Các ph ơng pháp điều khiển, đo l ờng hiện đại và ứng dụng

tổng công ty công nghiệp tàu thủy việt nam
công ty cơ khí - điện - điện tử tàu thủy
_________________________________________________

Chơng trình KHCN cấp nhà nớc KC 06
"ứng dụng công nghệ tiên tiến trong sản xuất sản phẩm xuất
khẩu và sản phẩm chủ lực"

Dự án

Chế tạo một số phần tử và thiết bị điều khiển,
đo lờng quan trọng trên tàu thủy
bằng phơng pháp chuẩn module và ứng dụng
các công nghệ tiên tiến
Mã số KC 06. DA.13.CN
______________________________________________________
Chuyên đề: Các phơng pháp điều khiển, đo lờng hiện đại và ứng dụng

pGS, TS Nguyễn don phớc

5473-1

Hà Nội - 5/2005


Hợp đồng: 645/HĐ/KC06DA13CN

Các phơng pháp điều khiển, đo
lờng hiện đại và ứng dụng

Ngời thực hiện:

PGS.TS. Nguyễn Doãn Phớc
Bộ môn ĐKTĐ, Khoa Điện, Trờng ĐHBK Hà Nội.

Hà Nội 52005


C¸c ph−¬ng ph¸p ®iÒu khiÓn vµ ®o l−êng hiÖn ®¹i

2


Lời nói đầu

Trong những năm gần đây, các phơng pháp điều khiển phi tuyến và điều khiển
thích nghi các đối tợng phi tuyến phát triển khá nhanh, tạo tiền đề cho việc giải quyết
một loạt các bài toán điều khiển đạt đợc chất lợng vợt bậc mà trớc đây là không thể.
Điển hình trong số đó là phơng pháp điều khiển phi tuyến dựa trên nền hình học vi
phân, điều khiển thích nghi ISS, điều khiển thụ động (passive), các phơng pháp thiết kế
bộ quan sát trạng thái đối tợng phi tuyến để đo lờng những đại lợng không thể đo
đợc trực tiếp.
Tài liệu này sẽ tổng quan lại những phơng pháp điều khiển, đo lờng hiện đại nêu
trên. Nó đợc thực hiện trong khuôn khổ hợp đồng số 645/HĐ/KC06DA13CN và có nội
dung nh sau:
Phần 1:
1.1

Tổng quan về các phơng pháp điều khiển thích nghi hiện đại

5

Cơ sở nền tảng: Lý thuyết Lyapunov...............................................................................5
1.1.1 Khái niệm ổn định Lyapunov và tiêu chuẩn xét ổn định ......................................................5
1.1.2 Thiết kế bộ điều khiển..........................................................................................................8
Hàm điều khiển Lyapunov ..............................................................................................8
Phơng pháp thiết kế cuốn chiếu (backstepping) ........................................................12

1.2

Điều khiển thích nghi kháng nhiễu (disturbance attenuation)........................................15
1.2.1 Định nghĩa tính ổn định ISS và hàm ISSCLF...................................................................15
1.2.2 Điều khiển nén miền hấp dẫn (damping)...........................................................................18
1.2.3 Thiết kế cuốn chiếu hàm ISSCLF (disturbance backstepping) .......................................21
1.2.4 Điều khiển ổn định ISS kháng nhiễu hệ thống ..................................................................24

1.3

Điều khiển tuyến tính hóa chính xác trên nền hình học vi phân ....................................27
1.3.1 Công cụ toán học: Hình học vi phân..................................................................................27
Đạo hàm Lie .................................................................................................................27
Phép nhân Lie (hay phép ngoặc Lie)............................................................................27
Tiêu chuẩn Frobenius ...................................................................................................28
1.3.2 Bậc tơng đối .....................................................................................................................30
1.3.3 Dạng mô hình chuẩn (normal form) ...................................................................................32
1.3.4 Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vàora.........................................................................34
1.3.5 Tuyến tính hóa chính xác quan hệ vàotrạng thái.............................................................36

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

3

Phần 2:

Đề xuất một phơng pháp điều khiển thích nghi kháng nhiễu mới
và kết quả ứng dụng thu đợc

2.1

40

Nguyên tắc chung của phơng pháp ............................................................................ 40
2.1.1 Bớc 1: Tuyến tính hóa chính xác......................................................................................42
2.1.2 Bớc 2: Điều khiển theo mô hình mẫu để kháng nhiễu .....................................................45
2.1.3 Những trờng hợp mở rộng của phơng pháp ...................................................................46

2.2

Một số kết quả ứng dụng của phơng pháp.................................................................. 48
2.2.1 ứng dụng trong điều khiển động cơ dị bộ nguồn kép ........................................................48
2.2.2 ứng dụng để điều khiển kháng nhiễu phản hồi đầu ra cho các đối tợng tuyến tính
bất định ..............................................................................................................................50

Phần 3:

Những phơng pháp đo gián tiếp (hay quan sát) các biến trạng
thái của hệ thống phi tuyến

3.1

55

Các phơng pháp thiết kế bộ quan sát phi tuyến.......................................................... 57
3.1.1 Bộ quan sát Luenberger mở rộng ......................................................................................57
3.1.2 Quan sát theo nguyên lý trợt (sliding mode observer).....................................................59
3.1.3 Bộ quan sát có hệ số khuếch đại lớn (high gain observer)................................................61

3.2

Bàn về nguyên lý tách cho hệ phi tuyến (separation principle)..................................... 62

Phần 4:

Tài liệu tham khảo

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

65

4


Phần 1:

Tổng quan về các phơng pháp điều khiển thích nghi
hiện đại

1.1
1.1.1

Cơ sở nền tảng: Lý thuyết Lyapunov
Khái niệm ổn định Lyapunov và tiêu chuẩn xét ổn định
Xét hệ mô tả bởi

dx
= f ( x, u)
dt

(1.1)

Giả sử hệ cân bằng tại gốc tọa độ, tức là f (0,0) =0, thì bị nhiễu tức thời đánh bật ra khỏi

điểm cân bằng 0 và đa tới một điểm cân bằng nào đó x 0 0. Nếu sau đó:
Hệ tự quay trở về một lân cận nào đó của 0 thì nó đợc gọi là ổn định tại 0 (ổn định

Lyapunov).
Hệ tự quay trở về 0 thì nó đợc gọi là ổn định tiệm cận tại 0.

Nh vậy, hệ (1.1) có thể có nhiều điểm cân bằng và hệ có thể ổn định tại điểm cân bằng
này song lại không ổn định ở một điểm cân bằng khác.
Theo định nghĩa trên, để xét tính ổn định Lyapunov tại 0 của hệ, ta phải xét xem
nghiệm x(t) của phơng trình vi phân ứng với u=0:
dx
= f ( x, u = 0) = f ( x )
dt

với

x(0)=x 0

(1.2)

có đi về lân cận gốc (hoặc thậm chí kết thúc tại 0) hay không.
Tiêu chuẩn Lyapunov là một công cụ kiểm tra tính ổn định của hệ (1.1) mà không
cần phải tìm nghiệm x(t) theo (1.2). Nó đợc giải thích nh sau: Giả sử bao quanh gốc tọa
độ 0 có họ các đờng cong khép kín v (hình 1.1). Các đờng cong này có thể đợc xem nh
biên của các lân lận của điểm gốc 0. Để kiểm tra xem quỹ đạo trạng thái x(t) và đi từ
điểm trạng thái đầu x0 cho trớc nhng tùy ý) mô tả quá trình tự do của hệ, có tiến về gốc
tọa độ 0 hay không, ta chỉ cần xét xem quỹ đạo trạng thái x(t) có cắt tất cả các đờng
cong thuộc họ v từ bên ngoài vào bên trong hay không và nếu điều đó xảy ra thì chắc
chắn x(t) phải có hớng tiến về gốc tọa độ và kết thúc tại đó.

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

5


V(x)
dx
dt

vk

k2



gradV

k1

x

x1
vk1

vk2

x2

Hình 1.1: Tạo họ các đờng cong kín chứa
gốc tọa độ bằng hàm xác định dơng.

Họ các đờng cong v khép kín chứa điểm gốc tọa độ 0 bên trong đợc xây dựng bằng
các đờng đồng mức của một hàm xác định dơng. Hàm xác định dơng V(x) có tính chất
là khi ta cắt nó bằng một mặt phẳng V=k song song với đáy (không gian trạng thái) và
chiếu thiết diện xuống đáy thì ta sẽ đợc một đờng cong khép kín vk chứa điểm gốc tọa
độ 0. Đờng cong vk ứng với k nhỏ hơn thì nằm bên trong đờng cong vk ứng với k lớn hơn
(hình 1.1). Nói cách khác:
k1< k2



vk1 nằm bên trong vk2 .

Do vector gradV luôn vuông góc với đờng cong v k và chỉ chiều tăng theo k nên nó sẽ có
hớng chỉ từ trong ra ngoài đờng cong vk (hình 1.1).
Tiếp theo, do có:

dV V dx
dx

T dx
cos ,
=
= (gradV)
= |gradV |

dt
dt
dt x dt
dx
dV
lại là tiếp tuyến của quỹ đạo trạng thái x(t), nên với điều kiện
<0, góc tạo
dt
dt
dx
phải là một góc tù (lớn hơn 900), tức là quỹ đạo trạng thái
bởi hai vector gradV và
dt
x ( t ) sẽ cắt tất cả các đờng cong vk theo hớng từ ngoài vào trong.

mà

Vậy, nếu tồn tại hàm Lyapunov V ( x ), thỏa mãn:
a) Xác định dơng, tức là V ( x )>0 với x 0 và V ( x )=0 x =0 ,
b) Lf V =

V
f ( x) 0
x

(đạo hàm của nó xác định bán âm),

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

6


với x là nghiệm tự do của hệ thống thì hệ sẽ ổn định tại điểm gốc tọa độ 0. Khi đó V ( x )
đợc gọi là hàm Lyapunov. Nếu dấu bằng trong điều kiện b) chỉ xảy ra khi x =0, tức là
Lf V =

V
f ( x ) xác định âm, thì hệ là ổn định tiệm cận tại 0.
x

Một trong những hàm xác định dơng, rất thích hợp với những bài toán điều khiển
tuyến tính, là hàm thực dạng toàn phơng:
T

V ( x ) = x Qx

trong đó Q là một ma trận vuông có số chiều thích hợp (theo chiều của vector x ).
Do có:
T

V ( x ) = x Qx = ( x ) T Q ( x )

nên các phát biểu sau là tơng đơng:
T

với mọi x >0

T

với mọi x 0

a)

V ( x ) = x Qx >0

b)

V ( x ) = x Qx >0

c)

Ma trận Q là đối xứng và có các giá trị riêng là những số thực dơng.

áp dụng cho hệ tuyến tính với mô hình trạng thái không bị kích thích:

dx
= Ax
dt

trong đó A là ma trận n hàng, n cột có phần tử là những số thực, tức là AR

nì n

. Sử dụng

T

hàm xác định dơng V ( x )= x Qx , tức là Q đối xứng, có các giá trị riêng là số thực dơng,
ta sẽ có:
T

dV dx
dx
T
T
=
Qx + x T Q

= (Ax ) Qx + x Q (Ax )
dt
dt
dt




T

T

= x ( A Q+QA ) x
Vậy theo tiêu chuẩn Lyapunov, hệ tuyến tính sẽ ổn định tiệm cận nếu:
T

A Q+QA = P

(1.3)

là ma trận xác định âm (đối xứng và các giá trị riêng có phần thực âm), tức là P là ma
trận xác định dơng.

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

7


Phơng trình (1.3) với nghiệm Q đợc gọi là phơng trình Lyapunov. Phơng trình
Lyapunov với A là ma trận bền và P đối xứng, xác định dơng cho trớc luôn có nghiệm Q
xác định dơng.
1.1.2

Thiết kế bộ điều khiển

Hàm điều khiển Lyapunov

Xét đối tợng phi tuyến cân bằng tại gốc, có mô hình (1.1). Nhiệm vụ của bài toán
điều khiển đợc đặt ra ở đây là thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái u = u ( x ) sao cho
hệ kín (hình 1.2) đợc ổn định (tại 0).
Một trong những phơng pháp đơn giản thực hiện bài toán trên là sử dụng tiêu
chuẩn ổn định Lyapunov. Một cách tóm tắt, nó bao gồm các bớc:
Tìm một hàm V ( x ) xác định dơng, khả vi.
Xác định hàm u = u ( x ) để có

< 0 khi x 0

dV ( x )
V
= Lf V =
f ( x, u( x )) =
dt
x
= 0 khi x = 0

w

(1.4)

u

dx
= f ( x, u)
dt

x

Hình 1.2: ứng dụng tiêu chuẩn Lyapunov
để thiết kế bộ điều khiển.

u(x)

Phơng pháp thiết kế nhờ hàm xác định dơng V(x) trên đây đợc xem nh một công cụ
toàn năng trong lĩnh vực điều khiển phi tuyến cho đối tợng có mô hình phức tạp, chẳng
hạn nh không dừng, không autonom, thậm chí mô tả không chính xác đối tợng, hoặc có
những tham số mô hình bất định (uncertainties). Tất nhiên rằng bộ điều khiển u=u(x)
tìm đợc theo (1.4) phụ thuộc chủ yếu vào cấu trúc hàm xác định dơng V(x) đã chọn.

Hơn nữa phơng trình (1.4) cũng chỉ có thể có nghiệm u=u(x) nếu nh có inf Lf V <0.
u

Một hàm xác định dơng, khả vi V(x) thỏa mãn [36]

V ( x )

inf Lf V = inf
f ( x, u ) <0
u
u x


khi

x0

đợc gọi là hàm điều khiển Lyapunov (hàm CLF Control Lyapunov function).

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

8


Ví dụ 1.1: Khái niệm hàm điều khiển Lyapunov

Cho đối tợng phi tuyến với mô hình:
dz1
= z 1 +z 2
dt

dz2
= z 1 z 2 +z 3
dt

M

(1.5)

dzn1
= z n 2 z n 1 +z n
dt
dzn
= (z)+u
dt
Hệ này có hàm điều khiển Lyapunov V(z)=

(

1 2
z1 + z22 + L + zn2
2

)

vì cùng với nó ta có bộ

điều khiển phản hồi trạng thái:
u(z)= z n 1 z n (z)

(1.6)

và tính xác định âm của:

dV
V dz
=
= ( z1
dt
z dt

zn )

z2 L zn1

z1 + z2




z1 z2 + z3


M


zn2 zn1 + zn


f ( z) + u

= z12 z22 L zn2 + z n [ z n 1 +z n + (z)+u ]
= z12 z22 L zn2



Từ kết quả của ví dụ 1.1 ta còn có đến đợc định lý sau:
Định lý 1.1: Cho hệ phi tuyến affine có cấu trúc truyền ngợc:

dx1
dt = f1 ( x1 ) + x2

M

dxn1
dt = fn1 ( x1 , x2 , L , xn1 ) + xn

dxn
dt = fn ( x1 , x2 , L , xn ) + u

(1.7)

Phép đổi biến khả nghịch z=m(x):

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

9

x1
z1



M
M

z = zk = xk + ak1 ( xk1 )


M

M
z x + a ( x )
1 n 1
n
n 144
3
4n2444
m( x )
trong đó x k là ký hiệu chỉ vector
T

xk = (x1, x2, K , xk) ,

xn = x = (x1, x2, K , xn)

T

và các hàm a i ( x i ), 1 in 1 đợc xác định truy hồi theo

a1 ( x1 ) = x1 + f1 ( x1 )
a2 ( x2 ) = x1 + x2 + f2 ( x2 ) + a1 ( x1 ) +

a1
1 ( x2 )
x1

ak ( xk ) = xk1 + xk + fk ( xk ) + ak2 ( xk2 ) + ak1 ( xk1 ) +

(1.8)
ak1
k1 ( xk )
xk1

với ký hiệu vector k1 ( xk ) :

f1 ( x1 ) + x2


k1 ( xk ) =
M

f (x ) + x
k
k1 k1
sẽ chuyển hệ truyền ngợc (1.7) về dạng (1.5) đã xét ở ví dụ 1.1 có

(z) = fn ( x ) +

an1
n1 ( x )
xn1

và do đó nó sẽ đợc điều khiển ổn định tiệm cận tại gốc tọa độ bằng bộ điều khiển:

u ( z ) = z n 1 z n ( z )
= xn1 an2 ( xn2 ) xn an1 ( xn1 ) fn ( x )

an1
n1 ( x )
xn1



Ví dụ 1.2: Khái niệm hàm điều khiển Lyapunov

Đối tợng phi tuyến:

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

10


dz1
= z 1 + z 2
dt
dz2
= z 2 + z 3

dt

M

(1.9)

dzn1
= z n 1 + z n
dt
dzn
= ( z )+ u
dt

(

có hàm điều khiển Lyapunov V ( z )= z12 + z22 + L + zn2

)

vì cùng với nó ta có bộ điều

khiển phản hồi trạng thái:

u ( z )= z n ( z )

(1.10)

và tính xác định âm của:

dV

V dz
=
= 2 ( z1
dt
z dt

z2 L zn1

zn )

z1 + z2


z2 + z3


M


zn1 + zn
f ( z) + u



= z12 ( z1 z2 )2 L ( zn1 zn )2 + z n [ z n + ( z )+ u ]
= z12 ( z1 z2 )2 L ( zn1 zn )2



Ví dụ 1.3: Khái niệm hàm điều khiển Lyapunov

Xét hệ nhiều đầu vào có cấu trúc affine:

dx
= f ( x) + H ( x ) u
dt
trong đó u R

m

(1.11)

là vector tín hiệu điều khiển và H ( x ) là ma trận hàm với các vector cột

h 1 ( x ), h 2 ( x ), K , h m ( x ). Gọi V ( x ) là một hàm trơn, xác định dơng, hợp thức tùy ý. Ký
hiệu:

a ( x ) = ( Lh1 V , L , Lhm V )

T

và
=

{

xR

n

| a ( x )| =0

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

}

(1.12)

11


Nếu trong miền hàm Lf V xác định âm, tức là:

x và x 0



Lf V <0

(1.13)

thì ta có thể dễ dàng thấy đợc V ( x ) cũng sẽ là hàm CLF của (1.11) và một trong các bộ
điều khiển phản hồi trạng thái u = r ( x ) tơng ứng làm đối tợng ổn định tiệm cận toàn
cục là:

( x ) Lf V
a( x ) nếu x Z

2
u(x) =

a( x )

tùy ý nếu x Z

(1.14)

trong đó (x) là một hàm xác định dơng đợc chọn bất kỳ, vì bên cạnh điều kiện (1.13)
khi x xác nhận tính xác định âm của
V
x

[ f ( x ) +H(x)u ]

T

= Lf V + ( Lh1 V , L , Lhm V ) u = Lf V

thì khi x ta cũng có từ (1.14):
V
x

[ f ( x ) +H(x)u ]

= Lf V + ( Lh1 V , L , Lhm V )
= (x)

T

( x ) Lf V
a( x )

2

a( x )



Phơng pháp thiết kế cuốn chiếu (backstepping)

Cho hệ:
dx n1
= f ( x n1 , xn ) = f ( x )
dt

(1.15)

dxn
= g(x n 1 ,x n )+u =g(x)+u
dt

(1.16)

trong đó:
T

x n 1 = (x 1 , x 2 , L , x n 1 ) R
T

x = (x n 1 , x n ) R

n1

n

Xét riêng hệ con (1.15) của mô hình tổng quát trên mà ở đó x n có vai trò nh tín
hiệu điều khiển ảo. Giả sử đã biết hàm CLF V 1 (x n 1 ) của (1.15) cũng nh bộ điều khiển
ổn định tiệm cận tơng ứng x n =v(x n 1 ). Khi đó, để tìm hàm CLF V(x)=V(x n 1 ,x n ) và

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

12


bộ điều khiển ổn định tiệm cận u(x) cho đối tợng chung gồm (1.15) và (1.16) ta có định
lý sau:
Định lý 1.2 ([22]): Gọi V 1 (x n 1 ) là hàm CLF của (1.15) và x n =v(x n 1 ) là bộ điều khiển

khả vi tơng ứng thỏa mãn v(0)=0. Khi đó:
V(x) = V(x n 1 ,x n ) = V 1 (x n 1 )+ (x)

(1.17)

với (x)= (x n 1 ,x n ) xác định dơng, không bị chặn theo x n (hợp thức theo x n ), khả
vi và thỏa mãn:

(x n 1 ,v(x n 1 )) = 0

(1.18)

= 0
xn

(1.19)



x n =v(x n 1 )

sẽ là hàm CLF của hệ chung gồm (1.15) và (1.16), đồng thời:
1
V1
f ( x )
[ f ( x ) f ( x n1 , v)] +



( x ) +
u(x)= xn
x n1
x g( x )


bất kỳ khi x V

khi x V

(1.20)

trong đó:

= { x R

n

x n = v(x n 1 )

}

và (x)= (x n 1 ,x n ) là hàm đợc chọn tùy ý, nhng thỏa mãn:

(x) 0, x R n
(0,x n )=0,



(1.21)
x n =0

(1.22)

sẽ là một bộ điều khiển tơng ứng làm đối tợng ổn định tiệm cận tại gốc 0.
Về định lý 1.2 ta có một số điều bàn thêm nh sau:
1) Hàm (x) đợc chọn theo (1.21) và (1.22) không bắt buộc phải là hàm của tất cả các
biến x 1 , x 2 , L , x n . Chẳng hạn nh ta có thể chỉ chọn (x)= xn2 .
2) Cũng nh vậy, hàm (x) xác định dơng, không bị chặn theo x n , khả vi, đợc chọn
sao cho thỏa mãn các điều kiện (1.18) và (1.19), không bắt buộc phải là hàm của tất cả
các biến x 1 , x 2 , L , x n . Chẳng hạn ta có thể chọn (x)=
V(x) = V 1 (x n 1 )+

1 2

xn ,
2

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

và

1 2
xn . Khi đó, với:
2


= (0, L ,0, x n )
x

13


bộ điều khiển (1.20) sẽ trở thành:
u(x)=

1
xn



V1
[ f ( x ) f ( x n1 , v)] g(x)
( x ) +
x n1

(1.23)

3) Do u(x) là tùy ý khi x cũng nh (x), (x) là những hàm đợc chọn gần nh tùy ý,
chỉ cần thỏa mãn các điều kiện khá rộng mở (1.18), (1.19) và (1.21), (1.22) nên ta luôn
xác định đợc (x), (x) sao cho bộ điều khiển (1.20) có tính liên tục trong không gian
trạng thái, chẳng hạn với:

(x) = (x) = | f ( x ) f ( x n1 , v) | 2
Nếu hàm CLF V(x) xác định theo (1.17) còn có thêm tính SCP thì ta còn có thể xác
định đợc một bộ điều khiển u(x) không những liên tục mà còn thỏa mãn:
lim u(x) = 0
x 0

4) Nếu V(x) là hàm CLF của một hệ phi tuyến nào đó và à (z) là một hàm bất kỳ thuộc
lớp có đạo hàm luôn dơng thì à (V(x)) cũng sẽ là hàm CLF của hệ đó. Từ đây,
hàm CLF (1.17) còn có thể là:
V(x) = à (V 1 (x n 1 ))+ (x n 1 ,x n )
Ví dụ 1.4: Thiết kế bộ điều khiển cuốn chiếu

Cho đối tợng mô tả bởi:
dx x12 + x2
=
,
dt x1 x2 + u

x
x= 1

x2

Ta thấy đợc ngay là hệ con thứ nhất của đối tợng:
dx1
= x12 + x 2
dt

có hàm CLF và bộ điều khiển ổn định tiệm cận:
V1(x1) =

1 2
x1
2

x 2 = v ( x 1 )= x 1 x12

Suy ra:
V1
V
[ f ( x ) f ( x n1 , v)] = 1 [( x12 + x2 ) ( x12 x1 x12 )] = x 1 ( x 2 + x 1 + x12 )
x1
x n1

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

14


và bộ điều khiển (1.20) cho đối tợng đã cho là:

u ( x )=

x2

1


x12 + x2
( x ) + x1 ( x2 + x1 + x12 ) +


x x1 x2


Chọn tiếp:
1
2

và

(x) = (x 2 +x 1 + x12 ) 2


= (x 2 +x 1 + x12 )(1+2x 1 ),
x1


= (x 2 +x 1 + x12 )
x2

(x) =

(x 2 +x 1 + x12 )

2

ta sẽ có:

và bộ điều khiển trở thành liên tục trong không gian trạng thái:
u(x) = [(x 2 +x 1 + x12 )+(1+2x 1 )( x12 +x 2 )+x 1 x 2 +x 1 ]
Hơn thế nữa nó còn thỏa mãn u(0)=0.

1.2
1.2.1



Điều khiển thích nghi kháng nhiễu (disturbance attenuation)
Định nghĩa tính ổn định ISS và hàm ISSCLF

Xét hệ có nhiễu tác động mô tả bởi:
dx
= f ( x, d, u)
dt

(1.24)

trong đó:
x(t) là vector biến trạng thái,
d(t) là vector các tín hiệu nhiễu không mong muốn tác động vào hệ thống (gọi là tín

hiệu disturbance),
u(t) là vector các tín hiệu điều khiển.
Giả sử rằng hệ (1.24) cân bằng tại gốc tọa độ, tức là f (0,0,0) = 0. Để xét tính ổn
định Lyapunov cho hệ (1.24) tại gốc 0, ta cho u(t)=0 và khảo sát dạng quỹ đạo nghiệm tự
do của hệ phơng trình vi phân:
dx
= f ( x, d, u = 0) : = f ( x, d )
dt

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

(1.25)

15


ứng với điều kiện đầu x ( 0 ) = x 0 cho trớc. Ta sẽ ký hiệu nghiệm đó là x(t,d) để nhấn
mạnh rằng nó còn phụ thuộc vào vector các tín hiệu nhiễu d(t). Xét về mặt bản chất,
vector d(t) trong (1.25) có vai trò nh một tín hiệu vào không kiểm soát đợc của hệ
(nhiễu, hay tín hiệu tác động từ những hệ khác), bởi vậy có thể xem nó nh là vector các
tín hiệu ngoại sinh (exogenous signals).
Từ nghiệm quỹ đạo trạng thái tự do x(t,d) ta thấy hệ (1.24) là ổn định tiệm cận tại
gốc nếu:

lim x ( t , d ) = 0
t0

với mọi d ( t ).

(1.26)

Có thể dễ dàng thấy, do có sự hiện diện của tín hiệu nhiễu d ( t ) nên khả năng để hệ
(1.24) có đợc chất lợng ổn định (1.26) là rất khó. Bởi vậy thay vì chất lợng đó, Sontag
đa ra một khái niệm ổn định mở rộng khác là ổn định ISS, viết tắt của Input to State
Stability, dịch là ổn định vàotrạng thái, nếu nh tồn tại một lân cận nào đó của gốc

tọa độ 0 sao cho các quỹ đạo trạng thái tự do x ( t , d ) của hệ (1.24), không phụ thuộc nhiễu
d ( t ), luôn tiến về và ở lại trong đó.

x0

Hình 1.3: Minh họa khái niệm ổn định ISS.

Bài toán thiết kế bộ điều khiển tạo ra cho hệ (1.24) có đợc tính ổn định ISS với lân
cận , gọi là miền hấp dẫn (attractor), càng nhỏ càng tốt, đợc gọi là bài toán điều khiển
thích nghi kháng nhiễu (disturbance attenuation).
Để tiện cho việc phân tích tính ổn định ISS cũng nh thực hiện bài toán điều khiển
thích nghi kháng nhiễu, ngời ta đã đa ra khái niệm ISS nêu trên thành một công thức
mô tả nh sau:
Định nghĩa 1.1: Xét hệ (1.24) có tác động nhiễu d ( t ) với mô hình trạng thái không bị kích

thích (1.25), trong đó vector nhiễu d ( t ) đợc giả thiết là bị chặn:
sup | d ( t ) | = d <
t

Nếu tồn tại một hàm ( z ), z 0 thuộc lớp (không âm và đơn điệu tăng) và một hàm

( z,t ), z , t 0 thuộc lớp (thuộc lớp theo biến z và đơn điệu giảm, tiến về 0 theo
biến t), thỏa mãn:

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

16


| x ( t , d ) | ( | x 0 | ,t )+ ( d ),

t 0

(1.27)

thì hệ (1.25) đợc gọi là ổn định ISS và mọi quỹ đạo trạng thái x ( t , d ) sẽ tiến về lân
cận của gốc tọa độ 0 xác định bởi (gọi là miền attractor):
n

= { x R | x| ( d ) }

(1.28)

Định lý 1.3: Cho hệ (1.25). Nếu có hai hàm 1 , 2 thuộc lớp (thuộc lớp và tiến tới )

và hai hàm 3 , thuộc lớp cũng nh một hàm trơn V ( x ) thỏa mãn:
a)

1 ( | x| ) V ( x ) 2 ( | x| ),

b)

Từ | x| ( | d| )

hay V ( x ) xác định dơng và hợp thức,

suy ra đợc

Lf V =

V
f ( x, d ) 3 ( | x| ).
x

thì hệ sẽ ổn định ISS với hàm thuộc lớp cho trong điều kiện (1.27) là:

= 11 o 2 o
Hàm V ( x ) khi đó đợc gọi là hàm ISSLyapunov.
Ví dụ 1.5: Khái niệm ổn định ISS

Xét hệ có nhiễu tác động với mô hình không bị kích thích:
dx x1 + x2 d
=

dt x2 x12 x2

với nhiễu d ( t ) có | d ( t ) | 1. Sử dụng hàm xác định dơng
V ( x )=

1 2
( x1 + x22 ) ,
2

ta đợc:

Lf V = x12 x22 + x 1 x 2 d x12 x22 = x12 x22 ( x 1 x 2
x12 x22 +

1
2

2

d) +

d2
4

1
4

Vậy hệ là ổn định ISS với miền hấp dẫn :
2

= { x R x12 + x22

1
}
4

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại



17

Từ định lý trên, ta còn suy ra đợc một số các hệ quả của nó đợc phát biểu chung
trong định lý sau:
Định lý 1.4: Cho hệ (1.25). Gọi x ( t , d ) là nghiệm của nó ứng với điều kiện đầu x 0 . Khi đó

các phát biểu sau là tơng đơng:
a)

Hệ là ổn định ISS.

b)

Hệ có hàm ISSLyapunov V ( x ).

c)

Tồn tại hàm V ( x ) khả vi, xác định dơng và hợp thức thỏa mãn (gọi là dạng tiêu
tán của điều kiện ổn định ISS):
Lf V =

V
f ( x, d ) 1 ( | x| )+ 2 ( | d| )
x

(1.29)

trong đó 1 , 2 và 1 > 2 .
d)

Tồn tại hàm ( z ) thuộc lớp và hàm ( z,t ) thuộc lớp để có:
|x ( t , d ) | max{ ( | x 0 |,t ) , ( d } ,

t 0

(1.30)

Cuối cùng, tơng tự nh hàm CLF, từ khái niệm ổn định ISS ta cũng có hàm điều
khiển ISSLyapunov định nghĩa nh sau:
Định nghĩa 1.2: Một hàm V ( x ) khả vi, xác định dơng, hợp thức sẽ đợc gọi là hàm điều

khiển ISSLyapunov (viết tắt thành ISSCLF) cho đối tợng có nhiễu d ( t ) mô tả bởi

(1.24), nếu nh tồn tại ít nhất một bộ điều khiển phản hồi trạng thái u ( x ) sao cho
V ( x ) là hàm ISSLyapunov của hệ kín, tức là có:
V
f ( x , d , u ( x )) ( | x| )+ ( | d| )
x

(1.31)

trong đó , và > .

1.2.2

Điều khiển nén miền hấp dẫn (damping)

Nh đã nói, nhiệm vụ của bài toán điều khiển thích nghi kháng nhiễu (disturbance
attenuation) là thiết kế bộ điều khiển (phản hồi trạng thái) cho đối tợng có nhiễu d ( t ) để

với nó hệ kín là ổn định ISS và có miền hấp dẫn càng nhỏ càng tốt.
Trong mục này, ta sẽ xét bài toán điều khiển kháng nhiễu cho lớp các đối tợng có
nhiễu d ( t ) tác động ở đầu vào với mô hình trạng thái dạng chung nh sau:

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

18


dx
= f ( x ) + h ( x ) [ u + T ( x )d( t ) ]
dt

(1.32)

trong đó thành phần bất định d ( t ) đợc giả thiết là có chuẩn d hữu hạn. Nhiệm vụ
đặt ra là phải thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái u = r ( x ) sao cho hệ kín (bao gồm
đối tợng và bộ điều khiển) là ổn định ISS.
Định lý 1.5: Nếu hệ:

dx
= f ( x) + h ( x ) v
dt

có hàm CLF V ( x ) và một bộ điều khiển ổn định tiệm cận toàn cục v ( x ), tức là:

1 ( | x| ) V ( x ) 2 ( | x| )

với 1 , 2

V
[ f ( x ) + h ( x ) v ( x ) ] W(x)
x
1 ( | x| ) W ( x ) 2 ( | x| )

với 1 , 2

thì V ( x ) cũng là hàm ISSCLF của hệ (1.32), vì cùng với bộ điều khiển ổn định ISS
phản hồi trạng thái:
u(x) = v(x) k

V
2
h ( x ) | ( x) | ,
x

k>0

(1.33)

nó sẽ có miền hấp dẫn toàn cục (global attractor):
= { x R

n

| x|

11

o2 o

11 (

d

2


4k

)

}

Ví dụ 1.6: Điều khiển nén miền hấp dẫn

Xét đối tợng có mô hình:
dx
2
= x + u +sin( x ) d ( t )
dt

với d ( t ) không biết trớc, nhng bị chặn bởi d . Đặt:
v = u+(x)d(t)

ta thấy ngay đối tợng tơng ứng:
dx
2
= x +v
dt

có hàm điều khiển Lyapunov

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

19


V(x) =

1 2
x
2

với

1 ( | x| ) = 2 ( | x| ) =

1 2
x
2

11 o 2 ( x ) = x



và bộ điều khiển phản hồi trạng thái v = v ( x ) làm nó ổn định nh sau:
v = v ( x ) = xx

2

V 2
2
( x + v ) = x = W ( x )
x



11 ( | x| ) = 21 ( | x| ) =



11 (



11

d

2


4k

o2 o

21 (

) =

d

11 (

2


4k

d

2

2

W ( x )= x = | x| = 1 ( | x| )= 2 ( | x| )

x

2


) =

4k

) =

có

d

d



2 k

với k >0



2 k

Vậy bộ điều khiển nén miền hấp dẫn (1.33) của đối tợng sẽ là:
2

u ( x ) = xx k

V
2
2
2
sin ( x ) = xx kx sin ( x )
x

và với bộ điều khiển trên, hệ thống có miền hấp dẫn:

= { x | x|

d



2 k

}



Ví dụ 1.7: Điều khiển nén miền hấp dẫn

Xét đối tợng có nhiễu tác động ở đầu vào với mô hình:
dx x1 + x1 x2 x1 + x1 x2 0
=
+ ( u + d ),
=
dt x12 + u + d
x12
1

14
4244
3 {
h( x )
f ( x)

( ( x )=1, d =1)

Ta có thể thấy ngay đối tợng tơng ứng khi không bị nhiễu tác động:
dx x1 + x1 x2
=

dt x12 + v

có hàm điều khiển Lyapunov V ( x )=

1 2
( x1 + x22 ) vì khi sử dụng bộ điều khiển phản hồi
2

trạng thái:

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

20


v ( x )= x 2

ta sẽ đợc tính xác định âm của:
V
x

x1 + x1 x2
2
2

= x1 x2 + x 2 ( x 2 + v ) < 0,
2
x1 + v

x 0

Từ đây suy ra, đối tợng có nhiễu tác động đã cho đợc điều khiển ổn định ISS bằng
bộ điều khiển phản hồi trạng thái:

0
1

u ( x ) = x 2 k ( x 1 , x 2 ) = (1+ k ) x 2

trong đó

k >0

và
= { x R

1.2.3

2

| x|

1
2 k

}

Thiết kế cuốn chiếu hàm ISSCLF (disturbance backstepping)

Bây giờ ta xét bài toán điều khiển kháng nhiễu cho đối tợng có nhiễu tác động với
mô hình truyền ngợc:
dx n1
dt = f ( xn1 , xn ) + G( xn1 )d

dxn = g( x ) + T ( x ) e + u
dt

(1.34)

trong đó d(t), e(t) là vector các tín hiệu nhiễu không mong muốn tác động vào đối tợng
(không biết trớc), u(t) là tín hiệu điều khiển, và:
x n 1 = (x 1 , x 2 , L , x n 1 )

T

và

T

x = (x n 1 , x n ) R

n

Bài toán thiết kế cuốn chiếu bộ điều khiển thích nghi kháng nhiễu đợc đặt ra ở đây
là từ hàm ISSCLF V 1 (x n 1 ) cũng nh bộ điều khiển ổn định ISS x n =v(x n 1 ) của đối
tợng con:
dx n1
= f ( x n1 , xn ) +G(x n 1 )d
dt

(1.35)

đợc giả thiết là đã biết, ta phải xác định hàm ISSCLF V(x) và bộ điều khiển ổn định
ISS u(x) cho đối tợng cascade truyền ngợc (1.34).
Định lý 1.6: Nếu đối tợng con (1.35) có hàm ISSCLF V 1 (x n 1 ) và bộ điều khiển ổn định

ISS tơng ứng x n =v(x n 1 ) khả vi, thỏa mãn v(0)=0, thì hàm xác định dơng V(x),

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

21


đợc xây dựng theo (1.17) cho trong định lý 1.2, cũng sẽ là một hàm ISSCLF của đối
tợng truyền ngợc (1.34), đồng thời bộ điều khiển:
p1
1

( x ) + k1 G( x ) k2 ( x ) p2
n1
p2
u(x) = u(x)+ xn
p1 x n1

bất kỳ khi x V

khi x V

trong đó:
a)

u(x) đợc xác định theo công thức (1.20) cho trong định lý 1.2,

b)

p 1 >1, p 2 >1, k 1 >0 và k 2 >0 là những hằng số chọn tùy ý,

c)

(x) là một hàm xác định dơng bất kỳ, hợp thức theo x n ,

d)

= { x R

n

x n = v(x n 1 )

}

là một bộ điều khiển ổn định ISS tơng ứng của nó.
Ngoài ra, luôn tồn tại ít nhất một bộ điều khiển ổn định ISS liên tục. Hơn nữa, nếu
hàm V(x) còn có tính SCP thì sẽ còn có u(0)=0.
Ví dụ 1.8: Thiết kế bộ điều khiển ổn định ISS

Xét đối tợng mô tả bởi:
2
dx x1 + x2 + sin( x1 )d1
,
=
dt x1 x2 + u + ( x12 + x22 )d2

x
x = 1
x2

trong đó d 1 (t), d 2 (t) là các tín hiệu nhiễu.
Trớc tiên, từ ví dụ 1.6 ta đã biết đối tợng con của nó là:
dx1
= x12 +sin(x 1 )d 1 +x 2
dt
có hàm ISSCLF:
V 1 (x 1 ) =

x12
2

cũng nh một bộ điều khiển ổn định ISS tơng ứng:
2

x 2 = v(x 1 ) = x 1 x12 kx 1 sin x 1

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

22


trong đó hằng số k>0 là tùy ý. Với k đợc chọn càng lớn, miền hấp dẫn 1 thu đợc sẽ
càng nhỏ.
áp dụng định lý 1.6 với G(x 1 )=sin(x 1 ), ( x ) = x12 + x22 , ta đợc bộ điều khiển ổn định

ISS cho đối tợng đã cho:

u(x)= u(x)

x2

1

p1

k1
k
( x ) +
sin( x1 ) 2 ( x12 + x22 ) p2
p1 x1

p2

trong đó p 1 >1, p 2 >1, k 1 >0 và k 2 >0 là những hằng số tùy ý. Chọn hàm (x) xác định
dơng, không bị chặn theo x 2 , thỏa mãn (1.18) và (1.19) cũng nh (x) xác định dơng,
không bị chặn theo x 2 , nh sau:

(x) =2 (x) = [ f(x 1 ,x 2 )f(x 1 ,v) ] 2 = [ ( x12 +x 2 )(x 1 kx 1 sin2 x 1 ) ] 2
2

= ( x12 +x 1 +x 2 +kx 1 sin x 1 )

2

ta sẽ đợc:

2
2
= ( x12 +x 1 +x 2 +kx 1 sin x 1 ) [ 2x 1 +1+ksin x 1 +kx 1 sin(2x 1 ) ] ,
x1

2
= x12 +x 1 +x 2 +kx 1 sin x 1
x2
Suy ra:
2

u(x) = u(x) ( x12 +x 1 +x 2 +kx 1 sin x 1 )


k1
k

2
[ ( 2x 1 +1+ksin x 1 +kx 1 sin(2x 1 ) ) sin(x 1 ) ] p1 2 ( x12 + x22 ) p2
p2
p1

và nh vậy, tính liên tục của u(x) chỉ còn phụ thuộc vào u(x) có liên tục hay không.
Từ công thức (1.20) của định lý 1.2 có:

u(x)=

x2

1


V1
f ( x )
[ f ( x ) f ( x1 , v)] +
( x ) +


x1
x g( x )


Bởi vậy, nếu chọn tiếp (x)= (x) ta sẽ đi đến thành phần u(x) liên tục nh sau:
2

u(x) = ( x12 +x 1 +x 2 +kx 1 sin x 1 )x 1
2

[ 2x 1 +1+ksin x 1 +kx 1 sin(2x 1 ) ] ( x12 +x 2 )x 1 x 2

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

23


Ngoài ra, ta còn có thể dễ dàng nhận thấy bộ điều khiển liên tục u(x) tìm đợc là


thỏa mãn thêm u(0)=0.
1.2.4

Điều khiển ổn định ISS kháng nhiễu hệ thống

Tiếp theo, sau đây ta sẽ xét bài toán điều khiển kháng nhiễu cho lớp các đối tợng
có nhiễu d(t) tác động trực tiếp bên trong với mô hình trạng thái:
dx
= f ( x ) +G(x)d+H(x)u
dt

(1.36)

trong đó G(x) là ma trận kiểu nìr (n hàng, r cột) và H(x) là ma trận kiểu nìm, với n là
n

r

số biến trạng thái (x R ), r là số các tín hiệu nhiễu (d R ) và m là số các tín hiệu đầu

m

vào (u R ).
Sau đây ta sẽ ký hiệu các vector hàng của G(x) là g1 ( x ) , g2 ( x ) , K , g r ( x ) và của
H(x) là h 1 (x), h 2 (x), K , h m (x). Nhiệm vụ của bài toán điều khiển kháng nhiễu là
phải thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái u=r(x) cho đối tợng (1.36) sao cho cùng
với nó, hệ kín trở thành ổn định ISS theo d(t) và có miền hấp dẫn càng nhỏ càng tốt.
Sự tồn tại của lời giải cho bài toán này đã đợc chứng minh trong các tài liệu của
Praly hay Sontag. Tuy nhiên các tài liệu đó lại không chỉ ra đợc một phơng pháp cụ thể
nào để xác định bộ điều khiển. Định lý sau đây là một đóng góp của đề tài bù đắp sự
khiếm khuyết đó. Để chỉ ra đợc bộ điều khiển cụ thể (1.38), (1.39), định lý đã đa thêm
vào điều kiện (1.37). Điều kiện này có thể làm hẹp miền đối tợng thích ứng cho định lý,
song lại giải quyết đợc triệt để bài toán là chỉ ra đợc một bộ điều khiển cụ thể và một
miền hấp dẫn tơng ứng với nó.
Định lý 1.7: Giả sử V(x) là hàm CLF của đối tợng

dx
= f ( x ) +H(x)u
dt
và v(x) là bộ điều khiển phản hồi trạng thái tơng ứng, tức là:

1 (| x| ) V(x) 2 (| x| )
V
x

[ f ( x ) +H(x)v(x) ]

với 1 , 2

W(x)

1 (| x| ) W(x) 2 (| x| )

với 1 , 2

Sử dụng ký hiệu vector a(x) và miền giống nh công thức (1.12) của ví dụ 1.3. Ký
hiệu tiếp:

Các phơng pháp điều khiển và đo lờng hiện đại

24