Biến đổi Fourier rời rạc và ứng dụng trong bài toán lọc tuyến tính.

1

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

Cán bộ hướng dẫn chính: TS Dương Tử Cường

Cán bộ chấm phản biện 1: ……………………………………………………..

Cán bộ chấm phản biện 2: ……………………………………………………..

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
Ngày 06 tháng 07 năm 2015


2

LỜI CAM ĐOAN
Những kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn là hoàn toàn
trung thực, của tôi, không vi phạm bất cứ điều gì trong luật sở hữu trí tuệ và
pháp luật Việt Nam. Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Lê Thị Hồng Loan


TÓM TẮT LUẬN VĂN
Họ và tên học viên: Lê Thị Hồng Loan
Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Khóa: 25A

Cán bộ hướng dẫn: TS Dương Tử Cường
Tên đề tài: Biến đổi Fourier rời rạc và ứng dụng trong bài toán lọc
tuyến tính.
Tóm tắt: Nghiên cứu Tổng quan về xử lý tín hiệu số để nắm những vấn
đề cơ bản về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu, tín hiệu và hệ thống rời rạc
theo thời gian và Phân tích tín hiệu rời rạc và hệ thống trong miền tần số;
Nghiên cứu biến đổi Fourier rời rạc và sử dụng biến đổi Fourier trong lọc
tuyến tính. Từ kết quả nghiên cứu trên luận văn tiến hành xây dựng một ứng
dụng thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB và đưa ra kết quả đánh giá nhận
xét.


MỤC LỤC

Trang phụ bìa.....................................................................................................
Bản cam đoan.....................................................................................................
Mục lục..............................................................................................................
Tóm tắt luận văn................................................................................................
Danh mục các ký hiệu, viết tắt, các bảng, hình vẽ.............................................


DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ


6

MỞ ĐẦU

Sự phát triển mạnh mẽ của các thế hệ máy tính điện tử đã tạo điều kiện
cho kỹ thuật xử lý tín hiệu số bước sang một bước ngoặt mới và được sử dụng
trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Hiện nay rất nhiều hệ thống thông tin liên
lạc, radar, xử lý ảnh, xử lý tiếng nói,... trên thế giới đã được số hóa hoàn toàn.
Tuy nhiên, để có thể áp dụng được các kỹ thuật xử lý tín hiệu số thì tín
hiệu tương tự phải được chuyển sang tín hiệu số. Sau đó, tín hiệu số này được
bộ xử lý hoặc phần mềm thao tác như loại nhiễu tín hiệu, loại bỏ nhiễu xuyên
kênh,... Cuối cùng, tín hiệu số lại được chuyển sang tín hiệu tương tự và xử lý
các bước tiếp theo tùy thuộc vào ứng dụng cụ thể.
Để tín hiệu số có thể được thao tác thuận tiện trong bộ vi xử lý hoặc
máy tính thì phương pháp hay được sử dụng nhất là biến đổi Fourier rời rạc.
Đây là công cụ toán học quan trọng trong xử lý tín hiệu số. Hầu hết các ứng
dụng xử lý tín hiệu đều được đưa về bài toán thiết kế bộ lọc số. Tuy nhiên,
việc xây dựng, thiết kế bộ lọc số đạt được các yêu cầu mong muốn thì không
phải đơn giản.
Qua nghiên cứu thực tế, có thể thấy quá trình thiết kế bộ lọc số là một
quá trình phức tạp. Việc thiết kế bộ lọc có thể được thực hiện bằng những
phương pháp khác nhau, trong đó biến đổi Fourier rời rạc là một phương pháp
được thực hiện dựa trên phần mềm và có tốc độ xử lý nhanh.
Từ những vấn đề trên, tôi đã chọn đề tài: “Biến đổi Fourier rời rạc và
ứng dụng trong bài toán lọc tuyến tính”.
Mục tiêu: Nghiên cứu tổng quan về xử lý tín hiệu số để nắm những vấn
đề cơ bản về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu, tín hiệu và hệ thống rời rạc
theo thời gian và phân tích tín hiệu rời rạc và hệ thống trong miền tần số;
Nghiên cứu biến đổi Fourier rời rạc và sử dụng biến đổi Fourier trong lọc
tuyến tính. Để khẳng định kết quả nghiên cứu về mặt lý thuyết, phần cuối của


7

luận văn xây dựng một ứng dụng thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB, từ
đó đưa ra kết quả đánh giá và nhận xét.
Cấu trúc của luận văn được chia thành ba chương cụ thể như sau:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết về xử lý tín hiệu số
Trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến tín hiệu và hệ thống xử
lý tín hiệu; và tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian,.... và phân tích hệ
thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian.
Chương 2: Biến đổi Fourier rời rạc và bài toán lọc tuyến tính
Trình bày khái quát về biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần
hoàn, cùng với các phương pháp lọc tuyến tính dựa trên DFT và các thuật
toán biến đổi Fourier nhanh.
Chương 3: Xây dựng các ứng dụng thử nghiệm trên bài toán lọc
tuyến tính
Trình bày bài toán lọc tuyến tính và sử dụng phần mềm MATLAB để xây
dựng bộ lọc số sử dụng biến đổi Fourier. Từ đó, đưa ra kết quả và nhận xét.
Để hoàn thành luận văn, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các Thầy giáo
trong Khoa Công nghệ thông tin – Học viện Kỹ thuật quân sự đã tận tình
giảng dạy, cung cấp nguồn kiến thức quý giá trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Dương Tử Cường tận
tình hướng dẫn, góp ý, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.


8

Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Nội dung của chương này nghiên cứu và trình bày những vấn đề cơ
bản liên quan đến tín hiệu và hệ thống tín hiệu nói chung; tín hiệu và hệ
thống rời rạc nói riêng,.. Đặc biệt, luận văn sẽ nghiên cứu và trình bày
phương pháp phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian.

1.1. Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu
1.1.1. Tín hiệu
Tín hiệu được định nghĩa như một thực thể vật lý phụ thuộc vào thời
gian, khoảng cách hoặc một biến số độc lập khác. Về phương diện toán học,
tín hiệu được mô tả như một hàm của một hoặc nhiều biến độc lập. Ngoài các
tín hiệu chỉ phụ thuộc vào một biến như đã chỉ ra ở trên còn tồn tại tín hiệu
của nhiều biến khác nhau. Nếu tín hiệu được biểu diễn qua hàm của một biến
độc lập thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu một chiều. Trong trường hợp
ngược lại nếu tín hiệu được biểu diễn qua hàm toán học với M biến độc lập,
tín hiệu được gọi là tín hiệu M chiều.
Tín hiệu có thể được phân thành một số loại sau:
 Tín hiệu tất định

Là tín hiệu có thể được xác định một cách duy nhất thông qua biểu thức
toán học, bảng dữ liệu hoặc các quy tắc đã được định nghĩa. Điều đó có nghĩa
là tất cả các giá trị trong quá khứ, hiện tại và tương lai đều có thể được xác
định một cách chính xác. Loại tín hiệu này bao gồm: tín hiệu tuần hoàn, tín
hiệu với độ dài hữu hạn, tín hiệu quá độ và tín hiệu gần như tuần hoàn.
Các tín hiệu tuần hoàn có thể được mô tả một cách đầy đủ thông qua
một chu kỳ và có thể được phân rã và biểu diễn bằng các thành phần hình sin.


9

Các tín hiệu có độ dài hữu hạn được định nghĩa một khoảng thời gian
hữu hạn và không được xác định bên ngoài khoảng thời gian này.
Tín hiệu quá độ là các tín hiệu có giá trị khác không trong một khoảng
thời gian hữu hạn nào đó hoặc thay đổi trong một khoảng thời gian ngắn sau
đó sẽ tiến tới một giá trị không đổi.
Nhóm tín hiệu gần như tuần hoàn bao gồm tổng các tín hiệu hình sin và

không phải là tín hiệu điều hòa. Loại tín hiệu này thường ít gặp trong các ứng
dụng trên thực tế.
 Tín hiệu ngẫu nhiên

Là tín hiệu không thể được biểu diễn chính xác và rõ ràng qua các công
thức toán học. Xác suất của các tín hiệu này là thường nhỏ hơn 1 và do đó
thường chứa các thông tin chưa được biết trước. Các tín hiệu ngẫu nhiên có
thể là các bản tin thu được từ các thiết bị vô tuyến như đài, tivi,….
Ngoài ra, tín hiệu còn có thể được phân loại thành tín hiệu tương tự, rời
rạc, tín hiệu đa kênh, đa chiều,...
1.1.2. Hệ thống xử lý tín hiệu
Hệ thống có thể được định nghĩa như một thiết bị vật lý (phần cứng),
một chương trình (phần mềm), hoặc có thể là sự kết hợp giữa phần cứng và
phần mềm dùng để thực hiện các thao tác đối với tín hiệu.
Dựa vào loại tín hiệu được xử lý người ta chia hệ thống xử lý tín hiệu
ra làm hai loại chính:
 Hệ thống xử lý tín hiệu tương tự

Hầu hết các tín hiệu được sử dụng trong việc nghiên cứu và ứng dụng
kỹ thuật đều là tín hiệu tương tự theo nguồn gốc phát sinh của chúng. Các tín
hiệu này được xử lý trực tiếp thông qua các hệ thống tương tự thích hợp nhằm
thay đổi các đặc tính của tín hiệu (lọc tần số, nhân tần số,...) hoặc nhận các
thông tin cần thiết từ tín hiệu. Trong các trường hợp như thế, tín hiệu sẽ được


10

xử lý trực tiếp từ dạng tương tự của nó. Cả hai tín hiệu ra và vào trong trường
hợp này đều là tín hiệu tương tự. Quá trình này được mô tả trên Hình 1.1.

Tín hiệu vào tương tự

Bộ xử lý tín hiệu
tương tự

Tín hiệu ra
tương tự

Hình 1.1: Hệ thống xử lý tín hiệu tương tự
 Hệ thống xử lý tín hiệu số

Xử lý tín hiệu số cũng là một phương pháp được lựa chọn để xử lý các
tín hiệu tương tự. Quá trình này được mô tả trong Hình 1.2.

Tín hiệu vào tương tự

Chuyển đổi
A/D

Bộ xử lý tín hiệu số

Tín hiệu vào dạng số

Chuyển đổi D/A

Tín hiệu ra dạng số

Hình 1.2: Hệ thống xử lý tín hiệu số
Để thực hiện quá trình xử lý số thì đòi hỏi phải có các thiết bị giao diện
giữa tín hiệu tương tự và bộ xử lý số. Giao diện này được gọi là bộ chuyển

đổi tín hiệu tương tự - số (A/D Converter). Sau khi tín hiệu tương tự được đưa
đến đầu vào của ADC, ở đầu ra của ADC sẽ nhận được tín hiệu số và đến lượt
mình, tín hiệu này được sử dụng như đầu vào của bộ xử lý số.
1.1.3. Chuyển đổi tín hiệu từ tín hiệu tương tự sang tín hiệu số và
ngược lại
Hầu hết các tín hiệu quan trọng trong thực tế như tín hiệu tiếng nói, tín
hiệu sinh học,... đều là các tín hiệu tương tự. Để có thể xử lý các tín hiệu này
bằng số thì việc cần thiết đầu tiên là phải chuyển đổi chúng thành dãy các số
với độ chính xác hữu hạn. Quá trình này được gọi là chuyển đổi tương tự - số


11

(Analog to Digital – A/D) và thiết bị tương ứng thực hiện công việc này được
là bộ chuyển đổi A/D (ADC).
Về khái niệm có thể chia quá trình chuyển đổi A/D thành ba giai đoạn.
Các giai đoạn này được mô tả trên Hình 1.3.

Hình 1.3: Các thành phần cơ bản của bộ chuyển đổi tương tự số
1. Quá trình lấy mẫu: Đây là quá trình chuyển đổi tín hiệu liên tục theo
thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. Điều này được thực hiện bẳng
cách “lấy mẫu” tín hiệu liên tục ở những thời điểm khác nhau của thời gian.
Như vậy nếu

xa (t )

mẫu (đầu ra) là

là tín hiệu cần lấy mẫu (đầu vào) thì tín hiệu sau khi lấy

xa (nT ) ≡ x(n)

. Ở đây T được gọi là khoảng cách lấy mẫu.

2. Quá trình lượng tử hóa: Đây là quá trình chuyển đổi tín hiệu đã được
rời rạc hóa theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian và biên độ.
Thực chất đây là quá trình làm tròn giá trị các biên độ ở các thời điểm lấy
mẫu bằng các giá trị đã được chọn trong tập hợp hữu hạn các giá trị cho phép.
Giá trị sai lệch giữa mẫu chưa được lượng tử hóa x(n) và đầu ra đã được
lượng tử hóa xq(n) được gọi là sai số lượng tử hóa.
3. Mã hóa: Trong quá trình mã hóa, mỗi giá trị rời rạc xq(n) được biểu
diễn bằng một dãy nhị phân gồm n bit.


12

Cần lưu ý là mặc dầu chúng ta mô phỏng quá trình chuyển đổi AD như
ba quá trình liên tiếp nhau: lấy mẫu, lượng tử hóa và mã hóa nhưng trên thực
tế cả ba quá trình này đều được thực hiện bởi một thiết bị duy nhất với đầu
vào là xa(t) và đầu ra là số nhị phân đã được mã hóa. Quá trình lấy mẫu và
lượng tử hóa có thể được thực hiện theo một thứ tự bất kỳ nhưng trên thực tế
quá trình lấy mẫu thường được tiến hành trước quá trình lượng tử hóa.
Tín hiệu đã được số hóa trong rất nhiều trường hợp lại cần được chuyển
đổi thành tín hiệu tương tự. Quá trình chuyển đổi tín hiệu dạng số sang dạng
tương tự được gọi là chuyển đổi D/A (Digital to Analog). Tất cả các bộ
chuyển đổi D/A đều sử dụng các phương pháp nội suy để “chắp nối” các điểm
trong tín hiệu số thành tín hiệu tương tự. Hình 1.4 mô tả một dạng đơn giản
của quá trình chuyển đổi D/A. Dạng này được gọi là dạng xấp xỉ bậc thang.
Ngoài phương pháp này còn có một số phương pháp xấp xỉ khác có thể được
sử dụng như phương pháp tuyến tính hóa đường nối các cặp mẫu liên tiếp (nội

suy tuyến tính) hoặc nội suy bậc hai (biểu diễn qua ba mẫu liên tiếp nhau
bằng phương trình bậc hai)...

Hình 1.4: Biến đổi số - tương tự giữa bậc không
Nếu dải tần số là hữu hạn thì quá trình lấy mẫu không làm lệch lạc
thông tin. Về nguyên tắc, tín hiệu tương tự có thể được khôi phục lại từ các


13

mẫu nếu tốc độ lấy mẫu là đủ lớn. Nếu tốc độ này không đủ lớn thì có thể
nhận được tín hiệu khác – tín hiệu nhầm lẫn. Mặt khác quá trình lượng tử hóa
là quá trình thực hiện có sai số do đó đây là quá trình không thuận nghịch
(nghịch đảo). Có thể nhận thấy rằng nếu ADC làm việc lý tưởng thì bao giờ
cũng tồn tại sai số và đây là sai số lượng tử hóa. Sai số này còn được gọi là sai
số lý tưởng hoặc sai số hệ thống của ADC. Như vậy một ADC làm việc trong
điều kiện thực sẽ có sai số thực gồm sai số lượng tử hóa và các sai số còn lại.
Trong các tham số đặc trưng cho các sai số còn lại thì tham số quan trọng
nhất là độ phân biệt của bộ chuyển đổi. Bởi vì đầu ra của một ADC là các giá
trị số được sắp xếp theo quy luật của mỗi loại mã nào đó do vậy số các số
hạng của mã ở đầu ra (số bit trong mã nhị phân) tương ứng với dải biến đổi
của điện áp vào cho biết mức chính xác của phép chuyển đổi. Trên thực tế
chất lượng của ADC sẽ được đánh giá qua độ chính xác và tốc độ chuyển đổi.
Hai đặc tính này tuy vậy thường đối ngược nhau do đó tùy thuộc vào lĩnh vực
ứng dụng hoặc yêu cầu cụ thể mà cần đưa ra giải pháp dung hòa giữa hai yếu
tố này.
1.2. Tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian
1.2.1. Các tín hiệu rời rạc theo thời gian
Tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) thực chất là hàm của biến độc lập có
kiểu số nguyên. Hình 1.5 mô tả tín hiệu bằng phương pháp đồ thị. Một điều

rất quan trọng cần phải lưu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian không được
định nghĩa ở các thời điểm nằm giữa hai mẫu liên tiếp nhau. Cũng sẽ không
đúng nếu cho rằng x(n) sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của n không phải là số
nguyên. Rất đơn giản, tín hiệu x(n) chỉ được định nghĩa đối với các giá trị
nguyên của n.
Trong khi nghiên cứu, chúng ta sẽ giả sử tín hiệu rời rạc theo thời gian
được định nghĩa đối với giá trị nguyên của n thuộc khoảng

−∞ < n < ∞

. Theo

qui ước x(n) sẽ được xem như là “mẫu thứ n” của tín hiệu, thậm chí nếu tín


14

hiệu này vốn đã là tín hiệu rời rạc (không phải là kết quả của quá trình lấy
mẫu tín hiệu rời rạc). Nếu cho rằng x(n) là tín hiệu nhận được do quá trình lấy
mẫu của tín hiệu tương tự

x a (t )

thì

x(n) ≡ x(nT )

, trong đó T là chu kỳ lấy mẫu

(thời gian giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp nhau) (để ngắn gọn trong báo cáo

luận văn sẽ sử dụng x(n) như là cách viết đơn giản của x(nT) hoặc hiểu là
T=1).

Hình 1.5: Biểu diễn đồ thị của tín hiệu rời rạc theo thời gian
Ngoài phương pháp sử dụng đồ thị như mô tả Hình 1.5 còn có một số
phương pháp khác tương đối thuận tiện được sử dụng để biểu diễn tín hiệu
(hoặc dãy) rời rạc theo thời gian. Các phương pháp này bao gồm: Biểu diễn
bằng hàm, biểu diễn bằng bảng và biểu diễn qua dãy số.
Dưới đây là một số tín hiệu cơ bản rất hay xuất hiện và sử dụng trong
lý thuyết về tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian vì vậy các tín hiệu này
đóng một vai trò hết sức quan trọng.
 Dãy mẫu đơn vị

Tín hiệu này còn được gọi là dãy xung đơn vị và được định nghĩa như
sau:
1, if n = 0
δ ( n) ≡ 
0, if n ≠ 0


15

Hình 1.6: Biểu diễn đồ thị của tín hiệu mẫu đơn vị
 Dãy nhảy bậc đơn vị

Dãy này còn được gọi là tín hiệu nhảy bậc đơn vị hay hàm bậc thang và
được định nghĩa qua hàm sau:

1, if n ≥ 0
u ( n) ≡ 

0, if n < 0
 Tín hiệu dốc đơn vị

Tín hiệu này được ký hiệu bằng

u r (n)

và được định nghĩa qua công

thức:

n, if n ≥ 0
u r ( n) ≡ 
0, if n < 0
Tín hiệu này được mô tả trên Hình 1.12

Hình 1.7: Biểu diễn bằng đồ thị của tín hiệu dốc đơn vị


16

1.2.2. Các hệ thống rời rạc theo thời gian
Các hệ thống rời rạc theo thời gian bao gồm các thiết bị hoặc thuật toán
mà qua đó một tín hiệu rời rạc x(n) gọi là tín hiệu đầu vào được chuyển đổi
thành một tín hiệu rời rạc khác y(n) gọi là tín hiệu đầu ra hoặc đáp ứng của hệ
thống. Quan hệ vào ra này có thể được biểu diễn bằng biểu thức toán học:

y ( n ) ≡ T [ x ( n) ]
trong đó T là ký hiệu của phép biến đổi hoặc toán tử.

Hình 1.8: Biểu diễn bằng sơ đồ khối của hệ thống rời rạc theo thời gian
Mô tả vào/ra của hệ thống rời rạc theo thời gian bao gồm các công thức
toán học hoặc các quy tắc mà qua đó có thể định nghĩa một cách chính xác quan
hệ giữa tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra. Trong trường hợp này hệ thống được
xem như một hộp đen mà không cần quan tâm đến cấu trúc bên trong. Như vậy
chỉ còn có một phương pháp duy nhất để làm việc và nghiên cứu hệ thống là sử
dụng các thiết bị đầu cuối và đầu vào của hệ thống. Để phản ánh điều này ta có
thể sử dụng cách biểu diễn bằng đồ thị như trên Hình 1.8 và qua quan hệ vào ra
của hệ thống trong biểu thức trên hoặc qua cách biểu diễn:
T
x( n) →
y ( n)

Theo cách biểu diễn này thì y(n) là đáp ứng của hệ thống T với kích
thích x(n).
Hệ thống rời rạc theo thời gian có thể được phân thành các loại sau:
 Hệ có nhớ và không nhớ


17

Hệ thống rời rạc theo thời gian được gọi là không nhớ hoặc tĩnh nếu
tín hiệu ra của nó ở mọi thời điểm chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào ở cùng
một thời điểm mà không phụ thuộc vào các giá trị mẫu của tín hiệu đầu vào
trong quá khứ hoặc tương lại. Trong trường hợp ngược lại hệ thống được gọi
là có nhớ


18

 Hệ thống tuyến tính và không tuyến tính

Hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.
Nguyên lý này đòi hỏi rằng đáp ứng của hệ thống với tác động là tổng của các
tín hiệu sẽ bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác động đầu vào là từng
tín hiệu riêng lẻ.
 Hệ thống bất biến theo thời gian

Một hệ được gọi là bất biến theo thời gian nếu như đặc trưng vào ra của
nó không thay đổi theo thời gian. Đối với các hệ này nếu như đáp ứng của hệ
đối với tác động x(n) là y(n) thì với tín hiệu đầu vào bị dịch trễ k đơn vị thời
gian x(n-k), tín hiệu đầu ra cũng bị trễ k đơn vị y(n-k). Tức là nếu:
T
x( n) →
y ( n)

thì suy ra:

x(n − k ) 
→ y (n − k )
đối với mọi tín hiệu đầu vào x(n) và mọi thời gian dịch chuyển k.
 Hệ nhân quả và không nhân quả

Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu tín hiệu đầu ra y(n) của nó tại
một thời điểm bất kỳ n chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong quá khứ và
tại thời điểm đang xét và không phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào trong
tương lai

[ x(n + 1), x(n + 2),]

. Trong trường hợp ngược lại hệ thống sẽ được

gọi là hệ không nhân quả.
 Hệ ổn định và không ổn định

Một hệ thống được gọi là ổn định hay hệ BIBO nếu và chỉ nếu với dãy
đầu vào giới hạn ta có dãy đầu ra giới hạn.


19

Theo toán học, điều kiện này tương đương với việc tồn tại hai số hữu
hạn

Mx

và

My

sao cho:

x ( n ) ≤ M x < ∞, y ( n ) ≤ M y < ∞
đối với mọi n. Nếu dãy đầu vào x(n) là hữu hạn và dãy đầu ra là vô hạn thì hệ
thống được gọi là hệ không ổn định.
1.2.3. Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian
Hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian gọi tắt là hệ thống
LTI (Linear Time-Invariant Systems) là hệ thống rời rạc vừa tuyến tính, vừa
bất biến.
Có hai phương pháp cơ bản thường được sử dụng trong việc phân tích

các đáp ứng của hệ thống tuyến tính đối với một tín hiệu đầu vào cho trước.
 Phương pháp thứ nhất dựa trên cách giải quyết trực tiếp đối với biểu thức biểu

diễn quan hệ vào/ra của hệ thống. Biểu thức này thông thường có dạng sau:

y (n) = F [ y (n − 1), y (n − 2), , y (n − N ), x(n), x(n − 1), , x(n − M )]
trong đó

F [ .]

là hàm với các biến là các thành phần được chỉ ra trong dấu

ngoặc vuông. Cụ thể hơn, đối với các hệ thống LTI thì sau này ta có thể thấy
rằng quan hệ vào/ra có thể được biểu diễn bằng công thức:
N

M

k =1

k =0

y ( n) = −∑ ak y (n − k ) + ∑ bk x( n − k )

ở đây

{ ak }

và

{ bk }

(1.1)

là các hằng số xác định hệ thống và phụ thuộc vào x(n) và

y(n).
Quan hệ vào ra trong (1.1) được gọi là biểu thức sai phân và được dùng
để mô tả đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc theo thời gian.


20

 Phương pháp thứ hai được sử dụng để phân tích đáp ứng của hệ thống tuyến

tính đối với một tín hiệu đầu vào cho trước được tiến hành thông qua hai bước
cơ bản:
-

Phân tích tín hiệu đầu vào thành tổng các tín hiệu đơn giản cơ bản. Việc phân
tích này sẽ đưa đến việc xác định đáp ứng của tín hiệu đầu vào thông qua các
đáp ứng của hệ đối với các tín hiệu cơ bản mà thông thường sẽ đơn giản và dễ
dàng hơn rất nhiều.

-

Sử dụng tính chất tuyến tính của hệ thống để xác định đáp ứng tổng của hệ
thống thông qua các đáp ứng riêng lẻ đối với từng tín hiệu cơ bản. Phương
pháp thứ hai sẽ được trình bày trong phần này.
Từ việc phân tích từng tín hiệu rời rạc cơ bản thành các xung, đáp ứng

của hệ thống LTI có thể được xác định theo công thức:

y ( n) =

∞

∑ x ( k ) h( n − k )

(1.2)

k = −∞

Công thức (1.2) được gọi là tổng chập hoặc tích chập và nó cho phép
xác định đáp ứng y(n) của hệ thống LTI như là hàm của tác động đầu vào x(n)
và đáp ứng xung đơn vị h(n).
Đối với hệ thống LTI, ta có thể xác định tính nhân quả và tính ổn định
của hệ thống thông qua các tiêu chuẩn trên đáp ứng xung của hệ thống.
Một hệ thống LTI được gọi là nhân quả nếu đáp ứng xung của nó bằng
0 với mọi giá trị âm của n, tức là h(n) = 0 với

y ( n) =

∞

∑

k = −∞

∀n < 0.

Khi đó:

∞

x ( k ) h( n − k ) = ∑ x ( k ) h( n − k )
k =0

1.3. Kết luận
Trong chương này, phần đầu luận văn trình bày những kiến thức cơ bản
liên quan đến tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu, quá trình chuyển đổi tín hiệu


21

tương tự thành tín hiệu số. Sau đó, tập trung trình bày những vấn đề cơ bản
liên quan đến tín hiệu và hệ thống rời rạc theo thời gian, đặc biệt là các
phương pháp phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian.
Với cấu trúc trình bày như trên, chương này đã nghiên cứu và trình bày
những kiến thức rất cơ bản để có thể tiếp cận nghiên cứu xử lý tín hiệu số.
Trong chương sau, luận văn sẽ tập trung nghiên cứu và trình bày về
biến đổi Fourier rời rạc và bài toán lọc tuyến tính.


22

Chương 2
BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BÀI TOÁN LỌC TUYẾN TÍNH
Như đã trình bày trong Chương 1, chương này luận văn sẽ tập trung
nghiên cứu và trình bày những vấn đề liên quan đến biến đổi Fourier và ứng
dụng biến đổi Fourier trong các bài toán lọc tuyến tính.

2.1. Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Cũng giống như trường hợp của tín hiệu năng lượng không tuần hoàn
và rời rạc theo thời gian, việc phân tích trong miền tần số của tín hiệu không
tuần hoàn rời rạc theo thời gian với năng lượng hữu hạn sẽ bao gồm phép biến
đổi Fourier của tín hiệu trong miền tần số.
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc x(n) với năng lượng hữu hạn được
định nghĩa bởi:

X (ω ) =

∞

∑ x(n)e − jωn

n = −∞

Như vậy biến đổi Fourier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong
miền biến số độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu
ω

. Về mặt vật lý,

cách khác,

X (ω )

X (ω )

X (ω )

trong miền tần số

biểu diễn nội dung tần số của tín hiệu x(n). Nói một

là phân tích của x(n) thành các thành phần tần số của nó.

Có thể nhận thấy hai điểm khác nhau cơ bản giữa biến đổi Fourier của
tín hiệu năng lượng hữu hạn và rời rạc theo thời gian với tín hiệu có năng
lượng hữu hạn và liên tục theo thời gian:


23

- Đối với tín hiệu liên tục, biến đổi Fourier và phổ của nó có miền giới
hạn tần số từ

−∞

đến

∞

này nằm trong khoảng từ

, trong khi đối với tín hiệu rời rạc thì miền giới hạn
−π

đến

π

2π .

hoặc từ 0 đến

- Bởi vì tín hiệu là rời rạc theo thời gian do vậy phép biến đổi Fourier
sẽ bao gồm tổng các phần tử thay cho phép lấy tích phân như trong trường
hợp tín hiệu liên tục.
Cặp biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc được tổng hợp lại trong
Bảng 2.1.
Bảng 2.1: Phân tích tần số của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Biểu thức tổng hợp

x ( n) =

Biến đổi ngược
Biểu thức phân tích

1
2π

jω n

dω

2π

(2.1)

∞

X (ω ) =

Biến đổi thuận

∫ X (ω )e

∑ x(n)e − jωn

n = −∞

(2.2)

2.1.1. Sự hội tụ của biến đổi Fourier
Khi đưa ra biểu thức biến đổi ngược (2.1) ta đã giả sử rằng:

X N (ω ) =

hội tụ đến

X (ω )

N

∑ x(n)e − jωn

n =− N

. Điều này có nghĩa là:
lim X (ω ) − X N (ω ) = 0

khi

N →∞

với mọi giá trị của

ω.

Sự hội tụ này sẽ được đảm bảo nếu x(n) là khả tổng tuyệt đối. Thật vậy,
nếu x(n) khả tổng tuyệt đối, nghĩa là:


24

∞

∑ x ( n) < ∞

n =−∞

thì:
∞

∑ x ( n )e

X (ω ) =

− jωn

≤

n =−∞

∞

∑ x ( n) < ∞

(2.3)

n = −∞

Như vậy (2.3) chính là điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Fourier rời rạc
theo thời gian. Đây là điều kiện thứ ba trong các điều kiện Dirichlet đối với
biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc. Hai điều kiện đầu luôn được đảm bảo do
tính chất tự nhiên của

{ x(n)}

.

Một vài dãy có thể không có tính khả tổng tuyệt đối nhưng có tính khả
tổng bình phương, nghĩa là các dãy này có năng lượng hữu hạn:

Ex =

∞

∑ x ( n)

2

<∞

(2.4)

n =−∞

Đối với các dãy có năng lượng hữu hạn này thì:
π

lim ∫

n→∞ −π

2

X (ω ) − X N (ω ) dω = 0

Như vậy năng lượng của sai số

X (ω ) − X N (ω )

sẽ tiến tới 0 trong khi

bản thân sai số này không nhất thiết phải tiến tới 0. Biểu thức (2.4) có thể xem
là điều kiện mở rộng của (2.3) để tồn tại biến đổi Fourier rời rạc theo thời
gian. Bằng cách này ta có thể đưa các tín hiệu có năng lượng hữu hạn vào tập
hợp các tín hiệu có biến đổi Fourier.
2.1.2. Định lý lấy mẫu

Để có thể áp dụng các kỹ thuật xử lý tín hiệu số trong việc xử lý các tín
hiệu tương tự thì điều cơ bản đầu tiên là cần phải chuyển đổi các tín hiệu


25

tương tự thành các dãy số. Quá trình này được thực hiện bằng cách lấy mẫu
tín hiệu tương tự theo chu kỳ. Nếu gọi tín hiệu tương tự là

xa (t ), x(n)

là tín

hiệu rời rạc theo thời gian thu được sau quá trình lấy mẫu, T là chu kỳ lấy
mẫu thì:

x(n) = xa (nT ) − ∞ < n < ∞
(2.5)
Quan hệ (2.5) mô tả quá trình lấy mẫu trong miền thời gian. Để quá
trình lấy mẫu không làm mất mát thông tin của phổ tín hiệu (không gây ra
hiện tượng trùng phổ) thì tần số lấy mẫu

FS = 1 T

phải có giá trị đủ lớn. Khi

điều này được đảm bảo thì tín hiệu tương tự có thể được khôi phục một cách
chính xác từ tín hiệu rời rạc theo thời gian hay nói cách khác là

xa (t )

có thể

được khôi phục từ x(n).
Nếu

xa (t )

là tín hiệu không tuần hoàn với năng lượng hữu hạn thì phổ

của nó có thể được xác định bởi quan hệ của biến đổi Fourier:
∞

X a ( F ) = ∫ xa (t )e − j 2πFt dt
−∞

Ngược lại, tín hiệu

xa (t )

có thể được khôi phục từ phổ của nó qua biến

đổi Fourier ngược:

xa (t ) =

∞

∫ X a ( F )e

−∞

j 2πFt

dt

(2.6)