20 bài phương trình cơ bản ôn thi 2016 2017

Kỳ Anh 10/7/2016

Phạm Anh Dũng

20 BÀI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ÔN THI 2017

Bài 1: Giải bất phương trình  x  2
Giải
Điều kiện: x  1



2 x  3  2 x  1  2 x 2  5x  3  1



2
2


x  2  a  b
 2 x  3  a  0 

2
Đặt 

 2 x  5 x  3  ab . Khi đó phương trình đã cho tương đương với
 x  1  b  0

1  a 2  2b2





2
2
a  b a  2b  ab  a2  2b2

 a  b a  ba  2b  a  ba  2b  0
 a  ba  2ba  b  1  0

 a  2ba  b  1  0 ( Do a  b  2 x  3  x  1  0 x  1 )

 a  2b

a  b  1  0


1
2
• TH2: a  b  1  0  2 x  3  x  1  1  2 x  3  x  2  2 x  1  x  1  2 x  1
 x  1
 x 1 x 1 2  0  
x  3

1
Vậy phương trình có 3 nghiệm x  1; x   ; x  3
2
2
3  x  2 x  3 7 x 2  19 x  12
Bài 2: Giải phương trình


 16 x 2  11x  27
x  4 1
12  7 x


x  3
Điệu kiện 
12

4  x 


7

Phương trình đã cho tương đương với
3 x  1 x  3  x  17 x  12

 16 x 2  11x  27
x  4 1
12  7 x

• TH1: a  2b  2 x  3  2 x  1  2 x  3  4 x  4  x  





3  x  1





x  4 1



x  4  1   x  1 12  7 x   x  116 x  27 

 3 x  1



x  4 1



x4 1

  x  1

12  7 x

12  7 x

2

 16 x 2  11x  27

x  1


 3 x  4  1  12  7 x  16 x  27, ( 2)



 x4  a0
 16 x  24  9 a 2  b 2
(2)  3 x  4  12  7 x  16 x  24 . Đặt 



 12  7 x  b  0





1


Kỳ Anh 10/7/2016

Phạm Anh Dũng

 (2)  3a  b  9 a 2  b 2  3a  b   3a  b3a  b  3a  b  1 ( Do 3a  b  0 )

 3 x  4  12  7 x  1  0  3 x  4  12  7 x  1
 9  x  4  13  7 x  2 12  7 x

 16 x  23  2 12  7 x

x

3 633  191
128

Vậy phương trình có 2 nghiệm x  1; x 

3 633  191
128

Bài 3: Giải phương trình 7 x 2  25x  19  x 2  2 x  35  7 x  2
7 x 2  25 x  19  0

2
Điều kiện 
x  2 x  35  0  x  7 .

x  2  0

Phương trình đã cho tương đương với:

7 x 2  25x  19  x 2  2 x  35  7 x  2

 7 x 2  25x  19  x 2  2 x  35  49  x  2  14 x  2
 3 x 2  11x  22  7 x  2 x 2  2 x  35

x  7 x  5

 3 x 2  11x  22  7 x 2  5 x  14 x  5 ,(1)
 x 2  5 x  14  a , a  0
 3 x 2  11x  22  3a 2  4b 2 . Khi đó
Đặt 
 x  5  b , b  0

a  b
(1)  3a 2  4b2  7 ab  0  a  b 3a  4b  0  
 3a  4 b

Với a  b  x 2  5x  14  x  5  x  3  2 7 ( Do x  7 )

61  11137
( Do x  7 )
18
x
5  x  1  x  5  4x  x2   x  6
2

Với 3a  4b  3 x 2  5 x  14  4 x  5  x 
Bài 4: Giải phương trình
Điều kiện 5  x  1


a2  6
 5  x  1  x  a  0 
2

5


4
x

x


Đặt 


2 . Phương trình đã cho tương đương với:
 x  6  b  0

2




x  b  6

a2  6
b2  6
a
 b  a 2  2 a  6  b2  2b  6,(1)
2
2
Xét hàm số f (t )  t 2  2t  6 , t  0; f '(t )  2t  2  0 t  0 . Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên 0; 
PT 

(1)  f a  f b  a  b  5  x  1  x  x  6  6  2 5  4 x  x 2  x  6
 x  2 5  4x  x2

2


Kỳ Anh 10/7/2016

x  0
2 41  8
  2
x
2
x  4 5  4 x  x 
5


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 
Bài 5:Giải bất phương trình phương trình
Điều kiện x  1
Đặt

Phạm Anh Dũng

2 41  8
5

2 x  3  1  x  3x  2 2 x 2  5 x  3  16,(1)

2 x  3  1  x  a  0  a 2  3x  2 2 x2  5 x  3  4

Khi đó 1  a  a2  20  a  4a  5  0  a  5  2 x  3  1  x  5





2x  3  3 

2  x  5

 

x12 0

x5



0
2x  3  3
x1  2


2
1
0
  x  5 

x  1  2 
 2x  3  3
 x5

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x  5




Bài 6: Giải phương trình 5 1  x 3  1  x2  4 x 2  25x  18
Điều kiện x  1





PT  x 2 4 x 2  25 x  18  5 x 3  1  5  0

 x 2 4 x 2  25 x  18  5 

5 2
x x1
2



x2  x  1  2 x  1 



2
2
1 2
5  x  5 x  3 x  x  1

2
x

5
x

3
8
x

10
x

5

.
0


 2 2
2
x  x 1  2 x 1


x2  x  1
0
  x 2  5 x  3 8 x2  10 x  5 

2


x  x  1  2 x  1 
 x 2  5x  3  0



x

5  37
2

Vậy phương trình có nghiệm x 
Bài 7: Giải phương trình


x  1
Điều kiện 
3

x 


2


x  x  1

5  37
2

2



2x  3  1

x  12 x  3

2

3

5 2
x  x  1  0
2


Kỳ Anh 10/7/2016
BPT 


x  x  1

2

Phạm Anh Dũng
2x  3  1



2 x  22 x  3

x  x  1

2



 1

2 x  3  1  2 x  3



x  x  1

2



2x  3  1

 1  x  x  1 
2







2x  3  1



2 x  3  1  2 x  3



1

2 x  3  1 2 x  3 ,(1)



Xét hàm số f (t )  t t  1 ; t    f '(t )  6t 2  4t  1  0 t  
2

Suy ra hàm số f (t ) đồng biến và liên tục trên 
Dễ thấy (1) có dạng f  x  f

2x  3  1  x  2 x  3  1  x  1  2x  3





x  1


 x2 6

 x  12   2 x  3  0

Vậy nghiệm của BPT là x  2  6


Bài 8: Giải phương trình 2  3  3 2  x 3  3 x 2  1   x  17  2 x  x 2 


Phương trình đã cho tương đương với

2 3 2( x 3  3 x 2  1)  1  5x  3 x 2  x 3

 2( x 3  3 x 2  1)  2 3 2( x 3  3 x 2  1)  2( x 3  3 x 2  1)  1  5x  3x 2  x 3
3

 3 2( x 3  3 x2  1)  2 3 2( x 3  3 x 2  1)   x  1  2  x  1 , (1)
3

Xét hàm số f (t )  t 3  2t 2 ; t    f '(t )  3t 2  2  0 t  
Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên  .

(1)  f



3



2  x 3  3 x2  1  f  x  1  3 2  x 3  3 x 2  1  x  1

 2  x 3  3 x 2  1   x  1  0
 x 3  3x2  3x  1  0

3

 2 x3  x3  3x2  3x  1
 2 x 3   x  1

3

 x3 2  x 1
 x  3

1

2 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x   3
Bài 9: Giải phương trình x



2 1
2(2 x 2  7 x  15)
2x  1  3 
x 2  6 x  13

1
2

Phương trình đã cho tương đương với

Điều kiện x 

1



4


Kỳ Anh 10/7/2016

2 x  x  5

2  x  5 2 x  3

x 2  6 x  13
2x  1  3
x  5


x
2x  3


,(2)
 2 x  1  3 x 2  6 x  13



Phạm Anh Dũng

2   x2  6 x  13 x  2 x  3

2x  1  3



3


2 x  1  3  2 x  1  4


2
2
Xét hàm số f (t )  t(t  4); t    f '(t )  3t  4  0 t . Suy ra f(t) đồng biến và liên tục
x  3
 f  x  3  f 2 x  1  x  3  2 x  1  
x4 6
( x  3)2  2 x  1  0

Vậy phương trình có nghiệm x  5; x  4  6
2


  x  3  x  3  4  













Bài 10: Giải bất phương trình x 2  4 x  5  3 x  1 x  2

Bất phương trình đã cho tương đương với  x  1  3  x  1 x  2  2
2

 x  1 x  2 x  1 2 x  2  0





 x  2  x 1 2 x  2



x  0


5 1


x  1
 x  2
 
 

x  2  x 2  2 x  1  4 x  8 
 5 1


 x 

2

1  2 2  x  1  2 2
5 1
Vậy nghiệm của bất phương trình là
 x 1 2 2
2



x2

2



0

5 1
 x 1 2 2
2

Bài 11: Giải phương trình 2 x  1  x x 2  2   x  1 x 2  2 x  3  0
Phương trình đã cho tương đương với

2 x  1   x  1 x 2  2 x  3  x x 2  2

  x  1   x  1

 x  1

2

 2  x  x

x

2

 2 ,(1)

Xét hàm số f (t )  t  t t 2  2 ; t    f '(t )  1  t 2  2 

t2

t2  2

 0 . Suy ra hàm số f (t ) đồng biến

và liên tục trên  . Dễ tháy (1) có dạng f  x  1  x  x  1  x  x  
1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x   .
2

Bài 12: Giải phương trình

2 x 2  x  1  x 2  x  1  3x
5

1
2


Kỳ Anh 10/7/2016

Phạm Anh Dũng

Nhận xét: 3 x  2 x 2  x  1  x 2  x  1  0  3 x  0  x  0
Phương trình đã cho tương đương với



2 x2  x  1  2 

 

x  12 x  3

x 2  x  1  1  31  x  0
x  x  1



 3 x  1  0
2x2  x  1  2
x2  x  1  1


2x  3
x
  x  1 

 3
2
x2  x  1  1
 2 x  x  1  2

x  1

 
2x  3
x

 3  0,(2)

2
x2  x  1  1
 2 x  x  1  2


 
2x  3
x

(2)  
 2  
 1  0
 x 2  x  1  2
  x 2  x  1  1 




2 x  3  2 x2  x  1  4

x  x2  x  1  1

0
x2  x  1  1

1
2
 1

2 x  x 2  x  1  1  x  2  x  x  1  2


0
x2  x  1  2

x2  x  1  1
x1
3
1
2
1

2
2
x  x  x 1
4x  2  4 x  x  1 2


0
x2  x  1  2
x2  x  1  1


x2  x  1  2







Với x  0 thì

2

x1

x  x  x1
2

1

3



4x  2  4 x  x  1

x  x1  2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1
2

2

x2  x  1  1



1
2

0

Bài 13: Giải phương trình 2 x 3  x 2  3 2 x 3  3 x  1  3x  1  3 x 2  2
Phương trình đã choi tương đương với

2 x3  3x  1  3 2 x 3  3x  1  x 2  2  3 x 2  2

Xét hàm số f (t )  t 3  t ; t    f '(t )  3t 2  1  0 . Suy ra hàm số f(t) đồng biến và liên tục
f



3

2 x3  3x  1  f

 

3

x2  2

 3 2 x 3  3x  1  3 x2  2



 2 x3  3x  1  x2  2

1
x  

2



1 5
x 

2

6


Kỳ Anh 10/7/2016

Phạm Anh Dũng

1
1 5
Vậy phương trình có nghiệm x   ; x 
2
2

Bài 14: Giải phương trình 7 x 2  13x  8  2 x 2 3 x 1  3 x  3x 2 

Nhận thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế của phương trình cho x 3 ta được:
2
3
7 x 2  13 x  8 2 x 2 x 1  3 x  3 x 
PT 
 2 .
x
x3
x
8 13 7

1
3
 3  2   23 2   3
x
x
x
x
x

8 13 7
1
3
1
3
1
3
 2   2   3  2   3  23 2   3
3
x x
x
x
x
x
x
x
x
3
3

 1

2

2
  1
3
3

   1  2   1   3 2   3   2  3 2   3 


 x
 x

  x
x
x

 x



Xét hàm số f (t )  t 3  2t ; t    f '(t )  3t 2  2  0 t   . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 
 1

2

3
 f   1  f  3 2   3 

 x

 x
x





2
1
3
1  3 2   3
x
x
x


 2t  1  3 t 2  3t  3 ; t 


1 

x 

 2t  1  t 2  3t  3  0
3

t  1
x  1






t  5  89
 x  16


5  89
16



Vậy phương trình có nghiệm x  1; x 
Bài 15:Giải phương trình 1  x  1





5  89

Điều kiện x  0
Xét x  0 là 1 nghiệm của phương trình
Xét x  0 chia cả hai vế cho x x :

1 
PT 


 








x 1
x

.

16

2x2  2x  1  x  1  x x

2 x2  2x  1  x  1
x

 x



x

x x


1
1

1 2
 1


 1  1  2   2   1


x
 x
x
x
x


2

2
 1 

1

  1
1




    1    1    1  1   1,(1)







  x


x

 x
x

 
7


Kỳ Anh 10/7/2016

Phạm Anh Dũng


a  1 , a  0

x
Đặt 
. Khi đó: 1  a  a 2  1 b  b 2  1  1


1
b   1

x




 a  a2  1 





1

b  b2  1

 a  a 2  1  b2  1  b
 a  a 2  1  b 

b

2

1

t2  1  t

Xét hàm số f (t )  t  t 2  1 ; t    f '(t ) 

t2  1



t t

t2  1

 0 t  

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên  . Suy ra f ( a)  f (b)  a  b 
Vậy phương trình có nghiệm x  0; x 

3 5
2

1

x

 1

1
Bài 16: Giải phương trình 1  log 2  x 3  3x 2  1  2 log 2  x  1  log 2 6 x
3
3
2
Điều kiện x  a trong đó a là nghiệm của phương trình x  3 x  1  0
Phương trình đã cho tương đương với

log 2 2  log 2  x 3  3x 2  1  log 2  x  1  log 2 3 6 x
2

 2 x 3  6 x 2  2   x  1
 2 x 3  6 x 2  2   x  1

2 3

2 3

6x

6x  0

 2 x 3  6 x 2  2   x  1 x  1  3 6 x   x  1  0
 x  3x  3x  1 
3

2

2





3

x  1 x 3  3x2  3x  1
2

x  1

2

  x  1 6 x 
3



3

6x


2

x  1
3
2

  x  3 x  3x  1 1 
2

x  1   x  1 3 6 x 


 x 3  3x2  3x  1  0



2



0



0
2
3
6x 




 2x3  x3  3x2  3x  1
 2 x 3   x  1

3

 x3 2  x 1
1
x 3
2 1

8

1
3 5
 x

x
2


Kỳ Anh 10/7/2016
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 

3

Phạm Anh Dũng

1

2 1

Bài 17: Giải bất phương trình 8 x  2 x  4  x  1 x  14  8 x  1



3

Điều kiện x  1
Bất phương trình đã cho tương đương với
2


8 x 3  2 x  4  x  1  x  1  4  1











 2 x  2 x  4  x  1  4  x  1 ,(1)
3



3

 





Xét hàm số f (t )  t  t ; t  2  f '(t )  3t  1  0 t  2 . Suy ra hàm số f(t) đồng biến t  2
3

Dễ thấy (1) có dạng f 2 x  f 4  x  1



 2x  4  x  1

2



 2  x  1  2  x  1  0
1  17
4
17  17
 x
8
 x 1 

Vậy nghiệm của bất phương trình là x 
Bài 18: Giải phương trình 1  x  1



Điều kiện x  1
 2 x  a

 a 2  2b 2  2
Đặt 
 x  1  b

Phương trình đã cho tương đương với

4  4 x 1



17  17
8

3

2x  3 x  1  0



2x  3 x  1  0
3



 a 2  2b2   4ba  3b  0 ,(1)
2

3

 2 x  0
x  0

Nếu b  0  a  0  
 
( Vô lí)
 x  1  0 x  1


3
 a2


a





Nếu b  0 chia (1) cho b ,(1)   2  2  4   3  0
 b


 b


2
3
a
 t 2  2  4 t  3  0; t   0


b
4

2

 t  2t 3  6t 2  28t  52  0
t  2
  3
2
t  6t  28t  52  0

9


Kỳ Anh 10/7/2016

Phạm Anh Dũng

Mà với t  0  t 3  6t 2  28t  52  t 3  6t 2  28t  52  0 . Suy ra t  2 
 2 x  4  x  1  x  2

a
2
b

2x

x 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2
x 1 

Bài 19: Giải phương trình

x2  x  2 3 2x  1

x  1
x  1  0
Điều kiện  3
 

 2 x  1  3  0 x  4

Phương trình đã cho tương đương với

x1 2 

x2  x  2 3 2x  1

 x 1  2 
 x 1  2 
 x 1  2 
 1

 x  2
3

2x  1  3
x2  x  6

3

3

2x  1  3

2

2x  1  3
x  2x  3
3

3

2x  1  3

x  2

x 1  2

x 12

2x  1  3



 3 2 x  1  3   x  2



3



2x  1  3

x 12



x 12



 2 x  1  3 2 x  1   x  1 x  1  x  1,(2)

Xét hàm số f (t )  t 3  t ; t    f '(t )  3t 2  1  0 t   . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 

(2)  f



3

2x  1  f

 

x  1  3 2x  1  x  1




x  0
x   1


2


x  5  1


2
3

2 x  1   x  1
2


Vậy phương trình có 2 nghiệm x  0; x 
Bài 20: Giải phương trình x 2  2



15  x 2  4 x  2



15  x 2  x  15  3 15x  x 3  4 x

x  0
Điều kiện 
 0  x  15

15  x 2  0

Phương trình đã cho tương đương với



5 1

2



15  x 2  x  3 x . 15  x 2  0,(1)

10

2


Kỳ Anh 10/7/2016

Phạm Anh Dũng

 x  a , 0
Đặt 
. Khi đó
 15  x 2  b , b  0


1  b2  4a  2 b  a2   3ab  0
 a  b  2 2 a  b  0
a  b  2

 2a  b


Với 2 a  b  2 x  15  x 2  4 x  15  x 2  x  19  2
Với a  b  2  x  15  x2  2,(2)

VT (2)  x 

15  2

VP(2)  15  x 2  2  2
Vậy (2) vô nghiệm

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  19  2
_________________________________________________________________________________

Một buổi tối buồn!-TSTV

11


Kỳ Anh 10/7/2016

Phạm Anh Dũng

12