e 2 1  1 2 1 2
1 2
Ta có  x ln xdx   x ln x   x dx    e  x
1 1 x  2 
2 
2
1
e
e 2  1 2e 4  e 2  1
1
I   x  2 x 2  ln x  dx   e 4  1 

2
4
4
1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
thẳng d :

0,25

e  e2  1

1
4

0,25
0,25

( P) : x  2 y  z  1  0 , đường

x  2 y 1 z

 và điểm A(2; 1;0) . Tìm tọa độ điểm B là giao điểm của
1
1
2

d và (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, đi qua A và tiếp xúc với (P).
x  2  t

+ d :  y  1  t , Tọa độ điểm B  2  t ;1  t ; 2t  . Vì B là giao điểm của (P) và d nên ta có
 z  2t

2  t  2(1  t )  2t  1  0  t  5 .

5

1,0

0,25

Suy ra B  3;6; 10 

0,25

Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính mc(S), do I nằm trên d nên I(2+a;1-a;2a)
a 5
IA  a 2  (2  a)2  4a 2  6a 2  4a  4, d(I, (P)) 

6
Do mặt cầu (S) đi qua A và tiếp xúc với (P) nên
a  1
a 5
2
2

6a  4a  4 
 35a  34a  1  0 
a   1
6
35


0,25

Với a  1  I(3; 0; 2), R  6  phương trình mc(S) : (x  3)2  y 2  (z  2) 2  6
Với a  

1
69 36
2
29 6
 I( ; ;  ), R 

35
35 35 35
35

 29 6 

69
36
2
phương trình mc(S) : (x  )2  (y  )2  (z  )2  

35
35
35
 35 
Vậy phương trình (S) cần tìm là

2

 29 6 
69
36
2
(x  3)  y  (z  2)  6 , (x  ) 2  (y  ) 2  (z  )2  

35
35
35
 35 
2

2

2

0,25

2


a) Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết (2  3i ) z  5i  z  2i 2 .

0,5

z  a  b i, (a , b   )

 (2  3i )  a  bi   5i  a  bi  2i 2
 2a  2bi  3ai  3b  5i  a  bi  2

0,25

 a  3b  2  (3b  3a  5)i  0
3

a

a  3b  2  0

4


3
b

3
a


5

0


b  11

12
3
11
Vậy phần thực của z là a 
và phần ảo là b 
.
4
12
b) Một nông dân chỉ nuôi 03 con gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen để đẻ trứng. Ba
con gà cùng có khả năng đẻ trứng vào ngày 01/7. Biết xác suất để các con gà đẻ trứng

vào ngày hôm đó lần lượt là:
6

1 2 3
; ; . Tính xác suất để ngày 01/7 người nông dân đó
2 3 4

0,25

0,5

có gà đẻ trứng.
Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố: Gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen đẻ trứng.
1
2
3
Theo giả thiết ta có P(A)  ; P(B)  ; P(B)  . Theo công thức biến cố đối ta có:
2
3
4
1
1
1
P A  ;P B  ;P C  .
2
3
4

 

 

0,25

 

Gọi D là biến cố: “Ít nhất một con gà đẻ trứng” suy ra D là biến cố: “cả 3 con gà đều
không đẻ trứng”. Từ đó ta có: D  A  B  C . Do việc 3 con gà đẻ trứng độc lập nên
các biến cố A, B, C độc lập. Theo công thức nhân xác suất ta có:
1 1 1 1
P D  P A .P B .P C  . . 

2 3 4 24
23
.
Theo công thức biến cố đối ta được P  D   1  P D 
24
23
Vậy xác suất cần tìm là
.
24
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC); góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là 600. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABC và tính khoảng cách giữa AC và SB.

       

0,25

 

7

1,0

S

Do SA vuông góc với (ABC) nên AC là hình
chiếu của SC trên (ABC)
  60  SA  a 3
 SCA

0,25
Diện tích tam giác ABC là

a2 3
SABC 
4
Thể tích khối chóp S.ABC là

K
C

A
a

3

VS.ABC 

a
(đvtt).
4

d
H

B

0,25

Kẻ đường thẳng d qua B và song song với AC ta có khoảng cách giữa AC và SB là
khoảng cách giữa AC và mp(SB, d) và là khoảng cách từ điểm A đến mp(SB,d).
Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H.
  60  AH  AB sin 60  a 3 .
Ta có 
ABH  BAC
2
Kẻ đường thẳng qua A và vuông góc với SH tại K . Ta có tam giác SAH vuông tại A
1
1
1
4
1
5
a 15
nên

 2  2  2  2  AK 
2
2
AK
AH
SA
3a 3a
3a
5
Do d  SA và AH nên d  (SAH)  (SB,d)  (SAH) mà AK  SH nên AK  (SB,d)
a 15
 d ( A, ( SB, d ))  AK 
.

5
a 15
.
Vậy khoảng cách giữa AC và SB là
5
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường
tròn (T) có phương trình x 2  y 2  6 x  2 y  5  0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên BC. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tìm tọa độ
điểm A và viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình:
20 x  10 y  9  0 và điểm H có hoành độ nhỏ hơn tung độ.
  ICA
 (1)
(T) có tâm I (3;1), bán kính R  5 . Do IA  IC  IAC
Đường tròn đường kính AH cắt BC tại M  MH  AB  MH / / AC (cùng vuông góc
  ICA
 (2)
AB)  MHB
Ta có: 
ANM  
AHM (chắn cung AM) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: AI vuông góc MN  phương trình đường thẳng IA là:
x  2y  5  0
Giả sử A(5  2a; a)  IA.

1,0

0,25

N
E

 (5  2a)2  a 2  6(5  2a)  2a  5  0
a  0
 5a 2  10a  0  
a  2
Với a  2  A(1; 2) (thỏa mãn vì A, I khác phía MN)

0,25

A

Mà A (T )

8

0,25

M
B

H

I

C

0,25

Với a  0  A(5; 0) (loại vì A, I cùng phía MN)


9
Gọi E là tâm đường tròn đường kính AH  E  MN  E  t; 2t  
10 


38 
Do E là trung điểm AH  H  2t  1; 4t  
10 

 
58   
48 
 AH   2t  2; 4t   , IH   2t  4; 4t  
10 
10 


  
272 896
t
0
Vì AH  HI  AH .IH  0  20t 2 
5
25
 11 13 
 31 17 
8
28
t

 H  ; ; t 
H ; 
5
25
5 5
 25 25 
Với t 

 11 13 
8
 H  ;  (thỏa mãn)
5
5 5

0,25

0,25


  6 3 

Ta có: AH   ;   BC nhận n  (2;1) là VTPT
5 5
 phương trình BC là: 2x  y  7  0







 x3  3x 2 x  y  y y 2  1  1
x2  1 1

Giải hệ phương trình: 
 x, y   
 2 y  1 1  x   2 y  1 1  x  2 y
x  y
ĐK: 
1  x  1
+) với x  0  y  0. .

0,25

+) Với x  0 PT (1)  x
Xét hàm số f (t )  t

9







x2  1  1 

3x 2 x  y
2

y

x  1 1





y 2  1  1 (*)



t 2  1  1 trên R. Chứng minh hàm số đồng biến trên R

0,25

Với đk x  y  f ( x)  f ( y )  VT (*)  VP (*)
Dấu “=” xảy ra khi x  y
Thay x  y vào phương trình (2) ta được:
(2 x  1) 1  x  (2 x  1) 1  x  2 x ĐK :  1  x  1, x  0

0,25

Đặt a  1  x , b  1  x ; a, b  0 thay vào phương trình ta được

(a 2  b 2  1)a  (a 2  b 2  1)b  (a 2  b 2 )  (a 2  b 2 )(b  a )  b  a  (a 2  b 2 )  0
a  b
2
2
2

2
.
 (a  b )(b  a )  b  a  (a  b )  0  
a  b  1  5

2
+ Với a  b  x  0 ( loại).
1 5
1 5
5 5
5 5
 1 x  1 x 
 x2 
x
.
+ Với a  b 
2
2
8
8
Vậy hệ phượng trình có các nghiệm x  y  

0,25

5 5
.
8

x
Cho hai số thực x  1 và y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có xy 

3

 y3    x2  y 2 

 x  1 y  1

t2
4

t 3  t 2  xy (3t  2)
t2
. Do 3t – 2 > 0 và  xy  
P
xy  t  1
4
10

1,0

t 2 (3t  2)
t2
4
Ta có P 

t2
t2
 t 1
4

t2
t 2  4t
t  0
t 2  4t
Xét hàm số f (t ) 
; f '(t ) 
;
f
'(
t
)

0

0 
.
2
2
t2
(t  2)
(t  2)
t  4
Lập bảng biến thiên của hàm só f (t ).

1,0

0,25

t3  t 2 

x  y  4
x  2
Do đó min P = min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi 

( 2;  )
 xy  4
y  2
------Hết------

0,25

0,25
0,25