Một số tính chất của hệ số nhị thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THỊ THU GIANG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
MÃ SỐ 60460113

Hà Nội – Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THỊ THU GIANG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
MÃ SỐ 60460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS VŨ THẾ KHÔI

Hà Nội – Năm 2015

Thang Long University Libraty


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi.
Các số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bố
trong bất kì công trình nào khác.

Tác giả luận văn
NGUYỄN THỊ THU GIANG


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC
VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ 4
1.1. LỊCH SỬ TOÁN TỔ HỢP TRONG CẤP THCS: ................................ 4
1.2. GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC: .................................................. 5
1.2.1. Định nghĩa: ...................................................................................... 5
1.2.2. Công thức: ....................................................................................... 5
1.3. KỸ THUẬT ĐẾM: ................................................................................ 6
1.3.1. Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp: ............................................... 6
1.3.2. Công thức bao hàm và loại trừ: ....................................................... 9
1.3.3. Hai quy tắc cơ bản của phép đếm: ................................................ 11
1.3.4. Hoán vị: ......................................................................................... 13
1.3.5. Chỉnh hợp: ..................................................................................... 16
1.3.6. Tổ hợp: .......................................................................................... 18
1.3.7. Tính số phần tử của một tập hợp các tập hợp: .............................. 21
CHƯƠNG 2: CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC.......... 24
2.1. CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CƠ BẢN................................................. 24
2.1.1. Đồng nhất thức 1 ........................................................................... 24
2.1.2. Đồng nhất thức 2 ........................................................................... 25

2.1.3. Đồng nhất thức 3 ........................................................................... 26
2.1.4. Đồng nhất thức 4 ........................................................................... 27
2.1.5. Đồng nhất thức 5 ........................................................................... 28
2.1.6. Đồng nhất thức 6 ........................................................................... 29
2.1.7. Đồng nhất thức 7 ........................................................................... 30
2.1.8. Đồng nhất thức 8 ........................................................................... 31
2.1.9. Đồng nhất thức 9 ........................................................................... 32
2.2. CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC NÂNG CAO........................................... 33
2.2.1. Đồng nhất thức 10 ......................................................................... 33

Thang Long University Libraty


2.2.2. Đồng nhất thức 11 ......................................................................... 34
2.2.3. Đồng nhất thức 12 ......................................................................... 36
2.2.4. Đồng nhất thức 13 ......................................................................... 37
2.2.5. Đồng nhất thức 14 ......................................................................... 38
2.2.6. Đồng nhất thức 15 ......................................................................... 39
KẾT LUẬN .................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 42


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:
Trong những năm học trên ghế nhà trường và quá trình giảng dạy, tôi
nhận thấy rằng đối với đa số học sinh việc tiếp thu kiến thức chương tổ hợp
xác suất là rất khó khăn. Đây là phần kiến thức mới trong chương trình sách
giáo khoa. Chủ yếu các kiến thức chuyên sâu về xác suất tập trung ở chương
trình cao đẳng - đại học nên đó cũng là một khó khăn cho các thầy cô giáo

giảng dạy lứa tuổi THPT - THCS trong việc áp dụng phương pháp giảng dạy
cho phù hợp.
Các em thường rất máy móc, nếu gặp toán lạ là không biết cách giải
quyết hay chưa đặt ra hướng giải quyết. Học sinh thiếu tính chủ động trong
việc tiếp thu kiến thức. Vì vậy kiến thức dễ quên và kết quả học tập chưa cao.
Hay học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động, chủ yếu theo lối đọc
chép hay thiếu tính tư duy logic.
“Vậy làm thế nào để học sinh học tốt phần kiến thức này?”
Đó chính là một trong những lý do thôi thúc chúng tôi thực hiện đề tài
“Một số tính chất của hệ số nhị thực”.
Không giống như những cách chứng minh thông thường trong sách giáo
khoa, ở đây chúng tôi sẽ chứng minh các đồng nhất thức bằng phương pháp mới,
đó là phương pháp đặt ra các câu hỏi và trả lời bằng hai cách hoàn toàn theo toán
tổ hợp thuần túy.
Đây là phương pháp tiếp cận khá mới tại Việt Nam nhưng đã được sử
dụng rộng rãi trên toàn thế giới và đặt nhiều thành tựu cao.
2. Lịch sử nghiên cứu:
Nội dung toán tổ hợp đưa vào giảng dạy từ cấp trung học phổ thông ở hầu
hết các nước trên thế giới. Tuy nhiên, ở Việt Nam nội dung toán tổ hợp được
đưa vào sách giáo khoa lớp 11 năm 2000 với lượng kiến thức còn hạn chế. Dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề là phương pháp dạy học tích cực đáp ứng yêu

1

Thang Long University Libraty


cầu xã hội. Xong áp dụng phương pháp này để giảng dạy hiệu quả nội dung khó
như toán tổ hợp thì cần sự đóng góp của các thầy cô giáo và các nhà khoa học.
3. Mục đích nghiên cứu:

Dạy học sinh chứng minh hệ số nhị thức, các đồng nhất thức bằng định
nghĩa tổ hợp thuần túy mà không sử dụng phương pháp quy nạp.
Rèn luyện cho học sinh tư duy một cách logic, tư duy trừu tượng trong
toán tổ hợp.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh trung học cơ sở và giáo viên toán cấp
trung học cơ sở.
- Phạm vi nghiên cứu: Các trường cấp trung học cơ sở.
5. Mẫu khảo sát:
Xem xét việc áp dụng dạy học chứng minh các đồng nhất thức bằng
phương pháp tổ hợp đếm.
6. Câu hỏi nghiên cứu:
Vận dụng phương pháp tổ hợp đếm để tiếp thu tốt hơn kiến thức cũ và
lối chứng minh cũ các đồng nhất thức.
7. Giả thuyết nghiên cứu:
Khi học sinh được học chương tổ hợp xác suất theo phương pháp dạy
học mới là phương pháp tổ hợp đếm, đặt câu hỏi và trả lời hoàn toàn theo toán
tổ hợp thuần túy. Các em sẽ tiếp thu bài tốt hơn, ngoài ra các em có thể mở
rộng bài toán và có những sáng tạo toán học.
8. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu sách giáo khoa toán trung học cơ sở, đặc biệt các khối 6, 7,
8, 9. Các đề tài tham khảo, kết hợp việc nghiên cứu và thực hành chứng minh
toán tổ hợp. Sử dụng phương pháp dạy học truyền thống và hiện đại một cách
đan xen.

2


9. Các luận cứ thu nhập được:
9.1. Luận cứ lí thuyết:

- Lý thuyết dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
- Thực trạng dạy và học ở trường trung học cơ sở.
- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong toán.
9.2. Luận cứ thực tế:
Kết quả thực nghiệm về năng lực học tập của học sinh sau quá trình
giảng dạy của giáo viên lớp thực nghiệm.
10. Cấu trúc luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục,
nội dung chính của luận văn được trình bày trong 2 chương.
Chương 1: Giới thiệu về hệ số nhị thức.
Chương 2: Các đồng nhất thức của hệ số nhị thức.

3

Thang Long University Libraty


CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC
VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Ở chương 1, chúng tôi xin trình bày khái quát về lịch sử toán tổ hợp
trong cấp trung học cơ sở, giới thiệu về hệ số nhị thức. Những kiến thức
chuẩn về kĩ thuật đếm, các nguyên lý đếm cơ bản, các khái niệm cơ bản hàm
toán học sẽ được chúng tôi giới thiệu theo phương pháp đếm.
Kiến thức chính trong chương 1 này, chúng tôi sử dụng một số tài liệu
tham khảo sau:
1. Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc, NXB Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí
Minh, 2001
2. Trần Ngọc Danh, Toán rời rạc nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia

TP. Hồ Minh
3. Schaum's Outline of Discrete Mathematics, McGraw - Hill, 1977

1.1. LỊCH SỬ TOÁN TỔ HỢP TRONG CẤP THCS:
Nội dung: “Đại số tổ hợp” cung cấp kiến thức cơ bản về đại số tổ hợp
và lý thuyết sác xuất. Đại số tổ hợp, còn giới thiệu về hai quy tắc đếm cơ bản,
các khái niệm, các công thức về hoán vị, chính hợp, tổ hợp, công thức khai
triển nhị thức Niu-tơn và áp dụng của nó. Nó còn cung cấp khái niệm mở đầu
và các công thức đơn giản nhất của lí thuyết xác suất, một lĩnh vực quan trọng
của Toán học, có nhiều ứng dụng thực tế.
Trong những năm 80 của thế kỷ trước, Đại số tổ hợp đưa vào chương
trình sách giáo khoa và mang tính chất giới thiệu. Đến năm 1994 - 1995,
trong chương trình thí điểm chuyên ban, Đại số tổ hợp được đưa vào dạy cùng
xác suất.
Mục tiêu dạy học phần này là hình thành khái niệm ban đầu về Đại số
tổ hợp, học sinh cần nắm được các quy tắc đếm, cách tính số hoán vị, chính
hợp, tổ hợp, biết cách áp dụng vào các bài toán, đơn giản của thực tiễn và xác
4


suất cổ điển, đồng thời biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn và sử dụng
công thức đó vào việc giải toán.

1.2. GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC:
1.2.1. Định nghĩa:
* Định nghĩa:
xnx
Chúng ta định nghĩa x x là số tập con có k phần tử ( k phần tử khác
xk x
nhau và không phân biệt thứ tự) lấy từ tập gồm n phần tử. Nói một cách

xnx
khác, x x được tính theo cách chọn tập con có k phần tử từ tập có n phần tử
xk x
mà thứ tự sắp xếp là không quan trọng.

1.2.2. Công thức:
xnxn!
x
xk x
n xcủa
k xđồng
! nhất thức 1 sẽ được chúng tôi chứng
Công thức nàyxlàx khệ!x
quả
minh ở chương 2.
xnx
x k x đọc là tổ hợp n chập k
xx
Lưu ý rằng, ở một số quốc gia châu Á trong đó có Việt Nam thường ký
k

hiệu tổ hợp n chập k là Cn

xnx
Toàn bộ luận văn này, chúng tôi sử dụng ký hiệu quốc tế là x x .
xk x

5

Thang Long University Libraty

1.3. KỸ THUẬT ĐẾM:
Trong lý thuyết tổ hợp các phép đếm luôn chiếm một phần vô cùng
quan trọng và có ứng dụng vô cùng đa dạng. Các phương pháp đếm số lượng
phần tử của một tập hợp đóng vai trò quan trọng trong một số môn khoa học,
đặc biệt là Tin học và Toán học ứng dụng. Đối với chương trình toán phổ
thông các phương pháp đếm luôn là chuyên đề quan trọng và hết sức cần thiết
trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở bậc học phổ thông, đồng thời các
ứng dụng đa dạng của nó cũng luôn đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều đối
tượng học sinh và giáo viên khi nghiên cứu vấn đề này.
Mục tiêu của phần 1.3 là kiến thức chuẩn bị này nhằm trình bày một số
phép đếm cơ bản nhất và những ứng dụng của nó nhằm tạo ra được một đề tài
phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông.
Đếm bằng hai cách là một kỹ thuật đếm thông dụng để tạo ra các
phương trình, đẳng thức, các mối liên hệ giúp chúng ta giải quyết các bài toán
phương trình, tính toán hình học, bất phương trình và đặc biệt là các bài toán
tổ hợp trong đó có bài toán đếm.
1.3.1. Một số kiến thức cơ bản của tổ hợp:
a. Tập hợp:
* Khái niệm về tập hợp:
Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không
định nghĩa. Giả sử cho tập hợp A . Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A , ta
viết a x A (đọc là a thuộc A ). Để chỉ a không là một phần tử của tập hợp A ,
ta viết a x A (đọc là a không thuộc a x A ).
Một tập hợp được coi là xác định nếu ta có thể chỉ ra được tất cả các
phần tử của nó.
Các cách xác định tập hợp:
Tập hợp được xác định bằng một trong hai cách sau:
- Liệt kê chúng (thường dùng để biểu thị các tập hữu hạn). Ví dụ: Tập

các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10.
A x x0,2,4,6,8x
6


- Chỉ ra tính chất đặc trưng của chúng. Ví dụ:
Bx

xx x

x2 x 3x x 2 x 0

x

* Tập con:
- Tất cả các phần tử của tập B đều thuộc tập A thì ta nói tập B được
gọi là tập con của tập A và viết B x A .
- Trường hợp B x A và B x A thì B được gọi là tập con không tầm
thường (hay tập con thực sự) của tập A và viết B x A .
* Tập rỗng:
- Tập hợp rỗng (hay tập hợp trống) là tập hợp không chứa một phần tử
nào và thường được ký hiệu là x
- Quy ước tập rỗng là con của bất kỳ tập hợp nào
* Hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp:
Giả sử có các tập A, B
- Tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc tập A hoặc thuộc tập B được
gọi là hợp của tập A và tập B và ký hiệu là A x B hoặc A x B .
- Tập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời cả tập A và tập B được
gọi là giao của tập A và tập B ký hiệu là A x B hoặc A x B .
- Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập A và không thuộc tập B được

gọi là hiệu của tập A và tập B . Ký hiệu là A \ B .
- Trường hợp tập B là tập con của tập A . Hiệu của tập A và tập B
được gọi là tập phần bù (hay phần bù) của tập B (đối với tập A ) và ký hiệu
hoặc bằng CA (B) hoặc C(B) .
b. Công thức tính của tập hợp:
Với hai tập hợp V1 , V2 ta có :
V1 x V2 x V1 + V2 x V1 x V2
Với ba tập hợp V1 ,V2 ,V3 ta có:
V1 x V2 x V3 x V1 + V2 + V3 x V1 x V2 x V2 x V3 x V1 x V3 x V1 x V2 x V3

7

Thang Long University Libraty


Tổng quát với các tập tùy ý V1 ,V2 ,...,Vn bằng phương pháp quy nạp
theo n (n x 2) , ta có công thức:
n

n

Vi x x Vi x x Vi x Vj x V1 x V2 x V3 x V1 x V2 x V4

i x1

i x1

ix j

x.... x Vnx2 x Vnx1 x Vn x ... x (x1) n V1 x V2 x ... x Vn

Ví dụ 1:
(Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn giáo viên trường THPT
Chuyên - 2012). Chứng minh rằng bản báo cáo thành tích cuối năm của một
lớp sau đây là sai:
“Lớp có 45 học sinh trong đó có 30 em nam. Lớp có 30 em đạt loại giỏi
và trong số này có 16 nam. Lớp có 25 em chơi thể thao và trong số này có 18
em nam và 17 em đạt loại giỏi. Có 15 em nam vừa đạt loại giỏi và chơi thể
thao”.
Giải:
Kí hiệu: V x 45 là tổng số học sinh của lớp:
V1 số học sinh nam.
V2 số học sinh đạt giỏi.
V3 số học sinh chơi thể thao.
Khi đó:
V1 x V2 x V3 x V 1 x V2 x V3 x V1 x V2 x V2 x V3 x V1 x V3 x V1 x V2 x V3
x x 30 x 30 x 25 x x 16 x 18 x 17 x 15 x 49 x 45 x V
Vậy bản báo cáo thành tích của lớp đó là sai.

8


1.3.2. Công thức bao hàm và loại trừ:
Cho V là tập hợp hữu hạn và V1 x V . Ta sẽ có V1 x V\V1 .
Khi đó: V1 = V - V1

V1 x V2

V1

V2

a. Cho tập hợp V và V1 ,V2 x V . Khi đó :
V1 x V2 x V - V1 x V1 x V x V1 - V1 + V1 x V1
b. Cho tập hợp V và V1 ,V2 ,V3 x V . Khi đó:
V1 x V2 x V3 x V x V1 x V2 x V3 x V x V1 x V2 x V3 x V1 x V2 x V2 x V3
x V1 x V3 x V1 x V2 x V3
c. Tổng quát với các tập tùy ý V1 ,V2 ,...,Vn x V bằng phương pháp quy nạp
theo n x n x 2 x ta có công thức:
n

i x1

n

Vi x V x x Vi x x Vi x Vj x V1 x V2 x V3 x V1 x V2 x V4
i x1

ix j

x... x Vnx2 x Vnx1 x Vn x ... x x x1x V1 nx V2 x ... x Vn

V2

V1
V3

9

Thang Long University Libraty

Ví dụ 2:
( Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc - Nguyễn Văn Mậu). Một
cuộc Hội thảo cấp Thị xã có 4 môn thi: Cầu lông, bóng bàn, chạy và cờ tướng.
Có 100 vận động viên tham gia. Khi tổng kết, Ban tổ chức nhận thấy rằng:
Môn cầu lông có 18 vận động viên tham gia, môn bóng bàn có 26 vận động
viên tham gia, môn chạy có 19 vận động viên tham gia, môn cờ tướng có 24
vận động viên tham gia; trong đó 5 người tham gia cả cầu lông và bóng bàn; 2
người tham gia cầu lông và chạy; 3 người tham gia cầu lông và cờ tướng; 5
người tham gia bóng bàn và chạy; 4 người tham gia bóng bàn và cờ tướng; 3
người tham gia chạy và cờ tướng; 2 người tham gia đồng thời cầu lông, bóng
bàn, và chạy; 3 người tham gia cầu lông, bóng bàn và cờ tướng; 2 người tham
gia cầu lông, chạy và cờ tướng; 4 người tham gia bóng bàn, chạy và cờ tướng;
1 người tham gia đồng thời cả 4 môn của Hội thao.
Hỏi có bao nhiêu vận động viên không tham gia thi đấu một bộ môn
nào của Hội thao?
Giải:
Dùng V để ký hiệu tập hợp các vận động viên tham gia hội thao.
V1 tập hợp các vận động viên tham gia môn cầu lông.
V2 tập hợp các vận động viên tham gia môn bóng bàn.
V3 tập hợp các vận động viên tham gia môn chạy.
V4 tập hợp các vận động viên tham gia môn cờ tướng.
Khi đó số vận động viên không tham gia môn nào của Hội thao chính
bằng lực lượng của tập V1 x V2 x V3 x V4 :
V1 x V2 x V3 x V4 x 100 x x18 x 26 x 19 x 24 x
x x 5 x 2 x 3 x 5 x 4 x 3x x x 2 x 3 x 2 x 4 x x 1 x 25
Vậy có 25 người không tham gia thi đấu môn nào của Hội thao.

10

1.3.3. Hai quy tắc cơ bản của phép đếm:
a. Quy tắc cộng:
Ví dụ:
Hoặc là một giảng viên của khoa Toán, hoặc là một sinh viên của khoa
Toán sẽ là đại diện của trường. Như vậy nếu có 24 giảng viên, 310 sinh viên
thì có bao nhiêu cách chọn lựa đại diện ?
Lời giải:
Chọn đại diện từ giảng viên thì có 24 cách, chọn đại diện từ sinh viên
thì có 310 cách. Như vậy ta có 24 x 310 x 350 cách lựa chọn đại điện.
Giả thiết: Công việc 1 có thể làm bằng n1 cách, công việc 2 có thể làm
bằng n2 cách. Nếu hai công việc không thể làm đồng thời thì có n 1 x n2 cách
làm một trong hai công việc.

Tổng quát hóa quy tắc cộng:
Tổng quát lên m công việc không thể làm đồng thời và số cách làm
chúng tương ứng là n1 , n2 ,..., nm . Số cách làm một trong m công việc là
P = mi x 1...ni .
Ví dụ:
Một sinh viên chọn đồ án môn học trong 5 nhóm: Khoa học máy tính,
cơ sở dữ liệu, công nghệ phần mềm, hệ thống & mạng máy tính, kỹ thuật máy
tính. Mỗi nhóm có số lượng đề tài tương ứng là: 10, 15, 14, 16, 11. Có bao
nhiêu cách chọn?
Lời giải:
10+15+14+16+11 = 66 cách.

11

Thang Long University Libraty

Góc nhìn tập hợp:
Giả thiết A1 ,A 2 ,...,A m là các tập hợp rời nhau (disjoint). Khi đó số cách
để chọn một phần tử từ một trong các tập chính là:
A1 x A2 x ... x Am x A1 x A2 x ... x Am

b. Quy tắc nhân:
Ví dụ:
Một trung tâm máy tính có 32 máy vi tính. Một máy có 12 cổng. Như
vậy trung tâm có bao nhiêu cổng?
Lời giải:
Quá trình gồm hai bước:
Bước 1: Chọn máy
Bước 2: Chọn cổng của máy được chọn Dễ thấy, số cách là
32 x12 x 384 cổng.
Giả thiết: Một nhiệm vụ được tách làm hai việc: Việc 1 làm bằng n 1
cách, việc 2 làm n2 cách khi việc 1 đã được làm. Khi đó sẽ có n1 x n2 cách
thực hiện nhiệm vụ.

Tổng quát quy tắc nhân:
Giả thiết một nhiệm vụ có m công việc phải thực hiện T1 ,...,Tm . Nếu
việc Ti có ni cách thực hiện. Khi đó ta có n1 x ... x n m cách thực hiện nhiệm
vụ.
Ví dụ:
Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7?
Lời giải:
Mỗi bit có thể chọn một trong hai cách: 0 và 1. Quy tắc nhân cho số
lượng xâu là 27 x 128 . Ví dụ: Có bao nhiêu hàm đơn ánh xác định trên tập
hữu hạn A có m phần tử và nhận giá trị trên tập B có n phần tử?

12


Phối hợp 2 quy tắc:
Sẽ được chứng minh qua các đồng nhất thức ở chương 2
1.3.4. Hoán vị:
Hoán vị thực chất là một cách sắp xếp nào đó các phần tử của một tập hợp.
a. Hoán vị không lặp:
* Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n x n x 1x phần tử. Một cách sắp xếp n
phần tử này theo một thứ tự nào đó (mỗi phần tử có mặt đúng một lần) được
gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Kí hiệu số hoán vị của n phần tử
bằng Pn .
Ta có công thức: Pn x n!
Ví dụ:
Với sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm sáu chữ
số, không trùng nhau?
Giải:
Mỗi số cần lập là một hoán vị của 6 số đã cho. Do đó, số cần lập bằng
đúng số các hoán vị của 6 phần tử. Do đó ta có tổng số các số có 6 chữ số cần
lập là: P6 x 6! x 720

Ví dụ:
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6
chữ số, không trùng nhau.
Giải:
Do các số có 6 chữ số cần lập là các số tự nhiên nên chứa số 0 không
được đứng vị trí đầu tiên.
Xét trường hợp số 0 đứng vị trí còn lại được sắp xếp từ các số 0, 1, 2, 3,
4, 5 ta có P5 x 5! x 120

Nếu sắp xếp 6 chữ số trên thành số có 6 chữ số trong đó có cả trường
hợp số 0 đừng vị trí đầu tiên ta sẽ có P6 x 6! x 720
Vậy tổng số các số tự nhiên có 6 chữ số cần lập là: P6 x P5 x 600 số.

13

Thang Long University Libraty


Ví dụ:
(Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc - Nguyễn Văn Mậu). Cho
tập S x x1,2,..., nx với n x 1 và f là một hoán vị của tập S. Phần tử i của S
được gọi là một điểm cố định nếu f (i) x i . Gọi Pn (k ) là số hoán vị của tập S
có đúng k điểm cố định. Hãy chứng minh rằng:
n

x kP (k ) x n!x
k x0

n

Giải:
1. Vì tổng tất cả các hoán vị của n phần tử có 0,1,2,...,n điểm cố định
bằng tất cả các hoán vị có thể của n phần tử, tức bằng n !, nên có đẳng thức:
n

x P ( k ) x n!
k x0

n

2. Ta chứng minh rằng: xk (1 x k x n) đều có kPn (k ) x nPnx1 (k x 1) .
Dùng x f , i x để kí hiệu cặp gồm hoán vị f tùy ý của n phần tử với k điểm cố
định và i là điểm tùy ý trong k điểm cố định đó (tức f (i) x i ).
Thừa nhận P0 (0) x 1
Để lý giải quan hệ (1.11), ta hãy tính số N các cặp x f , i x bằng hai cách.
Một mặt, i chạy qua điểm k cố định đã xác định, nên mỗi hoán vị trong

x f , i x . Bởi vậyN=k.Pn x k x . Mặt khác,

Pn (k ) hoán vị đó có mặt trong k cặp

nếu f (i) x i , thì trên tập gồm x n x 1x phần tử còn lại (tức các phần tử khác i )
hoán vị có f có x k x 1x điểm cố định, nên mỗi một trong n phần tử i có mặt
trong Pnx1 (k x 1) cặp. Do đó N x n.Pnx1 (k x 1) , nên đẳng thức (1.11) được
chứng minh.
Tính tổng các đẳng thức ở (1.11) theo k x 1,2,..., n và dựa vào đẳng
thức (1.10) bằng cách thay n bằng x n x 1x ta có:
n

n

x kP (k ) x x nP
k x0

n

k x1

n

nx1

(k x 1) x nx Pnx1 (k x 1) x n(n x 1)! x n!
k x1

14


b. Hoán vị có lặp:
* Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n x n x 1x phần tử. Mỗi cách sắp xếp n
phần tử này theo một thứ tự nào đó (mỗi phần tử có mặt ít nhất một lần) được
gọi là hoán vị lặp.
Số hoàn vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại
i(1 x i x k ) xuất hiện ni lần được ký hiệu là P(n1 , n2 ,..., nk ) và được tính bằng
công thức:
P(n1, n2 ,..., nk ) x

n!
n!n2 !...nk !

Ví dụ:
(Đề tuyển sinh vào trường ĐH - Khối D - 2001). Từ các chữ số 0, 1, 2,
3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có bảy chữ số trong đó chữ số 4 có mặt
đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.
Giải:
Gọi n x a 1a2 a3 ...a7 (ai x X x x0,1,2,3,4,4,4x) là số cần lập
Áp dụng công thức ta có số n được lập kể cả các số n có dạng
0a2a3...a7 là

7!
.
3!
6!
3!

Số các số n có dạng 0a2a3...a7 là

Vậy số các số n đúng yêu cầu bài toán là

7! 6!
- = 720 số
3! 3!

Ví dụ:
Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4 ,5 có thể lặp được bao nhiêu số chia hết cho
5 gồm 11 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 4 lần, chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ
số 3 có mặt 2 lần, chữ số 4 có mặt 1 lần và tổng số lần xuất hiện của chữ số 0
và chữ số 5 là 1 lần.

15

Thang Long University Libraty


Giải:
Gọi số cần lập là n x a1a2 a3 ...a11. Do n chia hết cho 5 nên n phải tận
cùng bằng 0 hoặc 5.
Vì tổng số lần xuất hiện trong n của 0 và 5 bằng 1 nên nếu n tận cùng
bằng 0 thì 5 không có mặt và ngược lại nếu n tận cùng bằng 5 thì chữ số 0

không xuất hiện. Bởi vậy ai (1 x i x 10) chỉ có thể là một trong những chữ số
1, 2, 3, 4.
Bởi vậy số khả năng lập phần đầu độ dài 10a1a2a3....a10 của số n bằng
số hoán vị lặp của 10 phần tử thuộc 4 loại chữ số: 1, 2, 3, 4 với 1 xuất hiện 4
lần, 2 xuất hiện 3 lần, 3 xuất hiện 2 lần và 4 xuất hiện 1 lần, sẽ bằng
P x1,2,3,4 x . Ngoài ra a11 lại có thể nhận giá trị 0 hoặc 5 nên số cần tìm sẽ là:
2P x1,2,3,4 x x 10!

.2 x 25200
1!2!3!4!

1.3.5. Chỉnh hợp:
a. Chỉnh hợp không lặp:
* Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (0 x k x n)
phần tử được sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của
n phần tử thuộc A .
Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử bằng Ak . Số chỉnh hợp
n

chập k của n phần tử được tính bởi công thức:
A k x n x n x 1x ...x n x k x1x n!
xn
x n x k x!
Ví dụ:
Một lớp học có 25 học sinh. Muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó
và một thủ quỹ mà không cho kiêm nhiệm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải:
Mỗi các chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ là một
chỉnh hợp chập 3 của tập 25 phần tử.
16

Số các chỉnh hợp là:
3

A25 x

25!

x13800
x 25 x 3x!
Vậy có 13800 cách chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ
quỹ trong lớp học có 25 học sinh.

b. Chỉnh hợp có lặp:
* Định nghĩa: Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử. Mỗi dãy có độ dài k các
phần tử của tập X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp
theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần
tử thuộc tập X.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, ký hiệu là A k , bằng số ánh xạn
từ tập k phần tử đến tập n phần tử và bằng nk , tức Ank x n k .
Ví dụ:
Từ bốn chữ số 1, 2, 3, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4
chữ số ?
Giải:
Vì tập 1, 2, 3, 5 chỉ có duy nhất một chữ số chẵn là 2, nên x x abcd với
a, b, c, d thuộc tập 1, 2, 3, 5 là số chẵn khi và chỉ khi d bằng 2.
Mặt khác 1, b, c có thể bằng nhau, nên y x abc là một chỉnh hợp lặp
chập 3 của bốn phần tử 1, 2, 3, 5.
Để thành lập số x ta chỉ cần lấy một số y nào đó rồi thêm 2 vào cuối.

3

Bởi vậy, số các số x x abc2 bằng các số y x abc và bằng A4 x 43 x 64.
Chẳng hạn 1112, 1122, 1132, 1152,..., 5542, 5552.

17

Thang Long University Libraty


Ví dụ:
(Bài toán đếm số các hàm từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn).
Giả sử N và M là hai tập hữu hạn với N x n và M x m . Hãy xác định các
hàm f: N x M .
Giải:
Giả sử N xxa1, a2 ,...an x. Khi đó một hàm f: N x M tương ứng với đúng

x f x a x , f x a x ,..., f x avới
xx

một bộ có thứ tự gồm n thành phần là

1

2

f x a1 x , f x a2 x ,..., f x an xxM .
Do đó số các hàm f: N x M bằng số chỉnh hợp có lặp chập n của m
n

phần tử của M, tức là bằng Am x m n .
Vậy ta có số tất cả các hàm f: N x M với N x n và M x m bằng
A n x mn
m

1.3.6. Tổ hợp:
a. Tổ hợp không lặp:
* Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k x 0 x k x n x
phần tử thuộc A được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Nhận xét: Hai tổ hợp được coi là khác nhau khi và chỉ khi có ít nhất một
phần tử khác nhau.
Số tổ hợp chập k x

xnx
0 x k x n x của n phần tử, được kí hiệu là x x và
xk x

xnxn!
được tính theo công thức x x x
x k x k !x n x k x!
Ví dụ:
Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành bốn tổ, sao cho mỗi
tổ có đúng 10 học sinh?

18

n


Giải:

Đầu tiên lập tổ 1 bằng cách chọn tùy ý 10 học sinh trong 40 học sinh
của lớp, nên số cách chọn bằng đúng số tổ hợp chập 10 của 40 phần tử, tức
x 40 x 40!
bằng x x x
x10 x 10!30!
Tổ 2 có thể chọn 10 em tùy ý trong 30 em còn lại, nên số cách thành
x 30 x 30!
lập tổ 2 sẽ bằng số tổ hợp chập 10 của 30 phần tử, tức bằng x x x
.
x10 x 10!20!
Tổ 3 có thể chọn 10 em trong 20 em còn lại, nên số cách thành lập tổ 3
x 20 x 20!
sẽ bằng số tổ hợp chập 10 của 20 phần tử, tức bằng x x x
.
x10 x 10!10!
Tổ 4 gồm 10 em còn lại, nên chỉ có 1 cách chọn.
Vậy số cách chia lớp sẽ là:
x 40 x x 30 x x 20 x x10 x40!30!20!40!
xx x x x xxx x xx
x10 x 10
4

x x x x x10 x x10 x 10! 30! 20!10!10!10! x10!x
b. Tổ hợp có lặp:
* Định nghĩa: Cho tập hợp A x a1 , a2 ,..., an . Một tổ hợp lặp chập m ( m không
nhất thiết phải nhỏ hơn n ) của n phần tử thuộc A là một bộ gồm m phần tử,
mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A.
xx nxxxnx*
Ta sử dụng x x hay x x x x để kí hiệu số tổ hợp lặp chập m của n
xk xxx k xx

phần tử.
x n x x n *x k x 1x
Khi đó: x x x xx
kx x kxx

19

Thang Long University Libraty


Ví dụ:
(Lý thuyết tổ hợp và đồ thị - Ngô Đắc Tân). Tại Việt Nam hiện đang có
bán 10 loại máy vi tính khác nhau mà ta gọi là loại máy 1,..., loại máy 10.
Một cơ quan muốn mua 5 máy vi tính. Hỏi cơ quan có bao nhiêu sự lựa chọn
khác nhau?
Giải:
Giả sử a1 là một máy vi tính thuộc loại máy 1; a2 là một máy vi tính
thuộc loại máy 2,...,a10 là một máy vi tính thuộc loại máy 10, và
A xxa1, a2 ,..., a10x . Mỗi cách chọn 5 máy vi tính có thể coi là một tổ hợp chập
10 của 5 và tổng số các tổ hợp được tính theo công thức.
x 5 x *x10 x 5 x 1x x14 x14!
xxxx x x
x10 xx 55x x xx x x 5!x14 x 5 x!
10 x 11 x 12 x 13 x 14
xx11 x 13 x 14 x 2002
2 x 3x 4 x 5
Ví dụ:
Giả sử có 4 loại bóng màu: Xanh, Đỏ, Tím, Vàng, với số lượng mỗi
loại không hạn chế.
Hai bộ bóng được xem là khác nhau, nếu có ít nhất một màu với số

lượng thuộc hai bộ khác nhau.
Liệu có bao nhiêu cách chọn ra các bộ 6 (quả bóng) khác nhau.
Giải:
Vì trong mỗi bộ 6 có thể có các quả bóng cùng màu và không phân biệt
thứ tự chọn, nên số cách chọn khác nhau bằng số tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần
tử (tập hợp bóng cùng màu được coi là một phần tử) và được tính bằng công
x 4 x x 4* x 6 x 1x 9!
xx 84thức x x x x
6 x x 6 x 6!3!xx

20