Phương pháp sai phân và ứng dụng nó vào giải quyết bài toán ô nhiễm khí quyển do nhà máy thải ra

LỜIMỤC
CAMLỤC
ĐOAN
Tôi.........................................................................................................................
xin cam đoan : Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá1
MỞ ĐẦU
nhân,
được1:thực
dưới
sự hướng
dẫnCỦA
khoaLƯỢC
học của
Nguyễn
Công
CHƯƠNG
CÁChiện
KIẾN
THỨC
CƠ BẢN
ĐỒTiến
SAIsĩPHÂN
....................3
1.1 LƯỚI
VÀchịu
CÁC
BƯỚC
LƯỚI:
............................................................................3
Điều.

Tôi xin
trách
nhiệm
về nghiên
cứu của mình.
1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN ............................
6
Học viên
1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN ....................................................... 14
1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN........17
1.6. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN

Lưu Xuân Trường

ĐẦU ........................................................................................................................... 19
1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH ........21
1.8 VỀ KHÁI NIỆM TÍNH ĐÚNG ĐẮN CỦA BÀI TOÁN SAI PHÂN ................23
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ
QUYỂN ......................................................................................................................... 25
2.1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN KHÍ THẢI (VẬT
CHẤT) TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ (NƯỚC)....................................................... 25
2.2 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN ....................................................................................25
2.3 GIỚI THIỆU HÀM DELTA DIRACT ................................................................ 27
2.4 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÍ QUYỂN ...........27
2.4.1 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ....................................................... 28
2.4.2 NGHIÊN CỨU LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN (3.2.12)-(3.2.15) ............................ 30
2.4.3 MỘT VÀI KẾT QUẢ BỔ TRỢ ....................................................................30
2.4.4 TÍNH GIẢI ĐƯỢC ........................................................................................ 33
2.4.5 TÍNH ỔN ĐỊNH ............................................................................................ 34
2.4.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHO HỆ (3.2.12)-(3.2.15) ......................................34

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN THỬ NGHIỆM ..............................................37
KẾT LUẬN ...................................................................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 42
PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 43

Thang Long University Libraty



MỞ HÌNH
ĐẦU VẼ
DANH MỤC CÁC
Hình 1: Nhiều
Form chính
của chương
trình.
bài toán
thực tiễn
dẫn..........................................................................38
đến việc nghiên cứu những bài toán biên của
Hình 2: Form dữ liệu của chương trình. .......................................................................38

phương trình vật lý toán, giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu

Hình 3: Form nghiệm của chương trình. .......................................................................39

quan trọng của thực tiễn.

Hình 4: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ  theo trục x. ................................................39

Trong một số ít trường hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm được nhờ

Hình 5: Form vẽ đồ thị của hàm mật độ  theo trục z. ................................................40

vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích

phân hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là các bài
toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì
nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc nếu có nhưng rất phức tạp. Trong
những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp gần đúng.
Thế giới đang phải đối mặt với việc môi trường đang bị ô nhiễm ngày
càng nghiêm trọng. Trên thế giới đã xảy ra rất nhiều trận mưa axit, khí hậu nóng
lên làm cho băng tan dẫn đến mực nước biển dâng lên đe dọa các vùng đồng
bằng ven biển, hiện tượng nước mặn xâm nhập sâu vào đất liền…
Với việc công nghiệp hóa và hiện đại hóa với tốc độ ngày càng nhanh, các
nhà máy mọc lên không chỉ là ở những khu công nghiệp xa dân cư mà còn được
xây dựng ở những vùng đông dân. Khói độc từ các nhà máy thải ra gây hại cho
người dân sống xung quanh.
Luận văn này tập trung vào giải quyết bài hoán ô nhiễm khí quyển do nhà
máy thải ra bằng “phương pháp sai phân” nhằm mục đích có thể dự đoán trước
được ảnh hưởng và mật độ của các chất gây ô nhiễm để hạn chế tác hại của nó.
Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương, sau cùng là tài liệu dẫn và
phần phụ lục. Chương một trình bày các kiến thức cơ bản của lược đồ sai phân
nhằm phục vụ cho chương hai. Chương hai là phần chính của khóa luận, trong
đó trình bày bài toán ô nhiễm khí quyển do các nhà máy thải ra từ ống khói và
xây dựng thuật toán để giải nó. Chương ba đưa ra kết quả tính toán thử nghiệm
của một bài toán thực tiễn nhằm minh họa cho thuật toán đã xây dựng ở chương
hai. Phần phụ lục là toàn văn chương trình được lập trình trên ngôn ngữ C++.
1

Thang Long University Libraty



Em xin chân thành cảm ơn TS CHƯƠNG
Nguyễn Công
1 Điều – Viện Công nghệ
ThôngCÁC
tin đãKIẾN
tận tìnhTHỨC
hướng CƠ
dẫn BẢN
em trong
thờiLƯỢC
gian emĐỒ
làmSAI
khóaPHÂN
luận, đồng thời
CỦA
em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và các bạn cùng lớp đã nhiệt
tình
giúp
đỡ emnày
làmsẽkhóa
Trong
chương
trìnhluận
bày này.
các kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong
gian vàcứu

kiếnlược
thứcđồcủa
thân
hạn chế
nên chắc
chắn
chươngDo
haithời
để nghiên
saibản
phân
ẩn em
của còn
bài toán
ô nhiễm
khí quyển.
luận văn còn những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
và các
bạn.VÀ CÁC BƯỚC LƯỚI:
1.1
LƯỚI
Để viết được lược đồ sai phân tìm nghiệm số xấp xỉ cho một bài toán vật lý
của một phương trình vi phân đã cho cần thực hiện hai bước:
Thay miền biến thiên liên tục của biến số bởi miền biến thiên rời rạc của nó,
toán tử vi phân bởi một toán tử sai phân nào đó, xác định các biểu thức sai phân
đối với điều kiện biên và điều kiện ban đầu.
Sau đó sẽ nhận được một hệ các phương trình đại số dẫn đến việc xác
định nghiệm của bài toán đối với một phương trình vi phân đã cho được đưa về
tìm nghiệm của một hệ phương trình đại số nhận được. Khi giải một số bài toán
nào đó, ta không thể xác lập lại các giá trị của nghiệm sai phân khi biến số biến

đổi liên tục trong một miền nào đó của không gian Euclid. Vì vậy ta cần chọn
trong miền này một tập hợp hữu hạn các điểm nào đó và chỉ tìm nghiệm tại các
điểm này. Tập hợp những điểm này gọi là lưới. Hàm được xác định tại các nút
lưới được gọi là hàm lưới.
Như vậy miền biến thiên liên tục của đối số được thay bởi lưới, tức là
miền biến thiên rời rạc của đối số. Và như vậy, chúng ta xấp xỉ không gian
nghiệm của các phương trình vi phân bởi không gian các hàm lưới.
Các tính chất của nghiệm sai phân và đặc biệt là xấp xỉ của nó đối với
nghiệm chính xác phụ thuộc vào việc chọn lưới.
Ta xét một vài ví dụ về lưới.

32

Thang Long University Libraty



Ví dụ 1: Lưới đều trên một đoạn thẳng.
Chia đoạn đơn vị

[0,1]

ra N phần bằng nhau, khoảng các giữa các nút lân

cận bằng x1i  i1.h1 , i1  1, 2,... được gọi là bước lưới, các điểm chia Xi=ih (i = 0,1,...,N)
1

được gọi là các nút lưới, tập tất cả các nút lưới: h  xi  ih : i  1,..., N1 lập
thành một lưới.
Có thể xem x 0 = 0 , x N = 1 là những nút lưới.

Ký hiệu:
 h  xi  ih : i  0,1...., N

Trên đoạn [0,1], thay cho hàm của biến số liên tục y(x) được xét hàm của
biến số rời rạc yh  xi  , giá trị của hàm này được tính từ các nút lưới. Còn bản
thân hàm phụ thuộc bước lưới h như phụ thuộc vào một tham số.
Ví dụ 2: Lưới đều trên mặt phẳng. Xét tập các hàm hai biến u(x,t). Để đơn
giản xét miền xác định là hình chữ nhật:
G  0  x  1,0  t  T



Chia các đoạn [0,1] và [0,T] lần lượt thành N1,N2 phần bằng nhau. Giả sử

h 11
, 
N1N2
Qua các điểm chia ta vạch ra các đường song song với trục tọa độ tương ứng. Giao của
các đường thẳng này là những nút lưới:

1T 
 hr 
 xi , t j  : xi  ih, t j  j , i  0,...., N1 ; j  0,...., N ,2
; h


N1N2 

Ta có các bước lưới h và  tương ứng với hai trục x và t . Các nút lân cận là các
nút cùng nằm trên một đường thẳng và có khoảng cách là các bước lưới h hoặc  .

Ví dụ 3: Lưới trong miền hai chiều
Giả sử trên mặt phẳng x = (x1,x2), cho miền G dạng tùy ý với biên G .
Ta vạch ra các đường thẳng:
x1i1  i1.h1 , i1  0, 1, 2,...
x  i2 .h 2 , i2  0, 1, 2,...

i 22

trong đó hi  0, i  1, 2 . Do đó trên mặt phẳng  x1 , x2  ta có một lưới với các nút
4


 i1h1 , i2h2  , i1 , i2  0, 1,
2,...

Lưới này đều theo mỗi hướng riêng biệt (Ox ì,Ox2). Ta chỉ cần chú ý các nút
thuộc miền G  G  G . Các nút nằm trong miền G được gọi là các nút trong, lập
h

thành lưới

. Những điểm giao của các đường

x  i1.h1 , i1 và

i 11

i

x22  i2 .h 2 , i2  0, 1, 2,... với biên G được gọi là những nút biên. Ký hiệu tập hợp

các nút biên là yh . Ta thấy có những nút biên mà khoảng cách đến các nút trong
gần nhất nhỏ hơn h hay h2 . Như vậy, lưới trên mặt phẳng đều theo các hướng x1 , x1
nhưng lưới  h  h   h đối với miền G không đều ở lân cận biên.
Như vậy miền G của biến x được thay bởi lưới h , tức là một tập hữu hạn các
điểm xi  ( xi 1 , xi 2 )  G . Thay cho hàm u(x) của biến liên tục x  G ta sẽ xét hàm
1

2

lưới y ( xi ) , nghĩa là hàm của các nút lưới xi  . Hàm lưới y ( xi ) có thể viết dưới
dạng vecto. Nếu đánh số lại nút theo một thứ tự nào đó: x1 , x2 ,..., xN thì giá trị của
hàm lưới tại các nút này có thể xem như các thành phần của một vecto cột:
yT  ( y1 , y2 ,..., yN )

Nếu miền G hữu hạn, thì chiều N của vecto y cũng hữu hạn. Nếu G vô hạn, thì
lưới có vô số nút lưới, và số chiều của vecto y cũng vô hạn.
Người ta thường xét tập hợp các lưới h  phụ thuộc vào bước lưới h như một
tham số. Vì vậy, các hàm lưới yh ( x) cũng phụ thuộc vào tham số h (hoặc vào số
nút lưới đều ).
Nếu lưới h không đều thì phải xem h như một vecto h  (h1 , h2 ,..., hN ) với các
phần tử h1 , h2 ,..., hN . Cũng tương tự như vậy, với trường hợp miền G nhiều chiều:
x = (x,,x2,...,xp), khi đó h  (h1 , h2 ,..., hp ) , nếu lưới h đều theo mỗi hướng
xi (i  1,..., p) .

Hàm u(x) của biến số liên tục x  G là các phần tử của một không gian
hàm H 0 nào đó. Tập các hàm lưới yh(x) lập thành một không gian H h . Như vậy,
khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, người ta đã thay không gian H 0 bởi
không gian H h của các hàm lưới yh(x).
5

Thang Long University Libraty


Khi xét tập hợp các lưới h  ta có tập hợp H h  của các không gian các
hàm lưới phụ thuộc vào tham số h . Trong không gian tuyến tính H h đưa vào
chuẩn ||.|| là tương tự lưới của || .||0 chuẩn trong không gian xuất phát H 0 .
Giả sử u(x) là nghiệm của bài toán liên tục đang xét u  H 0 , yh là nghiệm
của bài toán sai phân ( xấp xỉ ), yh  H h .
Điều chính yếu trong giải gần đúng là đánh giá độ xấp xỉ của yh so với u .
Giả sử || .||0 là chuẩn trong H 0 , đương nhiên đòi hỏi || . ||h xấp xỉ || . || theo nghĩa0
sau:
lim || uh ||h || u ||0
h 0

Với mọi vecto u trong H 0 .

1.2 XẤP XỈ SAI PHÂN CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN ĐƠN GIẢN
Giả sử cho một toán tử vi phân L tác động lên một hàm v=v(x). Khi
nghiên cứu sự xấp xỉ sai phân một toán tử L thường người ta chỉ xét một cách
địa phương tức là tại một lân cận nào đó của điểm X cố định bất kỳ của không
gian và nếu v(x) liên tục thì xem vh (x) = v(x). Tổng quát:
vh  Ph v  H , v  H 0 , Ph : H 0  H h

Sau đó cần chọn khuôn lưới, tức là chỉ rõ tập các nút lân cận với các nút x
mà tại đó các giá trị của hàm lưới v(x) và các hệ số khác của toán tử L có thể
được dùng để xấp xỉ toán tử L .

Thay các đạo hàm của v và các đại lượng khác của toán tử bởi các biểu
thức sai phân Lh vh , thay cho toán tử Lv. Đó là một tổ hợp tuyến tính các giá trị

của hàm lưới vk trên khuôn lưới:
Lh vh ( x) 

Ah ( x,  )vh ( )



Ah ( xi , x j )vh (x j )

U h ( xi )

Hoặc:
( Lh vh )i 

xi U h ( xi )

6


Trong đó Ah ( x,  ) là hệ số, h là bước lưới, U h ( x) là khuôn lưới tại nút x. Việc
thay gần đùng toán tử vi phân Lv bởi biểu thức sai phân Lh vh như vậy được
gọi là sự xấp xỉ toán tử vi phân bởi toán tử sai phân.
Ta xét vài ví dụ xấp xỉ sai phân của một vài toán tử sai phân đơn giản.

Ví dụ 1:

Lv dv

.

dx

Cố định một điểm nào đó của trục Ox và lấy các điểm x-h và x+h với h>0.
Khai triển v(x) công thức Taylor tại x ta có:
h2

v( x  h)  v( x)  hv '( x)  v "( x)  0(h3 )

(1.2.1)

2!
h2

v( x  h)  v( x)  hv '( x)  v "( x)  0(h3 )

(1.2.2)

2!

Để có khái niệm này ta đã giả thiết rằng v(x) là hàm đủ trơn trong một lân
cận nào đó của điểm x : ( x  h0 , x  h0 ) với h< h0 , h0 là một số cố định. Từ (1.2.1),
(1.2.2) ta có:
v ( x  h)  v ( x ) h
v '( x) 
 v ''( x)  0(h 2 )
h2

Để xấp xỉ Lv ta dùng một trong các biểu thức sau:
v ( x  h)  v ( x )
L h v 

 vx

(1.2.3)

h
v ( x  h)  v ( x )
L h v 
 vx
h

(1.2.4)

L h v được gọi là hàm sai phân phải và L h v được gọi là hàm sai phân trái, hay

còn gọi là đạo hàm sai phân tiến và lùi tương ứng.
Các biểu thức sai phân L h v và L h v được xác định tại các ô nút hai điểm
( x,x+h ) và ( x,x-h). Ngoài ra việc tính xấp xỉ sai phân của đạo hàm
lấy tổ hợp tuyến tính của các biểu thức ( 1.2.3 ) và ( 1.2.4 ) như sau:
L(h ) v   vx  (1   )vx

7

Thang Long University Libraty

dv

có thể
dx

Khi   0,5 ta có đạo hàm sai phân trung tâm.
1v ( x  h)  v ( x  h)
v0x  (v x  v x ) 
22h

(1.2.5)

Như vậy có thể xấp xỉ vô số các biểu thức sai phân xấp xỉ toán tử Lv=v. Khi
thay toán tử vi phân Lv bởi toán tử sai phân Lh v ta đã phạm một sai số nào đó.
Đại lượng  ( x)  Lhv( x)  Lv( x) được gọi là sai số xấp xỉ toán tử Lv tại điểm x.
Theo công thức khải triển Taylor ta có thể viết:
v ( x  h)  v ( x )h
 v '( x)  v "( x)  0(h 2 )
h2
v ( x )  v ( x  h)h
vx 
 v '( x)  v "( x)  0(h 2 )
h2
v ( x  h)  v ( x  h)
v0 
 v '( x)  0(h 2 ) .
x
2h
vx 

Ta thấy rõ ràng:
 ( x)  vx  v '( x)  0(h), ( x)  vx  v '( x)  0h , ( x)  vx  v '( x)  0(h2
)

Ta nói rằng toán tử sai phân Lh xấp xỉ toán tử vi phân L với bậc m>0 tại điểm x nếu:

 ( x)  vx  v '( x)  0(h), ( x)  Lhv( x)  Lv( x)  0(hm )

Ví dụ 2:

d 2vn
Lv  v  2
dx

Để miêu tả xấp xỉ sai phân đạo hàm bậc hai ta cũng xét một điểm nút x cố
định bất kỳ của lưới và lấy thêm hai điểm lân cận x-h và x+h. Ta xuất phát từ
định nghĩa, đạo hàm bậc hai là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất rồi dùng các biểu
thức gần đúng của đạo hàm bậc nhất ở trên, ta có:
d 2v d dv
Lv  2  ( )  Lh v  (vx ) x
dxdx dx
v ( x  h)  v ( x ) v ( x )  v ( x  h)

vx ( x )  v x ( x  h )v( x  h)  2v( x)  v( x  h)
hh
hhh2

Mặt khác lại có:

8


v ( x  h)  v ( x ) v ( x )  v ( x  h )

vx ( x  h)  v x ( x )v( x  h)  2v( x)  v( x  h)
hh(v x ) x 

hhh2

Từ đó suy ra:

Lh v  (vx ) x  (vx ) x  vxx 1

[v( x  h)  2v( x)  v( x  h)]
h2

Khai triển hàm v(x) theo công thức Taylor ta được:

h2h3h 4 (4)h5 (5)
v( x  h)  v( x)  hv '( x)  v "( x)  v '''( x)  v ( x)  v ( x)  0(h 6 )
2!3!4!5!
h2h3h 4 (4)h5 (5)
v( x  h)  v( x)  hv '( x)  v "( x)  v '''( x)  v ( x)  v ( x)  0(h 6 )
2!3!4!5!
1 2h 4 (4)h 2 (4)6vxx  2 [h v "( x)  v ( x)  0(h )]  v "( x)  v ( x)  0(h 4 )
h1212

Vậy sai số xấp xỉ có dạng:
 ( x)  Lhv  Lv  0(h2 ) .

Ví dụ 3:

v  2 v
Lv   2 , v  ( x, t )
t x

Cho (x,t) là một điểm cố định trên mặt phẳng (x,t), h>0,  >0 là hai bước

lưới theo các trục Ox, Ot tương ứng. Đặt:
ˆv  v( x, t ), v  v( x, t   ), v 
v( x, t   )

Trước tiên ta xét xấp xỉ đơn giản nhất trên khuôn 4 điểm:
( x  h, t ), ( x, t ), ( x  h, t ), ( x, t   )

Ta có:
vv ( x   )  v ( x, t )
 v  0( )  0( )
t
 2v1
 vxx  0(h 2 )  2 [v( x  h, t )  2v( x, t )  v( x  h, t )]  0( h 2 )
x 2h
22v v
Lv  2  2
tx

Ký hiệu:
L(0) v  vt  vxxh

Trong cấu trúc của L(0) v chúng ta đã lấy vxx ở thời điểm t lớp dưới. Tương tự, tah
có thể lấy vxx ở thời điểm t+  , tức lớp sau như sau:
9

Thang Long University Libraty


ˆL(1) v  vt 
vxxh

ˆˆLấy tổ hợp tuyến tính L(h ) v  vt  [ vxx  (1   )vxx ] và L(1) v ta được một họ tham
sốh
của toán tử sai phân
ˆˆL(h ) v  vt  [ vxx  (1   )
vxx ]
Họ này với   0,   1 được xác định trên khuôn lưới 6 điểm:

(x-h,t), (x,t), (x+h,t), (x-h,t+ ), (x,t+ ), (x+h,t+  )
Bây giờ ta tính sai số của các xấp xỉ trên. Theo khai triển Taylor ta có:
v( x, t )   2v( x, t )v( x, t )
vt  0( 2 )  0( )
t2 t 2t
 2 v ( x, t ) h  4 v ( x, t ) 2 v ( x, t )4vxx  0(h )  0(h 2 )

.
x12 xx
 2 v ( x, t )
H (t ) 
x 2
242

Ký hiệu:

Theo khai triển Taylor ta có:

Mà:
Nên:
Vì:



( / 2) 2
H (t  )  H (t )  H '(t ) H "(t )  0( 3 )
22!
H (t )  H [(t   / 2)   / 2]  H (t   / 2)  ( / 2) H '(t   / 2) 
0(h3 )
 2v( x, t )  2v(t   / 2)   3v( x, t   / 2)
 0( 2 )
x 2x 22x 2t
 3 v ( x, t )
H '(t ) . Vậy suy ra:
x 2t
 2 v( x, t   / 2)   3v( x, t   / 2)
vxx  0(h 2   2 ) .
22x2x t

Tương tự, ta xét ở lớp thời gian sau t+ . Đặt:

 2 v ( x, t   ) 3v ( x, t   )
G (t   )  G '(t   ) 
2xx 2t
 
Mà G ( x, t   )  G ( x, t   ) , nên ta có:
2 2
 2 v ( x, t   )
ˆvxx  0(h 2 )
x 2

 

Theo khai triển Taylor tương tự hàm G ( x, t   ) ta được:

2

10

2


 2v( x, t   )   3v( x, t   / 2)
ˆvxx  0(h 2   2 )
x 22x 2t

Từ đó ta có:
v( x, t )  2v( x, t )
(0)
L hv vt  vxx  0(h 2   2 )  Lv( x, t )  0(h 2   )
2tx
(1)
h

v( x, t   )  2v( x, t   )
ˆL v  vt  vxx  0(h 2   )  Lv( x, t   )  0(h 2   )
tx 2

ˆVới   0,5 ta có L(0,5)v  vt  (0,5vxx
 0,5vxx )h
v( x, t   / 2)  2v( x, t   / 2)
 0(h 2   2 )  Lv( x, t   / 2)  0( h 2   2 )
2tx

Vậy:

 0  0(h2   )  L(0) v  Lv( x, t )h
1  0(h2   )  L(1) v  Lv( x, t   )
h

   0(h2   2 )  L(h )v  Lv( x, t   / 2) ,  

Ví dụ 4:

0,5
 2v  2v
Lv  2  2
tx

Trong trường hợp này, để viết toán tử sai phân Lh v  vtt  vxx cần phải sử
dụng giá trị của hàm lưới tại ba thời điểm t- , t, t+ . Ta thấy khuôn lưới ít nhất
là 5 điểm.
Một trong những phép tính gần đúng khả dĩ khi dùng giá trị vxx tại lớp
trung bình t có dạng:
Lh v  vtt  vxx

(1.2.7)

Trong đó:
v( x, t   )  2v( x, t )  v( x, t  
vtt ( x, t ) )
2

Tương tự, có thể viết biểu thức của toán tử:
ˆLh v  vtt 

(1.2.8)

vxx

11

Thang Long University Libraty


lim ||có
Phthể
u ||h 
|| hhọ
||0 2 tham số của các toán tử sai phân như
Trong khuôn lưới 9 điểm
viết
|h| 0

sau:
trong đó |h| là chuẩn của vector h.
ˆLh  v  vtt  [1vxx  (1  1   2
Xét một)vtoán
tử L nào đó trong H0 và toán tử Lh chuyển hàm lưới vh  H h (1.2.9)
xx   2vxx ]
1

2

Khi 1   2  0 thì ta có (1.2.7). Còn khi 1  1,  2  0 thì ta có (1.2.8). Ta có:
thành hàm lưới Lh vh  H h được cho trên h (tức là Lh tác động từ H h  H h ).

 2 v ( x, t )

 2 v ( x, t )

Người ta gọi hàm
lưới  h sau đây là sai số của phép
tử L bởi toán tử
vxx xấp
xỉ
0(htoán
2)
vtt  (0 2 ) ,
x

t

2

2

L
h : đó, toán tử sai phân (1.2.7) có sai số xấp xỉ là 0(h2   2 ) . Toán tử sai phân
Do
 h  Lh vh  ( Lv)h

(1.2.9) cũng có sai số xấp xỉ bậc này khi 1   2   (  là một số bất kỳ).
trong đó, vh  Phv, ( Lv)h  Ph Lv , v là một hàm bất kỳ trong H0 .
1.3 SAI SỐ XẤP XỈ TRÊN LƯỚI
Chúng Chúng
ta nói rằng,

phân
Lh xấp
xấp xỉ
xỉ sai
toánphân
tử vitạiphân
với bậc
m>0
ta đãtoán
xemtử
xétsaicách
tính
mộtLđiểm
và nói
vềnếu:
bậc
|| 'h |||| Lh vh  ( Lv)h || 0(| h | ''')

của phép tính xấp xỉ sai phân đó. Việc đánh giá bậc xấp xỉ này thường đòi hỏi ở
Hoặc:
trên toàn lưới h .
|| Lh vh  ( Lv)h || M | h | '''

Giả sử h là lưới trong miền G thuộc không gian Euclid p chiều:
trong đó, M là một hằng số dương không phụ thuộc |h|. Nếu h  (h1 , h2 ,..., hp ) thì
G  R p , x  ( x1 , x2 ,...., x p )

p

| h |

(trơn
hi2 )1/2
Gọi H0 là không gian các
hàm
u(x), Hh là không gian tuyến tính các hàm
i 1

lưới, ||.||0 là chuẩn trong H0, ||.||h là chuẩn trong Hh.
Chú ý rằng việc chọn chuẩn thích hợp để đánh giá sai số xấp xỉ liên quan
Ví dụ, nếu p=1 và Hh=L2 thì chuẩn là
đến cấu trúc của toán tử sai phân.
N 1

1/2

whu(x,t)
 làx nghiệm
j , j  1, 2,...,
 1
u j
u( x j )
Trong trường hợp
của Nphương
trình
|| u ||hhai
 (biến,
 2juchẳng
h) ; hạn
j 1
;

không dừng (truyền nhiệt, truyền sóng v.v…), thì toán tử sai phân L h xấp xỉ
Nếu p>1, thì chuẩn sẽ là
toán tử vi phân L được xác định trên các1/2hàm lưới vh(x,t) cho trên lưới:


w(hh 1, ,t h
2 ,..., hp )
w
h  wh  w  ( x, t ) : xh
|| u ||h    u 2 ( x )h  ,
w  j 1
trong đó h là hàm
lưới
trong miền G  R p , w là lưới trên đoạn [0,t0] . Giả sử
trong đó,  được lấy theo mọi nút x của lưới h . Giả thiết rằng:

v(x,t) được xem như là một hàm của đối số x  H 0 . Khi đó:
a, Tồn tại một toán tử tuyến tính
vPhh(: x,
) HPhh v( x, t )  H h
H t0 

Với
bất kỳ
u(0; x)
t0 
. Nếu
v(x,t) liên tục theo t thì có thể đặt
sao cho
mỗit 

hàm
H
h tương ứng với một hàm lưới uh ( x), x  h , tức là
uvhhPhvuh (x,Ht ),h  t  w

b, Các chuẩn ||.||h và ||.||0 tương thích, tức là:
Do đó:
12
13

Thang Long University Libraty



 h ( x, t )  Lh vh  ( Lv)h ( x, t ),( x, t ) 
w
Theo định nghĩa, toán tử sai phân Lh xấp xỉ toán tử L với bậc m>0 theo x

và bậc n>0 theo t , nếu trong lớp các hàm đủ trơn v(x,t) ta có đánh giá
|| h ( x, t ) || 0(| h |m  |  |n )

Hoặc
|| h ( x, t ) || M (| h |m  |  |n )

trong đó, M là một hằng số dương không phụ thuộc vào |h| và  .
Ví dụ: Xét toán tử
v  2v
Lv   2 , 0  x  1, 0  t  t0
t x

Toán tử Lh v được viết ở tất cả các nút bên trong của lưới
Lh v  vt  vxx
wh  ( xi , t j ) : xi  ih, t j  j , 0  j  j0 , j0  t0 / 



Và mỗi nút bên trong của lưới wh ta có:
 h ( x, t )  Lh vh  ( Lv)h  0(h2   )

Do đó, Lh xấp xỉ L bậc hai theo x và bậc một theo t trong bất kỳ chuẩn nào sau
đây:
|| y || h  max || y(t ) ||h ;|| y(t ) ||h    || y(t ) ||h ; y(t ) ||h  [   || y(t ) ||2 h ]
1/2

tw

tw

tw

1.4 THIẾT LẬP MỘT BÀI TOÁN SAI PHÂN
Để thiết lập một bài toán sai phân tương ứng với một bài toán vật lý –
toán, chẳng hạn bài toán đối với môt phương trình vi phân thì ngoài việc xấp xỉ
phương trình vi phân cần phải viết các dữ kiện của bài toán dưới dạng sai phân.
Tập hợp các phương trình sai phân đó (xấp xỉ phương trình vi phân xuất
phát và các dữ kiện) được gọi là một lược đồ sai phân. Các dữ kiện ở đây là điều
kiện biên, điều kiện ban đầu và vế phải phương trình.
Ví dụ 1: Bài toán Cauchy đối với các phương trình vi phân thông thường:
14

u '  f ( x), x  0, u (0)  u0

Chúng ta chọn một lưới sai phân đơn giản nhất
wh  xi  ih, i  1, 2,...

và tương ứng bài toán sai phân với bài toán (1.4.1)
yx   ; y0  u0

Hay
yi 1  yi
  , i  0,1,..., y0  u0
h

Trong công thức này có thể cho vế phải i bằng các phương pháp khác nhau.
Ví dụ:
i  f ( xi ), i  0,5[ f ( xi )  f ( xi 1 )]

Thỏa mãn điều kiện
i  fi  0(h) .

Để tìm nghiệm ta có công thức truy hồi
yi 1  yi  h , i  0,1, 2...

Tại đây
Ví dụ 2:

y0 = u 0
Bài toán biên
u "( x)   f ( x),0  x  1, v(0)  1 , u (1) 

2

Chúng ta lại chọn một lưới sai phân:
wh  xi  ih, i  1, 2,..., N , hN  1

Chúng ta viết bài toán sai phân ở dạng:
yxx   , y0  1 , yN  2

Hoặc
yi 1  2 yi  yi 1
 i , i  1, 2,...., N  12h

Kết quả chúng ta thu được một hệ các phương trình đại số với ma trận ba đường
chéo (có thể giải được hệ này bằng phương pháp truy đuổi).

Ví dụ 3:

Bài toán biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt
15

Thang Long University Libraty

(1.4.1)


u  2u
Lu  2  f ( x, t ), 0  x  1, 0  t  t0
t x

u(0, t)  1 (t ), u(1, t )  2 (t )

u ( x, 0)  u0 ( x)

Ta chọn lưới sai phân:
wh  ( xi  ih, t j  j ), i  0,1,..., N1 , j  0,1,..., N 2

Đặt:



yij  y( xi , t j )

là hàm cho trên lưới wh  wh  w
Xét trường hợp khuôn lưới 4 điểm đơn giản nhất ta có bài toán sai phân
yt  yxx  

hoặc ở dạng chỉ số của các hàm lưới
yij 1  yij yij1  2 yij  yij1
  i j , (1  i  N1  1, 0  j  N 2  1)2h
j

y0j  1 (t j ), yN1  2 (t j )
yi0  u0 ( xi )

Có thể cho vế phải bằng các phương pháp khác nhau:
i j  f ( xi , t j ) ,

i j  f ( xi , t j 1/2 ) ,…

Bài toán sai phân trên là điển hình của lược đồ tường minh. Lời giải ở lớp thời
gian trên yij 1 được xác định thông qua lời giải của lớp thời gian trước đó theo

công thức tường minh:
j

y j 1  y j   ( yxx   j )

Ta khảo sát lược đồ bất tường minh (lược đồ ẩn):
ˆyt  yxx  
y(0, t )  1 (t ), y(1, t )  2 (t )
y(0, t )  u0 ( x), t  w , x  wh
ˆĐể xác định được nghiệm y  y j 1 tại lớp thời gian j+1 ta có các phương trình

đại số:
16


y j 1  y j 1xx  F j , F j  y j   j

Với ma trận ba đường chéo, ta có thể giải hệ này bằng phương pháp truy đuổi.

1.5 VỀ SỰ HỘI TỤ VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN
Khi giải một bài toán vật lý nào đó bằng phương pháp gần đúng (xấp xỉ),
thì mục đích cuối cùng là cần xem nghiệm được xác định bởi phương pháp xấp
xỉ đó đã xấp xỉ nghiệm chính xác của bài toán với độ chính xác như thế nào. Vì
vậy cần xét vấn đề hội tụ và độ chính xác của các lược đồ sai phân.
Giả sử trong miền G với biên  cần tìm nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính
Lu  f ( x), x  G  R p

(1.5.1)

thỏa mãn các điều kiện phụ (điều kiện biên, điều kiện ban đầu)
lu   ( x), x  

(1.5.2)

trong đó, f ( x),  ( x) là những hàm cho trước (dữ kiện của bài toán), l là toán tử vi
phân tuyến tính nào đó.
Giả thiết rằng nghiệm của bài toán (1.5.1)-(1.5.2) tồn tại và duy nhất. Phủ
miền G   bằng lưới wh . Miền biến thiên của đối số liên tục x được thay bởi
một tập hợp rời rạc các điểm nút lưới xi  wh  wh   h .
Bước lưới h là một tham số nào đó đặc trưng cho sự trù mật của các nút lưới.
Ta đặt tương ứng bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) với bài toán sai phân sau
Lh yh  h , x  wh
lh yh   h , x   h

(1.5.3)

trong đó h và  h là những hàm lưới đã biết. Các toán tử Lh và lh tác động lên
các hàm lưới cho tại các nút lưới x  wh . Khi thay đổi h có nghĩa là ta chọn một
lưới wh khác, dẫn đến nhận một tập nghiệm  yh  phụ thuộc vào tham số h. Như
vậy, cần xét một họ các lược đồ dạng (1.5.3) tương ứng với các giá trị khác nhau
của tham số h.

17

Thang Long University Libraty


Mục
đích

cơđồ
bản
mọi(1.5.3)
phương
gần
được
nghiệm
Ta
nói
lược
saicủa
phân
hộipháp
tụ với
tốcđúng
độ 0(|làhnhận
|n ) hay
có độ
chính
của
phát với
0 cho
trước
một
hữu
xác bài
cấp toán
n (cóxuất
độ chính
xácđộ

0(|chính
h |n ) ) xác
nếu 
vớimọi
h đủ
bé | nào
h |đó
h0 ,sau
ta có
bấtsốđẳng
hạn các phép tính. Để thấy rõ độ sai khác giữa nghiệm chính xác u của bài toán
thức sau
(1.5.1)-(1.5.2) và nghiệm
xỉ của bài toán
|| zh ||(1xấp
) || yh  uh ||
 M(1.5.3)
| h |n với độ chính xác   0 đã
h

(1 )

h

cho trong quan hệ với việc bước lưới h( ) ta cần so sánh yh và uh . Việc so sánh
trong đó M là một hằng số dương không phụ thuộc vào h và n>0.
này thường được tiến hành trong không gian Hh của các hàm lưới.
Ta nói rằng lược đồ sai phân (1.5.3) có độ xấp xỉ bậc n nếu
Giả sử uh là giá trị của nghiệm chính xác u(x) trên lưới h với uh  H h . Ta
||  h ||  0(| h |n ) , ||  h ||  0(| h |n )

xét sai số của lược đồ sai phân (1.5.3)
Ký hiệu các giá trị của f(x) và Lu(x) trên lưới h lần lượt là fh và (Lu)h và
(3h)

(2h)

z h  yh  u h

chú ý rằng (f-Lu)h = 0 ta có thể viết sai số xấp xỉ  h dưới dạng:
Để có điều kiện đối với zh ta thay zh  yh  uh vào các đẳng thức (1.5.3) và

 h  (h  Lhuh )   f h  ( Lu)   (h  f h )  ( Lu)h  Lhuh   

nhận được một bài toán
(1) h sai
phân
(2) h đối với z h cùng dạng với bài toán (1.5.3)
Như vậy, sai số xấp xỉ đối với lược đồ là tổng của sai số xấp xỉ vế phải
Lh zh   h , x  h , lh zh  vh , x   h
 (1) h  h  f h

trong đó
và sai số xấp xỉcủa
toán tử vi phân
h  h  Lhuh , x  h , vh   h  lhuh
 (2) h  ( Lu)h  Lhuh

Các vế phải  h và vh của bài toán (1.5.4) được gọi lần lượt là sai số xấp xỉ
Vậy cấp của độ chính xác của lược đồ phụ thuộc vào cấp của độ xấp xỉ đối với
phương trình và sai số xấp xỉ điều kiện biên của bài toán sai phân đối với bài

nghiệm như thế nào?
toán vi phân tương ứng. Người ta gọi  h là sai số xấp xỉ đối với điều kiện biên
Độ chính sác zh  yh  uh là nghiệm của bài toán (1.5.4) với vế phải
lh yh   h .
 h  h  Lhuh . Vì vậy, vấn đề về mối liên hệ giữa cấp của độ chính xác với cấp
Để đánh giá sai số của lược đồ zh và sai số xấp xỉ và người ta đưa vào các
của độ xấp xỉ là vấn đề đặc trưng cho sự phụ thuộc của nghiệm bài toán sai phân
chuẩn tương ứng trên các hàm lưới: || . ||(1 ), || . ||(2 ) và || .||(3 ) .
vào vế phải. Nếu zh phụ thuộc liên tục (và hơn nữa đều theo h ) vào  h và vh
Chúng ta sẽ nói rằng nghiệm của bài toán sai phân (1.5.3) hội tụ tới
(lược đồ ổn định), thì bậc của độ chính xác trùng với bậc của độ xấp xỉ.
nghiệm của bài toán vi phân (1.5.1)-(1.5.2) (lược đồ (1.5.3) hội tụ) nếu:
h

h

h

1.6. PHƯƠNG PHÁP||XẤP
zh ||(1 ) XỈ
|| CÁC
yh  uĐIỀU
h ||
 0KIỆN
khi | hBIÊN
| 0 VÀ ĐIỀU KIỆN
h

(1 )

h

BAN ĐẦU
hay
Trên đây ta đã ||thấy
chính xác của lược đồ sai phân phụ thuộc vào bậc
zh ||(1 độ
)  p(| h |)
h

xấp xỉ đối với nghiệm bài toán xuất phát, không chỉ vào phương trình mà còn
trong đó
vào dữ kiện của bài toán đã cho. Xét các ví dụ sau
p(| h |)  0 khi | h | 0
Ví dụ: Bài toán biên đối với phương trình truyền sóng
18
19

Thang Long University Libraty

(1.5.4)



 2u  2u
 f  x, t  ,
t 2 x 2
u (0, t )  u1 (t )

u  x,0   u0  x



0  x  1, 0  t  t0 ,
u(1, t )  u2 (t )

(1.6.1)

 2  x, 0 
 u0  x  .
 2t

Rõ ràng khi tính gần đúng bài toán (1.6.1) ta đặc biệt chú ý tới cách viết ở
dạng sai phân điều kiện ban đầu đối với đạo hàm

u

. Giả sử cho một lưới đều

t

h theo x và y với bước lưới h và  (xem ở phần 1). Nếu chúng ta sử dụng cách

tính xấp xỉ đơn giản nhất ut  x,0  u0  x  , thì sai số sẽ là bậc O   . Ta đặt ut  x,0
dưới dạng:
u  x,    u 
ux
, x, 0    2u  x, 0 
ut  x, 0  


0 
 O t 2  .2t2 t

Bây giờ ta trở lại phương trình vi phân ban đầu và tìm được:
 2 u  x, 0   2 u  x, 0 
 f  x, 0   Lu0  x   f  x, 0 

trong đó

Vì
Từ đây ta có

t 2x 2
d 2 u0
Lu0 
dx 2
 2 u  x , 0  d 2 u0  x 

x 2dx 2

u  x, 0 
ut  x, 0   0.5  Lu0  f  x, 0
O
2

t
Bởi vậy, điều kiện ban đầu viết dưới dạng sai phân



ˆ

yt 



ˆ
x,0   u( x) ,

ở đây u( x)  u  x   0.5  Lu0  f  x,0  xấp xỉ điều
u  x, 0 
kiện
 u0  x 
t

Với bậc 2 theo  .

20


Điều kiện u  x, t   u0  x  và các điều kiện biên trong trường hợp này được
xấp xỉ chính xác. Ta có thể lấy một trong các lược đồ sai phân đã xét trong mục
1.2 làm ví dụ về phép xấp xỉ sai phân của phương trình vi phân.
1.7 CÁC VÍ DỤ VỀ LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH
Việc sử dụng các lược đồ sai phân cho phép tiến hành giải các bài toán
đối với phương trình vi phân bằng cách đưa về giải hệ phương trình đại số tuyến
tính. Các vế phải của phương trình, các điều kiện biên và điều kiện ban đầu mà
sau này ta gọi chung là dữ kiện vào – được cho với sai số xác định.
Các lược đồ mà trong quá trình tính toán làm tăng các sai số ban đầu có
tính không ổn định và không thể áp dụng vào thực tế. Trước khi đưa ra khái

niệm về tính ổn định của lược đồ sai phân theo dữ kiện vào chúng ta hãy xét
khái niệm của nó bằng trực giác, ta chỉ ra một ví dụ.
Ví dụ 1. Lược đồ ổn định:
u '   u, x  0, u  0   u0 , 
0

(1.7.1)

Ta có thể nhận thấy nghiệm của bài toán (1.7.1) là hàm
u  x   u0e x

Bài toán sai phân xấp xỉ bài toán (1.7.1) trên lưới đều
h  xi  ih, i  0,1,...

là

yi  yi 1h   yi  0, y0  u0 , i  1, 2,...

Có thể viết bài toán (1.7.2) dưới dạng sau
yi  syi 1 , s 1

Từ đó ta có yi  si y0

, i  1, 2,..., y0  u0
1  h

Chúng ta xét điểm cố định x và chọn một dãy các bước lưới h sao cho x luôn
luôn là điểm nút x  i0 h . Khi làm nhở bước lưới h  0 , số i0 phù hợp với điểm x
chúng ta đã chọn, sẽ tăng lên vô hạn.
Ta tính giá trị của y tại điểm này

yi0  si0 y0  ei0 lns y0

21

Thang Long University Libraty

(1.7.2)