QUÁ TRÌNH hủy AXION THÀNH các FERMION và PHOTON TRONG mô HÌNH PQWW

0 .1 0

 

d  d c o s  a e   e   1 0  1 0 p b a r

0 .1 5

0 .0 5

0 .0 0
 1 .0

 0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

c o s

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ THANH HẢO

QUÁ TRÌNH HỦY AXION
THÀNH CÁC FERMION VÀ PHOTON
TRONG MÔ HÌNH PQWW

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC VẬT LÝ

HÀ NỘI, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ THANH HẢO

2


QUÁ TRÌNH HỦY AXION
THÀNH CÁC FERMION VÀ PHOTON
TRONG MÔ HÌNH PQWW

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐÀO THỊ LỆ THỦY

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sỹ Đào Thị Lệ
Thủy, người đã luôn luôn hết lòng dẫn dắt, khích lệ và giúp đỡ tôi trong quá

trình học tập cũng như hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này.

3


Tôi xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội, các thầy cô giáo trong Khoa Vật lý, tổ Vật lý lý thuyết – Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho tôi trong quá trình học
tập và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên, tạo điều kiện thuận
lợi để tôi vượt qua khó khăn, tập trung vào việc học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, ngày

tháng 10 năm 2014

Người cảm ơn
Nguyễn Thị Thanh Hảo

CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

Kỹ hiệu

Tên tiếng Anh

Tên tiếng Việt

4


QCD

Quantum Chromodynamics

Sắc động lực học lượng tử

DM

Dark Matter

Vật chất tối

CP

Charge – Parity

Tích – Chẵn lẻ

ADMX

Axion Dark Matter

Vật chất tối Axion

SUSY

Supersymmetry

Siêu đối xứng

PQ

Peccei-Quinn

PQWW

Peccei-Quinn-Weinberg-Wilozek

VEV

Vacuum Expectation Values

KSVZ

Kim – Shifman – Vainstein –

Giá trị trung bình chân không

Zakharov
DFSZ

Dine – Fischler – Srednicki –
Zhitnitkii

5


MỤC LỤC

6

MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Cho đến nay các nhà khoa học đã kết luận gần như chắc chắn rằng phần
lớn vật chất trong vũ trụ là vật chất tối. Do vậy tìm hiểu về vật chất tối là một
nhiệm vụ rất quan trọng, xong cho đến nay bản chất của vật chất tối vẫn là
một trong những bí ẩn lớn nhất của khoa học hiện đại mà theo Hawking (nhà
vật lý người Anh) đã từng nói “Một mắt xích mà vũ trụ học chưa tìm ra được
là bản chất của vật chất tối và năng lượng tối”
Việc nghiên cứu về các hạt cơ bản là tiền đề căn bản để nghiên cứu thế
giới vật chất nói chung. Khoa học công nghệ ngày càng phát triển thì càng có
nhiều hạt mới được tìm ra, góp phần cho sự tìm hiểu những điều thú vị về vũ
trụ của chúng ta.
Trong mô hình chuẩn (SM – Standard Model) của vật lý hạt còn tồn tại
nhiều vấn đề bí ẩn chưa được giải quyết, trong đó có những vấn đề hấp dẫn và
khó khăn nhất của SM đó là vấn đề về “bậc”, vấn đề vi phạm (CP) mạnh
(strong - CP) và vấn đề vật chất tối, trong mô hình chuẩn không có vật chất
tối [1], [2], [3],
. Cho đến nay đã có rất nhiều các giải pháp để giải thích
cho các vấn đề trên, tuy nhiên thành công hơn cả là các giải pháp siêu đối
xứng (Supersymmetry – SUSY) và cơ chế Peccei – Quinn (PQ), cả hai giả
thuyết này đều liên quan đến việc các đối xứng bị phá vỡ [2], [3]. Lý thuyết
SUSY là sự mở rộng (SM) và được đề xuất vào những năm 70 của thế kỷ XX,
trong (SUSY) có sự đối xứng của các hạt có spin khác nhau, lí thuyết này đã
giải thích thuyết phục cho vấn đề “bậc”. Vấn đề vi phạm (CP) được giải quyết
thông qua cơ chế Peccei – Quinn (PQ), theo cơ chế này, người ta đưa vào một
trường giả vô hướng, gọi là axion. Axion có thể xuất hiện trong nhiều mô
hình khác nhau mà đáng kể nhất là xuất hiện như pha mới của trường

Higgs trong lý thuyết điện yếu, hoặc xuất hiện như một thành phần của siêu
trường chiral trong lý thuyết siêu đối xứng năng lượng thấp. Theo sự ràng
buộc về điều kiện vũ trụ học và thiên văn học, thì hằng số phân rã axion – f a
có giá trị trong khoảng

, và gọi là cửa sổ của axion.
7


Axion là một ứng cử viên rất hấp dẫn cho vật chất tối và axion cũng được
xem là một mảnh ghép phù hợp một cách tự nhiên cho hai vấn đề bí ẩn và rắc
rối của vật lý đó là vi phạm (CP) và vật chất tối, góp phần cho sự tìm hiểu
những điều thú vị về vũ trụ của chúng ta.
Việc nghiên cứu về axion trở lên khá sôi nổi và được xem là rất quan
trọng đối với vấn đề vật chất tối

,

,

,

,

. Một trong những đặc

tính thú vị nhất của vật chất tối đó là đặc tính huỷ của chúng thành những hạt
vật chất thông thường, vì lí do đó chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “QUÁ
TRÌNH HUỶ AXION THÀNH CÁC FERMION VÀ PHOTON TRONG MÔ
HÌNH PQWW”.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình huỷ axion thành các hạt vật chất thông thường
(các fermion và photon). Kết quả thu được sẽ là cơ sở cho sự khẳng định sự
đóng góp của axion như là thành viên của vật chất tối cũng như đặc tính huỷ
của các hạt vật chất tối trong vũ trụ của chúng ta.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp lí thuyết trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc
Feynman để tính độ rộng phân rã và tiết diện tán xạ của các trình huỷ axion.
- Sử dụng phần mềm Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu quá trình hủy axion thành các
fermion và photon theo các kênh s, u và t.
- Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lí thuyết trường lượng tử,
chúng tôi tính toán giải tích và đánh số độ rộng phân rã và tiết diện tán xạ của
quá trình huỷ axion thành các fermion và photon. Từ đó đưa ra các hướng có
lợi cho thực nghiệm để ghi tín hiệu của axion.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
8


Các kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp vào thực nghiệm trong việc quan
sát axion và giải quyết bài toán vi phạm đối CP- mạnh trong sắc động học
lượng tử. Và quan trọng hơn nó là bằng chứng quan trọng về sự tồn tại của
chúng trong vũ trụ cũng như đóng góp của nó vào vật chất tối.
6. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, khóa luận gồm 3 chương:
Chương I: “Mô hình axion PQWW”, trình bày lí thuyết mô hình axion
PQWW (Peccei – Quinn – Weinberg – Wilozek), và một số quá trình tương
tác cơ bản để tạo axion.
Chương II: “Bình phương yếu tố ma trận của quá trình hủy axion

thành các fermion và photon ”. Trong chương này, chúng tôi khảo sát quá
trình hủy axion thành các cặp fermion và photon theo các kênh s, u và t và
tính toán để đưa ra biểu thức của bình phương biên độ tán xạ của quá trình
này trong trường hợp chùm

không phân cực và phân cực.

Chương III: “Độ rộng phân rã và tiết diện tán xạ của quá trình hủy
axion thành các fermion và photon ”. Sử dụng kết quả từ chương II, chúng
đưa ra biểu thức tiết diện tán xạ vi phân và tiết diện tán xạ toàn phần.
Sau đó sử dụng phần mềm Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.

9


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I
MÔ HÌNH AXION PQWW
1.1. Axion trong mô hình PQWW
Trong mô hình này, axion xuất hiện như một pha mới của trường
Higgs. Để xuất hiện axion người ta đưa vào hai lưỡng tuyến Higgs là

và

. Thế Higgs tái chuẩn hóa được có dạng

(1.1)
Trong đó siêu tích của
là các hằng số thực, còn

là

và của

là

,

là hằng số phức (i, j = 1,2),

năng (1.1) có một đối xứng U(1):

và

. Hàm thế

. Đối xứng này giống

như đối xứng chuẩn U(1)Y của mô hình chuẩn, do đó nó không có ích đối với
một đối xứng toàn cục độc lập. Chính vì vậy Peccei và Quinn (1977) đã áp
đặt điều kiện

, trong trường hợp này lí thuyết tồn tại thêm một đối xứng

toàn cục gọi là đối xứng Peccei- Quinn U(1)PQ .
.
Trong đó

và

lần lượt là tích- chẵn lẻ (PQ) của

(1.2)
và

,

là pha

có giá trị đối với axion. Khi đó tương tác Yukawa phải được viết sao cho đối

10


xứng toàn cục (1.2) không bị phá vỡ, điều này được thỏa mãn khi
với dR (hoặc uR), và

tương tác

tương tác với uR (hoặc dR). Có nghĩa là để bảo toàn đối

xứng tích chẵn - lẻ, thì các quark có điện tích -1/3 sẽ nhận được khối lượng từ
trung bình chân không (VEV) của

và các quark có điện tích 2/3 sẽ nhận

được khối lượng từ VEV của . Do đó các quá trình thay đổi vị không xảy ra
bởi vì có sự trao đổi của các Higgs trung hòa (Glashow và Weiberg [1977],
Paschos [1977]. Vì vậy tương tác Yukawa của các quark là:
(1.3)

trong đó i, j được lấy theo tất cả các vị của quark. Các tương tác (1.1)
và (1.3) có đối xứng PQ cho các fecmion như sau:
(1.4.1)
(1.4.2)
Tương tác Yukawa ở (1.3) cho ta tương tác của axion với các quark. Ở
đây có sự tồn tại tự do của tương tác Yukawa đối với các lepton khác nhau.
Các tương tác này phải thỏa mãn đối xứng PQ, mặt khác yêu cầu về bậc của
sẽ thu được một thành phần thế năng và cũng hủy luôn tính phục hồi động
lực của

qua cơ chế PQ. Vì vậy ta có hai mô hình axion PQWW của tương

tác Yukawa cho các lepton: mô hình 1 được định nghĩa bằng tương tác của
với các đơn tuyến lepton phải, mô hình 2 được định nghĩa bằng tương tác của
với các đơn tuyến lepton phải. Đối với từng mô hình, ta có hàm Lagrangian
mô tả sau đây:
Model 1:

(1.5)

11


Model 2:
Trong đó

(1.6)
là lưỡng tuyến lepton trái và

là thành phần lepton

phải của thế hệ thứ i. Dưới tác dụng của phép biến đổi U(1) PQ chúng biến
đổi như sau:
đối với mô hình 1
đối với mô hình 2

(1.7)
(1.8)

Các trường Higgs được biểu diễn:
(1.9)
Với

còn

là các trường Higgs thực.Tổ hợp

tuyến tính pha P1 và P2 của các trường sẽ cho boson Z, tổ hợp khác sẽ cho
axion, chúng có dạng sau:
(1.10)
Do đó

(1.11)

Từ các phương trình (1.2), (1.9), (1.10), (1.11) và chú ý rằng axion là
một boson Goldstone xuất hiện khi đối xứng U(1)PQ bị phá vỡ tự phát. Sau khi
biến đổi

với

là hằng số, ta thu được:

Trong các biến đổi trên ta đã đưa vào định nghĩa:

(1.12)

12


Kết hợp (1.12) với (1.10) ta có thể chỉ ra hướng xuất hiện axion từ các
pha của trường Higgs:

(1.13)

Ta định nghĩa:

, kết hợp với (1.12) ta có tỉ lệ

.Từ đó ta có:

(1.14)

(1.15)

(1.16)
Các trường Higgs có thể được khai triển
1.17)
với
Thay phương trình (1.17) vào các tương tác Yukawa, ta thu được các
tương tác của axion mà nó đóng vai trò như một trường giả vô hướng.

1.2. Tương tác của axion với vật chất thông thường
1.2.1. Axion tương tác với các quark
Thay phương trình (1.17) vào phương trình (1.3) ta được tương tác của
axion với các quark:

(1.18)
13


Trong đó
1.2.2. Axion tương tác với các lepton
Thay phương trình (1.25) vào các phương trình (1.13) và (1.14) ta có
tương tác axion và lepton:
Model 1:

(1.19)

Model 2:

(1.20)

1.2.3. Axion tương tác với photon
Tương tác axion – photon trong mô hình PQWW được mô tả:
(1.21)
Trong đó
Với

là hằng số tương tác axion được định nghĩa trên thang phá vỡ

đối xứng điện yếu và

là điện tích của quark i. Trong mô hình axion

PQWW ta có:
Đối với model 1:

(1.22.1)

Đối với model 2:

(1.22.2)

1.4. Kết luận
Trong chương này chúng tôi đã trình bày mô hình axion PQWW, trong
mô hình này axion xuất hiện như một pha mới của trường Higgs, ngoài ra

14


chúng tôi còn đưa ra một số hàm lagrangian mô tả tương tác của axion với các
hạt khác.

15


CHƯƠNG II
BÌNH PHƯƠNG BIÊN ĐỘ TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH
HỦY AXION THÀNH CÁC FERMION VÀ PHOTON
Trong chương này, chúng tôi tính bình phương biên độ tán xạ của quá
trình hủy axion thành các fermion và photon theo các kênh s, u, t và sự giao

thoa giữa các kênh này trong hai trường hợp chùm fermion

tới và tạo thành

phân cực và không phân cực.
2.1. Các đỉnh tương tác
2.1.1. Tương tác giữa các Fermion và photon
Biểu thức Lagrangian tương tác điện từ giữa fermion và photon:
(2.1)
Dùng phương pháp “bóc vỏ”, lấy đạo hàm

theo các toán tử

trường, ta được hàm đỉnh tương tác:
(2.2)
Giản đồ Feynman [1] được biểu diễn bởi hình vẽ 2.1:

Hình 2.1. Giản đồ Feynman mô tả đỉnh tương tác

2.1.2. Tương tác axion và photon
Lagrangian mô tả tương tác giữa axion và photon có dạng:
16


(2.3)
Trong đó

là tenxơ cường độ từ trường, có dạng:
(2.4)
(2.5)

Ở đây
lượng, hàm trường

là hàm trường mô tả photon. Trong biểu diễn xung
có dạng khai triển Fu-ri-ê như sau:
(2.6)

Từ biểu thức (2.6), ta có:
(2.7)
Do vậy

(2.8)

(2.9)
Thay (2.8) và (2.9) vào (2.3) ta được biểu thức Lagrangian tương tác
giữa axion và photon:

17


với
Lần lượt lấy đạo hàm Lagrangian theo

18

:


19

trong đó

(do

(do

là hoàn toàn phản đối xứng),

là tensor hoàn toàn phản đối xứng).

Ta nhận thấy:
Do đó kết quả cuối cùng ta thu được:

Vậy đỉnh tương tác axion và photon:
(2.10)
Thay

vào (2.10) ta được:
.

Giản đồ Feynman mô tả đỉnh tương tác

20

:


Hình2.2. Giản đồ Feynman mô tả đỉnh tương tác

2.1.3. Tương tác axion và fermion
Lagrangian tương tác giữa axion và fermion:

Bằng phương pháp “bóc vỏ”, lấy đạo hàm
trường

theo các toán tử

ta thu được đỉnh tương tác:

(2.11)
trong đó
Giản đồ Feynman mô tả đỉnh tương tác – a– :

Hình2.3. Giản đồ Feynman mô tả đỉnh tương tác
2.2. Bình phương biên độ tán xạ khi chùm

không phân cực

2.2.1. Quá trình hủy axion thành các fermion và photon theo kênh s

21


22


Sự hủy cặp axion - fermion thành các fermion và photon theo kênh s được mô
tả bởi giản đồ Feynman:

Hình 2.4 .Sự hủy axion thành các fermion và photon theo kênh s
Quá trình va chạm với hai hạt ở trạng thái đầu là axion và fermion
ra hai hạt ở trạng thái cuối là fermion

Trong đó: +

và photon γ

, sinh

được biểu diễn dưới dạng:

là xung lượng của các hạt axion và fermion ở trạng

thái đầu,
+

là xung lượng của các photon và fermion

ở trạng thái cuối,

+ qs xung lượng của hạt fermion tham gia truyền tương tác,

Từ hình vẽ 2.4, áp dụng quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ theo
kênh s:

(2.12)

với
23

Liên hợp Hermit của biên độ tán xạ:

(2.13)
Bình phương của biên độ tán xạ:

Sử dụng các công thức:
,
,
,
và tính toán không bỏ qua khối lượng

của các hạt fermion ta

thu được kết quả:

(2.14)
2.2.2. Quá trình hủy axion thành các fermion và photon theo kênh u

24


Giản

đồ

Feynman mô tả quá trình hủy axion thành các fermion và photon theo kênh u
được biểu diễn bởi hình vẽ sau:

Hình 2.5.Sự hủy axion thành các fermion và photon theo kênh u

Từ giản đồ, ta thấy hạt fermion
fermion

có xung lượng

chuyển thành hạt

có xung lượng qu và sinh ra hạt là photon γ có xung lượng k1. Sau

đó hạt fermion
ra hạt fermion

trung gian kết hợp với hạt axion có xung lượng
có xung lượng k2:

Áp dụng quy tắc Feynman ta có biên độ tán xạ theo kênh u là:

25

để sinh